格林定理镜像法
数学物理方法 12 格林函数法
（14.2.4）
(r r0 ) 代表三维空间变量的 函数，在直角坐标系中其形式为
(r r0 ) ( x x0 ) ( y y0 ) ( z z0 )
（14.2.4）式中 函数前取负号是为了以后构建格林函数方便 格林函数的物理意义【2】：在物体内部（T 内） r0 处放置一个单位点电荷，而该物体的界面保持电位为零, 那么 该点电荷在物体内产生的电势分布，就是定解问题(14.2.4)的 解――格林函数．由此可以进一步理解通常人们为什么称格林 函数为点源函数．
（14.3.8）
上式正是我们所熟知的静电场的电位表达式
二、二维轴对称情形
用单位长的圆柱体来代替球．积分在单位长的圆柱体内进行，即
G(r ,0)dV (r )dV
T T
因为
(r )dV 1
T
G(r ,0)dV G(r,0)dV
令积分常数为0，得到
G(r ,0)
1 1 G(r ,0) ln c 2π r
1 1 ln 2π r
因此二维轴对称情形的格林函数为
G(r , r0 ) 1 1 ln 2π | r r0 |
（14.3.9）
将（14.3.9）代入式（14.3.1）得到二维无界区域的解为
u (r ) 1 1 f (r0 )ln dS0 S0 2π | r r0 |
点场的影响的总和．两项积分中的格林函数相同．这说明 泊松方程的格林函数是点源在一定的边界条件下所产生的 场． 对于拉普拉斯方程 第一边值问题的解为 第三边值问题的解为
f (r0 ) 0
u (r ) (r0 )
G (r , r0 ) ]dS0 n 0
高等电磁场理论-格林函数
3. 除此之外，标量格林函数的一个重要的性质是对源 点和场点的偶对称性，即
G r',r Gr,r'
设有标量格林函数 G r',r1 和 G r',r2 ，它们是不同源点 r1 和 r2 在场点 r' 所产生的标量场，在同一体积 V
内，它们必满足以下方程
（5-2）
在直角坐标系中
r r' x x' y y' z z'
(5-3a)
在圆柱坐标系中
r
r'
1
'
'
'
z
z'
在圆球坐标系中
r
r'
r'2
1
sin
'
r
r'
'
'
(5-3b) (5-3c)
三维 函数 r r' 可以展开为傅里叶积分
r r'
1
2 3
e jk•
合边界 S 上所满足的边界条件，
p r 为已知函数，当 0, 0 时边界上的标量场已知，为第一类边界条件，
对应的问题称为第一类边值问题；
当 0, 0 时边界上的标量场法向导数已知，为第二类边界条件，对应的问题
称为第二类边值问题；
当 0, 0 时通常是在一部分边界上标量场已知而在其余的边界上标量场的法
本征函数归一化，即使本征函数满足
n
r
* m
r dV
mn
V
式中 mn 是克罗内克尔 函数。
mn
1, 0
mn mn
（5-31）
求出本征值与本征函数后，可将标量格林函数用本征函数 n (r) 展开， 即
第9讲 镜像法
P
r
a
d'
R' q' d
R
q
——导体球镜像电荷
第9讲 镜像法
三、导体球面的镜像
1、点电荷位于接地导体球面外
接地导体球边界静电问题 球外的电位函数为
P
r
a
d'
R' q' d
R
q
a q 1 2 2 4π r d 2rd cos d r 2 (a 2 d )2 2r (a 2 d ) cos
镜像法五无限大介质分界平面的镜像1点电荷与无限大电介质分界平面的镜像介质1的镜像电荷镜像法五无限大介质分界平面的镜像1点电荷与无限大电介质分界平面的镜像点电荷对电介质平面分界面的镜像电荷对位于无限大平表面介质分界面附近且平行于分界面的无限长线电荷单位长度带其镜像电荷为镜像法五无限大介质分界平面的镜像2线电流与无限大磁介质分界平面的镜像线电流与磁介质分界平面磁介质1的镜像线电流空间中的磁场由线电流和磁化电流共同产生
点电荷在导体面上的感应电荷电量与镜像电荷电量相等。
第9讲 镜像法
二、平面导体界面的镜像
1、点电荷对无限大接地导体平面的镜像
思考
• 无限大导体平板不接地，有何影响？ • 有限大接地导体平板问题，可否用镜像法求解？
q q
h
h
第9讲 镜像法
二、平面导体界面的镜像
2、无限长线电荷对无限大接地导体平面的镜像
q′
非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以
用等效电荷产生的电位替代。
第9讲 镜像法 问题的提出 几个实例：
接地导体球附近点电荷产生的电位
等效电荷
q′
q
用等效电荷代替非 均匀感应电荷
静电场求解的三种方法研究
静电场是静止的电荷所产生的场， 它具有以下特点：
ʉ 0） = 0 , ∇∙D =ρ ； （3） 不考虑永久磁体 （M 基本方程： ∇ˑE 2 - E 1) = 0 ， 2 - D 1) = σ ； （4） 边值关系： n n (D ˑ (E ∙ 2 - E 1) = 对于均匀介质而言， 介质分界面上的束缚电荷用： n (E ∙ σP + σf ， ε0
