广东省东莞市2017-2018学年高二上学期期末考试数学理科试题
广东省东莞市高二上学期期末数学试卷(理科)
广东省东莞市高二上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高二上·黑龙江期中) 在长为12cm的线段AB上任取一点M，并且以线段AM为边作正方形，则这正方形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率为（）A .B .C .D .2. （2分）(2017·武邑模拟) 已知点F2 ， P分别为双曲线的右焦点与右支上的一点，O为坐标原点，若2 |，且，则该双曲线的离心率为（）A .B .C .D .3. （2分）(2017·白山模拟) 若命题p：从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为三分之一；命题q：在边长为4的正方形ABCD内任取一点M，则∠AMB＞90°的概率为，则下列命题是真命题的是（）A . p∧qB . （¬p）∧qC . p∧（¬q）D . ¬q4. （2分）将正方体的纸盒展开如图，直线AB、CD在原正方体的位置关系是（）A . 平行B . 垂直C . 相交成60°角D . 异面且成60°角5. （2分）如图，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变,则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为A .B .C .D .6. （2分） (2018高二上·綦江期末) 已知表示两条不同的直线，表示两个不同的平面，且,则下列命题正确的是（）A . 若，则B . 若，则C . 若，则D . 若，则7. （2分） (2016高二上·辽宁期中) 已知抛物线C：y2=4x上一点A到焦点F的距离与其到对称轴的距离之比为5：4，且|AF|＞2，则A点到原点的距离为（）A . 3B .C . 4D .8. （2分）设分别是双曲线的左右焦点，若双曲线的右支上存在一点P，使，且的三边长构成等差数列，则此双曲线的离心率为（）A .B .C . 2D . 59. （2分）在边长为1的正方体中，E，F，G，H分别为A1B1 ， C1D1 ， AB，CD的中点，点P从G出发，沿折线GBCH匀速运动，点Q从H出发，沿折线HDAG匀速运动，且点P与点Q运动的速度相等，记E，F，P，Q四点为顶点的三棱锥的体积为V，点P运动的路程为x，在0≤x≤2时，V与x的图象应为（）A .B .C .D .10. （2分）(2016·铜仁) 椭圆的左、右焦点分别为，弦AB过，若的内切圆周长为， A,B两点的坐标分别为和，则的值为（）A .B .C .D .11. （2分） (2016高二上·上海期中) 两直线l1 ， l2的方程分别为x+y +b=0和xsinθ+y﹣a=0（a，b为实常数），θ为第三象限角，则两直线l1 ， l2的位置关系是（）A . 相交且垂直B . 相交但不垂直C . 平行D . 不确定12. （2分）函数f（x）=lgx﹣sinx在（0，+∞）的零点个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 4二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2016高一下·太康开学考) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．14. （1分） (2016高二下·海南期末) 具有线性相关的两个随机变量x，y可用线性回归模型y=bx+a+e表示，通常e是随机变量，称为随机误差，它的均值E（e）=________．15. （1分）(2020·随县模拟) 已知抛物线的焦点为，准线与轴相交于点 .若以为圆心、为半径的圆与抛物线相交于点，，则 ________.16. （2分）(2017·朝阳模拟) 已知双曲线与抛物线y2=8x有一个公共的焦点F．设这两曲线的一个交点为P，若|PF|=5，则点P的横坐标是________；该双曲线的渐近线方程为________．三、解答题 (共5题；共55分)17. （15分） (2018高一下·抚顺期末) 随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图所示.（1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高;（2）计算甲班的样本方差;（3）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm的同学,求身高为176 cm的同学被抽中的概率.18. （5分） (2017高三下·武威开学考) 如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥AD．底面ABCD为梯形，AB∥DC，AB⊥BC，PA=AB=BC=3，点E在棱PB上，且PE=2EB．（Ⅰ）求证：平面PA B⊥平面PCB；（Ⅱ）求证：PD∥平面EAC；（Ⅲ）求平面AEC和平面PBC所成锐二面角的余弦值．19. （10分） (2015高二上·城中期末) 已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．（1）若不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程；（2）从圆C外一点P（x，y）向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求点P的轨迹方程．20. （15分） (2015高二下·湖州期中) 已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，M是PB的中点．（1）证明：面PAD⊥面PCD；（2）求直线AC与PB所成角的余弦值；（3）求二面角A﹣MC﹣B的余弦值．21. （10分） (2018高二上·寿光月考) 已知函数在处取得极值为 .（1）求、的值；（2）若有极大值，求在上的最大值.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共55分)17-1、17-2、17-3、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、。
广东省东莞市2017-2018学年高二(下)期末数学(理科)答案
广东省东莞市2017-2018学年高二（下）期末数学（理科）试题参考答案1．D 【思路点拨】直接由实部为0且虚部不为0列式求解. 【解析】21(1)z a a i =-++为纯虚数，∴21010a a ⎧-=⎨+≠⎩，即1a =.故选：D .【名师指导】本题考查复数的基本概念，是基础的计算题.2．C 【思路点拨】求得函数2y x x =+的导数，由导数的几何意义，可令1x =，计算可得所求切线的斜率.【解析】解：2y x x =+的导数为21y x =+′， 可得曲线2y x x =+在点(1,2)P 处切线的斜率为2113⨯+=. 故选：C.【名师指导】本题考查导数的运用：求切线的斜率，熟练掌握导数的运算性质是解题的关键，是一道基本题.3．B 【思路点拨】随机变量ξ服从正态分布()5,9N ，得到曲线关于5x =对称，根据(2)(2)P c P c ξξ>+=<-，结合曲线的对称性列方程，从而解出常数c 的值得到结果.【解析】随机变量ξ服从正态分布()5,9N ，∴曲线关于5x =对称，(2)(2)P c P c ξξ>+=<-，2210c c ∴++-=， 5c ∴=，故选：B .【名师指导】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题.4．D 【思路点拨】利用导数的运算法则即可得出. 【解析】22()(1)21f x x x x =+=++()22f x x ∴'=+，故选：D .【名师指导】本题考查了导数的运算法则，属于基础题.5．D 【思路点拨】由x 与y 的线性回归方程中x 系数的正负可判断选项A ；把 20x =代入回归直线方程算出ˆ y 的值可判断选项B ；先根据表格中的数据求出样本中心点(),x y ，再将其代入线性回归方程，解之即可得m 的值，从而判断C ，D ． 【解析】解：由x 与y 的线性回归方程可知，0.70-<，∴变量x ，y 之间呈现负相关关系，即A 错误；当20x时，ˆ0.72010.3 3.7y=-⨯+=-，即B 错误； 由表中数据可知，68101294x +++==，6321144m my ++++==，根据样本中心点必在线性回归方程上， 有110.7910.34m+=-⨯+，解得5m =，即C 错误； 5m =，1144my +∴==， ∴ 样本中心点为()9,4，即D 正确.故选：D.【名师指导】本题考查结尾回归直线方程，线性回归直线必定数据的中心点(,)x y ，用回归直线方程可对结论进行预测，要注意预测值不是确定的结果． 6．A 【思路点拨】利用分子有理化即可比较.【解析】a ==1b ==，c ==，1>>b ac ∴>>，故选：A .【名师指导】本题考查了不等式的大小比较，属于基础题.7．C 【思路点拨】利用5(1)x -展开式的一次项与2x +的一次项相乘，展开式的二次项与2x +的常数项相乘，即可得到5(1)(2)x x -+的展开式中含2x 项的系数.【解析】5(1)x -展开式通项515(1)r r r r T C x -+=-，令52r可得3r =，令51r -=可得4r =；∴含2x 项的系数为：5543215C C -=-.故选：C .【名师指导】本题考查二项式定理的运用，考查利用展开式确定指定项的系数，解题的关键是正确写出展开式.8．A 【思路点拨】根据题意，分2步分析：先将5名插班生分为3组，有2种分组方法，①分为3、1、1的三组，②分为2、2、1的三组，由组合数公式可得其分组方法数目，由分类计数原理将其相加可得分组的情况数目，第二步，将分好的三组对应3个不同的班级，由排列数公式可得其对应方法数目,由分步计数原理计算可得选项．【解析】由题意可知，可分以下两种情况讨论，①5名插班生分成：3，1 ，1三组；②5名插班生分成：2，2，1三组，当5名插班生分成：3，1 ，1三组时，共有3135231602C C A =种方案； 当5名插班生分成：2，2，1三组时，共有22112425322290C C C C A A ⋅⋅⋅⋅=种方案； 所以，共有6090150+=种不同的安排方案. 故选：A.【名师指导】本题主要考查两个基本原理和排列组合，在对排列、组合的综合问题时，一般先组合再排列，属于中档题.9．A 【思路点拨】求导得()3(1)(1)f x x x =+-'，从而知函数()f x 的单调性，再结合(0)0f =，f （1）2=，即可得解【解析】.3()3f x x x =-，2()333(1)(1)f x x x x ∴=-=+-'，令()0f x '=，则1x =或1-(舍负)，当01x <时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1x >时，()0f x '<，()f x 单调递减.函数()f x 在[0，]m 上最大值为2，最小值为0，且(0)0f f ==，f （1）2=，13m ∴≤≤.故选：A.【名师指导】本题考查利用导数研究函数的最值问题，理解原函数的单调性与导函数的正负性之间的联系是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.10．B 【思路点拨77x ++⋯=7x x +=，然后转化为一元二次方程，解出x 的值，并排除不正确的值，即可得到结果.77x ++⋯=7x x +=，整理，得270x x --=， 解得1292x -=，或1292x =0x ，1292x +∴=， ∴129772++⋯=.故选：B .【名师指导】本题主要考查类比推理的能力，考查了转化与化归思想，一元二次方程的求解，以及类比推理能力和数学运算能力，本题属基础题.11．C 【思路点拨】利用组合数公式与古典概型公式，分别算出事件A 发生的概率P (A )和事件A ，B 同时发生的概率P (AB )，再利用条件概率公式加以计算，即可得到(|)P B A 的值.【解析】（方法一）取出两个颜色不同的球的取法共有11111112323111C C C C C C ++=种,而取出一个红球,一个黄球的取法共有11236C C =种，故所求概率为611， （方法二）因为盒子中有红球3个，黄球2个，蓝球1个，所以取出的两个球颜色不同的概率为11111111336222C C C C C C 11()C 15P A ++==， 而取出两个球的颜色不同，且一个红球、一个黄球的概率112326C C ()C 62155P AB ===， 所以2()6(|)11(5)1115P AB P B A P A ===， 故选：C.【名师指导】本题主要考查条件概率的计算，古典概型公式，关键在于准确地运用条件概率公式，属于基础题.12．A 【思路点拨】由题意可得，ln y x x =与1y kx =-在(]0,e 上恰有两个交点，即ln 1x x kx =-在(]0,e 上恰有2个解，分离参数后构造函数，结合导数及函数的性质计算即可得解.【解析】由题意可得，ln y x x =与1y kx =-在(]0,e 上恰有两个交点， 即ln 1x x kx =-在(]0,e 上恰有2个解， 所以1ln k x x=+在(]0,e 上恰有2个解， 令1()ln g x x x =+，(]0,x e ∈，则21()x g x x'-=， 当01x <<时，()0g x '<，函数单调递减，当1x e <≤时，()0g x '>，函数单调递增， 因为(1)1g =，1()1g e e=+，0x →，()g x →+∞， 故111k e<≤+. 故选：A .【名师指导】本题主要考查了由函数零点求解参数范围，考查逻辑思维能力和运算求解能力，体现了转化思想及数形结合思想的应用，属于常考题. 13．0【思路点拨】由已知结合复数的基本运算即可直接求解. 【解析】解：因为41i =，所以4414243231n n n n i i i i i i i ++++++=+++，110i i =+--=.故答案为：0.【名师指导】本题主要考查了复数的基本运算的简单应用，属于基础试题. 14．310【思路点拨】由已知确定曲线关于x ＝1对称，可知P （X ＜1）＝12，利用P （X ＞2）得P （X ＜0），可求P （0＜X ＜1）．【解析】随机变量X ～N （1，σ2），可知随机变量服从正态分布且X ＝1是图象的对称轴，可知P （X ＜1）＝12，又1(2)5P X >=可知P （X ＜0）＝15， 则P （0＜X ＜1）＝12﹣15＝310．故答案为310．【名师指导】本题考查正态分布的简单性质的应用，属于基本知识的考查．15．12【思路点拨】根据概率的性质11ni i p ==∑和分布列均值()1E X =解出a ，b ，再利用方差公式求解.【解析】由题意知：114()12a b E X a b⎧+=-⎪⎨⎪==+⎩，解得11,24a b ==， 所以222111()(01)(11)(21)424D X =⨯-+⨯-+⨯-111442=+=. 故答案为：12. 【名师指导】本题主要考查离散型随机变量的均值与方差的计算，还考查了运算求解的运算能力，属于基础题.16．3【思路点拨】令二项式中的1x =得展开式中各项系数和，根据二项式系数和公式得到二项式系数和为2n ，列出方程求解即可.【解析】1)nx的展开式20121)n n n a a x xa x a x =++++令二项式中的1x =得到展开式中的各项系数的和为4n p =，又各项二项式系数的和012nnn n n C C C C q ++++=，为2n q =，根据题意得248q p =-即44822n n -=⨯， 解得28n =或26n =- (负值舍)， 故3n =. 故答案为：3.【名师指导】本题考查了求二项展开式的系数和与二项式系数和问题，是基础题. 17．【思路点拨】（1）把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算，再由共轭复数的概念求得z ，由题意列关于m 的方程求解；（2）利用复数模的计算公式列式，求解关于m 的不等式得答案. 【解析】解：（1）由(1)z i m i +=-，得()(1)111(1)(1)22m i m i i m m z i i i i ----+===-++-， ∴1122m m z i -+=+， 由题意，117022m m -++-=，解得7m =；（2）由||1z 1， 解得：11m -.∴实数m 的取值范围[1-，1].【名师指导】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，是基础题.18．【思路点拨】（1）根据已知完善列联表，计算出2K 的值，由此判断在犯错误的概率不超过0.1的前提下不能认为观众的满意程度与所在地区有区别.（2）设抽到的观众“非常满意”的人数为X ，X 服从二项分布3~(3,)2X B ，由此能求出X 的分布列和数学期望.【解析】（1）依题意得22⨯列联表为：()22100302035151000.1 3.841653545551001K ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯， 所以在犯错误的概率不超过0.1的前提下不能认为观众的满意程度与所在地区有区别. （2）从A 地区随机抽取1人，抽到的观众“非常满意”的概率为23P =， 随机抽取3人，X 的可能取值为0，1，2，3，3~(3,)2X B ，311(0)()327P X ===，1232162(1)()()33279P X C ====，22321124(2)C ()()33279P X ====，328(3)()327P X ===，X ∴的分布列为：()323E X =⨯=. 【名师指导】本题考查了独立性检验的应用，用频率估计概率，考查概率的求法及应用，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题. 19．（1）2d y c x =+更适宜；（2）2205y x=+；（3）01x <或4x .