两自由度机械手动力学问题
两自由度机械手动力学问题
两自由度机械手动力学问题1题目图示为两杆机械手，由上臂AB、下臂BC和手部C组成。
在A处和B处安装有伺服电动机，分别产生控制力矩M1和M2。
M1带动整个机械手运动，M2带动下臂相对上臂转动。
假设此两杆机械手只能在铅垂平面运动，两臂长为l1和l2，自重忽略不计，B处的伺服电动机及减速装置的质量为m1，手部C握持重物质量为m2，试建立此两自由度机械手的动力学方程。
图1图22数值法求解2.1拉格朗日方程此两杆机械手可以简化为一个双摆系统，改双摆系统在B 、C 出具有质量m 1,m 2,在A 、B 处有控制力矩M 1和M 2作用。
考虑到控制力矩M 2的作用与杆2相对杆1的相对转角θ2有关，故取广义力矩坐标为2211,θθ==q q系统的动能为二质点m 1、m 2的动能之和，即由图2所示的速度矢量关系图可知以A 处为零势能位置，则系统的势能为由拉格朗日函数，动势为：广义力2211,M Q M Q ==求出拉格朗日方程中的偏导数，即代入拉格朗日方程式,整理得:2.2 给定条件 （1）角位移运动规律()231*52335.0*1163.0t t t +-=θ，()232*52335.0*1163.0t t t +-=θ21θθ和都是从0到90°，角位移曲线为三次函数曲线。
（2）质量m 1=4㎏ m 2=5kg （3）杆长l 1=0.5m l 2=0.4m2.3 MATLAB 程序t=0:0.1:3;theta1=-0.1163*t.^3+0.52335*t.^2; w1=-0.3489*t.^2+1.0467*t; a1=-0.6978*t+1.0467;theta2=-0.1163*t.^3+0.52335*t.^2; w2=-0.3489*t.^2+1.0467*t; a2=-0.6978*t+1.0467;m1=4; m2=5;l1=0.5; l2=0.4; g=9.8;D11=(m1+m2)*l1.^2+m2*l2.^2+2*m2*l1*l2*cos(theta2); D22=m2*l2.^2;D12=m2*l2.^2+m2*l1*l2*cos(theta2); D21=m2*l2.^2+m2*l1*l2*cos(theta2); D111=0;D122=-m2*l1*l2*sin(theta2); D222=0;D211=m2*l1*l2*sin(theta2); D112=-m2*l1*l2*sin(theta2); D121=-m2*l1*l2*sin(theta2); D212=0; D221=0;D1=(m1+m2)*g*l1*sin(theta1)+m2*g*l2*sin(theta1+theta2); D2=m2*g*l2*sin(theta1+theta2);M1=D11.*a1+D12.*a2+D111.*w1.^2+D122.*w2.^2+D112.*w1.*w2+D121.*w2.*w1+D1; M2=D21.*a2+D22.*a2+D211.*w1.^2+D222.*w2.^2+D212.*w1.*w2+D221.*w2.*w1+D2; T1=polyfit(t,M1,3) T2=polyfit(t,M2,3)subplot(2,1,1),plot(t,M1),grid on,xlabel('时间（s ）'),ylabel('控制力矩（N ·m ）'),title('motion1') subplot(2,1,2),plot(t,M2),grid on,xlabel('时间（s ）'),ylabel('控制力矩（N ·m ）'),title('motion2')2.4 数值计算结果()6167.1*7993.31*7329.3*5685.3t 231+++-=t t t M ()5449.1*9801.25*9481.8*0679.0t 232-+--=t t t M图3 M 1变化规律图图4 M2变化规律图3 ADAMS仿真3.1模型建立图5 模型图3.2 施加运动在两个关节处分别施加位移函数图6 关节运动施加图位移函数为：step(time,0,0,3,pi/2)运动规律如下图所示：图7 关节处运动规律图3.3 运动仿真设置仿真时间为3s,步数为300步，仿真结果如下图所示：图8 关节1处控制力矩仿真结果图图9 关节2处控制力矩仿真结果图4 结果对比图10 控制力矩M1结果对比图图11控制力矩M2结果对比图从函数规律上看，两种求解方法得出的结果几乎一样；从数值上看：t 0 0.5 1.0 1.5 2 2.5 3.0 数值计算M1 7.1699 14.3348 33.4367 49.4650 51.6557 44.8470 40.0971 仿真求解M1 7.4526 14.5646 33.5798 49.5093 51.5775 44.6398 39.8039表2 控制力矩M2数值结果对比由上两表可以看出：数值计算结果与仿真求解结果相差很小，误差围为0.437%-0.731%，出现这种结果的原因可能是因为两种方法计算的精度不同，或者是算法存在差异。
机械系统动力学作业---平面二自由度机械臂运动学分析
机械系统动力学作业---平面二自由度机械臂运动学分析-标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII平面二自由度机械臂动力学分析[摘要] 机器臂是一个非线性的复杂动力学系统。
动力学问题的求解比较困难，而且需要较长的运算时间，因此，这里主要对平面二自由度机械臂进行动力学研究。
本文采用拉格朗日方程在多刚体系统动力学的应用方法分析平面二自由度机械臂的正向动力学。
经过研究得出平面二自由度机械臂的动力学方程，为后续更深入研究做铺垫。
[关键字] 平面二自由度机械臂动力学拉格朗日方程一、介绍机器人是一个非线性的复杂动力学系统。
动力学问题的求解比较困难，而且需要较长的运算时间，因此，简化解的过程，最大限度地减少工业机器人动力学在线计算的时间是一个受到关注的研究课题。
机器人动力学问题有两类：(1) 给出已知的轨迹点上的，即机器人关节位置、速度和加速度，求相应的关节力矩向量Q r。
这对实现机器人动态控制是相当有用的。
