八年级数学-上册数学优秀《因式分解课件PPT》
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痈疽肿毒。和血滋阴，除风润燥，化痰清肺，利 小便，调大肠，圣药也。张灿玾表示，阿胶因味 甘性平，主要归肺、肝及肾经，能补虚、滋阴润
肺，有补血养血、美容养颜、抗衰老、
抗疲劳、提高免疫力等功效。另外，阿胶还有行 血的作用。医书中就有“浚血之源清血之流”的记 载。这是因为阿胶既能养血又能补肝，肝为血源，
药材。什么是道地药材？就是每
种生物，它需要有特殊的气候、地理来培育它， 才具有独特作用。就如人参只有长在上，在那种 地理下，药效才更好。又如川穹是四川的最好，
广木香是广阿出的胶才叫阿胶。 当前正值冬季，活动趋向休止，人的身体也不例 外，阳气开始潜藏，阴气逐渐旺盛，这个时候可 以进行一些必要的滋补。而说到滋补，就不得不
小结：
1、什么叫因式分解？ 2、确定公因式的方法：
（1）定系数 （2）定字母 （3）定指数 3、提公因式法分解因式的步骤（分两步）：
第一步，找出公因式；
第二步，提取公因式；
4、提公因式法分解因式应注意的问题： （1）公因式要提尽； （2）某项提出莫漏1； （3）首项有负常提负，提出负号时要注意变
号
2 a a2 2(m+n)
3m -2xy
例1 把8a3b2 + 12ab3c 分解因式. 解:8a3b2+12ab3c =4ab2•2a2+4ab2•3bc =4ab2(2a2+3bc).
例2 把 2a(b+c) -3(b+c)分解因式.
分析:( b+c)是这个式子的公因式,可以直接提出.
解:2a(b+c) – 3(b+c) =(b+c)(2a-3).
腹痛，虚劳羸瘦，阴气不足，脚酸不
能久立，养肝气。”《本草纲目》中这样写道，阿 胶疗女人血痛血枯，经水不调，无子、崩中带下 ，胎前产后诸疾。男女一切风病，骨节疼痛，水
八年级数学上《因式分解》教学课件
因式分解要注意以下几点: 1.分解的对象必须是多项式. 2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.
结束
(4)x2 2x 1 x(x 2) 1 否
（5）24a2bc 23 a2 3bc 否
课堂小结
1、对多项式分解因式与整式乘法是方向相反的 两种恒等变形. 2、整式的乘法运算是把几个整式的积变为多项 式的形式，特征是向着积化和差的形式发展； 3、多项式的分解因式是把一个多项式化为几个 整式乘积的形式，特征是向着和差化积的形式发 展
整式乘法 整式乘法
(4).x2+4x+4=(x+2)2
因式分解
(5).(a-3)(a+3)=a2-9
整式乘法
(6).m2-4=(m+2)(m-2)因式分解Fra bibliotek基础闯关2
下列各式从左到右的变形，是否为分解因式？
（1）a(a 2b) a2 2ab 否
(2)bx bx2 bx(1 x)
是
(3)a2 4 (a 2)(a 2) 是
思考：因式分解与整式乘法有什么关系？
左边式子的变形为整式乘法，右边式子的变形 为因式分解，两种变形互为逆运算变形过程.
基础闯关1
判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?
(1).x2-4y2=(x+2y)(x-2y) 因式分解
(2).2x(x-3y)=2x2-6xy (3).(5a-1)2=25a2-10a+1
第一章 因式分解
1.1 因式分解
993-99能被100整除吗？
小明是这样想的: 993-99=99×992-99 ×1
=99 ×(992-1) =99×9800 = 99×100×98 所以, 993-99能被100整除.
结束
(4)x2 2x 1 x(x 2) 1 否
（5）24a2bc 23 a2 3bc 否
课堂小结
1、对多项式分解因式与整式乘法是方向相反的 两种恒等变形. 2、整式的乘法运算是把几个整式的积变为多项 式的形式，特征是向着积化和差的形式发展； 3、多项式的分解因式是把一个多项式化为几个 整式乘积的形式，特征是向着和差化积的形式发 展
整式乘法 整式乘法
(4).x2+4x+4=(x+2)2
因式分解
(5).(a-3)(a+3)=a2-9
整式乘法
(6).m2-4=(m+2)(m-2)因式分解Fra bibliotek基础闯关2
下列各式从左到右的变形，是否为分解因式？
（1）a(a 2b) a2 2ab 否
(2)bx bx2 bx(1 x)
是
(3)a2 4 (a 2)(a 2) 是
思考：因式分解与整式乘法有什么关系？
左边式子的变形为整式乘法，右边式子的变形 为因式分解，两种变形互为逆运算变形过程.
