69东北师大附属中学高三第一轮复习导学案-不等式选讲(3)A
东北师大附属中学高三第一轮复习教案不等式选讲大练习
[本练习目标：以近几年的高考题为例，练习不等的解法，证明]一、选择题:1. (2011年高考山东卷理科4)不等式|5||3|10x x -++≥的解集为 （A ）[-5.7] （B ）[-4,6] （C ）(,5][7,)-∞-⋃+∞ （D ）(,4][6,)-∞-⋃+∞ 【答案】D【解析】由不等式的几何意义知，式子|3||5|++-x x 表示数轴的点)(x 与点（5）的距离和与点（-3）的距离之和，其距离之和的最小值为8，结合数轴，选项D 正确 二、填空题1. (2011年高考天津卷理科13)已知集合{}1|349,|4,(0,)A x R x x B x R x t t t⎧⎫=∈++-≤=∈=+∈+∞⎨⎬⎩⎭，则集合A B ⋂=________. 【答案】{}52|≤≤-∈x R x【解析】∵{}{}54|9|4||3||≤≤-∈=≤-++∈=x R x x x R x A ，()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧+∞∈-⨯≥∈=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+∞∈-+=∈=,0,6142|,0,614|t t t x R x t t t x R x B {}2|-≥∈=x R x ，∴{}{}{}52|2|54|≤≤-∈=-≥∈≤≤-∈=x R x x R x x R x B A I I . 对于实数x ，y ，若11≤-x ，12≤-y ，则12+-y x 的最大值为 . 【答案】53. (2011年高考广东卷理科9)不等式130x x +--≥的解集是______. 【解析】}1|{≥x x 。
由题得1)3()1(|3||1|22≥∴-≥+∴-≥+x x x x x 所以不等式的解集为}1|{≥x x 。
4．(2011年高考陕西卷理科15)（不等式选做题）若关于x 的不等式12a x x ≥++-存在实数解，则实数a 的取值范围是 【答案】(,3][3,)-∞-+∞U【解析】：因为12|12|3x x x x ++-≥+-+=所以12a x x ≥++-存在实数解， 有3a ≥3a ≤-或3a ≥ 三、解答题:1．(2011年高考辽宁卷理科24)（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f （x ）=|x-2|-|x-5|. （I ）证明：-3≤f （x ）≤3；（II ）求不等式f （x ）≥x 2-8x+15的解集.解：（I ）3,2,()|2||5|27,25,3, 5.x f x x x x x x -≤⎧⎪=---=-<<⎨⎪≥⎩当25,327 3.x x <<-<-<时 所以3() 3.f x -≤≤ （II ）由（I ）可知，当22,()815x f x x x ≤≥-+时的解集为空集；当225,()815{|55}x f x x x x x <<≥-+-≤<时的解集为；当25,()815{|56}x f x x x x x ≥≥-+≤≤时的解集为.综上，不等式2()815{|56}.f x x x x x ≥-+-≤≤的解集为2. (2011年高考全国新课标卷理科24)（本小题满分10分） 选修4-5不等选讲 设函数0,3)(>+-=a x a x x f （1）当1=a 时，求不等式23)(+≥x x f 的解集；(2)如果不等式0)(≤x f 的解集为{}1-≤x x ，求a 的值。
吉林省东北师范大学附属中学2021届高三文科数学一轮复习：不等式选讲(3)
不等式选讲[3][文教案]即21-≥m ，又0<m ∴021<≤-m (如图1)②当[]1,0∈=m t ，即10≤≤m 时,()012442<+-=∆m m m ,即0122<--m m ,∴2121+<<-m ,又[]1,0∈m ,∴10≤≤m (如图2)③当1>=m t 时，()0212211>=++-=m m g 恒成立. ∴1>m (如图3)故由①②③可知：21-≥m .变式一：条件改为：若()()02933<--+⋅xx x f k f 对任意x ∈R 恒成立， 例2．已知向量a =(2x ，x+1)，b = (1-x ，t)。
若函数b a x f ⋅=)(在区间（-1，1）上是增函数，求t 的取值范围。
分析：利用导数将“函数)(x f 在区间（-1，1）上是增函数”的问题转化为“0)(≥'x f 在（-1，1）上恒成立”的问题，即转化成为“二次函数023)(2≥++-='t x x x f 在区间（-1，1）上恒成立” ，利用分别系数法将t 分别出来，通过争辩最值来解出t 的取值范围。
【解析】依定义t tx x x x t x x x f +++-=++-=232)1()1()(。
则t x x x f ++-='23)(2， 若)(x f 在（-1，1）上是增函数，则在（-1，1）上可设0)(≥'x f 恒成立。
∴0)(≥'x f x x t 232-≥⇔在（-1，1考虑函数x x x g 23)(2-=，（如图4）由于)(x g 的图象是对称轴为31=x ，开口向上的抛物线，故要使x x t 232-≥在（-1，1）上恒成立)1(-≥⇔g t ，即5≥t 。
而当5≥t 时，)(x f '在（-1，1）上满足)(x f '>0，即)(x f 在（-1，1）上是增函数。
吉林省东北师范大学附属中学高考数学第一轮复习 导数的应用学案 理