【思路点拨】（1）根据散点图，即可判断出； （2）先建立中间量21w x=，建立y 关于w 的线性回归方程，根据最小二乘法求出系数c ，d ，问题得以解决；（3）根据预报值求出z ，再根据题意列不等式即可得求出答案. 【解析】解：（1）2dy c x=+更适宜作销量y 关于单价x 的回归方程类型； （2）设21w x=，则y c dw =+， 由最小二乘法求系数公式可得：1011021()()16.2200.81()ˆiii ii w w y y dw w ==--===-∑∑， ·20.ˆˆ6200.785c y d w =-=-⨯=，所以所求回归方程为2205y x =+； （3）设销售额为z ， 则205,(0)z xy x x x ==+>， 20525z xy x x==+，即2540x x -+，解得01x <或4x ，当单价x 范围为01x <或4x 时，该商品的销售额不小于25.【名师指导】本题主要考查了线性回归方程和散点图的问题，准确的计算是本题的关键，属于中档题.20．【思路点拨】（1）由题知，1x =与13x =-是2()3210f x ax bx '=++=的两根，再利用韦达定理即可得解；（2）原问题可转化为2()max f x c <；由（1）知，()(31)(1)f x x x +'=--，令()0f x '=，则1x =或13-，然后列表写出()'f x 和()f x 随x 在[1-，2]上的变化情况，求得最大值后，解关于c 的不等式即可. 【解析】解：（1）32()f x ax bx x c =+++，2()321f x ax bx ∴=++'，()f x 在1x =与13x =-处都取得极值，1x ∴=与13x =-是2()3210f x ax bx '=++=的两根，即12133111()33b a a ⎧-=-⎪⎪⎨⎪⨯-=⎪⎩， 解得1a =-，1b =.（2）由（1）知，32()f x x x x c =-+++，2()321(31)(1)f x x x x x =-=-+'++-，令()0f x '=，则1x =或13-，()f x '∴和()f x 随x 在[1-，2]上的变化情况如下表所示：(1)1f c ∴-=+，极大值为f （1）1c =+， ()f x ∴在[1x ∈-，2]上的最大值为1c +，对任意[1x ∈-，2]，都有2()f x c <成立，21c c ∴+<，解得c >c <. 故实数c 的取值范围为(-∞⋃，)+∞. 【名师指导】本题考查利用导数研究函数的极值和恒成立问题，将原问题转化为函数的最值问题是解题的关键，考查学生的转化思想､逻辑推理能力和运算能力，属于中档题. 21．【思路点拨】（1）求导得21()ax f x ax -'=，由题可知，f '（1）12=，解出a 的值即可； （2）不妨设12x x >，由1212()()1f x f x x x -<-可推出函数()()g x f x x =-在(0，1]上单调递减，即21()10ax g x ax--'=在(0，1]上恒成立，然后分1x =和(0,1)x ∈两类讨论，其中当(0,1)x ∈时，需要运用参变分离法和配方法来求新函数的最小值.【解析】解：（1）1()ln x f x x ax-=+，222(1)11()ax x a ax f x a x x ax ----∴=+='，定义域为(0,)+∞， 由题可知，f '（1）112a a -==，解得2a =， ()f x ∴的解析式为1()ln 2x f x x x -=+. （2）不妨设12x x >，1212()()1f x f x x x -<-等价于1212()()f x f x x x -<-，即1122()()f x x f x x -<-，令()()g x f x x =-，则()g x 在(0，1]上单调递减，21()10ax g x ax-∴=-'， 若1x =，有110a a--<，符合题意，即0a >满足条件； 若(0,1)x ∈，不等式可转化为21a x x --， 而当(0,1)x ∈时，函数2211411()24y x x x =-=----，当且仅当12x =时，等号成立， 4a ∴.综上所述，正实数a 的取值范围为(0，4].【名师指导】本题考查利用导数研究函数的切线方程､证明不等式，先采用构造法将原问题转化为函数的单调性问题，进而利用参变分离法将其转化为函数的最值问题是解题的关键，考查学生的转化与化归思想､逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.22．【思路点拨】（1）先求导，分0a ，0a <两种情况讨论，根据导数和函数的单调性的关系即可求出，（2）由（1）中结论可得单调性，即可判定零点所在区间12012x x <<<<，证得121()()0f x f x -<，再根据函数的单调性即可证明. 【解析】（1）解：2()(1)(4)x f x x ae -'=-+.①当0a 时，240x ae -+>，所以当1x >时，()0f x '<，当1x <时，()0f x '>， 即()f x 在(,1)-∞上为增函数，在(1,)+∞上为减函数；②当0a <时，由2()(1)(4)0x f x x ae -'=-+=，解得1x =或42()x ln a=--. 当42()1ln a -->时，即4a e <-，()f x 在(1，42())ln a--上为增函数，在(,1)-∞和4(2()ln a--，)+∞上为减函数； 当42()1ln a --<时，即40a e >>-，()f x 在4(2()ln a--，1)上为增函数，在(-∞，42())ln a--和(1,)+∞上为减函数； 当42()1ln a --=时，即4a e =-，()f x 在(,)-∞+∞上为减函数. 综上，当0a 时，()f x 在(,1)-∞上为增函数，在(1,)+∞上为减函数； 当4a e <-，()f x 在(1，42())ln a --上为增函数，在(,1)-∞和4(2()ln a --，)+∞上为减函数； 当40a e >>-，()f x 在4(2()ln a --，1)上为增函数，在(-∞，42())ln a --和(1,)+∞上为减函数； 当4a e=-，()f x 在(,)-∞+∞上为减函数. （2）证明：由（1）可知()f x 在(,1)-∞上为增函数，在(1,)+∞上为减函数，又f （1）0ae =>，(0)20f =-<，f （2）220a =-<，所以函数()f x 有两个不相等的零点1x ，2x ，不妨设1(0,1)x ∈，2(1,2)x ∈，12()()0f x f x ==，222222()2(1)0x f x ax e x -=--=，得222222(1)x ax e x -=-，12211()()()f x f f x x -=- 212222112(1)x a e x x -=-+- 212222222(1)1x x a e x x --=-+ 2212222221x x ax e a e x x --=-+ 221222()x x a e e x --=--， 又2(1,2)x ∈，22122x x ->-，22122x x e e -->， 所以121()()0f x f x -<，即121()()f x f x <， 又()f x 在(,1)-∞上为增函数，1(0,1)x ∈，2(1,2)x ∈，211(2x ∈，1)， 所以121x x <，即12·1x x <. 【名师指导】本题考查了导数和函数的单调性的关系，考查了转化和化归思想，分析和解决问题的能力，运算能力，属于难题.。
2017—2018学年度第一学期高二理科数学试卷含答案
2017—2018学年度第一学期期末考试高二理科数学试卷（答题时间：120分钟 满分：150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）每小题只有一个正确选项，请将正确选项填到答题卡处1.设集合{|(1)(2)0}A x x x =+-<, {|13}B x x =<<，则A B =A ．{|13}x x -<<B ．{|11}x x -<<C ．{|12}x x <<D ．{|23}x x <<2.已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线的焦点坐标为A ．(－1,0)B ．(1,0)C ．(0，－1)D ．(0,1)3．设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4．已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 为A ．12B ．8C ．6D ．45．执行如图所示的程序框图，若输入的n ＝10， 则输出的S 等于A .511B .1011C .3655D .72556．某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是A ．45B ．50C ．55D ．607.若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的表面积为 A .318 B .315C .3824+D .31624+8．已知a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，则向量a 与b 之间的夹角〈a ，b 〉为A ．30°B ．45°C ．60°D ．以上都不对9．在长为10厘米的线段AB 上任取一点G ，用AG 为半径作圆，则圆的面积介于36π平方厘米到64π平方厘米的概率是 A .925 B .1625 C .310 D .15 10．设a ＝log 2π，12log b π=，c ＝π－2，则A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞b ＞a11．在△ABC 中，若a ＝2bcosC ，则△ABC 的形状一定是 A ．直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形12．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为 A . 2 B . 3 C ．2 D ．3二、填空题（本大题共4小题,每小题5分，共20分）13．设变量x，y满足约束条件,22,2.y xx yx≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩则z＝x－3y的最小值为．14．已知命题p：∀x>0，(x＋1)e x>1，则﹁p为．15．已知甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭360户、270户、180户，若第一批经济适用房中有90套住房用于解决这三个社区中90户低收入家庭的住房问题，先采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为．16．对于下列表格x196197200203204y1367m所示的五个散点，已知求得的线性回归方程为y^＝0.8x－155.则实数m的值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．(满分10分)某种零件按质量标准分为1,2,3,4,5五个等级．现从一批该零件中随机抽取20个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下：(1)n；(2)在(1)的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零件等级恰好相同的概率．18．(满分12分)在等差数列{a n}中，a10＝30，a20＝50.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)令b n＝21(10)2na－，证明：数列{b n}为等比数列；(3)求数列{nb n}的前n项和T n.19．(满分12分)某工厂对一批产品进行了抽样检测．如图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36.(1)求样本容量及样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数； (2)已知这批产品中每个产品的利润y (单位：元)与产品净重x (单位：克)的关系式为3(9698),5(98104),4(104106).y x x x =≤<⎧⎪≤<⎨⎪≤≤⎩求这批产品平均每个的利润．20. (满分12分)已知点M (6，2)在椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)上，且椭圆的离心率为63.(1)求椭圆C 的方程；(2)若斜率为1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3，2)，求△PAB 的面积.21．(满分12分)已知三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，PA ＝AC ＝12AB ，N 为AB 上一点，AB ＝4AN ，M ，S 分别为PB ，BC 的中点．(1)证明：CM ⊥SN ；(2)求SN 与平面CMN 所成角的大小．22. (满分12分)已知椭圆C 1的方程为x24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点. (1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB→＞2(其中O 为原点)，求k 的取值范围. 2017—2018学年度第一学期期末考试高二理科数学参考答案一、选择题 DC A . 2． B3． A 【解析】∵x ≥2且y ≥2，∴x 2＋y 2≥4，∴x ≥2且y ≥2是x 2＋y 2≥4的充分条件；而x 2＋y 2≥4不一定得出x ≥2且y ≥2，4． B 【解析】由等差数列性质a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝(a 3＋a 13)＋(a 6＋a 10)＝2a 8＋2a 8＝4a 8＝32，∴a 8＝8，又d ≠0，∴m ＝8.5． A 【解析】第一次执行后，S ＝13，i ＝4＜10；第二次执行后，S ＝13＋115＝25，i ＝6＜10；第三次执行后，S ＝25＋135＝37，i ＝8＜10；第四次执行后，S ＝37＋163＝49，i ＝10；第五次执行后，S ＝49＋199＝511，i ＝12＞10，输出S ＝511.6． B 【解析】根据频率分布直方图的特点可知，低于60分的频率是(0.005＋0.01)×20＝0.3，所以该班的学生人数是150.3＝50.7. C 【解析】该正三棱柱的直观图如图所示，且底面等边三角形的高为32，正三棱柱的高为2，则底面等边三角形的边长为4，所以该正三棱柱的表面积为3×4×2+2×21×4×32=24+38.8． D 【解析】由已知a ＋b ＋c ＝0，得a ＋b ＝－c ，则(a ＋b )2＝|a |2＋|b |2＋2a·b ＝|c |2，由此可得a·b ＝32.从而cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝14.故答案为D .9． D 【解析】以AG 为半径作圆，面积介于36π平方厘米到64π平方厘米，则AG 的长度应介于6厘米到8厘米之间(如图)．∴所求概率P ＝210＝15.10． C 【解析】利用中间量比较大小．因为a ＝log 2π∈(1,2)，b ＝log 12π＜0，c ＝π－2∈(0,1)，所以a ＞c ＞b .11．C 【解析】根据余弦定理，有a ＝2bcosC ＝2b ·a2＋b2－c22ab ，化简整理得b ＝c .所以△ABC 为等腰三角形．12． B 【解析】设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)，由于直线l 过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l 的方程为：x ＝c 或x ＝－c ，代入x2a2－y2b2＝1得y 2＝b 2(c2a2－1)＝b4a2，∴y ＝±b2a ，故|AB |＝2b2a ，依题意2b2a ＝4a ， ∴b2a2＝2，∴c2－a2a2＝e 2－1＝2，∴e ＝ 3. 二、填空题 13．－8【解析】作出可行域如图所示．可知当x -3y =z 经过点A (-2,2)时，z 有最小值，此时z 的最小值为-2-3×2=－8. 14. ∃x 0>0，使得(x 0＋1)0e x ≤1. 15． 40【解析】抽样比为90360＋270＋180＝19，则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为360×19＝40. 16. 8【解析】依题意得x ＝15×(196＋197＋200＋203＋204)＝200，y ＝15×(1＋3＋6＋7＋m )＝17＋m 5，因为回归直线必经过样本点中心，所以17＋m5＝0.8×200－155，解得m ＝8.三、解答题17．解：(1)由频率分布表得0.05＋m ＋0.15＋0.35＋n ＝1，即m ＋n ＝0.45. 由抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，得n ＝220＝0.1，所以m ＝0.45－0.1＝0.35.(2)由(1)得，等级为3的零件有3个，记作x 1，x 2，x 3；等级为5的零件有2个，记作y 1，y 2.从x 1，x 2，x 3，y 1，y 2中任意抽取2个零件，所有可能的结果为(x 1，x 2)，(x 1，x 3)，(x 1，y 1)，(x 1，y 2)，(x 2，x 3)，(x 2，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 1)，(x 3，y 2)，(y 1，y 2)，共10种．记事件A 为“从零件x 1，x 2，x 3，y 1，y 2中任取2件，其等级相等”． 则A 包含的基本事件有(x 1，x 2)，(x 1，x 3)，(x 2，x 3)，(y 1，y 2)，共4种． 