利用导数研究函数的极值ppt课件(自制)

y
y=f(x)
f '(x)<0
f '(x)>0
oa
bx
oa
bx
如果在某个区间内恒有 f(x)0,则 f (x)为常数函数.
2.求函数单调区间的一般步 骤
①求函数的定义域;
②求函数的导数 f ′(x) ;
③解不等式 f ′(x) >0 得f(x)的
单调递增区间;
解不等式 f ′(x) <0 得f(x)的
1.3.2利用导数研究 函数的极值
一、知识回顾:
1.定义:一般地,设函数y=f(x)在某个区间（a，b）内有
导数,如果在 这个区间内f ′ (x) >0,那么函数y=f(x) 为这 个区间内 的增函数;如果在这个区间内f ′ (x) <0,那么 函数y=f(x) 为这个区间内的减函数.
y
y=f(x)
x (-∞,-a) -a (-a,0) (0,a) a (a,+∞)
f’(x) +
0
--
0
+
f(x) ↗ 极大值-2a ↘ ↘ 极小值2a ↗
故当x=-a时,f(x)有极大值f(-a)=-2a;当x=a时,f(x)有极 小值f(a)=2a.
6x
练习1:求函数
y 1
x2
的极值.
解:
y
6(1 x2) (1 x2)2
79.有两种东西，我们对它们的思考 愈是深 沉和持 久，它 们所唤 起的那 种愈来 愈大的 惊奇和 敬畏就 会充溢 我们的 心灵， 这就是 繁星密 布的苍 穹和我 心中的 道德律 。 ――[康德]
80.我们的生活似乎在代替我们过日 子，生 活本身 具有的 奇异冲 力，把 我们带 得晕头 转向； 到最后 ，我们 会感觉 对生命 一点选 择也没 有，丝 毫无法 作主。 ――[索 甲仁波 切] 81.如果你是个作家，这是比当百万 富豪更 好的事 ，因为 这一份 神圣的 工作。[哈兰·爱里森]
思考：极值与 最值的区别?
O a x1 x2
(1)极值是一个局部概念
x3 x4 b x
(2)极值点是自变量的值，极值指的是函数值;
(3)函数的极大(小)值不是唯一的.
(4)函数的极大值与极小值之间无法确定大小;
(5)函数的极值点一定在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。
(6)当函数f(x)在某区间上连续且有有限极值点时,函数f(x)在
.
令 y=0,解得x1=-1,x2=1.
当x变化时, y,y的变化情况如下表:
x (-∞,-1) -1 (-1,1) 1
y’ -
0
+
0
y ↘ 极小值-3 ↗ 极大值3
因此,当x=-1时有极小值,并且,y极小值=-3; 而,当x=1时有极大值,并且,y极大值= 3.
(2,+∞) ↘
例3:已知函数f(x)=-x3+ax2+b.
82.成为一个成功者最重要的条件， 就是每 天精力 充沛的 努力工 作，不 虚掷光 阴。― ―[威廉 ·戴恩·飞利浦] 83.人生成功的秘诀是，当机会来到 时，立 刻抓住 它。― ―[班杰 明·戴 瑞斯李] 84.不停的专心工作，就会成功。― ―[查尔 斯·修 瓦夫]
40.你要确实的掌握每一个问题的核 心，将 工作分 段，并 且适当 的分配 时间。[富兰克 林] 85.每一年，我都更加相信生命的浪 费是在 于：我 们没有 献出爱 ，我们 没有使 用力量 ，我们 表现出 自私的 谨慎， 不去冒 险，避 开痛苦 ，也失 去了快 乐。― ―[约翰 ·B·塔 布]
极大值与极小值统称为极值,x0叫做函数的极值点.
试指出该函数的极值点与极值,并说出哪些是极 大值点,哪些是极小值点.
3.探索思考：
yFra Baidu bibliotek
f (x3)
f (x4 )
f (x1 )
f (x2)
O a x1
x2
x3 x4 b
x
f (x3 ) 4y .极值的几点说明
f ( x4 )
f (x1 )
f (x2 )
88.每个意念都是一场祈祷。――[詹 姆士·雷德非] 89.虚荣心很难说是一种恶行，然而 一切恶 行都围 绕虚荣 心而生 ，都不 过是满 足虚荣 心的手 段。― ―[柏格 森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变 成某种 定型的 化石， 我们的 心灵正 在失去 自由， 成为平 静而没 有激情 的时间 之流的 奴隶。 ――[托 尔斯泰 ]
4,极小值为0.试确定a,b,c的值. 解: f(x ) 5 a4 x 3 b2 x x 2 (5 a2 x 3 b ).