基础闯关1
判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?
(1).x2-4y2=(x+2y)(x-2y) 因式分解
(2).2x(x-3y)=2x2-6xy (3).(5a-1)2=25a2-10a+1
第一章 因式分解
1.1 因式分解
993-99能被100整除吗？
小明是这样想的: 993-99=99×992-99 ×1
=99 ×(992-1) =99×9800 = 99×100×98 所以, 993-99能被100整除.
人教版八年级数学上册《公式法》整式的乘法与因式分解PPT精品课件
1
-1
1
-2
1×(-2)+1×(-1)=-3
(2)
1
-2
1
5
1×5+1×(-2)=3
解：(1) x2-3x+2=(x-1)(x-2)； (2) x2+3x-10=(x-2)(x+5).
随堂练习
x(x+2)(x+3)
1.（2019·淄博）分解因式：x3+5x2+6x=___________.
分析：x3+5x2+6x
(1)当多项式的各项有公因式时，应先提取公因式；当
多项式的各项没有公因式时（或提取公因式后），若
符合平方差公式或完全平方公式，就利用公式法分解
因式；
(2)当不能直接提取公因式或用公式法分解因式时，可
根据多项式的特点，把其变形为能提取公因式或能用
公式法的形式，再分解因式；
(3)当乘积中的每一个因式都不能再分解时，因式分解
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公
因式提取出来，将多项式写成公因式与另外一个因式
的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
提公因式法一般步骤：
(1)确定公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指
数；
(2)提公因式并确定另外一个因式：用多项式除以公因
式，所得的商就是提公因式后剩下的另一个因式；
1
2
=x(x2+5x+6)
1
3
=x(x+2)(x+3).
1×3+1×2=5
2.（2019·威海）分解因式：2x2-6x+4=__________.
2(x-1)(x-2)
-1
1
-2
1×(-2)+1×(-1)=-3
(2)
1
-2
1
5
1×5+1×(-2)=3
解：(1) x2-3x+2=(x-1)(x-2)； (2) x2+3x-10=(x-2)(x+5).
随堂练习
x(x+2)(x+3)
1.（2019·淄博）分解因式：x3+5x2+6x=___________.
分析：x3+5x2+6x
(1)当多项式的各项有公因式时，应先提取公因式；当
多项式的各项没有公因式时（或提取公因式后），若
符合平方差公式或完全平方公式，就利用公式法分解
因式；
(2)当不能直接提取公因式或用公式法分解因式时，可
根据多项式的特点，把其变形为能提取公因式或能用
公式法的形式，再分解因式；
(3)当乘积中的每一个因式都不能再分解时，因式分解
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公
因式提取出来，将多项式写成公因式与另外一个因式
的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
提公因式法一般步骤：
(1)确定公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指
数；
(2)提公因式并确定另外一个因式：用多项式除以公因
式，所得的商就是提公因式后剩下的另一个因式；
1
2
=x(x2+5x+6)
1
3
=x(x+2)(x+3).
1×3+1×2=5
2.（2019·威海）分解因式：2x2-6x+4=__________.