课题：导数的应用一、知识梳理: （阅读选修教材2-2第18页—第22页）1.函数的单调性与导数的关系：利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤:()1求()f x ';()2确定()f x '在(),a b 内符号;()3若()0f x '>在(),a b 上恒成立，则()f x 在(),a b 上是增函数；若()0f x '<在(),a b 上恒成立，则()f x 在(),a b 上是减函数①()0f x '>⇒()f x 为增函数（()0f x '<⇒()f x 为减函数）. ②()f x 在区间(),a b 上是增函数⇒()f x '≥0在(),a b 上恒成立；()f x 在区间(),a b 上为减函数⇒()f x '≤0在(),a b 上恒成立.2.极值：极大值： 一般地，设函数()f x 在点0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有的点，都有0()()f x f x <，就说0()f x 是函数()f x 的一个极大值，记作y 极大值0()f x =，0x 是极大值点.极小值：一般地，设函数()f x 在0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有的点，都有0()()f x f x >就说0()f x 是函数()f x 的一个极小值，记作y 极小值0()f x =，0x 是极小值点. 极大值与极小值统称为极值在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值请注意以下几点：（1）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.（2）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个.（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值. （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点. 判别0()f x 是极大、极小值的方法:若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值.求可导函数()f x 的极值的步骤:()1确定函数的定义区间，求导数)(x f '()2求方程()0f x '=的根()3用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查)(x f '在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么()f x 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么()f x 在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么()f x 在这个根处无极值.如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点 .3.函数的最大值和最小值: 一般地，在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值．说明：()1在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．如函数xx f 1)(=在),0(+∞内连续，但没有最大值与最小值；()2函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．()3函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．()4函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个. 利用导数求函数的最值步骤:由上面函数)(x f 的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在(,)a b 内可导，则求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：()1求)(x f 在(,)a b 内的极值；()2将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值.二、题型探究 【探究一】：讨论函数的单调性例1：设 函数 ，试讨论函数的单调性(解析:注意讨论K 的范围,注意函数的定义域) 时，单调递增；时，单调递减；（，1）单调递增。
东北师大附属中学高三第一轮复习导学案导数的概念及运算A
导数的概念与运算(教案)A一、知识梳理：（阅读选修教材2-2第2页—第21页）1、 导数及有关概念：函数的平均变化率： 1.设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即x y ∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0x x y ='，即0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆ 在定义式中，设x x x ∆+=0，则0x x x -=∆，当x ∆趋近于0时，x 趋近于0x ，因此，导数的定义式可写成000000()()()()()lim lim x o x x f x x f x f x f x f x x x x ∆→→+∆--'==∆-. 2.导数的物理意义和几何意义： 导数0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化．．的快慢程度. 它的几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率.因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为 000()()()y f x f x x x -='-3.导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数()f x '，从而构成了一个新的函数()f x ', 称这个函数()f x '为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，也可记作y '，即()f x '＝y '＝xx f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 00 说明 :导数与导函数都称为导数,这要加以区分,求一个函数的导数,就是求导函数,求一个函数在给定点处的导数,就是求导函数值.