(2) 已知关节驱动力矩，求机器人系统相应的各瞬时的运动。
也就是说，给出关节力矩向量τ，求机器人所产生的运动。
这对模拟机器人的运动是非常有用的。
二、二自由度机器臂动力学方程的推导过程机器人是结构复杂的连杆系统，一般采用齐次变换的方法，用拉格朗日方程建立其系统动力学方程，对其位姿和运动状态进行描述。
机器人动力学方程的具体推导过程如下：(1) 选取坐标系，选定完全而且独立的广义关节变量θr ，r=1, 2,…, n。
(2) 选定相应关节上的广义力F r：当θr是位移变量时，F r为力；当θr是角度变量时，F r为力矩。
(3) 求出机器人各构件的动能和势能，构造拉格朗日函数。
(4) 代入拉格朗日方程求得机器人系统的动力学方程。
下面以图1所示说明机器人二自由度机械臂动力学方程的推导过程。
1、分别求出两杆的动能和势能设θ1、θ2 是广义坐标，Q1、Q2是广义力。
两个杆的动能和势能分别为：式中，是杆1质心C1（,）的速度向量，是杆2质心C1（,）的速度向量。
两自由度机械系统动力学
x2 y2 l2
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另外，可以积分的速度约束也是完整约束。例如：直 线纯滚动的圆盘，速度满足如下约束关系：
x r
为速度约束，但可以积分，因此还是完整约束。
x r c
本课程只考虑完整约束，而且通常只考虑定常约束情 况。
M e
(1)
拉格郎日方程为
d dt
E qi
E qi
Qi
(2)
需要证明(1)是(2)的特例。
65
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证明：对于单自由度系统，拉格郎日方程应为
d E
dt
E
Me
E
1 2
J e
2
E
Je
( d )
W Fk rk 0
k
（3-3）
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也可以写成分解形式，即
W （X kxk Ykyk Zkzk ) 0
k
（3-4）
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说明： （1）虚位移也叫可能位移，是在约束允许 的条 件下可能实现的无限小位移。与时间无关，可 用变分符号表示。变分与微分很相似，但对时 间冻结。 （2）力在虚位移上作的功叫虚功，因此虚位移 原理也叫虚功原理。 （3）理想约束的约束力在虚位移上不做功，所 以约束力不在方程中出现。
1 2
m2l2222
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一类二自由度并联机器人的动力学分析
关键词 ：动力学分析 ；模 态试验 ；并联机器人
中图 分类 号 ：Ｔ ｌ ； ０ ２ ＨＩ３ ０ ３ ９ 文 献 标 志 码 ：Ａ 文 章 编 号 ：０９ — １７ ２ １ ）４０ ２ —７ ４ ３２ ３ （０ ０ ０ —３ ２０
Ｄｙ ｍ ｉ ｓＡｎａ ｙ ｉ ｆａ ２ ＤＯ Ｆ ｎａ ｃ ｌ ｓｓｏ 一 Ｐａｒ ｌｅ ｂｏ ａ ｌ ｌＲｏ ｔ
２ Ｃ ｌ ｇ ｆ ｃ ａｉａａｄＥｅｔ ｎｃ ａ ｕ ｎ ｉｅｓｙｏ ｃ ｎ ｅ ｎ ｅｈ ｏｏ ｙ ａ ｕｎ０ ０ ２ ，Ｃ ｉａ ． ｏｌ ｅ ｈ ｎ ｌ ｎ ｌ ｒ ｉ，Ｔ ｉ ａ ｖｒ ｔ ｆ ｉ ｃ ｄ ｃ ｎ ｌｇ ，Ｔ ｉ ａ ３ ０４ ｅ ｏ Ｍｅ ｃ ｃｏ ｙ Ｕｎ ｉ Ｓ ｅ ａ Ｔ ｙ ｈｎ）
试验． 通过 简化模型的模 态分析 ， 对样机进行直接 的动 态性能评估 ， 获得 该时变机构 的模 态参数 变换规律．同时分析 了 该机构在典型位姿 处的整体模 型的模态 ， 得到影响动平 台精度 的关键模 态 ， 确认 了需要改进的 结构参数 ． 试验 结果可
用 于改 善 机 构 的动 力 学性 能 ． 过 对 比分 析 验 证 了本研 究 中提 出 的试 验 方 法 适 用 于 时 变模 态的 试 验 研 究 ． 通
（．天津 大学 机 械 程 学 院 ，天津 ３０ ７ ；２ １ ０ ０ ２ ．太原 科 技 大 学 机 械 电 子 程 学 院 ，太 原 ０ ０ ２ ） ３ ０４ 摘 要 ： 为 了准确 评 价 机 构 动 态性 能 ， 以模 态试 验 为主 要 内容 ， 用 Ｌ 采 ＭＳ 动 态 分析 系统 对并 联 机 器人 进 行 了动 力学
一种两自由度并联机构的动力学分析
10
韩旭炤等：一种两自由度并联机构的动力学分析
第 10 期
Z
X2
A3
C2
兹
A2
茁2
2a O
l2
Zm B3
X
X1 C1
l1
B（1 B2） Om
Xm
茁1
A1 图 1 并联机构结构简图
Fig.1 Schematic Diagram of the Parallel Mechanism
它由杆 A iBi （i=1，2，3）、A 2A 3、B2B3 和两个滑块 Ci，i=1，，2 组
Dynamic Analysis of a 2-DOF Parallel Mechanism
HAN Xu-zhao，CHEN Yang-yang，GAO Feng，TIAN Lu
（School of Mechanical and Precision Instrument Engineering，Xi’an University of Technology，Shaanxi Xi’an 710048，China）
2 运动学解析
2.1 运动学逆解
所研究的平面二自由度并联机构结构简图，如图 1 所示。
来稿日期：2018-05-18 基金项目：陕西省科技发展计划（2013JQ7009）；陕西省教育厅科技项目（14JK1527） 作者简介：韩旭炤，（1979-），男，宁夏人，博士研究生，讲师，主要研究方向：混联机床，机器人及微细加工技术
第二章两自由度机构动力学分析
r
17
F2 s2
M1
r
计算广义力：
动力学方程：
r 1 2m2 r Q1 J11q 2 J q m r Q2 2 22 2
18
1 J12 q 2 Q1 J11q 动力学方程： J q 2 Q2 21 1 J 22 q
