北京市东城区普通校高三数学12月联考试题 理 新人教A版
2020届北京市东城区第五中学高三上学期12月月考数学试题(解析版)
2020届北京市东城区第五中学高三上学期12月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}20A x x a =-，2{|log (2)1}B x x =-≤，若B A ⊆,则实数a 的取值范围是 A ．(,4]-∞ B ．[4,)+∞C ．(,4)-∞D ．(4,)+∞【答案】A先求出,A B ，再根据包含关系求出a 的取值范围. 【详解】2a A x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，{}(]|0222,4B x x =<-≤=，因为B A ⊆，所以22a≤即4a ≤.故选A. 解对数不等式时，需要利用对数的运算性质把常数化成同底的对数，然后利用对数函数的单调性求不等式的解，注意对数的真数总是正数（容易忽视）.利用集合的包含关系求参数的取值范围时，注意端点可取否.2．已知0.6log 1.6a =，0.61.6b =， 1.60.6c =，则实数a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a b c << B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】B根据对数函数和指数函数的单调性容易得出0.6 1.60.61.60,161,0061log <><<g g ，从而可得出a ，b ，c 的大小关系． 【详解】解：0.60.6log 1.6log 10<=Q ，0.601.6 1.61>=， 1.6000.60.61<<=，a cb ∴<<．故选：B ．本题考查了对数函数、指数函数的单调性，指数函数的值域，考查了计算能力，属于基础题．3．对于非零向量,a b r r ，“230a b +=r r r ”是“//a b r r”成立的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A利用向量共线定理、简易逻辑的判定方法即可得出． 【详解】解：对于非零向量,a b r r ，由“230a b +=r r r ” ⇒3a b 2=-r r⇒ “//a b r r ”；反之不成立，可能λa b =r r ，32λ≠-．因此“230a b +=r r r ”是“//a b r r”的充分不必要条件． 故选：A ．本题考查了向量共线定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．已知函数()()()f x x a x b =--（其中)a b >的图象如图所示，则函数()xg x a b=+的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C先由函数()f x 的图象判断a ，b 的范围，再根据指数函数的图象和性质即可得到答案． 【详解】解：由函数的图象可知，10b -<<，1a >，则()xg x a b =+为增函数， (0)10g b =+>，()g x 过定点(0,1)b +，故选：C ．本题考查了指数函数和二次函数的图象和性质，属于基础题．5．如图，点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 分别是单位圆O 上的点，角α、β的终边分别为射线OA 和射线OB ，则1212x x y y +表示的值为( )A ．sin()αβ+B ．sin()αβ-C ．cos()αβ+D ．cos()αβ-【答案】D先根据三角函数的定义求出对应坐标，结合两角和差的三角公式进行计算即可． 【详解】解：由三角函数的定义知1cos x α=，1sin y α=，2cos x β=，2sin y β=， 则1212cos cos sin sin cos()x x y y αβαβαβ+=+=-， 故选：D ．本题主要考查三角函数的定义的应用，利用两角和差的三角公式以及三角函数的定义是解决本题的关键，属于基础题．6．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A =－14，则bc =A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A利用余弦定理推论得出a ，b ，c 关系，在结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果. 【详解】详解：由已知及正弦定理可得2224a b c -=，由余弦定理推论可得22222141313cos ,,,464224242b c a c c c b A bc bc b c +---==∴=-∴=∴=⨯=，故选A ． 本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．7． 已知函数()sin()(,0)2f x x πωϕϕω=+的图像在y 轴右侧的第一个最高点为(,1)6P π，在原点右侧与x 轴的第一个交点为5(,0)12Q π，则()3f π的值为（ ） A ．1 B ．12C ．22D ．3 【答案】B2,,2,,44x x x x T P Q T P Q πππωω=-====分别为点P,Q 的横坐标； 点P 为最高点，代入P 坐标得2,2,326k k k Z πππϕπϕπ+=+=+∈，又||2ϕπ<，则6π=ϕ ()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭251sin sin 33662f ππππ⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，选B点睛：已知函数sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的图象求解析式(1)max min max min,22y y y y A B -+==. (2)由函数的周期T 求2,.T πωω= (3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ.8．在直角坐标系xOy 中,对于点(,)x y ,定义变换σ:将点(,)x y 变换为点(,)a b ,使得tan ,tan ,x a y b =⎧⎨=⎩其中ππ,(,)22a b ∈-.这样变换σ就将坐标系xOy 内的曲线变换为坐标系aOb 内的曲线.则四个函数12(0)y x x =>,22(0)y x x =>,3e (0)x y x =>,4ln (1)y x x =>在坐标系xOy 内的图象,变换为坐标系aOb 内的四条曲线（如图）依次是A ．②,③,①,④B ．③,②,④,①C ．②,③,④,①D ．③,②,①,④【答案】A用x ，y 表示出a ，b ，根据反正切函数的单调性得出各自图象的a ，b 的范围及大小关系，从而得出答案． 【详解】解：由x tanay tanb =⎧⎨=⎩可得a arctanx b arctany =⎧⎨=⎩，对于y 3＝e x （x ＞0），显然y 3＞1，∴b ＝arctan y 34π＞，∴y 3对应的图象为①；对于y 4＝lnx （x ＞1），a ＝arctan x ＞arctan14π=，∴y 4对应的图象为④；对于y 1和y 2，当0＜x ＜2时，2x ＞x 2，∴arctan2x ＞arctan x 2， 即当0＜a ＜arctan2时，∴arctan y 1＞arctan y 2， ∴y 1对应的图象为②，y 2对应的图象为③． 故选：A ．本题考查了反正切函数的性质，基本初等函数的性质，属于中档题．二、填空题9．17sin 6π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为_____．【答案】12-利用诱导公式71sin(4)sin 662πππ-+=-=-，故问题得解． 【详解】解：1771sin sin 4sin 6662ππππ⎛⎫⎛⎫-=-+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故答案为：12-本题主要考查诱导公式的运用，属于基础题．10．已知平面向量,a b r r 满足()3a a b ⋅+=r r r 且2a =r ，1b =r ，则向量a r 与b r的夹角为_____． 【答案】23π设向量a r 与b r的夹角为θ，[0θ∈，]π，由()3a a b ⋅+=r r r 可得23a a b +=r r r g ，代入数据可得关于cos θ的方程，解之结合θ的范围可得． 【详解】解：设向量a r 与b r的夹角为θ，[0θ∈，]π由()3a a b ⋅+=r r r 可得23a a b +=r r r g ，代入数据可得2221cos 3θ+⨯⨯=， 解之可得1cos 2θ=-， 故可得23πθ= 故答案为：23π本题考查数量积与两个向量的夹角的关系，属于基础题． 11．已知3(,)22ππα∈ ，3tan()4απ-=-，则sin cos αα+=_____． 【答案】15-由已知求得sin cos αα的值，结合平方关系求解sin α，cos α的值，则答案可求．【详解】解：Q 3tan()4απ-=-，3tan 4α∴=-，又3,22ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭，,2παπα⎛⎫∈ ⎪⎝∈⎭∴， 则sin 0α>，cos 0α<，联立221sin 3cos 4sin cos αααα⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，解得3sin 54cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩． 1sin cos 5αα∴+=-．故答案为：15-．本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，属于基础题．12．函数的定义域为实数集，，对于任意都有，若在区间内函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是__________．【答案】∵ ，是以 为周期的函数，若在区间上函数恰有三个不同的零点，则和在上有3个不同的交点，画出函数函数在上的图象，如图示： ，由，结合图象得：，故答案为：．13．已知函数()sin(),()()69f x x f x f ππω=+≤，对任意x ∈R 恒成立，则ω可以是_____．【答案】183,k k Z +∈，直接利用正弦型函数的性质的应用求出结果． 【详解】解函数()sin()6f x x πω=+，()9f x f π⎛⎫⎪⎝⎭„对任意x ∈R 恒成立，所以19f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，即sin 196ππω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，当2962k πππωπ+=+时，解得183k ω=+，()k ∈Z .故答案为：183k ω=+，()k ∈Z .，本题考查的知识要点：正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．14．函数()y f x =图象上不同两点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 处的切线的斜率分别是A k ，B k ，规定||(,)||A B k k A B AB ϕ-=叫曲线()y f x =在点A 与点B 之间的“弯曲度”，给出以下命题：（1）函数321y x x =-+图象上两点A 、B 的横坐标分别为1，2，则(,)3A B ϕ> （2）存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数； （3）设点A 、B 是抛物线，21y x =+上不同的两点，则(,)2A B ϕ„；（4）设曲线xy e =上不同两点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，且121x x -=，若(,)1t A B ϕ<g恒成立，则实数t 的取值范围是(,1)-∞； 以上正确命题的序号为__（写出所有正确的） 【答案】（2）（3）由新定义，利用导数逐一求出函数321y x x =-+、21y x =+在点A 与点B 之间的“弯曲度”判断（1）、（3）；举例说明（2）正确；求出曲线xy e =上不同两点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 之间的“弯曲度”，然后结合(,)1t A B ϕ<g得不等式，举反例说明（4）错误． 【详解】解：对于（1），由321y x x =-+，得232y x x '=-， 则1|1A x k y ='==，2|8B x k y ='==，11y =，25y =，则||AB||(,)||A B k k A B AB ϕ-===<（1）错误；对于（2），常数函数1y =满足图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数，（2）正确； 对于（3），设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，2y x '=，则1222A B k k x x -=-，||AB12|x x =-()2,21A B ϕ∴===，（3）正确； 对于（4），由xy e =，得x y e '=， ()1212,x x x x A B ϕ=．(,)1t A B ϕ<g恒成立，即12||x x t e e -<1t =时该式成立，∴（4）错误．故答案为：（2）（3）．本题是新定义题，考查了命题的真假判断与应用，考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，考查了函数恒成立问题，关键是对题意的理解，属于中档题．三、解答题15．已知函数2()cos 2sin 1f x x x x =-+ ． （1）求()12f π的值及函数的最小正周期；（2）求f （x ）在区间[0,]2π上的最大值和最小值．【答案】（1）π（2）最小值为﹣1，最大值为2．（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，从而求得12f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值，再利用正弦函数的周期性，得出结论．（2）由题意利用正弦函数的定义域和值域，求得()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 【详解】解：（1）Q 函数2()cos 2sin 12cos22sin(2)6f x x x x x x x π=-+=+=+，∴2sin 123f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故()f x 的最小正周期为222T πππω===． （2）在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 故当7266x ππ+=时，函数()f x 取得最小值为1-； 当262x ππ+=时，函数()f x 取得最大值2．