群论-3 群的表示理论

R-1 = R†
定理3.1：有限群的任何非奇异的矩阵表示，都可以通过 相似变换变成幺正表示——幺正矩阵构成的表示
证明：设D(G) = {D(e), D(g2), D(g3),…D(gN)}是有限群 G = { e, g2, g3,…gN}的一个矩阵表示，其中N = |G|是群G的阶
引入厄米矩阵：H = D g D† (g) H † gG
设： 则：
n
Aˆ e j Aijei i 1
A' = S-1AS ，
n
Aˆ f j A'ij fi i 1
x'1
x1
x'2
M
S
1
x2
M
x'n
xn
n
n
x xiei x' j f j
i 1
j 1
3 几种算符
群论-群的表示理论-线性算符及其矩阵表示
厄密共轭算符：对于空间Vn上任一算符Â，如果有另一个算 符Â †满足以下关系：
群论-群的表示理论-群的线性表示
4 可约与不可约表示
不变子空间
设Vn是群G的表示空间，Vm是Vn的一个子空间 对于子空间任一矢量x'，有
D(gi) x'∈ Vm ，∀gi ∈G， 则Vm称为表示D(G)的不变子空间
——不变子空间中任一矢量在表示D(G)中任一线性变换的作 用下是封闭的
设Vn是群G的表示空间， {e1,e2,…,en}是Vn的一组正交归 一基矢，则表示矩阵的矩阵元可写为
用坐标变换矩阵来描述D3群的元素。建立 如右所示坐标系，可以得到如下的表示矩
阵。也称为对称群的自然表示
< e1 g e1 >
D g < e2 g e1 >
< e3 g e1 >
< e1 g e2 > < e2 g e2 > < e2 g e3 >
< e1 g e3 > < e2 g e3 > < e3 g e3 >
d
1 2
gG
1
Hd 2 D'
gi
11
Hd2 Hd2 D'†
gi
1
Hd 2
D'' gi D''† gi
群论-群的表示理论-群的线性表示
其中
D''源自gi1Hd 2D'
gi
1
Hd2
1
Hd 2U D
g
(
H
d
1
2U
)1
VD
g
V 1
这样我们得到了：
D'' gi D''† gi E，gi G
厄米矩阵可以通过某一幺正矩阵 U 对角化——
群论-群的表示理论-群的线性表示
UHU 1 UD g U 1UD† g U 1 gG
D' g D'† g Hα (dkδkj )
gG
D' g UD gU 1
可以证明所有的对角元素dk都是正的
dk
D'kj
g
D'
† jk
g
D'kj
(ei, †ej) = (Âei, ej) 则算符 † 称为算符  的厄密共轭算符
如果{e1, e2, …,en}是正交归一化基矢组，则：
(ei, †ej) = ΣkA†kj(ei, ek) = ΣkA*jk (ei, ek)
=
A*ji
=
Ã
* ij
=
(A†)ij
——在正交归一化基中，算符Â 的矩阵为A，而它的厄密共轭 算符Â †的表示矩阵为A的厄米共轭矩阵A†
4) 任何一个群都有一个表示：恒等表示，这是一个1维的表 示，所有的群元都对应于一维单位矩阵 (1) 。
一个矩阵对应于一个线性空间中的线性变换 如果线性空间选择不同的基矢，表示线性变换的矩阵就会发 生相应的改变
——可以由同一个矩阵表示得到无穷多个其他的矩阵表示
群论-群的表示理论-群的线性表示
D3 群的表示
n阶方阵实际上是n维线性空间上的一个线性变换； 给定表示空间的一组基矢，线性变换可以用矩阵形式描述
——线性表示和矩阵表示只是说法不同
群论-群的表示理论-群的线性表示 基本性质
1) D(e) = E ，E是l×l的单位矩阵；
2) D(a -1) = [D(a)] -1
3) 一个群的表示必然自动地就是其子群的一个表示。
3 / 2 1/ 2
2 等价表示
群论-群的表示理论-群的线性表示
矩阵的相似变换： M' = S -1MS
等价表示：两个以相似变换联系起来的表示称为等价表示 记作D(G) ~ D'(G) 。
相似变换实际上可认为是坐标系的变换（基矢变换）
——故可认为一切等价表示都是相同的表示。