故所求概率为P (A )＝410＝0.4.18．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ，由a 10＝30，a 20＝50，得方程组⎩⎨⎧ a1＋9d ＝30，a1＋19d ＝50，解得⎩⎨⎧a1＝12，d ＝2.所以a n ＝12＋(n －1)·2＝2n ＋10.(2)证明：由(1)得b n ＝2n ，所以bn ＋1bn ＝2n ＋12n ＝2. 所以{b n }是首项为2，公比为2的等比数列． (3)由nb n ＝n ×2n ，得T n ＝1×2＋2×22＋…＋n ×2n ， ① 2T n ＝1×22＋2×23＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1， ②①－②得，－T n ＝2＋22＋…＋2n －n ×2n ＋1＝2n ＋1－2－n ×2n ＋1. 所以T n ＝(n －1)2n ＋1＋2.19．解： (1)产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.300.设样本容量为n . ∵样本中产品净重小于100克的个数是36，∴36n ＝0.300，∴n ＝120.∵样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.750，∴样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0.750＝90.(2)产品净重在[96,98)，[98,104)，[104,106]内的频率分别为0.050×2＝0.100，(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.750,0.075×2＝0.150，∴其相应的频数分别为120×0.1＝12,120×0.750＝90,120×0.150＝18，∴这批产品平均每个的利润为1120×(3×12＋5×90＋4×18)＝4.65(元)．20. 解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧6a2＋2b2＝1，c a ＝63，a2＝b2＋c2，解得⎩⎨⎧a2＝12，b2＝4.故椭圆C 的方程为x212＋y24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为D (x 0，y 0). 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x212＋y24＝1，消去y ，整理得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0，则x 0＝x1＋x22＝－34m ，y 0＝x 0＋m ＝14m ，即D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34m ，14m .因为AB 是等腰三角形PAB 的底边，所以PD ⊥AB ，即PD 的斜率k ＝2－m 4－3＋3m 4＝－1，解得m ＝2. 此时x 1＋x 2＝－3，x 1x 2＝0，则|AB |＝2|x 1－x 2|＝2·（x1＋x2）2－4x1x2＝32， 又点P 到直线l ：x －y ＋2＝0的距离为d ＝32， 所以△PAB 的面积为S ＝12|AB |·d ＝92.21．解：以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设PA ＝1，则P (0,0,1)，C (0,1,0)，B (2,0,0)， M (1,0，12)，N (12，0,0)，S (1，12，0)． (1)CM→＝(1，－1，12)，SN →＝(－12，－12，0)，因为CM →·SN→＝－12＋12＋0＝0， 所以CM→⊥SN →，所以CM ⊥SN . (2)易得NC→＝(－12，1,0)，设n ＝(x ，y ，z )为平面CMN 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧CM →·n ＝x －y ＋12z ＝0，NC →·n ＝－12x ＋y ＝0，得⎩⎨⎧x ＝2y z ＝－2y，取x ＝2，则y ＝1，z ＝－2，n ＝(2,1，－2)．因为|cos 〈n ，SN →〉|＝|n·SN →||n|·|SN →|＝22，所以SN 与平面CMN 所成角的大小为45°.22. 解：(1)设双曲线C 2的方程为x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)， 则a 2＝3，c 2＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1. 故C 2的方程为x23－y 2＝1. (2)将y ＝kx ＋2代入x23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得⎩⎨⎧1－3k2≠0，Δ＝（－62k ）2＋36（1－3k2）＝36（1－k2）＞0， ∴k 2≠13且k 2＜1.① 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝62k 1－3k2，x 1x 2＝－91－3k2.∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝3k2＋73k2－1.又∵OA →·OB →＞2，得x 1x 2＋y 1y 2＞2， ∴3k2＋73k2－1＞2，即－3k2＋93k2－1＞0，解得13＜k 2＜3.② 由①②得13＜k 2＜1， 故k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1.。
广东省东莞市2017-2018学年高二上学期期末数学试卷(理科)(b卷) Word版含解析
2017-2018学年广东省东莞市高二（上）期末数学试卷（理科）（B卷）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确.请用2B铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑．）1．在等差数列51、47、43，…中，第一个负数项为（）A．第13项B．第14项C．第15项D．第16项2．双曲线的渐近线方程为（）A．y=±2x B．y=±x C．y=x D．y=x3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a、b、c，a=，b=，B=60°，那么角A等于（）A．30°B．45°C．135°或45°D．135°4．“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞n B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞nC．∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）＞n0 D．∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n05．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，下列向量的数量积不为0的是（）A．B． C． D．6．在△ABC中，若acosA=bcosB，则△ABC的形状一定是（）A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰或直角三角形7．已知a，b都是实数，那么“a2＞b2”是“a＞b＞0”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8．已知椭圆的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且椭圆的离心率为，该椭圆的方程为（）A．B．C．D．9．南沙群岛自古以来都是中国领土，南沙海域有A、B两个岛礁相距100海里，从A岛礁望C岛礁和B岛礁成60°的视角，从B岛礁望C岛礁和A岛礁成75°的视角，我国兰州号军舰航在A岛礁处时候B岛礁处指挥部的命令，前往C岛礁处驱赶某国入侵军舰，则我军舰此时离C岛礁距离是（）A．100（+1）海里B．50（）海里C．50海里D．50海里10．已知数列{a n}是公比为2的等比数列，且4a1为a m，a n的等比中项，则的最小值为（）A．B．C．D．不存在11．已知{a n}是首项为9的等比数列，S n是前n项和，且=，则数列{log3a n}前9项和为（）A．54 B．﹣18 C．18 D．﹣3612．已知F1，F2为双曲线的左、右焦点，过点F2作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为M，且满足||=3||，则此双曲线的离心率是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡中相应的位置上．）13．已知数列{a n}的前n项和，则a n=．14．若x，y满足约束条件．则的最大值为．15．直线y=x﹣2与抛物线y2=8x交于A，B两点，则|AB|=．16．下列四种说法：①垂直于同一平面的所有向量一定共面；②在△ABC中，已知，则∠A=60°；③在△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC，则A=④若a＞0，b＞0，a+b=2，则a2+b2≥2；正确的序号有．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知p：x2﹣6x+5≤0，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）．（1）若m=2，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q充分不必要条件，求实数m的取值范围．18．在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且2cosA=．（1）若a2﹣c2=b2﹣mbc，求实数m的值；（2）若a=2，求△ABC面积的最大值．19．东莞某家具生产厂家根据市场调查分析，决定调整新产品生产方案，准备每周（按40个工时计算）生产书桌、书柜、电脑椅共120张，且书桌至少生产20张．已知生产这些家（以千元为单位）20．设数列{a n}的前n项和S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记数列的前n项和T n，求使得成立的n的最小值．21．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA=SB，点M是SD的中点，AN⊥SC，且交SC于点N．（1）求证：SC⊥平面AMN；（2）求二面角D﹣AC﹣M的余弦值．22．已知椭圆E：过点，离心率为，点F1，F2分别为其左、右焦点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点P，Q，且？若存在，求出该圆的方程，并求|PQ|的最大值；若不存在，请说明理由．2015-2016学年广东省东莞市高二（上）期末数学试卷（理科）（B卷）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确.请用2B铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑．）1．在等差数列51、47、43，…中，第一个负数项为（）A．第13项B．第14项C．第15项D．第16项【考点】等差数列的通项公式．【分析】根据等差数列51、47、43，…，得到等差数列的通项公式，让通项小于0得到解集，求出解集中最小的正整数解即可．【解答】解：因为数列51、47、43，…为等差数列，所以公差d=47﹣51=﹣4，首项为51，所以通项a n=51+（n﹣1）×（﹣4）=55﹣4n所以令55﹣4n＜0解得n＞，因为n为正整数，所以最小的正整数解为14，所以第一个负数项为第14项故选B2．双曲线的渐近线方程为（）A．y=±2x B．y=±x C．y=x D．y=x【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线﹣=1（a，b＞0）的渐近线方程为y=±x，求得双曲线的a，b，即可得到所求渐近线方程．【解答】解：由双曲线﹣=1（a，b＞0）的渐近线方程为：y=±x，双曲线的a=2，b=4，可得渐近线方程为y=±2x．故选：A．3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a、b、c，a=，b=，B=60°，那么角A等于（）A．30°B．45°C．135°或45°D．135°【考点】正弦定理．【分析】由已知及正弦定理可解得：sinA=，从而A=45°或135°，由a＜b从而确定A=45°．【解答】解：由正弦定理知：，∵a=，b=，∠B=60°，代入上式，∴，故可解得：sinA=，从而A=45°或135°，∵a＜b，∴A＜B，∴A=45°．故选：B．4．“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞n B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞nC．∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）＞n0 D．∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0【考点】的否定．【分析】根据全称的否定是特称即可得到结论．【解答】解：为全称，则的否定为：∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0，故选：D．5．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，下列向量的数量积不为0的是（）A．B． C． D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】建立空间直角坐标系，求出各向量的坐标，计算数量积进行验证．【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，则=（0，1，1），=（0，1，﹣1），=（0，1，0），=（1，0，0），=（﹣1，1，1），=（1，1，0），∴=0；=0；=1，=0．故选：C．6．在△ABC中，若acosA=bcosB，则△ABC的形状一定是（）A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰或直角三角形【考点】正弦定理．【分析】首先利用正弦定理求得sin2A=sin2B，进一步利用三角函数的诱导公式求出结果．【解答】解：已知：acosA=bcosB利用正弦定理：解得：sinAcosA=sinBcosBsin2A=sin2B所以：2A=2B或2A=180°﹣2B解得：A=B或A+B=90°所以：△ABC的形状一定是等腰或直角三角形故选：D7．已知a，b都是实数，那么“a2＞b2”是“a＞b＞0”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】结合不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：当a＞b＞0时，a2＞b2成立，当a=﹣3，b=﹣1时，满足a2＞b2，但a＞b＞0不成立，即“a2＞b2”是“a＞b＞0”d的必要而不充分条件，故选：B．8．已知椭圆的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且椭圆的离心率为，该椭圆的方程为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，得到椭圆的右焦点坐标，进一步得到c值，结合离心率求得a，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求．【解答】解：∵抛物线y2=4x的焦点F（1，0），∴所求椭圆的右焦点为F（1，0），则c=1，又，得．∴，则椭圆方程为：．故选：A．9．南沙群岛自古以来都是中国领土，南沙海域有A、B两个岛礁相距100海里，从A岛礁望C岛礁和B岛礁成60°的视角，从B岛礁望C岛礁和A岛礁成75°的视角，我国兰州号军舰航在A岛礁处时候B岛礁处指挥部的命令，前往C岛礁处驱赶某国入侵军舰，则我军舰此时离C岛礁距离是（）A．100（+1）海里B．50（）海里C．50海里D．50海里【考点】解三角形的实际应用．【分析】先根据∠A和∠B求出∠C，进而根据正弦定理求得AC．【解答】解：∠C=180°﹣60°﹣75°=45°根据正弦定理得，∴AC=50（+1），故选：B．10．已知数列{a n}是公比为2的等比数列，且4a1为a m，a n的等比中项，则的最小值为（）A．B．C．D．不存在【考点】等比数列的通项公式；基本不等式．【分析】数列{a n}是公比为2的等比数列，且4a1为a m，a n的等比中项，可得=a m•a n，化简可得m+n=6．再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：数列{a n}是公比为2的等比数列，且4a1为a m，a n的等比中项，∴=a m•a n=，∴16=2m+n﹣2，∴m+n=6．则=（m+n）≥≥=，当且仅当n=2m=4时取等号．故选：A．11．已知{a n}是首项为9的等比数列，S n是前n项和，且=，则数列{log3a n}前9项和为（）A．54 B．﹣18 C．18 D．﹣36【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列前n项和公式求出q=，从而得到a n=（）n﹣3，进而log3a n==3﹣n，由此能求出数列{log3a n}前9项和．