信号与系统-拉普拉斯变换(下)

H ( s ) s = jω = H ( jω ) = H ( jω ) e jϕ (ω )
H( jω) 就是系统的频率响应特性。
H ( s)
s = jω
= H ( jω) = H ( j ω) e
jφ ( ω)
——频响特性
H 0 = H ( jω ) ——幅频特性 φ ( ω ) ——相频特性（相位特性）
jψm
φ ( ω ) = ( ψ1 + ψ 2 + L ψ m ) − ( θ1 + θ2 + L θn )
N1 N 2 L N m H ( j ω) = K M1 M 2 L M n
当ω 沿虚轴移动时，各复数因子( 矢量) 的模和辐角都 随之改变，于是得出幅频特性曲线和相频特性曲线。
一阶系统的频响特性
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例4-8-1 确定图示系统的频响特性。
+
V2 ( s ) = H ( s) = V1 ( s )
R 1 R+ sC
V1 ( s )
−
1 sC
+ R
V2 ( s )
−
H (s) =
s 1 s+ RC
jω
jψ1
N1 e jω H ( j ω) = = jθ1 1 M e 1 jω − − RC 1 零点：z1 = 0 极点：p1 = − RC
– 全通网络 – 最小相移网络 –级联
所谓全通是指它的幅频特性为常数，对于全部频率的 正弦信号都能按同样的幅度传输系数通过。 零、极点分布
jω
p1
θ1 M1 p3
z1
N 1 ψ1 N3 N2
M3 θ3 M2
ψ3 z3
σ
•极点位于左半平面， •零点位于右半平面， •零点与极点对于虚轴 互为镜像
θ2
p2
r (t ) = K1e
p1t
D( s )
Emω 0 R( s ) = H ( s ) ⋅ E ( s ) = H ( s ) ⋅ L[e( t )] = H ( s ) ⋅ 2 2 s + ω0
+ K 2e L + K n e
p2t
pn t
+L [
−1
K − jω0 s − jω0
+
K jω 0 s + jω0
由矢量图确定频率响应特性
N1 e N 2 e L N m e H ( j ω) = K j θn jθ1 jθ2 M1 e M 2 e L M n e
=K N1 N 2 L N m e ( M1 M 2 L M n e
j ψ1 + ψ2 +Lψm ) j( θ1 + θ2 +Lθn )
jψ1
jψ 2
二阶系统的频响特性
1. 非谐振系统 由同一类型的储能元件构成的二阶系统，两个极点均 落在实轴上，不出现共轭复数极点，属于非谐振系统。 H(s)的形式
(s − z1 )(s − z2 ) s − z1 H ( s) = K ⋅ H ( s) = K ⋅ ( s − p1 )(s − p2 ) ( s − p1 )( s − p2 ) 1 H ( s) = K ⋅ ( s − p1 )( s − p2 )
]
p1，p2 L pn是H( s )的极点
（若稳定的可实现系统，其实部皆小于零）
系统的稳态响应为
rss (t ) = L [
−1
K − jω 0 s − jω 0
+
K jω0 s + jω 0
返回
] = Em | H ( jω0 ) | sin (ω0t + ϕ 0 )
当正弦激励的频率 ω 为变量时，将 s = jω 代入H(s)，即
§4.08 由系统函数零、极点分布决定频响特性
– 定义； – 几种常见的滤波器； –根据H(s)零极图绘制系统的频响特性曲线
所谓“频响特性”是指系统在正弦信号激励下稳态响 应随频率的变化情况。H ( j ω ) 前提：稳定的因果系统。 有实际意义的物理系统都是稳定的因果系统。
h(t ) = 0 时域： lim t →∞
V2 1 1 式中 ＝ , φ＝－θ1 V1 RC M
O
−45o
1 RC
ω
−90o
1 低通网络，截止频率位于ω = 处。 RC
例4-8-3
研究右图所示二阶RC系统 的频响特性H ( j ω ) = V2 ( j ω ) V1 ( j ω ) ,
R1
+
C2
+ v3 ( t ) − +
kv3
v1 ( t )
ψ2
z2
频率特性
N 1 N 2 N 3 j ( ψ1 + ψ 2 + ψ3 ) − ( θ1 + θ2 + θ3 ) e H ( j ω) = K M1 M 2 M 3 = Ke
