年高考第一轮复习数学椭圆
椭圆及其几何性质课件-高三数学一轮复习
B 分别为 C 的左，右顶点．P 为 C 上一点，且 PF⊥x 轴．过点 A 的直线 l
与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C
的离心率为( A )
A．13
B．12
C．23
D．34
[解析] 设点 M(－c，y0)，OE 的中点为 N，则直线 AM 的斜率 k＝a－y0 c， 从而直线 AM 的方程为 y＝a－y0 c(x＋a)， 令 x＝0，得点 E 的纵坐标 yE＝aa－y0c.同理，OE 的中点 N 的纵坐标 yN＝aa＋y0c. 因为 2yN＝yE，所以a＋2 c＝a－1 c，即 2a－2c＝a＋c，所以 e＝ac＝13.故选 A．
(2)已知椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)上有一点 A，它关于原点的对称点为 B，点 F
为椭圆的右焦点，且 AF⊥BF.设∠ABF＝α，且 α∈1π2，π6，则该椭圆的离 心率 e 的取值范围为( A )
A．
3－1，
6
3
B．[ 3－1，1)
C．
46，
6
3
D．0，
6
3
[解析] 如图所示，设椭圆的左焦点为 F′，连接 AF′，BF′，则四边形 AFBF′
为矩形，因此|AB|＝|FF′|＝2c，|AF|＋|BF|＝2a，|AF|＝2csin α，|BF|＝2ccos
α，∴2csin α＋2ccos α＝2a，
∴e＝sin
1 α＋cos
α＝
2sin1α＋π4.∵α∈1π2，π6，∴α＋π4∈π3，51π2，
∴sinα＋π4∈ 23，
2＋ 4
6，∴
2sinα＋π4∈ 26，1＋2
椭圆复习课(第一课时)学案-2025届高三数学一轮复习
椭圆复习课（第一课时）学习目标知识与技能：掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）.过程与方法：通过例题的研究，进一步掌握椭圆的简单应用.理解数形结合的思想. 情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德.教学过程一、知识梳理1、定义：平面内到两个定点21F F ，的距离之 等于常数（ ）的点的 轨迹叫椭圆.2、椭圆的标准方程和几何性质标准方程22221(0)x y a b a b +=>> )0(12222>>=+b a b x a y 图 像范围 -a ≤x ≤a -b ≤y ≤b -a ≤x ≤a -b ≤y ≤b对称性 对称轴：坐标轴; 对称中心：原点顶点坐标()0,1a A - ()0,2a A ()b B -,01 ()b B ,01()a A -,01 ()a A ,02 ()0,1b B - ()0,2b B焦点坐标 ()0,1c F - ()0,2c F()c F -,01 ()c F ,02轴长 长轴长2a ，短轴长2b焦距 c F F 221=a,b,c 关系222b a c +=亲，表格中有数处错误，你能一一找出吗？离心率1>=ac e（1）动点P 到两定点A （–2，0）,B(2，0)的距离之和为4，则点P 的轨迹是椭圆.（ ）（2）若椭圆1ky 4x 22=+的焦距是22，则k=2. ( )三、能力提升考点一 椭圆的定义及其标准方程例1：已知椭圆以坐标轴为对称轴，求分别满足下列条件的椭圆的标准方程.（1）一个焦点为（2，0），离心率为 ；（2）过 ()23,N 1,6M ，），（-两点.直击高考已知椭圆C: 1b y a x 2222=+(a>b>0)的左右焦点为21F F ，，离心率为33，过2F 的直线L 交C 于A ，B 两点，若B AF 1∆的周长为43，则C 的方程为（ ）A.12y 3x 22=+B. 1y 3x 22=+ C. 18y 12x 22=+ D. 14y 12x 22=+变式提升：设21F F ，分别是椭圆116y 25x 22=+的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是P F 1的中点，|OM| =3，则P 点到椭圆左焦点的距离为 （ ）A.4B.3C.2D.521=e X YPO xyBOA1F1F2F2FM考点二、椭圆的几何性质例2、已知椭圆C: 1b y a x 2222=+(a>b>0)的左右焦点为21F F ，，P 是椭圆短轴的一个端点，且21PF PF ⊥,则椭圆的离心率为 .变式提升椭圆C ：1by a x 2222=+（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为21F F ，，焦距为2c ，若直线y=3（x+c ）与椭圆C 的一个交点M 满足12212F MF F MF ∠=∠，则该椭圆的离心率等于 .互动探究已知椭圆C: 1by a x 2222=+(a>b>0)的左右焦点为21F F ，，M 为椭圆上一点，021=•M F M F ,则椭圆离心率的范围是 .XYMO1F2FYOXP1F2F探究思考1)本题中若P 点在椭圆内部，其他条件不变，试求之。
2025年高考数学一轮复习-8.5.1椭圆的定义、方程与性质【课件】
＞｜ C 1 C 2｜＝8，由椭圆的定义， M 的轨迹是以 C 1， C 2为焦点，
长轴长为16的椭圆.则 a ＝8， c ＝4，所以 b 2＝82－42＝48，动圆的
2
2
圆心 M 的轨迹方程为 ＋ ＝1.
理、｜ PF 1｜＋｜ PF 2｜＝2 a ，得到 a ， c 的关系.
目录
高中总复习·数学（提升版）
椭圆的标准方程
【例1】
2
2
（1）已知椭圆 C ： 2 ＋ 2 ＝1（ a ＞ b ＞0）的左、右焦点
1
分别为 F 1， F 2，离心率为 ，过 F 2的直线与椭圆 C 交于 A ， B 两点，
1
面积 S ＝ ×2
2
1
｜2＋8－4｜ AF
2
7
1｜，解得｜ AF 1｜＝ 2 .∴△ AF 1 F 2的
7
2
7
× × ＝ .
2
2
2
目录
高中总复习·数学（提升版）
4.
2
2
设椭圆 ＋ ＝1的一个焦点为 F ，则对于椭圆上两动点 A ， B ，△
16
9
ABF 周长的最大值为 16 .
解析：设 F 1为椭圆的另外一个焦点，则由椭圆的定义可得｜ AF ｜
n ）.因为椭圆经过 P 1， P 2两点，所以点 P 1， P 2的坐标满足椭圆
1
＝ ，
6＋ = 1，
9
方程，则ቊ
解得൞
所以所求椭圆的方程为
1
3 + 2 = 1，
＝ .
3
椭圆及其性质课件-2025届高三数学一轮复习
,
=
+
向量的数量积求解；
= ，再由 =
+ ，借助
思路二：先利用椭圆定义以及在焦点三角形中用余弦定理先求出
,
=
+
和等于四条边的平方和求解.
思路三：利用等面积，即
点的坐标.ຫໍສະໝຸດ = ，再利用平行四边形对角线的平方
2025届高考数学一轮复习讲义
平面解析几何之椭圆及其性质
1.椭圆的定义
条件
结论1
，
①________为椭
平面内与两个定点 ， 的距离的和等
于常数（大于 ）的点
+ =
>
结论2
点的轨
迹为椭圆
圆的焦点；
②_______为椭圆
求 ⋅ 的值,通过整体代入可求其面积等.
1.(2023·全国甲卷)设 , 为椭圆:
+ = 的两个焦点，点在上，
若 ⋅ = ，则 ⋅ =(
A.1
B.2
√
)
C.4
D.5
解析：选B.方法一：因为 ⋅ = ，所以 ⊥ ,则
的焦距
若= ，则动点的轨迹是线段 ；若< ，
则动点 的轨迹不存在.
2.椭圆的标准方程及几何性质
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
图形
标准方程
范围
顶点
+
= >>
+
2025高考数学一轮复习-41.1-椭圆的概念及基本性质【课件】
椭圆的标准方程
2 (1) 已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，过点A(3，0)，且以坐标 轴为对称轴，则椭圆的标准方程为________________________．
【解析】 方法一：若椭圆的焦点在 x 轴上，设方程为ax2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ＋by22＝1(a＞b＞0).由题意得
2a＝3×2b， a92＋b02＝1，
2025高考数学一轮复习-41.1-椭圆的概念及基本性质
激活思维
1．已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，并且经过点
5，－3 22
，则它的
标准方程是( ) A． x2 ＋ y2 ＝1
36 100 C．x2＋ y2 ＝1
6 10
B． x2 ＋y2 ＝1 100 36
D． x2 ＋y2＝1 10 6
ay22＋bx22＝1(a＞b＞0)
顶点坐标
A1(－a，0)，A2(a，0) B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b，0)，B2(b，0)
性
轴
长轴 A1A2 的长为__2_a___；短轴 B1B2 的长为___2_b__
质
焦距
|F1F2|＝__2_c___
离心率
(2) 如图，P为圆B：(x＋2)2＋y2＝36上一动点，
1
点A的坐标为(2，0)，线段AP的垂直平分线交BP于点 Q，则点Q的轨迹方程为___x9_2＋__y5_2＝__1____．
【解析】 连接AQ(图略).因为线段AP的垂直平分线交BP于点Q，所以|AQ|＝|PQ|，所 以|AQ|＋|BQ|＝|PQ|＋|BQ|＝6. 又|AB|＝4，所以|AQ|＋|BQ|＞|AB|，所以点 Q 的轨迹是以 A，B 为焦点的椭圆，且 2a ＝6，2c＝4，所以 a2＝9，c2＝4，b2＝a2－c2＝5，故点 Q 的轨迹方程为x92＋y52＝1.
2025年高考数学一轮知识点复习-8.5.1椭圆的定义、方程与性质-专项训练【含答案】
第一章集合、常用逻辑用语与不等式第二节常用逻辑用语1.命题“∃x∈R，1＜f（x）≤2”的否定形式是（）A.∀x∈R，1＜f（x）≤2B.∃x∈R，1＜f（x）≤2C.∃x∈R，f（x）≤1或f（x）＞2D.∀x∈R，f（x）≤1或f（x）＞22.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（）A.∀x∈R，x2＋2x＋1＞0B.对任意实数a，b，若a－b＜0，则a＜bC.若2x为偶数，则x∈ND.π是无理数3.已知向量a＝（m2，－9），b＝（1，－1），则“m＝－3”是“a∥b”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知p：方程x2－4x＋4a＝0有实根；q：函数f（x）＝（2－a）x为增函数，则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.（2023·北京高考8题）若xy≠0，则“x＋y＝0”是“＋＝－2”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.（多选）使2≥1成立的一个充分不必要条件是（）A.0＜x＜1B.0＜x＜2C.x＜2D.0＜x≤27.（多选）已知命题p：∃x∈R，x2－2x＋a＋6＝0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1＞0，则下列说法正确的是（）A.p的否定是“∀x∈R，x2－2x＋a＋6≠0”B.q的否定是“∃x∈R，x2＋mx＋1＞0”C.若p为假命题，则a的取值范围是（－∞，－5）D.若q为真命题，则m的取值范围是（－2，2）8.命题p：若直线l与平面α内的所有直线都不平行，则直线l与平面α不平行.则命题p是命题（填“真”或“假”）.9.能说明命题“∀x∈R且x≠0，x＋1≥2”是假命题的x的值可以是（写出一个即可）.10.已知命题p：∀x∈R，x2－a≥0；命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题p，q都是真命题，则实数a的取值范围为.11.命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≤x2”的否定形式是（）A.∀x∈R，∃n∈N*，使得n＞x2B.∀x∈R，∀n∈N*，都有n＞x2C.∃x∈R，∃n∈N*，使得n＞x2D.∃x∈R，∀n∈N*，都有n＞x212.设计如图所示的四个电路图，则能表示“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件的一个电路图是（）13.（多选）下列四个条件中，能成为x＞y的充分不必要条件的是（）A.xc2＞yc2B.1＜1＜0C.｜x｜＞｜y｜D.ln x＞ln y14.集合A＝{x｜x＞2}，B＝{x｜bx＞1}，其中b是实数.若A是B的充要条件，则b＝；若A是B的充分不必要条件，则b的取值范围是.15.已知函数f（x）＝x2－2x＋3，g（x）＝log2x＋m，对任意的x1，x2∈[1，4]有f（x1）＞g（x2）恒成立，则实数m的取值范围是.参考答案与解析1.D存在量词命题的否定是全称量词命题，原命题的否定形式为“∀x∈R，f（x）≤1或f（x）＞2”.故选D.2.B对于A，∀x∈R，x2＋2x＋1＝（x＋1）2≥0，故A错误；对于B，含有全称量词“任意”，是全称量词命题且是真命题，故B正确；对于C，当x＝－1时，2x＝－2，为偶数，但x∉N，故C错误；对于D，π是无理数不是全称量词命题，故D错误.故选B.3.A若m＝－3，则a＝（9，－9）＝9b，所以a∥b；若a∥b，则m2×（－1）－（－9）×1＝0，解得m＝±3，得不出m＝－3.所以“m＝－3”是“a∥b”的充分不必要条件.故选A.4.B方程x2－4x＋4a＝0有实根，故Δ＝16－16a≥0，∴a∈（－∞，1]，函数f（x）＝（2－a）x 为增函数，故2－a＞1，∴a∈（－∞，1）.∵（－∞，1）⫋（－∞，1]，∴p是q的必要不充分条件，故选B.5.C法一因为xy≠0，且＋＝－2⇔x2＋y2＝－2xy⇔x2＋y2＋2xy＝0⇔（x＋y）2＝0⇔x＋y＝0.所以“x＋y＝0”是“＋＝－2”的充要条件.＝－1－1＝－2.法二充分性：因为xy≠0，且x＋y＝0，所以x＝－y，所以＋＝－＋－必要性：因为xy≠0，且＋＝－2，所以x2＋y2＝－2xy，即x2＋y2＋2xy＝0，即（x＋y）2＝0，所以x＋y＝0.所以“x＋y＝0”是“＋＝－2”的充要条件.6.AB由2≥1得0＜x≤2，依题意由选项组成的集合是（0，2]的真子集，故选A、B.7.AD A、B选项，p的否定是“∀x∈R，x2－2x＋a＋6≠0”，q的否定是“∃x∈R，x2＋mx＋1≤0”，所以A正确，B不正确；C选项，若p为假命题，则p的否定“∀x∈R，x2－2x＋a＋6≠0”是真命题，即方程x2－2x＋a＋6＝0在实数范围内无解，Δ＝4－4（a＋6）＜0，得a＞－5，C不正确；D 选项，q为真命题，则Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2，D正确.故选A、D.8.假解析：若直线l与平面α内的所有直线都不平行，则直线l与平面α相交，所以直线l与平面α不平行，所以命题p为真命题，所以p为假命题.9.－1（答案不唯一）解析：由于当x＞0时，x＋1≥2，当且仅当x＝1时等号成立，当x＜0时，x ＋1≤－2，当且仅当x＝－1时等号成立，所以x取负数，即可满足题意.例如x＝－1时，x＋1＝－2.10.（－∞，－2]解析：由命题p为真，得a≤0；由命题q为真，得Δ＝4a2－4（2－a）≥0，即a≤－2或a≥1，所以a≤－2.11.D∀改写为∃，∃改写为∀，n≤x2的否定是n＞x2，则该命题的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N*，都有n＞x2”.12.C选项A：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充分不必要条件；选项B：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充要条件；选项C：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件；选项D：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的既不充分也不必要条件.故选C.13.ABD对于A选项，若xc2＞yc2，则c2≠0，则x＞y，反之x＞y，当c＝0时得不出xc2＞yc2，所以“xc2＞yc2”是“x＞y”的充分不必要条件，故A正确；对于B选项，由1＜1＜0可得y＜x＜0，即能推出x＞y；但x＞y不能推出1＜1＜0（因为x，y的正负不确定），所以“1＜1＜0”是“x＞y”的充分不必要条件，故B正确；对于C选项，由｜x｜＞｜y｜可得x2＞y2，则（x＋y）（x－y）＞0，不能推出x＞y；由x＞y也不能推出｜x｜＞｜y｜（如x＝1，y＝－2），所以“｜x｜＞｜y｜”是“x ＞y”的既不充分也不必要条件，故C错误；对于D选项，若ln x＞ln y，则x＞y，反之x＞y得不出ln x＞ln y，所以“ln x＞ln y”是“x＞y”的充分不必要条件，故D正确.14.12（12，＋∞）解析：若A是B的充要条件，则A＝B，即x＝2是方程bx＝1的解，故b＝12；若A是B的充分不必要条件，则A⫋B，易知b＞0，则B＝{x｜x＞1}，故1＜2，即b＞12，故b的取值范围是（12，＋∞）.15.（－∞，0）解析：由题意知，当x∈[1，4]时，f（x）min＝f（1）＝2，g（x）max＝g（4）＝2＋m，则f（x）min＞g（x）max，即2＞2＋m，解得m＜0，故实数m的取值范围是（－∞，0）.。
椭圆(知识点讲解)高考数学一轮复习(新教材新高考)(解析版)
专题9.3 椭圆（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.结合椭圆的定义，考查应用能力，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．2．结合椭圆的定义、简单的几何性质、几何图形，会求椭圆方程及解与几何性质有关的问题，凸显数学运算、直观想象的核心素养．【知识点展示】一．椭圆的定义及其应用1.椭圆的概念(1)文字形式：在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．(2)代数式形式：集合①若，则集合P为椭圆；1212P={M||MF|+|MF|=2a|FF|=2c.}a c>②若，则集合P 为线段； ③若，则集合P 为空集．2.椭圆的标准方程：焦点在轴时，；焦点在轴时，二．椭圆的标准方程 1. 椭圆的标准方程：（1）焦点在轴，；（2）焦点在轴，.2．满足条件：三．椭圆的几何性质椭圆的标准方程及其几何性质条件图形标准方程范围对称性曲线关于轴、原点对称 曲线关于轴、原点对称 顶点 长轴顶点 ,短轴顶点长轴顶点 ,轴顶点焦点a c =a c <x 2222=1(a>b>0)x y ab +y 2222=1(a>b>0)y x a b+x 2222+=1(a>b>0)x y a by 2222y +=1(a>b>0)x a b22222000a c a b c a b c ＞，＝＋，＞，＞，＞22222000a c a b c a b c ＞，＝＋，＞，＞，＞2222+=1(a>b>0)x y a b 2222y +=1(a>b>0)x a bx a y b ≤≤,x b y a ≤≤,,x y ,x y (),0a ±()0,b ±()0,a ±(),0b ±(),0c ±()0,c ±焦距离心率，其中通径过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为四．直线与椭圆的位置关系 1.直线与椭圆位置关系的判断(1)代数法：把椭圆方程与直线方程联立消去y ，整理得到关于x 的方程Ax 2＋Bx ＋C ＝0.记该一元二次方程根的判别式为Δ，①若Δ＞0，则直线与椭圆相交；②若Δ＝0，则直线与椭圆相切；③若Δ＜0，则直线与椭圆相离．(2)几何法：在同一直角坐标系中画出椭圆和直线，利用图象和性质可判断直线与椭圆的位置关系． 2．直线与椭圆的相交长问题：（1）弦长公式：设直线与椭圆有两个公共点则弦长公式为或 （2）弦中点问题，适用“点差法”. （3）椭圆中点弦的斜率公式若M (x 0，y 0)是椭圆的弦AB (AB 不平行y 轴)的中点，则有k AB ·k OM ＝22b a-，即k AB ＝2020b x a y -.【常考题型剖析】题型一：椭圆的定义及其应用例1.（2021·全国高考真题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y+=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ） A ．13 B ．12C ．9D ．6【答案】C 【分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MF MF a +==，借助基本不等式212122MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤ ⎪⎝⎭即可得到答222122()F F c c a b -＝＝() 0,1ce a∈＝c ＝22a b -22b a1122()()M x y N x y ，，，，MN ＝221212(1)[()4]k x x x x ++-MN 2121221(1)[(y )4]y y y k++-2222+=1(a>b>0)x y a b案． 【详解】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）． 故选：C ．例2. （2021·全国）已知椭圆22:143x y C +=的右焦点为F ，P 为椭圆C 上一动点，定点(2,4)A ，则||||PA PF -的最小值为（ ） A ．1 B ．－1 C 17 D ．17-【答案】A 【分析】设椭圆的左焦点为F '，得到||4PF PF '=-，得出||||||4PA PF PA PF '-=+-，结合图象，得到当且仅当P ，A ，F '三点共线时，||PA PF '+取得最小值，即可求解.【详解】设椭圆的左焦点为F '，则||4PF PF '+=，可得||4PF PF '=-， 所以||||||4PA PF PA PF '-=+-，如图所示，当且仅当P ，A ，F '三点共线（点P 在线段AF '上）时， 此时||PA PF '+取得最小值，又由椭圆22:143x y C +=，可得(1,0)F '-且(2,4)A ，所以2(21)165AF '=++=，所以||||PA PF -的最小值为1． 故选：A ．例3.（2023·全国·高三专题练习）已知P 是椭圆221259x y +=上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若1212PF PF PF PF ⋅=⋅12，则12F PF △的面积为（ ）A ．33B ．3C 3D ．9【答案】A【分析】由已知可得12F PF ∠，然后利用余弦定理和椭圆定义列方程组可解. 【详解】因为121212121212cos 1cos 2PF PF F PF PF PF F PF PF PF PF PF ⋅∠⋅==∠=⋅⋅，120F PF π∠≤≤所以123F PF π∠=，又224c a b =-=记12,PF m PF n ==，则222464210m n mn c m n a ⎧+-==⋅⋅⋅⎨+==⋅⋅⋅⎩①②，②2-①整理得：12mn =，所以12113sin 12332322F PF S mn π==⨯⨯= 故选：A【规律方法】1.应用椭圆的定义，可以得到结论：（1）椭圆上任意一点P (x ，y )(y ≠0)与两焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)构成的△PF 1F 2称为焦点三角形，其周长为2(a ＋c )．(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边，a 2＝b 2＋c 2.2.对焦点三角形的处理方法，通常是运用.3.椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等． (2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题． 题型二：椭圆的标准方程例4.