【解答】解：∵{a n}是首项为9的等比数列，S n是前n项和，且=，∴=1+q3=，解得q=，∴a n==（）n﹣3，∴log3a n==3﹣n，∴数列{log3a n}前9项和S9=9×3﹣（1+2+3+4+5+6+7+8+9）=﹣18．故选：B．12．已知F1，F2为双曲线的左、右焦点，过点F2作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为M，且满足||=3||，则此双曲线的离心率是（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由点到直线的距离公式可得||=b，则||=3b，cos∠F1OM=﹣，由此利用余弦定理可得a，b的关系，进而得到a，c的关系，由离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：由F2（c，0）到渐近线y=x的距离为d==b，即有||=b，则||=3b，在△MF1O中，||=a，||=c，cos∠F1OM=﹣，由余弦定理可知=﹣，又c2=a2+b2，化简可得a2=2b2，即有c2=a2+b2=a2，即有e==．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡中相应的位置上．）13．已知数列{a n}的前n项和，则a n=4n﹣1．【考点】数列递推式．（n≥2）求得数列的通项公式．【分析】由数列的前n项和求得首项，再由a n=S n﹣S n﹣1【解答】解：由，得a1=S1=3；当n≥2时，=4n﹣1．验证n=1时，上式成立，∴a n=4n﹣1．故答案为：4n﹣1．14．若x，y满足约束条件．则的最大值为3．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．设k=，则k的几何意义为区域内的点到原点的斜率，由图象知OA的斜率最大，由，解得，即A（1，3），则k OA==3，即的最大值为3．故答案为：3．15．直线y=x﹣2与抛物线y2=8x交于A，B两点，则|AB|=16．【考点】抛物线的简单性质．【分析】直线y=x﹣2与抛物线y2=8x联立，求出A，B的坐标，即可求得|AB|．【解答】解：直线y=x﹣2与抛物线y2=8x联立，消去x可得y2﹣8y﹣16=0∴y=4±4∴x=6±4∴|AB|==16故答案为：1616．下列四种说法：①垂直于同一平面的所有向量一定共面；②在△ABC中，已知，则∠A=60°；③在△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC，则A=④若a＞0，b＞0，a+b=2，则a2+b2≥2；正确的序号有①②④．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由共面向量的定义判断①；利用正弦定理结合已知判断②；由正弦定理和余弦定理求出A值判断③错误；利用基本不等式的性质判断④．【解答】解：①垂直于同一平面的所有向量一定共面，①正确；②在△ABC中，由，得==，即tanA=tanB=tanC，则∠A=60°，②正确；③在△ABC中，由sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC，得a2=b2+c2+bc，故cosA==﹣，则A=，③错误；④若a＞0，b＞0，a+b=2，则a2+b2≥（）2=2，④正确；故答案为：①②④．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知p：x2﹣6x+5≤0，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）．（1）若m=2，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q充分不必要条件，求实数m的取值范围．【考点】复合的真假．【分析】（1）分别求解一元二次不等式化简p，q，然后利用p∧q为真，取交集求得实数x 的取值范围；（2）求解一元二次不等式化简q，结合p是q充分不必要条件，可得[1，5]⊊[1﹣m，1+m]，转化为关于m的不等式组得答案．【解答】解：（1）由x2﹣6x+5≤0，得1≤x≤5，∴p：1≤x≤5；当m=2时，q：﹣1≤x≤3．若p∧q为真，p，q同时为真．，则，即1≤x≤3；（2）由x2﹣2x+1﹣m2≤0，得q：1﹣m≤x≤1+m．∵p是q充分不必要条件，∴[1，5]⊊[1﹣m，1+m]，∴，解得m≥4．∴实数m的取值范围为m≥4．18．在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且2cosA=．（1）若a2﹣c2=b2﹣mbc，求实数m的值；（2）若a=2，求△ABC面积的最大值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）已知等式两边平方后整理可解得cosA=，而由已知及余弦定理可得=，从而解得m的值．（2）由（1）可求得sinA=，结合余弦定理可求得bc≤a2，即可由三角形面积公式求最大值．【解答】（本题满分为15分）解：（1）由2cosA=，两边平方可得：4cos2A﹣4cosA+1=0，解得：cosA=．…4分而a2﹣c2=b2﹣mbc可以变形为：=，即cosA==，所以m=1．…7分（2）由（1）知cosA=，则sinA=，又=．…9分所以bc=b2+c2﹣a2≥2bc﹣a2，即bc≤a2…12分故S△ABC=bcsinA≤•=．…15分19．东莞某家具生产厂家根据市场调查分析，决定调整新产品生产方案，准备每周（按40个工时计算）生产书桌、书柜、电脑椅共120张，且书桌至少生产20张．已知生产这些家（以千元为单位）【考点】简单线性规划．【分析】设每周生产书桌x张、书柜y张，则生产电脑椅120﹣x﹣y张，产值为z千元，由题意列出关于x，y的不等式组，再求出线性目标函数z=4x+3y+2=2x+y+240，由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：设每周生产书桌x张、书柜y张，则生产电脑椅120﹣x﹣y张，产值为z千元，则依题意得z=4x+3y+2=2x+y+240，由题意得x，y满足，即，画出可行域如图所示．解方程组，得，即M（20，60）．做出直线l0：2x+y=0，平移l0过点M（20，60）时，目标函数有最大值，z max=2×20+60+240=340（千元）．答：每周应生产书桌20张，书柜60张，电脑椅40张，才能使产值最高，最高产值是340千元．20．设数列{a n}的前n项和S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记数列的前n项和T n，求使得成立的n的最小值．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由已知S n=2a n﹣a1，有a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2a n﹣1（n＞1），即a n=2a n﹣1（n＞1）．由a1，a2+1，a3成等差数列，即a1+a3=2（a2+1）．解出即可得出．（2）利用等比数列的前n项和公式及其不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）∵S n=2a n﹣a1，∴a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2a n﹣1（n＞1），即a n=2a n﹣1（n＞1）．从而a2=2a1，a3=4a1，又∵a1，a2+1，a3成等差数列，即a1+a3=2（a2+1）．∴a1+4a1=2（2a1+1），解得a1=2．∴数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列．故．（2）由（1）得．∴．由，得，即2n＞2016．∵210=1024＜2016＜2048=211，∴n≥11．于是，使成立的n的最小值为11．21．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA=SB，点M是SD的中点，AN⊥SC，且交SC于点N．（1）求证：SC⊥平面AMN；（2）求二面角D﹣AC﹣M的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）以A为坐标原点，AD为x轴，AB为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明SC⊥平面AMN．（2）求出平面ABCD的一个法向量和平面ACM的法向量，利用向量法能求出二面角D﹣AC﹣M的余弦值．【解答】证明：（1）∵在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，∴以A为坐标原点，AD为x轴，AB为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，由SA=AB，设AB=AD=AS=1，则A（0，0，0），B（0，1，0），C（1，1，0），D（1，0，0），S（0，0，1），M（，0，），=（），=（﹣1，﹣1，1），•=﹣=0，∴，∴SC⊥⊥AM，又SC⊥AN，且AN∩AM=A，∴SC⊥平面AMN．解：（2）∵SA⊥底面ABCD，∴是平面ABCD的一个法向量，且=（0，0，1），设平面ACM的法向量为=（x，y，z），=（1，1，0），=（），则，取x=﹣1，得=（﹣1，1，1），cos＜＞===，由图形知二面角D﹣AC﹣M为锐二面角，∴二面角D﹣AC﹣M的余弦值为．22．已知椭圆E：过点，离心率为，点F1，F2分别为其左、右焦点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点P，Q，且？若存在，求出该圆的方程，并求|PQ|的最大值；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和A在椭圆上，满足椭圆方程，解方程即可得到所求椭圆的方程；（2）假设满足条件的圆存在，其方程为：x2+y2=r2（0＜r＜1）．当直线PQ的斜率存在时，设直线方程为y=kx+m，代入椭圆方程，运用韦达定理，由，可得x1x2+y1y2=0，代入化简整理，再由直线和圆相切的条件，即可得到满足条件的圆存在；运用弦长公式，化简整理，由二次函数的最值的求法，即可得到所求最大值．【解答】解：（1）由题意得：e=，a2﹣b2=c2，且+=1，解得，a=2，b=1，所以椭圆E方程为；（2）假设满足条件的圆存在，其方程为：x2+y2=r2（0＜r＜1）．当直线PQ的斜率存在时，设直线方程为y=kx+m，由得（1+4k2）x2+8mkx+4m2﹣4=0，令P（x1，y1），Q（x2，y2），可得，，∵，∴x1x2+y1y2=0∴，∴5m2=4k2+4，由直线PQ与圆相切，则，所以存在圆．当直线PQ的斜率不存在时，也适合．综上所述，存在圆心在原点的圆满足题意．由弦长公式可得：==，又，代入上式可得：，令4k2+1=t，即，则，当时，即时，，当直线l的斜率k不存在时，，所以．2016年7月31日。
广东省东莞市数学高二上学期理数期末考试试卷
广东省东莞市数学高二上学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）命题“”的否定是（）A .B .C .D .2. （2分） (2016高二下·九江期末) 已知复数z= ，则z的共轭复数 =（）A . 1﹣2016iB . 1+2016iC . 2016+ID . 2016﹣i3. （2分）已知是首项为1的等比数列，是的前n项和，且．则的前5项和为（）A . 或5B . 或5C .D .4. （2分）若点A的坐标为（3，2），F为抛物线y2=2x的焦点，点P是抛物线上的一动点，则|PA|+|PF|取得最小值时，点P的坐标是（）A . (0,0)B . (1,1)C . (2,2)D .5. （2分） (2019高二上·邵阳期中) 已知数列满足，且，那么（）A . 8B . 9C . 10D . 116. （2分）若为两个定点且，动点满足，则点的轨迹是（）A . 圆B . 椭圆C . 双曲线D . 抛物线7. （2分） (2020高二上·兰州期末) 已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图像与x轴切于(1,0)点，则函数f(x)的极值是（）A . 极大值为，极小值为0B . 极大值为0，极小值为C . 极大值为0，极小值为－D . 极大值为－，极小值为08. （2分）以下说法错误的是（）A . 直角坐标平面内直线的倾斜角的取值范围是B . 直角坐标平面内两条直线夹角的取值范围是C . 平面内两个非零向量的夹角的取值范围是D . 空间两条直线所成角的取值范围是9. （2分） (2016高二上·上杭期中) 数列{an}满足a1=3，an﹣an•an+1=1，An表示{an}前n项之积，则A2016的值为（）A . ﹣B .C . ﹣1D . 110. （2分）已知是定义域为的奇函数，,的导函数的图象如图所示，若两正数满足，则的取值范围是（）A .B .C .D .11. （2分）若四个正数a,b,c,d成等差数列，x是a和d的等差中项，y是b和c的等比中项，则x和y的大小关系是（）A . x<yB . x>yC .D .12. （2分）点P是双曲线左支上的一点，其右焦点为，若M为线段FP的中点,且M到坐标原点的距离为，则双曲线的离心率e的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二上·海口期中) 已知A(1,2,0)，B(0,1，－1)，P是x轴上的动点，当取最小值时，点P的坐标为________．14. （1分） (2018高二下·保山期末) 设，则二项式的展开式的常数项是________.15. （1分）(2017·湖北模拟) 已知椭圆 + =1（a＞b＞0）的离心率为，过椭圆上一点M作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，且斜率分别为k1 ， k2 ，若点A，B关于原点对称，则k1•k2的值为________．16. （1分） (2020高三上·泸县期末) 已知实数满足约束条件，则的最大值为________三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分） (2018高一下·衡阳期末) 已知数列的前项和满足 .（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和 .18. （10分） (2016高二上·吉安期中) 已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．（1）若 =3 ，求直线AB的斜率；（2）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．19. （5分） (2017高三上·珠海期末) 如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDEF；（Ⅱ）求证：FC∥平面EAD；（Ⅲ）求二面角A﹣FC﹣B的余弦值．20. （5分）(2018·浙江) 如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A ， B满足PA ， PB的中点均在C上．（Ⅰ）设AB中点为M ，证明：PM垂直于y轴；（Ⅱ）若P是半椭圆x2+ =1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．21. （10分）(2018·大庆模拟) 已知四棱锥的底面为正方形，上面且．为的中点．（1）求证：面；（2）求直线与平面所成角的余弦值.22. （10分） (2016高二上·吉林期中) 已知函数f（x）= x3﹣（m+3）x2+（m+6）x，x∈R．（其中m 为常数）（1）当m=4时，求函数的极值点和极值；（2）若函数y=f（x）在区间（0，+∞）上有两个极值点，求实数m的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、17-2、18-1、18-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、。
广东省东莞市高二上学期期末数学试卷(理科)