差动轮系动力学方程，可以直接应用此结论式。
16
例5：已知：J1 A , m2 , J s 2 , M 1 , F2
重力略，建立运动方程。
s2
M1
F2
分析：选广义坐标： q1 , q2 r
方法1：
1 2 1 3 i21 , i22 2 2
2 0, 即H不动，则： 方法2： 令q
同理
1 0, 令q
1 i 即1轮不动，则： 2 H i22
3 i22 2
求：i31 , ห้องสมุดไป่ตู้32
1 1 ( ) 8
15
2 J H iH 2
计算广义力：
此为二阶非线性微分方程，用数值解法求解。
13
例4：已知差动轮系中：
，各轮质量略。
1 , H 求：
分析：取广义坐标： q1 1 , q 2 H
1 q1 2, 2 ', 3 q1 , q2
H q2
则：
1 H
14
求：i21 , i22
第二章 两自由度机构动力学分析
§2-1 两自由度机构的运动分析 例：五杆机构，取 q1 1 , q2 S 4
分析：构件1由 q1 (1 ) 控制，q2 0
构件4由 q2 ( s4 ) 控制，q1 0 件2、3由
二自由度机器人动力学控制及仿真研究
拉 格 朗 日函数 方 法 建 立 机 器 人 动 力 学 方 程 ， 近 而确 立机 器人 动 力 学模 型 。基 于 永磁 同步 电机 建 立 伺 服 控 制 系统 ， 利 用 机 器 人 的 位 置 控 制 与 电流 相 结 合 的 方 式 完 成 机 器 人 的 动 力 学控 制 。利 用 自适 应控 制 来 完成 机 器人 的 位 置 控 制 ， 利 用滑 模 控 制 算 法 控 制 电机 。根 据 控 制 方 法 建 立 机 器人 和 伺服 控 制模 型 ， 利 用 ＭＡ Ｔ Ｌ Ａ Ｂ 中的 Ｓ ｉ ｍｕ ｌ ｉ ｎ ｋ 模 块 进 行 仿 真 。仿 真 结 果 表 明 ， 系统
ｂｙ ｔ ｈｅ ｃ ｏｍ ｂｉ ｎａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｐｏｓ ｉ ｔ ｉ ｏｎ ｃ ｏｎ ｔ ｒ ｏ ｌ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｒ ｏｂ ｏｔ ａｎ ｄ ｔ ｈｅ ｃｕ ｒ ｒ ｅｎ ｔ ｃ ｏｎ ｔ ｒ ｏｌ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｍｏｔ ｏｒ Ｕｓ ｉ ｎ ｇ ａ ｄａｐ ｔ ｉ ｖ ｅ ｃ ｏｎ ｔ ｒ ｏ ｌ ｌ ｅｒ ｔ Ｏ
・
对 机 器 人 控 制 的 研 究 一 般 是 将 驱 动 电机 控 制 和 机器 人 的 动
质 量表 示 整 个 杆 的质 量 ； 连杆的长度分别为 ｄ 和ｄ 。 根 据 机 器 人 求逆 解 的 方法 ， 已知 Ｃ 点 的运 动轨 迹 ， 可求得角位移 ｑ 。 拉格朗 １ ３函数 Ｌ ＝ Ｋ — Ｐ 。其 中 ， Ｌ是 拉 格 朗 １ ３函数 ， Ｋ是 系 统 动能 ， Ｐ是 系 统 位 能 。
杨 彦 平 潘松 峰 周 真 诚 （ 青岛大学 自 动化与电气工程学院， 山东 青岛 ２ ６ ６ ０ ７ １ ）
摘要 ： 根 据 所在 研 究 中 心机 器人 的 工作 模 式 ， 把 二 自 由度 串联 型 机 器 人 的 关 节控 制 当成 经典 案 例 进 行 深入 探 讨 。 利 用
二自由度机械臂动力学模型
二自由度机械臂的动力学模型通常涉及到两个主要的方面：几何构型和运动方程。
在建立动力学模型之前，首先需要确定机械臂的几何参数，包括每个关节的转动惯量以及各连杆的长度。
动力学模型可以分为两部分：静力学模型和动力学模型。
静力学模型关注的是力的平衡问题，即在机械臂的任意位置上，作用在机械臂上的所有外力之和等于零，所有外力矩之和也等于零。
动力学模型则进一步考虑了机械臂的运动情况，即在给定的力和力矩作用下，机械臂的运动如何变化。
为了建立动力学模型，我们通常采用牛顿-欧拉方法或者拉格朗日方法。
牛顿-欧拉方法从关节坐标出发，逐步推导出各关节的力和力矩，再结合连杆的长度，得到整个机械臂的动力学方程。
拉格朗日方法则是从能量的角度出发，利用动能和势能的关系来建立动力学方程。
具体来说，对于二自由度机械臂，其动力学方程可以表示为：
M(q)q'' + C(q, q', t)q' + G(q, t) = T(q, q', t)
其中：
- M(q) 是机械臂的质量矩阵，q是关节变量；
- q' 是关节变量的速度；
- q'' 是关节变量的加速度；
- C(q, q', t) 是由关节速度引起的科氏力和离心力等构成的矩阵；
- G(q, t) 是重力矩阵；
- T(q, q', t) 是外部施加的力和力矩。
在实际应用中，还需要对上述方程进行求解，这通常需要借助计算机模拟或数值积分方法。
通过求解动力学方程，可以预测机械臂在特定输入下的动态响应，这对于机械臂的控制系统的设计至关重要。
二自由度机械臂实验报告
二自由度机械臂实验报告实验报告课程名称: 机电系统建模与控制实验项目名称: 二自由度机械臂实验****: **组别：第6组成员：刘仕杰.胡据林.王昊阳.于骁实验日期：2019年12月9日一、实验简介二自由度（DOF）串联柔性（2DSFJ）机械臂包括两个用于驱动谐波齿轮箱（零回转间隙）的直流电机及一个双杆串联机构（）。
两个连接都是刚性的。
主连接通过一个柔性关节耦合到第一个驱动器上，在其端部载有第二个谐波驱动器，该驱动器通过另一个柔性关节与第二个刚性连接耦合。
两个电机及两个柔性关节都装有正交光学编码器。
每一个柔性关节配有两个可更换的弹簧。
使用一个翼形螺钉零件，就可沿着支撑杆，将每根弹簧端移到所希望的不同定位点。
该系统可视为多种手臂式机器人机构的高度近似，是典型的多输入多输入（MIMO）系统。
二、实验内容1. 系统开环时域动态特性和频域特性分析；2. 应用极点配置方法设计控制器，进行时域动态响应特性和频域特性分析（超调量、上升时间、震荡次数等，根据极点分布决定），改变极点分布位置，完成至少 2 组不同闭环参数性能对比；3. 应用 LQR 方法设计反馈控制律，进行时域动态响应特性和频域特性分析（超调量、上升时间、震荡次数等，根据极点分布决定），改变 Q 和 R 的值，完成至少 2 组不同闭环参数性能对比；4. 设计全阶状态观测器，完成物理 PSF 与状态观测（至少两组观测器极点位置）综合作用下的系统性能控制。