（2022·全国·高考真题（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为13，12,A A 分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若121BA BA ⋅=-，则C 的方程为（ ）A ．2211816x y +=B ．22198x yC ．22132x y +=D ．2212x y +=【答案】B【分析】根据离心率及12=1⋅-BA BA ，解得关于22,a b 的等量关系式，即可得解.【详解】解：因为离心率22113c b e a a ==-=，解得2289b a =，2289=b a ，12,A A 分别为C 的左右顶点，则()()12,0,,0A a A a -，B 为上顶点，所以(0,)B b .所以12(,),(,)=--=-BA a b BA a b ，因为121BA BA ⋅=-所以221-+=-a b ，将2289=b a 代入，解得229,8a b ==，故椭圆的方程为22198x y .12F PF △⎧⎪⎨⎪⎩定义式的平方余弦定理面积公式2212222121212(2a)212S θθ∆⎧⎪=⎪=-⋅⎨⎪⎪=⋅⎩⇔（|PF|+|PF|）(2c)|PF|+|PF||PF||PF|cos |PF||PF|sin故选：B.例5.（2019·全国高考真题（文））已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为（ ）A.2212x y += B.22132x y +=C.22143x y +=D.22154x y += 【答案】B 【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得3n =． 22224233312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得32n =．22224233,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ． 例6.【多选题】（2023·全国·高三专题练习）点1F ，2F 为椭圆C 的两个焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=︒，则椭圆C 方程可以是（ ）A ．221259x y +=B ．2212516x y +=C ．221189x y +=D ．221169x y +=【答案】AC【分析】设椭圆上顶点为B ，由题满足1290F BF ∠≥︒，即2221212BF BF F F +≤，可得222a b ≥，即可得出答案.【详解】设椭圆方程为22221x y a b+=()0a b >>，设椭圆上顶点为B ，椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=︒， 则需1290F BF ∠≥︒， 2221212BF BF F F ∴+≤，即2224a a c +≤，222c a b =-，222424a a b -≤， 则222a b ≥，所以选项AC 满足. 故选：AC. 【总结提升】1.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤是： (1)作判断：根据条件判断焦点的位置．(2)设方程：焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为 ． (3)找关系：根据已知条件，建立关于的方程组． (4)求解，得方程．2．(1)方程与有相同的离心率．(2)与椭圆共焦点的椭圆系方程为，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便． 题型三：椭圆的几何性质例7.（2022·全国·高考真题（理））椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（ ）A 3B 2C ．12D ．13【答案】A【分析】设()11,P x y ，则()11,Q x y -，根据斜率公式结合题意可得2122114y x a =-+，再根据2211221x y a b+=，将1y 用1x 表示，整理，再结合离心率公式即可得解.221mx ny ＋＝(0)0m n m n ≠＞，＞且a b c m n 、、或、2222y +=1x a b 2222y +=(>0)x a bλλ2222+=1(a>b>0)x y a b 22222+=1(a>b>0,0)x y b k a k b k+>++【详解】解：(),0A a -， 设()11,P x y ，则()11,Q x y -， 则1111,AP AQ y y k k x a x a==+-+， 故21112211114AP AQy y y k k x a x a x a ⋅=⋅==+-+-+， 又2211221x y a b +=，则()2221212b a x y a-=， 所以()2221222114b a x a x a -=-+，即2214b a =， 所以椭圆C 的离心率22312c b e a a ==-=. 故选：A .例8.（2023·全国·高三专题练习）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的蒙日圆方程为2222x y a b +=+，1F ，2F 分别为椭圆C 的左、右焦点.5M 为蒙日圆上一个动点，过点M 作椭圆C 的两条切线，与蒙日圆分别交于P ，Q 两点，若MPQ 面积的最大值为36，则椭圆C 的长轴长为（ ） A ．25B ．45C ．3D ．43【答案】B【分析】利用椭圆的离心率可得5a c =，分析可知PQ 为圆2223x y b +=的一条直径，利用勾股定理得出222236MP MQ PQ c +==，再利用基本不等式即可求即解【详解】因为椭圆C 的离心率55c e a ==，所以5a c =. 因为222a b c =+，所以2b c =，所以椭圆C 的蒙日圆的半径为223a b c +=. 因为MP MQ ⊥，所以PQ 为蒙日圆的直径， 所以6PQ c =，所以222236MP MQ PQ c +==. 因为222182MP MQMP MQ c +⋅≤=，当32MP MQ c ==时，等号成立， 所以MPQ 面积的最大值为：2192MP MQ c ⋅=.由MPQ 面积的最大值为36，得2936c =，得2c =，进而有24b c ==，25a =， 故椭圆C 的长轴长为45. 故选：B例9.（2018·全国·高考真题（文））已知椭圆C ：2221(0)4x y a a +=>的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为（ ） A ．13B ．12C 2D 22【答案】C【详解】分析：首先根据题中所给的条件椭圆的一个焦点为()20，，从而求得2c =，再根据题中所给的方程中系数，可以得到24b =，利用椭圆中对应,,a b c 的关系，求得22a =，最后利用椭圆离心率的公式求得结果.详解：根据题意，可知2c =，因为24b =， 所以2228a b c =+=，即22a =， 所以椭圆C 的离心率为22222e ==，故选C. 例10.（2022·四川成都·高三期末（理））已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，以坐标原点O 为圆心，线段12F F 为直径的圆与椭圆C 在第一象限相交于点A ．若122AF AF ≤，则椭圆C 的离心率的取值范围为______． 【答案】25,23⎛⎤⎥ ⎝⎦【分析】根据题意可得1290F AF ∠=，且c b >，再根据焦点三角形中的关系表达出离心率，结合函数的单调性求解即可【详解】由题意，因为线段12F F 为直径的圆与椭圆C 在第一象限相交于点A ． 故半径1OF b >,即 c b >，且1290F AF ∠=.又离心率()22212121212121212222AFAF AF AF AF AF F F c c a a AF AF AF AF AF AF +-⋅+====+++()12212122122112AF AF AF AF AFAF AF AF ⋅=-=-+++，因为122AF AF ≤，结合题意有1212AF AF <≤， 设12AF t AF =，则2112c a t t=-++，易得对勾函数12y t t =++在(]1,2上单调递增， 故2112y t t=-++在(]1,2上单调递增， 故2221111111222212t t -<-≤-++++++，即2523c a <≤故答案为：25,23⎛⎤⎥ ⎝⎦【总结提升】1.关于椭圆几何性质的考查，主要有四类问题，一是考查椭圆中的基本量a ，b ，c ；二是考查椭圆的离心率；三是考查离心率发最值或范围；四是其它综合应用.2.学习中，要注意椭圆几何性质的挖掘：(1)椭圆中有两条对称轴，“六点”(两个焦点、四个顶点)，要注意它们之间的位置关系(如焦点在长轴上等)以及相互间的距离(如焦点到相应顶点的距离为a －c )，过焦点垂直于长轴的通径长为等．(2)设椭圆上任意一点P (x ，y )，则当x ＝0时，|OP |有最小值b ，这时，P 在短轴端点处；当x ＝a 时，|OP |有最大值a ，这时P 在长轴端点处．(3)椭圆上任意一点P (x ，y )(y ≠0)与两焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)构成的△PF 1F 2称为焦点三角形，其周长为2(a ＋c )．(4)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边，a 2＝b 2＋c 2. 3．重视向量在解析几何中的应用，注意合理运用中点、对称、弦长、垂直等几何特征．4.求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的椭圆的几何特征，建2222e?b b c a =2222+=1(a>b>0)x y a b立关于参数c 、a 、b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．较多时候利用.题型四：直线与椭圆的位置关系例11.（2022·全国·高三专题练习）椭圆2214x y +=，则该椭圆所有斜率为12的弦的中点的轨迹方程为_________________． 【答案】2xy =-()22-<<x 【分析】设斜率为12的直线方程为12y x b =+，与椭圆的交点为()()1122,,,A x y B x y ，利用点差法可得答案. 【详解】设斜率为12的直线方程为12y x b =+，与椭圆的交点为()()1122,,,A x y B x y ， 设中点坐标为(),x y ，则211221121,,222y y x xy y x y x x -++=-==-， 所以221122221414⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y ，两式相减可得()()()()12221214+=-+-x x x x y y y y ，()()22121124-+-=+x x y y y y x x ，即2xy =-，由于在椭圆内部，由221412⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩x y y x b得22102++-=x bx b ，所以()22210∆=--=b b 时，即2b =±直线与椭圆相切，此时由22102±+=x x 解得2x =或2x =-，所以22x -<<， 所求得轨迹方程为2xy =-()22-<<x ． 故答案为：2xy =-()22-<<x ． 例12.（2022·北京八中高三阶段练习）已知P 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>上任意一点，12,F F 为左､右焦点，M 为1PF 中点.如图所示：若1122OM PF +=，离心率3e = 22 ,1c b e e a a=-＝(1)求椭圆E 的标准方程； (2)已知直线l 经过11,2且斜率为12与椭圆交于,A B 两点，求弦长AB 的值.【答案】(1)2214x y +=(2)5【分析】（1）由题意可得21||||2OM PF =结合1122OM PF +=求得a ，继而求得b ，即可得椭圆方程； （2）写出直线l 的方程，联立椭圆方程，可求得交点坐标，从而求得弦长. （1）由题意知，M 为1PF 中点，O 为12F F 的中点，故21||||2OM PF =, 又 1122OM PF +=，故121()22PF PF +=，即124PF PF +=，所以24,2a a == ， 又因为32e =，故3c =，所以2221b a c =-= ， 故椭圆E 的标准方程为2214x y += ；（2）由直线l 经过11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭且斜率为12可知直线方程为11(1)22y x =+-，即112y x =+，联立2214x y +=，消去y 可得220x x += ，解得120,2x x ==- ，则,A B 两点不妨取为(0,1),(2,0)-， 故22215AB =+=.例13.（2022·天津·高考真题）椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F 、右顶点为A ，上顶点为B ，且满足3BF AB=(1)求椭圆的离心率e ；(2)直线l 与椭圆有唯一公共点M ，与y 轴相交于N （N 异于M ）．记O 为坐标原点，若=OM ON ，且OMN 3 【答案】(1)63e =(2)22162x y +=【分析】（1）根据已知条件可得出关于a 、b 的等量关系，由此可求得该椭圆的离心率的值；（2）由（1）可知椭圆的方程为2223x y a +=，设直线l 的方程为y kx m =+，将直线l 的方程与椭圆方程联立，由0∆=可得出()222313m a k =+，求出点M 的坐标，利用三角形的面积公式以及已知条件可求得2a 的值，即可得出椭圆的方程.（1）解：()2222222222234332BF b c aa b a a b AB b a b a+===⇒=+⇒=++，离心率为22263c a b e a a -===. （2）解：由（1）可知椭圆的方程为2223x y a +=，易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，联立2223y kx mx y a=+⎧⎨+=⎩得()()222213630k x kmx m a +++-=，由()()()222222223641330313k m k m a m a k ∆=-+-=⇒=+，①2331M kmx k =-+，213M Mm y kx m k =+=+，由=OM ON 可得()()222229131m k m k+=+，②由3OMN S =可得2313213km m k⋅=+，③联立①②③可得213k =，24m =，26a =，故椭圆的标准方程为22162x y +=． 【规律方法】一.涉及直线与椭圆的基本题型有： 1.位置关系的判断2.弦长、弦中点问题.弦及弦中点问题的解决方法(1)根与系数的关系：直线与椭圆方程联立，消元，利用根与系数的关系表示中点； (2)点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率． 3.轨迹问题4.定值、最值及参数范围问题5.存在性问题二．常用思想方法和技巧有：1.设而不求；2.坐标法；3.根与系数关系.三. 若直线与椭圆有两个公共点可结合韦达定理，代入弦长公式或 题型五：椭圆与圆的相关问题例14. （2019·天津·高考真题（文）） 设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B .3|2||OA OB =（O 为原点）. （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C在直线4x =上，且OC AP ∥，求椭圆的方程.【答案】（I ）12；（II ）2211612x y +=.【分析】（I ）根据题意得到32a b =，结合椭圆中,,a b c 的关系，得到2223()2a a c =+，化简得出12c a =，从而求得其离心率；（II ）结合（I ）的结论，设出椭圆的方程2222143x y c c +=，写出直线的方程，两个方程联立，求得交点的坐标，利用直线与圆相切的条件，列出等量关系式，求得2c =，从而得到椭圆的方程. 【详解】（I ）解：设椭圆的半焦距为c ，由已知有32a b =， 又由222a b c =+，消去b 得2223()2a a c =+，解得12c a =，所以，椭圆的离心率为12.（II ）解：由（I ）知，2,3a c b c ==，故椭圆方程为2222143x y c c +=，由题意，(,0)F c -，则直线l 的方程为3()4y x c =+，点P 的坐标满足22221433()4x y c c y x c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去y 并化简，得到2276130x cx c +-=，解得1213,7cx c x ==-， 代入到l 的方程，解得1239,214y c y c ==-，因为点P 在x 轴的上方，所以3(,)2P c c ，1122()()M x y N x y ，，，，MN ＝221212(1)[()4]k x x x x ++-MN 2121221(1)[(y )4]y y y k++-由圆心在直线4x =上，可设(4,)C t ，因为OC AP ∥，且由（I ）知(2,0)A c -，故3242ct c c =+，解得2t =， 因为圆C 与x 轴相切，所以圆的半径为2，又由圆C 与l 相切，得23(4)24231()4c +-=+，解得2c =， 所以椭圆的方程为：2211612x y +=.【点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力，以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力.例15.（陕西高考真题）已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为． （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程．【答案】；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）过点的直线方程为， 则原点到直线的距离， 由，得，解得离心率. :E 22221x y a b+=0a b >>c O (),0c ()0,b 12c E AB :M ()()225212x y ++-=E A B E 3221123x y +=()(),0,0,c b 0bx cy bc +-=O 22bcd ab c ==+12d c =2222a b a c ==-32c e a ==（Ⅱ）由（1）知，椭圆的方程为. 依题意，圆心是线段的中点，且. 易知，不与轴垂直.设其直线方程为，代入（1）得.设，则，.由，得，解得. 从而.于是.由.故椭圆的方程为.例16.（2021·山东·高三开学考试）在平面直角坐标系xOy 中，已知点1(6,0)F -，2(6,0)F ，动点M 满足1243MF MF +=M 的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程；(2)圆224x y +=的切线与C 相交于A ，B 两点，P 为切点，求||||PA PB ⋅的值．【答案】(1)221126x y +=(2)||||4PA PB ⋅=【分析】（1）结合椭圆的定义求得,,a b c ，由此求得C 的方程.（2）当直线AB 斜率不存在时，求得,PA PB ，从而求得PA PB ⋅；当直线AB 斜率存在时，设出直线AB 的方程，根据直线和圆的位置关系列方程，联立直线的方程和椭圆的方程，化简写出根与系数关系，求得0OA OB ⋅=，由此判断出90AOB ∠=︒，结合相似三角形求得PA PB ⋅.E 22244x y b +=()2,1M -AB 10AB =AB x ()21y k x =++()()()22221482142140k x k k x k b +++++-=()()1122,,,A x y B x y ()12282114k k x x k++=-+()22122421414k b x x k+-=-+124x x +=-()2821=414k k k +--+12k =21282x x b =-()()222121212151410222AB x x x x x b ⎛⎫=+-=+-=- ⎪⎝⎭10AB ()210210b -=23b =E 221123x y +=（1）为12124326MF MF F F +=>=，所以点M 的轨迹曲线C 是以1F ，2F 为焦点的椭圆．设其方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则243a =，226a b -=，解得23a =，6b =，所以曲线C 的方程为221126x y +=．（2）当直线AB 的斜率不存在时，(2,0)P ±，此时||||2PA PB ==，则||||4PA PB ⋅=． 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+， 由直线AB 与圆224x y +=相切可得2||21m k =+，化简得()2241m k =+．联立22,1,126y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222142120k x kmx m +++-=，0∆>．设()11,A x y ，()22,B x y ，则122421km x x k -+=+，212221221m x x k -=+，所以1212OA OB x x y y ⋅=+()()2212121k x x km x x m =++++()()2222222121242121km k mm k k +-=-+++()222312121m k k -+=+()()222121121021k k k +-+==+，所以90AOB ∠=︒，所以AOB 为直角三角形．由OP AB ⊥，可得AOP OBP ∽△△， 所以||||||||PA OP OP PB =，所以2||||||4PA PB OP ⋅==． 综上，||||4PA PB ⋅=． 【总结提升】从高考命题看，与椭圆、圆相结合问题，一般涉及到圆的方程（圆心、半径）、直线与圆的位置关系（相切、相交）、点到直线的距离、直线方程等.。
2025年高考数学一轮复习-9.5.1-椭圆的定义及标准方程【课件】
预计2025年高考求椭圆的标准方程、直线与椭圆的交汇问题仍会
预测 出题,一般以解答题出现,求椭圆的离心率,考查比较灵活,一般以选择
题、填空题的形式出现.
必备知识·逐点夯实
知识梳理·归纳
1.椭圆的定义
常数
把平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于______(大于|F
1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.
(3)
源自教材第113页例6.此题给出椭圆的另一种定义方式
[例1](1)如图,在圆x2+y2=4上任取一点P,过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足.当点P在
2 2
+y =1
圆上运动时,则线段PD的中点M的轨迹方程为______________.
4
【解析】(1)设点M的坐标为(x,y),点P的坐标为(x0,y0),
(6)焦点三角形的周长为2(a+c).
基础诊断·自测
类型
辨析
改编
易错
高考
题号
1
2
4
3
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)已知F1(-4,0),F2(4,0),平面内到F1,F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆.
(
×
)
提示:(1)因为2a=|F1F2|=8,动点的轨迹是线段F1F2,不是椭圆;
(2)已知F1(-4,0),F2(4,0),平面内到F1,F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆.