广东省东莞市高二上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知数列3，7，11，…，139与2，9，16，…，142，则它们所有公共项的个数为（）A . 4B . 5C . 6D . 72. （2分） (2016高二下·辽宁期中) 已知随机变量x服从二项分布x～B（6，），则P（x=2）=（）A .B .C .D .3. （2分） (2017高二下·中山月考) 设，则的值是（）A . 665B . 729C . 728D . 634. （2分） (2019高三上·汉中月考) 在中，角，，所对的边分别为，，，若，，则为（）A . 直角三角形B . 锐角非等边三角形C . 钝角三角形D . 等边三角形5. （2分）为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班50名学生进行了问卷调查，得到如下的2×2列联表.喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生20525女生101525合计302050则至少有（）的把握认为喜爱打篮球与性别有关.A . 95%B . 99%C . 99.5%D . 99.9%6. （2分） (2017高一下·河北期末) 已知变量x，y满足，则x2+y2的最小值为（）A .B .C . 1D .7. （2分）(2017·山东模拟) 在学生身体素质检查中，为了解山东省高中男生的身体发育状况，抽查了1000名男生的体重情况，抽查的结果表明他们的体重X（kg）服从正态分布N（u，22），正态分布密度曲线如图所示，若体重落在区间（58.5，62，5）属于正常情况，则在这1000名男生中不属于正常情况的人数是（）附：若随机变量X服从正态分布N（u，σ2），则P（u﹣σ＜X＜u+σ）=0.683，P（u﹣2σ＜X＜u+2σ）=0.954．A . 954B . 819C . 683D . 3178. （2分）已知正项等比数列满足：，若存在两项使得，则的最小值为（）A .B .C .D . 不存在9. （2分）某班选派6人参加两项志愿者活动，每项活动最多安排4人，则不同的安排方法有（）A . 50种B . 70种C . 35种D . 55种10. （2分） (2016高一上·历城期中) 已知函数f（x）= ，则f（log23）=（）A . 6B . 3C .D .11. （2分） (2017高二上·清城期末) 等比数列{an}中，a3=5，a8=2，则数列{lgan}的前10项和等于（）A . 2B . 5C . 10D . lg5012. （2分） (2018高二下·中山月考) 函数的单调递减区间是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共5分)13. （2分）一个口袋里装有大小相同的6个小球，其中红色、黄色、绿色的球各2个，现从中任意取出3个小球，其中恰有2个小球同颜色的概率是________．若取到红球得1分，取到黄球得2分，取到绿球得3分，记变量ξ为取出的三个小球得分之和，则ξ的期望为________．14. （1分） (2017高三上·会宁期末) 数列{an}的前n项和Sn=3n2﹣2n+1，则它的通项公式是________．15. （1分） (2015高二下·湖州期中) 已知函数f（x）= ，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是________．16. （1分）假设你家订了一份牛奶，送奶人在早上6：00--7：00之间随机地把牛奶送到你家，而你在早上6：30--7：30之间随机地离家上学，则你在离开家前能收到牛奶的概率是________.三、解答题 (共6题；共70分)17. （15分）(2016·江苏模拟) 设首项为1的正项数列{an}的前n项和为Sn ，且Sn+1﹣3Sn=1．（1）求证：数列{an}为等比数列；（2）数列{an}是否存在一项ak，使得ak恰好可以表示为该数列中连续r（r∈N*，r≥2）项的和？请说明理由；（3）设，试问是否存在正整数p，q（1＜p＜q）使b1，bp，bq成等差数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；若不存在，说明理由．18. （15分）在直角坐标系xOy中，若角α的始边为x轴的非负半轴，终边为射线l：y=2 x（x≥0），点P，Q分别是角α始边、终边上的动点，且PQ=4．（1）求的值；（2）求△POQ面积最大值及点P，Q的坐标；（3）求△POQ周长的取值范围．19. （10分） (2016高一下·攀枝花期中) 在△ABC中，边a、b、c分别是角A、B、C的对边，且满足bcosC=（3a﹣c）cosB．（1）求cosB；（2）若• =4，b=4 ，求边a，c的值．20. （5分） (2017高二下·和平期末) 从5名男生和4名女生中选出4人去参加座谈会，问：（Ⅰ）如果4人中男生和女生各选2人，有多少种选法？（Ⅱ）如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有多少种选法？（Ⅲ）如果4人中必须既有男生又有女生，有多少种选法？21. （10分）(2020·邵阳模拟) 某地政府为了帮助当地农民脱贫致富,开发了一种新型水果类食品,该食品生产成本为每件8元.当天生产当天销售时,销售价为每件12元,当天未卖出的则只能卖给水果罐头厂,每件只能卖5元.每天的销售量与当天的气温有关,根据市场调查,若气温不低于 ,则销售5000件;若气温位于 ,则销售3500件;若气温低于 ,则销售2000件.为制定今年8月份的生产计划,统计了前三年8月份的气温范围数据,得到下面的频数分布表:气温范围(单位: )天数414362115以气温范围位于各区间的频率代替气温范围位于该区间的概率.（1）求今年8月份这种食品一天销售量(单位:件)的分布列和数学期望值;（2）设8月份一天销售这种食品的利润为 (单位:元),当8月份这种食品一天生产量 (单位:件)为多少时,的数学期望值最大,最大值为多少22. （15分） (2017高三上·南通期末) 设数列{an}是各项均为正数的等比数列，其前n项和为Sn ，若a1a5=64，S5﹣S3=48．（1）求数列{an}的通项公式；（2）对于正整数k，m，l（k＜m＜l），求证：“m=k+1且l=k+3”是“5ak，am，al这三项经适当排序后能构成等差数列”成立的充要条件；（3）设数列{bn}满足：对任意的正整数n，都有a1bn+a2bn﹣1+a3bn﹣2+…+anb1=3•2n+1﹣4n﹣6，且集合中有且仅有3个元素，试求λ的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共70分) 17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、。
2017-2018年广东省东莞市高二第一学期数学期末试卷(理科A卷)及-解析
y=± x，
双曲线
的 a=2，b=4，
可得渐近线方程为 y=±2x．
故选：A．
3．（5 分）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a、b、c，a= ，b= ，B=60°，
那么角 A 等于（ ）
A．30°
B．45°
C．135°或 45° D．135°
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【解答】解：由正弦定理知：
，
∵a= ，b= ，∠B=60°，代入上式，
∴
，故可解得：sinA= ，从而 A=45°或 135°，
∵a＜b， ∴A＜B， ∴A=45°． 故选：B． 4．（5 分）命题“∀n∈N+，f（n）≤n 的否定形式是（ ）
A．∀n∈N+，f（n）∉N+且 f（n）＞n B．∀n∈N+，f（n）∉N+或 f（n）＞n C．∃n0∈N+，f（n0）∉N+且 f（n0）＞n0 D．∃n0∈N+，f（n0）∉N+或 f（n0）＞n0 【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀n∈N+，f（n）≤n” 的否定形式是：∃n0∈N+，f（n0）∉N+或 f（n0）＞n0 故选：D． 5．（5 分）已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1，下列向量的数量积不为 0 的是（ ）
中项，则 的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．不存在
【解答】解：∵正项等比数列{an}满足：a5﹣a4﹣2a3=0，4a1 为 am，an 的等比中 项，
∴
，且 q＞0，
解得 q=2，m+n=6，
第9页（共21页）
∴ =（ ）[
]
= ≥ （5+
2017-2018年第一学期高二理科数学期末试题答案
2017-2017学年度第一学期高二理科数学试题答案时量：120分钟 分值：150分． 命题人：徐爱田 审题人：王凯钦一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分,） 9，14 10，221〈-〉m m 或 1112，10 13，x 22y ±= 14，52 15，29三、解答题（本大题共75分.请将详细解答过程写在答题卡上）16. （本小题满分12分）设：P: 指数函数xa y =在x ∈R 内单调递减；Q ：曲线1)32(2+-+=x a x y 与x 轴交于不同的两点。
如果P 为真，Q 为假，求a 的取值范围．解：当0<a<1时，指数函数xa y = 在R 内单调递减；曲线y=x 2+(2a-3)x+1与x 轴有两个不同的交点等价于(2a-3)2-4>0， 即a<21或a>25。
…（6分） 由题意有P 正确，且Q 不正确，因此，a ∈(0,1)∩[]25,21[ 即a ∈)1,21[17（本小题满分12分）．已知点A （-2，0），B （2，0），直线AP 与直线AB 相交于点P ，它们的斜率之积为41-，求点P 的轨迹方程（化为标准方程）． 解：设点P ),(y x ，直线AP 的斜率)2(2-≠+=x x yk AP 直线BP 的斜率)2(2≠-=x x yk BP根据已知，有：)2(4122±≠-=-⋅+x x y x y化简得：)2(1422±≠=+x y x（没有写2±≠x 扣1分）18．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，且1,MD NB ==（1）求证：//CN 平面AMD ；（2）求面AMN 与面NBC 所成二面角的平面角的余弦值．解：（1）ABCD 是正方形，//,//BC AD BC ∴平面AMD ；又MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，//,//NB NB MD ∴∴平面AMD ， 所以平面//BNC 平面AMD ，故//CN 平面AMD ；（2） 以D 为坐标原点，DA ，DC ，DM 分别为x ，y ，z 轴建立图示空间直角坐标系，则：A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0). N (1,1,1), M (0,0,1),(1,0,1)AM =-,(0,1,1)AM =,(0,1,0)AB =设平面AMN 的一个法向量为(,,)n x y z =,由00AM n AN n ⎧=⎪⎨⎪=⎩得: 00x z y z ⎧-+=⎨+=⎩令z=1得: (1,1,1)n =-易知: (0,1,0)AB =是平面NBC 的一个法向量.cos ,AB n -==-NMODCBA∴面AMN 与面NBC19．（本小题满分13分）设函数3()3(0)f x x ax b a =-+≠.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2,(2))f 处与直线8y =相切，求,a b 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的极值点。
2017-2018第一学期高二期末考试理科数学试题
2017学年度第一学期高二年级期末教学质量检测理科数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、班级和考号填写在答题卷上。
2、必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
第Ⅰ卷 选择题（共50分）一、选择题:本大题共10小题,每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．“0x >”是“320x >”成立的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．非充分非必要条件D ．充要条件 2．抛物线24y x =的焦点坐标是A ．(1,0)B ．(0,1)C ．1(,0)16 D ．1(0,)163．非零实数b a ,,若b a >，则下列不等式正确的是 A 22b a > B ||||c b c a > C b a a b > D ba ab 2211> 4．不等式223x x -≤+的解集是( ) A. B.C.D.5．已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≥0，则⌝p 是A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<0D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<06．.数列1，211+，3211++，43211+++，…，n +++ 211的前2015项的和 A 20152014 B 20154028 C 20152016 D 201640307．已知椭圆2215x y m+=的离心率105e =，则m 的值为A ．3B ．5153或15 C ．5 D ．253或3 8．如图,在正方体1111ABCD A B C D -中，,,M N P 分别是111,,B B B C CD 的中点，则MN 与1D P 所成角的余弦值为 A ．105-B ．105C ．55D ． 2559．若数列}{n a 是等比数列，21a =，其前n 项和为n S ，则3S 的取值范围是A ]1,(-∞B ),1()0,(+∞-∞C ),3[+∞D ),3[]1,(+∞--∞10．如图，21F F 、是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点，O 为坐标原点，P 是椭圆上的一点，且满足||2||21OP F F =，若21125F PF F PF ∠=∠，则椭圆的离心率为A 32B 63C 22D 23 11、设x ，y 满足约束条件若目标函数z ax by =+z=ax+by(a>0，b>0)的最大值为12，则23a b+的最小值为( ) A. 256B.83C.113D.4D 1A 11B 1BCD N M P 8题图yxF 2F 1PO12、（理）已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a bx a y C 的上焦点为)0)(,0(>c c F ，M 是双曲线下支上的一点，线段MF 与圆0932222=+-+a y c y x 相切于点D ，且||3||DF MF =，则双曲线C 的渐近线方程为A ．02=±y xB ．02=±y xC ．04=±y xD ．04=±y x 6 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分13．双曲线的一个焦点是)2 , 0(2F ，离心率2=e ，则双曲线的标准方程是 ．14．已知数列}{n a 满足11-+=n n a a )1(>n ，其中5a ,8a ,10a 三项构成等比数列，则这个等比数列的公比为 .15．若直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于A 、B 两点，若线段AB 的中点的横坐标是2，则|AB |＝______.16. 把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图三角形数表（每行比上一行多一个 数）：设,i j a （i 、j ∈*N ）是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数，如4,2a ＝8．若,i j a ＝2008，则i 、j 的值分别为________ ，__________三、解答题:本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2017-2018高二上学期期末考试数学试题(理科)
2017-2018高二上学期期末考试数学试题(理科)2017-2018学年度高二上学期期末考试数学（理）试题本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
注意事项：1.考生必须在答题卡、纸的规定位置上填涂姓名、准考证号、考试科目和试卷类型。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑。
如需改动，先用橡皮擦干净，再选涂其他答案标号。
答案不能写在试题卷上。
3.第Ⅱ卷答案必须写在答题纸各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案。
不按以上要求作答的答案无效。
D。
存在两条异面直线a和b，a在面α上，b在面β上，且a//面β，b//面α。
6.圆心在直线x-y+2=0上，且与两坐标轴都相切的圆的方程为A。
x^2+y^2+2x-2y+1=0B。
x^2+y^2-2x+2y+1=0C。
x^2+y^2+2x-2y=0D。
x^2+y^2-2x-2y=07.如图，ABCD是正方体，下面结论错误。
A。
BD//平面CBB。
AC⊥BDC。
AC⊥平面CBD。
异面直线AD与CB的角为60°8.设椭圆C1的离心率为5，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为A。
(x^2/2^2) - (y^2/2^2) = 1B。
(x^2/3^2) - (y^2/2^2) = 1C。
(x^2/2^2) - (y^2/3^2) = 1D。
(x^2/3^2) - (y^2/3^2) = 19.正方体的全面积为a，它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是A。
πa^3B。
πa^2C。
2πaD。
3πa^210.已知命题p：对于所有的x∈R，sinx≤1，则命题“非p”为A。
存在x∈R，使得sinx≥1B。
对于所有的x∈R，sinx≥1C。
存在x∈R，使得sinx>1D。
2017-2018学年高二上学期期末考试数学(理)试题
数学学科（理科）高二年级
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的）
1．已知 (是虚数单位),那么的共轭复数对应的点位于复平面内的
( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
2．若，则“”的一个充分不必要条件是 ( )
A. B. C. 且 D. 或来源学_科_网Z_X_X_K]
3．若，则下列不等式中一定不成立的是（）
A. B. C. D.
4．设是等差数列的前项和，若，，则
（）
A. 2016
B. 2017
C. -2015
D. -2018
5．设点分别是双曲线的左、右焦点，过点且与轴垂直的直线l 与双曲线C交于A，B两点．若的面积为，则该双曲线的渐近线方程为
( )