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、定义域和值域，属于基础题．16．在ABC A B C ∆中，角、、所对的边分别为,a b c 、、且a b c <<，sin A =（1）求角B 的大小；（2）若2a =，b =，求c 及ABC ∆的面积.【答案】（Ⅰ）3B π=；（Ⅱ）ABC S ∆=（Ⅰ）已知等式变形后，利用正弦定理化简，根据sinA 不为0求出cosB 的值，即可确定出角B 的大小；（Ⅱ）利用余弦定理列出关系式，把a ，b ，cosB 的值代入求出c 的值，利用三角形面积公式求出三角形ABC 面积即可． 【详解】(Ⅰ )sin A =Q ，2sin b A =，2sin sin A B A =，又0A π<<Q ，sin 0A ∴>，sin B ∴=a b c <<Q ，B C ∴<， 所以02B π<<，故3B π=.（Ⅱ）2a =Q ，b =，由余弦定理可得：22212222c c =+-⨯⨯⨯，即2230c c --= 解得3c =或1c =-（舍去），故3c =.所以11sin 2322ABC S ac B ∆==⨯⨯=. 解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.17．空气质量指数PM 2.5（单位：μg /m 3）表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，就代表空气污染越严重：甲、乙两城市2013年2月份中的15天对空气质量指数PM 2.5进行监测，获得PM 2.5日均浓度指数数据如茎叶图所示：（Ⅰ）根据你所学的统计知识估计甲、乙两城市15天内哪个城市空气质量总体较好？（注：不需说明理由）（Ⅱ）在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率； （Ⅲ）在乙城市15个监测数据中任取2个，设X 为空气质量类别为优或良的天数，求X 的分布列及数学期望．【答案】（Ⅰ）甲城市空气质量总体较好（Ⅱ）29 （Ⅲ）分布列见解析，23EX = （Ⅰ）根据茎叶图所给数据分析可得．（Ⅱ）由（Ⅰ）的分析及相互独立事件的概率计算公式即可得出；（Ⅲ）利用超几何分布即可得到分布列，再利用数学期望的计算公式即可得出． 【详解】解：（Ⅰ）由茎叶图可知：甲城市空气质量一级和二级共有10天，而乙城市空气质量一级和二级只有5天，因此甲城市空气质量总体较好．（Ⅱ）甲城市在15天内空气质量类别为优或良的共有10天，任取1天，空气质量类别为优或良的概率为102153=， 乙城市在15天内空气质量类别为优或良的共有5天，任取1天，空气质量类别为优或良的概率为51153=， 在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率为212339⨯=． （Ⅲ）X 的取值为0，1，2，025102153(0)7C C P X C ===，1151021510(1)21C C P X C ===，205102152(2)21C C P X C ===． X 的分布列为：X0 1 2P37 1021 221数学期望31022012721213EX =⨯+⨯+⨯=． 本题考查茎叶图、相互独立事件的概率计算公式、超几何分布、随机变量的分布列、数学期望的计算公式、排列与组合的计算公式是解题的关键，属于中档题．18．四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，∠BCD ＝60°，2PA PD ==，E 是BC 中点，点Q 在侧棱PC 上．（Ⅰ）求证：AD ⊥PB ；（Ⅱ）若Q 是PC 中点，求二面角E ﹣DQ ﹣C 的余弦值； （Ⅲ）是否存在Q ，使PA ∥平面DEQ ？若存在，求出PQPC的值；若不存在，说明理由． 【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）217（Ⅲ）存在，23λ=（Ⅰ）取AD 中点O ，连接OP ，OB ，BD ．推导出PO AD ⊥．，BO AD ⊥．从而AD ⊥平面POB ．由此能证明AD PB ⊥．（Ⅱ）以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O xyz -利用向量法能求出二面角E DQ C --的余弦值．（Ⅲ）设(01)PQ PC λλ=u u u r u u u r剟，(),,Q x y z ，推导出(23,1)Q λλλ--+，利用向量法能求出当23λ=时，//PA 平面DEQ ． 【详解】证明：（Ⅰ）取AD 中点O ，连接OP ，OB ，BD ． 因为PA PD =，所以PO AD ⊥．因为菱形ABCD 中，60BCD ∠=︒，所以AB BD =．所以BO AD ⊥．因为BO PO O =I ，且BO ⊂平面POB ，PO ⊂平面POB ， 所以AD ⊥平面POB ． 因为PB ⊂平面POB 所以AD PB ⊥．解：（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，BO AD ⊥，PO AD ⊥，因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，且平面PAD I 底面ABCD AD =，PO ⊂面PAD 所以PO ⊥底面ABCD ．以O 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系O xyz -． 则(1,0,0),(1,3,0),(0,0,1),(2,3,0)D E P C---， 因为Q 为PC 中点，所以311,,2Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭． 所以(0,3,0)DE =u u u r ，310,,2DQ ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，设平面DEQ 的法向量为()1,,n x y z =u r．1100n DE n DQ ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩u v u u u v u v u u u v 即3031022y y z ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 所以平面DEQ 的法向量为1(1,0,0)n =u u r．因为1()2DC DQ=-=u u u r u u u r，设平面DQC的法向量为2111(,,)n x y z=u u r，则22·0·0DC nDQ n⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u v u u vu u u v u u v，即1111122xy z⎧-+=+=⎩．令1x=111,y z==2n=u u r．所以121212cos,||||n nn nn n<>==u u r u u ru u r u u r gu u r u u r由图可知，二面角E DQ C--为锐角，所以余弦值为7．（Ⅲ）设(01)PQ PCλλ=u u u r u u u r剟由（Ⅱ）可知(1),(1,0,1)PC PA=--=-u u u r u u u r．设(),,Q x y z，则(,,1)PQ x y z=-u u u r，又因为(2,)PQ PCλλλ==--u u u r u u u r，所以21xyzλλ=-⎧⎪=⎨⎪=-+⎩，即(2,1)Qλλ--+．所以在平面DEQ中，(12,1)DE DQλλ==--u u u r u u u r，所以平面DEQ的法向量为1(1,0,21)nλλ=--u u r，又因为//PA平面DEQ，所以1PA n=u u u r u u rg，即(1)(1)(21)0λλ-+--=，解得23λ=．所以当23λ=时，//PA平面DEQ．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足线面平行的实数值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题．19．已知函数32()22f x x ax=-+.（1）讨论()f x的单调性；（2）当0<<3a时，记()f x在区间[]0,1的最大值为M，最小值为m，求M m-的取值范围.【答案】(1)见详解；(2) 8[,2)27. (1)先求()f x 的导数，再根据a 的范围分情况讨论函数单调性；(2) 讨论a 的范围，利用函数单调性进行最大值和最小值的判断，最终求得M m -的取值范围. 【详解】(1)对32()22f x x ax =-+求导得2'()626()3a f x x ax x x =-=-.所以有当0a <时，(,)3a -∞区间上单调递增，(,0)3a 区间上单调递减，(0,)+∞区间上单调递增；当0a =时，(,)-∞+∞区间上单调递增；当0a >时，(,0)-∞区间上单调递增，(0,)3a 区间上单调递减，(,)3a +∞区间上单调递增. (2)若02a <≤，()f x 在区间(0,)3a 单调递减，在区间(,1)3a 单调递增，所以区间[0,1]上最小值为()3a f .而(0)2,(1)22(0)f f a f ==-+≥，故所以区间[0,1]上最大值为(1)f .所以332(1)()(4)[2()()2]233327a a a a M m f f a a a -=-=---+=-+，设函数3()227x g x x =-+，求导2'()19x g x =-当02x <≤时'()0g x <从而()g x 单调递减.而02a <≤，所以38222727a a ≤-+<.即M m -的取值范围是8[,2)27.若23a <<，()f x 在区间(0,)3a单调递减，在区间(,1)3a 单调递增，所以区间[0,1]上最小值为()3a f 而(0)2,(1)22(0)f f a f ==-+≤，故所以区间[0,1]上最大值为(0)f .所以332(0)()2[2()()2]33327a a a a M m f f a -=-=--+=，而23a <<，所以3812727a <<.即M m -的取值范围是8(,1)27.综上得M m -的取值范围是8[,2)27. (1)这是一道常规的函数导数不等式和综合题，题目难度比往年降低了不少.考查的函数单调性，最大值最小值这种基本概念的计算.思考量不大，由计算量补充.20．已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>，焦距为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A 、B ． （1）求椭圆M 的方程；（2）设P （﹣2，0），直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D ，若C 、D 与点71(,)42Q 共线，求斜率k 的值．【答案】（1）2213x y += （2）2（1）根据椭圆的离心率公式即可求得a 的值，即可求得b 的值，求得椭圆方程； （2）求得直线PA 的方程，代入椭圆方程，即可根据韦达定理即可求得C 点坐标，同理求得D 点坐标，即可求得QC uuu r 与QD uuu r共线，根据向量的共线定理，即可求得直线AB 的斜率． 【详解】解：（1）由题意可知：2c =，则c =椭圆的离心率c e a ==，则a = 2221b a c ∴=-=，∴椭圆M 的标准方程为2213x y +=；（2）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 设直线PA 的斜率112PA y k x =+，直线PA 的方程为11(2)2y y x x =++， 联立221133(2)2x y y y x x ⎧+=⎪⎨=+⎪+⎩，消去y 整理得 2222221111111(443)12(1231212)0x x y x y x y x x +++++---=，由221133x y +=代入上式得，整理得2221111(47)(124)(712)0x x x x x x ++--+=， 2111171247C x x x x x +=-+g ，1171274C x x x +=-+，则111111712227474C y x y y x x x ⎛⎫+=-+= ⎪+++⎝⎭，则1111712,7474x y C x x ⎛⎫+- ⎪++⎝⎭，同理可得：2222712,7474x y D x x ⎛⎫+- ⎪++⎝⎭，由7142Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭,，则11112471,4(47)2(74)y x QC x x ⎛⎫--= ⎪++⎝⎭u u u r ，22222471,4(47)2(74)y x QD x x ⎛⎫--= ⎪++⎝⎭u u u r ，由C 、D 与点7142Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭,共线可得QC uuu r 与QD uuu r 共线， 则22111221247247114(47)2(74)4(47)2(74)y x y x x x x x ----=++++g g ，整理得12122()y y x x -=-， 则直线AB 的斜率12122y y k x x -==-，k ∴的值为2．本题考查椭圆的标准方程及性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量的共线定理，考查转化思想，属于中档题．。
北京市东城区12-13高三数学综合练习(二)-理