函数)(x f y =在0x 处的导数0x x y ='就是函数)(x f y =在开区间),(b a )),((b a x ∈上导数()f x '在0x 处的函数值，即0x x y ='＝0()f x '.所以函数)(x f y =在0x 处的导数也记作0()f x '4.可导: 如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点都有导数，则称函数)(x f y =在开区间),(b a 5.可导与连续的关系：如果函数)(x f y =在点0x 处可导，那么函数)(x f y =在点0x 处连续，反之不成立. 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件.6.求函数()y f x =的导数的一般步骤：()1求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆ ()2求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(； ()3取极限，得导数y '=()f x '=x y x ∆∆→∆0lim7.几种常见函数的导数：0'=C (C 为常数)；1)'(-=n n nx x (Q n ∈)；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=；1(ln )x x'=；1(log )log a a x e x'=， ()x x e e '= ；()ln x x a a a '=8.求导法则：法则1 [()()]()()u x v x u x v x ±'='±'．法则2 [()()]()()()()u x v x u x v x u x v x '='+', [()]'()Cu x Cu x '=法则3： '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭9.复合函数的导数：（理科）设函数()u x ϕ=在点x 处有导数()x u x ϕ'='，函数()y f u =在点x 的对应点u 处有导数()u y f u '='，则复合函数(())y f x ϕ=在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅= 或(())()()x f x f u x ϕϕ'='⋅'10.复合函数的求导法则：（理科）复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数11.复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代12.导数的几何意义：是曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线的斜率，即0()k f x ='，要注意“过点A 的曲线的切线方程”与“在点A 处的切线方程”是不尽相同的，后者A 必为切点，前者未必是切点.二、题型探究：探究1：导数的概念题型1．用导数的定义求函数在某一点处的导函数值。
69东北师大附属中学高三第一轮复习导学案-不等式选讲(3)B
不等式选讲（2）（学案）B一、 基本知识点：(1).含有参数不等式的解法例1:解关于x 的不等式 34422+>+-m m mx x例2、解关于x 的不等式 20(,1)(cot 232πθθ≤<<-+-x x(2). 不等式的证明方法:比较法（差0法，商1法）例3;若实数1≠x ，求证：.)1()1(32242x x x x ++>++例4、已知,,+∈R b a 求证.ab b a b a b a ≥(3)不等式的证明方法：分析法、综合法例1、b a ,都是正数。
求证：.2≥+a b b a例2、设0,0>>b a ，求证.2233ab b a b a +≥+议一议：根据上面的例证，你能指出综合法和分析法的主要特点吗？例3、已知a ，b ，m 都是正数，并且.b a <求证：.ba mb m a >++（4）.含参数不等式的恒成立“含参数不等式的恒成立”的问题，是近几年高考的热点，它往往以函数、数列、三角函数、解析几何为载体具有一定的综合性，解决这类问题，主要是运用等价转化的数学思想：即一般的，若函数()x f 在定义域为D ，则当x ∈D 时，有 ()M x f ≥恒成立()M x f ≥⇔min ；()M x f ≤恒成立()M x f ≤⇔max .因而,含参数不等式的恒成立问题常根据不等式的结构特征,恰当地构造函数,等价转化为含参数的函数的最值讨论.1．定义在R 上的函数()x f 既是奇函数，又是减函数，且当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πθ时，有 ()()022sin 2cos 2>--++m f m f θθ恒成立，求实数m 的取值范围.变式一：条件改为：若()()02933<--+⋅x x x f k f 对任意x ∈R 恒成立， 2．已知向量a =(2x ，x+1)，b = (1-x ，t)。
若函数x f ⋅=)(在区间（-1，1）上是增函数，求t 的取值范围。
东北师大附属中学高三第一轮复习导学案--命题及其关系,充分条件,必要条件A
（3）证明条件时易出现必要性与充分性混淆的情形，这就要分清哪是条件，哪是结论。
三、方法提升
1、判断命题的真假要以真值表为依据，原命题与其逆否命题为等价命题，逆命题与否命题是同真同假，
例4：已知p： ,q: ,若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围。
解:P:-2 ; q:1-m m+1由题意可知：P是q的充分不必要条件，所以
所以，{m|3<m<9}
探究四：充要条件的探究与证明
例5求证方程ax2+2x+1=0有且只有一个负数根的充要条件为a≤0或a=1.
分析：（1）讨论a 的不同取值情况；
(3)、四种命题的关系：
题同真同假。