2(x-1)(x-2)
八年级数学(上册)_因式分解的方法汇总.ppt
(3)原式=
9x2 6x 1 y2 4y 4 (3x 1)2 ( y 2)2 (3x y 1)(3x y 1)
(4)原式= (x 2)3 ( y 2)3 [(x 2)3 (y 2)3]
3(x y)(x 2)(y 2)
(5)原式=
x 2 x y 2 y 2xy (x y)2 (x y) ( x y)(x y 1)
方法五、分组分解法
（1）形如：
am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)
=a(m+n)+b(m+n)
=(a+b)(m+n)
(2)形如：
x2 y2 2x 1
(x2 2x 1) y 2
(x 1)2 y 2
(x y 1)(x y 1)
把多项式适当的分组，分组后能够有公因 式或能运用公式，这样的因式分解的方法
( y z)[x2 ( y z)x yz]
(y z)(x y)(x z)
例题2（重庆市竞赛题）分解因式：
4x2 4x y2 4y 3
解：原式= (4x2 4x 1) (y 2 4y 4) (2x 1)2 (y 2)2 (2x y 3)(2x y 1)
方法六、拆项、添项法
知识回顾 Knowledge Review
1.根据多项式次数关系，假设一个含待定系数的等式； 2.利用怛等式对应项系数相等，列出含有待定系数的方程； 3.解方程组，求出待定系数，再代入所设问题的结构中去，
得到需求问题的解。
例题1：如果 x3 ax2 bx 8 有两个因式x+1和
x+2，则a+b=
例题2：如果多项式 x2 (a 5)x 5a 1 能分解成两个 因式（x+b）、(x+c)的乘积（b、c 为整数），则a的值 是应为多少？（第17届江苏省竞赛题）
人教版八年级数学上册《14.3.因式分解》优质PPT课件
三、公式法
3、例题讲解
例3. 4a³- 4a 解：原式=4a(a²-1)
=4a(a+1)(a-1)
利用提取公因式法和平方差公式
三、公式法
3、例题讲解
例4. 5x3y(x-y)-10x4y3(y-x)2 解：原式=5x3y(x-y)-10x4y3(x-y)2
=5x3y(x-y)[1-2xy2(x-y)] =5x3y(x-y)(1-2x2y2+2xy3) 利用提取公因式法和平方差公式
14.3因式分解
情景导入
计算下列各式：
3x(x-2)=3x2-6x m(a+b+c)= ma+mb+mc (m+4)(m-4)= m2-16 (x-2)2= x2-4x+4 a(a+1)(a-1)= a3-a
3x2-6x=(3x)(x-2) ma+mb+mc=(m)(a+b+c) m2-16=(m+4)(m-4) x2-4x+4=(x-2)2 a3-a=(a)(a+1)(a-1)
多项式的第一项是系数为负数的项，一般地，应提出负系数的公 因式．但应注意，这时留在括号内的每一项的符号都要改变，且 最后一项“－x”提出时，应留有一项“＋1”，而不能错解为－ x(x2－x)．
三、公式法
1、平方差公式
把整式乘法的平方差公式(a＋b)(a－b)=a2－b2反过来，就得到 a2－b2= (a＋b)(a－b)，即两个数的平方差，等于这两个数的 和与这两个数的差的积．
左边一组的变形是什么运算？右边的变形与这种运算有什么不 同？右边变形的结果有什么共同的特点？
一、因式分解
1、定义
把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这 个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
课件《因式分解》精品PPT课件_人教版2
十字相乘法②随堂练习： 1）4a2–9a+2 a 24a 1
2）7a2–19a–6 7a 2a 3 3）2(x2+y2)+5xy 2x y x 2y
例 .将 2(6x2 ＋x) 2－11(6x2 ＋x) ＋5 分解因式 解：2(6x2 ＋x)2－11(6x2 ＋x) ＋5 = [(6x2 ＋x) －5][2(6x2 ＋x)－1] = (6x2 ＋x－5) (12x2 ＋2x－1 ) = (6x －5)(x ＋1) (12x2 ＋2x－1 )
x2 13x 42 x 6 x 7
对二次三项式x2+px+q用x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)进行因式分解， 应重点掌握以下问题：
1.适用范围：只有当q=ab，且p=a+b时 才能用十字相乘法进
我
行分解。
2.掌握方法：拆分常数项，验证一次项.