北京市东城区12-13高三数学综合练习(二)-理北京市东城区2012—2013学年第二学期高三综练习（二）数学（理）试题本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1、已知集合(){}|10A x x x x =-<∈R ，，{}|22B x x x =-<<∈R ，，那么集合A B I 是（ ）A ．∅B ．{}|01x x x <<∈R ，C ．{}|22x x x -<<∈R ，D ．{}|21x x x -<<∈R ，2、如图是某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是：[)4050，，[)5060，，[)6070，，[)7080，，[)8090，，[]90100，，则图中x 的值等于（ ） A ．0.754 B ．0.048频率组距x0.0061009080706050400成绩C ．0.018D ．0.0123、已知圆的极坐标方程是2cos ρθ=，那么该圆的直角坐标方程是（ ）A ．()2211x y -+= B ．()2211xy +-=C ．()2211x y ++= D ．222xy +=4、已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45、阅读程序框图，运行相应的程序，当输入x 的值为25-时，输出x 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46、已知π3sin 45x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，那么sin 2x 的值为（ ） A ．325B ．725 C ．925俯视图侧（左）视图正（主）视图否是结束输出 x x =3x +1x = x 1x >1输入x 开始D ．18257、过抛物线24yx=焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，若10AB =，则AB 的中点到y 轴的距离等于（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48、已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当()0x ∈-∞，时，()()0f x xf x '+<（其中()f x '是()f x 的导函数），若()()0.30.333a f =⋅，()()log 3log 3b f ππ=⋅，3311loglog 99c f ⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c的大小关系是（ ）A ．a b c >>B．c b a>>C ．c a b >>D ．a c b >>第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9、 已知向量()23a =-r，，()1b λ=r，，若a br r ∥，则λ=________．10、 若复数i1i a +-是纯虚数，则实数a 的值为________． 11、各项均为正数的等比数列{}na 的前n 项和为nS ，若32a =，425SS =，则1a 的值为________，4S 的值为________．12、如图，AB 为⊙O 的直径，AC 切⊙O 于点A ，且过点C 的割线CMN 交AB 的延OAMNB长线于点D ，若CM MN ND ==，22AC =则CM =________，AD =________．13、5名志愿者到3个不同的地方参加义务植树，则每个地方至少有一名志愿者的方案共有________种．14、在数列{}na 中，若对任意的*n ∈N ，都有211n n n naa t aa +++-=（t 为常数），则称数列{}na 为比等差数列，t 称为比公差．现给出以下命题：①等比数列一定是比等差数列，等差数列不一定是比等差数列；②若数列{}na 满足122n n a n -=，则数列{}na 是比等差数列，且比公差12t =； ③若数列{}nc 满足11c =，21c =，12nn n cc c --=+（3n ≥），则该数列不是比等差数列；④若{}na 是等差数列，{}nb 是等比数列，则数列{}n na b 是比等差数列．其中所有真命题的序号是________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15、（本小题共13分） 已知函数())sin 3cos sin f x x x x=-．⑴ 求()f x 的最小正周期；⑵ 当2π03x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，求()f x 的取值范围．16、（本小题共13分）某校高三年级同学进行体育测试，测试成绩分为优秀、良好、合格三个等级．测试结果如下表：（单位：人）优秀良好合格 男 1807020女120a30按优秀、良好、合格三个等级分层，从中抽取50人，其中成绩为优的有30人． ⑴ 求a 的值；⑵ 若用分层抽样的方法，在合格的同学中按男女抽取一个容量为5的样本，从中任选2人，记X 为抽取女生的人数，求X 的分布列及数学期望．17、（本小题共14分）如图，BCD △是等边三角形， AB AD =，90BAD ∠=︒，将BCD △沿BD 折叠到BC D '△的位置，使得AD C B '⊥． ⑴ 求证：AD AC '⊥；⑵ 若M ，N 分别是BD ，C B '的中点，求二面角N AM B --的余弦值．DC B ANMDCBA18、（本小题共14分） 已知函数()ln a f x x x =+（0a >）．⑴ 求()f x 的单调区间；⑵ 如果()0P x y ，是曲线()y f x =上的任意一点，若以()00P x y ，为切点的切线的斜率12k ≤恒成立，求实数a 的最小值；⑶ 讨论关于x 的方程()()32122x bx a f x x++=-的实根情况．19、（本小题共13分）已知椭圆C ：22221x ya b+=（0a b >>）的离心率3e =，原点到过点()0A a ，，()0B b -，45． ⑴ 求椭圆C 的方程；⑵ 若椭圆C 上一动点()0P x y ，关于直线2y x =的对称点为()111P x y ，，求2211xy +的取值范围．⑶ 如果直线1y kx =+（0k ≠）交椭圆C 于不同的两点E ，F，且E ，F 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值．20、（本小题共13分） 已知数列{}na ，11a =，2nnaa =，41n a-=，411n a+=（*n ∈N ）．⑴求4a ，7a ；⑵是否存在正整数T ，使得对任意的*n ∈N ，有n Tna a +=；⑶设3122310101010n na a a aS =+++++L L ，问S 是否为有理数，说明理由．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1）B （2）C （3）A （4）D（5）D （6）B （7）D （8）C二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）32- （10）1 （11）12152 （12）227（13）150 （14）①③注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）因为()sin (3sin )f x x x x =- 23sin cos sin x x x =- =21(23sin cos 2sin )2x x x -11=(3sin 2cos2)22x x +-1sin(2)62x π=+-． 所以()f x 的最小正周期2T π==π2． （Ⅱ）因为203x π<<，所以32662x πππ<+<． 所以()f x 的取值范围是31(,]22-． ………………………………13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）设该年级共n 人，由题意得5030180120n =+，所以500n =． 则500(180120702030)80a =-++++=．（Ⅱ）依题意，X 所有取值为0,1,2．22251(0)10C P X C ===， 1123253(1)5C C P X C ===，23253(2)10C P X C ===．X的分布列为：X 012P110353101336012105105EX =⨯+⨯+⨯=． ………………………………………13分 （17）（共14分） （Ⅰ）证明：因为90BAD ∠=o所以AD AB ⊥， 又因为'C B AD⊥，且'AB C B B=I ，所以 AD ⊥平面'C AB ，因为'AC ⊂平面'C AB ，所以'AD AC⊥．（Ⅱ）因为△BCD是等边三角形，AB AD=，90BAD ∠=o，AB CDMNxyz不防设1AB =，则2BC CD BD ===又因为M ，N 分别为BD ，'C B 的中点，由此以A 为原点，AB ，AD ，'AC 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系A xyz -．则有(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(0,1,0)D ，'(0,0,1)C ，11(,,0)22M ，11(,0,)22N ． 所以11(,,0)22AM =u u u u r ，11(,0,)22AN =u u u r ．设平面AMN 的法向量为(,,)x y z =m ．则00.AM AN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u r m ,m 即110,22110.22x y x z ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩令1x =，则1y z ==-．所以(1,1,1)=--m ． 又平面ABM 的一个法向量为(0,0,1)=n ． 所以3cos ,3⋅<>===m n m n m n所以二面角N AM B --的余弦值为3． ………………………………14分（18）（共14分） 解:（Ⅰ） ()ln a f x x x=+，定义域为(0,)+∞， 则|221()a x a f x x x x-=-=． 因为0a >，由()0,f x '>得(,)x a ∈+∞， 由()0,f x '<得(0,)x a ∈，所以()f x 的单调递增区间为(,)a +∞ ，单调递减区间为(0,)a ． （Ⅱ）由题意，以0(,)P x y 为切点的切线的斜率k 满足00201()2x a k f x x -'==≤0(0)x >，所以2012a x x ≥-+对0x>恒成立．又当0x>时，2001122x x -+≤，所以a 的最小值为12． （Ⅲ）由题意，方程32()1()22x bx a f x x ++=-化简得21ln 2b x x =-+12(0,)x ∈+∞ 令211()ln 22h x x xb =--+，则1(1)(1)()x x h x x x x+-'=-=． 当(0,1)x ∈时，()0h x '>， 当(1,)x ∈+∞时，()0h x '<，所以()h x 在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减．所以()h x 在1x =处取得极大值即最大值，最大值为211(1)ln1122h b b =-⨯-+=-． 所以 当0b ->，即0b <时，()y h x = 的图象与x轴恰有两个交点，方程32()1()22x bx a f x x ++=-有两个实根， 当0b =时， ()y h x = 的图象与x 轴恰有一个交点，方程32()1()22x bx a f x x ++=-有一个实根， 当0b >时， ()y h x = 的图象与x 轴无交点，方程32()1()22x bx a f x x ++=-无实根． ……14分 （19）（共13分）解: （Ⅰ）因为3c a =，222a b c -=，所以2a b=．因为原点到直线AB ：1x ya b-=的距离2245d a b==+解得4a =，2b =．故所求椭圆C 的方程为221164x y +=．（Ⅱ）因为点()0,P x y 关于直线2y x =的对称点为()111,P x y ， 所以 0101010121,2.22y y x x y y x x -⎧⨯=-⎪-⎪⎨++⎪=⨯⎪⎩解得 001435y x x -=，001345yx y +=．所以22221100xy x y +=+．因为点()00,P x y 在椭圆C:221164x y+=上，所以22222011344x x y x y +=+=+．因为044x -≤≤， 所以2211416xy ≤+≤．所以2211xy +的取值范围为[]4,16．（Ⅲ）由题意221,1164y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得22(14)8120k x kx ++-=．可知0∆>．设22(,)E x y ，33(,)F x y ，EF 的中点是(,)MM M xy ，则2324214M x x k x k +-==+，21114M M y kx k=+=+． 所以21M BMM y kx k+==-．所以20MMx ky k ++=． 即 224201414k kk k k-++=++． 又因为0k ≠， 所以218k =．所以2k =． ………………………………13分 （20）（共13分） 解：（Ⅰ）4211a a a ===；74210a a ⨯-==．（Ⅱ）假设存在正整数T ，使得对任意的*n ∈N ，有n T na a +=．则存在无数个正整数T ，使得对任意的*n ∈N ，有n Tnaa +=．设T 为其中最小的正整数． 若T 为奇数，设21T t =-（*t ∈N ）， 则41414124()10n n T n T n t aa a a ++++++-====．与已知411n a +=矛盾．若T 为偶数，设2T t =（*t ∈N ），则22n Tn naa a +==，而222n Tn t n taa a +++==从而n tnaa +=．而t T <，与T 为其中最小的正整数矛盾． 综上，不存在正整数T ，使得对任意的*n ∈N ，有n Tnaa +=．（Ⅲ）若S 为有理数，即S 为无限循环小数， 则存在正整数0N ，T ，对任意的*n ∈N ，且0n N ≥，有n Tnaa +=．与（Ⅱ）同理，设T 为其中最小的正整数． 若T 为奇数，设21T t =-（*t ∈N ）， 当041n N +≥时，有41414124()10n n T n T n t aa a a ++++++-====．与已知411n a+=矛盾．若T 为偶数，设2T t =（*t ∈N ）， 当0n N ≥时，有22n Tn naa a +==，而222n Tn t n taa a +++==从而n tna a +=． 而t T <，与T 为其中最小的正整数矛盾．故S不是有理数． ……………………………………………………13分。
北京市东城区12-13高三数学综合练习(二)-理
（18）（共 14 分）
解:（Ⅰ）
，定义域为 ， f (x) ln x a
(0, )
x
则 ． f |(x)
1 x
a x2
xa x2
因为 ，由 得 ， 由 得 ， a 0
f (x) 0, x (a, )
f (x) 0, x (0, a)
所以 f (x) 的单调递增区间为 (a,) ，单调递减区间为 ． (0, a)
D． x2 y2 2
4、 已 知 一 个 三 棱 锥 的 三 视 图 如 图 所 正（主）视图 侧（左）视图
示，其中三个视图都是直角三角形， 俯视图
则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为
（）
A．1
B．2
开始
C．3 D．4 5、 阅读程序框图，运行相应的程序，当
输入x
x >1 否 是
x= x 1
方程 f (x) x3 2(bx a) 1 有一个实根，
2x
第Ⅰ卷（选择题 共 40 分）
一、本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每
小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一
项．
已知集合 ， ，那么集 1、
A x | x x 1 0 ，x R B x | 2 x 2 ，x R
合 A B 是（
）
A．
B．x | 0 x 1，x R
x x
1 2 1 2
y z
0, 0.