三、实验设备1.设备构造与线路图（1）直流电机#1第一台直流电机为一台可在最高27V 下工作的Maxon273759 精密刷电机（90 瓦）。
该电机可提供 3A 的峰值电流，最大连续电流为 1.2A。
注意：施用在电机上的高频信号会对电机刷造成最终损坏。
产生高频噪音的最可能来源是微分反馈。
如果微分增益过高，噪音电压会被输入到电机里。
为保护您的电机，请将您的信号频带限制控制在 50Hz以内。
（2）谐波传动器#1谐波驱动器#1 使用谐波传动器LLC 生产的CS-14-100-1U-CC-SP 谐波减速箱。
二自由度冗余驱动并联机器人的动力学建模及控制
03
二自由度冗余驱动并联机 器人模型建立
动力学模型建立
确定机器人结构参数
01
根据机器人结构，确定各部分的结构参数，包括连杆长度、质
量、转动惯量等。
建立动力学方程
02
根据牛顿第二定律，建立机器人的动力学方程，包括关节扭矩
、速度和加速度等。
考虑摩擦与重力影响
03
考虑机器人运动过程中可能受到的摩擦力、重力等影响因素，
与现有技术的比较
我们将所提出的控制算法与现有的控制算法进行了比 较。通过比较发现，我们所提出的控制算法在跟踪性 能和抗干扰能力方面具有优势。
讨论
虽然我们在实验中取得了令人满意的结果，但仍有许 多方面需要进一步研究。例如，我们可以考虑增加更 多的传感器和优化机器人的结构以提高其性能。此外 ，我们还可以研究更复杂的轨迹跟踪和控制任务。
05
实验研究与结果分析
实验平台搭建
硬件平台
为了进行实验研究，我们构建了一个二自由度冗余驱动 并联机器人平台。该平台使用高质量的硬件组件，包括 高性能电机、高精度编码器和高速控制器等。
软件平台
我们开发了一个基于MATLAB/Simulink的软件平台，用 于实现机器人的控制算法和数据采集。
实验结果分析
未来研究展望
01
02
03
研究更加精确的动力学模型，考虑更 多的影响因素，以提高机器人的运动 性能。
探索更加智能的控制方法，如基于人 工智能的控制算法，以提高机器人的 自适应性。
对机器人的轨迹跟踪性能进行更全面 的评估，包括在不同工况下的表现， 以及与其他类型机器人的对比分析。
感谢您的观看
THANKS
研究方法
采用理论分析和实验研究相结合的方法，首先对冗余驱动并联机器人的结构和运动学进行分析，然后建立其动力 学模型，并设计相应的控制算法，最后通过实验验证其有效性和可行性。
基于D_H参数法的二自由度并联机械手逆运动学求解_于丰博
收稿日期：2015-07-25作者简介：于丰博（1988 -），男，河南南阳人，硕士研究生，研究方向为控制理论与控制工程。
基于D-H参数法的二自由度并联机械手逆运动学求解Inverse kinematics solution of 2-DOF parallel manipulator based on D-H parameter method于丰博，杨惠忠，卿兆波YU Feng-bo, YANG Hui-zhong, QING Zhao-bo（中国计量学院 机电工程学院，杭州 310018）摘 要：根据企业对待加工零件质量大、抓取过程缓取缓放的需求，对自主研制的二自由度并联机械手进行逆运动学求解。
首先建立控制机构的简化模型，在此基础上采用D-H参数法确立连杆坐标系，通过矩阵变换求得左右两条支链的主动臂转角与机械手末端在基坐标中位置的解析表达式。
最终通过MATLAB编程验证得到：模型输出转角与末端轨迹关键点处主动臂转角一致，且末端运动位置轨迹与通过模型求得轨迹吻合。
与基于动、静平台间的矢量关系及机构的约束方程建立运动学模型相比，D-H参数法在机构自由度的可扩展性方面具有很明显的优势且求解方便，各关节角正负符号的确定简单准确、不易出错。
关键词：并联机械手；逆运动学求解；D-H参数法中图分类号：TG242 文献标识码：A 文章编号：1009-0134(2015)11(下)-0010-04Doi：10.3969/j.issn.1009-0134.2015.22.040 引言在食品、电子和医药等轻工业领域，需要机械手对轻小物料进行中、短距离的搬运、分拣、上下料等操作[1～3]。
与串联机构相比，其重负荷比小，且具有精度高、刚度大、承载能力强等特点，故被广泛应用于高速操作场合[4]。
天津大学Diamond机械手在医药、饮料包装中的成功运用充分体现了并联机械手的高速、可靠优势[5]。
运动位置模型的快速、准确建立对机器人的定位精度控制及其产业化开发至关重要。
二自由度机器人动力学控制及仿真研究
二自由度机器人动力学控制及仿真研究摘要：机器人在工业领域的应用越来越广泛，其动力学控制是实现机器人精确控制的关键技术之一、本文针对二自由度机器人的动力学控制问题进行研究，在MATLAB/Simulink环境下进行仿真分析。
通过建立二自由度机器人的动力学模型，采用PID控制器进行控制，分别对两个关节进行控制，通过仿真分析，得出了控制器的合理参数配置，在一定误差范围内能够实现机器人的精确控制。
关键词：二自由度机器人，动力学控制，仿真分析1引言机器人技术的发展已经取得了长足的进步，在工业领域的应用已经越来越广泛。
机器人系统通常包括了感知、决策、控制等多个方面，其中动力学控制是实现机器人运动精确控制的关键技术之一、本文以二自由度机器人为研究对象，旨在通过建立机器人动力学模型，采用合适的控制器进行控制以实现机器人的精确控制。
2二自由度机器人的动力学建模2.1机器人运动学模型-设第一关节的旋转角度为θ1，第二关节的旋转角度为θ2；-第一关节与地面之间的夹角为α1，第二关节与第一关节之间的夹角为α2；-第一关节的长度为L1，第二关节的长度为L2；-机器人的末端在笛卡尔坐标系下的坐标为(x,y)。
可得出机器人的运动学模型方程如下：x = L1 * cos(θ1) + L2 * cos(θ1 + θ2)y = L1 * sin(θ1) + L2 * sin(θ1 + θ2)2.2机器人动力学模型机器人的动力学模型描述了机器人在受到外力作用下的运动规律。