3.1.1 基本原理
导体板上所带电荷决定的[2]。而这些问题的特点是： 空间中没有自由电荷分布， 而自由电荷只出现在一 些导体的表面上， 因此， 如果选择这些导体表面作为区域 V 的边界， 则在 V 内部自由电荷密度 ρ = 0 ， 因 而泊松方程 ∇2 ϕ = ∇2 ϕ = 0 ρ 化简为比较简单的拉普拉斯方程[3]： ε
郭福强 张保花 王俊珺 静电场求解的三种方法研究
107
（1） 均匀各向同性线性介质[1]： （2） 静电平衡时的导体：
= σE = 0 导体内部： J = D =P ; ρP = ρ = 0 ； σʂ0⇒E
外部表面： E = E n = σ , E t = 0 电荷分布在表面上， 电场处处垂直于导体表面。 ε 3 3.1 求解静电场问题的三种方法 分离变量法 在许多实际问题中， 静电场是有带电导体决定的。例如， 电容器内部的电场是由作为电极的两个
分离变量法的优点
分离变量法的优点是求解静电场时适用于考虑求解区域内没有自由电荷分布的区域， 只有在界面
形状比较简单的几何曲面时， 这类问题的解才能以解析解形式给出， 而且视不同区域的对称性和边界 条件情况而定[4]； 分离变量法求解静电场解题步骤思路比较清晰， 学生在学习的过程中容易掌握； 在利 用边值关系和边界条件求解待定系数时， 边界条件不多， 学生很容易结合以上条件求解出特解。 4 4.1 镜像法 基本原理 在一些特殊情形下， 如区域内只有一个或几个点电荷， 区域边界是导体或介质界面， 这类问题通常 采用镜像法求解。在求解过程中提前设想存在某一个假想的点电荷来代替导体或介质表面的感应电 荷或极化电荷， 注意在这种替换下不能改变空间中的电荷分布， 关键是在于能否满足边界条件。 4.2 基本步骤 （1） :判断是否符合镜像法求解的条件； （2） :是否存在假想的电荷， 初步估计它所在的位置；
镜像电源求格林函数
静电源像法求解格林函数摘要利用静电源象法求出不同区域的格林函数,是求解这些区域上的拉普拉斯方程与泊松方程边界间题的关键。
同时,静电源象法也是物理专业学生在电动力学等专业课的学习中应熟练掌握的一个有用工具。
针对这个间题文章归纳出利用静电源像法求格林函数的一般基本思路。
关键词格林函数；静电源像法；狄利克雷边值静电源像法理论依据静电源像法求区域的格林函数归结为求函数g（,),也就是求感应电荷产生的点位。
当区域的边界具有特殊的对称性时，就可以用类似于反射波的方法求的格林函数。
在区域外也有一个点电荷，他对自由空间的电场产生一个电位，这两个点电荷所产生的电位在边界上恰好抵消，这个点电荷在内的电位就等于感应电荷产生的电位。
现在利用静电源法求秋的格林函数，K是以O为圆心，R为半径的球面。
在点放置一单位电荷，在半射线上截线段使=，（1.1）其中,,称点为关于球面K的反演点。
设P是球面K 上的任意给定一点，考察三角形,他们在点O有公共角，而夹此角的二相应边按（1.1）式是成比例的，因此这两三角形是相似的。
有相似性得到，对球面K上任意点P必有。
在点处有一个点电荷，根据上式，它所产生的电位恰好与处单位电荷所产生的电位抵消，必须是在处的点电的电量为-,因此,这样一来，以K为球面的球上的格林函数就是：, (1.2) 现在用（1.2）求方程满足边界条件（1.3）的狄利克雷问题的解。
应用，其中=,是和OM的夹角，利用（1.1）式，根据（1.2）式就得到格林函数：, 易知在球面K上，-=因此，得到在球上的狄利克雷问题的接的表达式为，（1.4）球坐标形式如下其中（）是点的坐标，是球面K上P的坐标，。
静电源像法求解半空间的狄利克雷问题要求一个半空间z>0上的调和函数，它在平面z=0上取函数f(x,y):.点的对称点是。
由此，有如下的格林函数：对于半空间z>0来讲，平面z=0的法线方向是与z轴相反的方向，即。
此外，对于半空间的情形，只要对调和函数()加上在无穷远处的条件：（），再由公式，可得到半空间上的调和方程的狄利克雷问题的解的表达式为：=静电源像法应用举例无限大导体平面前的点电荷用镜像法解题，设在无限大接地导体平面（z=0）附近有一点电荷Q与平面距离为z=h导体平面是等位面。
求解分层介质结构空域格林函数的固定实镜像法(1)
=
e 2jε ikz i
- j k z ( d i - h)
i
1
- j kz | z |
i
+
k z iB h + k i A h kρ
- j k z ( d i - h)
i
2
e
2
e
2
e
j kz z
i
+
k z i Ch - k i D h kρ
( d + h) i
2
e
2
e
2
e - j kzi z
h)
( 10 )
( 10 ) 两个递推关系式即可得到位于第 i 层内的源在第 j 层内产生的场 。 根据 ( 9) 、
2 固定实镜像法求闭式空域格林函数
空域格林函数是谱域格林函数的 Hankel 变换
G
A , qe
=
1 π 4
∫d k k H
S IP
ρρ 0
( 2)