由题意, f(x ) 0 应有根 x 1 ,故5a=3b,于是:
f(x)5a2 x (x21).
(1)设a>0,列表如下:
x (,1)-1 (-1,1) 1
f(x) + 0 — 0 +
77.一个客观的艺术不只是用来看的 ，而是 活生生 的。但 是你必 须知道 如何去 靠近它 ，因此 你必须 要做静 心。― ―[OSHO] 78.烦恼使我受着极大的影响……我 一年多 没有收 到月俸 ，我和 穷困挣 扎；我 在我的 忧患中 十分孤 独，而 且我的 忧患是 多么多 ，比艺 术使我 操心得 更厉害 ！――[米开朗 基罗]
函数在X=0的函数值比它附
近所有各点的函数值都大，我
y
们说f(0)是函数的一个极大值；
函数在X=2的函数值比它附近
所有各点的函数值都小，我们
说f(2)是函数的一个极小值。
2
x
0
2.函数极值的定义
已知函数y=f(x)，设x0是定义域（a,b)内任一点 (1)如果对x0附近的所有点x,都有f(x)<f(x0),则称 f(x0)是函数y=f(x)的一个极大值.记作:y极大=f(x0) (2)如果对x0附近的所有点x,都有f(x)>f(x0),则称 f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值.记作:y极小=f(x0)
单调递减区间.
度3关.最思注大用考,导那：数么本函观质数察及下其h图几（何，t）意当在义t=此解t0决点时问的距题导地数面是的多高
少呢？此点附近的图象有什么特点？相应地， 导数的符号有什么变化规律？
二、新课讲解——函数的极值:
1. 观察右下图为函数y=2x3-6x2+7的图象,
从图象我们可以看出什么？
91.要及时把握梦想，因为梦想一死 ，生命 就如一 只羽翼 受创的 小鸟， 无法飞 翔。― ―[兰斯 顿·休 斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而 较不像 跳舞的 艺术； 最重要 的是： 站稳脚 步，为 无法预 见的攻 击做准 备。― ―[玛科 斯·奥 雷利阿 斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还 有些使 人烦恼.怀疑.感到压 迫的事 。请你 看看蔚 蓝的天 空和闪 烁的星 星吧!你的心将 会平静 下来。[约翰·纳森·爱 德瓦兹]
94.对一个适度工作的人而言，快乐 来自于 工作， 有如花 朵结果 前拥有 彩色的 花瓣。 ――[约 翰·拉 斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没 有比时 间更珍 贵的了 ，因为 没有时 间我们 几乎无 法做任 何事。 ――[威廉·班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自 认正在 为一个 伟大目 标运用 自己； 而不是 源于独 自发光.自私渺 小的忧 烦躯壳 ，只知 抱怨世 界无法 带给你 快乐。 ――[萧伯纳]
练 习 ： y 8 x3 － 1 2 x2 6 x 1
例2:求函数 f(x)xax2(a0)的极值. 解:函数的定义域为(,0 ) (0 ,) ,
f(x)1a x2 2(xax )2x (a).
令 f(x)0,解得x1=-a,x2=a(a>0).
当x变化时, f (x),f(x)的变化情况如下表:
86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴 里哼着 歌儿。 倘使你 不会唱 歌，吹 吹口哨 或用鼻 子哼一 哼也可 。如此 一来， 你想让 自己烦 恼都不 可能。 ――[戴 尔·卡 内基] 87.当一切毫无希望时，我看着切石 工人在 他的石 头上， 敲击了 上百次 ，而不 见任何 裂痕出 现。但 在第一 百零一 次时， 石头被 劈成两 半。我 体会到 ，并非 那一击 ，而是 前面的 敲打使 它裂开 。――[贾柯·瑞斯]
f(x)达到极小值f(0)=b,所以b=-1.
(2)等价于当 x[0,1]时,-3x2+2ax≥-1恒成立,即g(x)= 3x2-2ax-1≤0对一切 x[0,1恒] 成立.
由于g(0)=-1≤0,故只需g(1)=2-2a≤0,即a≥1.
例4:已知f(x)=ax5-bx3+c在x=1处有极值,且极大值为
该区间内的极大值点与极小值点是交替出现的.