A. B. C. D.
6．曲线在点处的切线方程为（）
A. B. C. D.
7．已知，若不等式恒成立，则的最大值为 ( )
A. 9
B. 12
C. 18
D. 24
8．已知数列为等比数列，若，则数列的前项之积等于（）。
2017-2018高二上学期期末理科试题答案
2017—2018学年上学期期末考试 高中二年级 理科数学 参考答案一、选择题：CBCBC CDADA BB二、填空题：13.;13 14. 6； 15.;14 16.③. 三、解答题：17.解：p 真：若方程有两个不等的负根，则解得 2.m > ……………3分q 真：方程无实根，则216(2)160m --<，解得1 3.m << …………6分因为“或”为真，“且”为假，所以,一真一假.故2,2,13,13m m m m m >≤⎧⎧⎨⎨<<≤≥⎩⎩或或解得12 3.m m <≤≥或 ……………………………………10分18.解：（1）由题意可得2362a a a =⋅，又因为11-=a ，,)21()51()1(2d d d +-=+-⋅+-∴.2=∴d ………… …………………………………………2分32-=∴n a n ；.22n n s n -= …………………………… 4分（2）),121321(21)12)(32(111---=--==+n n n n a a b n n n ………6分)]121321()3111()1111[(2121---++-+--=+++=∴n n b b b T n n ………8分.12)1211(21--=---=n n n ………………12分 19解：（1）由题意得n n n f 9.0)2.06.04.02.0(4.14)(++++++= ………3分n n n 9.02)1(2.04.14+++=.4.141.02++=n n ………6分（2）设该车的年平均费用为S 万元，则有)4.141.0(1)(12++==n n nn f n S …………8分210x mx ++=⎩⎨⎧>>-=∆.0,042m m 244(2)10x m x +-+=p q p q p q.4.3144.1214.1410=+≥++=nn ………10分 当且仅当nn 4.1410=，即12=n 时，等号成立，即S 取最小值4.3万元.……11分 答：这种汽车使用12年报废最合算，年平均费用的最小值是4.3万元.………12分 20解: （1）因为0cos )2(cos =-+⋅C a b B c ，由正弦定理得：0cos )sin 2(sin cos sin =-+⋅C A B B C ．……2分,cos sin 2cos sin cos sin C A C B B C ⋅=⋅+⋅.cos sin 2sin C A C B ⋅=+∴）（……………………4分在ABC ∆中，,0sin sin≠=+A C B ）（ .21cos =∴C …………………………………………5分又),,0(π∈C .3π∈∴C ………………………………………………6分（2）在ABC ∆中，由71cos =A ，得,734sin =A则.1435237121734)sin(sin =⨯+⨯=+=C A B ………………8分 由正弦定理得57sin sin ==B C b c ． 设x c 7=，x b 5=，在ACD ∆中，由余弦定理得： A AD AC AD AC CD cos 2222⋅-+=，则2212911125492574427x x x x =+⨯-⨯⨯⨯⨯，解得1x =，………………10分 即5,7==b c ，……11分, 故310sin 21==∆A bc S ABC ．……12分 21解：（1）∵,222BD BC CD +=∴.BD BC ⊥又∵PD ⊥底面,ABCD ∴.BC PD ⊥ …………2分 又∵D BD PD =⋂∴⊥BC 平面.PBD而⊂BC 平面,PBC ∴平面⊥PBC 平面.PBD …………4分 （2）由（1）所证，⊥BC 平面.PBD所以∠PBD 即为二面角D BC P --的平面角，即∠PBD .4π= 而32=BD ，所以.32=PD因为底面ABCD 为平行四边形，所以DB DA ⊥,分别以DA 、DB 、DP 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．……6分则)0,0,2(A ，)0,32,0(B ，)0,32,2(-C ，)32,0,0(P ,所以，)32,0,2(-=，)0,0,2(-=，)32,32,0(-=,…………8分设平面PBC 的法向量为),,(c b a =，则⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙,0,0BC n 即⎩⎨⎧=+-=-.03232,02c b a令1=b ，则0,1==a c 所以).1,1,0(= …………10分∴AP 与平面PBC所成角的正弦值为分12 (46)2432sin =⨯==θ 22.解：(1)由题意得：,222211121=>==+=+F F P F MP MF MF MF∴点M 的轨迹C 为以21,F F 为焦点的椭圆．………………………2分,22,222==c a .1,2222=-==∴c a b a∴点M 的轨迹C 的方程为1222=+y x ．……………………………………4分 (2)当直线l 的斜率存在时，可设其方程为31+=kx y ，设),,(),,(2211y x B y x A联立⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==+31,1222kx y y x 可得.01612)21(922=-++kx x k由求根公式可得：)21(916,)21(34221221k x x k k x x +-=⋅+-=+…………………………6分 zyx假设在y 轴上是否存在定点),0(m Q ，使以AB 为直径的圆恒过这个点， 则⊥即0=⋅．),,(),,(2211y m x y m x --=--=))((2121y m y m x x --+=⋅)31)(31(2121----+=kx m kx m x x9132))(31()1(221212+-++-++=m m x x m k x x k ………………8分9132)21(9)31(12)21(9)1(1622222+-++--++-=m m k m k k k .0)21(9)1569()1818(2222=+--+-=k m m k m由⎪⎩⎪⎨⎧=--=-,01569,0181822m m m 解得：.1-=m∴在y 轴上存在定点)1,0(-Q ，使以AB 为直径的圆恒过这个点.………11分当直线l 的斜率不存在时，经检验可知也满足以AB 为直径的圆恒过这个点)1,0(-Q ． 因此，在y 轴上存在定点)1,0(-Q ，使以AB 为直径的圆恒过这个点…………12分。
2018-2019学年广东省东莞市高二(上)期末数学试卷(理科)及答案解析
2018-2019学年广东省东莞市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．不等式x2+3x﹣4＞0的解集为（）A．{x|x＞1或x＜﹣4}B．{x|x＞﹣1或x＜﹣4}C．{x|﹣4＜x＜1}D．{x|x＜﹣1或x＞4}2．已知实数a，b，c满足0＜a＜b，0＜c＜1，则下列选项一定成立的是（）A．a+c＞b+c B．ac＞bc C．ac＜b D．bc＜a3．已知等差数列{a n}的公差是3，且a6+a8＝16，则a10＝（）A．16B．17C．18D．204．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝，c＝，C＝60°，则角B＝（）A．45°B．30°C．45°或135°D．30°或150°5．双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，则它的渐近线为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±2x D．y＝±x6．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的两焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），P（1，）是椭圆C上一点．则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．7．已知各项为正的等比数列{a n}，其公比为q，且对任意n∈N*有a n+2＝a n+1+2a n，则q＝（）A．B．C．2D．18．如图，在四面体O﹣ABC中，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝2GG1，若＝x+y+z，则（x，y，z）为（）A．（）B．（）C．（）D．（）9．已知x，y∈R*，xy＝2x+y，则x+y取得最小值时，x＝（）A．B．+1C．1D．﹣110．已知抛物线x2＝8y的焦点为F，点P在抛物线上，且|PF|＝6，点Q为抛物线准线与其对称轴的交点，则△PFQ的面积为（）A．B．C．D．11．设f（x）为最接近（n∈N*）的整数，如f（1）＝1，f（2）＝1，f（3）＝2，f（4）＝2，f（5）＝2，…，若正整数m满足+…+＝4034，则m＝（）A．2016×2017B．20172C．2017×2018D．2018×2019 12．如图，四边形ABCD中，CE平分∠ACD，AE＝CE＝2，DE＝，若∠ABC＝∠ACD，则四边形ABCD周长的最大值为（）A．24B．12+3C．18D．3（5+）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡中相应的位置上)13．已知向量＝（k，1，﹣1），＝（2，1，﹣2），若⊥，则实数k＝．14．实数x，y满足，则目标函数z＝2x+y的最小值是．15．已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上一点，∠F1PF2＝120°，且△F1PF2的面积为，则椭圆的短轴为．16．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的右焦点为F（3，0），且离心率为，△ABC 的三个顶点都在椭圆C上，设△ABC三条边AB、BC、AC的中点分别为D、E、M，且三条边所在直线的斜率分别为k1，k2，k3，且k1，k2，k3均不为0．O为坐标原点，若直线OD，OE，OM的斜率之和为1，则++＝．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知命题p：实数t满足t2﹣5at+4a2＜0．q：实数t满足曲线+＝1为双曲线．（1）若a＝1，且￢p为假，求实数t的取值范围；（2）若a＞0，且q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18．（12分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．（1）求角C的大小；（2）若△ABC的面积为，且+＝，求c的值．19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝1，S n+1﹣3S n＝1（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足：b n＝log3a n+1，{b n}的前n项和为T n，求++…+的值．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，直线P A与底面ABCD所成的角为45°，底面ABCD为梯形，且AB∥CD，∠ADC＝90°，PD＝AB＝CD＝2．（1）求证：平面PBC⊥平面PBD；（2）线段PC上是否存在一点E，使得二面角P﹣BD﹣E的余弦值为？如存在，求出的值，如果不存在，请说明理由．21．（12分）2018年10月23日习近平总书记在珠海出席港珠澳大桥开通仪式上宣布：历经5年规划，9年建设，总长约55公里，总投资约1100亿的港珠澳大桥正式开通，将给我国粤港澳大湾区经济腾飞带来积极影响，港珠澳大桥作为一项独特的工程奇观，为跨海放游线路增添新亮点，某旅游公司为了提高相关线路旅游门票的销量，准备举办一场促销会，据市场调查，当每张门票售价定为x元时，销售量可达到（15﹣0.1x）万张．现投资方为配合旅游公司的活动，决定进行门票价格改革，将每张门票的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：万张）成反比，并且根据调查，每张门票售价定为100元时，旅游公司获得的总利润为340万元（每张门票的销售利润＝售价﹣供货价格）（1）求出每张门票所获利润f（x）关于售价x的函数关系式，并写出定义域；（2）每张门票售价定为多少元时，每张门票所获利润最大？并求出该最大值．22．（12分）已知椭圆C1：+＝1（a＞b＞0）的左右焦点是F1，F2，且C1的离心率为，抛物线C2：y2＝2px（P＞0）的焦点为F2，过OF2的中点Q垂直于x轴的直线截C2所得的弦长为2．（1）求椭圆C1的标准方程；（2）设椭圆C1上一动点T满足：＝+2，其中A，B是椭圆C1上的点，且直线OA，OB的斜率之积为﹣，若N（λ，μ）为一动点，点P满足，试探究|NP|+|NQ|是否为定值，如果是，请求出该定值：如果不是，请说明理由．2018-2019学年广东省东莞市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．不等式x2+3x﹣4＞0的解集为（）A．{x|x＞1或x＜﹣4}B．{x|x＞﹣1或x＜﹣4}C．{x|﹣4＜x＜1}D．{x|x＜﹣1或x＞4}【分析】利用十字相乘法，将不等式进行因式分解进行求解即可．【解答】解：由x2+3x﹣4＞0得（x﹣1）（x+4）＞0得x＞1或x＜﹣4，即不等式的解集为{x|x＞1或x＜﹣4}，故选：A．【点评】本题主要考查不等式的求解，利用十字相乘法进行因式分解是解决本题的关键．2．已知实数a，b，c满足0＜a＜b，0＜c＜1，则下列选项一定成立的是（）A．a+c＞b+c B．ac＞bc C．ac＜b D．bc＜a【分析】根据不等式的基本性质可得选C【解答】解：∵0＜a＜b，0＜c＜1，∴ac＜bc＜b故选：C．【点评】本题考查了不等式的基本性质，属基础题．3．已知等差数列{a n}的公差是3，且a6+a8＝16，则a10＝（）A．16B．17C．18D．20【分析】根据等差中项的性质，得到a6+a8＝2a7＝16，从而求出a7，故可以用a7和d得到a10．【解答】解：根据题意，数列{a n}时等差数列，故a6+a8＝2a7＝16，所以a7＝8，又因为d＝3，所以a10＝a7+3d＝8+3×3＝17，故选：B．【点评】本题考查了等差数列的性质，等差中项，等差数列的通项公式，属基础题．4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝，c＝，C＝60°，则角B＝（）A．45°B．30°C．45°或135°D．30°或150°【分析】根据正弦定理可得sin B，再根据B为锐角可得．【解答】解：由正弦定理得＝，得＝，得sin B＝，又b＜c，∴B＜C，∴B＝45°，故选：A．【点评】本题考查了正弦定理，属基础题．5．双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，则它的渐近线为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±2x D．y＝±x【分析】运用离心率公式，再由双曲线的a，b，c的关系，可得a，b的关系，再由渐近线方程即可得到．【解答】解：由双曲线的离心率为，则e＝＝，即c＝a，b＝＝＝a，由双曲线的渐近线方程为y＝x，即有y＝x．故选：B．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率公式和渐近线方程的求法，属于基础题．6．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的两焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），P（1，）是椭圆C上一点．