通过应用拉格朗日方程，可以得到机器人的动力学模型。
拉格朗日方程的表达式如下：L=T-V其中，T表示机器人的动能，V表示机器人的势能。
机器人的动能和势能可以表示如下：T = 1/2 * m1 * (L1^2 * θ1'^2 + L2^2 * (θ1'^2 + θ2'^2 + 2 * θ1' * θ2' * cos(θ2))) + 1/2 * m2 * (L2^2 * θ2'^2) V = m1 * g * L1 * sin(θ1) + m2 * g * (L1 * sin(θ1) + L2 * sin(θ1 + θ2))其中，m1和m2分别表示第一关节和第二关节的质量，θ1'和θ2'分别表示第一关节和第二关节的角速度，g表示重力加速度。
机械动力学2自由度机构动力学分析
关键问题
• 二自由度机械手我们这里分析的是平面 的动力学相关问题而还有较复杂空间动 力学问题 • 对于数值计算结果与仿真求解结果存在 些差异，还有待更严谨的计算。
解决方案
1.应用拉格朗日方程也能解决只是计算较复杂 2.需要重新查错验算。
小组成员分工
• • • • • • • PPT制作与课堂介绍：李孟禹、许云猛 三维及二维建模几何参数确定：庞乂铭、薛琨 MATLAB仿真：薛琨、李孟禹 ADAMS仿真：孙铭权、庞乂铭 动力学建模：许云猛、孙文浩 关键问题解决与资料查找：孙文浩、孙铭权 方案讨论与确定：全体成员
The end！
二自由度机械手 动力学分析
小组成员：孙文浩、许云猛、薛琨、孙 铭权、庞乂铭、李孟禹 日期：2018.10.13 指导教师：庞永刚
目录
• • • • • • 三维建模 机构简图 几何参数的确定 动力学建模及数值分析 ADMS仿真分析 关键问题
三 维 建 模
机 构 简 图
A点的位置及速度
B点的位置及速度
广义力：
2
J12 m2l1ls 2 cos 2 1
Q1 M1 m1 gl1 sin 1 Fl1 sin 1 m2 gl1 sin 1 Q2 M 2 Fl3 sin 2 m2 gls 2 sin 2
• MATLAB求解
• 给定条件 角位移运动规律:
l3 l2 l2 1.201 0.750 1.951 m l 1.044 l 1.201 ls1 1 0.522 m ls 2 2 0.6005 m 2 2 2 2
MATLAB求解程序：
• t=0:0.1:3; • D111=0; theta1=-0.1163*t.^3+0.52335*t.^2; D122=-m2*l1*l2*sin(theta2); w1=-0.3489*t.^2+1.0467*t; D222=0; a1=-0.6978*t+1.0467; D211=m2*l1*l2*sin(theta2); theta2=-0.1163*t.^3+0.52335*t.^2; D112=-m2*l1*l2*sin(theta2); w2=-0.3489*t.^2+1.0467*t; D121=-m2*l1*l2*sin(theta2); a2=-0.6978*t+1.0467; D212=0; m1=72.259; D221=0; m2=79.555; D1=(m1+m2)*g*l1*sin(theta1)+m2*g*l2*sin(theta1+theta2); l1=1.044; D2=m2*g*l2*sin(theta1+theta2); l2=1.201; M1=D11.*a1+D12.*a2+D111.*w1.^2+D122.*w2.^2+D112.*w1.*w2+D121.*w2.*w1+D1; g=9.8; M2=D21.*a2+D22.*a2+D211.*w1.^2+D222.*w2.^2+D212.*w1.*w2+D221.*w2.*w1+D2; D11=(m1+m2)*l1.^2+m2*l2.^2+2*m2*l1*l2*cos(theta2); T1=polyfit(t,M1,3) D22=m2*l2.^2; T2=polyfit(t,M2,3) D12=m2*l2.^2+m2*l1*l2*cos(theta2); subplot(2,1,1),plot(t,M1),grid on,xlabel('时间（s）'),ylabel('控制力矩（N· m）'),title('motion1') D21=m2*l2.^2+m2*l1*l2*cos(theta2); subplot(2,1,2),plot(t,M2),grid on,xlabel('时间（s）'),ylabel('控制力矩（N· m）') title('motion2')
两自由度机械臂动力学模型的建模与控制
2020(Sum. No 207)2020年第03期(总第207期)信息通信INFORMATION & COMMUNICATIONS两自由度机械臂动力学模型的建模与控制王磊，陈辰生,张文文(同济大学中德学院，上海202001)摘要：机器人系统建模在布局评估、合理性研究、动画展示以及离线编程等方面有越来越广的应用。
文章对两个自由度 机械臂基于拉格朗日动力学方程，进行建模。
通过建立的模型，分析了重力对两自由度机械臂的影响以及在重力作用下不在稳定位置的机械臂的运动轨迹。
基于机械臂的数学模型，基于Simulink 仿真环境，建立机械臂的仿真模型。
采用逆 动力学方法对机械臂进行控制，观察其对机械臂的控制效果⑴。
通过仿真建模，可以了解机械臂动力学模型以及机械臂动态模型的控制问题。