5.函数的极值与导数的关系
y
y
f(x0)0
f(x)0 f(x)0
oa
X00 b
x
f(x)0
f(x)0
f(x0)0
o a X0
bx
(1)如果f /(x0)=0, 并且在x0附近的左侧 f /(x)>0
右侧f /(x)<0, 那么f(x0)是极大值（左正右负）
(2)如果f /(x0)=0, 并且在x0附近的左侧 f /(x)<0
右侧f /(x)>0, 那么f(x0)是极小值（左负右正）
y
y
f(x0)0
f(x)0 f(x)0
oa
X00 b
x
f(x)0
f(x)0
f(x0)0
o a X0
bx
从曲线的切线角度看,如果曲线在极值点 处有切线，那么曲线在极值点处切线的斜 率为0,并且,曲线在极大值点处切线的斜率 左侧为正,右侧为负;曲线在极小值点处切线 的斜率左侧为负,右侧为正.
f(x) ↗ 极大 ↘ 极小 ↗
值
值
由表可得40ff((11)),即aabbcc04.
(1,)
又5a=3b,解得a=3,b=5,c=2. (2)设a<0,列表如下:
x (,1) -1 (-1,1) 1 (1,)
f (x)
-
0
≥0 0
-
f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
由表可得04ff((11)),即aabbcc40. 又5a=3b,解得a=-3,b=-5,c=2.
四.探索思考:
导数值为0的点一定是函数的极值点吗?
思考：y=x3在x=0处的导数？ 可导函数的极值点一定是它导数为零的点, 反之函数的导数为零的点,不一定是该函数的 极值点.
因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要 条件,其充分条件是在这点两侧的导数异号.
结论 x0左： 右两 侧 x0是 f(导 x)的数 极 异 f值 (x0) 号 0 点
(1)若函数f(x)在x=0,x=4处取得极值,且极小值为-1, 求a、b的值.
(2)若 x[0,1],函数f(x)图象上的任意一点的切线斜 率为k, 若k≥-1恒成立，试求a的取值范围 .
解:(1)由 f(x)3x22a x0得x=0或x=4a/3.故4a/3=4,
a=6.
由于当x<0时, f(x ) 0 ,当x>0时, f(x ) 0 .故当x=0时,
课堂总结
1.求函数极值的步骤
（1） 求导数f/(x)； （2） 解方程 f/(x)=0 （3） 通过列表检查f/(x)在方程f/(x)=0的根的左右两侧的
符号，进而确定函数的极值点与极值.
2.若函数f(x)可导,判别f(x0)是极大(小)值的方法是:
(1):如果在x0附近的左侧 f(x ) 0 ,右侧 f(x ) 0 , 那么f(x0)是极大值;
三、例题选讲:
例1. 求 y 1 x 3 4 x 4 的 极 值 ,并 画 出 函 数 的 大 致 图 象
解: yx2 3 4(x2 )x (2 ).
令 y 0,解得x1=-2,x2=2. 当x变化时, y ,y的变化情况如下表:
x (-∞,-2) -2
(-2,2) 2
(2,+∞)
y’ +
19、上天不会亏待努力的人，也不会 同情假 勤奋的 人，你 有多努 力时光 它知道 。 20、成长这一路就是懂得闭嘴努力， 知道低 调谦逊 ，学会 强大自 己，在 每一个 值得珍 惜的日 子里， 拼命去 成为自 己想成 为的人 。6.凡 是内心 能够想 到.相信 的，都 是可以 达到的 。――[NapoleonHill]
(2):如果在x0附近的左侧 f(x ) 0 ,右侧 f(x ) 0 , 那么,f(x0)是极小值.
人生，就要活得漂亮，走得铿锵。自 己不奋 斗，终 归是摆 设。无 论你是 谁，宁 可做拼 搏的失 败者， 也不要 做安于 现状的 平凡人 。 18、过自己喜欢的生活，成为自己喜 欢的样 子，其 实很简 单，就 是把无 数个"今 天"过 好，这 就意味 着不辜 负不蹉 跎时光 ，以饱 满的热 情迎接 每一件 事，让 生命的 每一天 都有滋 有味。
0
-
0
+
y
↗ 极大值28/3 ↘ 极小值-4/3
↗
因此,当x=-2时有极大值,并且,y极大值=28/3; 而,当x=2时有极小值,并且,y极小值=- 4/3.
小结：求函数极值的步骤
（1） 求导数f/(x)； （2） 解方程 f/(x)=0 （3） 通过列表检查f/(x)在方程f/(x)=0 的根的左右两侧的符号，进而确定函 数的极值点与极值.