( kρ ρ ) GA , qe ( kρ)
( 3) ( 4) ( 5) ( 6) ( 7)
=e =e =e
- j k z ( d i - h)
i
R TM , TE e
- j kz h
i
i, i +1
- j k z ( d i - h)
i
- R TM , TEe
- j k z ( 2 d i - h)
i i
i,i - 1
- j k z ( d i + h)
i
TM , TE
Ce h De h
- j kz h
i
R TE , TM e
i,i - 1
第二章 格林定理 镜像法
S
( )dS n n
2 / / 2
/
/ ( )dS n n
/
V
( )d
S
right
i
Si
i / / i ( i i )dS n n i / i 1 / ( )dS i ( ) dS ( i qi/ i / qi ) Si n n i
2.10.2 球面镜像法
例4-2 如图4-3(a)所示，一个半径为a的接地导体球，一点电
荷q位于距球心d处，求球外任一点的电位。
图4-3 球面镜像 (a) 球面镜像原问题；(b) 等效问题
解：我们先试探用一个镜像电荷q′等效球面上的感应面电荷 在球外产生的电位和电场。从对称性考虑，镜像电荷q′应置
2.9.2 格林互易定理
互易定理是描述不同场及其场源成对称关系的公式，格林定理是不同 函数间成对称关系的互易定理的数学表述。两个定理的区别在于：格林定 理不含具体的物理意义，而互易定理可以看为格林定理的一个直接推论和 应用
它是描述在带电体系中，空间各处的电荷分布与在其它各电荷分布 处所产生的电位间存在互易关系。 现测得各带电导体的电位为 i 体电荷元处的电位为
q q' q' ' ,
q q'
2
q"
1
2 1 q' q 2 1
21 q' ' q 2 1
和
H1 H 2
在有界区域内满足给定源的场方程、初始条件 及不同边界条件的场解是唯一的
2.10
2.10.1 平面镜像法
镜像法
一、电象法的概念和适用条件1.求解泊松方程的难度一般静电问题可以通过求解泊松方程或拉普拉斯方程得到电场。
但是，在许多情况下非常困难。
例如，对于介质中、导体外存在点电荷的情况虽然可以采用叠加法求解，但是求解比较困难。
求解的困难主要是介质分界面或导体表面上的电荷一般非均匀分布的，造成电场缺乏对称性。
2. 以唯一性定理为依据在唯一性定理保证下，采用试探解，只要保证解满足泊松方程及边界条件即是正确解。
特别是对于只有几个自由点电荷时，可以将导体面上感应电荷分布等效地看作一个或几个点电荷来给出尝试解。
3.电象法概念、适用情况电象法：用假想点电荷来等效地代替导体边界面上的面电荷分布，然后用空间点电荷和等效点电荷迭加给出空间电势分布适用情况：a)所求区域有少许几个点电荷，它产生的感应电荷一般可以用假想点电荷代替。
b)导体边界面形状比较规则，具有一定对称性。
c) 给定边界条件注意：a）做替代时，所研究空间的泊松方程不能被改变（即自由点电荷位置、Q 大小不能变）。
所以假想电荷必须放在所求区域之外。
b）不能改变原有边界条件（实际是通过边界条件来确定假想电荷的大小和位置）。
c）一旦用了假想（等效）电荷，不再考虑原来的电荷分布。
d）坐标系选择仍然根据边界形状来定。
4.格林等效层定理（1）等势面包围的体积V内的电荷在V外产生的电势与在此等势面上置一导体面，并将V内电荷都搬到导体上所产生的电势完全一样。
（2）相反，带电导体所产生的电势也可以用导体面内一定等效电荷分布来代替，只要它产生与导体表面完全重合的等势面。
四、应用举例1.接地无限大平面导体板附近有一点电荷，求空间电势。
从物理问题的对称性和边界条件考虑，假想电荷应在左半空间 z 轴上。
φ=解：根据唯一性定理左半空间右半空间，Q 在（0，0，a ）点， 电势满足泊松方程。
边界上00z φ==Q '设电量为 a '，位置为（0，0，）14Q Q φπε'=+zφ='==由边界条件确定Q'a'φ和、唯一解是因为象电荷在左半空间，所以舍去正号解,Q Q a a''=-=±4Qφπε=讨论：（a）导体面上感应电荷分布02223/22()zQaz x y aφσεπ=∂=-=-∂++223/222()Qa rdrQ dS Q Qr aπσπ∞'''==-=-=+⎰⎰（b）电荷Q 产生的电场的电力线全部终止在导体面上它与无导体时，两个等量异号电荷产生的电场在右半空间完全相同。
镜像法及其应用
镜像法在静电场中，如果在所考虑的区域内没有自由电荷分布时，可用拉普拉斯方程求解场分布；如果在所考虑的区域内有自由电荷分布时，可用泊松方程求解场分布。
如果在所考虑的区域内只有一个或者几个点电荷，区域边界是导体或介质界面时，一般情况下，直接求解这类问题比较困难，通常可采用一种特殊方法—镜象法来求解这类问题。
镜像法是直接建立在唯一性定理基础上的一种求解静电场问题的方法。
适用于解决导体或介质边界前存在点源或线源的一些特殊问题。
镜像法的特点是不直接求解电位函数所满足的泊松或拉普拉斯方程，而是在所求区域外用简单的镜像电荷代替边界面上的感应电荷或极化电荷。