3.符号规律：
当q>0时，a、b同号，且a、b的符号与p的符号相同；
3.(x-2)(x+1)= x2-x-2
4.(x-2)(x-1)= x2-3x+2 5.(x+2)(x+3)= x2+5x+6 6.(x+2)(x-3)= x2-x-6 7.(x-2)(x+3)= x2+x-6 8.(x-2)(x-3)= x2-5x+6
(x+a)(x+b) =x2+(a+b)x+ab
2
-1
例1:2x2－7x+3
解：原式=(2x-1)(x-3) 1
-3
总结:
2 × (-3)+(－1) × 1=-7
八年级数学上册第十四章整式的乘法因式分解复习课件
式或完全平方公式的形式，
然后进行因式分解。
30% Option 3
56% Option 2
完全平方公式
$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$ 和 $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$，用于将 三项式因式分解。
分组分解法
概念
分组分解法是把多项式中的项 按照某种规则分成几组，然后 分别进行因式分解，最后再将 各组的结果整合起来。
乘法公式及其应用
80%
平方差公式
$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，用于 计算两个数的平方差。
100%
完全平方公式
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ 和 $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，用 于计算一个二项式的平方。
80%
举例
利用平方差公式计算 $(x+3)(x3)=x^2-9$；利用完全平方公式计 算 $(x+2)^2=x^2+4x+4$。
05
课堂小结与知 识点梳理
单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了演示发 布的良好效果，请言简意赅地阐述您的观点。
整章知识点回顾总结
掌握单项式与单项式、单项式与多项 式、多项式与多项式的乘法法则，并 能熟练进行运算。
整式的乘法
理解并掌握平方差公式和完全平方公 式，能运用公式进行简单的计算。
乘法公式
因式分解$a^2+2ab+b^2$和$a^2-2ab+b^2$， 并比较结果
综合应用典型例题
已知$a+b=5$，$ab=6$，求$a^2+b^2$和$(ab)^2$的值 例题1 例题2 例题3 已知多项式$f(x)=x^2+px+q$，且$f(1)=0$， $f(2)=0$，求$f(x)$的解析式 已知$x^2+y^2=10$，$xy=3$，求$(x+y)^2$和 $(x-y)^2$的值
然后进行因式分解。
30% Option 3
56% Option 2
完全平方公式
$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$ 和 $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$，用于将 三项式因式分解。
分组分解法
概念
分组分解法是把多项式中的项 按照某种规则分成几组，然后 分别进行因式分解，最后再将 各组的结果整合起来。
乘法公式及其应用
80%
平方差公式
$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，用于 计算两个数的平方差。
100%
完全平方公式
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ 和 $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，用 于计算一个二项式的平方。
80%
举例
利用平方差公式计算 $(x+3)(x3)=x^2-9$；利用完全平方公式计 算 $(x+2)^2=x^2+4x+4$。
05
课堂小结与知 识点梳理
单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了演示发 布的良好效果，请言简意赅地阐述您的观点。
整章知识点回顾总结
掌握单项式与单项式、单项式与多项 式、多项式与多项式的乘法法则，并 能熟练进行运算。
整式的乘法
理解并掌握平方差公式和完全平方公 式，能运用公式进行简单的计算。
乘法公式
因式分解$a^2+2ab+b^2$和$a^2-2ab+b^2$， 并比较结果
综合应用典型例题
已知$a+b=5$，$ab=6$，求$a^2+b^2$和$(ab)^2$的值 例题1 例题2 例题3 已知多项式$f(x)=x^2+px+q$，且$f(1)=0$， $f(2)=0$，求$f(x)$的解析式 已知$x^2+y^2=10$，$xy=3$，求$(x+y)^2$和 $(x-y)^2$的值
人教版八年级数学上册 14.3.1 因式分解(提取公因式) 课件(共15张PPT)
例2 把 2a(b+c) -3(b+c)分解因式.
分析:( b+c)是这个式子的公因式,可以直接提出.
解:2a(b+c) – 3(b+c) =(b+c)(2a-3).
练习一 理解概念
判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?
(1) x2－4y2=(x+2y)(x－2y)； (2) 2x(x－3y)=2x2－6xy (3) (5a－1)2=25a2－10a+ ；
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。21.8.2421.8.2421:56:4021:56:40August 24, 2021 • 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年8月24日星期二下午9时56分40秒21:56:4021.8.24 • 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年8月下午9时56分21.8.2421:56August 24, 2021 • 16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021年8月24日星期二9时56分40秒21:56:4024 August 2021 • 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。下午9时56分40秒下午9时56分21:56:4021.8.24
(3)5y3+20y2 ； 5y2
(4)a2b－2ab2+ab . ab
注意：各项系数都是整数时，因式的 系数应取各项系数的最大公约数；字母取 各项的相同的字母，而且各字母的指数取 次数最低的.
练习:
人教版八年级上册数学优秀《因式分解课件》.ppt
2.先分解因式，再求值
4a2(x 7) 3(x 7)， 其中a 5, x 3.
2021-1-1
x
12
思考 15.4.2 公式法(1)
你能将多项式x2－16 与多项式m 2－4n2分解 因式吗?这两个多项式有什么共同的特点吗?