关键词:动力学模型;数学模型推导;机器人建模;重力分析;逆动力学控制中图分类号:TP241 文献标识码:A 文章编号:1673-1131(2020 )03-0040-03The simulation and control of two ・degree-of freedom robot armWang Lei, Chen Chensheng, Zhang Wenwen(Sino German College of Tongji University, Shanghai 201804)Abstract: The simulation of robot systems is becoming very popular, it can be used for layout evaluation, feasibility studies, presentations with animation and off-line programming 121. In this paper, two degrees of freedom manipulators are modeled based on Lagrange^ dynamic equation. Through the established model, the influence of g ravity on the two-degree-of-freedom manip ulator and the trajectory of the manipulator that is not in a stable position under the action of gravity are analyzed. Based on the mathematical model of the robotic arm and the Simulink simulation environment, a simulation model of the robotic arm is es tablished. The inverse dynamics method was used to control the manipulator, and the control effect on the manipulator was observed. Through simulation modeling, you can understand the dynamics model of the robotic arm and the control problems of the dynamic model of t he robotic arm.Key words: dynamic model; mathematical model derivation; robot modeling; gravity analysis; inverse dynamic control0引言机器人学是一门特殊的工程科学，其中包括机器人设计、建模、控制以及使用。
第二章 机器人静力分析与动力学
假如已知外界环境对机器人末杆的作用力和力矩，那么可 以由最后一个连杆向零连杆(机座)依次递推，从而计算出 每个连杆上的受力情况。
2.2.2 机器人力雅可比
为了便于表示机器人手部端点的力和力矩(简称为端点广义力F )，可 将 fn，n+1和nn，n+1合并写成一个6维矢量
Jli和J ai分别表示关节i的单位关节速度引起末端的线速度和角速度。
v J11 033 qu x w J 21 J 22 ql
v J11qu w J 21qu J 22 ql qu [q1 q2 q3 ] ql [q4 q5 q6 ]
定义如下变量： f i–1，I 及 ni–1，i ——i–1杆通过关节 i作用在i杆上的力和力矩； fi，i+1 及 ni，i+1——i杆通过关节i+1作用在i+1杆上的力和力矩； –fi，i+1 及 –ni，i+1——i+1杆通过关节i+1作用在i杆上的反作用力和反作 用力矩； fn，n+1及 nn，n+1——机器人最末杆对外界环境的作用力和力矩； –fn，n+1 及 –nn，n+1——外界环境对机器人最末杆的作用力和力矩； f0，1及n0，1——机器人机座对杆1的作用力和力矩； m g——连杆i的重量，作用在质心C 上。
Y 1 Y 2
dX dq J (q ) dt dt
第1列矢量和第2列矢量，则有 v J11 J 22 式中：右边第一项表示仅由第一个关节运动引起的端点速度；右边第 ， 二项表示仅由第二个关节运动引起的端点速度；总的端点速度为这两 个速度矢量的合成。因此，机器人速度雅可比的每一列表示其他关节 ， 不动而某一关节运动产生的端点速度。 2 f 2 (t ) 则可 1 f1 (t ) ， 假如已知的某一时刻的速度 v =f (t)，即手部瞬时速度。 反之，假如给定机器人手部速度，可解出相应的关节速度为 q J 1 v 式中：J–1称为机器人逆速度雅可比。
二自由度机器人的结构设计与仿真
二自由度机器人的结构设计与仿真首先，我们来看二自由度机器人的结构设计。
二自由度机器人由两个关节和两个链节组成。
每个关节都有一个电机驱动，用于控制关节的运动。
两个链节通过关节连接起来，形成机械臂的结构。
两个链节可以分别旋转，以实现机械臂的运动。
在机械臂末端，可以安装夹具或工具，用于执行具体的任务。
在设计二自由度机器人的结构时，需要考虑以下几个方面。
首先是材料的选择。
机械臂需要具备足够的刚性和强度，以承受负载和运动所带来的力。
常用的材料有铝合金和钢材。
其次是驱动系统的选择。
关节的运动由电机驱动，需要选择适合的电机类型和规格，以实现机械臂的精确控制。
另外，在设计机械臂的关节连接处，可以采用球形关节或万向节等，以实现更大范围的运动。
最后是工具的选择。
根据具体的任务需求，可以选择不同的工具或夹具，以适应不同的操作场景。
在完成结构设计后，可以进行二自由度机器人的仿真。
仿真是在计算机中模拟机械臂的工作过程。
通过仿真，可以验证机械臂的设计是否符合要求，并进行性能分析。
在进行仿真时，需要建立机械臂的运动模型。
运动模型可以通过机械臂的运动学和动力学方程来描述。
运动学方程描述机械臂的位置和速度之间的关系，动力学方程描述机械臂的受力和加速度之间的关系。
通过求解这些方程，可以获得机械臂的运动轨迹和受力情况。
在进行仿真时，可以使用一些仿真软件，例如MATLAB、SolidWorks 等。
这些软件提供了建模、求解和可视化的功能，可以方便地进行机械臂的仿真。
在进行仿真前，需要准备好机械臂的运动模型和输入参数。
然后，可以通过调整参数和输入，观察机械臂的运动和性能。
根据仿真结果，可以对机械臂的设计进行优化，以提高机械臂的运动精度和工作效率。