根据唯一性定理，如果引入镜像电荷后，原求解区域所满足的泊松或拉普拉斯方程和边界条件不变，该问题的解就是原问题的解。
下面我们举例说明。
1导体平面的镜像例.1 在无限大的接地导电平面上方h 处有一个点电荷q ，如图3.2.1所示，求导电平板上方空间的电位分布。
解 建立直角坐标系。
此电场问题的待求场区为0z >；场区的源是电量为q 位于(0,0,)P h 点的点电荷，边界为xy 面，由于导电面延伸到无限远，其边界条件为xy 面上电位为零。
导电平板上场区的电位是由点电荷以及导电平面上的感应电荷产生的，但感应电荷是未知的，因此，无法直接利用感应电荷进行计算。
现在考虑另一种情况，空间中有两个点电荷q 和q -，分别位于(0,0,)P h 和点(0,0,)P h '-，使得xy 面的电位为零，如图3.2.2。
这种情况，对于0z >的空间区域，电荷分布与边界条件都与前一种情况相同，根据唯一性定理，这两种情况0z >区域的电位是相同的。
也就是说，可以通过后一种情况中的两个点电荷来计算前种问题的待求场。
对比这两种情况，对0z >区域的场来说，后一种情况位于(0,0,)P h '-点的点电荷与前一种情况导电面上的感应电荷是等效的。
由于这个等效的点电荷与待求场区的点电荷相对于边界面是镜像对称的，所以这个等效的点电荷称为镜像电荷，这种通过场区之内的电荷与其在待求场区域之外的镜像电荷来进行计算电场的方法称为镜像法。
格林函数
(到
u 从公式(8)中设法消去n .
为此，需要引入格林 (6)
(8)
u 由于 给定的，而 n 在边界 上的值就不知道， u 狄利克雷问题的解是惟一的，因此 n 在边界 上
比如，对于狄利克雷问题， 在 上的值是已 u
的值就不能再任意给定了。
10
4.2 格林函数
对于在区域 中为调和函数，在 上具 有一阶连续偏导数的函数 u, 我们有等式
同理，在以 上，也有
M 1为心， 任意 r (r R) 为半径的球面
u(M ) u(M 1 ).
因此，在整个球 K R 中恒有
u(M ) u(M 1 ).
5
性质2
u(M 0 )
1 4a 2
udS.
a
(13)
性质3 (极值原理) 现在证明对于 中的所有点都成立 u u(M1 ). 任取一点 N , 在区域 中作连接 M 1 , N 两点的 折线 l , 记折线 l 到区域 边界 的最小距离为 d . 由于点 N 的任意性，就得到 整个区域 上满足
(6)
1 u(M 0 ) 4
1 u(M ) n rMM 0
1 u ( M ) dS. rMM n 0
(8) (15)
v 1 u ( M 0 ) u n 4rMM 0
(8)
此积分表达式表示函数 u 在区域 内部的数值
u 可以用函数 u 及其法向导数 n 在边界 上的数值
表示出来。 但狄利克雷问题或诺依曼问题的解 还不能直接由(8)式求出。
电动力学镜像法
1 1 W dV Q a 2 2
a
Q 40a
W
Q
2
80a
因为球内电场为零， 故只须对球外积分
2 2
方法之二: 按电场分布
1 W E DdV 2
W
0
2
4 r
2 0
Q
2 2
Q 1 Q r drd . dr 8 r 8 a
M
M
1 R 2 / M 2 1 1 R 2 / M 2 1 lim ln 2 2 2 2 1 R / M 1 1 R / M 1 M 4 0 0 0
2 R0 R ln 2 ln 4 0 R 2 0 R0
W （ 4） 1 dV 中的是由电荷分布 2
激发的电势；
（5）在静电场中，电场决定于电荷分布，在场内没有独立的运动， 因而场的能量就由电荷分布所决定； （6）若全空间充满了介电常数为ε的均匀介质，可以得到电荷分布ρ所 1 ( x ) ( x) 激发的电场总能量
W
式中r为
由于 d dx dy dz dl x y z
因此，电场强度E等于电势
的负梯度
E
当已知电场强度时，可以求出电势；反过来，已 知电势φ时，通过求梯度就可以求得电场强度。
下面来计算给定电荷分布所激发的电势
点电荷Q激发的电场强度
4 0 r 3 Q Q r为源点到场点的距离。 dr 2 把此式沿径向由场点到 ( P) r 4 0 r 4 0 r
一、静电场的标势 二、静电势的微分方程和边值关系 三．静电场的能量
一、静电场的标势
在静止情况下，电场与磁场无关， 麦氏方程组的电场部分为
数学物理方法第十章_格林函数法讲解
=
1 2π
(x
y0 x0 )2
y02
1 π
(x
y0 x0 )2
y02
1 π
(x
y0 x0 )2
y02
代入到拉普拉斯第一边值问题解的公式，拉普拉斯方程的自由 项 ,则由 f 0
u(r0
)
T
G(r,
r0 )
f
(r)dV
(r)
G(r, n
r0
) ]dS
得
因为
T (r)dV 1
T G(r,0)dV T G(r,0)dV S G(r,0) dS
由于
G
G r
er
,G
只是垂直于轴，且向外的分量，所以上式在