令 x 1，则 y z 1．
所以 ． m (1,1,1)
又平面 ABM 的一个法向量为 n (0,0,1) ．
所以 ． cos m, n m n 1 3 mn 3 3
所 以 二 面 角 的 N AM B 余 弦 值 为
北京市数学高三上学期理数12月月考试卷A卷
参考答案
一、 单选题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、 填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、 解答题 (共7题；共65分)
21. （10分） (2017·新课标Ⅲ卷文) 已知函数f（x）=lnx+ax2+（2a+1）x．（12分）
（1）
讨论f（x）的单﹣2．
22. （10分） (2017高二下·长春期末) 在直角坐标系xOy中，l是过定点P(4,2)且倾斜角为α的直线；在极坐标系(以坐标原点O为极点，
三、 解答题 (共7题；共65分)
17. （5分） (2016高二上·上海期中) 已知四个数，前三个数成等比数列，和为19，后三个数成等差数列，和为12，求此四个数．
18. （5分） (2017·山西模拟) 已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ．，
（1） 求B；
（2） 若b=2，求ac的最大值．
以x轴非负半轴为极轴，取相同单位长度)中，曲线C的极坐标方程为 .
（1） 写出直线l的参数方程，并将曲线C的方程化为直角坐标方程；
（2） 若曲线C与直线相交于不同的两点M，N，求|PM|＋|PN|的取值范围．
23. （10分） (2018·鞍山模拟) 已知 ， .
（1） 若 且 的最小值为1，求 的值；
A . [0，5]
B . [﹣1，8]
北京东城区高三上册理科数学12月联考试题(带答案)
北京东城区高三上册理科数学12月联考试题（带答案）东城区普通校2012-2013学年第一学期联考试卷高三数学（理科）命题校：125中2012年12月本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．选出符合题目要求的一项填在机读卡上．1.若集合，且，则集合可能是（）A．B．C．D．2.复数在复平面上对应的点的坐标是（）A．B．C．D．3.已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．B．C．D．4.一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为），则该棱锥的体积是（）A．B．C．D．正视图侧视图5．设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为（）A．B．C．D．6．已知数列为等比数列，，，则的值为（）A．B．C．D．7．已知函数在上是增函数，，若，则的取值范围是（）A．B．C．D．8．设、分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．第Ⅱ卷(非选择题，共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知，且为第二象限角，则的值为.10．已知向量．若为实数，∥，则的值为.11．椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，的小大为.12．若曲线的某一切线与直线平行，则切点坐标为，切线方程为.13.若，则下列不等式对一切满足条件的恒成立的是.(写出所有正确命题的编号)．①；②；③；④；⑤14.已知函数在区间内任取两个实数，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分分）已知：在中,、、分别为角、、所对的边，且角为锐角，（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）当，时，求及的长．16．（本小题满分分）已知：函数的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）在△中，角的对边分别是，若的取值范围．17．（本小题满分分）已知：如图，在四棱锥中，四边形为正方形，，且，为中点．（Ⅰ）证明：//平面；（Ⅱ）证明：平面平面；（Ⅲ）求二面角的正弦值．18．（本小题满分13分）已知：数列的前项和为，且满足，.（Ⅰ）求：，的值；（Ⅱ）求：数列的通项公式；（Ⅲ）若数列的前项和为，且满足，求数列的前项和.19．（本小题满分14分）已知：函数，其中.（Ⅰ）若是的极值点，求的值；（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）若在上的最大值是，求的取值范围.20．（本小题满分分）已知椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知动直线与椭圆相交于、两点.①若线段中点的横坐标为，求斜率的值；②若点，求证：为定值.东城区普通校2012-2013学年第一学期联考答案高三数学（理科）参考答案（以下评分标准仅供参考，其它解法自己根据情况相应地给分）一.选择题1.A2.D3.B4.A5.C6.D7.B8.D二.填空题9．10．11．12．（1，2），13．①③⑤14．15．（本小题满分分）解：（Ⅰ）解：因为cos2C=1-2sin2C=，及所以s inC=.…………………………4分（Ⅱ）解：当a=2，2sinA=sinC时，由正弦定理，得c=4………7分由cos2C=2cos2C-1=，及得cosC=………………………9分由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，得b2－b-12=0……………………12分解得b=2……………………13分16．（本小题满分分）解：（Ⅰ）由图像知，的最小正周期，故……2分将点代入的解析式得，又故所以………………5分（Ⅱ）由得所以……………………8分因为所以………………9分……………………11分……………………13分17．（本小题满分分）解：（Ⅰ）证明：连结BD交AC于点O，连结EO．……………………1分O为BD中点，E为PD中点，∴EO//PB．……………………2分EO平面AEC，PB平面AEC，……………………3分∴PB//平面AEC．（Ⅱ）证明：PA⊥平面ABCD．平面ABCD，∴．……………………4分又在正方形ABCD中且，……………………5分∴CD平面PAD．……………………6分又平面PCD，∴平面平面．……………………7分（Ⅲ）如图，以A为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．………8分由PA=AB=2可知A、B、C、D、P、E的坐标分别为A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,1,1)．……………9分PA平面ABCD，∴是平面ABCD的法向量，=（0,0,2）．设平面AEC的法向量为,,则即∴∴令,则.………………11分∴,…………………12分二面角的正弦值为…………………13分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）令，解得；令，解得……………2分（Ⅱ）所以，（）两式相减得……………4分所以，（）……………5分又因为所以数列是首项为，公比为的等比数列……………6分所以，即通项公式（）……………7分（Ⅲ），所以所以……9分令①②①－②得……………11分……………12分所以……13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：.依题意，令，解得.经检验，时，符合题意.……4分（Ⅱ）解：①当时，.故的单调增区间是；单调减区间是.…………………5分②当时，令，得，或.当时，与的情况如下：↘↗↘所以，的单调增区间是；单调减区间是和.当时，的单调减区间是.当时，，与的情况如下：↘↗↘所以，的单调增区间是；单调减区间是和.③当时，的单调增区间是；单调减区间是.综上，当时，的增区间是，减区间是；当时，的增区间是，减区间是和；当时，的减区间是；当时，的增区间是；减区间是和.……11分（Ⅲ）由（Ⅱ）知时，在上单调递增，由，知不合题意. 当时，在的最大值是，由，知不合题意.当时，在单调递减，可得在上的最大值是，符合题意.所以，在上的最大值是时，的取值范围是.…………14分20．（本题满分分）解：（Ⅰ）因为满足，，…………2分。
北京市2020〖人教版〗高三数学复习试卷12月月考理数试题1
北京市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷12月月考理数试题创作人：百里严守 创作日期：202B.03.31审核人： 北堂本一创作单位： 雅礼明智德学校本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.第I 卷（选择题 共60分） 一.选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}21110,24,2x M x x N x x Z +⎧⎫=-≤=<<∈⎨⎬⎩⎭，则MN =( )A.{}1B.{}1,0-C.{}1,0,1-D.∅2.抛物线24y x =的焦点到准线的距离为( )A.14 B.12C.2D.43.已知命题:p 对任意x R ∈，有cos 1x ≤，则( ) A.:p ⌝存在x R ∈，使cos 1x > B.:p ⌝对任意x R ∈，有cos 1x > C.:p ⌝存在x R ∈，使cos 1x ≥D.:p ⌝对任意x R ∈，有cos 1x ≥4.若()2,1P 为圆()22125x y -+=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为( ) A.10x y --= B.230x y --= C.30x y +-=D.250x y +-=5.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1234,2,a a a 成等差数列，若11a =，则4S =( ) A.7B.8C.15D.166.已知函数()()()sin 20f x x ϕϕπ=+<<，若将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位后所得图像对应的函数为偶函数，则实数ϕ=( ) A.56π B.23π C.3πD.6π 7.已知(),P x y 为区域22400y x x a ⎧-≤⎨≤≤⎩内的任意一点，当该区域的面积为2时，2z x y =+的最大值是( )）A.5B.0C.2D.228.已知抛物线C 的顶点是椭圆22143x y +=的中心，焦点与该椭圆的右焦点2F 重合，若抛物线C 与该椭圆在第一象限的交点为P ，椭圆的左焦点为1F ，则1PF =( ) A.23B.73C.53D.29.已知函数()ln tan 0,2f x x παα⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的导函数为()'f x ，若使得()()00'30f x f x -=成立的01x <，则实数α的取值范围为( )A.,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭B.0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C.,64ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭10.正三角形ABC 内一点M 满足,45CM mCA nCB MCA =+∠=，则mn的值为( ) A.31-B.31+C.312+ D.312- 11.已知双曲线()2222:1,0x y C a b a b -=>的左.右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线与双曲线C 的右支相交于,P Q 两点，若1PQ PF ⊥，且1PF PQ =，则双曲线的离心率e =( )A.21+B.221+C.522+D.522-12.已知数列{}n a 满足：1263,3,9138n n n n n n a a a a a ++=-≤-≥⋅，则2015a =( )A.20153322+B.201538C.20153382+D.201532第II 卷（非选择题共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相对应位置上.13.已知向量()()1,1,2,1a x x b =-+=-，若//a b ，则实数x =.14.若实数,x y 满足0,0x y >>，且440x y +=，则lg lg x y +的最大值为.15.已知()sin 2cos f x x x =+，若函数()()g x f x m =-在()0,x π∈上有两个不同零点α.β，则()cos αβ+=.16.设点()()1122,,,A x y B x y 是椭圆2214x y +=上两点，若过点,A B 且斜率分别为1212,44x x y y 的两直线交于点P ，且直线OA 与直线OB 的斜率之积为14-，()6,0E，则PE 的最小值为.