(
×
)
提示:(2)由于2a<|F1F2|,动点不存在,因此轨迹不存在;
(3)平面内到点F1(-4,0),F2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F1,F2的距离之和的
高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆
高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆第五节椭圆[备考方向要明了][归纳知识整合]1．椭圆的定义(1)满足以下条件的点的轨迹是椭圆①在平面内；②与两个定点F1、F2的距离之和等于常数；③常数大于|F1F2|.(2)焦点：两定点．(3)焦距：两焦点间的距离．[探究] 1.在椭圆的定义中，若2a＝|F1F2|或2a|F1F2|，则动点的轨迹如何？提示：当2a＝|F1F2|时动点的轨迹是线段F1F2；当2a|F1F2|时，动点的轨迹是不存在的．2．椭圆的标准方程和几何性质高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆[探究] 2.椭圆离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？提示：离心率e ＝ca 越接近1，a 与c 就越接近，从而b ＝a 2－c 2就越小，椭圆就越扁平；同理离心率越接近0，椭圆就越接近于圆．[自测牛刀小试]1．椭圆x 216＋y 28＝1的离心率为( )A.13 B.12 C.33D.22解析：选D ∵a 2＝16，b 2＝8，∴c 2＝8，∴e ＝c a ＝2 2.2．已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 29＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，在△AF 1B 中，若有两边之和是10，则第三边的长度为( )A ．6B ．5C ．4D ．3高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆解析：选A 根据椭圆定义，知△AF 1B 的周长为4a ＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6.3．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为( ) A.14B.12 C ．2 D ．4解析：选A 由题意知a 2＝1m ，b 2＝1，且a ＝2b ，则1m ＝4，得m ＝14. 4．若椭圆x 216＋y 2m 2＝1过点(－2，3)，则其焦距为( ) A ．2 3B ．2 5C ．4 3D ．4 5解析：选C 把点(－2，3)的坐标代入椭圆方程得m 2＝4，所以c 2＝16－4＝12，所以c ＝23，故焦距为2c ＝4 3.5．设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为________．解析：由题意知|OM |＝12|PF 2|＝3，则|PF 2|＝6.故|PF 1|＝2×5－6＝4. 答案：4[例1] (1)已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 是周长是( )A ．23B ．6C ．4 3D ．12 (2)(2012山东高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a b 0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( ) 高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆A.x 28＋y 22＝1 B.x 212＋y 26＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 220＋y 25＝1 [自主解答] (1)根据椭圆定义，△ABC 的周长等于椭圆长轴长的2倍，即4 3.(2)由离心率为32得，a 2＝4b 2，排除选项B ，双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，与椭圆的四交点组成的四边形的面积为16可得在第一象限的交点坐标为(2,2)，代入选项A 、C 、D ，知选项D 正确．[答案] (1)C (2)D―――――――――――――――――――用待定系数法求椭圆方程的一般步骤(1)作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能；(2)设方程：根据上述判断设方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a b 0)或x 2b 2＋y 2a2＝1(a b 0)；(3)找关系：根据已知条件，建立关于a 、b 、c 或m 、n 的方程组；(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.注意：用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为mx 2＋ny 2＝1(m 0，n 0).1．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为______________．解析：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a b 0)，根据椭圆定义2a ＝12，即a ＝6，又c a ＝32，得c ＝33，故b 2＝a 2－c 2＝36－27＝9，故所求椭圆方程为x 236＋y 29＝1. 答案：x 236＋y 29＝1 2．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a b 0)的左、右焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1⊥PF 2.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.解析：设椭圆的焦点坐标为(±c,0)根据椭圆定义和△PF 1F 2是一个面积等于9的直角三角形，高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆有????? |PF 1|＋|PF 2|＝2a ，①|PF 1||PF 2|＝18，②|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2. ③①式两端平方并把②、③两式代入可得4c 2＋36＝4a 2，即a 2－c 2＝9，即b 2＝9，故b ＝3.答案：3[例2] (2012安徽高考)如图，F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a b 0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.(1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值．[自主解答] (1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ，所以e ＝12. (2)法一：a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，直线AB 的方程可为y ＝－3(x －c )．将其代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2，得B ????85c ，－335c . 所以|AB |＝1＋3????85c －0＝165c . 由S △AF 1B ＝12|AF 1||AB |sin ∠F 1AB ＝12a 165c 32＝235a 2＝403，解得a ＝10，b ＝5 3. 法二：设|AB |＝t .因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a .由椭圆定义|BF 1|＋|BF 2|＝2a 可知，|BF 1|＝3a －t . 再由余弦定理(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos 60°可得，t ＝85a . 由S △AF 1B ＝12a 85a 32＝235a 2＝403知，a ＝10，b ＝5 3.高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆―――――――――――――――――――椭圆离心率的求法求椭圆的离心率(或范围)时，一般是依据题设得出一个关于a ，b ，c 的等式(或不等式)，利用a 2＝b 2＋c 2消去b ，即可求得离心率或离心率的范围．3．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a b 0)的两顶点为A (a,0)，B (0，b )，且左焦点为F ，△F AB 是以角B 为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e 为( ) A.3－12 B.5－12 C.1＋54D.3＋14 解析：选B 根据已知a 2＋b 2＋a 2＝(a ＋c )2，即c 2＋ac －a 2＝0，即e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1±52，故所求的椭圆的离心率为5－12. 4．椭圆x 2a 2＋y 25＝1(a 为定值，且a 5)的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A ，B ，△F AB 的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是________．解析：设椭圆右焦点为F ′，由图及椭圆定义知，|AF |＋|AF ′|＝|BF |＋|BF ′|＝2a .又△F AB 的周长为|AF |＋|BF |＋|AB |≤|AF |＋|BF |＋|AF ′|＋|BF ′|＝4a ，当且仅当AB过右焦点F ′时等号成立，此时4a ＝12，则a ＝3，故椭圆方程为x 29＋y 25＝1, 所以c ＝2，所以e ＝c a ＝23. 答案：23[例3] 如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，其左焦点到点P (2,1)的距离为10.不过原点O 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且线段高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆AB 被直线OP 平分．(1)求椭圆C 的方程；(2)求△ABP 面积取最大值时直线l 的方程．[自主解答] (1)设椭圆左焦点为F (－c,0)，则由题意得????? (2＋c )2＋1＝10，c a ＝12，解得????? c ＝1，a ＝2.所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M .当直线AB 与x 轴垂直时，直线AB 的方程为x ＝0，与不过原点的条件不符，舍去．故可设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，由????? y ＝kx ＋m ，3x 2＋4y 2＝12消去y ，整理得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，①则Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＞0，????? x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2.所以线段AB 的中点M ????－4km 3＋4k 2，3m 3＋4k 2.因为M 在直线OP ：y ＝12x 上，所以3m 3＋4k 2＝－2km 3＋4k 2.得m ＝0(舍去)或k ＝－32.此时方程①为3x 2－3mx ＋m 2－3＝0，则Δ＝3(12－m 2)＞0，????? x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－33.所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝39612－m 2.设点P 到直线AB 距离为d ，则d ＝|8－2m |32＋22＝2|m －4|13.高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆设△ABP 的面积为S ，则S ＝12|AB |d ＝36(m －4)2(12－m 2). 其中m ∈(－23，0)∪(0,23)．令u (m )＝(12－m 2)(m －4)2，m ∈[－23，2 3 ]，u ′(m )＝－4(m －4)(m 2－2m －6)＝－4(m －4)(m －1－7)(m －1＋7)．所以当且仅当m ＝1－7时，u (m )取到最大值．故当且仅当m ＝1－7时，S 取到最大值．综上，所求直线l 方程为3x ＋2y ＋27－2＝0.高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆――――――――――――――――――― 直线与椭圆相交时的常见问题的处理方法5．(2013洛阳模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a b 0)的离心率为22，短轴的一个端点为M (0,1)，直线l ：y ＝kx －13与椭圆相交于不同的两点A ，B . (1)若|AB |＝4269，求k 的值；(2)求证：不论k 取何值，以AB 为直径的圆恒过点M .解：(1)∵由题意知c a ＝22，b ＝1. 由a 2＝b 2＋c 2可得c ＝b ＝1，a ＝2，∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1. 由??? y ＝kx －13，x 22＋y 2＝1，得(2k 2＋1)x 2－43kx －169＝0. Δ＝169k 2－4(2k 2＋1)×???－169＝16k 2＋6490恒成立．设A (x 1，y 1)，B (x 2，x 2)，则x 1＋x 2＝4k 3(2k 2＋1)，x 1x 2＝－169(2k 2＋1)，∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4(1＋k 2)(9k 2＋4)3(2k 2＋1)＝4269，化简得23k 4－13k 2－10＝0，即(k 2－1)(23k 2＋10)＝0，解得k ＝±1.(2)证明：∵MA ＝(x 1，y 1－1)，MB ＝(x 2，y 2－1)，∴MAMB ＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1) ＝(1＋k 2)x 1x 2－43k (x 1＋x 2)＋169高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆＝－16(1＋k 2)9(2k 2＋1)－16k 29(2k 2＋1)＋169＝0.∴不论k 取何值，以AB 为直径的圆恒过点M .1个规律――椭圆焦点位置与x 2、y 2系数之间的关系给出椭圆方程x 2m ＋y 2n＝1时，椭圆的焦点在x 轴上?m n 0；椭圆的焦点在y 轴上?0m n .1种思想――数形结合思想在椭圆几何性质中的运用求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形．当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系．2种方法――求椭圆标准方程的方法(1)定义法：根据椭圆定义，确定a 2，b 2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程．(2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x 轴还是y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a 、b 、c 的方程组，解出a 2、b 2，从而写出椭圆的标准方程．3种技巧――与椭圆性质、方程相关的三种技巧(1)椭圆上任意一点M 到焦点F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c .(2)求椭圆离心率e 时，只要求出a ，b ，c 的一个齐次方程，再结合b 2＝a 2－c 2就可求得e (0e 1)．(3)求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：①中心是否在原点；②对称轴是否为坐标轴.答题模板――直线与圆锥曲线的位置关系[典例] (2012北京高考满分14分)已知曲线C ：(5－m )x 2＋(m －2)y 2＝8(m ∈R )．高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆(1)若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，求m的取值范围；(2)设m＝4，曲线C与y轴的交点为A，B(点A位于点B的上方)，直线y＝kx＋4与曲线C交于不同的两点M，N，直线y ＝1与直线BM交于点G.求证：A，G，N三点共线．高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆[快速规范审题]第(1)问1．审条件，挖解题信息观察条件：方程的曲线是焦点在x 轴上的椭圆*****DD→椭圆的标准方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．2．审结论，明确解题方向观察所求结论：求m 的范围D→需建立关于m 的不等式．3．建联系，找解题突破口由椭圆的标准方程D→DDDDDD→确定a 2，b 2a 2＝85－m ，b 2＝8m －2*****→建立关于m 的不等式5－m ＞0，m －2＞0，85－m ＞8m －2解不等式组,得m 的取值范围．第(2)问1．审条件，挖解题信息观察条件：m ＝4；曲线C 与y 轴交于A ，B 与直线y ＝kx ＋4交于M ，N ；直线y ＝1与直线BM 交于G *****DDDD→把m ＝4代入曲线C 的方程并令x ＝0，得A 、B 的坐标曲线C 的方程x 2＋2y 2＝8，A (0,2)，B (0，－2)．2．审结论，明确解题方向观察所证结论：证明A ，G ，N 三点共线*****→利用斜率转化证明k AN ＝k AG . 3．建联系，找解题突破口联立方程y ＝kx ＋4与x 2＋2y 2＝8，消元DDDDDD→利用根与系数的关系确定M ，N 的坐标满足的条件*****DD→写出BM 的方程并令y ＝1写出G 的坐标*****DDD→写出k AN ，k AG 的表达式证明k AN －k AG ＝0. [准确规范答题](1)曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，当且仅当????? 5－m ＞0，m －2＞0，85－m ＞8m －2，?(3分) 解得72＜m ＜5，所以m 的取值范围是????72，5.?(4分) (2)当m ＝4时，曲线C 的方程为x 2＋2y 2＝8，点A ，B 的坐标分别为(0,2)，(0，－2)．?(5分)高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆由?????y ＝kx ＋4，x 2＋2y 2＝8，得(1＋2k 2)x 2＋16kx ＋24＝0.?(6分) 因为直线与曲线C 交于不同的两点，所以Δ＝(16k )2－4(1＋2k 2)×24＞0，即k 2＞32.?(7分)设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＝kx 1＋4，y 2＝kx 2＋4，x 1＋x 2＝－16k 1＋2k 2，x 1x 2＝24 1＋2k 2.?(8分) 直线BM 的方程为y ＋2＝y 1＋2x 1x ，点G 的坐标为????3x 1y 1＋2，1.?(9分)因为直线AN 和直线AG 的斜率分别为k AN ＝y 2－2x 2，k AG ＝－y 1＋23x 1，?(11分) 所以k AN －k AG ＝y 2－2x 2＋y 1＋23x 1＝kx 2＋2x 2＋kx 1＋63x 1＝43k ＋2(x 1＋x 2)x 1x 2＝43k ＋2×1＋2k 2241＋2k 2＝0. 即k AN ＝k AG .?(13分)故A ，G ，N 三点共线．?(14分)[答题模板速成]解直线与圆锥曲线位置关系的一般步骤：?高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．(2012上海高考)对于常数m ，n ，“mn 0”是“方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 因为当m 0，n 0时，方程mx 2＋ny 2＝1表示的曲线不是椭圆，但当方程mx 2＋ny 2＝1表示的曲线是椭圆时，m 0，n 0，mn 0.2．已知椭圆：x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m 等于( ) A ．4C ．4或8D ．以上均不对解析：选C 由?????10－m 0，m －20，得2m 10，由题意知(10－m )－(m －2)＝4或(m －2)－(10－m )＝4，解得m ＝4或m ＝8.3．矩形ABCD 中，|AB |＝4，|BC |＝3，则以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点的椭圆的短轴的长为( )A ．2 3B ．2 6C ．4 2D ．4 3解析：选D 依题意得|AC |＝5，所以椭圆的焦距为2c ＝|AB |＝4，长轴长2a ＝|AC |＋高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆|BC |＝8，所以短轴长为2b ＝2a 2－c 2＝216－4＝4 3.4．(2013汕尾模拟)已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．5C ．13D ．15解析：选B 由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心，且|PF 1|＋|PF 2|＝10，从而|PM |＋|PN |的最小值为|PF 1|＋|PF 2|－1－2＝7.5．以椭圆上任意一点与焦点所连接的线段为直径的圆与以长轴为直径的圆的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．相离D ．无法确定解析：选A 如图，设线段是PF 1，O 1是线段PF 1的中点，连接O 1O ，PF 2，其中O 是椭圆的中心，F 2是椭圆的另一个焦点，则在△PF 1F 2中，由三角形中位线定理可知，两圆的连心线的长是|OO 1|＝12|PF 2|＝12(2a －|PF 1|)＝a －12|PF 1|＝R －r . 6．(2012新课标全国卷)设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a b 0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a 2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( ) A.12B.23C.34D.45解析：选C 根据题意直线PF 2的倾斜角是π3，所以32a －c ＝12|PF 2|＝12|F 1F 2|＝12×2c ，解得e ＝34. 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a b 0)与曲线x 2＋y 2＝a 2－b 2恒有公共点，则椭圆的离心率e 的取值范围是__________．解析：由题意知，以半焦距c 为半径的圆与椭圆有公共点，故b ≤c ，所以b 2≤c 2，即a 2≤2c 2，高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆所以22≤c a .又c a 1，所以22≤e 1. 答案：????22，1 8．(2012江西高考)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a b 0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为________．解析：依题意得|F 1F 2|2＝|AF 1||BF 1|，即4c 2＝(a －c )(a ＋c )＝a 2－c 2，整理得5c 2＝a 2，得e ＝c a ＝55 . 答案：559．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a b 0)的离心率为32 .过右焦点F 且斜率为k (k 0)的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点．若AF ＝3FB ，则k ＝________.解析：根据已知c a ＝32，可得a 2＝43c 2，则b 2＝13c 2，故椭圆方程为3x 24c 2＋3y 2c2＝1，即3x 2＋12y 2－4c 2＝0.设直线的方程为x ＝my ＋c ，代入椭圆方程得(3m 2＋12)y 2＋6mcy －c 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则根据AF ＝3FB ，得(c －x 1，－y 1)＝3(x 2－c ，y 2)，由此得－y 1＝3y 2，根据韦达定理y 1＋y 2＝－2cm m 2＋4，y 1y 2＝－c 23(m 2＋4)，把－y 1＝3y 2代入得，y 2＝cm m 2＋4，－3y 22＝－c 23(m 2＋4)，故9m 2＝m 2＋4，故m 2＝12，从而k 2＝2，k ＝±2. 又k 0，故k ＝2.答案：2三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为453和253，过P 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．解：设两焦点为F 1，F 2，且|PF 1|＝453，|PF 2|＝253. 由椭圆定义知2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝25，即a ＝5.