(a+b)(a－b) = a2－b2
a2－b2 =(a+b)(a－b)
（5）(a b)2 12(a b) 36 .
归纳：
（1） 先提公因式（有的话）； （2） 利用公式（可以的话）； （3） 2021-1-1 分解因式时要x 分解到不能分解为止23.
2.证明：连续两个奇数的平方差可 以被8整除.
2021-1-1
x
24
今天你有什么收获? 你还有什么疑问吗?
作业：习题15.4，2、3、5.
2021-1-1 =3a(x+y)2 .
x =(a+b－6)2.
21
练习
1.下列多项式是不是完全平方式？为什么？
(1) a2－4a+4;
(2)1+4a2;
(3) 4b2+4b－1 ; 2.分解因式：
(4)a2+ab+b2.
(1) x2+12x+36;
(2) －2xy－x2－y2;
(3) a2+2a+1;
x
10
因式分解：
(1)24x3y－18x2y ；
(2)7ma+14ma2 ；
(3)－16x4+32x3－56x2 ； (4)－ 7ab－14abx+49aby ； (5)2a(y－z)－3b(y－z) ； (6)p(a2+b2)－q(a2+b2).
4a2(x 7) 3(x 7)， 其中a 5, x 3.
2021-1-1
x
12
思考 15.4.2 公式法(1)
你能将多项式x2－16 与多项式m 2－4n2分解 因式吗?这两个多项式有什么共同的特点吗?
(a+b)(a－b) = a2－b2
a2－b2 =(a+b)(a－b)
（5）(a b)2 12(a b) 36 .
归纳：
（1） 先提公因式（有的话）； （2） 利用公式（可以的话）； （3） 2021-1-1 分解因式时要x 分解到不能分解为止23.
2.证明：连续两个奇数的平方差可 以被8整除.
2021-1-1
x
24
今天你有什么收获? 你还有什么疑问吗?
作业：习题15.4，2、3、5.
2021-1-1 =3a(x+y)2 .
x =(a+b－6)2.
21
练习
1.下列多项式是不是完全平方式？为什么？
(1) a2－4a+4;
(2)1+4a2;
(3) 4b2+4b－1 ; 2.分解因式：
(4)a2+ab+b2.
(1) x2+12x+36;
(2) －2xy－x2－y2;
(3) a2+2a+1;
x
10
因式分解：
(1)24x3y－18x2y ；
(2)7ma+14ma2 ；
(3)－16x4+32x3－56x2 ； (4)－ 7ab－14abx+49aby ； (5)2a(y－z)－3b(y－z) ； (6)p(a2+b2)－q(a2+b2).
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…… 把你发现的规律用含n的等式表示出来. 2. 对于任意的自然数n，(n+7)2－ (n－5)2能被24 整除吗? 为什么?
15.4.2 公式法(2) 思考：
你能将多项式a2+2ab+b2 与a2－2ab+b2分解因 式吗？这两个多项式有什么特点？
(a+b)2=a2+2ab+b2,
a2+2ab+b2=(a+b)2
a2 + 2·a ·b +b2 解：(1)16x2+24x+9 = (4x)2+2·4x·3+32
=(4x+3)2.
例5 分解因式： (1) 16x2+24x+9； (2) –x2+4xy–4y2.
解：(2) －x2+4xy－4y2 = － (x2－4xy+4y2) = － [x2－2·x·2y+(2y)2] = － (x－2y)2 .
=3a(x2+2xy+y2)
=(a+b)2－2·(a+b)·6+62
=3a(x+y)2 .
=(a+b－6)2.
练习
1.下列多项式是不是完全平方式？为什么？
(1) a2－4a+4;
(2)1+4a2;
(3) 4b2+4b－1 ; 2.分解因式：
(4)a2+ab+b2.
(1) x2+12x+36;
(2) －2xy－x2－y2;
请把下列多项式写成整式乘积的形式.
(1)x2 x x(x 1)
(2)x2 1 (x 1)(x 1)
把一个多项式化成几个整式积的形式， 这种变形叫做把这个多项式因式分解（或 分解因式）.
想一想：因式分解与整式乘法有何关系?
因式分解
x2－y2
(x+y)(x－y)
整式乘法
因式分解与整式乘法是互逆过程.
(a－b)2=a2－2ab+b2.
a2－2ab+b2=(a－b)2
两个数的平方和加上（或减去）这两 个数的积的２倍，等于这两个数的和（或 差）的平方.