2、充分条件、必要条件与充要条件
（1）“若p，则q”为真命题，记 ，则p是q的充分条件，q是p的必要条件。
（2）如果既有 ，又有 ，记作 ，则p是q的充要条件，q也是p的充要条件。
3、判断充分性与必要性的方法：
解析：当 时两直线斜率乘积为 从而可得两直线垂直,当 时两直线一条斜率为0一条斜率不存在,但两直线仍然垂直.因此 是题目中给出的两条直线垂直的充分但不必要条件。
注：对于两条直线垂直的充要条件① 都存在时 ② 中有一个不存在另一个为零对于②这种情况多数考生容易忽略。
探究三：利用充分、必要条件解决待定系数问题
（一）、定义法
（1）、 且q ，则p是q的充分不必要条件；
（2）、 ，则p是q的必要不充分条件；
（3）、 ，则p是q的既不充分也不必要条件；
（4）、 且 ，则p是q的充要条件；
吉林省东北师范大学附属中学高三数学第一轮复习 导数的应用(2)教案 文
课题：导数的应用（2）五．课时作业 一、 选择题1.已知函数432()410f x x x x =-+，则方程()0f x =在区间[]1,2上的根有.A 3个 .B 2个 .C 1个 .D 0个2.（06郑州一中等四校联考）若函数()y f x =在R 上可导且满足不等式()()0xf x f x '+>恒成立，且常数,a b 满足a b >，则下列不等式一定成立的是 .A ()()af a bf b > .B ()()af b bf a > .C ()()af a bf b < .D ()()af b bf a <3、（07届高三陕师大附中八模）如果()f x '是二次函数, 且()f x '的图象开口向上, 顶点坐标为(1,3)-, 那么曲线()y f x =上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是.A 2(0,]3π .B 2[0,)[,)23πππU .C 2[0,][,)23πππU .D 2[,]23ππ4、（08届厦门双十中学高三月考）如图，是函数d cx bx x x f +++=23)(的大致图像，则2221x x +等于.A 98 .B 910 .C 916 .D 9285、（06天津）函数()f x 的定义域是开区间(),a b , 导函数()f x '在(),a b 内的图象如图所示，则函数()f x 在开区间内有极小值点.A 1个 .B 2个 .C 3个 .D 4个6、（08届高三哈尔滨第三中学第一次月考） 函数x bx ax x f 2)(23-+=的图象如图所示， 且021<+x x ，则有.A 0,0>>b a .B 0,0><b a .C 0,0<<b a .D 0,0<>b a二、 填空题7、（1）使ax x y +=sin 为R 上增函数，则a 的范围是xyab()'y f x =O（2）使a ax x y ++=3为R 上增函数，则a 的范围是 （3）使5)(23-+-=x x ax x f 为R 上增函数，则a 的范围是三、解答题8、已知：1x >，证明不等式：()ln 1x x >+9、设x ax x f +=3)(恰有三个单调区间，试确定a 的取值范围，并求出这三个单调区间14．设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x －2.(1)求y ＝f (x )的表达式；(2)求y ＝f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积．解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b .又f ′(x )＝2x －2，所以a ＝1，b ＝－2，即f (x )＝x 2－2x ＋c .又方程f (x )＝0有两个相等实根，所以Δ＝4－4c ＝0，即c ＝1.故f (x )＝x 2－2x ＋1.(2)依题意，所求面积为S ＝⎠⎛01(x 2－2x ＋1)d x ＝(13x 3－x 2＋x )|10＝13.15．已知f (x )为偶函数且⎠⎛06 f (x )d x ＝8，则⎠⎛-66f (x )d x 等于( )A ．0B ．4C ．8D ．16解析：选D.原式＝⎠⎛-60f (x )d x ＋⎠⎛06f (x )d x ，∵原函数为偶函数，∴在y 轴两侧的图象对称．∴对应的面积相等．故选D.16．函数y ＝⎠⎛-xx (cos t ＋t 2＋2)d t (x >0)( )A ．是奇函数B ．是偶函数C ．非奇非偶函数D ．以上都不正确解析：选A.y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin t ＋t 33＋2t |x-x ＝2sin x ＋2x 33＋4x ，为奇函数．17．一物体的下落速度为v (t )＝9.8t ＋6.5(单位：米/秒)，则下落后第二个4秒内经过的路程是( )A ．249米B ．261.2米C ．310.3米D ．450米 解析：选B.所求路程为⎠⎛48(9.8t ＋6.5)dt＝(4.9t 2＋6.5t )|84＝4.9×64＋6.5×8－4.9×16－6.5×4 ＝313.6＋52－78.4－26＝261.2(米)．18．由直线x＝12，x＝2，曲线y＝1x及x轴所围成图形的面积为( )A.154B.174C.12ln2 D．2ln219．若a＝⎠⎛2x2d x，b＝⎠⎛2x3d x，c＝⎠⎛2sin x d x，则a、b、c的大小关系是( ) A．a<c<b B．a<b<c C．c<b<a D．c<a<b解析：选D.a＝⎠⎛2x2d x＝13x3|20＝83，b＝⎠⎛2x3d x＝14x4|204，c＝⎠⎛2sin x d x＝－cos x|20＝1－cos2，因为1<1－cos2<2，所以c<a<b.20．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x＋1 (－1≤x<0)cos x (0≤x≤π2)的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为A.32B．1 C．2 D.12解析：选 A.