由|PF 1||PF 2|知，|PF 2|垂直焦点所在的对称轴，所以在Rt △PF 2F 1中，sin ∠PF 1F 2＝|PF 2||PF 1|＝12. 可求出∠PF 1F 2＝π6，2c ＝|PF 1|cos π6＝253，高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆从而b 2＝a 2－c 2＝103. 所以所求椭圆方程为x 25＋3y 210＝1或3x 210＋y 25＝1. 11．已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a b 0)的离心率为63，右焦点为(22，0)．斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3,2)．(1)求椭圆G 的方程；(2)求△P AB 的面积．解：(1)由已知得c ＝22，c a ＝63，解得a ＝23，又b 2＝a 2－c 2＝4.所以椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1. (2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m .由????? y ＝x ＋m ，x 212＋y 24＝1，得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.① 设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1x 2)，AB 中点为E (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m 4. 因为AB 是等腰△P AB 的底边，所以PE ⊥AB .所以PE 的斜率k ＝2－m 4－3＋3m 4＝－1.解得m ＝2. 此时方程①为4x 2＋12x ＝0.解得x 1＝－3，x 2＝0.所以y 1＝－1，y 2＝2.所以|AB |＝3 2.此时，点P (－3,2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2＝322，所以△P AB 的面积S ＝12|AB |d ＝92. 12．(2012重庆高考)如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，线段OF 1，OF 2的中点分别为B 1，B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B 1作直线l 交椭圆于P ，Q 两点，使PB 2⊥QB 2，求直线l 的方程．解：(1)如图，设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a b 0)，右焦点为F 2(c,0)．因△AB 1B 2是直角三角形，又|AB 1|＝|AB 2|，故∠B 1AB 2为直角，因此|OA |＝|OB 2|，得b ＝c 2. 结合c 2＝a 2－b 2得4b 2＝a 2－b 2，故a 2＝5b 2，c 2＝4b 2，所以离心率e ＝c a ＝255. 在Rt △AB 1B 2中，OA ⊥B 1B 2，故S △AB 1B 2＝12|B 1B 2||OA |＝|OB 2||OA |＝c 2b ＝b 2. 由题设条件S △AB 1B 2＝4，得b 2＝4，从而a 2＝5b 2＝20.因此所求椭圆的标准方程为x 220＋y 24＝1. (2)由(1)知B 1(－2,0)，B 2(2,0)．由题意知直线l 的倾斜角不为0，故可设直线l 的方程为x ＝my －2.代入椭圆方程得(m 2＋5)y 2－4my －16＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1，y 2是上面方程的两根，因此y 1＋y 2＝4m m 2＋5，y 1y 2＝－16m 2＋5，又2B P＝(x 1－2，y 1)，2B Q ＝(x 2－2，y 2)，所以2B P 2B Q ＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝(my 1－4)(my 2－4)＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2－4m (y 1＋y 2)＋16＝－16(m 2＋1)m 2＋5－16m 2m 2＋5＋16高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆＝－16m 2－64m 2＋5，由PB 2⊥QB 2，得2B P 2B Q ＝0，即16m 2－64＝0，解得m ＝±2.所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x ＋2y ＋2＝0和x －2y ＋2＝0.1．设e 1，e 2分别为具有公共焦点F 1与F 2的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足PF 1PF 2＝0，则e 21＋e 22(e 1e 2)2的值为________．解析：设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，|F 1F 2|＝2c ，由题意得|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，||PF 1|－|PF 2||＝2a 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝2a 21＋2a 22.又∵PF 1PF 2＝0，∴PF 1⊥PF 2. ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，即2a 21＋2a 22＝4c 2.∴???a 1c 2＋????a 2c 2＝2，即1e 21＋1e 22＝2，即e 21＋e 22(e 1e 2)2＝2. 答案：22．已知F 1，F 2为椭圆x 2100＋y 2b 2＝1(0b 10)的左、右焦点，P 是椭圆上一点．(1)求|PF 1||PF 2|的最大值；(2)若∠F 1PF 2＝60°且△F 1PF 2的面积为6433，求b 的值．解析：(1)由题意得|PF 1|＋|PF 2|＝20，则|PF 1||PF 2|≤????|PF 1|＋|PF 2|22＝100，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时，等号成立，故(|PF 1||PF 2|)max ＝100.(2)因为S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|sin 60°＝6433，所以|PF 1||PF 2|＝2563.① 又?????|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1||PF 2|＝4a 2＝400，|PF 1|2＋|PF 2|2－4c 2＝2|PF 1||PF 2|cos 60°，所以3|PF 1||PF 2|＝400－4c 2.②由①②得c ＝6，则b ＝a 2－c 2＝8. 3．已知平面内曲线C 上的动点到定点(2，0)和定直线x ＝22的比等于22. (1)求该曲线C 的方程；。
2025届高中数学一轮复习课件《椭圆(二)》ppt
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(2)由题意知，直线 AC 不垂直于 y 轴． 设直线 AC 的方程为 x＝ty－2，A(x1，y1)，C(x2，y2)，
即 kAC≠0，可设为倒斜截式． 联立xx＝2＋ty2－y2＝2，8， 消去 x 并整理得 (t2＋2)y2－4ty－4＝0，Δ＝32(t2＋1)>0， 所以 y1＋y2＝t2＋4t 2，y1y2＝－t2＋4 2，
方法二(优解)：因为直线过点(0,1)，而 0＋14<1，即点(0,1)在椭圆内部，所以可以推断
直线与椭圆相交．故选 A．
解析 答案
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3．已知 F 是椭圆2x52 ＋y92＝1 的一个焦点，AB 为过椭圆中心的一条弦，则△ABF 面积
的最大值为( )
A．6
B．15
C．20
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第九章 解析几何
第6讲 椭圆(二)
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复习要点 1.能够把研究直线与椭圆位置关系的问题转化为研究方程解的问题，会根 据根与系数的关系及判别式解决问题.2.通过对椭圆的学习，进一步体会数形结合的思想．
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01 理清教材 强基固本 02 重难题型 全线突破 03 限时跟踪检测
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设直线与椭圆的交点坐标为 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则有|AB|＝ 1＋k2[x1＋x22－4x1x2]
1 ＝ 1＋k2[y1＋y22－4y1y2](k 为直线斜率，k≠0)． 提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判 别式．
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可知 A，B 关于原点对称．
2025年高考数学一轮复习-8.5.2-直线与椭圆的位置关系-专项训练【含解析】
2025年高考数学一轮复习-8.5.2-直线与椭圆的位置关系【原卷版】1．直线y ＝kx ＋1与焦点在x 轴上的椭圆x 29＋y 2m ＝1总有公共点，则实数m 的取值范围是()A ．12≤m ＜9B ．9＜m ＜10C ．1≤m ＜9D ．1＜m ＜92．若直线mx ＋ny ＝9和圆x 2＋y 2＝9没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 216＝1的交点有()A ．1个B ．至多一个C ．2个D ．0个3．已知F 1，F 2是椭圆G ：x 252＋y 242＝1的左、右焦点，过F 1作直线l 交G 于A ，B 两点，若|AB |＝325，则△F 2AB 的面积为()A ．245B ．485C ．965D ．164154．已知点P (x ，y )是椭圆x 29＋y 24＝1上任意一点，则点P 到直线l ：y ＝x ＋5的最大距离为()A ．52＋262B ．52－262C ．52＋26D ．52－265．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图①所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆．某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图②所示，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD ，且两切线斜率之积等于－58，则椭圆的离心率为()A ．34B ．58C ．74D ．646．(多选)设椭圆x 29＋y 23＝1的右焦点为F ，直线y ＝m (0＜m ＜3)与椭圆交于A ，B 两点，则()A ．|AF |＋|BF |为定值B ．△ABF 的周长的取值范围是[6,12]C ．当m ＝32时，△ABF 为直角三角形D ．当m ＝1时，△ABF 的面积为67．已知F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，|F 1F 2|＝2，过椭圆左焦点且斜率为2的直线交椭圆于A ，B 两点，若S △ABF 2＝4，则弦长|AB |＝________．8．直线5x ＋4y －1＝0交椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)于M ，N 两点，设MN 中点为P ，直线OP 的斜率等于54，O 为坐标原点，则椭圆C 的离心率为________．9．已知直线y ＝kx －1与椭圆x 24＋y 23＝1交于点A ，B ，与y 轴交于点P ，若AP ―→＝3PB ―→，则实数k 的值为________．10．已知点B 是圆C ：(x －1)2＋y 2＝16上的任意一点，点F (－1,0)，线段BF 的垂直平分线交BC 于点P ．(1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)直线l ：y ＝2x ＋m 与E 交于点M ，N ，且|MN |＝123019，求m 的值．11．(多选)已知P 是椭圆E ：x 24＋y 2m ＝1(m ＞0)上任意一点，M ，N 是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2(k 1k 2≠0)，若|k 1|＋|k 2|的最小值为1，则下列结论正确的是()A ．椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1B ．椭圆E 的离心率为12C ．曲线y ＝log 3x －12经过E 的一个焦点D ．直线2x －y －2＝0与E 有两个公共点12．已知椭圆x 22＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线AB 与椭圆交于A ，B两点，则△F 1AB 的周长是________，△F 1AB 内切圆面积的最大值是________．13．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)左焦点为F 1(－1,0)，经过点F 1的直线l 与圆F 2：(x －1)2＋y 2＝8相交于P ，Q 两点，M 是线段PF 2与C 的公共点，且|MF 1|＝|MP |．(1)求椭圆C 的方程；(2)l 与C 的交点为A ，B ，且A 恰为线段PQ 的中点，求△ABF 2的面积．14．如图，椭圆x 2a 2＋y 24＝1(a ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于M ，N 两点，交y 轴于点H ．若F 1，H 是线段MN 的三等分点，则△F 2MN 的周长为()A ．20B ．10C ．25D ．4515．定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果两个椭圆的“特征三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比．已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1．(1)若椭圆C 2：x 216＋y 241，试判断C 2与C 1是否相似？如果相似，求出C 2与C 1的相似比；如果不相似，请说明理由；(2)写出与椭圆C 1相似且短半轴长为b 的焦点在x 轴上的椭圆C b 的标准方程．若在椭圆C b 上存在两点M ，N 关于直线y ＝x ＋1对称，求实数b 的取值范围．2025年高考数学一轮复习-8.5.2-直线与椭圆的位置关系【解析版】1．直线y ＝kx ＋1与焦点在x 轴上的椭圆x 29＋y 2m ＝1总有公共点，则实数m 的取值范围是()A ．12≤m ＜9B ．9＜m ＜10C ．1≤m ＜9D ．1＜m ＜9解析：C 直线y ＝kx ＋1恒过定点P (0,1)，焦点在x 轴上的椭圆x 29＋y 2m＝1，可得0＜m＜9①，由直线y ＝kx ＋1与焦点在x 轴上的椭圆x 29＋y 2m＝1总有公共点，可得P 在椭圆上或椭圆内，即有09＋1m≤1，解得m ≥1②，由①②可得1≤m ＜9．故选C ．2．若直线mx ＋ny ＝9和圆x 2＋y 2＝9没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 216＝1的交点有()A ．1个B ．至多一个C ．2个D ．0个解析：C 因为直线mx ＋ny ＝9和圆x 2＋y 2＝9没有交点，所以9m 2＋n2＞3，即m 2＋n 2＜9，所以m 29＋n 216≤m 29＋n 29＜1，即点(m ，n )在椭圆x 29＋y 216＝1内，所以过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 216＝1的交点有2个，故选C ．3．已知F 1，F 2是椭圆G ：x 252＋y 242＝1的左、右焦点，过F 1作直线l 交G 于A ，B 两点，若|AB |＝325，则△F 2AB 的面积为()A ．245B ．485C ．965D ．16415解析：C由G ：x 252＋y 2421知c 2＝52－42＝32，所以F 1(－3，0)，把x ＝－3代入椭圆方程可得y 2＝4425，故y ＝±165，又|AB |＝325，所以AB ⊥x 轴，则S △F 2AB ＝12|AB |×2c ＝12×325×6＝965，故选C ．4．已知点P (x ，y )是椭圆x 29＋y 24＝1上任意一点，则点P 到直线l ：y ＝x ＋5的最大距离为()A ．52＋262B ．52－262C ．52＋26D ．52－26解析：A设直线y ＝x ＋m ＋y 24＝1，x ＋m得13x 2＋18mx ＋9m 2－36＝0，∴Δ＝(18m )2－4×13(9m 2－36)＝0，解得m ＝±13，切线方程为y ＝x ＋13和y ＝x －13，与l 距离较远的是y ＝x －13，∴所求最大距离为d ＝|－13－5|2＝52＋262．故选A ．5．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图①所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆．某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图②所示，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD ，且两切线斜率之积等于－58，则椭圆的离心率为()A ．34B ．58C ．74D ．64解析：D设内层椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，∵内外椭圆离心率相同，∴外层椭圆可设成x 2(ma )2＋y 2(mb )2＝1(m ＞1)，设切线AC 的方程为y ＝k 1(x ＋ma )，与x 2a 2＋y 2b 2＝1联立得：(b 2＋a 2k 21)x 2＋2ma 3k 21x ＋m 2a 4k 21－a 2b 2＝0，由Δ＝0,则k 21＝b 2a 2·1m 2－1，同理可得k 22＝b 2a 2·(m 2－1)，∴k 21·k 22＝b 4a 4＝则b 2a 2＝58，因此，e ＝c a ＝1－b 2a 2＝1－58＝64．故选D ．6．(多选)设椭圆x 29＋y 23＝1的右焦点为F ，直线y ＝m (0＜m ＜3)与椭圆交于A ，B 两点，则()A ．|AF |＋|BF |为定值B ．△ABF 的周长的取值范围是[6,12]C．当m＝32时，△ABF为直角三角形D．当m＝1时，△ABF的面积为6解析：ACD设椭圆的左焦点为F′，则|AF′|＝|BF|，∴|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF′|＝6为定值，A正确；△ABF的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|，∵|AF|＋|BF|为定值6，且|AB|的取值范围是(0,6)，∴△ABF的周长的取值范围是(6,12)，B错误；设点A在点B的左侧，将y＝3 2与椭圆方程联立，可解得－332，F(6，0)，∴AF―→·BF―→＝＝0．∴△ABF为直角三角形，C正确；将y＝1与椭圆方程联立，解得A(－6，1)，B(6，1)，∴S△ABF＝12×26×1＝6，D正确．故选A、C、D．7．已知F1，F2分别为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，|F1F2|＝2，过椭圆左焦点且斜率为2的直线交椭圆于A，B两点，若S△ABF2＝4，则弦长|AB|＝________．解析：∵S△ABF2＝4，∴12×2c×|y A－y B|＝4，又∵|F1F2|＝2，∴|y A－y B|＝4，∵直线过椭圆左焦点且斜率为2，∴|AB|＝1＋1k2|y A－y B|4＝25．答案：258．直线5x＋4y－1＝0交椭圆C：y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)于M，N两点，设MN中点为P，直线OP的斜率等于54，O为坐标原点，则椭圆C的离心率为________．解析：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN中点为P(x0，y0)＋x21b2＝1，＋x22b2＝1，两式相减得b2(y21－y22)＋a2(x21－x22)＝0，即y1－y2x1－x2＝－k MN＝－a2b2·1k OP，因为k MN＝－54，k OP＝54，所以b2a2＝1625，所以e＝ca＝1－b2a2＝35．答案：359．已知直线y＝kx－1与椭圆x24＋y23＝1交于点A，B，与y轴交于点P，若AP―→＝3PB―→，则实数k的值为________．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为直线y＝kx－1与y轴交于点P，所以P(0，－1)．联kx －1，＋y 23＝1，消去y 得(3＋4k 2)x 2－8kx －8＝0，Δ＞0．由根与系数的关系得x 1＋x 2＝8k3＋4k 2，x 1x 2＝－83＋4k 2．因为AP ―→＝3PB ―→，所以(－x 1，－1－y 1)＝3(x 2，y 2＋1)，所以x 1＝－3x 2，将其代入x 1＋x 2＝8k3＋4k 2，得x 2＝－4k 3＋4k 2．将x 1＝－3x 2，x 2＝－4k 3＋4k2代入x 1x 2＝－83＋4k 2，可得－＝－83＋4k 2k 2＝32，所以k ＝±62．答案：±6210．已知点B 是圆C ：(x －1)2＋y 2＝16上的任意一点，点F (－1,0)，线段BF 的垂直平分线交BC 于点P ．(1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)直线l ：y ＝2x ＋m 与E 交于点M ，N ，且|MN |＝123019，求m 的值．解：(1)由条件可得|PC |＋|PF |＝|PC |＋|PB |＝|BC |＝4＞|FC |＝2，所以动点P 的轨迹E 是以F ，C 为焦点的椭圆，设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，所以2a ＝4,2c ＝2，所以a ＝2，c ＝1，b ＝3，所以动点P 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1．(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，＋y 23＝1，2x ＋m可得19x 2＋16mx ＋4m 2－12＝0，由Δ＝256m 2－76(4m 2－12)＞0，得m ∈(－19，19)，由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝－16m19，x 1x 2＝4m 2－1219，因为|MN |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝123019，解得m ＝±1．11．(多选)已知P 是椭圆E ：x 24＋y 2m ＝1(m ＞0)上任意一点，M ，N 是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2(k 1k 2≠0)，若|k 1|＋|k 2|的最小值为1，则下列结论正确的是()A ．椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1B ．椭圆E 的离心率为12C ．曲线y ＝log 3x －12经过E 的一个焦点D ．直线2x －y －2＝0与E 有两个公共点解析：ACD设P (x 0，y 0)，M (x 1，y 1)，x 0≠±x 1，y 0≠±y 1，则N (－x 1，－y 1)，x 204＋y 20m＝1，x 214＋y 21m ＝1，所以y 20＝m －mx 204，y 21＝m －mx 214，k 1k 2＝y 0－y 1x 0－x 1·y 0＋y 1x 0＋x 1＝y 20－y 21x 20－x 21＝－m 4．于是|k 1|＋|k 2|≥2|k 1|·|k 2|＝2|k 1k 2|＝2|－m 4|＝m ，依题意，得m ＝1，解得m ＝1，故E 的方程为x 24＋y 2＝1，A 正确；离心率为32，B 错误；焦点坐标为(±3，0)，曲线y ＝log 3x －12经过焦点(3，0)，C 正确；又直线2x －y －2＝0过点(1,0)，且点(1,0)在E 内，故直线2x －y －2＝0与E 有两个公共点，D 正确．故选A 、C 、D ．12．已知椭圆x 22＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线AB 与椭圆交于A ，B两点，则△F 1AB 的周长是________，△F 1AB 内切圆面积的最大值是________．解析：根据椭圆定义可知△F 1AB 的周长C ＝4a ＝42；在△F 1AB 内，S ＝12Cr ＝22r ，问题转化为求△F 1AB 面积最大值，设AB ：x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则(m 2＋2)y 2＋2my －1＝01＋y 2＝－2mm 2＋2，1y 2＝－1m 2＋2，于是S ＝12|F 1F 2|·|y 1－y 2|22m 2＋1m 2＋2＝22m 2＋1＋1m 2＋1≤222m 2＋1·1m 2＋1＝2，则22r ≤2⇒r ≤12⇒πr 2≤π4，等号在m ＝0时取到．答案：42π413．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)左焦点为F 1(－1,0)，经过点F 1的直线l 与圆F 2：(x －1)2＋y 2＝8相交于P ，Q 两点，M 是线段PF 2与C 的公共点，且|MF 1|＝|MP |．(1)求椭圆C 的方程；(2)l 与C 的交点为A ，B ，且A 恰为线段PQ 的中点，求△ABF 2的面积．解：(1)由圆F 2：(x －1)2＋y 2＝8可得|PF 2|＝22，因为|MF 1|＝|MP |，所以2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝|MP |＋|MF 2|＝|PF 2|＝22，即a ＝2，又c ＝1，故b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为A 为线段PQ 的中点，则AF 1⊥AF 2，所以AF 1―→·AF 2―→＝x 21＋y 21－1＝0，又x 212＋y 21＝1，解得x 1＝0，y 1＝±1，若y 1＝1，则A (0,1)，直线l 的方程为y ＝x ＋1，x ＋1，y 2＝12＝－43，2＝－13，即－43，－所以△ABF 2的面积S ＝12|F 1F 2|·|y 1－y 2|＝12×2×43＝43，若y 1＝－1，同理可求得△ABF 2的面积S ＝43，综上所述，△ABF 2的面积为43．14．如图，椭圆x 2a 2＋y 24＝1(a ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于M ，N 两点，交y 轴于点H ．若F 1，H 是线段MN 的三等分点，则△F 2MN 的周长为()A ．20B ．10C ．25D ．45解析：D由F 1，H 是线段MN 的三等分点，得H 是F 1N 的中点，又F 1(－c,0)，∴点N的横坐标为c c ，＋y 24＝1，得2c 点M 的坐标代入椭圆方程得4c 2a2＋1，化简得c 2＝a 2－14，又c 2＝a 2－4，∴a 2－14＝a 2－4，得a 2＝5，∴a ＝5．由椭圆的定义知|NF 2|＋|NF 1|＝|MF 2|＋|MF 1|＝2a ，∴△F 2MN 的周长为|NF 2|＋|MF 2|＋|MN |＝|NF 2|＋|MF 2|＋|NF 1|＋|MF 1|＝4a ＝45，故选D ．15．定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果两个椭圆的“特征三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比．已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1．(1)若椭圆C 2：x 216＋y 241，试判断C 2与C 1是否相似？如果相似，求出C 2与C 1的相似比；如果不相似，请说明理由；(2)写出与椭圆C 1相似且短半轴长为b 的焦点在x 轴上的椭圆C b 的标准方程．若在椭圆C b 上存在两点M ，N 关于直线y ＝x ＋1对称，求实数b 的取值范围．解：(1)椭圆C 2与C 1相似．如图，在同一坐标系中作出C 1，C 2的图象．∵椭圆C 2的“特征三角形”是腰长为4，底边长为43的等腰三角形，而椭圆C 1的“特征三角形”是腰长为2，底边长为23的等腰三角形，∴两三角形的三边对应成比例，∴这两个等腰三角形相似，且相似比为2∶1，∴椭圆C 2和C 1相似，且相似比为2∶1．(2)椭圆C b 的方程为x 24b 2＋y 2b2＝1(b ＞0)．由题意，可设l MN ：y ＝－x ＋t ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点为(x 0，y 0)．x ＋t ，＋y 2b 2＝1，消去y ，整理得5x 2－8tx ＋4(t 2－b 2)＝0，则x 0＝x 1＋x 22＝45t ，y 0＝t5．∵MN 的中点在直线y ＝x ＋1上，∴t 5＝45t ＋1，解得t ＝－53．故直线l MN 的方程为y ＝－x －53．若M ，N 存在，则方程5x 2－8＋－b 2＝0有两个不同的实数解，∴Δ－4×5×40，解得b ＞53．。