例5 分解因式： (1) 16x2+24x+9； (2) –x2+4xy–4y2.
分析：在(1)中，16x2=(4x)2，9=32，24x= 2·4x·3，所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即 16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+32
再分解为止.
分析:(1)x4－y4写成(x2)2 － (y2)2的形式，
这样就可以利用平方差公式进行因式分解了.
(2)a3b－ab有公因式ab，应先提出公因式,
再进一步分b
= (x2+y2)(x2－y2)
=ab(a2－ 1)
= (x2+y2)(x+y)(x－y). =ab(a+1)(a－ 1).
1.20042+2004能被2005整除吗?
2.先分解因式，再求值
4a2(x 7) 3(x 7)， 其中a 5, x 3.
思考 15.4.2 公式法(1)
你能将多项式x2－16 与多项式m 2－4n2分解 因式吗?这两个多项式有什么共同的特点吗?
(a+b)(a－b) = a2－b2
a2－b2 =(a+b)(a－b)
(1) 4x2 – 9 = (2x)2 – 3 2
= (2x+3)(2x – 3).
(2) (x+p)2 – (x+q) 2 = [ (x+p) +(x+q)] [(x+p) –(x+q)] =(2x+p+q)(p–q).
例4 分解因式:
分解因式必须
进行到每一个
(1)x4—y4; (2) a3b —ab多. 项式都不能
两个数的平方差,等于这两个数的和与 这两个数的差的积.
例3 分解因式:
(1) 4x2 – 9 ; (2) (x+p)2 – (x+q)2.
分析：在(1)中，4x2 = (2x)2，9=32，4x2－9 = (2x )2 –3 2，即可用平方差公式分解因式.
在(2)中，把(x+p)和 (x+q)各看成一个整体，设 x+p=m，x+q=n，则原式化为m2－n2.
练习一 理解概念
判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是 因式分解?
(1) x2－4y2=(x+2y)(x－2y)； 因式分解
(2) 2x(x－3y)=2x2－6xy 整式乘法
(3) (5a－1)2=25a2－10a+1 ；整式乘法
(4) x2+4x+4=(x+2)2 ；
因式分解
(5) (a－3)(a+3)=a2－9
例6 分解因式:
将a+b看作一个
(1) 3ax2+6axy+3ay2;
整体，设a+b=m, 则原式化为完全
平方式m2－
(2) (a+b)2－12(a+b)+36. 12m+36.
分析：在（1）中有公因式3a，应先提出公 因式，再进一步分解.
解：(1)3ax2+6axy+3ay2 (2)(a+b)2－12(a+b)+36
整式的乘除与因式分解
因式分解
:整式的乘法
计算下列各式:
x(x+1)= x2 + x ； (x+1)(x－1)= x2－1 .
讨论 630能被哪些数整除? 在小学我们知道，要解决这个问题， 需要把630分解成质数乘积的形式.
630 232 5 7
类似地，在式的变形中，有时需要将 一个多项式写成几个整式的乘积的形式.
分析：应先找出
与
的
公因式，再提公因式进行分解.
例 2 分解因式 2a(b c) 3(b c)
分析：(b+c)是这两个式子的公因式,
可以直接提出.
解：2a(b c) 3(b c)
(b c)(2a 3) .
因式分解：
(1)24x3y－18x2y ；
(2)7ma+14ma2 ；
(3)－16x4+32x3－56x2 ； (4)－ 7ab－14abx+49aby ； (5)2a(y－z)－3b(y－z) ； (6)p(a2+b2)－q(a2+b2).
（5）(a b)2 12(a b) 36 .
归纳：
（1） 先提公因式（有的话）； （2） 利用公式（可以的话）； （3） 分解因式时要分解到不能分解为止.
2.证明：连续两个奇数的平方差可 以被8整除.
今天你有什么收获? 你还有什么疑问吗?
作业：习题15.4，2、3、5.
你学会了吗
整式乘法
(6) m2－4=(m+2)(m－2) ； 因式分解
(7) 2πR+ 2πr= 2π(R+r). 因式分解
怎样分解因式: ma mb mc .
公因式：多项式中各项都有的因式， 叫做这个多项式的公因式；
把多项式ma+mb+mc分解成m(a+b+c)的形 式，其中m是各项的公因式，另一个因式(a+b+c) 是ma+mb+mc 除以m的商，像这种分解因式的 方法，叫做提公因式法.
