格林定理镜像法

2.9 格林定理 互易定理
2.9.1 格林定理
?V? ?FdV ? ?SF ?dS
在上式中，令 F ? ? ? ? 则:
? ?F ? ? ?(? ? ? ) ? ? ? 2? ? ? ? ?? ?
? ? ? ?FdV ? (? ? 2? ? ? ? ?? ? )dV
V
V
?? (? ? ? ) ?dS S
它是描述在带电体系中，空间各处的电荷分布与在其它各电荷分布 处所产生的电位间存在互易关系。
? ? 现测得各带电导体的电位为
体电荷元处的电位为
i
当各导体的电荷变为 ，
q
/ i
体电荷密度变为 ? /
? ? 相应的电位变为
/ i
和
/
，则有
3
n
n
? ??? ? ??? q
i?
/ i
?
i?1
? / ?d? ?
?V (? ?
2?
?
?
?
??
?
)dV
?
?S ?
??
?n
dS
由于▽ 2φ =0，所以有:
? ? ?
?
2
dV
?
? ?? dS
V
S ?n
在S上φ =0，因而上式右边为零，因而有:
??
?
2
dV
?
0
V
10
或者这样来证明
设满足麦克斯韦方程、初始条件和边界条件的电磁场解不唯一， 至少有两组解
E ? E1 ? E2
S?
??
?n
??
??
?n
??dS ?
格林定理可用于解的唯一性证明和求解泊松方程的积分
解，在电磁场理论中是很重要的定理之一
2
2.9.2 格林互易定理
互易定理是描述不同场及其场源成对称关系的公式，格林定理是不同 函数间成对称关系的互易定理的数学表述。两个定理的区别在于：格林定 理不含具体的物理意义，而互易定理可以看为格林定理的一个直接推论和 应用
H ? H1 ? H2
? ? E ? ?? ?H
?t
? ?D ? 0
? ? H ? ?E ? ? ?E
?t
? ?B ? 0
11
? ?(E ? H ) ? H ?? ? E ? E ?? ? H
?? ???[ ? (E ? H ) ?d ? ? ?
V
J
?E
?
? ?t
(
1 2
?E
2
?
1 2
? H 2 )]d?
? ò?? right ? i
Si
(?
i
??
/ i
?n
?
?
/ i
?? i )dS ?n
? 乙?? ?? ? ? [? i i
Si
(?
??
/ i
?n
)dSBiblioteka Baidu
?
?
/ i
(? ?? i )dS ?
Si
?n
i
?
2?
1
?
?
? (r ) ?
? 2? ?? ? ? ?(r ) ?
1
?
(?
i qi/
?
?
i /qi )
2.10.1 唯一性定理
8
?
? ? 设在区域V内， 1 和 2 满足泊松方程，即:
?
2? 1
?
?
? (r ) ?
?
2?
2
?
?
? (r ) ?
? ? 在V的边界S上 1 和 2 满足同样的边界条件， 即:
? 1 |S ? f (r )
? 2 |S ? f (r )
9
令φ =φ1-φ2，则在V内，▽2φ=0，在边界面 S上，φ|S=0。在格 林第一恒等式中，令Ψ=φ，则:
n
n
? ? qi?
/ i
?
q
/ i
?
i
i?1
i?1
6
（2）若整个空间除体电荷密度分布外，没有其它诸导体
??V?? / ?d? ? ??V?? ? /d?
7
2.10 唯一性定理 镜像法
在电磁场问题中，往往需要求解有限区域中给定边界条件下 的电磁场问题。
如果只考察空间某—有限区域的电磁场，而区域内、外常存在不同 场源，显然仅仅知道区域内的场源并不足以能完全确定有限区域内的电 磁场，还必须知道区域外场源的影响，而外域场源的影响可以通过用边 界面上的等效场来取代，故内域场由其内部场源和边界场值唯一确定。
V
i?1
qi/? i ?
?? / d?
V
这是格林互易定理的普遍形式
证明：
??V? (??
2?
?
??
2? )d?
?
??S
(?
??
?n
?
?
??
)dS ?n
现令： ? ? ?
? ?? /
??? ?? (? ? 2? / ? ? /? 2? )d? ?
(? ?? / ? ? / ?? )dS
V
S
?n
?n 4
left
?
1
?
??V?
(?
/?
?
?
? / )d?
5
??? ? left
?
1
?
(? / ? ? ? ? / )d?
V
? Right ?
i
1
?
(?
i qi/
?
?
i / qi )
n
n
? ??? ? ??? qi?
/ i
?
i?1
V ? / ?d? ? i?1 qi/? i ?
?? / d?
V
证毕
（1）当整个空间除导体外，没有其它体电荷密度分布
r? ? [ x2 ? y2 ? ( z ? h)2 ]1/ 2 , r? ? [ x2 ? y2 ? (z ? h)2 ]1/2
Ex
?
qx
4?? 0
????
1 r?3
?
1 r?3
????
Ey
?
qy
4?? 0
????
1 r?3
?
1 r?3
????
Ez
?
qz
4?? 0
????
z
? r?3
h
?
z
? r?3
2.10.1 平面镜像法
例4-1 求置于无限大接地平面导体上方，距导体面为h处的点 电荷q的电位。
图4-1 无限大导体平面上点电荷的镜像
14
解： 当 z>0 时，▽2φS=0 当 z=0时，φ=0 当 z→∞、|x|→∞、|y|→∞时，φ→0。
15
?
'?
1
4?? 0
????
q r?
?
q r?
????
??? ? ??? ? ?? V
(
1 2
?E
2
?
1 2
?H
2 )]d?
?
?
t 0
(
?E 2 d? )dt ?
t
(
(E ? H ) ?d ? )dt
V
0
?
??? ? ?? V
(
1 2
?E
2
?
1 2
?H
2 )]d?
?
?
t 0
(
?
(E ? H ) ?nd? )dt
12
(E ? H ) ?n ? E ?(H ? n) ? H ?(n ? E)
?? ? ?? ?dS S ?n
1
即:
?(? ? 2?
V
???
?? ? )dV ? ?S?
??
?n
dS
这就是格林第一恒等式。n是面元的正法向，即闭合面
的外法向。
? ? (? ? 2? ? ? ? ?? ? )dV ? ? ?? dS
V
S ?n
? ? (? ? 2?
V
? ? ? 2? )dV ?
???
h
????
16
由Dn=ρS可得导体表面的面电荷密度：
?S
?
?0Ez
?
?
2?
r ur
r uur
n ? E |边界 ? 0 n ? H |边界 ? 0
???V
(
1 2
?E
2
?
1 2
?H 2 )]d?
?
0
式中的被积函数总为正值，要使上式成立，必有
E?0
H ? 0和
E1 ? E2
H1 ? H2
在有界区域内满足给定源的场方程、初始条件
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及不同边界条件的场解是唯一的
2.10 镜像法