2023年新高考数学一轮复习9-3 椭圆(真题测试)含详解
专题9.3 椭圆（真题测试）一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习（文））已知椭圆22214x y C a +=：的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为（ ）A ．13B ．12C ．2D ．32．（2017·浙江·高考真题）椭圆22194x y +=的离心率是（ ）A B C ．23D ．593．（全国·高考真题（文））已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点为F 1,F 2F 2的直线l 交C 与A,B 两点，若△AF 1B 的周长为C 的方程为（ ）A ．22132x y +=B ．2213x y +=C ．221128x y +=D ．221124x y +=4．（2020·山东·高考真题）已知椭圆的长轴长为10，焦距为8，则该椭圆的短轴长等于（ ） A ．3B ．6C ．8D ．125．（2019·北京·高考真题（理））已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则（ ）A ．a 2=2b 2B ．3a 2=4b 2C ．a =2bD ．3a =4b6.（2018·全国·高考真题（文））已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为（ ）A ．1B ．2CD 17．（2018·全国·高考真题（理））已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b ab+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为（ ） A ．23B ．12 C ．13 D ．148．（2021·全国·高考真题（理））设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（ ）A ．⎫⎪⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．⎛ ⎝⎦D ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦二、多选题9．（2023·全国·高三专题练习）设圆锥曲线C 的两个焦点分别为12,F F ，若曲线C 上存在点P 满足1122::4:3:2PF F F PF =，则曲线C 的离心率可以是（ ） A ．12B ．23C ．32D ．210.（2022·广东·高三开学考试）已知椭圆C ：2212516x y +=，1F 、2F 是椭圆C 的两个焦点，M 、N 是椭圆C 上两点，且M 、N 分别在x 轴两侧，则（ ） A ．若直线MN 经过原点，则四边形12MF NF 为矩形 B ．四边形12MF NF 的周长为20 C ．12MF F △的面积的最大值为12D ．若直线MN 经过2F ，则1F 到直线MN 的最大距离为811．（2022·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，已知F 1，F 2分别是椭圆22:142x y C +=的左，右焦点，点A ，B 是椭圆C 上异于长轴端点的两点，且满足11AF F B λ=，则（ ） A ．△ABF 2的周长为定值 B ．AB 的长度最小值为1 C ．若AB ⊥AF 2，则λ=3D ．λ的取值范围是[1，5]12．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）设1F ，F 为椭圆221204x y +=的左、右焦点，P 为椭圆上的动点，且椭圆上至少有17个不同的点(1,2,3)i P i =，1FP ，2FP ，3FP ，…组成公差为d 的递增等差数列，则（ ）A ．FP 的最大值为4B ．1F PF △的面积最大时，14tan 3F PF ∠=-C ．d 的取值范围为10,2⎛⎤⎥⎝⎦D ．椭圆上存在点P ，使134F PF π∠= 三、填空题13．（2021·山东高考真题）已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆22670x my m +--=的圆心重合，长轴长等于圆的直径，那么短轴长等于______．14．（2022·全国·南宁二中高三期末（文））椭圆C ：22221x y a b +=（a >b >0)的焦距为2c ，O 为坐标原点，A 为椭圆的右顶点，以OA 为直径的圆与圆222x y c +=交于P ，Q 两点，若|PQ |=|OA |，则椭圆C 的离心率为______.15．（2019·全国·高考真题（理））设12F F ，为椭圆22:+13620x yC =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.16．（2022·全国·高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE =，则ADE 的周长是________________． 四、解答题17. （2022·全国·高三专题练习）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>，过椭圆的左焦点F l与椭圆交于A 、B 两点（A 点在B 点的上方），若有2AF FB =，求椭圆的离心率．18.（陕西·高考真题（理））已知椭圆:E 22221x y a b+=（0a b >>）的半焦距为c ，原点O 到经过两点(),0c ，()0,b 的直线的距离为12c ．（Ⅰ）求椭圆E 的离心率；（Ⅱ）如图，AB 是圆:M ()()225212x y ++-=的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程． 19.（2019·天津·高考真题（理））设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4，离心率为55. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上.若||||ON OF =（O 为原点），且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率.20.（2019·江苏·高考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=52．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求点E 的坐标．21．（2021·天津·高考真题）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ，上顶点为B ，且BF =（1）求椭圆的方程；（2）直线l 与椭圆有唯一的公共点M ，与y 轴的正半轴交于点N ，过N 与BF 垂直的直线交x 轴于点P ．若//MP BF ，求直线l 的方程．22.（2018·天津·高考真题（文））设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点为B ．已知椭圆的离心AB = （1）求椭圆的方程；（2）设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若BPM△的面积是BPQ 面积的2倍，求k 的值．专题9.3 椭圆（真题测试）一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习（文））已知椭圆22214x y C a +=：的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为（ ）A ．13B ．12C ．2D ．32．（2017·浙江·高考真题）椭圆22194x y +=的离心率是（ ）A B C ．23D ．593．（全国·高考真题（文））已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点为F 1,F 2F 2的直线l 交C 与A,B 两点，若△AF 1B 的周长为C 的方程为（ ）A ．22132x y +=B ．2213x y +=C ．221128x y +=D ．221124x y +=c e a ==22b ∴=，所以方程为4．（2020·山东·高考真题）已知椭圆的长轴长为10，焦距为8，则该椭圆的短轴长等于（ ） A ．3 B ．6 C ．8 D ．12【答案】B【分析】根据椭圆中,,a b c 的关系即可求解. 【详解】椭圆的长轴长为10，焦距为8， 所以210a =，28c =，可得5a =，4c =， 所以22225169b a c =-=-=，可得3b =， 所以该椭圆的短轴长26b =， 故选：B.5．（2019·北京·高考真题（理））已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则（ ）A ．a 2=2b 2B ．3a 2=4b 2C ．a =2bD ．3a =4b6.（2018·全国·高考真题（文））已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为（ ）A ．1B ．2CD 1290,PF ∠1,||PF =故选D.7．（2018·全国·高考真题（理））已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P在过A12PF F△为等腰三角形，12120F F P∠=︒，则C的离心率为（）A．23B．12C．13D．148．（2021·全国·高考真题（理））设B是椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的上顶点，若C上的任意一点P都满足||2PB b≤，则C的离心率的取值范围是（）A．⎫⎪⎪⎣⎭B．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C．⎛⎝⎦D．10,2⎛⎤⎥⎝⎦二、多选题9．（2023·全国·高三专题练习）设圆锥曲线C 的两个焦点分别为12,F F ，若曲线C 上存在点P 满足1122::4:3:2PF F F PF =，则曲线C 的离心率可以是（ ）A ．12 B ．23C ．32D ．210.（2022·广东·高三开学考试）已知椭圆C ：2212516x y +=，1F 、2F 是椭圆C 的两个焦点，M 、N 是椭圆C 上两点，且M 、N 分别在x 轴两侧，则（ ） A ．若直线MN 经过原点，则四边形12MF NF 为矩形 B ．四边形12MF NF 的周长为20 C ．12MF F △的面积的最大值为12D ．若直线MN 经过2F ，则1F 到直线MN 的最大距离为811．（2022·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，已知F 1，F 2分别是椭圆22:142x y C +=的左，右焦点，点A ，B 是椭圆C 上异于长轴端点的两点，且满足11AF F B λ=，则（ ）A ．△ABF 2的周长为定值B ．AB 的长度最小值为1C ．若AB ⊥AF 2，则λ=3D ．λ的取值范围是[1，5]【详解】因为11AF F B λ=，则A 三点共线，2ABF 周长21=≠，B 错．，则12AF AF ⊥，A 在上、下顶点处，不妨设A解得0x =⎧⎪⎨或，422,-12．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）设1F ，F 为椭圆221204x y +=的左、右焦点，P 为椭圆上的动点，且椭圆上至少有17个不同的点(1,2,3)i P i =，1FP ，2FP ，3FP ，…组成公差为d 的递增等差数列，则（ ）A ．FP 的最大值为4B ．1F PF △的面积最大时，14tan 3F PF ∠=-C ．d 的取值范围为10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．椭圆上存在点P ，使134F PF π∠=三、填空题13．（2021·山东高考真题）已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆22670x my m+--=的圆心重合，长轴长等于圆的直径，那么短轴长等于______．【答案】【分析】由于22670x my m +--=是圆，可得1m =，通过圆心和半径计算,,a b c ，即得解 【详解】由于22670x my m +--=是圆，1m ∴= 即：圆22670x y x +--= 其中圆心为()3,0，半径为4那么椭圆的长轴长为8，即3c =，4a =，b ==那么短轴长为故答案为：14．（2022·全国·南宁二中高三期末（文））椭圆C ：22221x y a b +=（a >b >0)的焦距为2c ，O 为坐标原点，A 为椭圆的右顶点，以OA 为直径的圆与圆222x y c +=交于P ，Q 两点，若|PQ |=|OA |，则椭圆C 的离心率为______.15．（2019·全国·高考真题（理））设12F F ，为椭圆22:+13620x yC =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.16．（2022·全国·高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE =，则ADE 的周长是________________． 称性将ADE 的周长转化为【详解】∵椭圆的离心率为2213y c =，即2a OF c =，两点，DE 为线段∴ADE 的周长等于24a a a +=四、解答题17. （2022·全国·高三专题练习）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>，过椭圆的左焦点F l与椭圆交于A 、B 两点（A 点在B 点的上方），若有2AF FB =，求椭圆的离心率．【答案】23由2AF FB =可得x 的坐标代入椭圆方程中化简可求出离心率 【详解】因为2AF FB =，设A 4⋅⋅⋅⋅⋅⋅①②①-②得：，1220y y +=，18.（陕西·高考真题（理））已知椭圆:E 22221x y a b+=（0a b >>）的半焦距为c ，原点O 到经过两点(),0c ，()0,b 的直线的距离为12c ．（Ⅰ）求椭圆E 的离心率；（Ⅱ）如图，AB 是圆:M ()()225212x y ++-=的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程． 【答案】（Ⅰ）32；（Ⅱ）221123x y +=．19.（2019·天津·高考真题（理））设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4 （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上.若||||ON OF =（O 为原点），且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率.5520.（2019·江苏·高考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:22221(0)x ya ba b+=>>的焦点为F1（–1、0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2:222(1)4x y a-+=交于点A，与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．已知DF1=52．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标．43因为BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB，21．（2021·天津·高考真题）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ，上顶点为B ，且BF =（1）求椭圆的方程；（2）直线l 与椭圆有唯一的公共点M ，与y 轴的正半轴交于点N ，过N 与BF 垂直的直线交x 轴于点P ．若//MP BF ，求直线l 的方程．因此，椭圆2215x y +=在点()00,M x y 处的切线方程为0015x x y y +=.22.（2018·天津·高考真题（文））设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点为B ．已知椭圆的离心AB = （1）求椭圆的方程；（2）设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若BPM△的面积是BPQ 面积的2倍，求k 的值．的面积是BPQ 面积的23,x y y kx +=⎧⎨=⎩所以，k 的值为12-．。
五种椭圆解题方法高考数学一轮复习(新高考专用解析版)
五种椭圆解题方法题型一：利用椭圆定义解决三角形周长或边长问题一、单选题1．（2022·湖北·模拟预测）椭圆：22221(0)x y a b a b +=>>有一特殊性质，从一个焦点射出的光线到达椭圆上的一点P 反射后，经过另一个焦点.已知椭圆的焦距为2，且124PF PF +=，当121sin 2F PF ∠=时，椭圆的中心O 到与椭圆切于点P 的切线的距离为：（ ）A ．1 BC D 【答案】C【分析】设过P 点的切线为l ，分别做121、、⊥⊥⊥F M l F N O O l l 于1、、M N O 点，做PH l ⊥交x 轴于H 点，设1α∠=MF P ，入射角和反射角相等得122α∠∠=∠==F P F PH HP F N ， 利用中位线可得1=OO cos a α，再根据121sin 2F PF ∠=，可得答案， 【详解】设过P 点的切线为l ，分别做121、、⊥⊥⊥F M l F N O O l l 于1、、M N O 点， 做PH l ⊥交x 轴于H 点，所得1OO 是12、F M F N 的中位线，设1α∠=MF P ，入射角和反射角相等，则122α∠∠=∠==F P F PH HP F N ， 则12121cos cos 22αα++==F M F N F P F P OO 12cos cos 2αα+==F P F Pa ， 因为2,1a c ==，当P 为上顶点时，12F PF ∠为60， 因为，121sin 2F PF ∠=，所以1230F PF ∠=， 即230α，15α=，()6cos cos15cos 45302α==-=⨯=a a a 故选：C.2．（2022·黑龙江·哈师大附中三模（文））已知点P 为椭圆C ：22195x y +=上一点，点1F ，2F 分别为椭圆C 的左､右焦点，若122PF PF =，则12PF F △的内切圆半径为（ ）A 15B 15C 215D 15【答案】B【分析】首先求1PF 和2PF 的值，再求12PF F △的面积，再利用三角形内切圆的半径表示面积，即可求解.【详解】因为1226PF PF a +==，且122PF PF =，所以14PF =，22PF =，2954c =-=，1224F F c ==，则等腰三角形12PFF △底边上的高224115h - 所以121215152PF F S=⨯=设12PF F △的内切圆半径为r ，则()121211101522PF PF F F r r ++⨯=⨯⨯= 所以15r =故选：B 二、多选题3．（2022·全国·模拟预测）已知椭圆()2222:10,0x y C a b a b+=>>的焦点分别为1F ，2F ，焦距为2c ，过2F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点.223AF BF =，146AB BF ==，若1ABF 的周长为20，则经过点5319()的直线（ ） A ．与椭圆C 可能相交 B ．与椭圆C 可能相切 C ．与椭圆C 可能相离 D ．与椭圆C 不可能相切【答案】AB【分析】利用给定条件，结合椭圆定义求出椭圆方程，再判断点与椭圆的位置关系作答.【详解】由椭圆的定义知122BF BF a +=，122AF AF a +=，设2BF m =，则2233AF BF m ==，则12BF a m =-，123AF a m =-，而1AB BF =，即有42m a m =-，解得52a m =， 又1ABF 的周长为20，则有11||||||420AB AF BF a ++==，解得5a =，2m =，因为1AB BF ==，即83=，解得c 22219b a c =-=，椭圆C 的方程为2212519x y +=，显然222212519+=，即点在椭圆上，所以经过点的直线与椭圆C 相交或相切. 故选：AB4．（2022·湖北·模拟预测）已知椭圆C 的中心为坐标原点，焦点1F ，2F 在y 轴上，短轴长等于1F 作y 轴的垂线交椭圆C 于P ，Q 两点，则下列说法正确的是（ ）A ．椭圆C 的方程为22132y x +=B ．椭圆C 的方程为22132x y +=C ．PQ =D ．2PF Q △的周长为【答案】AC【分析】解方程组求出,a b 即可选项AB 的真假，再利用通径公式判断选项C 的真假，再利用椭圆的定义判断选项D 的真假.【详解】解：由题意得：2b =b =222113b e a =-=，故23a =，因为焦点1F ，2F 在y 轴上，所以椭圆C 的方程为22132y x+=，所以选项A 正确，选项B 错误；由通径长可得，22b PQ a ==，所以选项C 正确；2PF Q △的周长为4a =，所以选项D 错误.故选：AC ．5．（2022·山东菏泽·二模）已知椭圆22:12+=xE y的左右焦点分别为1F，2F，直线(x m m=<<与椭圆E交于A，B两点，C，D分别为椭圆的左右顶点，则下列命题正确的有（）A．若直线CA的斜率为1k，BD的斜率2k，则1212k k=-B．存在唯一的实数m使得12AF F△为等腰直角三角形C．12AF AF⋅取值范围为()1,1-D．1ABF周长的最大值为【答案】BD【分析】A选项，求出A，B两点坐标，表达出1212k k=；B选项，验证出1F，2F是直角顶点时，不满足等腰性，故不成立，当A是直角顶点时满足题意，得出结论；C选项，设出A m⎛⎝，求出(]2120,12mAF AF⋅=∈；D选项，作出辅助线，利用椭圆定义得到直线(x m m=<经过焦点2F时，此时1ABF的周长最大.【详解】将x m=代入椭圆方程，求出y=()),C D，则212212122mk km⎛⎛⎫--⎪⎝⎭===-，A错误；由题意得：()()121,0,1,0F F-，当1m=±时，y=121AF F F=≠，所以当1F，2F是直角顶点时，不满足等腰性，故不成立，当点A是直角顶点时，由对称性可知：此时A在上顶点或下顶点，由于1b c==，故满足题意，所以存在唯一的实数m使得12AF F△为等腰直角三角形，B正确；不妨设A m⎛⎝，则222121122m mAF AF m⋅=-+-=，因为m(]2120,12mAF AF⋅=∈，C错误；如图，当直线(x m m=<<经过焦点2F时，此时1ABF的周长最大，等于1212442AF AF BF BF a +++==4a 小，例如当直线(22x m m =-<与椭圆相交于,A B ''，与x 轴交于C 点时， 连接2A F '，由椭圆定义可知：122A F A F a ''+=，显然2A F A C '>'， 同理可知：1212442A F A F B F B F a +++<''='' 故1ABF 周长的最大值为2D 正确 故选：BD6．