说出下列多项式各项的公因式：
(1)ma + mb ； m
(2)4kx－ 8ky ； 4k
(3)5y3+20y2 ； 5y2
(4)a2b－2ab2+ab . ab
注意：各项系数都是整数时，因式的 系数应取各项系数的最大公约数；字母取 各项的相同的字母，而且各字母的指数取 次数最低的.
例1 把8a3b2 12ab3c分解因式
练习
1.下列多项式能否用平方差公式来分 解因式?为什么?
(1) x2+y2 ;
(2) x2－y2;
(3) －x2+y2;
(4) －x2－y2.
2.分解因式: (1)a2－215 b2; (3) x2y－4y ;
(2)9a2－4b2; (4) －a4 +16.
思维延伸
1. 观察下列各式: 32－12=8=8×1; 52－32=16=8×2; 72－52=24=8×3;
(3) a2+2a+1;
(4) 4x2－4x+1;
(5) ax2+2a2x+a3;
(6) －3x2+6xy－3y2.
应用提高、拓展创新
1.把下列多项式分解因式，从中你能 发现因式分解的一般步骤吗？
（1）x 4 y 4；
（2）a3b ab3；
（3）3ax2 6axy 3ay2 ；（4）(x p)2 (x q)2
15.4.2 公式法(2) 思考：
你能将多项式a2+2ab+b2 与a2－2ab+b2分解因 式吗？这两个多项式有什么特点？
(a+b)2=a2+2ab+b2,
a2+2ab+b2=(a+b)2
a2 + 2·a ·b +b2 解：(1)16x2+24x+9 = (4x)2+2·4x·3+32
=(4x+3)2.
例5 分解因式： (1) 16x2+24x+9； (2) –x2+4xy–4y2.
解：(2) －x2+4xy－4y2 = － (x2－4xy+4y2) = － [x2－2·x·2y+(2y)2] = － (x－2y)2 .
=3a(x2+2xy+y2)
=(a+b)2－2·(a+b)·6+62
=3a(x+y)2 .
=(a+b－6)2.
练习
1.下列多项式是不是完全平方式？为什么？
(1) a2－4a+4;
(2)1+4a2;
(3) 4b2+4b－1 ; 2.分解因式：
(4)a2+ab+b2.
(1) x2+12x+36;
(2) －2xy－x2－y2;
请把下列多项式写成整式乘积的形式.
(1)x2 x x(x 1)
(2)x2 1 (x 1)(x 1)
把一个多项式化成几个整式积的形式， 这种变形叫做把这个多项式因式分解（或 分解因式）.
想一想：因式分解与整式乘法有何关系?
因式分解
x2－y2
(x+y)(x－y)
整式乘法
因式分解与整式乘法是互逆过程.
(a－b)2=a2－2ab+b2.
a2－2ab+b2=(a－b)2
两个数的平方和加上（或减去）这两 个数的积的２倍，等于这两个数的和（或 差）的平方.
例5 分解因式： (1) 16x2+24x+9； (2) –x2+4xy–4y2.
分析：在(1)中，16x2=(4x)2，9=32，24x= 2·4x·3，所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即 16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+32
再分解为止.
分析:(1)x4－y4写成(x2)2 － (y2)2的形式，
这样就可以利用平方差公式进行因式分解了.
(2)a3b－ab有公因式ab，应先提出公因式,
再进一步分b
= (x2+y2)(x2－y2)
=ab(a2－ 1)
= (x2+y2)(x+y)(x－y). =ab(a+1)(a－ 1).
1.20042+2004能被2005整除吗?
2.先分解因式，再求值
4a2(x 7) 3(x 7)， 其中a 5, x 3.
思考 15.4.2 公式法(1)
你能将多项式x2－16 与多项式m 2－4n2分解 因式吗?这两个多项式有什么共同的特点吗?
(a+b)(a－b) = a2－b2
a2－b2 =(a+b)(a－b)
(1) 4x2 – 9 = (2x)2 – 3 2
= (2x+3)(2x – 3).
(2) (x+p)2 – (x+q) 2 = [ (x+p) +(x+q)] [(x+p) –(x+q)] =(2x+p+q)(p–q).