作出图象可知：S＝⎠⎛-10－1(x＋1)d x＋⎠⎜⎛π2cos x d x＝21．已知a∈[0，π2]，则当 d x取最大值时，a＝________.解析：⎠⎛a(cos x－sin x)d x＝(sin x＋cos x)|a0＝sina＋cos a－(sin0＋cos0)＝2sin(a＋π4)－1，当a＝π4时，⎠⎛a(cos x－sin x)d x取最大值2－1.答案：π422．⎠⎛-aa(2x－1)d x＝－8，则a＝________.解析：⎠⎛-aa (2x－1)d x＝(x2－x)|a-a ＝a2－a－[(－a)2－(－a)]＝a2－a－a2－a＝－2a＝－8，∴a＝4.23．如果⎠⎛1f(x)d x＝1，⎠⎛2f(x)d x＝－1，则⎠⎛12f(x)d x＝________.解析：∵⎠⎛2f(x)d x＝⎠⎛1f(x)d x＋⎠⎛12f(x)d x，∴⎠⎛12f(x)d x＝⎠⎛2f(x)d x－⎠⎛1f(x)d x＝－1－1＝－2.24．如图，设点P从原点沿曲线y＝x2向点A(2,4)移动，记直线OP、曲线y＝x2及直线x＝2所围成的面积分别记为S1，S2，若S1＝S2，求点P的坐标．解：设直线OP的方程为y＝kx，P点的坐标为(x，y)，则⎠⎛x(kx－x2)d x＝⎠⎛x2(x2－kx)d x，即(12kx2－13x3)|x0＝(13x3－12kx2)|2x，解得12kx 2－13x 3＝83－2k －(13x 3－12kx 2)，解得k ＝43，即直线OP 的方程为y ＝43x ，所以点P 的坐标为(43，169)．。
东北师大附属中学高三一轮导学案：不等式选讲(3)【B】
不等式选讲（2）（学案）B一、 基本知识点：(1).含有参数不等式的解法例1:解关于x 的不等式 34422+>+-m m mx x例2、解关于x 的不等式 )20(,1)(cot 232πθθ≤<<-+-x x(2). 不等式的证明方法:比较法（差0法，商1法）例3;若实数1≠x ，求证：.)1()1(32242x x x x ++>++例4、已知,,+∈R b a 求证.ab b a b a b a ≥(3)不等式的证明方法：分析法、综合法 例1、b a ,都是正数。
求证：.2≥+abb a例2、设0,0>>b a ，求证.2233ab b a b a +≥+议一议：根据上面的例证，你能指出综合法和分析法的主要特点吗？ 例3、已知a ，b ，m 都是正数，并且.b a <求证：.bam b m a >++（4）.含参数不等式的恒成立“含参数不等式的恒成立”的问题，是近几年高考的热点，它往往以函数、数列、三角函数、解析几何为载体具有一定的综合性，解决这类问题，主要是运用等价转化的数学思想：即一般的，若函数()x f 在定义域为D ，则当x ∈D 时，有()M x f ≥恒成立()M x f ≥⇔min ；()M x f ≤恒成立()M x f ≤⇔max .因而,含参数不等式的恒成立问题常根据不等式的结构特征,恰当地构造函数,等价转化为含参数的函数的最值讨论.1．定义在R 上的函数()x f 既是奇函数，又是减函数，且当⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πθ时，有 ()()022sin 2cos 2>--++m f m f θθ恒成立，求实数m 的取值范围.变式一：条件改为：若()()02933<--+⋅x xxf k f 对任意x ∈R 恒成立，2．已知向量=(2x ，x+1)，= (1-x ，t)。
若函数b a x f ⋅=)(在区间（-1，1）上是增函数，求t 的取值范围。
东北师大附属中学高三第一轮复习教案不等式选讲
不尊武选讲(2) ｛教案)基本知识点：[阅读选讲4-5](1).含有参数不等式的解法例1：解关于x的不等式x2 4mx 4m2m3当m30即m3时x 2m m3或x2m(m 3)••• x3m3或xm 3当m30即m3时| x 6| 0• x 6当m30即m3时x R o例2、解关于x的不等式(cot ) x 2 3x 21,(0解：当cot1即(0,—)时4 2x3x 20• x>2 或x<1当cot1即=一时x40当cot(0,1)即(一，4-)时2 2x3x 20• 1<x<2⑵•不等式的证明方法：比较法(差0法，商1法)例3;若实数x1,求证：3(1 x2 4 \x )(1 x2\2x )・解：原不等式等价于|x 2m |证明：采用差值比较法:m 33( 1 x2x4) (12\2x )3x4x2x42x 2x22x3xx2(x 43x2(x 1)2(x 2 2(x 1)2[(x3 x 3x 21)1)1)2 3]刁；]2x 1,从而(x 1) 1 22(x 1)2[(x -)23(1 x 2 x 4)(1 xx 2)2.讨论：若题设中去掉x 1这一限制条件，要求证的结论如何变换？ 例 4、已知 a,b R ,求证 a a b b a b b a .本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。
证明：1）差值比较法：注意到要证的不等式关于a,b 对称，不妨设a b 0.a b b b （a ab b ab ）0，从而原不等式得证。
2）商值比较法：设a b 0,a曲a1,a b 0, 畀1 （旦）a b 1故原不等式得证。
ba b b注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。
用比较法证明不等式的 步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。
（3）不等式的证明方法：分析法、综合法a b例1、a,b 都是正数。
求证：2.b a证明：由重要不等式 A 2 B 2 2AB 可得本例的证明是综合法。
东北师大附属中学高三第一轮复习考试导学案函数与方程教师版
函数与方程A一、知识梳理：（阅读教材必修1第85页—第94页）1、方程的根与函数的零点(1)零点:对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。