圆柱体上、下底的面积分为零，只剩下沿侧面的积分，即
G r
rddz
T
(r)dV
2π
1 S0 f (r0 ) ln | r r0 | dS0
10.4 用电像法确定格林函数
用格林函数法求解的主要困难还在于如何确定格林函数本身 一个具体的定解问题，需要寻找一个合适的格林函数 为了求解的方便，对一些具体问题我们给出构建格林函数的方法
一、电像法定义 考虑一个具体的物理模型：设在一接地导体球内的 M 0 点
故有
S
G r
r2
sin d d
T
G(r , 0)dV
1
使上式恒成立，有 4πr2 G(r,0) 1 r
G(r,0) 1 c 4πr
r ，G 0 因此 c 0 ,故得到
对于三维无界球对称情形的格林函数可以选取为
高中物理复习提升-镜像法的总结
关于镜像法的总结一、理论依据唯一性定理：它指出了静态场边值问题具有唯一解的条件，在边界面S 上的任一点只需给定ϕ或nϕ∂∂的值，而不能同时给定两者的值。
镜像法的求解思想是：所有研究的区域边界是有规则的导体或介质界面、区域内只有一个或几个点电荷或线电荷时，设法不改变所求区域的电荷分布、在区域的边界外一定位置放置一个或几个镜像电荷来代替导体边界上感应电荷或介质边界上的极化电荷对外的作用。
这样，便把求解泊松方程及边界条件的解的问题，转化为求解几个点电荷及镜像电荷在空间产生场的问题。
二、镜像电荷法求导体球壳电场镜像电荷法是指在待求电场区域之外, 用假想电荷来等效原边界面上的感应电荷或极化电荷的作用, 只要保证求解空间内的全部边值条件得到满足,所得到的解就是唯一正确的解. 运用镜像电荷法求解静电场边值问题的关键根据唯一性定理找出电势满足的全部定解条件, 并由这些边值条件来决定像电荷的量值和位置. 对于平面导体附近有点电荷、球面导体附近有点电荷, 求出空间各点的电势及电场强度问题, 可以采用镜像电荷法来处理, 能够省去一些复杂的数学运算, 使问题巧妙地得到解决.比如, 接地空心导体球的内外半径分别为R1 和R2 , 在球内离球心为a( a< R 1 ) 处置一点电荷Q, 求球腔内的电势。
如图1 所示, 由于接地导体球壳的静电屏蔽作用, 可以得知R \R1的区域电势为零, 依据镜像电荷法规则, 假想点电荷Qc 应代替球壳面上感应电荷对空间电场的作用, 且满足球壳上电势U= 0 的边值条件. 由对称性可知, 假想点电荷Qc 必在OQ 连线上.设P 为球壳内表面上任一点, 由边界条件得'0'Q Q r r +=，式中r 为Q 到P 的距离, r’为Q’到P 的距离, 则''r Q r Q==常数 (1) 从图中可以看出, 只要选Qc 在合适的位置就可使'OQ P OPQ ∆∆, 则1'R r r a==常数 (2) 图1 设b 为Q’到球心的距离, 由两三角形相似条件可得R1 / a= b/ R, 即像电荷Q’的位置为21R b a= (3)由( 1) 和( 2) 式可求出像电荷Qc 的大小为1'R Q Q a=-(4) 则球腔内任一点P 的电势为11222200/11()()4'42cos 2cos QR QR a Q Qr r a R a Ra R b Rb ϕπεπεθθ=-=-+-+- (5)根据电势与电场强度的关系式E ϕ=-∇, 就可以求出电场强度.通过上面的分析运算可以看出, 采用镜像电荷法不仅解题思路清晰, 而且比分离变量法简单且更容易掌握。
运用等值复数镜像法求解复合分层土壤结构的格林函数
运用等值复数镜像法求解复合分层土壤结构的格林函数复合土壤结构是指由多个不同层位的土层构成的复杂土壤结构，在地下工程中常见，如在基础工程中，我们常常需要了解土层的应力分布和变形情况，这时就需要用到格林函数的求解方法。
本文将介绍如何运用等值复数镜像法求解复合分层土壤结构的格林函数。
1.等值复数镜像法等值复数镜像法又称平面弹性理论中的电位函数法或静电学理论，常用于解决地下结构中的弹性问题，例如基础、地下隧道、地下管道、均质土壤等。
该方法基本思路是将弹性均质介质地下结构和地表上的一些物理量（如荷载、位移等）作为电场中的电荷或电位点进行等效模拟，并借助静电力与静电位之间的类比关系完成问题的求解。
2.复合分层土壤结构考虑到实际工程应用中较为复杂的土壤结构，我们以复合分层土壤结构为例进行分析。
复合分层土壤结构可看成由两个不同层位的土层相互组合而成的复杂土壤结构，这两个层位的土层具有不同的单轴抗压强度、剪力强度和弹性模量等物理特性。
3.格林函数的求解我们求解格林函数先需要利用弹性理论与等效电场模拟思想将地下结构建立为静电电路模型，并求出关键节点的电位。
然后再运用欧姆定律、基尔霍夫电路定理与等效电容等原理来完成格林函数的求解。
具体求解过程中，首先通过等效电场理论将复杂结构转化为简单的模型，例如将复合分层土壤结构等效为水平地下结构和垂直边界结构相互叠加的问题，然后在单位荷载作用下求解地表或界面上的弹性应力、位移等物理量，最后得到格林函数。
4.结论当土层结构较为复杂时，传统解析方法会陷入复杂的计算与处理，不易得出准确结果。