三.解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，3416a a +=，763S =.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列11n n a a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：12nT <. 18.（本小题满分12分）在ABC ∆中，已知角A .B .C 的对边分别为,,a b c ，且1tan tan 12cos cos A C A C=+.（1）求B 的大小；（2）若212BA BC b ⋅=，试判断ABC ∆的形状.19.（本小题满分12分）已知抛物线()2:20C y pxp =>的焦点为()1,0F ，抛物线2:2E x py =的焦点为M .（1）若过点M 的直线l 与抛物线C 有且只有一个交点，求直线l 的方程； （2）若直线MF 与抛物线C 交于A .B 两点，求OAB ∆的面积. 20.（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，左.右焦点分别是1F ，2F ，点P 为椭圆C 上任意一点，且12PF F ∆面积最大值为3. （1）求椭圆C 的方程；（2）过2F 作垂直于x 轴的直线l 交椭圆于A .B 两点（点A 在第一象限），M .N 是椭圆上位于直线l 两侧的动点，若MAB NAB ∠=∠，求证：直线MN 的斜率为定值. 21.（本小题满分12分）已知函数()(),ln x f x e g x x m ==+. （1）当1m =-时，求函数()()()f x F x x g x x=+⋅在()0,+∞上的极值；（2）若2m =，求证：当()0,x ∈+∞时，()()310f xg x >+. （参考数据：ln20.693,ln3 1.099,ln5 1.609,ln7 1.946====）请考生在第22.23.24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知ABC ∆中，,AB AC D =为ABC ∆外接圆劣弧AC 上的点（不与点A .C 重合），延长BD E 至，延长AC BC 交的延长线于F .（1）求证：CDF EDF ∠=∠；（2）求证：AB AC DF AD FC FB ⋅⋅=⋅⋅.23.（本小题满分10分）选修4-4：极坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线12cos :3sin x C y αα=-+⎧⎨=+⎩（α为参数），28cos :x C y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）.（1）将12,C C 的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若1C 上的点P 对应的参数为2πα=，Q 为2C 上的动点，求PQ 中点M 到直线l ：cos 3πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()32f x x =+. （1）解不等式()41f x x <--；（2）已知()21,0m n m n +=>，若()()1230x a f x a m n--≤+>恒成立，求实数a 的取值范围.。
北京市东城区普通校2013届高三12月联考-数学理-Word版含答案
A．（1，1）
B．（ 1，1）
C．（ 1,1）
D．（1,1）
3． 已知 m,n 是两条不同直线，,, 是三个不同平
面，下列命题中正确的是
A
．
若 , ,则‖
B． 若m , n ,则m‖ n
C
．
若m‖ , n‖ ,则m‖ n
D． 若m‖, m‖ ,则‖
4． 一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为
14． [15,)
解：（Ⅰ）解：因为 cos2C=1-2sin2C= 1 ，及 4
0C 2
所
以
sinC= 10 ． 4
…………
……………… 4 分
（Ⅱ）解：当 a=2，2sinA=sinC 时，由正弦
定理 a c ，得 c=4 sin A sin C
………7 分
由 cos2C=2cos2C-1= 1 ，及0 C 得
②
①－②得
Sn 21 22 23 2n n 2n1
Sn
2(1 2n ) 1 2
n 2n1
………11 分
……
Sn 2(1 2n ) n 2n1 2 (n 1) 2n1
所以 Tn
2 (n 1) 2n1
n(n 1) 2
……………12 分 ……13 分
19．（本小题满分 14 分）
12 6
将点
(
,1)
代入
f
(x)
的解析式得
sin(
)
1，又
6
3
| | 2
故 所以 f (x) sin(2x ) ………………
5
6
6
分
（Ⅱ）由 得 (2a c) cos B b cosC 2sin A sin C) cos B sin B cosC
2021年高三数学12月联考试题 理 新人教A版
2021年高三数学12月联考试题理新人教A版本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前,考生务必填写好答题卷上的有关项目.2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答案涂在答题卷的相应位置上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 复数(其中为虚数单位)的虚部为( )A．B．C．D．2．命题“,”的否定是( )A．, B．,C．, D．,3. 设向量,,且,方向相反,则的值是( )A．B．C．D．4. 下列四个函数中,最小正周期为,且图象关于直线对称的是( )A．B．C．D．5．已知三个正态分布密度函数(,)的图象如图所示,则( ) Array A．,B．,C．,D．,6．已知在上是奇函数,且满足,当时,,则( )A．B．C．7．已知双曲线的中心在原点,一个焦点为,点在双曲线上方程是( )侧视图俯视图图2ABCDPO图4A ．B ．C ．D ．8. 由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年,德国数学家戴德金从连续性的要求出发,用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割),并把实数理论建立在严格的科学基础上,才结束了无理数被认为“无理”的时代,也结束了持续xx 多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割,是指将有理数集划分为两个非空的子集与,且满足,,中的每一个元素都小于中的每一个元素,则称为戴德金分割.试判断,对于任一戴德金分割,下列选项中,不可能成立的是( )A ．没有最大元素,有一个最小元素B ．没有最大元素,也没有最小元素C ．有一个最大元素,有一个最小元素D ．有一个最大元素,没有最小元素二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分） (一)必做题(9～13题)9. 一支田径队有男运动员人,女运动员人,现按性别用分层抽样的方法,从中抽取位运动员进行健康检查,则男运动员应抽取________人.10.一个几何体的三视图(单位:)如图所示,则该几何体的体积是 _ .11.某程序框图如图所示,该程序运行后,输出的值为,则等于______. 12.若(),记,则的值为_______.13.已知为平面内的一个区域.:点；:点.如果是的充分条件,那么区域的面积的最小值是_________．(二)选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）14.(坐标系与参数方程选讲选做题)在直角坐标系中,已知曲线:(为参数)与曲线:(为参数)相交于、两点,则线段的长为 .15.(几何证明选讲选做题)如图,、为的两条割线, 若,,,,则 .三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本题满分12分)设的内角所对边的长分别为,且. (Ⅰ) 求的度数； (Ⅱ) 若,,求的面积.CC 1B 1AA 1BD图517.(本题满分12分)某中学校本课程共开设了共门选修课,每个学生必须且只能选修门选修课,现有该校的甲、乙、丙名学生.(Ⅰ) 求这名学生选修课所有选法的总数； (Ⅱ) 求恰有门选修课没有被这名学生选择的概率； (Ⅲ) 求选修课被这名学生选择的人数的分布列和数学期望.18.(本题满分14分)如图,三棱柱中,,,平面平面, 与相交于点. (Ⅰ) 求证:平面； (Ⅱ) 求二面角的余弦值.19.(本题满分14分)已知各项均为正数的数列的前项和为,且(). (Ⅰ) 求的值及数列的通项公式； (Ⅱ) 记数列的前项和为,求证:()；20.(本题满分14分)已知两点、,动点与、两点连线的斜率、满足.(Ⅰ) 求动点的轨迹的方程；（Ⅱ）是曲线与轴正半轴的交点,曲线上是否存在两点、,使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在,请说明有几个；若不存在,请说明理由.21.(本题满分14分)已知函数,(其中).(Ⅰ) 如果函数和有相同的极值点,求的值,并直接写出函数的单调区间；(Ⅱ) 求方程在区间上实数解的个数.xx届七校第二次联考理科数学参考答案与评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分[必做题]9．； 10．； 11．； 12．； 13.； [选做题]14．； 15.CC 1 B 1AA 1BDH第18题传统法图B三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.【解析】(Ⅰ) 因为,,所以, ………………………………………………………………………2分 又,所以,所以, ………………………………………………4分因为,所以. …………………………………………………………………………6分 (Ⅱ) 在中, 由余弦定理可得,………………………………………8分 即,解得或(舍去) ……………………………………………………10分 所以 ……………………………………………………12分17.【解析】(Ⅰ)每个学生有四个不同选择,根据分步计数原理,选法总数 ………2分 (Ⅱ) 设“恰有门选修课没有被这名学生选择”为事件,则,即恰有门选修课没有被这名学生选择的概率为.…………………5分 (Ⅲ) 的所有可能取值为,且 , ,, ……………………………………………… 9分 所以的分布列为所以期望27279130123646464644EX =⨯+⨯+⨯+⨯=.…………………………………12分 或:因为选修课被每位学生选中的概率均为,没被选中的概率均为. 所以的所有可能取值为,且, , ,, …………………………………… 9分 所以的分布列为所以的数学期望.12分 18.【解析】(Ⅰ)依题意,侧面是菱形,是的中点,因为,所以, 又平面平面,且平面,平面平面所以平面.………………………………………………………………………………5分 (Ⅱ)[传统法]由(Ⅰ)知平面,面,所以, 又,,所以平面, 过作,垂足为,连结,则,所以为二面角的平面角. …………9分在中,, 所以,……12分所以,即二面角的余弦值是. ………………………14分[向量法]以为原点,建立空间直角坐标系如图所示, …………………………………6分 由已知可得112,1,AC AD BD A D DC BC =====故()()(()()10,0,0,1,0,0,,1,0,0,D A B C C -, 则,………………8分……………………10分 ……………………10分设平面的一个法向量是, 则,即,解得令,得………………………………………11分 显然是平面的一个法向量, ……………12分所以cos ,55DC DC DC⋅<>===n n n ,即二面角的余弦值是.………14分 19.【解析】(Ⅰ)当时,,解得或(舍去)． ……2分 当时,,,相减得,………4分 即,又,所以,则,所以是首项为,公差为的等差数列,故． ………………………………………6分 (Ⅱ) 证法一:当时,． ………………………………………………7分 当时,()()()3322111118881181n a n n n n n n n n ==<=⋅-+-……10分 所以()()3111111112161223233411n n n n ⎡⎤<+-+-++-⎢⎥⨯⨯⨯⨯-+⎣⎦ ()1111111581621816232n n ⎡⎤=+-<+⨯=⎢⎥+⎣⎦. 综上,对任意,均有成立.………………………………………………………14分 证法二:当时,． ………………………………………………7分 当时,先证,即证()()()232414420n n n n n n n n --=-+=-≥显然成立.所以………………………………………………10分 所以3111111111111511232223183283232n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤+-+-++-=+-<+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦,综上,对任意,均有成立.