综上所述，二自由度机器人的结构设计和仿真是机械臂设计与优化的重要环节。
通过合理的结构设计和精确的仿真分析，可以提高机械臂的性能和工作效率，并满足特定任务需求。
二自由度机器人的应用前景广阔，将在未来的工业生产和服务领域发挥重要作用。
两自由度机械臂动力学模型的建模与控制
两自由度机械臂动力学模型的建模与控制
两自由度机械臂是指由两个旋转关节连接的机械臂，可以在二维平面内进行运动。
建立两自由度机械臂的动力学模型，可以用于控制器设计和路径规划。
1. 机械臂的动力学建模：
a. 首先，需要确定机械臂的连杆长度、质量以及旋转关节的惯性参数等。
这些参数可以通过实验或者手动测量获得。
b. 建立机械臂的正运动学方程，即通过旋转关节的角度计算连杆末端的位置和姿态。
c. 利用拉格朗日方程，可以得到机械臂的动力学方程。
动力学方程描述了系统的运动方程和力矩平衡关系。
2. 控制器设计：
a. 常用的控制方法有位置控制、速度控制和力控制等。
选择适合机械臂的控制方法，根据控制要求设计闭环控制系统。
b. 设计适当的控制算法，如PID控制器、模糊控制器或者神经网络控制器等，以实现期望的控制性能。
c. 在控制器设计过程中，需要对系统进行参数辨识和系统模型验证，以确保控制器的稳定性和鲁棒性。
3. 控制系统实现与调试：
a. 根据控制器的设计结果，实现完整的控制系统，包括硬件的搭建、传感器
的连接和信号处理等。
b. 进行控制系统的调试和参数调整，通过实验验证控制器的性能，并进一步优化控制算法和参数。
总结：建立两自由度机械臂的动力学模型是实现精确控制和路径规划的前提。
通过合适的控制器设计和系统实现，可以使机械臂实现所需的任务和运动轨迹。
一种新型两自由度柔性并联机械手的动力学建模和运动控制_胡俊峰
一种新型两自由度柔性并联机械手的动力学建模和运动控制X DYNAMIC MODELING AND KINEMATIC CO NTROL OF A NOVEL 2-DOF FLEXIBLE PARALLEL MANIPULATOR胡俊峰X X1张宪民2(1.江西理工大学机电工程学院,赣州341000)(2.华南理工大学机械与汽车工程学院,广州510640)HU JunF eng1ZHAN G XianM in2(1.School o f Mechanical&Electrical Engineering,Jiangxi University o f Science andTechnolo gy,Ganzhou,341000,China)(2.School o f Mechanical&Automotive Engineering,South China University o f Technology,Guangzhou510640,China)摘要对一种新型两自由度柔性并联机械手的动力学模型和运动控制进行研究。
首先,考虑刚)柔耦合影响,利用假设模态法和Lagrange乘子法,推导出系统的动力学方程,该方程为微分)代数方程组。
为了设计控制器,采用坐标分块法将该微分)代数方程组化为二阶微分方程组。
然后,根据机械手的控制要求,采用滑模变结构方法设计控制器,该控制器能跟踪所期望的运动轨迹,同时柔性构件的弹性振动得到抑制。
仿真结果表明该控制器的可行性和有效性。
关键词并联机械手柔性构件滑模变结构控制假设模态法中图分类号TH112TH113Abstract For a novel2-DOF(degree of freedom)flexible parallel manipulator,i ts dynamic model and kinematic control were studied.Taking into account the effect of rigid-flexible coupling,the dynamic equations of the system were derived by using assu med mode method and Lagrange multiplier method.It is a differential algebraic equations.In order to design a controller,the coordinate-par-titioned method is used to convert the differen tial algebraic equations in to a second-order differential equations.According to the demand of control,the variable structure control method is applied to design the controller in order to acq uire desired trajectory and attenuate the elastic deformation of flexible parts.The si mulation resul ts show the feasi bility and effectivenss of the controller.Key words Parallel manipulator;Flexible part;Variable structure control;Assum ed mode methodCorrespon ding author:H U JunFen g,E-mail:h jf su per@,Tel:+86-20-87110345,Fax:+86-20-87110069The project supported by the National Natural Science Foundation of Chi na for Distinguished Young Scholars(No.50825504).Manuscript received20091009,in revi sed form20100104.引言并联机器人具有高速度、高精度、高承载能力等特点,在许多领域得到应用。
