年高考第一轮复习数学椭圆

第八章圆锥曲线的方程●网络体系总览

圆锥曲线

椭圆

定义

双曲线

定义

抛物线

定义

标准方程

标准方程

标准方程

几何性质

几何性质

几何性质

作图

作图

作图

第二定义

第二定义

直线与圆锥曲线的位置关系

统

一

定

义

●考点目标定位

1.掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程.

2.掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质.

3.掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质.

4.能够根据具体条件利用各种不同的工具画椭圆、双曲线、抛物线的图形，了解它们在实际问题中的初步应用.

5.结合所学内容，进一步加强对运动变化和对立统一等观点的认识.

●复习方略指南

本章主要内容有椭圆、双曲线、抛物线的定义，标准方程，简单几何性质.它们作为研究曲线和方程的典型问题，成了解析几何的主要内容，在日常生活、生产实践和科学技术上有着广泛的应用.因此在高考中，圆锥曲线成为命题的热点之一.分析近几年高考试题，有下面几个显着特点：

1.注重双基保持稳定

圆锥曲线在题型、题量、难度等方面风格独特，每年的试卷中客观题2至3道，主观题1道，分值占全卷的15%左右，“难、中、易”层次分明，既有基础题，又有能力题.

2.全面考查重点突出

试题中，圆锥曲线的内容几乎全部涉及，考查的知识点约占圆锥曲线总知识点的四分之三，通过知识的重新组合，考查学生系统掌握课程知识的内在联系，重点仍在直线与圆锥曲线的位置关系上.

3.考查能力探究创新

试题具有一定的综合性，重点考查学生画图、数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理、合理运算以及综合运用知识的能力.

在今后的高考中，圆锥曲线仍将考查圆锥曲线的概念和性质、求曲线方程、直线和圆锥曲线的位置关系、解析几何中的定值最值问题.其中直线和圆锥曲线的位置关系仍是命题的热点，解析几何中的定值及最值问题也会有所加强.圆锥曲线内容的“应用性问题”和“探索性问题”将会出现在今后的高考中.

学好本章的关键在于正确理解和掌握由曲线求方程和由方程讨论曲线的性质这两个问题.为此建议在学习中做到：

1.搞清概念（对概念定义应“咬文嚼字”）；

2.熟悉曲线（会“速写”出符合题目数量特征要求的曲线）；

3.熟练运用代数、三角、几何、向量的知识；

4.处理问题时要在“大处着眼”（即在整体上把握问题的综合信息和处理问题的数学思想）“小处着手”（即在细节上能熟练运用各种数学知识和方法）.

8.1 椭圆

●知识梳理

定义 1.到两个定点F1、F2的距离之和等于定长（＞|F1F2|）的点的轨迹

2.到定点F 与到定直线l 的距离之比等于常数e （∈（0，1））的点的轨迹

方程

1. 22a x +22b y =1（a ＞b ＞0），c =22b a -，焦点是F 1（－c ，0），F 2（c ，0）

2.22a y +22b

x =1（a ＞b ＞0），c =22b a -，焦点是F 1（0，－c ），F 2（0，c ） x =a cos θ，

y =b sin θ

性质

E ：22a x +22

b

y =1（a ＞b ＞0）

1.范围：|x |≤a ，|y |≤b

2.对称性：关于x ，y 轴均对称，关于原点中心对称

3.顶点：长轴端点A 1（－a ，0），A 2（a ，0）；短轴端点B 1（0，－b ），B 2（0，b ）

4.离心率：e =

a c

∈（0，1） 5.准线：l 1：x =－c a 2，l 2：x =c

a 2

6.焦半径：P （x ，y ）∈E r 1=|PF 1|=a +ex ，r 2=|PF 2|=a －ex

对于焦点在y 轴上的椭圆22a y +22

b

x =1（a ＞b ＞0），其性质如何？焦半径公式怎样推导？

●点击双基

1.（2003年北京宣武区模拟题）已知F 1、F 2是椭圆162x +9

2

y =1的两个焦点，过F 1的直线与椭圆交于M 、N 两

点，则△MNF 2的周长为

A.8

B.16

C.25

D.32 解析：利用椭圆的定义易知B 正确. 答案：B 2.（2004年湖北，6）已知椭圆162x +9

2

y =1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2是一个

直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为

A.

59 B.3 C.779 D.4

9

解析：由余弦定理判断∠P <90°，只能∠PF 1F 2或∠PF 2F 1为直角.由a =4，b =3得c =7，

∴|y P |=

49

. 答案：D

x =4+5cos ϕ，

y =3sin ϕ A.（0，0），（0，－8） B.（0，0），（－8，0） C.（0，0），（0，8） D.（0，0），（8，0）

3.参数方程

3.（2003年春季北京）椭圆 （ϕ为参数）的焦点坐标为

θ为参数

解析：消参数ϕ得椭圆

25)4(2-x +9

2

y

=1， ∴c =4.

易得焦点（0，0），（8，0）. 答案：D

4.如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴的椭圆，那么实数k 的取值范围是____________.

解析：椭圆方程化为2

2x +k

y 22

=1.

焦点在y 轴上，则k

2

>2，即k <1.

又k >0，∴0

5.点P 在椭圆252x +9

2

y =1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P 的横坐标是____________.

解析：利用第二定义.

答案：12

25

●典例剖析

【例1】 已知F 1为椭圆的左焦点，A 、B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点，当PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB （O 为椭圆中心）时，求椭圆的离心率.

剖析：求椭圆的离心率，即求a

c

，只需求a 、c 的值或a 、c 用同一个量表示.本题没有具体数值，因此只需把a 、

c 用同一量表示，由PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB 易得b =c ，a =2b .

解：设椭圆方程为22a x +22

b y =1（a ＞b ＞0），F 1（－

c ，0），c 2=a 2－b 2，

则P （－c ，b 221a

c -），即P （－c ，a b 2

）.

∵AB ∥PO ，∴k AB =k OP ，

即－a

b =a

c b 2

-.∴b =c .

又∵a =22c b +=2b ， ∴e =

a c =b

b 2=22.

评述：由题意准确画出图形，利用椭圆方程及直线平行与垂直的性质是解决本题的关键.

【例2】 如下图，设E ：22a x +22

b

y =1（a ＞b ＞0）的焦点为F 1与F 2，且P ∈E ，∠F 1PF 2=2θ.

求证：△PF 1F 2的面积S =b 2t an θ.

剖析：有些圆锥曲线问题用定义去解决比较方便.如本题，设|PF 1|=r 1，|PF 2|=r 2，则S =2

1

r 1r 2sin2θ.若能消去r 1r 2，问题即获解决.