j ( ψ1 + ψ2 + ψ 3 ) − ( θ1 + θ2 + θ3 )
由于N1N2N3与M1M2M3相消，幅频特性等于常数K，即
功能：由于零、极点位置的不同，可构成低通、高通、带 通、带阻等滤波特性，其分析方法与一阶系统类似
2. 二阶谐振系统 RLC串联谐振电路 GCL并联谐振电路
GCL并联谐振电路的重要参数： 1 ) 特征阻抗
1 L ρ = ω0 L = = ω0C C
谐振时感抗容抗相等 2 ) 品质因数
1 ω0C ω0 L R0 Q= = = G G ω0 L
●若网络函数在右半平面有一个或多个零点，则称“非 最小相移函数”，这类网络称为“非最小相移网络”。
非最小相移网络可代之以最小相移网络与全通网络的 级联。
jω jω
z1 z1
jωj
jωj
jωj
jω
σj
−σ j
σ
O
− jωj
非最小相移网络
O
z2
σ
−σ j
O
− jωj
σj σ
z2
− jωj
最小相移网络
H ( s ) = H min ( s ) s + σ j + ω2 j 2 { 2 + + s σ ω 14444244443 非最小相 j j 14 4 244 3 移函数 最小相移函数
其中H ( s ) s = j ω0 = H ( j ω0 ) = H 0 e jφ0
比较r(t)和e(t) ，在正弦激励下的稳 态响应仍为同频率的正弦信号，但 幅度和相位均发生变化。
跳转
H(s)的稳态响应 设 H ( s ) = N ( s ) 的极点均为单极点且位于左半s 平面，系统的激励函数 e( t ) = Em sin ω0 t，则系 统响应的拉氏变换： 系统的全响应
−
C1
v2 ( t )
R2
−
图中kv3为受控源且R1C1 << R2C 2。
解： 其转移函数为
V2 ( s )
低通滤波器 高通滤波器
1 H ( s) = = ⋅ V1 ( s ) R1C1
1 1 s+ R1C1
⋅k
s 1 s+ R2C 2
相当于低通与高通级联构成的带通系统。
频响特性
R1C1 << R2C 2
2 全通函数
{
(
)
( }(
s − σj
) )
全通网络
2
+ ω2 j
§4.10 线性系统的稳定性
– 引言 – 定义（BIBO） –证明 –由H(s)的极点位置判断系统的稳定性
某连续时间系统的系统函数 1 0.01 H (s ) = + s +1 s − 2 当输入为u(t)时，系统的零状态响应的象函数为 1 − 0.005 1 0.005 Rzs ( s ) = − + s s+1 s− 2 0.005 << 1 rzs ( t ) = ( 1 − e− t + 0.005e 2 t ) u ( t ) 但t很大时，这个正指数 项超过其他项并随着t 的 增大而不断增大
……续
实际的系统不会是完全线性的，这样，很大的信号 将使设备工作在非线性部分，放大器的晶体管会饱和或 截止，一个机械系统可能停车或发生故障等。这不仅使 系统不能正常工作，有时还会发生损坏危险，如烧毁设 备等。 稳定性是系统自身的性质之一，系统是否稳定与激 励信号的情况无关。冲激响应和 h(t) 、 H(s) 系统函数 从两方面表征了同一系统的本性，所以能从两个方面确 定系统的稳定性。
H ( j ω) = K
♠幅频特性——常数 ♠相频特性——不受约束 ♠全通网络可以保证不影响待传送信号的幅度频谱特 性，只改变信号的相位频谱特性，在传输系统中常用来 进行相位校正，例如，作相位均衡器或移相器。
●（如果系统稳定）以下两个H ( s ) 具有相同的极点；而二者的零 点却以j ω轴成镜像关系. 因此两者具有相同的幅频特性。
jω jω
p1
z1 j2
j1
p3
θ3
j2
z3
Ψ3
j1
O
−2
−1
− j1
1
2
σ
−2
−1
O
− j1
1
2
σ
p2
z2 − j2
p4
− j2
z4
再看二者的相移特性：
θ1 = θ 3
| ψ 1 − θ1 |<|ψ 3 − θ 3 |
全部零点位于左半平面的系统函数的相移总小于 在右半平面有零点的系统函数的相移
•零点仅位于左半平面或 j ω轴的网络称“ 最小相移网络” 。
V2 jφ ( ω) 1 1 = = e j θ1 RC M 1 e V1