………………………………………………………………14分 20.【解析】(Ⅰ)设点的坐标为(),则,,……………………2分 依题意,所以,化简得,……………………………4分所以动点的轨迹的方程为().………………………………………5分 注:如果未说明(或注),扣1分. （Ⅱ）设能构成等腰直角,其中为,由题意可知,直角边,不可能垂直或平行于轴,故可设所在直线的方程为, (不妨设),则所在直线的方程为…………………………………………7分 联立方程,消去整理得,解得, 将代入可得,故点的坐标为. 所以HM ==………………………………………9分 同理可得,由,得,所以,整理得,解得或……………11分当斜率时,斜率；当斜率时,斜率； 当斜率时,斜率, 综上所述,符合条件的三角形有个.…………………………………………………………………14分21.【解析】(Ⅰ),则, ……………………………………………………1分 令,得或,而二次函数在处有极大值,所以或,解得或； ……………………………………………………………………………………4分 当时,的递增区间为,,递减区间为.………………………………5分 当时,的递增区间为,递减区间为.……………………6分 (Ⅱ)()()()()221f x g x x x a x a x a ⎡⎤-=---+-+⎣⎦,…………………………………………………………………………8分 令,,当即时,无实根,故原方程的解为,满足题意,即原方程有唯一实数解；……………………………………………………………9分 当即或时,若,则的实数解为,故原方程在区间上有唯一实数解；若,则的实数解为,故原方程在区间上有两实数解,或；……10分 当即或时,若,由于()()()110,01,31330h a h h a -=+<==->,此时在区间上有一实数解,故原方程有唯一实数解； …………………………………………………………………11分若时,由于()()()114,01,3133h a h h a -=+>==-,当即时,在区间上有唯一实数解,故原方程有一实数解； 若即时,在区间上无实数解,故原方程有无实数解；…13分 综上,当时,原方程在上无实数解；当或时,原方程在上有唯一实数解；当时,原方程在上有两不等实数解.……………………………………………………14分• 32403 7E93 纓@20347 4F7B 佻30086 7586 疆 o22218 56CA 囊21771 550B 唋R38738 9752 青(。
月北京市东城区高三数学理科联考试卷及答案
东城区普通校2012-2013学年第一学期联考试卷高三 数学（理科）命题校：125中 2012年12月本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．选出符合题目要求的一项填在机读卡上．1. 若集合{}0A x x =≥，且AB B =，则集合B 可能是（ ）A ．{}1,2B ．{}1x x ≤ C ．{}1,0,1- D ．R 2. 复数11i+在复平面上对应的点的坐标是（ ）A ．），（11 B ．），（11- C ．）（1,1-- D ．）（1,1- 3. 已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ） A ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖ B ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖C ．,,m n m n αα若则‖‖‖D ．,,m m αβαβ若则‖‖‖4. 一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m ）， 则该棱锥的体积是（ ）A ．34B ．8C ．4D ．38正视图 侧视图俯视图5．设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-+01042022x y x y x ，则目标函数x y z 32-=的最大值为（ ）A ．3-B ．2C ．4D ．56．已知数列}{n a 为等比数列，274=+a a ，865-=⋅a a ，则101a a +的值为（ ）A ．7B ．5-C ．5D ．7-7． 已知函数)(x f 在),0[+∞上是增函数，)()(x f x g -=，若)1()(lg g x g >，则x 的取值范围是（ ） A ．),10(+∞ B ．)10,101(C ．)10,0(D ．),10()101,0(+∞8．设1F 、2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=＞＞的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P ，满足212PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双 曲线的渐近线方程为（ ） A ．340x y ±= B ．350x y ±= C ．540x y ±=D ．430x y ±=第Ⅱ卷(非选择题，共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知53sin =α，且α为第二象限角，则αtan 的值为 . 10．已知向量(1,2),(1,0),(3,4)===a b c ．若λ为实数，()λ+a b ∥c ，则λ的值为 .11．椭圆22192x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =，12F PF ∠ 的小大为 . 12．若曲线21232-+=x x y 的某一切线与直线34+=x y 平行，则切点坐标 为 ，切线方程为 .13. 若0,0,2a b a b >>+=，则下列不等式对一切满足条件的,a b 恒成立的是 . (写出所有正确命题的编号)．①1ab ≤； ≤； ③ 222a b +≥；PDBACE④333a b +≥； ⑤112a b+≥ 14. 已知函数2)1ln()(x x a x f -+=在区间)1,0(内任取两个实数q p ,，且q p ≠，不等式1)1()1(>-+-+qp q f p f 恒成立，则实数a 的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知：在ABC ∆中, a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且角C 为锐角，1cos 24C =-（Ⅰ）求C sin 的值；（Ⅱ）当2=a ，C A sin sin 2=时，求b 及c 的长．16．（本小题满分13分）已知：函数()sin()(0,||)2f x M x M πωϕϕ=+><的部分图象如图所示．（Ⅰ）求 函 数()f x 的 解 析 式；（Ⅱ）在△ABC 中，角C B A 、、的 对 边 分 别是c b a 、、，若(2)cos cos ,()2Aa c Bb C f -=求 的 取 值 范 围．17．（本小题满分13分）已知：如图，在四棱锥ABCD P -中，四边形ABCD 为正方形，ABCD PA 面⊥，且2==AB PA ，E 为PD 中点．（Ⅰ）证明：PB //平面AEC ； （Ⅱ）证明：平面⊥PCD 平面PAD ；（Ⅲ）求二面角D AC E --的正弦值．18．（本小题满分13分）已知：数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足n a S n n -=2，)(*N n ∈.（Ⅰ）求：1a ，2a 的值； （Ⅱ）求：数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）若数列{}n b 的前n 项和为n T ，且满足n n na b =)(*N n ∈，求数列{}n b 的前n 项和n T .19．（本小题满分14分） 已知：函数)1ln(21)(2x ax x x f +--=，其中R a ∈. （Ⅰ）若2x =是)(x f 的极值点，求a 的值； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间；（Ⅲ）若)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0，求a 的取值范围. 20．（本小题满分14分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为3点构成的三角形的面积为3.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知动直线(1)y k x =+与椭圆C 相交于A 、B 两点. ①若线段AB 中点的横坐标为12-，求斜率k 的值；②若点7(,0)3M -，求证：MA MB ⋅为定值.东城区普通校2012-2013学年第一学期联考试卷答题纸高三 数学（理科）命题校：125中 2012年12月第Ⅰ卷请将1至8题的答案填涂在答题卡（即机读卡）相应的位置上.第Ⅱ卷9. 10.号11. 12.13. 14. 15．解：16．解：PDB ACE17．解：学号18．解：19.解：号学20.解：东城区普通校2012-2013学年第一学期联考答案高三数学（理科）参考答案（以下评分标准仅供参考，其它解法自己根据情况相应地给分）一.选择题1. A2. D3. B4. A5. C6. D7. B8. D 二.填空题 9．43-10． 2111． 120 12．（1，2），24-=x y 13．①③⑤ 14．),15[+∞ 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）解：因为cos2C=1-2sin 2C=14-，及20π<<C ,所以 ………… 4分（Ⅱ）解：当a=2，2sinA=sinC 时，由正弦定理a csin A sin C=，得c=4 ………7分 由cos2C=2cos 2C-1=14-，及20π<<C 得OECAB DP………………………9分 由余弦定理c 2=a 2+b 2-2abcosC ，得b 2b-12=0 …………………… 12分 解得……………………13分16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由图像知1=M ，)(x f 的最小正周期πππ=-=)6125(4T ，故2=ω …… 2分 将点)1,6(π代入)(x f 的解析式得1)3sin(=+ϕπ，又2||πϕ<故6πϕ=所以)62sin()(π+=x x f ……………… 5分（Ⅱ）由C b B c a cos cos )2(=-得C B B C A cos sin cos )sin sin 2=- 所以A C B B A sin )sin(cos sin 2=+=……………………8分因为0sin ≠A 所以21cos =B 3π=B 32π=+C A ………………9分)6sin()2(π+=A A f 320π<<A 6566πππ<+<A ……………………11分1)6sin()2(21≤+=<πA A f ……………………13分 17．（本小题满分13分）解： （Ⅰ）证明：连结BD 交AC 于点O ，连结EO ． ……………………1分O 为BD 中点，E 为PD 中点，∴EO//PB ． ……………………2分EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ， ……………………3分∴ PB//平面AEC ．PDBACEz yxECABDP（Ⅱ） 证明：PA ⊥平面ABCD ．⊂CD 平面ABCD ，∴CD PA ⊥． ……………………4分 又 在正方形ABCD 中AD CD ⊥且A AD PA =⋂， ……………………5分 ∴CD ⊥平面PAD ． ……………………6分 又 ⊂CD 平面PCD ，∴平面⊥PCD 平面PAD ． ……………………7分 （Ⅲ）如图，以A 为坐标原点，AP AD AB ,,所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系． ………8分由PA=AB=2可知A 、B 、C 、D 、P 、E 的坐标分别为A(0, 0, 0), B(2, 0, 0),C(2, 2, 0),D(0, 2, 0), P(0, 0, 2), E(0, 1, 1) ． ……………9分PA ⊥平面ABCD ，∴是平面ABCD 的法向量，=（0, 0, 2）．