则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由题意可得：2a＝+，解得a．即可得出e＝．【解答】解：由题意可得：2a＝+＝＝4，解得a＝2．又c＝1，∴e＝＝．故选：A．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．已知各项为正的等比数列{a n}，其公比为q，且对任意n∈N*有a n+2＝a n+1+2a n，则q＝（）A．B．C．2D．1【分析】将a n+2＝a n+1+2a n，转化为a1和q的方程，解方程即可．【解答】解：数列{a n}是等比数列，故a1•q≠0，又因为对任意n∈N*有a n+2＝a n+1+2a n，即，所以q2﹣q﹣2＝0，解得q＝2或q＝﹣1（舍）．故选：C．【点评】本题考查了等比数列的通项公式和等比数列的性质，属于基础题．8．如图，在四面体O﹣ABC中，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝2GG1，若＝x+y+z，则（x，y，z）为（）A．（）B．（）C．（）D．（）【分析】利用三角形重心的性质以及向量的几何运算将用，，表示，然后根据空间向量基本定理可得．【解答】解：∵＝2＝2（﹣），∴＝＝（+）＝（+）＝+×（﹣）＝+（+）﹣＝++，即＝++，根据空间向量基本定理可得x＝y＝z＝，故选：D．【点评】本题考查了空间向量基本定理，三角形重心的性质，属中档题．9．已知x，y∈R*，xy＝2x+y，则x+y取得最小值时，x＝（）A．B．+1C．1D．﹣1【分析】由重要不等式的应用得：因为x，y∈R*，xy＝2x+y，所以＝1，则x+y＝（）（x+y）＝3+＝3，（当且仅当时取等号），又xy＝2x+y，解得x＝，得解【解答】解：因为x，y∈R*，xy＝2x+y，所以＝1，则x+y＝（）（x+y）＝3+＝3，（当且仅当时取等号），又xy＝2x+y，解得x＝，故选：B．【点评】本题考查了重要不等式的应用，属中档题10．已知抛物线x2＝8y的焦点为F，点P在抛物线上，且|PF|＝6，点Q为抛物线准线与其对称轴的交点，则△PFQ的面积为（）A．B．C．D．【分析】设点P的坐标为（x0，y0），根据抛物线的定义可求出点P的坐标，即可求出三角形的面积．【解答】解：设点P的坐标为（x0，y0），抛物线x2＝8y的焦点为F（0，2），准线方程为y＝﹣2，对称轴为y轴，∴|PF|＝y0+＝y0+2＝6，Q（0，﹣2），∴y0＝6，|FQ|＝4，∴x0＝±4∴S△PFQ＝|FQ|•|x0|＝×4×4＝8，故选：D．【点评】本题考查了抛物线的简单性质和三角形的面积，属于基础题11．设f（x）为最接近（n∈N*）的整数，如f（1）＝1，f（2）＝1，f（3）＝2，f（4）＝2，f（5）＝2，…，若正整数m满足+…+＝4034，则m＝（）A．2016×2017B．20172C．2017×2018D．2018×2019【分析】写出前几项，找出规律，即可求得m的值．【解答】解：由＝1，＝1，2个＝，＝，＝，＝，4个＝，＝，＝，＝，＝，＝，6个＝，＝，…＝，8个……＝，∴+++…+＝1×2+×4+×6+…+×2n＝4034，则＝4034，则2n＝4034，则n＝2017，∴总共有2017个，则f（）＝，故m的值为2017×2018；故选：C．【点评】本题考查函数值的求法，要求学生通过观察，分析归纳发现规律的能力，考查学生分析问题及解决问题的能力，属于中档题．12．如图，四边形ABCD中，CE平分∠ACD，AE＝CE＝2，DE＝，若∠ABC＝∠ACD，则四边形ABCD周长的最大值为（）A．24B．12+3C．18D．3（5+）【分析】设∠ABC＝∠ACD＝θ，则由题意可求∠ACE＝∠ECD＝，设CD＝x，利用角平分线的性质可求AC＝2x，在△DEC中，由余弦定理可得﹣9＝x2﹣4x•cos，在△AEC中，由余弦定理可得0＝4x2﹣8x•cos，联立解得：x＝3，可得：CD＝3，AC＝6，在△ACD中，由余弦定理可得cosθ＝，在△ABC中，由余弦定理，基本不等式可求AB+BC≤12，从而可求四边形ABCD周长的最大值．【解答】解：设∠ABC＝∠ACD＝θ，则由CE平分∠ACD，可得：∠ACE＝∠ECD＝，∵AE＝CE＝2，DE＝，设CD＝x，∴由，可得：，可得：AC＝2x，∴在△DEC中，由余弦定理DE2＝CD2+CE2﹣2CD，可得：3＝x2+12﹣2××cos，可得：﹣9＝x2﹣4x•cos，①在△AEC中，由余弦定理AE2＝AC2+CE2﹣2CE•AC•cos，可得：12＝（2x）2+12﹣2××2x×cos，可得：0＝4x2﹣8x•cos，②∴由①②联立解得：x＝3，可得：CD＝3，AC＝6，∴在△ACD中，由余弦定理可得：cosθ＝＝＝，∴在△ABC中，由余弦定理AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cosθ，可得：36＝AB2+BC2﹣2AB •BC•＝AB2+BC2﹣AB•BC≥2AB•BC﹣AB•BC＝AB•BC，当且仅当AB＝BC时等号成立，∴（AB+BC）2＝36+3AB•BC≤36+3×36＝144，解得：AB+BC≤12，当且仅当AB＝BC 时等号成立，∴四边形ABCD周长AB+BC+CD+DA＝3+3+AB+BC≤3＝3（5+），当且仅当AB＝BC时等号成立．故选：D．【点评】本题主要考查了角平分线的性质，余弦定理，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，考查了数形结合思想的应用，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡中相应的位置上)13．已知向量＝（k，1，﹣1），＝（2，1，﹣2），若⊥，则实数k＝﹣．【分析】直接利用向量垂直的充要条件的应用求出结果．【解答】解：向量＝（k，1，﹣1），＝（2，1，﹣2），若⊥，则：2k+1+2＝0，解得：k＝﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查的知识要点：向量垂直的充要条件的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．14．实数x，y满足，则目标函数z＝2x+y的最小值是1．【分析】由题意画出图形，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z＝2x+y为y＝﹣2x+z，由图可知，当直线y＝﹣2x+z过点A（0，1）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为1．故答案为：1．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．15．已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上一点，∠F1PF2＝120°，且△F1PF2的面积为，则椭圆的短轴为2．【分析】由三角形的面积可得|PF1|•|PF2|＝4．再根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|＝2a，再利用余弦定理求得b2．【解答】解：由∠F1PF2＝120°，△PF1F2的面积为，可得|PF1|•|PF2|•sin∠F1PF2＝|PF1|•|PF2|＝，∴|PF1|•|PF2|＝4．再根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|＝2a．再利用余弦定理可得4c2＝|PF1|2+|PF2|2﹣2PF1•PF2•cos120°＝（|PF1|+|PF2|）2﹣PF1•PF2＝4a2﹣4，∴b2＝1，即椭圆的短轴为2b＝2，故答案为：2．【点评】本题主要考查余弦定理，椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于基础题．16．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的右焦点为F（3，0），且离心率为，△ABC的三个顶点都在椭圆C上，设△ABC三条边AB、BC、AC的中点分别为D、E、M，且三条边所在直线的斜率分别为k1，k2，k3，且k1，k2，k3均不为0．O为坐标原点，若直线OD，OE，OM的斜率之和为1，则++＝﹣．【分析】如图所示，由题意可得：c＝3，e＝＝，b2＝a2﹣c2．联立解得：解得a＝5，b＝4.+＝1．设A（x1，y1），B（x2，y2）．D（x0，y0）．利用点差法即可得出．【解答】解：如图所示，由题意可得：c＝3，e＝＝，b2＝a2﹣c2．联立解得：解得a＝5，b＝4．∴+＝1．设A（x1，y1），B（x2，y2）．D（x0，y0）．由+＝1，+＝1．相减可得：+＝0，∴+＝0，可得：＝﹣k OD，同理可得：＝﹣k OE，＝﹣k OM．∴++＝﹣（k OD+k OE+k OM）＝﹣．故答案为：．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、中点坐标公式、点差法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知命题p：实数t满足t2﹣5at+4a2＜0．q：实数t满足曲线+＝1为双曲线．（1）若a＝1，且￢p为假，求实数t的取值范围；（2）若a＞0，且q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【分析】（1）由二次不等式的解法得：当a＝1时，因为￢p为假，即命题p为真，即实数t满足t2﹣5t+4＜0．解得1＜t＜4，故实数t的取值范围为：（1，4）（2）由充分必要条件得：当命题p为真时，得命题p：a＜t＜4a，命题q：（2﹣t）（6﹣t）＜0，即命题q：2＜t＜6，又q是p的充分不必要条件，得：，解得，得解【解答】解：（1）当a＝1时，因为￢p为假，即命题p为真，即实数t满足t2﹣5t+4＜0．解得1＜t＜4，故实数t的取值范围为：（1，4）（2）当a＞0时，当命题p为真时，得命题p：a＜t＜4a，命题q：（2﹣t）（6﹣t）＜0，即命题q：2＜t＜6，又q是p的充分不必要条件，得：，解得，故实数a的取值范围：[]【点评】本题考查了二次不等式的解法及充分必要条件，属简单题18．（12分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．（1）求角C的大小；（2）若△ABC的面积为，且+＝，求c的值．【分析】（1）根据正弦定理可得；（2）根据面积公式和余弦定理可得．【解答】解：（1）由题意知＝，根据正弦定理得＝，得sin C＝，∵C是锐角三角形的内角，∴C＝．（2）因为S△ABC＝＝ab sin C，∴ab＝4，又∵+＝＝，∴a+b＝4，由余弦定理得c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝（a+b）2﹣3ab＝48﹣12＝36，∴c＝6．【点评】本题考查了正余弦定理，属中档题．19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝1，S n+1﹣3S n＝1（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足：b n＝log3a n+1，{b n}的前n项和为T n，求++…+的值．【分析】（1）由数列的递推式，结合等比数列的定义和通项公式，可得所求通项公式；（2）求得b n＝log3a n+1＝log33n＝n，前n项和为T n＝n（n+1），＝＝2（﹣），再由裂项相消求和，化简可得所求和．【解答】解：（1）a1＝1，S n+1﹣3S n＝1（n∈N*）．可得S n﹣3S n﹣1＝1，n≥2，相减可得a n+1＝3a n，则数列{a n}为首项为1，公比为3的等比数列，可得a n＝3n﹣1；（2）b n＝log3a n+1＝log33n＝n，前n项和为T n＝n（n+1），＝＝2（﹣），可得++…+＝2（1﹣+﹣+…+﹣）＝2（1﹣）＝．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式和等比数列的定义，考查数列的裂项相消求和，化简运算能力，属于基础题．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，直线P A与底面ABCD所成的角为45°，底面ABCD为梯形，且AB∥CD，∠ADC＝90°，PD＝AB＝CD＝2．（1）求证：平面PBC⊥平面PBD；（2）线段PC上是否存在一点E，使得二面角P﹣BD﹣E的余弦值为？如存在，求出的值，如果不存在，请说明理由．【分析】（1）推导出PD⊥BC，AD＝PD＝2，过B作CD的垂线BF，推导出BD⊥BC，从而BC⊥平面PBD，进而平面PBC⊥平面PBD．（2）以D为原点，DA，DC，DP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段PC上存在一点E，使得二面角P﹣BD﹣E的余弦值为，＝1．【解答】证明：（1）∵PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC，∵PD⊥平面ABCD，直线P A与底面ABCD所成角为45°，∴∠P AD＝45°，∴AD＝PD＝2，在Rt△BAD中，BD2＝BA2+AD2＝8，过B作CD的垂线BF，则在Rt△BFC中，BC2＝BF2+CF2＝8，在△BCD中，BD2+BC2＝CD2，∴BD⊥BC，∵BD∩PD＝D，∴BC⊥平面PBD，∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBD．解：（2）∵PD⊥平面ABCD，且AD⊥DC，∴以D为原点，DA，DC，DP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则D（0，0，0），P（0，0，2），B（2，2，0），C（0，4，0），＝（2，2，﹣2），＝（2，2，0），＝（0，2，1），由（1）知平面PBD的法向量＝（﹣2，2，0），设＝（0，4λ，﹣2λ），（λ∈（0，1）），∴E（0，4λ，2﹣2λ），＝（0，4λ，2﹣2λ），＝92，2，0），令平面BDE的法向量＝（x，y，z），则，即，取z＝1，得＝（﹣，，1），∵二面角P﹣BD﹣E的余弦值为，∴|cos＜＞|＝＝＝，由λ∈（0，1），解得，此时＝1．∴线段PC上存在一点E，使得二面角P﹣BD﹣E的余弦值为，＝1．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查满足二面角的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21．（12分）2018年10月23日习近平总书记在珠海出席港珠澳大桥开通仪式上宣布：历经5年规划，9年建设，总长约55公里，总投资约1100亿的港珠澳大桥正式开通，将给我国粤港澳大湾区经济腾飞带来积极影响，港珠澳大桥作为一项独特的工程奇观，为跨海放游线路增添新亮点，某旅游公司为了提高相关线路旅游门票的销量，准备举办一场促销会，据市场调查，当每张门票售价定为x元时，销售量可达到（15﹣0.1x）万张．现投资方为配合旅游公司的活动，决定进行门票价格改革，将每张门票的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：万张）成反比，并且根据调查，每张门票售价定为100元时，旅游公司获得的总利润为340万元（每张门票的销售利润＝售价﹣供货价格）（1）求出每张门票所获利润f（x）关于售价x的函数关系式，并写出定义域；（2）每张门票售价定为多少元时，每张门票所获利润最大？并求出该最大值．【分析】（1）当每张门票售价定为100元时，销售量可达到（15﹣0.1×100）＝5万张．令每张门票的浮动价格为（k＞0）元．可得每张门票供货价格为30+元．故旅游公司获得的总利润为5×＝340，解得k．即可得出f（x）．（2）由（1）可知：f（x）＝x﹣﹣30＝﹣+120，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）当每张门票售价定为100元时，销售量可达到（15﹣0.1×100）＝5万张．令每张门票的浮动价格为（k＞0）元．则每张门票供货价格为30+元．故旅游公司获得的总利润为5×＝350﹣k＝340，解得k＝10．∴f（x）＝x﹣（30+），x＜150，x∈N．（2）由（1）可知：f（x）＝x﹣﹣30＝﹣+120≤﹣2+120＝100，当且仅当150﹣x＝10，解得x＝140时取等号，因此每张门票售价定为140元时，每张门票所获利润最大，并求出该最大值为100．【点评】本题考查了函数模型、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22．（12分）已知椭圆C1：+＝1（a＞b＞0）的左右焦点是F1，F2，且C1的离心率为，抛物线C2：y2＝2px（P＞0）的焦点为F2，过OF2的中点Q垂直于x轴的直线截C2所得的弦长为2．（1）求椭圆C1的标准方程；（2）设椭圆C1上一动点T满足：＝+2，其中A，B是椭圆C1上的点，且直线OA，OB的斜率之积为﹣，若N（λ，μ）为一动点，点P满足，试探究|NP|+|NQ|是否为定值，如果是，请求出该定值：如果不是，请说明理由．【分析】（1）利用弦长可解p的值，进而得c，再结合离心率可得a．b，得方程；（2）利用点T，A，B在椭圆上和OA，OB斜率之积为﹣可得λ，μ的关系式，恰为新的椭圆方程，并求得P，Q为其焦点，由椭圆定义得出定值．【解答】解：（1）∵抛物线C2：y2＝2px（P＞0）的焦点为F2（，0），∴Q（），∵过Q垂直于x轴的直线截C2所得的弦长为2，∴，得p＝，∴，又，∴a＝2，b＝1，∴椭圆C1的方程为：；（2）设T（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），则由，得x＝λx1+2μx2，y＝λy1+2μy2，∵点T，A，B在椭圆C1上，∴x2+4y2＝4，，，∴x2+4y2＝（λx1+2μx2）2＝+4λμ（x1x2+4y1y2）＝4，由直线OA，OB的斜率之积为﹣可得，，即x1x2+4y1y2＝0，∴λ2+4μ2＝1，故N（λ，μ）在椭圆上，由Q，，可得P（﹣），∴P，Q为椭圆的左右焦点，由椭圆定义可知|NP|+|NQ|＝2为定值．【点评】此题考查了椭圆，抛物线方程，直线与椭圆的综合，难度较大．。