R
+
C
v2 ( t )
−
jω
M1
θ1
1 − RC
O
σ
频响特性
jω
M1
θ1
1
V2 V1
1 2
O
1 − RC
σ
O
1 RC
φ ( ω)
ω
V2 jφ ( ω) 1 1 H ( j ω) = = e jθ1 RC M 1 e V1
系统的频响特性通常绘制成频响特性曲线，曲线可由
H ( s ) s = jω 逐点求值后画出，也可由H(s)的极零图用几何作
图的方法求出。 设系统函数
H ( s) = K
∏ (s − z ) ∏ (s − p )
i =1 i j =1 n j
m
则系统的频率特性由下式决定
H ( jω ) = H ( s ) s = j ω = K
jω
M1
M2
N1
k k
V2 V1
2
O
θ1
θ2
ψ1
≈
1 − R1C1
1 − R2C 2
O
σ
1 R2C 2
≈
1 R1C1
ω
φ ( ω)
1 极点：p1 = − ， R1C1 1 p2 = − R2C 2 零点：z1 = 0
90o 45o O −45o −90o
ω
§4.09 全通函数与最小相移函数的零极分布
∏ (s − z j )
m
∏ (s − Pi )
i =1
j =1 n
s = jω
=K
∏ ( jω − z j )
m
Baidu Nhomakorabea
∏ ( jω − pi )
i =1
j =1 n
可见系统的频响特性完全取决于 H ( s )的零极点位置 令分子中每一项 j ω − z j = N j e 分母中每一项
jψ j
j ω − Pi = M i e jθi
π ω = 0 φ ( ω) = 2 1 π φ ( ω) = ω = RC 4 ω = ∞ φ ( ω) = 0
σ
−
1 RC
O
例4-8-2
研究下图所示R C 低通滤波网络 + 的频响特性。 v1 ( t ) V2 ( j ω ) − H ( j ω) = V1 ( j ω ) 解: 写出网络转移函数表达式 V2 ( s ) 1 1 H ( s) = = ⋅ 1 V1 ( s ) RC s+ RC
M1
θ1
N1
ψ1
σ
−
1 RC
O
H ( j ω) =
ω 1 ω + RC
2 2
jω
M1
θ1
N1
ψ1
π φ ( ω ) = − arctan CRω 2
ω = 0 H ( j ω) = 0 1 1 H ( j ω) = ω = RC 2 ω = ∞ H ( j ω) = 1
将 j ω − z j、 j ω -pi 都看作两矢量之差，将矢量图画于复 平面内。
画零极点图
零点： jω = N j e
jψ j
+ zj
极点 ： jω = M i e
jθ i
+ pi
jω
θi pi
Nj zj
σ
O
jω
Mi
Nj ψj
zj
ψj
σ
O
j ω是滑 动矢量， j ω矢 量 变化 ，则 N j、ψ j 和M i、 θi 都 发生变化。
频域：H(s)的全部极点落在s左半平面。 其收敛域包括虚轴： 拉氏变换 LLLL 存在 傅氏变换 LLLL 存在
H(s)和频响特性的关系
设系统函数为H ( s ) ，激励源e ( t ) = Em sin ( ω0 t )
系统的稳态响应:
rss (t ) = Em H 0 sin (ω0t + ϕ0 )
只含一个储能元件/ 转移函数只有一个极点且位于实轴上
s − z1 H (s) = K ⋅ s − p1
s H ( s) = K ⋅ s − p1
K H ( s) = s − p1
z1 = 0 零点位于原点
z1 = ∞ 零点在 s = ∞处
Note：1 ) 只要系统函数的零、极点分布相同，就会具有一 致的时域、频域特性 2 ) 从系统的观点看，要抓住系统特性的一般规律， 必须从零、极点分布的观点入手研究
由稳定系统的拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系可知，该系统 的频响特性实际上就是冲激响应h(t)的傅里叶变换。
H ( jω )
低通滤波器
H ( jω )
高通滤波器
通带
O
阻带
ω
ωc 截止频率
O
ωc
ω
H ( jω )
带通滤波器
H ( jω )
带阻滤波器
O
ωc1
ωc 2
ω
O
ωc1
ωc 2
ω
系统的频响特性由系统函数H(s) 零极点位置决定