排列组合问题常用方法(二十种)

解排列组合问题常用方法（二十种）

一、定位问题优先法（特殊元素和特殊位置优先法）

例1、由01,2,3,4,5，

可以组成多少个没有重复数字五位奇数？ 分析：特殊元素和特殊位置有特殊要求，应优先考虑。末位和首位有特殊要求。先排末位，从1,3,5三个数中任选一个共有1

3C 种组合；然后排首位，从2,4和剩余的两个奇数中任选一个共有1

4C 种组合；最后

排中间三个数，从剩余四个数中任选三个共有3

4A 种排列。由分步计数原理得113

344288C C A =。

变式1、7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多

少不同的种法？

分析：先种两种不同的葵花在不受限制的四个花盒中共有2

4A 种排列，再种其它葵花有5

5A 种排列。由

分步计数原理得25451440A A =。

二、相邻问题捆绑法

例2、7人站成一排 ，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法？

分析：分三步。先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，将丙丁两元素也捆绑成整体看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时在两对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理得

522522480A A A =。

变式2、某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 。

分析：命中的三枪捆绑成一枪，与命中的另一枪插入未命中四枪形成的五个空位，共有2

5A 种排列。 三、相离问题插空法

例3、一个晚会节目有4个舞蹈，2个相声，3个独唱，舞蹈不能连续出场，则节目出场顺序有多少种？

分析：相离问题即不相邻问题。分两步。第一步排2个相声和3个独唱共有5

5A 种排列，第二步将4个

舞蹈插入第一步排好后形成的6个空位中（包含首尾两个空位）共有4

6A 种排列，由分步计数原理得

545643200A A =。

变式3、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个新节

目插入原节目单中且不相邻，那么不同插法的种数为 。

分析：将2个新节目插入原定5个节目排好后形成的6个空位中（包含首尾两个空位）共有2

6A 种排列， 由分步计数原理得2

630A =。

四、定序问题除序（去重复）、空位、插入法

例4、7人排队，其中甲、乙、丙3人顺序一定，共有多少种不同的排法？

分析：（除序法）除序法也就是倍缩法或缩倍法。对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一起进行排列，然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数。共有不同排法种数为：

77

33

840A A =。 （空位法）设想有7把椅子，让除甲、乙、丙以外的四人就坐，共有4

7A 种坐法；甲、乙、丙坐

其余的三个位置，共有1种坐法。总共有4

7840A =种排法。

思考：可以先让甲乙丙就坐吗？（可以）

（插入法）先选三个座位让甲、乙、丙三人坐下，共有3

7C 种选法；余下四个空座位让其余四人

就坐，共有4

4A 种坐法。总共有3474840C A =种排法。

变式4、10人身高各不相等，排成前后排，每排5人，要求从左至右身高逐渐增加，共有多少种不同的

排法？

分析：10人身高各不相等且从左至右身高逐渐增加，说明顺序一定。若排成一排，则只有一种排法；

现排成前后两排，因此共有5

10252C =种排法。

五、平均分组问题倍除法（去重复法）

例5、6本不同的书平均分成3堆，每堆2本，有多少种不同的分法？

分析：分三步取书有222

642C C C 种分法，但存在重复计数。记6本书为ABCDEF ，若第一步取AB ，

第二步取CD ，第三步取EF ，该分法记为()AB CD EF ，，，则在222642C C C 中还有()AB CD EF ，，、

()AB CD EF ，，、()AB CD EF ，，、()AB CD EF ，，、()AB CD EF ，，共33A 种分法 ，而这些分

法仅是()AB CD EF ，，一种分法。总共应有222

642

3

3

C C C A 种分法。平均分成的组，不管它们的顺序如何，都是一种情况，分组后一定要除以n

n A （n 为均分的组数），避免重复计数。

变式5①、将13个球队分成3组，一组5个队，其它两组4个队，有多少种不同的分法？

分析：分三步。第一步取5个队为一组，有513C 种分法；余下8个队平均分成两组，每组4个队，有44

84C C 种分法，但存在重复计数。记8个队为ABCDEFGH ，若第二步取ABCD ，第三步取EFGH ，该分法

记为()ABCD EFGH ，，则在44

84C C 中还有()EFGH ABCD ，共22

A 种分法，而这22A 种分法是同一种分法。总共应有44

584

13

2

2

C C C A ⋅种分法。 变式5②、10名学生分成3组，其中一组4人，另两组3人，正、副班长不能分在同一组，有多少种不

同的分组方法？

分析：㈠总的分组方法：分三步。第一步取4人为一组，有4

10C 种分法；余下6个人平均分成两组，

每组3个人，有3363C C 种分法，但存在重复计数。记6个人为ABCDEF ，若第二步取ABC ，第三步取DEF ，该分法记为()ABC DEF ，，则在3363C C 中还有()DEF ABC ，共22A 种分法，而这22A 种分法是同一种分法。总共应有33

4

63

10

2

2

2100C C C A ⋅=种分法。 ㈡正、副班长同分在4人一组：分三步。第一步在8人中取2人，加上正、副班长共4人为一

组，有28C 种分法；余下6个人平均分成两组，每组3个人，有33

63C C 种分法，但存在重复计数。记6个人

为ABCDEF ，若第二步取ABC ，第三步取DEF ，该分法记为()ABC DEF ，，则在33

63C C 中还有()DEF ABC ，共22A 种分法，而这22A 种分法是同一种分法。总共应有33

2638

22

280C C

C A ⋅=种分法。

㈢正、副班长同分在3人一组：分三步。第一步在8人中取4人，有4

8C 种分法；第二步在余下的4人中取3人，有3

4C 种分法；第三步余下1人加上正、副班长形成一组，只有一种分法。总共应有

43

84280C C =种分法。

㈠减㈡减㈢得：总共有3333

4

243

636310

88422

22

21002802801540C C C C C C C C A A ⋅-⋅-=--=种分法。 变式5③、某校高二年级共有6个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安 排2名，则不同的安排种数为 。

分析：分三步。前两步将转入的4名学生平均分成两组，每组2名学生，有22

42C C 种分法，但存在重

复计数。记4名学生为ABCD ，若第一步取AB ，第二步取CD ，该分法记为()AB CD ，，则在2

2

42C C 中

还有()CD AB ，共2

2A 种分法，而这2

2A 种分法是同一种分法。第三步将分成的两组分配到6个班级，有2

6

A 种分法。总共应有22

2

4262

2

90C C A A ⋅=种分法。 六、元素相同问题隔板法

例6、有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个，有多少种分配方案？

分析：隔板法也就是档板法。分两步。第一步：每班分配1个名额，只有1种分法；第二步：将剩下的