（2022·山东德州·高三期末）已知椭圆()2221024x y b b+=<<的左､右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若22AF BF +的最大值为5，则下列说法正确的是（ ）A 3B ．当22AF BF +最大时，22AF BF =C ．椭圆离心率为12 D ．2ABF 面积最大值为3【答案】BC【分析】根据椭圆的定义得到2222||488||AF BF AB a AF BF AB ++==⇒+=-，进而判断当AB x ⊥轴时，||AB 最小，此时8||AB -最大，进而求出b ,c ,即可判断A,B,C.设出直线AB 并代入椭圆方程并化简，进而根据根与系数的关系求出三角形的面积，然后求出其最大值，最后判断D.【详解】由题意：2a =，根据椭圆的定义可知，2222||488||AF BF AB a AF BF AB ++==⇒+=-，则8||AB -的最大值为5，根据椭圆的性质可知：当AB x ⊥轴时，||AB 最小，此时8||AB -最大，如图：将x c =-代入椭圆方程得：2222142c y by b+=⇒=±，则2||33,1AB b b c ==⇒==.所以短轴长为23A 错误；此时22AF BF =，B 正确；12c e a ==，C 正确； 对D ，设()()1122,,,A x y B x y ，:1AB l x ty =-，代入椭圆方程得：()2222133911043424ty y t y ty -⎛⎫+=⇒+--= ⎪⎝⎭，则1221223231494314t y y t y y t ⎧⎪+=⎪⎪+⎪⎨⎪-⎪=⎪+⎪⎩， 所以()22212121222239312||4333111444t t y y y y y y t t t ⎛⎫⎪+-+-+=⎪ ⎪+++⎝⎭21231211,||311344u u t y y u u u=+≥-==++，于是21212111212||||2112233ABF F F y y u uSu u =⨯⨯-=⨯⨯=++，由对勾函数的图象和性质可知：函数13y u u=+在[1,)+∞上是增函数，则函数1213y u u=+在[1,)+∞上是减函数.于是，当u =1，即t =0时，2ABF 面积最大值为3.故D 错误. 故选：BC.【点睛】本题答案D 的判断较为复杂，在求三角形面积时，注意要选线段12F F 作为底边将原三角形分为两个三角形，进而得到212121||||2ABF F F y Sy =⨯⨯-；在处理122||14y y t -=+. 三、填空题7．（2022·广东佛山·三模）已知椭圆22:12516x y C +=，1F 、2F 为C 的左、右焦点，P 是椭圆上的动点，则12F PF △内切圆半径的最大值为________．【答案】32【分析】根据椭圆定义可得12121222F PF L PF PF F F a c =++=+△，结合内切圆半径12122F PF F PF S r L △△=，显然当P 为短轴顶点时12F PF S最大，即12F PF △内切圆半径的最大，此时12122F PF S b c bc =⨯⨯=△，代入求解．【详解】∵22:12516x y C +=，则5,4,3a b c ===∴12F PF △的周长1212122216F PF L PF PF F F a c =++=+=△∵12F PF △内切圆半径12122F PF F PF S r L △△=，则12F PF △内切圆半径的最大即为12F PF S最大显然当P 为短轴顶点时12F PF S 最大，此时1212122F PF S b c bc =⨯⨯==△则1212232F PF F PF S r L =△△=故答案为：32．8．（2022·陕西·长安一中三模（理））已知椭圆C :22143x y +=的焦点为1F ，2F ，第一象限点P 在C 上，且1294PF PF ⋅=，则12PF F △的内切圆半径为_________. 【答案】12【分析】由题意列方程组解出P 点坐标，由面积与周长关系求内切圆半径【详解】由已知条件得24a =，23b =，2221c a b =-=，则1F （－1，0），2F （1，0）. 设点P 的坐标为（p x ，p y ），则()11p p PF x y =---，()2,1p p PF x y =--2212914p p PF PF x y ⋅=+-=，即22134p p x y +=①，∵第一象限点P 在C 上，∴则22143p px y +=，即22443PPy x =-②， 联立解得32p y =由椭圆的定义得1224PF PF a +== 设12PF F △的内切圆半径为r ，则()121212132PF F S r PF PF F F r =++= 又∵1213222pF F p S c y ∆=⋅⋅=， ∴332r =，即12r =.故答案为：12 四、解答题9．（2022·河南·西平县高级中学模拟预测（理））已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，1F ，2F 为其左、右焦点，左、右顶点分别为A ，B ，过1F 且斜率为k 的直线l 交椭圆E 于M ，N 两点（异于A ，B 两点），且2MNF 的周长为8． (1)求椭圆C 的方程；(2)若P 为椭圆上一点，O 为坐标原点，OP MN ⊥，求MNOP的取值范围．【答案】(1)22143x y +=；(2)32⎛ ⎝⎭. 【分析】（1）根据离心率以及焦点三角形的边长几何特征，联立方程求,,a b c ，进而求出椭圆的标准方程；（2）设出直线l 的方程，利用弦长公式求出MN ，再利用两直线垂直斜率乘积为1-，得出直线OP ，求出OP ，进而得到MNOP的函数表达式，求其取值范围即可. (1)依题意知12e =，即2a c ＝，又2MNF 的周长为8，即2,1a c ＝＝，b ∴= 因此椭圆的方程为22143x y +=．(2)当0k =时，点,M N 为点,A B ，不符合题意，舍去； 设直线l 的方程为()1y k x =+，且0k ≠，()()1122,,,M x y N x y ，联立()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 可得()22223484120k x k x k +++-=，则2122834k x x k +=-+，212241234k x x k -=+，所以()212212134k MN x k +=-=+． 设直线OP 的方程为1=-y x k，联立221431x y y xk ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩不妨设P ⎛⎝，所以OP = 故MN OP =243t k =+，()3,t ∈+∞，则MN OP=令()27103f m m m =++，110,3m t ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，()f m 开口向上，对称轴10357,m ⎛⎫⎪⎝-∉⎭=()f m ∴在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，()643,9f m ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭∴32MN OP⎛=⎝⎭． 【点睛】关键点睛：（1）焦点三角形的周长为()2a c +，本题三角形周长可转化成除去2c 边的两个焦点三角形的其余边长之和； （2）设出直线l 的方程时应注意0k ≠； （3）韦达定理与弦长公式要熟练掌握；（4）两直线垂直斜率乘积为1-，几何关系应牢记；（5）表示出MNOP后，换元法求函数值域是常用方法，应注意新元的取值范围； 10．（2022·福建南平·三模）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，1F ，2F 分别为椭圆C 的左､右焦点，焦距为4.过右焦点2F 且与坐标轴不垂直的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，已知1△MNF的周长为M 关于x 轴的对称点为P ，直线PN 交x 轴于点Q . (1)求椭圆C 的方程；(2)求四边形1MF NQ 面积的最大值.【答案】(1)2215x y +=；【分析】（1）由1△MNF 的周长求出a ，再由焦距求得c ，进而求出b ，即得椭圆C 的方程；（2）设出直线l 的方程联立椭圆方程求得1212,y y y y +，表示出直线PN 的方程求出5,02Q ⎛⎫⎪⎝⎭，由112112MF NQ S y y FQ =-表示出面积，结合基本不等式求最大值即可. (1)1△MNF的周长为4a =a =又焦距24c =，得2c =，则1b ，所以椭圆C 的方程为2215x y +=；(2)设直线l 的方程为2(0)x my m =+≠，联立22215x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()225410m y my ++-=，设1122(,),(,)M x y N x y ，则12122241,55m y y y y m m +=-=-++，点11(,)P x y -，直线PN 的方程为211121()y y y y x x x x ++=--， 令0y =得()()21122112122121212222y my y my y x y x my y x y y y y y y ++++===++++2212552425m m m m -⋅+=+=+，即5,02Q ⎛⎫⎪⎝⎭，又()12,0F -，112112MF NQ S yy FQ=-9144==≤=m =1MF NQ 面积的最大值为958. 11．（2022·天津三中二模）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，其离心率12e =，过左焦点1F 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，且2ABF 的周长为8.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图过原点的直线1l 与椭圆C 交于E ，F 两点（点E 在第一象限），过点E 作x 轴的垂线，垂足为点G ，设直线FG 与椭圆的另一个交点为H ，连接HE 得到直线2l ，交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，记OFG △、OMN 的面积分别为1S ，2S ，求21S S 的最小值. 【答案】(1)22143x y +=；(2)4.【分析】（1）利用椭圆的定义可得2a =，结合条件即得；（2）设直线EF 的方程为()0y kx k =>，()11,E x y ，()11,F x y --，()22,H x y ，利用点差法可得2221222134y y x x -=--，进而可得直线HE 的方程可设为()1132y x x y k=--+，然后表示出1S ，2S ，再利用基本不等式即得.(1)由题知椭圆的离心率122c e ==，且2ABF 的周长为8， 所以2a =，1c =, 所以2223b a c =-=，故椭圆的标准方程为22143x y +=；(2)令直线EF 的方程为()0y kx k =>，()11,E x y ，()11,F x y --，()22,H x y ，由EG x ⊥轴，则()1,0G x ， ∴2121HEy y k x x -=-，2121HF y y k x x +=+，则22212221HF HE y y k k x x -⋅=-，由将点E ，H 代入椭圆的方程可得：22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式作差可得：2221222134y y x x -=--，所以34HF HE k k ⋅=-，由11122HF GF y k k k x ===， 所以3342HE HF k k k=-=-， 所以直线HE 的方程可设为()1132y x x y k=--+， 令0x =时，11113322N y x y x kx k k=+=+， 令0y =时，211122133M kk x x y x ⎛⎫=+=+⋅ ⎪⎝⎭， 则MON △的面积为221112312232MONk S OM ON k x k ⎛⎫⎛⎫==++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△， OFG △的面积为211122OFG G F S x y kx ==△， 则()22222222132191941224124666MON OFG k S Sk k S S k k k +⎛⎫⎛⎫===++≥⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△，当且仅当62k =时取等号， 所以21S S 的最小值为4. 12．（2020·河南濮阳·一模（理））如图，已知椭圆E 的右焦点为21,0F ，P ，Q 为椭圆上的两个动点，2PQF 周长的最大值为8.（Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）直线l 经过2F ，交椭圆E 于点A ，B ，直线m 与直线l 的倾斜角互补，且交椭圆E于点M ，N ，24MN AB =，求证：直线m 与直线l 的交点T 在定直线上.【答案】（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）详见解析.【解析】（Ⅰ）由椭圆的定义可得，2PQF 周长取最大值时，线段PQ 过点1F ，可求出a ，从而求出椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）设直线()():10l y k x k =-≠，直线():m y k x t =-+，()11,A x y ，()22,B x y ，()33,M x y ，()44,N x y .把直线m 与直线l 的方程分别代入椭圆E 的方程，利用韦达定理和弦长公式求出2MN 和AB ，根据24MN AB =求出t 的值.最后直线m 与直线l 的方程联立，求两直线的交点即得结论.【详解】（Ⅰ）设2PQF 的周长为L ，则()221111224L PF QF PQ a PF a QF PQ a PF QF PQ =++=-+-+=-++44a PQ PQ a ≤-+=，当且仅当线段PQ 过点1F 时“=”成立.48a ∴=，2a ∴=，又1c =，b ∴=∴椭圆E 的标准方程为22143x y +=.（Ⅱ）若直线l 的斜率不存在，则直线m 的斜率也不存在，这与直线m 与直线l 相交于点T 矛盾，所以直线l 的斜率存在.设()():10l y k x k =-≠，():m y k x t =-+，()11,A x y ，()22,B x y ，()33,M x y ，()44,N x y .将直线m 的方程代入椭圆方程得：()()22222348430k x k tx k t +++-=.2342834k tx x k ∴+=-+，()223424334k t x x k -⋅=+, ()()()2222222161239134k k t MN k k -+∴=+⋅+.同理，()2212134k AB k+==+. 由24MN AB =得0=t ，此时()()4222264163430k t k k t ∆=-+->.∴直线:m y kx =-，联立直线m 与直线l 的方程得11,22T k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即点T 在定直线12x =. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于难题. 题型二：待定系数法求椭圆方程一、单选题 1．（2022·河北唐山·三模）阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积．当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率π与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的面积为，两个焦点分别为12,F F ，点P 为椭圆C 的上项点．直线y kx =与椭圆C 交于A ，B 两点，若,PA PB 的斜率之积为89-，则椭圆C 的长轴长为（ ）A ．3B ．6C ．D ．【答案】B【分析】由题意得到方程组ab =和2289b a =②，即可解出a 、b ，求出长轴长.【详解】椭圆的面积S ab π==，即ab =. 因为点P 为椭圆C 的上项点，所以()0,P b .因为直线y kx =与椭圆C 交于A ，B 两点，不妨设(),A m n ，则(),B m n --且22221m n a b +=，所以22222a n m a b=-.因为,PA PB 的斜率之积为89-，所以89n b n b m m---⋅=--，把22222a n m a b=-代入整理化简得：2289b a =②①②联立解得：3,a b ==所以椭圆C 的长轴长为2a =6. 故选：B2．（2022·全国·模拟预测）已知过椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点()1,0F -的直线与椭圆交于不同的两点A ，B ，与y 轴交于点C ，点C ，F 是线段AB 的三等分点，则该椭圆的标准方程是（ ）A ．22165x y +=B ．22154x y +=C ．22132x y +=D ．22143x y +=【答案】B【分析】不妨设A 在第一象限，由椭圆的左焦点()1,0F -，点C ，F 是线段AB 的三等分点，易得21,b A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22,2b B a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭代入椭圆方程可得222414b a a +=，又2221c a b =-=，两式相结合即可求解 【详解】不妨设A 在第一象限，由椭圆的左焦点()1,0F -，点C ，F 是线段AB 的三等分点，则C 为1AF 的中点，1F 为BC 中点，所以1A x =，所以22211A y a b +=，则2A b y a=即21,b A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以220,2b C a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22,2b B a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，将点坐标代入椭圆方程得4222441b a a b +=，即222414b a a +=，又221a b -=，所以25a =，24b =，所以椭圆的标准方程是22154x y +=.故选：B3．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率等于32，点()6,5-在双曲线C 上，椭圆E 的焦点与双曲线C 的焦点相同，斜率为12的直线与椭圆E 交于A 、B 两点．若线段AB 的中点坐标为()1,1-，则椭圆E 的方程为（ ）A ．2214536x y +=B ．2213627x y +=C ．2212718x y +=D ．221189x y +=【答案】D【分析】由离心率和点()5-求出双曲线的方程，进而求出焦点，设出椭圆的方程及,A B 的坐标，由点差法得到2121221212y y x x b x x a y y -+=-⋅-+，结合中点坐标及斜率求得222a b =，再利用焦点坐标，即可求解.【详解】设双曲线方程为22221(0,0)x y m n m n -=>>，则223224251m n =⎨⎪-=⎪⎩，解得2245m n ⎧=⎨=⎩，故双曲线方程为22145x y -=，焦点为()3,0±；设椭圆方程为22221x y a b+=，则椭圆焦点为焦点为()3,0±，故22a b 9-=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则2222112222221,1x y x y a b a b+=+=， 两式相减得22221212220x x y y a b --+=，整理得2121221212y y x x b x x a y y -+=-⋅-+，即221121b a =-⋅-，解得222a b =，故2218,9a b ==，椭圆方程为221189x y +=. 故选：D. 二、多选题4．（2022·全国·模拟预测）已知直线x ＝my －1经过椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的一个焦点F ，且与C 交于不同的两点A ，B ，椭圆C 的离心率为12，则下列结论正确的有（ ） A ．椭圆CB ．弦AB 的最小值为3C ．存在实数m ，使得以AB 为直径的圆恰好过点()1,0D ．若3AF AB =，则m = 【答案】BCD【分析】由于直线x ＝my －1经过定点()1,0-，则由题意得1c =，再由离心率为12可求出a ，从而可求出b ，则可求出椭圆方程，然后结合椭圆的性质逐个分析判断即可 【详解】依题意可知，直线x ＝my －1经过定点()1,0-，所以1c =．又椭圆C 的离心率为12c a =，所以a ＝2，则b =所以椭圆C的短轴长为2b =所以A 选项不正确；当m ＝0时，弦AB 即为椭圆的一条通径，且223b AB a==，所以B 选项正确； 椭圆C 的长轴长为2a ＝4，所以[)3,4AB ∈，当AB 最短时，此时点()1,0在以AB 为直径的圆外，当AB 趋近于4时，点()1,0在以AB 为直径的圆内，因此，存在实数m ，使得以AB 为直径的圆恰好过点()1,0，所以C 选项正确；由3AF AB =，得2AF FB =，设()11,A x y ，()22,B x y ，则122y y =-，联立221,1,43x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得()2234690m y my +--=，0∆>恒成立，则122634m y y m +=+，122934y y m -=+． 因为122y y =-，所以122126,3492,34m y m y m ⎧-=⎪⎪+⎨-⎪-=⎪+⎩解得255m =±，所以D 选项正确．故选：BCD ．5．（2022·全国·高三专题练习）已知O 为坐标原点，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为F 1､F 2，长轴长为22，焦距为2c ，点P 在椭圆C 上且满足|OP |=|OF 1|=|OF 2|=c ，直线PF 2与椭圆C 交于另一个点Q ，若124cos 5FQF ∠=，点M 在圆228:9G x y +=上，则下列说法正确的是（ ）A ．椭圆C 的焦距为2B ．三角形MF 1F 2面积的最大值为223C ．2212||||4PF PF +=D ．圆G 在椭圆C 的内部【答案】ABCD【分析】先根据已知条件，解出椭圆C 的标准方程，再逐个验证各个选项即可. 【详解】△12F PF 中，原点O 为边12F F 中点，|OP |=|OF 1|=|OF 2|，则122F PF π∠=，设2PF m =，2QF n =，则122PF m =，122QF n =△1F PQ 中，12F PQ π∠=,14cos 5FQP ∠= 则有4522223522m n n m n +⎧=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解之得223m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 故△12F PF 为等腰直角三角形：22PF =，12PF =，122F PF π∠=故222212(2)224F F c ==+=，则1c = 又222a =，故1b =.椭圆C 的方程为2212x y +=选项A ：椭圆C 的焦距为是2，正确； 选项B ：圆228:9G x y +=的半径为223r = △MF 1F 2面积的最大值为1212222233F F ⨯⨯=，正确； 选项C ：222212||||224PF PF +=+=，正确； 选项D ：圆G 圆心在原点，半径2213r b =<=，故圆G 在椭圆C 的内部，正确. 故选：ABCD6．（2021·重庆·高三阶段练习）某文物考察队在挖掘时，挖出了一件宋代小文物，该文物外面是红色透明蓝田玉材质，里面是一个球形绿色水晶宝珠，其轴截面（如图）由半椭圆1C ：22221(0)x yx a b+=≥与半椭圆2C ：22221(0)x y x c d +=<组成，其中222a b c =+，0a b c >>>，设点0F ，1F ，2F 是相应椭圆的焦点，1A ，2A 和1B ，2B 是轴截面与x ，y 轴交点，阴影部分是宝珠轴截面，其以曲线224x y +=为边界，1F ，2F 在宝珠珠面上，若10260F F F ︒∠=，则以下命题中正确的是（ ）A ．椭圆1CB ．椭圆1C 上的点到点0F的距离的最小值为C ．椭圆2C 的焦距为4D ．椭圆2C 的长短轴之比大于椭圆1C 的长短轴之比 【答案】BC【分析】据题意可知d b =，102F F F 为正三角形，结合曲线224x y +=可求出1C 、2C 的方程，然后逐项验证即可.【详解】1F ，2F 是半椭圆2C ：22221(0)x y x c d+=<的焦点，1F ∴，2F 关于原点对称，且2001F F F F =,又10260F F F ︒∠=，102F F F ∴为正三角形，10OF ,1F ，2F 在224x y +=上, 12OF ∴=,01OF ∴==又半椭圆1C ：22221(0)x yx a b+=≥的短轴与半椭圆2C ：22221(0)x y x c d +=<的长轴相等，即d b =，对于半椭圆1C ：22221(0)x y x a b+=≥，(22220=12b OF a ==-，对于半椭圆2C ：22221(0)x y x c d+=<，22214O d c F =-=，2222124d b a b d c =⎧⎪∴-=⎨⎪-=⎩，2222124d ba b b c =⎧⎪∴-=⎨⎪-=⎩，2216a c =∴-，2216d b ==∴，212c ∴=，228a =， ∴半椭圆1C 的方程为：221(0)2816x yx +=≥，半椭圆2C 的方程为：221(0)1216x y x +=< 对于A 选项：椭圆1C的离心率为：e =，故A 选项不正确； 对于B 选项：椭圆1C 上的点到0F距离为的最小值为：B 选项正确； 对于C 选项：椭圆2C 的焦距为124F F =，故C 选项正确； 对于D 选项：椭圆1C的长短轴之比为22a b ==2C的长短轴之比为22d c ，22234771.3 1.753324⎛⎫⎛⎫=≈<== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，< ∴椭圆2C 的长短轴之比小于椭圆1C 的长短轴之比，故D 选项错误；故选：BC 三、解答题7．