这样，函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根，也就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标，所以方程f(x)=0有实根⟺函数y=f(x)的图象与x轴有交点⟺函数y=f(x)有零点。
（2）、函数的零点存在性定理：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)∙f(b)<0那么，y=f(x)在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f(c)=0，这个C 也就是方程f(x)=0的实数根。
（3）、零点存在唯一性定理：如果单调函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)∙f(b)<0那么，y=f(x)在区间（a，b）内有零点，即存在唯一c∈（a，b），使得f(c)=0，这个C 也就是方程f(x)=0的实数根。
（4）、零点的存在定理说明：①求在闭间内连续，满足条件时，在开区间内函数有零点；②条件的函数在区间（a，b）内的零点至少一个；③间[a，b]上连续函数，不满足f(a)∙f(b)<0，这个函数在（a，b）内也有可能有零点，因些在区间[a，b]上连续函数，f(a)∙f(b)<0是函数在（a，b）内有零点的充分不必要条件。
2、用二分法求方程的近似解（1）、二分法定义：对于区间[a，b]连续不断且f(a)∙f(b)<0的函数y=f(x)通过不断把区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法。
（2）、给定精确度（ε）用二分法求函数f(x)的零点近似值步骤如下：①确定区间[a，b]，验证f(a)∙f(b)<0，给定精确度（ε）；②求区间（a，b）的中点c；③计算f(c)（I）若f(c)=0，则c就是函数的零点；（II）若f(a)∙f(c)<0，则令b=c，（此时零点x0∈（a，c））；（III）若f(b)∙f(c)<0，则令a=c，（此时零点x0∈（c，b））；④判断是否达到精确度ε，若|a-b|<ε，则得到零点的近似值a（或b），否则重复②--④步骤。
东北师大附属中学高三一轮导学案：不等式选讲(3)【A】
不等式选讲（2）（教案）A一、 基本知识点：(1).含有参数不等式的解法例1:解关于x 的不等式 34422+>+-m m mx x解：原不等式等价于 3|2|+>-m m x当03>+m 即3->m 时 )3(232+-<-+>-m m x m m x 或 ∴333-<+>m x m x 或当03=+m 即3-=m 时 0|6|>+x ∴x ≠-6 当03<+m 即3-<m 时 x ∈R 。
例2、解关于x 的不等式 )20(,1)(cot 232πθθ≤<<-+-x x解：当1cot >θ即θ∈(0,4π)时 0232<-+-x x ∴x>2或x<1 当1cot =θ即θ=4π时 x ∈φ 当)1,0(cot ∈θ即θ∈(4π,2π)时 0232>-+-x x ∴1<x<2(2). 不等式的证明方法:比较法（差0法，商1法） 例3;若实数1≠x ，求证：.)1()1(32242x x x x ++>++ 证明：采用差值比较法：2242)1()1(3x x x x ++-++=3242422221333x x x x x x x ------++=)1(234+--x x x=)1()1(222++-x x x=].43)21[()1(222++-x x,043)21(,0)1(,122>++>-≠x x x 且从而∴ ,0]43)21[()1(222>++-x x∴ .)1()1(32242x x x x ++>++讨论：若题设中去掉1≠x 这一限制条件，要求证的结论如何变换？例4、已知,,+∈R b a 求证.abbab a b a ≥本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。
证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于b a ,对称，不妨设.0>≥b a0)(0≥-=-∴≥---ba ba bbabbab a b a b a b a b a ，从而原不等式得证。
68东北师大附属中学高三第一轮复习导学案-不等式选讲(2)A
③、如果a>b，那么a+c>b+c，即a>b a+c>b+c。
推论：如果a>b，且c>d，那么a+c>b+d．即a>b， c>d a+c>b+d．
④、如果a>b，且c>0，那么ac>bc；如果a>b，且c<0，那么ac<bc．
⑤、如果a>b >0，那么 (n N，且n>1)
⑥、如果a>b >0，那么 (n N，且n>1)。
（二）、含有绝对值的不等式的两种基本类型
第一种类型:设a为正数。根据绝对值的意义，不等式 的解集是 ，它的几何意义就是数轴上到原点的距离小于a的点的集合是开区间（－a，a），如图所示。
如果给定的不等式符合上述形式，就可以直接利用它的结果来解。
第二种类型:设a为正数。根据绝对值的意义，不等式 的解集是{ 或 }
1．
2．
4． (-1<x<0)
5． 时解关于x的不等式
( ； ； )
6、解不等式：
(当a>1时 当0<a<1时 )
7、解不等式： (-1<x<3)
8、已知 求证： 。
证明 ，∴ ，
由例1及上式， 。
9、7、
10、
练习：
1、已知 求证： 。
2、已知 求证： 。
[题型探究四]：指对不等式解法：
例1、解不等式
解：原不等式可化为： ∵底数2>1
∴ 整理得：
东北师大附属中学高三第一轮复习导学案--集合及其运算A
A.3B. 2个
C. 1个 D. 无穷多个
例4： ， ，若 ，求：实数 组成的集合。答:{0 ,
例5:(2011安徽理)设集合 则满足 且 的集合 为(B)（A）57（B）56（C）49（D）8
8.【2012高考新课标理1】已知集合 ；则 中所含元素的个数为（D）
【解析】要使 ,当 时， 可是1，2，3，4.当 时， 可是1，2，3.当 时， 可是1，2.当 时， 可是1，综上共有10个
9.【2012高考陕西理1】集合 ， ，则 （C）A. B. C. D.