设平面AEC 的法向量为),,(z y x =, )0,2,2(AC 1),,1,0(AE ==,则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.0,0AE n 即⎩⎨⎧=++=++.0022,00y x z y ∴ ⎩⎨⎧-=-=.,y x y z∴ 令1-=y ,则)1,1,1(-=n . ………………11分 ∴31322||||,cos =⨯=⋅>=<n AP , …………………12分二面角D AC E --的正弦值为36…………………13分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）na S n n -=2令1=n ，解得11=a ；令2=n ，解得32=a ……………2分 （Ⅱ）na S n n -=2 所以)1(211--=--n a S n n ，（*,2N n n ∈≥）两式相减得121+=-n n a a ……………4分所以)1(211+=+-n n a a ，（*,2N n n ∈≥） ……………5分又因为211=+a所以数列{}1+n a 是首项为2，公比为2的等比数列 ……………6分所以n n a 21=+，即通项公式12-=n n a （*N n ∈） ……………7分（Ⅲ）n n na b =，所以n n n b nn n -⋅=-=2)12(所以)2()323()222()121(321n n T nn -⋅++-⋅+-⋅+-⋅=)321()2232221(321n n T nn ++++-⋅++⋅+⋅+⋅= ……9分 令nn n S 2232221321⋅++⋅+⋅+⋅= ①13222)1(22212+⋅+⋅-++⋅+⋅=n n n n n S ②①－②得132122222+⋅-++++=-n n n n S1221)21(2+⋅---=-n n n n S ……………11分 112)1(22)21(2++⋅-+=⋅+-=n n n n n n S ……………12分 所以2)1(2)1(21+-⋅-+=+n n n T n n ……13分 19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：(1)(),(1,)1x a ax f x x x --'=∈-+∞+. 依题意，令(2)0f '=，解得 13a =.经检验，13a =时，符合题意. ……4分（Ⅱ）解：① 当0=a 时，()1xf x x '=+.故)(x f 的单调增区间是(0,)+∞；单调减区间是)0,1(-. …………………5分② 当0a >时，令()0f x '=，得10x =，或211x a=-.当10<<a 时，()f x 与()f x '的情况如下：所以，()f x 的单调增区间是(0,1)a -；单调减区间是)0,1(-和(1,)a-+∞. 当1=a 时，)(x f 的单调减区间是),1(+∞-.当1a >时，210x -<<，()f x 与()f x '的情况如下：所以，()f x 的单调增区间是(1,0)a-；单调减区间是(1,1)a--和(0,)+∞. ③ 当0<a 时，)(x f 的单调增区间是(0,)+∞；单调减区间是)0,1(-. 综上，当0a ≤时，)(x f 的增区间是(0,)+∞，减区间是)0,1(-；当10<<a 时，()f x 的增区间是1(0,1)a -，减区间是)0,1(-和1(1,)a-+∞； 当1=a 时，)(x f 的减区间是),1(+∞-；当1a >时，()f x 的增区间是1(1,0)a -；减区间是1(1,1)a--和(0,)+∞.……11分（Ⅲ）由（Ⅱ）知 0a ≤时，)(x f 在(0,)+∞上单调递增，由0)0(=f ，知不合题意. 当10<<a 时，)(x f 在(0,)+∞的最大值是1(1)f a-， 由1(1)(0)0f f a->=，知不合题意.当1≥a 时，)(x f 在(0,)+∞单调递减，可得)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0)0(=f ，符合题意. 所以，)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0时，a 的取值范围是[1,)+∞. …………14分20．（本题满分14分）解：（Ⅰ）因为22221(0)x y a b a b+=>>满足222a b c =+，3c a =，…………2分1223b c ⨯⨯=2255,3a b ==，则椭圆方程为221553x y += ……………4分 （Ⅱ）（1）将(1)y k x =+代入221553x y +=中得 2222(13)6350k x k x k +++-=……………………………………………………6分 4222364(31)(35)48200k k k k ∆=-+-=+>2122631k x x k +=-+……………………………………………………………7分因为AB 中点的横坐标为12-，所以2261312k k -=-+，解得3k =±…………9分（2）由（1）知2122631k x x k +=-+，21223531k x x k -=+ 所以112212127777(,)(,)()()3333MA MB x y x y x x y y ⋅=++=+++ ……………11分2121277()()(1)(1)33x x k x x =+++++2221212749(1)()()39k x x k x x k =++++++………………………………………12分2222222357649(1)()()313319k k k k k k k -=+++-++++。
北京市东城区普通校2013届高三12月联考 理科数学
北京东城区普通校2012—2013学年高三第一学期联考数学(理)试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．选出符合题目要求的一项填在机读卡上．1． 若集合{}0A x x =≥，且A B B =，则集合B 可能是A ．{}1,2B ．{}1x x ≤C ．{}1,0,1-D ．R【答案】A 【解析】因为AB B =，所以B A ⊆，因为{}1,2A⊆，所以答案选A.2． 复数11i+在复平面上对应的点的坐标是 A ．），（11 B ．），（11- C ．）（1,1--D ．）（1,1-【答案】D【解析】复数111i i+=-,所以对应的点位(1,1)-，选D 。
3． 已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面,下列命题中正确的是A ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖B ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖C ．,,m n m n αα若则‖‖‖D ．,,m m αβαβ若则‖‖‖【答案】B【解析】根据线面垂直的性质可知，B 正确。
4． 一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m )， 则该棱锥的体积是A ．34B ．8C ．4D ．38【答案】A【解析】由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全等的三棱锥由图中数据知此两面皆为等腰直角三角形，高为2，底面边长为2，底面面积12222⨯⨯=故此三棱锥的体积为142233⨯⨯=，选A.5．设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-+01042022x y x y x ，则目标函数x y z 32-=的最大值为A ．3-B ．2C ．4D ．5【答案】C【解析】做出约束条件对应的可行域如图，，由23z y x =-得322z y x =+.做直线32y x =，平移直线得当直线322zy x =+经过点(0,2)B 时，直线322z y x =+的截距最大，此时z 最大,所以最大值234z y x =-=，选C.6．已知数列}{na 为等比数列，274=+a a ，865-=⋅a a ，则101a a +的值为A ．7B ．5-C ．5D ．7-【答案】D【解析】在等比数列中,56478a aa a ==-，所以公比0q <，又472a a +=，解得4724a a =-⎧⎨=⎩或4742a a =⎧⎨=-⎩.由4724a a =-⎧⎨=⎩，解得1312a q =⎧⎨=-⎩,此时93110111(2)7a a a a q +=+=+-=-。
【高三数学试题精选】北京东城区高三上册理科数学12月联考试题(带答案)
∴
∴令,则………………11分
∴,…………………12分
二面角的正弦值为…………………13分
18．（本小题满分13分）
解（Ⅰ）
令，解得；令，解得……………2分
（Ⅱ）
所以，（）
两式相减得……………4分
所以，（）……………5分
又因为
所以数列是首项为，比为的等比数列……………6分
所以，即通项式（）……………7分
由PA=AB=2可知A、B、c、D、P、E的坐标分别为
A(0, 0, 0), B(2, 0, 0),c(2, 2, 0),
D( 0, 2, 0), P(0, 0, 2), E(0, 1, 1)．……………9分
PA平面ABcD，∴是平面ABcD的法向量，=（0, 0, 2）．
设平面AEc的法向量为, ,
由，知不合题意
当时，在单调递减，
可得在上的最大值是，符合题意
所以，在上的最大值是时，的取值范围是…………14分
20．（本题满分分）
解（Ⅰ）因为满足，，…………2分
。解得，则椭圆方程为……………4分
（Ⅱ）（1）将代入中得
……………………………………………………6分
……………………………………………………………7分
故所以………………5分
（Ⅱ）由得
所以……………………8分
因为所以………………9分
……………………11分
……………………13分
17．（本小题满分分）
Hale Waihona Puke 解（Ⅰ）证明连结BD交Ac于点，连结E．……………………1分
为BD中点，E为PD中点，
∴E//PB．……………………2分
E平面AEc，PB平面AEc，……………………3分
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高三 数学（理科）命题校：65中 2013年12月本试卷共 10 页， 150 分，考试用长 120 分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
选出符合题目要求的一项填在机读卡上。
1. 已知集合{}30R <<∈=x x A ，{}4R 2≥∈=x x B ，则=B A ( ) （A ）{}32<<x x （B ）{}32<≤x x （C ）{}322<≤-≤x x x 或 （D ） R 2. 在复平面内，复数i(i 1)-对应的点在( )（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 3. 等差数列}{n a 中，42a =，则7S 等于( ) （A ）28（B ）14（C ）3.5（D ）74. 已知α，β为不重合的两个平面，直线α⊂m ，那么“β⊥m ”是“βα⊥”的( ) （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件5. 若向量a ，b 满足1=a ，2=b ，且()⊥a a +b ，则a 与b 的夹角为( )（A ）2π （B ）23π （C ）34π （D ）56π 6. 某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ） （A ）8（B ）83 （C ）4（D ）437.与直线40x y 和圆22220x y x y 都相切的半径最小的圆的方程是( )（A ） 22(1)(1)2x y （B ）22(1)(1)4x y （C ）22(1)(1)2xy （D ）22(1)(1)4x y8. 已知函数)(x f 的定义域为R ，若存在常数0>m ，对任意x ∈R ，有|()|||f x m x <，则称)(x f 为F 函数．给出下列函数：①2)(x x f =；②x x x f cos sin )(+=；③1)(2++=x x xx f ；④)(x f 是定义在R 上的奇函数，且满足对一切实数21,x x 均有 21212)()(x x x f x f -≤-．其中是F 函数的序号为 ( )（A ）①② （B ）①③ （C ）②④ （D ）③④第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
9. 命题“000(0,),tan sin 2x x x π∃∈>”的否定是 .10. 过双曲线221916x y 的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是 .(结果写成一般式)11. 若实数,x y 满足条件10,2,1,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2x y +的最大值为_____.12. 设0.51()2a =，0.50.3b =，0.3log 0.2c =，则,,a b c 的大小关系是_____.（从小到大用“<”连接）13. 曲线3y x =与直线1x =及x 轴所围成的图形的面积为 ．14. 无穷等差数列}{n a 的各项均为整数，首项为1a 、公差为d ，n S 是其前n 项和，3、21、15是其中的三项，给出下列命题；①对任意满足条件的d ，存在1a ，使得99一定是数列}{n a 中的一项； ②对任意满足条件的d ，存在1a ，使得30一定是数列}{n a 中的一项；③存在满足条件的数列}{n a ，使得对任意的n ∈N *，n n S S 42=成立。
其中正确命题为 。