使用等值复数镜像法可以将弹性力学问题转化为电场问题，借鉴电路求解的方法，能够有效简化问题的计算和求解过程。
在实际工程中，运用等值复数镜像法求解复合分层土壤结构的格林函数，有助于准确把握土层荷载、位移等物理量分布情况，提高基础工程的设计和施工水平。
镜像法(课堂PPT)
第3章 静电场及其边值问题的解法
1
d1
q d2
2
电位函数
q (1111) 4π R R1 R2 R3
q1
d1
d2 R1
d1 q R d2
d2 R3 q3 d1
R2 d2
d1
q2
镜像电荷q1=－q，位于(－d1, d2 )
镜像电荷q2=－q，位于( d1, －d2 ) 镜像电荷q3 = q , 位于(－d1, －d2 )
q q 0 4 R0
得 q q
于 是 4 q R 1 ， R 1 4 q x 2 y 2 1 ( z h ) 2x 2 y 2 1 ( z h ) 2
可见，引入镜像电荷 q q 后保证了边界条件不变；镜像点电荷位于z<0的空间，未改变所 求空间的电荷分布，因而在z>0的空间，电位仍然满足原有的方程。由惟一性定理知结果正确。
5. 确定镜像电荷的两条原则 镜像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中；
镜像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场 区域 的边界条件来确定；
.
13
电磁场
第3章 静电场及其边值问题的解法
二、 接地导体平面的镜像
1. 点电荷对无限大接地导体平面的镜像 2. 线电荷对无限大接地导体平面的镜像 3. 点电荷对半无限大接地导体角域 (导体劈) 的镜像
域边界以外虚设的较简单的等效电荷来等效替代场域边界上
未知的较为复杂的电荷分布的作用，且保持原有边界上边界 条件不变，则根据惟一性定理，待求场域空间电场可由原来
的电荷和所有等效电荷产生的电场叠加得到。
从而将原含该边界的非均匀媒质空间变换成无限大单一均匀 媒质的空间，使分析计算过程得以明显简化；
§252 格林函数法
§2.5 格林函数法2Method of Green Function一、分离变量法和镜像法能解的情况1、分离变量法能解的情况：自由电荷全聚集在边界上，也就是说：在要求解电场区域没有自由电荷上也就是说：在要求解电场区域没有自由电荷(泊松方程转变为拉普拉斯方程)+边界条件。
2、镜像法能解的情况：在求解区域内没有自由电荷，几个并界介或者只有有限几个点电荷，并且区域边界或介质边界条件。
界面规则(电场能用等效电荷代替)+G 能用二、Green 函数法能解的情况Green 定理求解静电边值问题的情况:V V x r 给定区域内电荷分布，和区域的边界面S 上各点的电势或电势法向导数。
s ϕ)(ρSn ∂∂ϕ第一类边值问题,:给定S 上的电势, 也称狄利克莱边值问题;s ϕ∂第二类边值问题:给定S 上的，也称诺埃曼S n ∂ϕ边值问题。
下面将讨论这些边值问题是怎样借助于有关点电荷的较简单的边值问题而得到解决的。
三、点电荷密度的函数表示因为点电荷分布的特点是在点电荷所在处的电荷δ密度变为无穷大，而在其他地方电荷密度为零。
若在x ′r 处有一点电荷Q ，则电荷密度可写为(1) 0)()(⎨⎧=′∞≠′=′−=x x x x x x Q x r r r r r r r δρ显然⎩r r r ∫∫=′−=V VQ d x x Q d x τδτρ)()(Q=对于单位点电荷而言，Q 1，其密度为(2))()(x x x ′−=r r r δρ四、Green 函数一个处在点上的单位点电荷，它所激发的电势x ′r 方程为(3))(102x x ′−−=∇r r δεϕ假设有一包含点的某空间区域V ，在V 的边界S 上x ′r ϕ有如下边界条件10 (4)ϕϕ∂==−或者0S S n S ε∂则把满足边界条件（4）式的（3）式的解称为泊松方程在区域V 的第一类或第二类边值问题的Green 函数。
Green 函数一般用表示，表示单位电荷34x ′r ),(x x G ′r r x r 所在的位置，代表观察点，在（）式和（）式中，把换成G ，即Green 函数所满足的方程和边界条件ϕ为)(1)(2⎪⎧′−−=′⋅∇x x x x G δr r r r (5) 1)( ,0)(0⎪⎪⎨−=′⋅∂=′⋅x x G x x G εr r r r 或G 0⎪⎩∂S n S S ε五、Green 公式和边值问题的解在这里，将用Green 公式把一般Poisson 方程的边值问题的解用Green 函数联系起来。
格林函数法求解场的问题
格林函数法求解稳定场问题1 格林函数法求解稳定场问题(Green ’s Function) Green ’s Function, 又名源函数，或影响函数，是数学物理中的一个重要概念。