【解析】 ，
10.【2012高考山东理2】已知全集 ，集合 ，则 为（C）
【解析】1.因为全集U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A=｛0,1,3,5,8｝，集合B=｛2,4,5,6,8｝，所以 ，所以 为{7,9}。故选B
（A） （B） （C） （D）
【解析】 ,所以
11.【2012高考辽宁理1】已知全集U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A=｛0,1,3,5,8｝，集合B=｛2,4,5,6,8｝，则 为
(A){5,8} (B){7,9} (C){0,1,3} (D){2,4,6}
【答案】B
【命题意图】本题主要考查集合的补集、交集运算，是容易题.
数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
表示法
R
Z
Q
R
2、集合间的基本关系
表示
关系
文字语言
符号语言
相等
集合A与集合B中的所有元素相同
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不等式选讲（2）（教案）A一、 基本知识点：(1).含有参数不等式的解法例1:解关于x 的不等式 34422+>+-m m mx x解：原不等式等价于 3|2|+>-m m x当03>+m 即3->m 时 )3(232+-<-+>-m m x m m x 或∴333-<+>m x m x 或当03=+m 即3-=m 时 0|6|>+x ∴x ≠-6当03<+m 即3-<m 时 x ∈R 。
例2、解关于x 的不等式 20(,1)(cot 232πθθ≤<<-+-x x 解：当1cot >θ即θ∈(0,4π)时 0232<-+-x x ∴x >2或x <1 当1cot =θ即θ=4π时 x ∈φ 当)1,0(cot ∈θ即θ∈(4π,2π)时 0232>-+-x x ∴1<x <2 (2). 不等式的证明方法:比较法（差0法，商1法）例3;若实数1≠x ，求证：.)1()1(32242x x x x ++>++证明：采用差值比较法：2242)1()1(3x x x x ++-++=3242422221333x x x x x x x ------++=)1(234+--x x x=)1()1(222++-x x x =43)21[()1(222++-x x ,04321(,0)1(,122>++>-≠x x x 且从而∴ ,04321[()1(222>++-x x∴ .)1()1(32242x x x x ++>++讨论：若题设中去掉1≠x 这一限制条件，要求证的结论如何变换？例4、已知,,+∈R b a 求证.a b b a b a b a ≥本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。
证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于b a ,对称，不妨设.0>≥b a 0)(0≥-=-∴≥---b a b a b b a b b a b a b a b a b a b a ，从而原不等式得证。
2）商值比较法：设,0>≥b a,0,1≥-≥b a b a .1)(≥=∴-b a a b b a b a ba b a 故原不等式得证。
注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。
用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。
(3)不等式的证明方法：分析法、综合法例1、b a ,都是正数。
求证：.2≥+a b b a 证明：由重要不等式AB B A 222≥+可得.22=≥+ab b a a b b a 本例的证明是综合法。
例2、设0,0>>b a ，求证.2233ab b a b a +≥+证法一 分析法要证2233ab b a b a +≥+成立.只需证)())((22b a ab b ab a b a +≥+-+成立，又因0>+b a ，只需证ab b ab a ≥+-22成立，又需证0222≥+-b ab a 成立， 即需证0)(2≥-b a 成立.而0)(2>-b a 显然成立. 由此命题得证。
证法二 综合法ab b ab a b ab a b a ≥+-⇒≥+-⇒≥-22222020)(注意到0,0>>b a ，即0>+b a ，由上式即得)())((22b a ab b ab a b a +≥+-+， 从而2233ab b a b a +≥+成立。