（2022·天津和平·三模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>且椭圆过点2P ⎛ ⎝⎭． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点，线段MN 的垂直平分线交直线l 于点P ，交直线2x =-于点Q ，求PQMN的最小值．【答案】(1)2212x y +=(2)2【分析】（1）待定系数法求解椭圆方程；（2）考虑直线l 的斜率不存在和直线l 的斜率存在两种情况，当直线斜率不存在时，求出PQ MN，当直线斜率存在时，设出直线方程，联立后利用弦长公式求出MN ，再表达出直线PQ 的方程，表达出PQ ，用基本不等式求解最小值，与2比较大小，求出最小值. (1)由题意得：2222221112c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：2221a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆方程为2212x y +=(2)由（1）知：()1,0F ，当直线l 的斜率不存在时，()1,0P ，()2,0Q -，,1,M N ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭， 此时PQ MN== 当直线l 的斜率存在时，故可设直线为()1y k x =-，联立椭圆方程得：()2222214220k x k x k +-+-=，设()()1122,,,M x y N x y ，则22121222422,2121k k x x x x k k -+==++，其中2880k ∆=+> 所以MN = 其中()121222221ky y k x x k k -+=+-=+， 所以2222,2121k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，因为直线PQ 为线段MN 的垂直平分线，所以直线PQ ：222122121kk y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭， 令2x =-得：()225221k y k k +=+，所以PQ == 故22PQ MN===因为22231k +=+≥所以22PQ MN=≥=，=，即21,1k k ==±时等号成立，所以2PQ MN≥，2>，所以PQ MN 的最小值为2. 【点睛】圆锥曲线求解取值范围问题，一般思路为设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，表达出线段长或面积等，最后用基本不等式或配方，求导等求解最值或取值范围.8．（2022·新疆乌鲁木齐·模拟预测（文））已知椭圆()2222:10xy C a b a b+=>>的焦距为且过点⎭．(1)求椭圆C的方程；(2)设,A B分别为椭圆C的右顶点和上顶点，点P是椭圆C上在第一象限的任意一点，直线AP与y轴交于点M，直线BP与x轴交于点N，PBM与PAN△的面积分别为12,S S，求12S S+的取值范围．【答案】(1)2214xy+=(2)[)2,+∞【解析】（1）根据题意，利用待定系数法即可求出结果；（2）设()()0000,0,0,P x y x y>>，利用点斜式求出直线AM和BN的方程，求出,M N的坐标，根据题意求出001020002111=22221y xS x S yx y⎛⎫⎛⎫=--⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,，由此可知()00120000221221y xS S x yx y⎛⎫⎛⎫+=-+-⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，再根据P在椭圆C上，可知220044x y+=，由此可得()()00001200000041222x y x yS S x yy x x y⎛⎫⎛⎫-+=+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再利用基本不等式即可求出()122S S+的最小值，进而求出12S S+的范围.(2)解：设椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>的焦距为2c=由题意可知:222222112ca b ca b⎧⎪=⎪-=⎨⎪⎪+=⎩，解得224=1ab⎧=⎪⎨⎪⎩，所以2214xy+=；(2)设()()0000,0,0,P x y x y>>，由题意可知()()2,0,0,1A B，所以直线AM方程为()22yy xx=--，直线BN方程为011yy xx-=+；令0x=代入直线AM方程，可得020,2yMx-⎛⎫⎪⎝⎭，令0y=代入直线MN方程，可得0,01xNy-⎛⎫⎪⎝⎭，所以001020002111=22221y xS x S yx y⎛⎫⎛⎫=--⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,所以()00120000221221y x S S x y x y ⎛⎫⎛⎫+=-+-⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭又220044x y +=，所以00002222y x x y +=-，00002222x x y y +-= ()22000012000024222x x y y S S x y y x +++=-+-222200000000002444242x x y y y x x y y x ++++=-+-()0000000042422x y x y y x y x ⎛⎫⎛⎫=+++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()00000000004122x y x y x y y x x y ⎛⎫⎛⎫-=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又220000444x y x y +=≥，所以001x y ≤，当且仅当002x y ==.所以()()00000012000000004142224x y x y x y S S x y y x x y y x ⎛⎫⎛⎫-+=+++≥+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当002x y ==时等号成立.所以122S S +≥，即12S S +的取值范围[)2,+∞.【点睛】关键点点睛：本题第二问解答关键是对220044x y +=变形成00002222y x x y +=-和00002222x x y y +-=，然后再对()122S S +化简整理，利用基本不等式求解，这是解决本题的关键点和突破点.9．（2022·安徽·安庆一中高三阶段练习（理））已知()()121,0,1,0F F -是椭圆2222Γ:1(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点，P 是Γ的上顶点.1F 到直线2PF. (1)求Γ的方程；(2)设直线:2l x =与x 轴的交点为M ，过M 的两条直线12,l l 都不垂直于y 轴，1l 与Γ交于点2,,A B l 与Γ交于点,C D ，直线,AC BD 与l 分别交于,E G 两点，求证：ME MG =.【答案】(1)2212x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据题意利用点到直线的距离公式求得b ，继而求得a ，可得答案. （2）设直线方程，和椭圆方程联立，得到根与系数的关系式，利用点共线表示出点,E G 的纵坐标，二者相加，进行化简，可证明结论. (1)由题意知，1c = ，P 是2222Γ:1(0)x y a b a b+=>>的上顶点，∴点P 的坐标为()0,b .点2F 的坐标为()1,0,∴直线2PF 的方程为11x yb+=，即0bx y b +-=，()11,0F -到直线2PF=1,b a ∴=∴=所以Γ的方程为2212x y +=.(2)证明：直线l 与x 轴的交点为()2,0M ，设()()()()()()11223344,,,,,,,,2,,2,A x y B x y C x y D x y E s G t ， 设直线11221212:2,:2,,0l x k y l x k y k k k k =+=+≠≠， 则1112123234242,2,2,2x k y x k y x k y x k y =+=+=+=+，联立直线1l 和曲线Γ的方程，得方程组122222x k y x y =+⎧⎨+=⎩ ， 消去x 得()22112420,k y k y +++=则11212221142,22k y y y y k k +=-=++. 同理23434222242,22k y y y y k k +=-=++. ,,A C E 三点共线，()()()()1331,22EA EC x y s x y s ∴--=--∥，得()()133113132x y x y y y s x x -+-=-，()()()()()13311213113213131123112322.22x y x y k k y y k y y k y y s x x k y k y k y k y -----===-----同理()12241224k k y y t k y k y -=-.()()()121312241324121123122411231224k k y y k k y y y y y y s t k k k y k y k y k y k y k y k y k y --⎛⎫+=+=-+ ⎪----⎝⎭()()()()()1312242411231211231224y y k y k y y y k y k y k k k y k y k y k y -+-=---()()()()()12112342341211231224k k k y y y y k y y y y k y k y k y k y -⎡⎤=+-+⎣⎦-- ()()()1221122222112312241221442202222k k k k k k k y k y k y k y k k k k ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫=⨯⨯--⨯⨯-=⎢⎥ ⎪ ⎪--++++⎝⎭⎝⎭⎣⎦ME MG ∴=.【点睛】本题考查了椭圆方程的求解以及直线和椭圆的位置关系，解决问题的思路要通畅，及联立直线和椭圆方程，求得点的坐标，通过两点的纵坐标之和为0，证明线段相等，解答的关键是关于关于所设字母的运算十分繁杂，要十分细心.10．（2022·辽宁葫芦岛·二模）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左右顶点分别为A ，B ，坐标原点O 与A 点关于直线l ：2x =-对称，l 与椭圆第二象限的交点为C ，且1AC OC ⋅=-.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过A ，O 两点的圆Q 与l 交于M ，N 两点，直线BM ，BN 分别交椭圆C 于异于B 的E ，F 两点.求证：直线EF 恒过定点.【答案】(1)221164x y +=(2)20,013⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）先求出4a =，设()2,C n -，利用向量数量积求出n =(C -代入椭圆中，求出24b =，得到椭圆方程；（2）先根据OM ON ⊥得到19BM BN k k ⋅=-，进而设出直线方程()4x my t t =+≠，联立后得到两根之和，两根之积，利用1212,44BE BM BF BN y y k k k k x x ====--及19BM BN k k ⋅=-求出2013t =-，得到定点坐标. (1)点O 与A 关于直线2x =-对称， 可知()4,0A -，故点()4,0B ，4a =， 由题意可设()2,C n -，0n >，于是()()22,2,41AC OC n n n ⋅=⋅-=-=-，解得：n =将(C -代入椭圆方程中，243116b+=，解得：24b =， 所以椭圆方程为221164x y +=(2)证明：()4,0A -，()4,0B ，直线l ：2x =-，由题意得：圆心在直线l ：2x =-上，设()()2,,2,M N M y N y --， 且OM ON ⊥，所以40M N OM ON y y ⋅=+=，故4M N y y =-， 则12424369N M N M BM BN y y y y k k ⋅=⋅==-----，设直线EF ：()4x my t t =+≠，()()1122,,,E x y F x y ，由221164x y x my t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得：()22242160m y mty t +++-=， 则2121222216,44mt t y y y y m m --+==++， ()12122824t x x m y y t m +=++=+，()()22121224164t m x x my t my t m -=++=+，所以1212,44BE BM BF BN y y k k k k x x ====--， 则()212122221212121644416164321664y y y y t x x x x x x m t t m -⋅==---++-+-++ 22161432649t t t -==--+， 即21332800t t --=，解得：4t =（舍去）或2013t =-， 所以直线EF 为：2013x my =-，恒过定点20,013⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】圆锥曲线中直线过定点问题，设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，由题干条件得到方程，求出定值. 题型三：直接法解决离心率问题 一、单选题1．（2022·江苏苏州·模拟预测）已知12,F F 是椭圆221(1)1x y m m m +=>-的左､右焦点，点A 是椭圆上的一个动点，若12AF F △）A1 B ．12CD1【答案】B【分析】依题意可得2a ，2b ，2c ，设12AF F △内切圆的半径为r，根据等面积法得到|A r y ，即可得到r 的最大值，从而求出m ，即可求出椭圆的离心率；【详解】解：由椭圆221(1)1x y m m m +=>-，可得2a m =，21b m =-，2221c a b ∴=-=，则1c =， 如图，设12AF F △内切圆的半径为r ，1212121211||||(||||||)22AF F A SF F y AF AF F F r =⋅=++⋅， 2||(22)A c y a c r ∴⋅=+⋅，则|1A m r y +，要使12AF F △内切圆半径最大，则需||A y 最大，||1A y b m =-又12AF F △3311m m -=+4m =，所以2a =．则椭圆的离心率12c e a == 故选：B ．2．（2022·安徽·蚌埠二中模拟预测（理））一个底面半径为1，高为3的圆柱形容器内装有体积为2π的液体，当容器倾斜且其中液体体积不变时，液面与容器壁的截口曲线是椭圆，则该椭圆离心率的取值范围是（ ） A ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2⎛⎝⎦D ．2⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭【答案】C【分析】先判断出临界情况下，椭圆2a AB =，22b r =，即可求出椭圆离心率的取值范围.【详解】当液面倾斜至如图所示位置时，设AC x =，3MA x =-.因为圆柱底面积为π，故液体体积为()1322x x πππ-+=，解得2x =，即1MA =， 2AC BC ==，故22AB =，所以2a AB ≤，22b r =，即2,1a b ≤=，所以离心率221c b e a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，即椭圆离心率的取值范围是2⎛ ⎝⎦.故选：C 二、多选题3．（2022·全国·模拟预测）椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，若方程340mx y m ++-=所表示的直线恒过定点M ，点Q 在以点M 为圆心，C 的长轴长为直径的圆上，则下列说法正确的是（ ） A ．椭圆C 的离心率为12 B ．12PF PF ⋅的最大值为4 C ．12PF F △的面积可能为2 D ．2PQ PF -的最小值为256【答案】ABD【分析】A ：根据椭圆方程可直接求得2a =，3b =1c =，和离心率ce a=；B ：由椭圆的定义可得124PF PF +=，结合不等式22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭代入运算；C ：点P 位于椭圆的上、下顶点时，12PF F △的面积取得最大，计算判断；D ：利用椭圆定义和圆的性质转化处理．【详解】对于选项A ，由椭圆C 的方程知2a =，3b =1c =，所以离心率12c e a ==，故选项A 正确；对于选项B ，由椭圆的定义可得124PF PF +=，所以2121242PF PF PF PF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭，即12PF PF ⋅的最大值为4，故选项B 正确；对于选项C ，当点P 位于椭圆的上、下顶点时，12PF F △的面积取得最大值123322⨯⨯=<，故选项C 错误； 对于选项D ，易知()3,4M -，则圆()()22:344M x y ++-=，所以()21114424256PQ PF PQ PF QF MF -=--≥-≥--=-，故选项D 正确，故选：ABD ． 三、填空题4．（2022·浙江温州·三模）如图，椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>和2222222:1x y C a b +=在相同的焦点1F ，2F ，离心率分别为12,e e ，B 为椭圆1C 的上顶点，21F P F B ⊥，且垂足P 在椭圆2C 上，则12e e 的最大值是___________.【答案】122【分析】首先分别表示出12,e e ，设12PF F θ∠=，将12ee 表示成关于θ的三角函数，然后求其最值即可. 【详解】由图知12121122122,2c OF c c OF e e a BF a a PF PF =====+，则112212e PF PF e BF +=， 设1212,2PF F F F c θ∠==，则1212(sin cos ),cos cPF PF c BF θθθ+=⋅+=， 则()122112sin cos cos 242e e πθθθθ+⎛⎫=+⋅++≤ ⎪⎝⎭24πθ=时等号可取到.122.5．（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心模拟预测（理））如图，1F ，2F 是椭圆1C 与双曲线2C 的公共焦点，A ，B 分别是1C ，2C 在第二、四象限的公共点，若112OF AB =，且16OF B π∠=，则1C 与2C 的离心率之积为_____.【答案】2【分析】根据已知条件结合椭圆的对称性可求出1AF c =，23AF c =，再根据椭圆和双曲线的定义以及离心率公式求出离心率即可求解.【详解】解：连接22,AF BF ，根据椭圆的对称性可知：点O 是AB 的中点， 所以，四边形12AF BF 为平行四边形， 若112OF AB =，所以1OF OA OB c ===， 因为16OF B π∠=，所以1π3AOF ∠=，所以1AOF △是等边三角形， 所以11AF OF c ==，1π3AFO ∠=，12AF B π∠=，所以，四边形12AF BF 为矩形， 所以，在直角三角形1ABF 中，()22123BF c c c =-=，所以，213AF BF c ==，在椭圆中，12132AF AF c c a +==，可得1131c e a ==+在双曲线中，21232AF AF c c a -=-=，可得2231c e a ==-所以离心率之积1223131e e ==+-， 故答案为：2.四、解答题6．（2022·天津·南开中学模拟预测）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为e ，斜率为e 且过点()0,Pa 的直线l 与x 轴交于点Q(1)证明：直线l 与椭圆相切(2)记在（1）中的切点为S ，过点S 且与l 垂直的直线交y 轴于点T ，记POQ △的面积为1,S PQT 的面积为2S ，若1234S S =，求椭圆的离心率 【答案】(1)证明见解析；3【分析】（1）根据直线的点斜式方程与椭圆方程联立，结合一元二次方程根的判别式、椭圆的离心率公式进行求解即可；（2）根据（1）的结论，结合一元二次方程根与系数关系、三角形的面积公式、椭圆的离心率公式进行求解即可. (1)由已知，:l y ex a =+．令l 与椭圆方程222222b x a y a b +=联立，经过整理，得到()2222342220b a e x a ex a a b +++-=，所以()()()()6222242224222442222222222Δ4444a e b a e a a b a a e b a b a e a b e a b a b a e =-+-=-+-+=-++()222222222222440c a b a b a a b a b c a ⎛⎫=-++⋅=-++= ⎪⎝⎭，所以直线l 与椭圆相切．(2)由（1），有322222S a ex b a e=-+，所以3222222s a e a c x c b a e b c =-=-=-++，所以22S S c b y ex a ec a a a a =+=-+=-+=，所以2,b S c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭．因为ST l ⊥，所以1STk e =-，所以()21:b ST y x c a e -=-+．令0x =，得到2b cy a e-=-，所。
高考数学一轮复习第七章第五讲椭圆课件
D.3x22 ＋1y62 ＝1
解析：如图 7-5-1 所示， ∵M1F 的中点为 B(0，1)， ∴OB是△MF1F2的中位线. 则MF2＝2OB＝2，且MF2⊥F1F2. ∵△MF1F2 的周长为 2a＋2c＝8＋4 2， ∴a＋c＝4＋2 2.
图 7-5-1
∵MF2＝2，∴MF1＝2a－2， ∵(MF1)2－(MF2)2＝4c2，∴(2a－2)2－4＝4c2.
考点二 椭圆的标准方程
[例2] (1)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9， 动圆在圆 C1 内部且和圆 C1 相内切，和圆 C2 相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为( )
A.6x42 －4y82 ＝1 C.4x82 －6y42 ＝1
B.4x82 ＋6y42 ＝1 D.6x42 ＋4y82 ＝1
考点一 椭圆的定义及其应用
[例 1](1)(2023 年广州市校级期末)△ABC 的周长是 8，B(－1，
0)，C(1，0)，则顶点 A 的轨迹方程是( )
A.x92＋y82＝1(x≠±3) C.x42＋y32＝1(y≠0)
B.x92＋y82＝1(x≠0) D.x32＋y42＝1(y≠0)
解析：∵△ABC 的两顶点 B(－1，0)，C(1，0)，周长为 8， ∴BC＝2，AB＋AC＝6，
m－2>10－m，
解得 6<m<10.因为焦距为 4，
所以 c2＝m－2－10＋m＝4，解得 m＝8. 答案：A
(2)若椭圆上存在三点，使得这三点与椭圆中心恰好是一个正 方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为( )
5－1 A. 2
B.
3 3
2 C. 2
6 D. 3
解析：设椭圆的方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)，根据椭圆与正方形 的对称性，可画出满足题意的图形，如图 7-5-2 所示，
椭圆课件-2025届高三数学一轮基础专项复习
A
A. B. C. D.
【解析】由题意知,,关于原点对称,所以,得,又椭圆的离心率为,所以 ,得,故椭圆的方程为 ,选A.
解后反思若椭圆的左、右焦点分别为,,,两点在椭圆上,且关于坐标原点对称,则,,, 四点所构成的四边形为平行四边形,若或四边形有一个内角为 ,则该四边形为矩形.
10.［人A选必一P115习题3.1第4题变式］求满足下列条件的椭圆的标准方程.
（1）长半轴长为4，半焦距为，焦点在 轴上；
【答案】设椭圆方程为,（注意焦点在 轴上）由题意得,,,所以 ,所以其标准方程为 .
（2）与椭圆有相同的焦点，且经过点 ；
【答案】易知椭圆的焦点坐标为 ,设所求椭圆方程为,则 ,因为椭圆过点,所以,即 ,所以,所以所求椭圆的标准方程为 .
教材知识萃取
方法技巧利用椭圆的简单几何性质求最值或范围的思路
（1）将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系，利用函数或基本不等式求最值或范围；
（2）将所求范围用 ， ， 表示，利用 ， ， 自身的范围、关系求范围.
教材素材变式
1.［多选］［苏教选必一P93习题3.1(2)第13题变式］如图所示,一个底面半径为 的圆柱被与其底面成 角的平面所截，截面是一个椭圆，则( )
3.［人B选必一P141练习A第4题变式］已知，分别是椭圆的左顶点和右焦点， 是椭圆上一点，直线与直线相交于点，且是顶角为 的等腰三角形，则该椭圆的离心率为( )
C
A. B. C. D.
【解析】如图,设直线与轴的交点为,由是顶角为 的等腰三角形,知, ,则在中, .又,所以.结合得,即 ,解得或 （舍去）.故选C.