从物理上看，一个数学物理方程表示一种特定的场和产生这种场的源之间关系：Heat Eq.：()2222 ,ua u f r t t∂-∇=∂ 表示温度场u 与热源(),f r t 之间关系 Poission ’s Eq.： ()20u f r ρε∇=-=-表示静电场u 与电荷分布()f r 之间的关系场可以由一个连续的体分布源、面分布源或线分布源产生，也可以由一个点源产生。
但是，最重要的是连续分布源所产生的场，可以由无限多个电源在同样空间所产生的场线性叠加得到。
例如，在有限体内连续分布电荷在无界区域中产生的电势：()''04r dV r rρφπεΩ=-⎰这就是把连续分布电荷体产生的电势用点电荷产生的电势叠加表示。
或者说，知道了一个点源的场，就可以通过叠加的方法算出任意源的场。
所以，研究点源及其所产生场之间的关系十分重要。
这里就引入Green ’s Functions 的概念。
Green ’s Functions ：代表一个点源所产生的场。
普遍而准确地说，格林函数是一个点源在一定的边界条件和初始条件下所产生的场。
所以，我们需要在特定的边值问题中来讨论 Green ’s Functions.下面，我们先给出Green ’s Functions 的意义，再介绍如何在几个典型区域求出格林函数，并证明格林函数的对称性，最后用格林函数法求解泊松方程的边值问题。
实际上，只限于讨论泊松方程的第一类边值问题所对应的 Green ’s Functions 。
2 泊松方程的格林函数静电场中常遇到的泊松方程的边值问题：()()()()()201 f s u r r u r u r r nρεαβϕ⎧∇=-⎪⎪⎨∂⎡⎤⎪+=⎢⎥⎪∂⎣⎦⎩ 这里讨论的是静电场()u r ， ()f r ρ代表自由电荷密度。
电磁学格林定理
电磁学格林定理电磁学格林定理是电磁学中的一个基本定理，是研究电场和磁场分布规律的重要工具。
它有两种形式：面积分形式和体积分形式。
以下将针对这两种形式进行分步骤的阐述。
一、面积分形式面积分形式的电磁学格林定理也称为高斯定理，它表明了电场通量与电荷密度之间的关系。
具体步骤如下：1.将电场和磁场的散度转化为面积分$$\int_{\partial V}\vec{E}\cdot\vec{dS}=\frac{1}{\varepsilon_0}\int_V\rho(\vec{r})dV$$$$\int_{\partial V}\vec{B}\cdot\vec{dS}= 0$$其中，$\partial V$表示V的边界2.对面积分进行变形$$\int_{V}\vec{\nabla}\cdot\vec{E}dV=\frac{1}{\varepsilo n_0}\int_V\rho(\vec{r})dV$$$$\int_{V}\vec{\nabla}\cdot\vec{B}dV=0$$由于$\vec{\nabla}\cdot\vec{E}=\frac{\rho(\vec{r})}{\varepsilon_0} $，因此第一式可以进一步简化为下式：$$\oint_{\partialV}\vec{E}\cdot\vec{dS}=Q_{encl}/\varepsilon_0$$其中，$Q_{encl}$表示被边界面$\partial V$所包围的电荷量。
二、体积分形式体积分形式的电磁学格林定理也称为斯托克斯定理，它将电场的环量与磁场的旋度联系起来，反映了电场和磁场之间的相互作用。
具体步骤如下：1.将电场和磁场的旋度转化为体积分$$\int_V(\vec{\nabla}\times\vec{E})\cdot\vec{dS}=\oint_{\partial V}\vec{E}\cdot\vec{dl}=-\frac{d\Phi_B}{dt}$$$$\int_V(\vec{\nabla}\times\vec{B})\cdot\vec{dS}=\oint_{\part ial V}\vec{B}\cdot\vec{dl}=\mu_0 I_{encirc}$$(其中，$I_{encirc}$表示被边界$\partial V$所包围的电流的代数和，$\mu_0$为真空磁导率)2.对体积分进行变形$$\int_V(\vec{\nabla}\times\vec{E})\cdot\vec{dS}=-\frac{d}{dt}\int_V\vec{B}\cdot\vec{dS}$$$$\int_V(\vec{\nabla}\times\vec{B})\cdot\vec{dS}=\mu_0\int_S\ vec{J}\cdot\vec{dS}+\mu_0\epsilon_0\frac{d}{dt}\int_V\vec{E}\ cdot\vec{dS}$$其中，$\vec{J}$表示电流密度，$S$为以$\partial V$为底面的柱体。
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2.10.1 唯一性定理
8
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?