工业机器人静力学及动力学分析
4.2 工业机器人速度雅克比与速度分析
如图4-2所示二自由度平面关节型机械手。手部某瞬沿固定坐标系X0轴正向以
1.0m/s速度移动，杆长为l1＝l2＝0.5m。假设该瞬时1＝30，1＝-60。求相
f2 x2
dx2
L
f2 x6
dx6
M
dy6
f6 x1
dx1
f6 x2
dx2
L
f6 x6
dx6
简写后，既得：
dY F dX X
在工业机器人速度分析 和以后的静力学分析中 都将遇到类似的矩阵， 我们称之为工业机器人 雅可比矩阵，或简称雅 可比。一般用符号 J表 示。
4.3 工业机器人速度雅克比与静力学分析
1.操作臂中的静力学
图中： fi-1,i及ni-1,i—i-1杆通过关节i作用在i杆上 的力和力矩； fi,i+1及ni,i+1—i杆通过关节i+1作用在i+1 杆上的力和力矩； -fi,i+1及-ni,i+1—i+1杆通过关节i+1作用在 i杆上的反作用力和反作用力矩； fn,n+1及nn,n+1—工业机器人手部端点对 外界环境的作用力和力矩； -fn,n+1及-nn,n+1—外界环境对工业机器人 手部端点的作用力和力矩； F0,1及n1,0—工业机器人底座对杆1的作 用力和力矩； mig—连杆i的重量，作用在质心Ci上。
2 3
2
2 (rad/s)
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两自由度机械手动力学问题
1题目
图示为两杆机械手，由上臂AB、下臂BC和手部C组成。
在A处和B处安装
有伺服电动机，分别产生控制力矩M
1和M
2。
M
1
带动整个机械手运动，M
2
带动下臂
相对上臂转动。
假设此两杆机械手只能在铅垂平面内运动，两臂长为l
1和l
2
，
自重忽略不计，B处的伺服电动机及减速装置的质量为m
1
，手部C握持重物质量
为m
2
，试建立此两自由度机械手的动力学方程。
图1
图2
2数值法求解
拉格朗日方程
此两杆机械手可以简化为一个双摆系统，改双摆系统在B 、C 出具有质量m 1,m 2,在A 、B 处有控制力矩M 1和M 2作用。
考虑到控制力矩M 2的作用与杆2相对杆1的相对转角θ2有关，故取广义力矩坐标为
2211,θθ==q q
系统的动能为二质点m 1、m 2的动能之和，即
由图2所示的速度矢量关系图可知
以A 处为零势能位置，则系统的势能为
由拉格朗日函数，动势为：
广义力2211,M Q M Q ==
求出拉格朗日方程中的偏导数，即
代入拉格朗日方程式,整理得:
给定条件
（1）角位移运动规律
()231*52335.0*1163.0t t t +-=θ，()232*52335.0*1163.0t t t +-=θ
21θθ和都是从0到90°，角位移曲线为三次函数曲线。
（2）质量
m 1=4㎏ m 2=5kg （3）杆长 l 1= l 2=
MATLAB 程序
t=0::3;
theta1=*t.^3+*t.^2; w1=*t.^2+*t; a1=*t+;
theta2=*t.^3+*t.^2; w2=*t.^2+*t; a2=*t+; m1=4; m2=5; l1=; l2=;
g=;
D11=(m1+m2)*l1.^2+m2*l2.^2+2*m2*l1*l2*cos(theta2); D22=m2*l2.^2;
D12=m2*l2.^2+m2*l1*l2*cos(theta2); D21=m2*l2.^2+m2*l1*l2*cos(theta2); D111=0;
D122=-m2*l1*l2*sin(theta2); D222=0;
D211=m2*l1*l2*sin(theta2); D112=-m2*l1*l2*sin(theta2); D121=-m2*l1*l2*sin(theta2); D212=0; D221=0;
D1=(m1+m2)*g*l1*sin(theta1)+m2*g*l2*sin(theta1+theta2); D2=m2*g*l2*sin(theta1+theta2);
M1=D11.*a1+D12.*a2+D111.*w1.^2+D122.*w2.^2+D112.*w1.*w2+D121.*w2.*w1+D1; M2=D21.*a2+D22.*a2+D211.*w1.^2+D222.*w2.^2+D212.*w1.*w2+D221.*w2.*w1+D2; T1=polyfit(t,M1,3) T2=polyfit(t,M2,3)
subplot(2,1,1),plot(t,M1),grid on,xlabel('时间（s ）'),ylabel('控制力矩（N·m）'),title('motion1')
subplot(2,1,2),plot(t,M2),grid on,xlabel('时间（s ）'),ylabel('控制力矩（N·m）'),title('motion2')
数值计算结果
()6167.1*7993.31*7329.3*5685.3t 231+++-=t t t M ()5449.1*9801.25*9481.8*0679.0t 232-+--=t t t M
图3 M1变化规律图
图4 M2变化规律图
3 ADAMS仿真
模型建立
图5 模型图
施加运动
在两个关节处分别施加位移函数
图6 关节运动施加图位移函数为：step(time,0,0,3,pi/2)
运动规律如下图所示：
图7 关节处运动规律图
运动仿真
设置仿真时间为3s,步数为300步，仿真结果如下图所示：
图8 关节1处控制力矩仿真结果图
图9 关节2处控制力矩仿真结果图
4 结果对比
图10 控制力矩M1结果对比图
图11 控制力矩M2结果对比图
从函数规律上看，两种求解方法得出的结果几乎一样；
从数值上看：
表1 控制力矩M1数值结果对比
t02
数值计算M1
仿真求解M1
表2 控制力矩M2数值结果对比
t02
数值计算M2
仿真求解M2
由上两表可以看出：数值计算结果与仿真求解结果相差很小，误差范围为%%，出现这种结果的原因可能是因为两种方法计算的精度不同，或者是算法存在差异。
如果对结果精度要求不是很高，可以认为两种方法求得的结果相等，进一步说明了仿真计算的可靠性。