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第八章圆锥曲线的方程●网络体系总览圆锥曲线椭圆定义双曲线定义抛物线定义标准方程标准方程标准方程几何性质几何性质几何性质作图作图作图第二定义第二定义直线与圆锥曲线的位置关系统一定义●考点目标定位1.掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程.2.掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质.3.掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质.4.能够根据具体条件利用各种不同的工具画椭圆、双曲线、抛物线的图形，了解它们在实际问题中的初步应用.5.结合所学内容，进一步加强对运动变化和对立统一等观点的认识.●复习方略指南本章主要内容有椭圆、双曲线、抛物线的定义，标准方程，简单几何性质.它们作为研究曲线和方程的典型问题，成了解析几何的主要内容，在日常生活、生产实践和科学技术上有着广泛的应用.因此在高考中，圆锥曲线成为命题的热点之一.分析近几年高考试题，有下面几个显着特点：1.注重双基保持稳定圆锥曲线在题型、题量、难度等方面风格独特，每年的试卷中客观题2至3道，主观题1道，分值占全卷的15%左右，“难、中、易”层次分明，既有基础题，又有能力题.2.全面考查重点突出试题中，圆锥曲线的内容几乎全部涉及，考查的知识点约占圆锥曲线总知识点的四分之三，通过知识的重新组合，考查学生系统掌握课程知识的内在联系，重点仍在直线与圆锥曲线的位置关系上.3.考查能力探究创新试题具有一定的综合性，重点考查学生画图、数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理、合理运算以及综合运用知识的能力.在今后的高考中，圆锥曲线仍将考查圆锥曲线的概念和性质、求曲线方程、直线和圆锥曲线的位置关系、解析几何中的定值最值问题.其中直线和圆锥曲线的位置关系仍是命题的热点，解析几何中的定值及最值问题也会有所加强.圆锥曲线内容的“应用性问题”和“探索性问题”将会出现在今后的高考中.学好本章的关键在于正确理解和掌握由曲线求方程和由方程讨论曲线的性质这两个问题.为此建议在学习中做到：1.搞清概念（对概念定义应“咬文嚼字”）；2.熟悉曲线（会“速写”出符合题目数量特征要求的曲线）；3.熟练运用代数、三角、几何、向量的知识；4.处理问题时要在“大处着眼”（即在整体上把握问题的综合信息和处理问题的数学思想）“小处着手”（即在细节上能熟练运用各种数学知识和方法）.8.1 椭圆●知识梳理定义 1.到两个定点F1、F2的距离之和等于定长（＞|F1F2|）的点的轨迹2.到定点F 与到定直线l 的距离之比等于常数e （∈（0，1））的点的轨迹方程1. 22a x +22b y =1（a ＞b ＞0），c =22b a -，焦点是F 1（－c ，0），F 2（c ，0）2.22a y +22bx =1（a ＞b ＞0），c =22b a -，焦点是F 1（0，－c ），F 2（0，c ） x =a cos θ，y =b sin θ性质E ：22a x +22by =1（a ＞b ＞0）1.范围：|x |≤a ，|y |≤b2.对称性：关于x ，y 轴均对称，关于原点中心对称3.顶点：长轴端点A 1（－a ，0），A 2（a ，0）；短轴端点B 1（0，－b ），B 2（0，b ）4.离心率：e =a c∈（0，1） 5.准线：l 1：x =－c a 2，l 2：x =ca 26.焦半径：P （x ，y ）∈E r 1=|PF 1|=a +ex ，r 2=|PF 2|=a －ex对于焦点在y 轴上的椭圆22a y +22bx =1（a ＞b ＞0），其性质如何？焦半径公式怎样推导？●点击双基1.（2003年北京宣武区模拟题）已知F 1、F 2是椭圆162x +92y =1的两个焦点，过F 1的直线与椭圆交于M 、N 两点，则△MNF 2的周长为A.8B.16C.25D.32 解析：利用椭圆的定义易知B 正确. 答案：B 2.（2004年湖北，6）已知椭圆162x +92y =1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为A.59 B.3 C.779 D.49解析：由余弦定理判断∠P <90°，只能∠PF 1F 2或∠PF 2F 1为直角.由a =4，b =3得c =7，∴|y P |=49. 答案：Dx =4+5cos ϕ，y =3sin ϕ A.（0，0），（0，－8） B.（0，0），（－8，0） C.（0，0），（0，8） D.（0，0），（8，0）3.参数方程3.（2003年春季北京）椭圆 （ϕ为参数）的焦点坐标为θ为参数解析：消参数ϕ得椭圆25)4(2-x +92y=1， ∴c =4.易得焦点（0，0），（8，0）. 答案：D4.如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴的椭圆，那么实数k 的取值范围是____________.解析：椭圆方程化为22x +ky 22=1.焦点在y 轴上，则k2>2，即k <1.又k >0，∴0<k <1. 答案：0＜k ＜15.点P 在椭圆252x +92y =1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P 的横坐标是____________.解析：利用第二定义.答案：1225●典例剖析【例1】 已知F 1为椭圆的左焦点，A 、B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点，当PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB （O 为椭圆中心）时，求椭圆的离心率.剖析：求椭圆的离心率，即求ac，只需求a 、c 的值或a 、c 用同一个量表示.本题没有具体数值，因此只需把a 、c 用同一量表示，由PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB 易得b =c ，a =2b .解：设椭圆方程为22a x +22b y =1（a ＞b ＞0），F 1（－c ，0），c 2=a 2－b 2，则P （－c ，b 221ac -），即P （－c ，a b 2）.∵AB ∥PO ，∴k AB =k OP ，即－ab =ac b 2-.∴b =c .又∵a =22c b +=2b ， ∴e =a c =bb 2=22.评述：由题意准确画出图形，利用椭圆方程及直线平行与垂直的性质是解决本题的关键.【例2】 如下图，设E ：22a x +22by =1（a ＞b ＞0）的焦点为F 1与F 2，且P ∈E ，∠F 1PF 2=2θ.求证：△PF 1F 2的面积S =b 2t an θ.剖析：有些圆锥曲线问题用定义去解决比较方便.如本题，设|PF 1|=r 1，|PF 2|=r 2，则S =21r 1r 2sin2θ.若能消去r 1r 2，问题即获解决.x y Or r F F PAB 1122证明：设|PF 1|=r 1，|PF 2|=r 2，则S =21r 1r 2sin2θ，又|F 1F 2|=2c ， 由余弦定理有（2c ）2=r 12+r 22－2r 1r 2cos2θ=（r 1+r 2）2－2r 1r 2－2r 1r 2cos2θ=（2a ）2－2r 1r 2（1+cos2θ）， 于是2r 1r 2（1+cos2θ）=4a 2－4c 2=4b 2.所以r 1r 2=θ2cos 122+b .这样即有S =21·θ2cos 122+b sin2θ=b 2θθθ2cos 2cos sin 2=b 2t an θ. 评述：解与△PF 1F 2（P 为椭圆上的点）有关的问题，常用正弦定理或余弦定理，并结合|PF 1|+|PF 2|=2a 来解决.特别提示我们设想点P 在E 上由A 向B 运动，由于△PF 1F 2的底边F 1F 2为定长，而高逐渐变大，故此时S 逐渐变大.所以当P 运动到点B 时S 取得最大值.由于b 2为常数，所以t an θ逐渐变大.因2θ为三角形内角，故2θ∈（0，π），θ∈（0，2π）.这样，θ也逐渐变大，当P 运动到B 时，∠F 1PF 2取得最大值.故本题可引申为求最值问题，读者不妨一试.【例3】 若椭圆ax 2+by 2=1与直线x +y =1交于A 、B 两点，M 为AB 的中点，直线OM （O 为原点）的斜率为22，且OA ⊥OB ，求椭圆的方程.剖析：欲求椭圆方程，需求a 、b ，为此需要得到关于a 、b 的两个方程，由OM 的斜率为22.OA ⊥OB ，易得a 、b 的两个方程.解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （221x x +，221y y +）.x +y =1， ax 2+by 2=1，∴221x x +=b a b +，221y y +=1－221x x +=b a a+. ∴M （b a b +，b a a+）.∵k OM =22，∴b =2a .①∵OA ⊥OB ，∴11x y ·22x y=－1. ∴x 1x 2+y 1y 2=0.∵x 1x 2=ba b +-1，y 1y 2=（1－x 1）（1－x 2）， ∴y 1y 2=1－（x 1+x 2）+x 1x 2=1－b a b +2+b a b +-1=ba a +-1.由 ∴（a +b ）x 2－2bx +b －1=0.∴b a b +-1+b a a +-1=0. ∴a +b =2.②由①②得a =2（2－1），b =22（2－1）. ∴所求方程为2（2－1）x 2+22（2－1）y 2=1.评述：直线与椭圆相交的问题，通常采取设而不求，即设出A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），但不是真的求出x 1、y 1、x 2、y 2，而是借助于一元二次方程根与系数的关系来解决问题.由OA ⊥OB 得x 1x 2+y 1y 2=0是解决本题的关键.●闯关训练 夯实基础1.（2004年全国Ⅰ，7）椭圆42x +y 2=1的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|2PF |等于A.23B. 3C.27D.4 解法一：（如下图）设椭圆的右焦点为F 1，左焦点为F 2，过F 1垂直于x 轴的直线与椭圆在第一象限的交点为P .xyOF F P21∵42x +y 2=1，∴a =2，b =1，c =3.∴F 1（3，0）.设P （3，y P ）代入42x +y 2=1，得y P =21，∴P （3，21），|PF 1|=21.又∵|PF 2|+|PF 1|=2a =4，∴|PF 2|=4－|PF 1|=4－21=27.解法二：椭圆的左准线方程为x =－c a 2=－334.∵|)334(3|||2--PF =e =23，∴|PF 2|=27. 解法三：由解法一得P （3，21）， 又F 2（－3，0），∴|PF 2|=22)021()]3(3[-+--=27.答案：C评述：解法一和解法三为基本解法.解法二使用第二定义甚为巧妙.2.（2003年昆明市模拟题）设F 1、F 2为椭圆的两个焦点，以F 2为圆心作圆F 2，已知圆F 2经过椭圆的中心，且与椭圆相交于M 点，若直线MF 1恰与圆F 2相切，则该椭圆的离心率e 为A.3－1 B.2－3 C.22 D.23 解析：易知圆F 2的半径为c ，（2a －c ）2+c 2=4c 2，（a c ）2+2（a c ）－2=0，ac=3－1.答案：A3.（2005年春季北京，10）椭圆252x +92y =1的离心率是____________，准线方程是____________.解析：由椭圆方程可得a =5，b =3，c =4，e =54，准线方程为x =±452=±425.答案：54 x =±4254.已知P 是椭圆22a x ＋22by ＝1（a ＞b ＞0）上任意一点，P 与两焦点连线互相垂直，且P 到两准线距离分别为6、12，则椭圆方程为____________.解析：利用椭圆的两个定义结合勾股定理来求．答案：452x ＋202y ＝15.椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是3，求这个椭圆方程.解：由题设条件可知a =2c ，b =3c ，又a －c =3，解得a 2=12，b 2=9.∴所求椭圆的方程是122x +92y =1或92x +122y =1. 6.直线l 过点M （1，1），与椭圆42x +32y =1相交于A 、B 两点，若AB 的中点为M ，试求直线l 的方程.解：设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）， 则421x +321y =1，① 422x +322y =1.②①－②，得4))((2121x x x x +-+3))((2121y y y y +-=0.∴2121x x y y --=－43·2121y y x x ++.又∵M 为AB 中点， ∴x 1+x 2=2，y 1+y 2=2. ∴直线l 的斜率为－43. ∴直线l 的方程为y －1=－43（x －1）， 即3x +4y －7=0. 培养能力7.已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y =x +1与椭圆相交于点P 和点Q ，且OP ⊥OQ ，|PQ |=210，求椭圆方程. 解：设椭圆方程为mx 2+ny 2=1（m >0，n >0）， 设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），解方程组y =x +1， mx 2+ny 2=1.y ，整理得（m +n ）x 2+2nx +n －1=0. Δ=4n 2－4（m +n ）（n －1）>0，即m +n －mn >0，OP ⊥OQ ⇒x 1x 2+y 1y 2=0，即x 1x 2+（x 1+1）（x 2+1）=0，2x 1x 2+（x 1+x 2）+1=0，∴nm n +-)1(2－n m n-2+1=0.∴m +n =2. ①由弦长公式得2·2)()(4n m mn n m +-+=（210）2，将m +n =2代入，得m ·n =43. ② m =21， m =23， n =23 n =21. ∴椭圆方程为22x +23y 2=1或23x 2+22y =1.8.（2003年南京市模拟题）设x 、y ∈R ，i 、j 为直角坐标平面内x 、y 轴正方向上的单位向量，若向量a =x i +（y +2）j ，b =x i +（y －2）j ，且|a |+|b |=8.（1）求点M （x ，y ）的轨迹C 的方程.（2）过点（0，3）作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设OP =OA +OB ，是否存在这样的直线l ，使得四边形OAPB 是矩形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，试说明理由.（1）解法一：∵a =x i +（y +2）j ，b =x i +（y －2）j ，且|a |+|b |=8， ∴点M （x ，y ）到两个定点F 1（0，－2），F 2（0，2）的距离之和为8.∴轨迹C 为以F 1、F 2为焦点的椭圆，方程为122x +162y =1.解法二：由题知，22)2(++y x +22)2(-+y x =8， 移项，得22)2(++y x =8－22)2(-+y x ， 两边平方，得x 2+（y +2）2=x 2+（y －2）2－1622)2(-+y x +64， 整理，得222)2(-+y x =8－y ，两边平方，得4［x 2+（y －2）2］=（8－y ）2，展开，整理得122x +162y =1.（2）∵l 过y 轴上的点（0，3），若直线l 是y 轴，则A 、B 两点是椭圆的顶点.∵=+=0，∴P 与O 重合，与四边形OAPB 是矩形矛盾.∴直线l 的斜率存在.设l 方程为y =kx +3，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），解①②得 或y =kx +3， 122x +162y =1， （－21）＞0恒成立，且x 1+x 2=－23418k k +，x 1x 2=－23421k +. ∵=+，∴四边形OAPB 是平行四边形.若存在直线l ，使得四边形OAPB 是矩形，则OA ⊥OB ，即·=0.∵OA =（x 1，y 1），OB =（x 2，y 2）， ∴OA ·OB =x 1x 2+y 1y 2=0， 即（1+k 2）x 1x 2+3k （x 1+x 2）+9=0， 即（1+k 2）·（－23421k +）+3k ·（－23418k k +）+9=0，即k2=165，得k =±45. ∴存在直线l ：y =±45x +3，使得四边形OAPB 是矩形. 探究创新9.已知常数a ＞0，在矩形ABCD 中，AB =4，BC =4a ， O 为AB 的中点，点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动，且BC BE =CD CF =DADG，P 为GE 与OF 的交点（如下图）.问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.xyAB CD G PE 分析：根据题设条件首先求出P 点坐标满足的方程，据此可判断是否存在两点，使得点P 到两定点距离的和为定值.解：按题意，有A （－2，0），B （2，0），C （2，4a ），D （－2，4a ）.设BC BE =CD CF =DA DG=k （0≤k ≤1）， 由此有E （2，4ak ），F （2－4k ，4a ），G （－2，4a －4ak ）. 直线OF 的方程为2ax +（2k －1）y =0.① 直线GE 的方程为－a （2k －1）x +y －2a =0.②由①②消去参数k ，得点P （x ，y ）满足方程2a 2x 2+y 2－2ay =0.整理得212x +22)(aa y -=1. 当a 2=21时，点P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.当a 2≠21时，点P 的轨迹为椭圆的一部分，点P 到该椭圆焦点的距离的和为定长.当a 2＜21时，点P 到椭圆两个焦点（－221a -，a ），（221a -，a ）的距离之和为定值2. 由消y 得（4+3k 2）x 2+18kx －21=0.此时，Δ=（18k 2）－4（4+3k 2）当a 2＞21时，点P 到椭圆两个焦点（0，a －212-a ），（0，a +212-a ）的距离之和为定值2a .评注：本题主要考查根据已知条件求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程关系等解析几何的基本思想和综合解题能力.在解题过程中蕴涵着方程思想、分类讨论思想和构造法.●思悟小结1.椭圆的定义是解决问题的出发点，尤其是第二定义，如果运用恰当可收到事半功倍之效（如关于求焦半径的问题）.2.要明确参数a 、b 、c 、e 的相互关系、几何意义及与一些概念的联系.灵活运用它们之间的关系可使问题顺利解决.3.椭圆参数的几何意义，如下图所示：（1）|PF 1|+|PF 2|=2a ，||||11PM PF =||||22PM PF =e ；（2）|A 1F 1|=|A 2F 2|=a －c ，|A 1F 2|=|A 2F 1|=a +c ； （3）|BF 2|=|BF 1|=a ，|OF 1|=|OF 2|=c ；（4）|F 1K 1|=|F 2K 2|=p =cb 2，|PM 2|+|PM 1|=ca 22.xyO F F PA AB 11121222M M K K●教师下载中心教学点睛本节的重点是椭圆的定义、方程、几何性质.难点是理解参数a 、b 、c 、e 的关系，及利用第二定义解决问题，关键是注意数形结合，函数与方程的思想，等价转化的运用.为此建议在教学中注意以下几点：（1）椭圆中有一个十分重要的三角形OF 1B 2（如下图），它的三边长分别为a 、b 、c .易见c 2=a 2－b 2，且若记∠OF 1B 2=θ，则cos θ=ac=e . xy O lla b c F F B 122θ（2研究的手段.实际上，人们研究圆锥曲线的记录早于笛卡儿发明坐标系，从而椭圆本身所固有的性质并不依赖于坐标系，这些性质不因坐标系的选择而改变.例如上述的△OF 1B 2、公式cos θ=e 等，均不因坐标系的改变而改变.（3）椭圆的定义中应注意常数大于|F 1F 2|.因为当平面内的动点与定点F 1、F 2的距离之和等于|F 1F 2|时，其动点轨迹就是线段F 1F 2；当平面内的动点与定点F 1、F 2的距离之和小于|F 1F 2|时，其轨迹不存在.（4）椭圆标准方程中两个参数a 和b 确定了椭圆的形状和大小.两种标准方程中，总有a ＞b ＞0；椭圆的焦点位置决定标准方程的类型；a 、b 、c 的关系是c 2=a 2－b 2；在方程Ax 2+By 2=C 中，只要A 、B 、C 同号，就是椭圆方程.（5）当题目中出现椭圆上的点与焦点的距离，焦点弦长相关时，常利用椭圆的第二定义，转化为点到准线的距离来研究，即正确应用焦半径公式.（6）使用椭圆的第二定义时，一定要注意动点P 到焦点的距离与对应准线距离之比为常数e .若使用的焦点与准线不是对应的，则上述之比就不再是常数了.拓展题例【例1】 （2003年太原市模拟题）如下图，已知△OFQ 的面积为S ，且OF ·FQ =1.F（1）若21＜S ＜2，求向量OF 与FQ 的夹角θ的取值范围； （2）设||=c （c ≥2），S =43c ，若以O 为中心，F 为一个焦点的椭圆经过点Q ，当||取最小值时，求椭圆的方程.解：（1）由已知，得 21|OF ||FQ |sin （π－θ）=S ， |OF ||FQ |cos θ=1. ∴t an θ=2S .∵21＜S ＜2，∴1＜t an θ＜4. 则4π＜θ＜arc t an4. （2）以O 为原点，OF 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系.设椭圆方程为22a x +22b y =1（a ＞b ＞0），Q （x ，y ）.=（c ，0），则=（x －c ，y ）.∵21||·y =43c ，∴y =23.又∵·=c （x －c ）=1，∴x =c +c1. 则|OQ |=22y x +=49)1(2++c c （c ≥2）.可以证明：当c ≥2时，函数t =c +c1为增函数， ∴当c =2时，||min =49)212(2++=234，此时Q （25，23）.将Q 的坐标代入椭圆方程， 2425a +249b =1， a 2=10， a 2－b 2=4. b 2=6.∴椭圆方程为102x +62y =1.【例2】 （2002年春季全国）已知某椭圆的焦点是F 1（－4，0）、F 2（4，0），过点F 2，并垂直于x 轴的直线得解得与椭圆的一个交点为B ，且｜F 1B ｜＋｜F 2B ｜＝10．椭圆上不同的两点A （x 1，y 1）、C （x 2，y 2）满足条件：｜F 2A ｜、｜F 2B ｜、｜F 2C ｜成等差数列.（1）求该椭圆的方程；（2）求弦AC 中点的横坐标；（3）设弦AC 的垂直平分线的方程为y ＝kx ＋m ，求m 的取值范围.yF F 12A BB C'O（1）解：由椭圆定义及条件知2a ＝｜F 1B ｜＋｜F 2B ｜＝10，得a ＝5.又c ＝4， 所以b ＝22c a -＝3．故椭圆方程为252x ＋92y ＝1．（2）解：由点B （4，y B ）在椭圆上，得｜F 2B ｜＝｜y B ｜＝59． 方法一：因为椭圆右准线方程为x ＝425，离心率为54．根据椭圆定义，有｜F 2A ｜＝54（425－x 1），｜F 2C ｜＝54（425－x 2）．由｜F 2A ｜、｜F 2B ｜、｜F 2C ｜成等差数列，得 54（425－x 1）＋54（425－x 2）＝2×59． 由此得出x 1＋x 2＝8．设弦AC 的中点为P （x 0，y 0），则x 0＝221x x +＝28＝4．方法二：由｜F 2A ｜、｜F 2B ｜、｜F 2C ｜成等差数列，得2121)4(y x +-＋2222)4(y x +-＝2×59， ①由A （x 1，y 1）在椭圆252x ＋92y ＝1上，得y 12＝259（25－x 12），所以2121)4(y x +-=)25(25916821121x x x -++- ＝21)545(x -＝51（25－4x 1）.②同理可得2222)4(y x +-＝51（25－4x 2）． ③将②③代入①式，得51（25－4x 1）＋51（25－4x 2）＝518．所以x 1＋x 2＝8．设弦AC 的中点为P （x 0，y 0），则x 0＝221x x +＝28＝4． （3）解法一：由A （x 1，y 1），C （x 2，y 2）在椭圆上，得 9x 12＋25y 12＝9×25， ④ 9x 22＋25y 22＝9×25． ⑤由④－⑤得9（x 12－x 22）＋25（y 12－y 22）＝0，即9（221x x +）＋25（221y y +）（2121x x y y --）＝0（x 1≠x 2）.将221x x +＝x 0=4，221y y +＝y 0，2121x x y y --＝－k 1（k ≠0）代入上式，得9×4＋25y 0（－k1）＝0（k ≠0）． 由上式得k ＝3625y 0（当k ＝0时也成立）. 由点P （4，y 0）在弦AC 的垂直平分线上，得 y 0＝4k ＋m ，所以m ＝y 0－4k ＝y 0－925y 0＝－916y 0．由P （4，y 0）在线段BB ′（B ′与B 关于x 轴对称）的内部，得－59＜y 0＜59. 所以－516＜m ＜516． 评述：在推导过程中，未写明“x 1≠x 2”“k ≠0”“k ＝0时也成立”及把结论写为“－516≤m ≤516”也可以. 解法二：因为弦AC 的中点为P （4，y 0），所以直线AC 的方程为y －y 0＝－k1（x －4）（k ≠0）. ⑥将⑥代入椭圆方程252x +92y ＝1，得（9k 2＋25）x 2－50（ky 0＋4）x ＋25（ky 0＋4）2－25×9k 2＝0．所以x 1＋x 2＝259)4(5020++k ky ＝8． 解得k ＝3625y 0（当k ＝0时也成立）.以下步骤同解法一.。