求极限的几种常用方法

求极限的几种常用方法

求极限的计算方法总结（转） 极限定义.运算注则和一瞬果

1.定义：（各种类型的根限的严格定义参见《高等数学》因援教材，这里不一一叙述人 说明：（！）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以.用上面的 极限严格定义证明，例如:limA = 0 ©占为常数且门工0） , lim （3x-1） = 5

«-#«■ 口旳 x-*2

⑴ 在后面求极限时（O 中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需 再用极限严格定义证明。亠

2- 极限运算法则

主理1已知曲/（%）,曲巩血都存在，极限值分别为禺则下面极限都存在 且有(1) hn[f(x)±s(x)] = A±B^

(2) Em /(x)-g^x) - A

⑶曲.理二窕（此时需月J 成立” 胃（巧 B

说明：极限号下面的极限过程是一致的」同时注意法则成立的条件，当条件不満足时

不能用。a

3- 两个重要极眼

1-fC V

1

(2) lim (1+ x)工二 g

HTO

说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们破形形式，*d 当|小1时 “亠J 不存在，

当⑷空时

定理2无穷小与有界函数的乗积仍然罡无穷小(即极限是0). P

定理3当XT O 时，下歹愜1数都是无穷小(即极限是0〉，且相互等价，即有：• X~sinx~tan x 〜arcsinx 〜arctanx 〜ln(l + x)〜訂 -1

说明：当上面毎个函数中的自变量X 换成g(x)时(g(x)TO ),仍有上面的等价“

3

'

关系成立.例如当XT0时，e'x -1〜3x , ln(l-x 2)〜一AT"

定理4如果函数/(x),g(x)j](x),gi (x)都是X-> Y o 时的无穷小，且/(X )〜

力(x) , g(x)〜g](x),则当1曲牟¥存在时，lim 》^ 也存在且等于 7gl (X ) *7g(x)

f(x) lim -,即 iim 竺・lim 公°。卩 gl (X ) SR g(x) SX. g[(x)

5-洛比达法则

定理$假设当自变量X 趋近干某一定值(或无穷大)时.函数/(X )和g(x)满足：

(1)/(X )和g(x)的极限都罡0或都罡无穷大；2

⑵/(力和g(x)都可导，且g(x)的导数不为0;门

(3〉lim 厶宾存在(或是无穷大” a g(x)

说明：走理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应汪意条件罡否肩足，只要有一条不

满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件(1〉是否满足，即骏证所求极限 罡否为“纠型或“壬”型；条件⑵一般都満足，而条件(3)则在求导完毕 0 8

后可以知道是否満足。另外，洛比达法则可以连续使用，但毎次使用之前都需要注 _____ __________________________________________________________________ b ・连续性，

定理6 —切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果勺是函数/(x)的定义去间

则极限lim /(x) 也一定存在，且等于lim 广(x) g(x)

内的一点，则有lim /(x)= /(x0) o a xf

7・彊限存在准则丿

定理7 (准则1)单调有界数列必有极限。心

定理8 (准则2)已知{x n} , {y n}, {乙}为三个数列，且満足:P

⑴ 儿Sx”Sz“，("l,2,3,A )“

(2) lim儿=a, lim z n = g

则极限Hmx巾一定存在，且极限值也是a ,即limx^ = a。a 力Y0 力T8

二.求根限方法举例

1.用初等方法变彫后.再利用极限运许甑俅机眼

⑴式亠（保竿、

Ji （x 一1XJ3H + 1 + 2）

逹：本證也可以用涪比达法!《• 列 2 Em Vw

（Jn = 2_V M— 1）

:.利用函敎的连绩性（定理6）求棘

£

«4 lim x2e x XT2

费因为％・2星M/（X）二X：少的一个连毀点.

2

所以原式・2：e' = 4@。

3-利用两个重要飜求稱

1 - cos X

3x2

r ・ 2X-. ：X

2sm — 2 sm — -

左・標式・hm 片2■血------- Z. ■—

乩原式z 3? f會6

注：本題也可以用洛比达法则・

対

1

V3x^l-2

x-1

扳[(”.2)_(”-l)]

J M+2 ▼ Jx -1

3

2 25*

3x・3 3

(x-ix^rn.2)■亍

例6 taQ -3sin x)x X -0

例 7 hm (—)

*2 n^\

$ 联1 -3w _ q nA -3n

解：原式=Hm(l + =尸內=曲［(1 + _尸］^=訂。 W+l

4>® 总 + 1 4- 利用定理2求极限

2 •丄

例 3 hm X" sm — z x

解：原式=0 (定理2的结果)。

5・利用等价无穷小代換(^4)求极眼

me j X ln(l + 3x)

例9皿 ------- 厂 x->c arctan(x )

解：0 x ->Cfl 寸，ln(l-3x)~ 3x ，arctan(x ：)~x ：，

x ・3x

・・・原式=辺一 =3 o —o x*

例 10 Hm ------ :—

3 x-sm x

注：下面的解法是错误的:

(宀1)_(严_1)=耐匸色

2 x _ sin x 正如下面例麵解法错误一样:

tan x - sin x v x-x 小

5 = hm —= 0 X x J x-stn x (x-sin x)— =1 o sinx^x-sinx x-sm x 1 解：原 ^=Hm ：(l-3sinx)^

1 -5si«

x-sm x