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广东省东莞市2017-2018学年度第一学期高二理科数学期末考试（解析版）一：选择题.1.命题“，“的否定是A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】根据特称命题的否定方法，根据已知中的原命题，写出其否定形式，可得答案．【详解】解：命题“，“的否定是为，，故选：D．【点睛】本题考查的知识点是全称命题，命题的否定，熟练掌握全称命题和特称命题的否定方法是解答的关键．2.在中，若，，，则A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A【解析】【分析】由已知，利用余弦定理可得关于BC的方程，解方程可得BC的值．【详解】解：，，，由余弦定理可得：，可得：，可得：，解得：或舍去．故选：A．【点睛】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．3.下列结论成立的是A. 若，则B. 若，则C. 若，，则D. 若，，则【答案】D【解析】【分析】对赋值来排除。
【详解】当，时，A结论不成立。
当时，B结论不成立。
当时，C结论不成立。
故选：D【点睛】本题主要利用赋值法来排除，也可以利用不等式的性质来判断。
4.等差数列中，，，则的值为A. 10B. 9C. 8D. 7【答案】B【解析】等差数列中，故答案选5.若椭圆的离心率为，则双曲线的渐近线方程为A. B.C. D.【答案】C【解析】，不妨设，则，对应双曲线的渐近线方程为：，选C6.如果实数满足条件，那么的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：当直线过点(0，-1)时，最大，故选B7.若正实数a，b满足，则下列说法正确的是A. ab有最小值B. 有最小值C. 有最小值4D. 有最小值【答案】C【解析】【分析】根据a，b都是正数，以及即可得出，从而判断选项A错误，根据基本不等式即可排除选项B，D，从而只能选C．【详解】解：，，且；；；有最大值，选项A错误；，，即有最大值，B项错误.，有最小值4，C正确；,的最小值是，不是，D错误．故选：C．【点睛】考查基本不等式的应用，以及不等式的性质．8.等比数列的前n项和为，已知，且与的等差中项为，则A. 29B. 31C. 33D. 36【答案】B【解析】【分析】设等比数列的公比为q，运用等差数列中项性质和等比数列的通项公式，可得首项和公比的方程，解方程可得首项和公比，再由等比数列的求和公式，计算可得所求值．【详解】解：等比数列的公比设为q，前n项和为，，且与的等差中项为，可得，，解得，，则．故选：B．【点睛】本题考查等差数列中项性质和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．9.已知三棱锥，点M，N分别为边AB，OC的中点，P是MN上的点，满足，设，，，则等于A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据所给的图形，在图形中看出要求的向量如何得到，再利用向量的加减法法则，得到结果．【详解】解：，，故选：D．【点睛】本题考查空间向量的加减法，本题解题的关键是在已知图形中应用已知棱去表示要求的结果，本题是一个基础题．10.如图在一个的二面角的棱上有两个点A、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，且，，则CD的长为A. 2B.C.D. 1【答案】A【解析】∵= + + ，∴=+ ++2⋅+2⋅+2⋅,∵⊥,⊥，∴⋅=0,⋅=0，⋅=||||cos120∘=−×1×2=−1.∴=1+1+4−2×1=4，∴||=2，故选：A.11.如图所示，为了测量A，B两处岛屿间的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西、北偏东方向，再往正东方向行驶20海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西方向，则A，B两处岛屿间的距离为A. 海里B. 海里C. 海里D. 20海里【答案】B【解析】【分析】分别在和中利用正弦定理计算AD，BD，再在中利用余弦定理计算AB的值．【详解】解：连接AB，如图所示；由题意可知，，，，，，，在中，由正弦定理得，，在中，，，；在中，由余弦定理得海里．故选：B．【点睛】本题考查了解三角形的应用问题，合理选择三角形，利用正余弦定理计算是解题的关键，是中档题．12.已知双曲线E：上的四点A，B，C，D满足，若直线AD的斜率与直线AB的斜率之积为2，则双曲线C的离心率为A. B. C. D.【答案】A【解析】很明显，A，B，C，D四点组成平行四边形ABDC，如图所示，设，则：，点A在双曲线上，则：，据此可得：，结合可得双曲线的离心率为.本题选择A选项.点睛：求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接建立e的关系式求e或e的范围；另一种是建立a，b，c的齐次关系式，将b用a，e表示，令两边同除以a或a2化为e的关系式，进而求解．二：填空题.13.已知向量1，，，且，则实数x的值为______【答案】4【解析】【分析】利用向量垂直的性质直接求解．【详解】解：向量，，且，，解得．实数x的值为4．故答案为：4．【点睛】本题考查向量的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．14.已知命题p：，，若命题p为假命题，则实数a的取值范围是___．【答案】【解析】【分析】根据已知中“，”为假命题，可以得到否定命题:“，”为真命题，则问题可转化为一个函数恒成立问题，对二次项系数a分类讨论后，综合讨论结果，即可得到答案．【详解】解：“，”为假命题，其否定“，”为真命题，当时，显然成立；当时，恒成立可化为：解得综上实数a的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查的知识点是命题真假判断与应用，其中根据原命题与其否定命题之间真假性相反，写出原命题的否定命题，并将问题转化为一个函数恒成立问题是解答本题的关键．15.已知抛物线的焦点为F，过点F的直线1交抛物线于A，B两点，若，则线段AB的中点到x轴的距离为___.【答案】【解析】【分析】根据抛物线方程可求得准线方程，根据抛物线的定义和梯形中位线定理，可得出答案．【详解】解：如图，F为焦点，AB中点为E,抛物线准线的方程：，分别过A、E、B做的垂线并交于点L,M,N.根据梯形的中位线定理，|EM|=,又根据抛物线性质，,,,.故答案为：．【点睛】本题主要考查了抛物线的应用灵活利用了抛物线的定义，考查分析问题解决问题的能力．16.如图，四边形ABCD中，，，，，，则线段AC长度的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】在中，根据条件求出的取值范围，然后根据正弦定理可求得AC取值范围．【详解】解：在中，，，又，，且,，即,由正弦定理，,,,故答案为：．【点睛】本题考查了正弦定理、三角形边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三：解答题。
17.设命题p：实数x满足，其中；命题q：．若，且为真，求实数x的取值范围；若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围．【答案】(1) (2)【解析】【分析】解二次不等式，其中解得，解得：，取再求交集即可；写出命题所对应的集合，命题p：，命题q：，由是的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件，则，列不等式组可求解．【详解】解：(1)由，其中；解得，又，即，由得：，又为真，则，得：，故实数x的取值范围为；由得：命题p：，命题q：，由是的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件，则，所以，即．故实数m取值范围为：.【点睛】本题考查了二次不等式的解法，复合命题的真假，命题与集合的关系，属于简单题．18.已知正项数列是公差为2的等差数列，且是与的等比中项．求数列的通项公式．若，求数列的前n项和．【答案】(1)(2)．【解析】【分析】正项数列是公差d为2的等差数列，由等差数列的通项公式和等比数列中项性质，可得首项和公差的方程组，解方程即可得到所求通项公式；求得，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和．【详解】解：正项数列是公差d为2的等差数列，可得，又是与的等比中项，即有，即，解得，可得，故数列的通项公式为；，即，前n项和，，相减可得，化简可得．【点睛】本题考查等差数列的通项公式和等比数列中项性质，考查数列的错位相减法求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．19.某家具公司制作木质的椅子和书桌两种家具，需要木工和漆工两道工序，已知木工平均6个小时做一把椅子，10个小时做一张书桌，该公司每月木工最多有6000个工作时；漆工平均4个小时漆一把椅子，2个小时漆一张书桌，该公司每月漆工最多有2600个工作时又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是15元和20元，根据以上条件，怎样安排每月的生产，才能获得最大的利润？【答案】每月制作500把椅子、300张书桌.【解析】【分析】先设每天生产桌子x张，椅子y张，利润总额为P千元，根据题意抽象出x，y满足的条件，建立约束条件，作出可行域，再根据目标函数，利用截距模型，平移直线找到最优解，即可．【详解】解：依题意，设每月生产x把椅子，y张书桌，利润为z元那么，目标函数为，x，y满足限制条件即作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图阴影部分作直线l：，平移直线l，当直线通过B点时，目标函数取得最大值由，得所以点B的坐标为，此时，，所以该公司每月制作500把椅子、300张书桌可获得最大利润13500元.【点睛】本题主要考查用线性规划解决实际问题中的最值问题，基本思路是抽象约束条件，作出可行域，利用目标函数的类型，找到最优解.属于中档题．20.已知数列的前n项和．若三角形的三边长分别为，，，求此三角形的面积；探究数列中是否存在相邻的三项，同时满足以下两个条件：此三项可作为三角形三边的长；此三项构成的三角形最大角是最小角的2倍若存在，找出这样的三项，若不存在，说明理由．【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】数列的前n项和求出，，遂得出三角形三边边长，利用余弦定理求解三角形的面积假设数列存在相邻的三项满足条件，因为，设三角形三边长分别是n，，，，三个角分别是，，，利用正弦定理，余弦定理，验证此三角形的最大角是最小角的2倍,然后推出结果．【详解】解：数列的前n项和．当时，，当时，，又时，，所以，不妨设三边长为，，，所以所以假设数列存在相邻的三项满足条件，因为，设三角形三边长分别是n，，，，三个角分别是，，由正弦定理：，所以由余弦定理：，即化简得：，所以：或舍去当时，三角形的三边长分别是4，5，6，可以验证此三角形的最大角是最小角的2倍．所以数列中存在相邻的三项4，5，6，满足条件.【点睛】本题考查数列与三角函数的综合应用，考查转化思想以及计算能力．21.在图所示的五面体中，面ABCD为直角梯形，，平面平面ABCD，，，是边长为2的正三角形．证明：平面ACF；若点P在线段EF上，且二面角的余弦值为，求的值．【答案】（1）详见解析；（2）．【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面ACF．求出平面BCF的一个法向量和平面PBC的一个法向量，利用向量法能求出结果．【详解】解：连结BE、AC、AF，取AD的中点O，连结OE，依题意知，平面平面ABCD，又平面ADE，平面平面，平面ABCD，以O为原点，OA为x轴，OE为z轴，过O作AB的平行线为y轴，建立空间直角坐标系，则0，，1，，2，，0，，4，，，2，，4，，，，，，又，平面ACF．由知1，，3，，设平面BCF的一个法向量y，，则，取，得2，，设，，，4，，则，，1，，，设平面PBC的一个法向量y，，则，取，得2，，二面角的余弦值为，，解得或舍，．【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查满足二面角的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题．22.已知中心在原点的椭圆C的一个顶点为，焦点在x轴上，右焦点到直线的距离为．求椭圆的标准方程；若直线l：交椭圆C于M，N两点，设点N关于x轴的对称点为点与点M不重合，且直线与x轴的交于点P，求的面积的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】由题意可知，椭圆是焦点在x轴上的椭圆，并求得b，再由点到直线的距离公式求得c，由隐含条件求得a，则椭圆方程可求；联立直线方程与椭圆方程，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系求得M，N的纵坐标的和与积，再求出P的坐标，写出三角形面积公式，利用基本不等式求最值．【详解】解：依题意可设椭圆方程为，．设右焦点，由题设条件：，解得，．故所求椭圆方程为：；设，，联立，得．，，由题设知，，直线的方程为．令，得．点P坐标为．．当且仅当，即时等号成立．【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属于中档题．。