（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）已知函数()sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><（Ⅰ）求,ωϕ的值；C BO AP（Ⅱ）设()()()4g x f x f x π=-，求函数()g x 的单调递增区间.16．（本小题满分13分）设ABC ∆中的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且54cos =B ,2=b . （Ⅰ）当35=a 时，求角A 的度数； （Ⅱ）求ABC ∆面积的最大值.17．（本小题满分13分）在三棱锥P ABC -中，PAC ∆和PBC ∆的等边三角形，2AB =，O 是AB 中点．（Ⅰ）在棱PA 上求一点M ，使得OM ∥平面PBC ； （Ⅱ）求证：平面PAB ⊥平面ABC ； （Ⅲ）求二面角P BC A --的余弦值．18．（本小题满分13分）已知数列}{n a 是等差数列,22 , 1063==a a ，数列}{n b 的前n 项和是n T ，且131=+n n b T .（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）求证：数列}{n b 是等比数列； （Ⅲ）记n n n b a c ⋅=，求证：n n c c <+1.19．（本小题满分14分）已知函数22()ln (0)a f x a x x a x=++≠． （Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y -=垂直，求实数a 的值； （Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅲ）当(,0)a ∈-∞时，记函数()f x 的最小值为()g a ，求证：21()e 2g a ≤． 20．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1x y C a b += (0)a b >>经过点3(1,),2M 其离心率为12.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设直线1:(||)2l y kx m k =+≤与椭圆C 相交于A 、B 两点，以线段,OA OB 为邻边作平行四边形OAPB ，其中顶点P 在椭圆C 上，O 为坐标原点.求OP 的取值范围.东城区普通校2013-2014学年第一学期联考答案高三数学（理科）参考答案（以下评分标准仅供参考，其它解法自己根据情况相应地给分）一.选择题二、填空题9. (0,),tan sin 2x x x π∀∈≤ 10. 43200x y 11. 412. b a c << 13.1414. ①③（答对1个给2分，有错误答案不给分）三、解答题15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由图可知πππ=-=)42(4T ,22==Tπω， -------------2分又由1)2(=πf 得，1)sin(=+ϕπ，又(0)1f =-，得sin 1ϕ=-πϕ<||2πϕ-=∴， ------------4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：x x x f 2cos )22sin()(-=-=π------------6分因为()(cos 2)[cos(2)]cos 2sin 22g x x x x x π=---=1sin 42x =------------9分 所以，24222k x k ππππ-≤≤+，即(Z)2828k k x k ππππ-≤≤+∈ ----------12分 故函数()g x 的单调增区间为[,] (Z)2828k k k ππππ-+∈.----------13分16. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为54cos =B ，所以53sin =B . ---------------2分 因为35=a ，2=b ，由正弦定理B b A a sin sin =可得21sin =A . -------------4分 因为b a <，所以A 是锐角，所以o 30=A . ---------------6分（Ⅱ）因为ABC ∆的面积ac B ac S 103sin 21==， ------------------7分 所以当ac 最大时，ABC ∆的面积最大.因为B ac c a b cos 2222-+=，所以ac c a 58422-+=. -----------------9分 因为222a c ac +≥，所以8245ac ac -≤， ----------------11分所以10≤ac ，（当a c == -----------------12分 所以ABC ∆面积的最大值为3. ---------------13分17.（本小题满分13分）（Ⅰ）当M 为棱PA 中点时，OM ∥平面PBC . --------------------1分证明如下：,M O 分别为,PA AB 中点，∴OM ∥PB --------------------2分又PB ⊂平面PBC ，OM ⊄平面PBCOM ∴∥平面PBC . --------------------4分（Ⅱ）连结OC ，OPAC CB ==O 为AB 中点，2AB =,OC ∴⊥AB ，1OC =. --------------------5分y同理, PO ⊥AB，1PO =. --------------------6分 又PC =2222PC OC PO ∴=+=, 90POC∴∠=.PO ∴⊥OC . --------------------7分PO ⊥OC ,PO ⊥AB ,AB OC O ⋂=,PO ∴⊥平面ABC . --------------------8分PO ⊂平面PAB∴平面PAB ⊥平面ABC . --------------------9分（Ⅲ）如图,建立空间直角坐标系O xyz -.则(1,0,0)B ，(0,1,0)C ，(0,0,1)P ，(1,1,0)BC ∴=-，(1,0,1)PB =- .由（Ⅱ）知(0,0,1)OP =是平面ABC 的一个法向量. ----------11分 设平面PBC 的法向量为(,,)x y z =n ，则0000BC x y x z PB ⎧⋅=-+=⎧⎪⇒⎨⎨-=⋅=⎩⎪⎩n n .令1z =，则1,1x y ==，∴平面PBC 的一个法向量(1,1,1)=n . --------------------12分cos ,3||||OP OP OP ⋅∴<>===⋅n n n . 二面角PBC A --的平面角为锐角，∴所求二面角P BC A -- --------------------13分18.（本小题满分13分）解：（1）由已知⎩⎨⎧=+=+.225,10211d a d a ----------2分解得 .4,21==d a ----------3分.244)1(2-=⨯-+=∴n n a n-----------4分（2）由于n n b T 311-=， ① 令n =1，得.31111b b -= 解得431=b ， -----------5分当2≥n 时，11311---=n n b T ②① －②得n n n b b b 31311-=- ， --------------------6分141-=∴n n b b --------------------7分又0431≠=b , .411=∴-n n b b --------------------8分∴数列}{n b 是以43为首项，41为公比的等比数列 --------------------9分 （3）由（2）可得.43n n b =--------------------10分n n n n n b a c 4)24(3-=⋅=--------------------11分.436304)24(34]2)1(4[3111+++-=---+=-n n n n n nn n c c--------------------12分 1≥n ，故.01<-+n n c c .1n n c c <∴+--------------------13分19. （本小题满分14分）解：（I ）()f x 的定义域为{|0}x x >. --------------------1分()()22210a a f x x x x '=-+>. --------------------2分根据题意，有()12f '=-，所以2230a a --=， --------------------3分解得1a =-或32a =. --------------------4分 （II ）()()22222222()(2)10a a x ax a x a x a f x x x x x x +--+'=-+==>.-------------5分（1）当0a >时，因为0x >，由()0f x '>得()(2)0x a x a -+>，解得x a >； 由()0f x '<得()(2)0x a x a -+<，解得0x a <<.所以函数()f x 在(),a +∞上单调递增，在()0,a 上单调递减. ----------------7分 （2）当0a <时，因为0x >，由()0f x '>得 ()(2)0x a x a -+>，解得2x a >-； 由()0f x '<得()(2)0x a x a -+<，解得02x a <<-.所以函数()f x 在()0,2a -上单调递减，在()2,a -+∞上单调递增. --------9分（III ）由（Ⅱ）知，当(,0)a ∈-∞时，函数()f x 的最小值为()g a ，且22()(2)ln(2)2ln(2)32a g a f a a a a a a a a=-=-+-=--- 2)2ln(322)2ln()(--=---⋅+-='a aa a a g ， --------10分 令()0g a '=，得21e 2a =-. 当a 变化时，()g a '，()g a 的变化情况如下表：----------------12分21e 2-是()g a 在(,0)-∞上的唯一极值点，且是极大值点，从而也是()g a 的最大值点.所以()22221111(e )e ln[2(e )]3(e )2222最大值g a g =-=--⨯---2222131e ln e e e 222=-+=.----------------13分 所以，当(,0)a ∈-∞时，21()e 2g a ≤成立. ----------------14分20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知可得222214a b e a -==，所以2234a b = ① --------------1分 又点3(1,)2M 在椭圆C 上，所以221914a b+= ② ------------2分 由①②解之，得224,3a b ==.故椭圆C 的方程为22143x y +=. ------------5分 (Ⅱ) 由22,1.43y kx m x y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消y 化简整理得：222(34)84120k x kmx m +++-=，222222644(34)(412)48(34)0k m k m k m ∆=-+-=+-> ③ -----------8分 设,,A B P 点的坐标分别为112200(,)(,)(,)x y x y x y 、、，则 012012122286,()23434km mx x x y y y k x x m k k=+=-=+=++=++. -------9分 由于点P 在椭圆C 上，所以 2200143x y +=. -------10分 从而222222216121(34)(34)k m m k k +=++， 化简得22434m k =+，经检验满足③式. -------11分又||OP ===== -------12分因为12k ≤，得23434k <+≤，有2331443k ≤<+，OP ≤≤. 即所求OP的取值范围是2. -------14分 (Ⅱ)另解：设,,A B P 点的坐标分别为112200(,)(,)(,)x y x y x y 、、， 由,A B 在椭圆上，可得2211222234123412x y x y ⎧+=⎨+=⎩①② -------6分 ①—②整理得121212123()()4()()0x x x x y y y y -++-+=③ -------7分由已知可得OP OA OB =+，所以120120x x x y y y +=⎧⎨+=⎩④⑤ -------8分由已知当1212y y k x x -=- ,即1212()y y k x x -=- ⑥ -------9分把④⑤⑥代入③整理得0034x ky =- -------10分与22003412x y +=联立消0x 整理得202943y k =+ -------11分由22003412x y +=得2200443x y =-， 所以222222000002413||4443343OP x y y y y k =+=-+=-=-+ -------12分 因为12k ≤，得23434k ≤+≤，有2331443k ≤≤+，OP ≤分 所求OP的取值范围是. -------14分。