例4 分解因式:
分解因式必须
进行到每一个
(1)x4—y4; (2) a3b —ab多. 项式都不能
两个数的平方差,等于这两个数的和与 这两个数的差的积.
例3 分解因式:
(1) 4x2 – 9 ; (2) (x+p)2 – (x+q)2.
分析：在(1)中，4x2 = (2x)2，9=32，4x2－9 = (2x )2 –3 2，即可用平方差公式分解因式.
在(2)中，把(x+p)和 (x+q)各看成一个整体，设 x+p=m，x+q=n，则原式化为m2－n2.
练习一 理解概念
判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是 因式分解?
(1) x2－4y2=(x+2y)(x－2y)； 因式分解
(2) 2x(x－3y)=2x2－6xy 整式乘法
(3) (5a－1)2=25a2－10a+1 ；整式乘法
(4) x2+4x+4=(x+2)2 ；
因式分解
(5) (a－3)(a+3)=a2－9
例6 分解因式:
将a+b看作一个
(1) 3ax2+6axy+3ay2;
整体，设a+b=m, 则原式化为完全
平方式m2－
(2) (a+b)2－12(a+b)+36. 12m+36.
分析：在（1）中有公因式3a，应先提出公 因式，再进一步分解.
解：(1)3ax2+6axy+3ay2 (2)(a+b)2－12(a+b)+36
整式的乘除与因式分解
因式分解
:整式的乘法
计算下列各式:
x(x+1)= x2 + x ； (x+1)(x－1)= x2－1 .
讨论 630能被哪些数整除? 在小学我们知道，要解决这个问题， 需要把630分解成质数乘积的形式.
630 232 5 7
类似地，在式的变形中，有时需要将 一个多项式写成几个整式的乘积的形式.
分析：应先找出
与
的
公因式，再提公因式进行分解.
例 2 分解因式 2a(b c) 3(b c)
分析：(b+c)是这两个式子的公因式,
可以直接提出.
解：2a(b c) 3(b c)
(b c)(2a 3) .
因式分解：
(1)24x3y－18x2y ；
(2)7ma+14ma2 ；
(3)－16x4+32x3－56x2 ； (4)－ 7ab－14abx+49aby ； (5)2a(y－z)－3b(y－z) ； (6)p(a2+b2)－q(a2+b2).
（5）(a b)2 12(a b) 36 .
归纳：
（1） 先提公因式（有的话）； （2） 利用公式（可以的话）； （3） 分解因式时要分解到不能分解为止.
2.证明：连续两个奇数的平方差可 以被8整除.
今天你有什么收获? 你还有什么疑问吗?
作业：习题15.4，2、3、5.
你学会了吗
整式乘法
(6) m2－4=(m+2)(m－2) ； 因式分解
(7) 2πR+ 2πr= 2π(R+r). 因式分解
怎样分解因式: ma mb mc .
公因式：多项式中各项都有的因式， 叫做这个多项式的公因式；
把多项式ma+mb+mc分解成m(a+b+c)的形 式，其中m是各项的公因式，另一个因式(a+b+c) 是ma+mb+mc 除以m的商，像这种分解因式的 方法，叫做提公因式法.
说出下列多项式各项的公因式：
(1)ma + mb ； m
(2)4kx－ 8ky ； 4k
(3)5y3+20y2 ； 5y2
(4)a2b－2ab2+ab . ab
注意：各项系数都是整数时，因式的 系数应取各项系数的最大公约数；字母取 各项的相同的字母，而且各字母的指数取 次数最低的.
例1 把8a3b2 12ab3c分解因式
练习
1.下列多项式能否用平方差公式来分 解因式?为什么?
(1) x2+y2 ;
(2) x2－y2;
(3) －x2+y2;
(4) －x2－y2.
2.分解因式: (1)a2－215 b2; (3) x2y－4y ;
(2)9a2－4b2; (4) －a4 +16.
思维延伸
1. 观察下列各式: 32－12=8=8×1; 52－32=16=8×2; 72－52=24=8×3;
(3) a2+2a+1;
(4) 4x2－4x+1;
(5) ax2+2a2x+a3;
(6) －3x2+6xy－3y2.
应用提高、拓展创新
1.把下列多项式分解因式，从中你能 发现因式分解的一般步骤吗？
（1）x 4 y 4；
（2）a3b ab3；
（3）3ax2 6axy 3ay2 ；（4）(x p)2 (x q)2