综合题练习

V
15 2
p1
0
解出
V
15 8
V1
可见吸热过程存在于气体体积由V1膨胀到
时．
V2
15 8 V1
3
所吸收热量为
Q1
d Q V2 ( 4 p1 V
V1
V1
15 2
p1) dV
49 32
p1V1
该循环对外作功为
A
1 2
(
p1
2 p1 )(2V1
V1 )
RT
ln
2V1 V1
3 2
p1V1
2 p1V1
解：根据热力学第一定律：
Q E A
ab为等温过程，
E 0
p
pa
a T
b
c
故吸热
O Va
Qab
Aab
RTa
ln
Vb Va
RTa ln 3
paVa ln 3
ca为绝热过程，故有
Vc 1Tc Va 1Ta
得
Tc
Ta
(Va Vc
) 1
Vb V
5
式中 所以
Cp i 2 7
CV i 5
Vc Vb 3Va
p
p1 V1
V
3
p1
对直线AB段中的任一微过程：
2
d
A
pdV
( p1 V V1
3 p1) dV
d
E
CV
dT
3 2
RdT
3 d( pV ) 2
3 2
(Vdp
pdV )
dE
3 2
(
2 p1 V1
V
3 p1 ) dV
dQ
d
E
d
A
(
4 p1 V1
V
15 2
p1 ) dV
当dQ > 0时吸热，这时
4 p1 V1
= 3.2×104 J
8
4. 1 mol氮气（视为刚性双原子分子的理想气体）遵守状态变化方程 pV2 = 常量， 现由初态p1 = 10 atm，V1 = 10 L，膨胀至末态V2 = 40 L．求： (1) 氮气对外所做的功．
解：已知 p1 = 10 atm = 1.013×106 Pa， V1 = 10 L= 10-2 m3， V2 = 40 L = 4×10-2 m3．
p
Tc
Ta
(
1 3
)
Leabharlann Baidu7 5
1
0.644Ta
pa
a
T b
bc为等体过程，Tc < Tb，A = 0，故为放热过程．
放热
Qbc Eb Ec CV (Tb Tc )
c O Va Vb V
CV (Ta Tc ) CVTa (1 0.644)
循环效率为
5 2
RTa
0.356
0.890 paVa
其效率
d A 1 T2
dQ
T
令c表示水的比热容，m表示水的质量，
d A (1 T2 ) d Q mc(1 T2 ) dT
T
T
7
由此可得最大功的值为
A
T2
m
c(1
T2
)
d
T
T1
T
mc[(T1
T2 ) T2 ln(T1 /T2 )]
= 4.2×103[(373－300)－300ln(373/300)] J
1 Qbc 1 0.890 19.0%
Qab
ln 3
6
3.什么热机工作于质量为1 kg温度为 100℃的水和27℃的恒温热源之间可获得最大 的功？求此最大功的值．
解：所有工作于相同高温热源与相同低源热源之间的热机，以可逆卡诺热机的 效率为最大，因而可获得最大功.
设卡诺热机工作于温度为T和T2的两热源之间 T1 = 100℃ = 373 K，T2 = 27℃ = 300 K，T1≥T≥T2
∵
p1V12 p2V22
∴
p2 p1(V1 /V2 )2 6.33×104 Pa．
V2
A
V1
pdV
V2
V1
p1V12 V2
dV
p1V12
1 ( V1
1) V2
p1V1
p2V2
= 7.6×103 J
9
(2) 氮气内能的增量．
解：
E2
E1
1 2
iRT2
1 2
iRT1
1 2
i(
p2V2
p1V1 )
ln
487.5 300
R
ln
1.097 1.013
105 105
＝9.42（J/K）
O2气熵变
Δ
SB
7 2
R
ln
487.5 600
R
ln
1.097 1.013
105 105
＝-6.70（J/K）
系统熵变
S＝ SA+ SB＝ 9.42 -6.70＝2.72（J/K）>0
= -1.90×104 J
(3) 氮气熵的增量．
解： dS dQ dE dA CV dT pdV
T
T
T
因为是理想气体，
pV vRT
d S CV dT R dV
T
V
S2 S1
T2 T1
CV dT
T
V2 V1
R dV V
10
ΔS
CV
ln T2 T1
R ln V2 V1
S
CV
ln
p2 p1
C
p
ln
V2 V1
i R ln p2 ( i R R) ln V2
2
p1 2
V1
2.5R ln p2 3.5R ln V2
p1
V1
1.5R ln(V2 /V1) 17.3 J/K．
11
5. 如图示，在刚性绝热容器中有一可无摩擦移动且不漏气的导热隔板，将容器分为 A，B两部分，A，B各有1mol的He气和O2气。已知初态He和O2的温度分别为 TA=300K,TB=600K,压强 pA=pB=1.013 105Pa。试求： （1）整个系统到达平衡时的温度T、压强p；
VA
RTA p0
VB
RTB p0
VA/
VB/
2
RT p
可得
RTA RTB 2 RT
p0
p0
p
p
2T TA TB
p0
1.097 105 ( Pa)
（2）He气O2气各自熵的变化。
ΔS
CV
ln T2 T1
R ln V2 V1
ΔS
C
p
ln
T T0
R ln
p p0
13
He气熵变
Δ SA
5 2
R
ln
2
循环效率为
A净
3 2
p1V1
2 p1V1 ln 2
7.43%
Q1
(49 / 32) p1V1
4
2. 气缸内有一定量的氧气(看成刚性分子理想气体)，作如图所示的循环过程，其中 ab为等温过程，bc为等体过程，ca为绝热过程．已知a点的状态参量(pa,Va,Ta)，b点 的体积Vb = 3Va．求该循环的效率．
四、综合题练习
1
1. 1 mol单原子分子理想气体作如图所示的循环过程，其中AB为直线，BCA 是等温线，求该循环的效率．
解：直线AB过程中温度并非单调变化的，因而该过 程中既有吸热又有放热．
为计算吸收的热量Q1， 写出直线AB段的过程方程L:
p
2p1
A
p1
C B
O V1 2V1 V
上式化简为
p 2 p1 p1 2 p1 V V1 2V1 V1
解：因为系统不作功, 且总内能不变
A
由热力学第一定律
He
CVA(T-TA)+ CVB(T-TB)=0
T
CvA TA CvB TB
3 2
RTA
5 2
RTB
=487.5(K)
CvA CvB
3 2
R
5 2
R
初态的体积VA+VB，末态体积V/A+V/B，则有
VA+VB＝V/A+V/B
B O2
12
由状态方程 (p0=pA=pB=1.013 105Pa)