通过相似变换，可由一个矩阵表示得到无穷多个等价的表示 假定D'是由矩阵S决定的相似变换D，则
x1
x
=
x2
M
x3
群论-群的表示理论-线性算符及其矩阵表示
线性算符
线性空间Vn上任意一个矢量x → Vn′上有唯一的矢量 y
对应规则 Â称为Vn到Vn'的一个算符： y = Âx
如果以上对应规则是一对一的，则存在逆算符Â-1： x = Â-1y
如果空间Vn'就是空间Vn时，Â称为空间Vn上的一个算符。
群论-群的表示理论-线性算符及其矩阵表示
基矢变换
转移矩阵：设{e1, e2, …,en}和{f1, f2, …,fn}是线性空间Vn上的两 组不同的正交归一化基矢组，若将 fj 写为
n
f j Sijei ， j = 1, 2, …,n i 1
则 S 称为从基{e1, e2, …,en}到基{f1, f2, …,fn}的转移矩阵 相应地算符 Ŝ 称为转移算符
线性变换（通常也称为算符）是定义在线性空间中的，这 个线性空间就称为表示空间。
对于给定的n维线性空间，如果选定一组基矢，其中的任一 线性变换就可以表示为一个n阶方阵
群的线性表示常用矩阵的形式来描述，称为矩阵表示。我 们对矩阵更为熟悉，所以就从矩阵形式的描述开始
1 矩阵表示
群论-群的表示理论-群的线性表示
内积，内积空间
线性空间Vn上的任一矢量x，当选择{e1, e2, …,en}为基矢组时， 也可展开为
x = x1e1 + x2e2 + …+ xnen x1, x2,…, xn即为矢量x在基矢e1, e2, …,en上的坐标
x可以用它的坐标来表示： x = (x1, x2,…, xn)
常把(x1, x2,…, xn)写成单列矩阵，称之为 矢量x的列向量表示
如果 Â(x+y) = Âx+Ây Â(αx) = αÂx
则 Â称为线性算符。
群论-群的表示理论-线性算符及其矩阵表示
2 矩阵表示 算符的矩阵形式 用矩阵形式表示算符，则需引进坐标系 令e1, e2, …,en为空间Vn上的一组正交归一基矢
 对任一基矢ej的作用可以写成n个基矢的线性组合：
Aˆ e j Aijei
Dij (g) ei Dˆ g e j
群论-群的表示理论-群的线性表示
如果一个表示存在不变子空间：
设Vn是群G的表示空间，Vm是其不变子空间 {e1, e2,…,em, em+1,…,en}是Vn的一组正交归一基矢
其中前m个基矢是子空间Vm的基矢， 则当j = 1，2，…m，i = m+1，…，n时，Dij (g) = 0。
即D''(gi)是幺正矩阵。——有限群G的任一表示D(g)都可以通过 矩阵 V 等价于一个幺正表示D'' (g)——可以只讨论幺正表示
定理3.2：若群G的两个幺正表示D(G)和D'G)是等价的， 那么必然存在一个幺正矩阵U，使得
D' a U 1DaU，a G
证明从略。 ——等价的幺正表示可以通过幺正矩阵进行相似变换
，将Hd写成
H
2 d
H
2 d
并代入前式，两边
同时左乘和右乘
1
Hd 2
，可得：
E
H
d
1 2
D'
g
D'
†
g
H
d
1 2
1
Hd 2 D'
gi g
D' †
gi g
1
Hd 2
gG
gG
H
d
1 2
D'
gi
D'
g
D'
†
g
D'
†
gi
H
d
1 2
gG
H
1 2
d
D'
gi
D'
g
D'
†
g
D'
†
gi
H
定义
群G的矩阵表示就是一个与群G同态的方矩阵群
群G的每一个元素a，都对应着矩阵群的一个方阵D(a)，并且：
D(a)D(b) = D(ab) 对于群G中的每一个元素a和b都成立
若矩阵群和群G是同构关系，则这个表示就称为忠实表示 若二者是同态关系，是多对一，则是非忠实表示
群G的表示记作D(G) 方阵的阶 l 称作表示的维数
对空间的不同的基矢组，算符Â 有不同的矩阵表示。
选定一组基矢，一个线性变换可以表示为一个矩阵；
反过来，对于一组给定的基矢{e1, e2, …,en}，一个矩阵A实际上 也就是一个线性算符Â 算符 Â 作用在任一矢量上的结果由