2? 1
?
?
? (r ) ?
?
2?
2
?
?
? (r ) ?
? ? 在V的边界S上 1 和 2 满足同样的边界条件， 即:
? 1 |S ? f (r )
? 2 |S ? f (r )
9
令φ =φ1-φ2，则在V内，▽2φ=0，在边界面 S上，φ|S=0。在格 林第一恒等式中，令Ψ=φ，则:
r ur
r uur
n ? E |边界 ? 0 n ? H |边界 ? 0
???V
(
1 2
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2
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1 2
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?
0
式中的被积函数总为正值，要使上式成立，必有
E?0
H ? 0和
E1 ? E2
H1 ? H2
在有界区域内满足给定源的场方程、初始条件
13
及不同边界条件的场解是唯一的
2.10 镜像法
V
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V
这是格林互易定理的普遍形式
证明：
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现令： ? ? ?
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V
证毕
（1）当整个空间除导体外，没有其它体电荷密度分布
它是描述在带电体系中，空间各处的电荷分布与在其它各电荷分布 处所产生的电位间存在互易关系。
? ? 现测得各带电导体的电位为
体电荷元处的电位为
i
当各导体的电荷变为 ，
q
/ i
体电荷密度变为 ? /
? ? 相应的电位变为
/ i
和
/
，则有
3
n
n
? ??? ? ??? q
i?
/ i
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i?1
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r? ? [ x2 ? y2 ? ( z ? h)2 ]1/ 2 , r? ? [ x2 ? y2 ? (z ? h)2 ]1/2
Ex
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n
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i
i?1
i?1
6
（2）若整个空间除体电荷密度分布外，没有其它诸导体
??V?? / ?d? ? ??V?? ? /d?
7
2.10 唯一性定理 镜像法
在电磁场问题中，往往需要求解有限区域中给定边界条件下 的电磁场问题。
如果只考察空间某—有限区域的电磁场，而区域内、外常存在不同 场源，显然仅仅知道区域内的场源并不足以能完全确定有限区域内的电 磁场，还必须知道区域外场源的影响，而外域场源的影响可以通过用边 界面上的等效场来取代，故内域场由其内部场源和边界场值唯一确定。
S?
??
?n
??
??
?n
??dS ?
格林定理可用于解的唯一性证明和求解泊松方程的积分
解，在电磁场理论中是很重要的定理之一
2
2.9.2 格林互易定理
互易定理是描述不同场及其场源成对称关系的公式，格林定理是不同 函数间成对称关系的互易定理的数学表述。两个定理的区别在于：格林定 理不含具体的物理意义，而互易定理可以看为格林定理的一个直接推论和 应用
?V (? ?
2?
?
?
?
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?
)dV
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dS
由于▽ 2φ =0，所以有:
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?
2
dV
?
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V
S ?n
在S上φ =0，因而上式右边为零，因而有:
??
?
2
dV
?
0
V
10
或者这样来证明
设满足麦克斯韦方程、初始条件和边界条件的电磁场解不唯一， 至少有两组解
E ? E1 ? E2
2.9 格林定理 互易定理
2.9.1 格林定理
?V? ?FdV ? ?SF ?dS
在上式中，令 F ? ? ? ? 则:
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? ? ? ?FdV ? (? ? 2? ? ? ? ?? ? )dV
V
V
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1
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?
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1
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V
???
?? ? )dV ? ?S?
??
?n
dS
这就是格林第一恒等式。n是面元的正法向，即闭合面
的外法向。
? ? (? ? 2? ? ? ? ?? ? )dV ? ? ?? dS
V
S ?n
? ? (? ? 2?
V
? ? ? 2? )dV ?
???
2.10.1 平面镜像法
例4-1 求置于无限大接地平面导体上方，距导体面为h处的点 电荷q的电位。
图4-1 无限大导体平面上点电荷的镜像
14
解： 当 z>0 时，▽2φS=0 当 z=0时，φ=0 当 z→∞、|x|→∞、|y|→∞时，φ→0。
15
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(
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12
(E ? H ) ?n ? E ?(H ? n) ? H ?(n ? E)
h
????
16
由Dn=ρS可得导体表面的面电荷密度：
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?
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?
?
2?