议一议：根据上面的例证，你能指出综合法和分析法的主要特点吗？例3、已知a ，b ，m 都是正数，并且.b a <求证：.ba mb m a >++ （1） 证法一 要证（1），只需证)()(m b a m a b +>+ （2）要证（2），只需证am bm > （3）要证（3），只需证a b > （4）已知（4）成立，所以（1）成立。
上面的证明用的是分析法。
下面的证法二采用综合法。
证法二 因为 m a b ,>是正数，所以am bm > 两边同时加上ab 得)()(m b a m a b +>+两边同时除以正数)(m b b +得（1）。
读一读：如果用Q P ⇒或P Q ⇐表示命题P 可以推出命题Q （命题Q 可以由命题P 推出），那么采用分析法的证法一就是 （1）).4()3()2(⇐⇐⇐而采用综合法的证法二就是 ).1()2()3()4(⇒⇒⇒如果命题P 可以推出命题Q ，命题Q 也可以推出命题P ，即同时有P Q Q P ⇒⇒,，那么我们就说命题P 与命题Q 等价，并记为.Q P ⇔在例2中，由于m b m b +,,都是正数，实际上 ).4()3()2()1(⇔⇔⇔（4）.含参数不等式的恒成立“含参数不等式的恒成立”的问题，是近几年高考的热点，它往往以函数、数列、三角函数、解析几何为载体具有一定的综合性，解决这类问题，主要是运用等价转化的数学思想：即一般的，若函数()x f 在定义域为D ，则当x ∈D 时，有()M x f ≥恒成立()M x f ≥⇔min ；()M x f ≤恒成立()M x f ≤⇔max .因而,含参数不等式的恒成立问题常根据不等式的结构特征,恰当地构造函数,等价转化为含参数的函数的最值讨论.1．定义在R 上的函数()x f 既是奇函数，又是减函数，且当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πθ时，有 ()()022sin 2cos 2>--++m f m f θθ恒成立，求实数m 的取值范围.分析: 利用函数的单调性和奇偶性去掉映射符号f ，将“抽象函数”问题转化为常见的含参的二次函数在区间(0，1)上恒为正的问题.而对于()≥x f 0在给定区间[a ，b]上恒成立问题可以转化成为()x f 在[a ，b]上的最小值问题，若()x f 中含有参数，则要求对参数进行讨论。
【解析】由()()022sin 2cos 2>--++m f m f θθ得到：()()22sin 2cos 2--->+m f m f θθ 因为()x f 为奇函数，故有()()22sin 2cos 2+>+m f m f θθ恒成立，又因为()x f 为R 减函数，从而有22sin 2cos 2+<+m m θθ对⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πθ设t =θsin ，则01222>++-m mt t 对于()1,0∈t 在设函数()1222++-=m mt t t g ,对称轴为m t =. ①当0<=m t 时，()0120≥+=m g ，2t =m即21-≥m ，又0<m ∴021<≤-m (如图1) ②当[]1,0∈=m t ，即10≤≤m 时,()012442<+-=∆m m m ,即0122<--m m , ∴2121+<<-m ,又[]1,0∈m ,∴10≤≤m (如图2)③当1>=m t 时，()0212211>=++-=m m g 恒成立.∴1>m (如图3) 故由①②③可知：21-≥m . 变式一：条件改为：若()()02933<--+⋅x x x f k f 对任意x ∈R 恒成立， 2．已知向量=(2x ，x+1)，= (1-x ，t)。
若函数x f ⋅=)(在区间（-1，1）上是增函数，求t 的取值范围。
（2005年湖北卷第17题）分析：利用导数将“函数)(x f 在区间（-1，1）上是增函数”的问题转化为“0)(≥'x f 在（-1，1）上恒成立”的问题，即转化成为“二次函数023)(2≥++-='t x x x f 在区间（-1，1）上恒成立” ，利用分离系数法将t 分离出来，通过讨论最值来解出t 的取值范围。
【解析】依定义t tx x x x t x x x f +++-=++-=232)1()1()(。
则t x x x f ++-='23)(2，若)(x f 在（-1，1）上是增函数，则在（-1，1）上可设0)(≥'x f 恒成立。
=m∴0)(≥'x f x x t 232-≥⇔在（-1，1考虑函数x x x g 23)(2-=，（如图4）由于)(x g 的图象是对称轴为31=x ， 开口向上的抛物线， 故要使x x t 232-≥在（-1，1）上恒成立≥⇔t 即5≥t 。
而当5≥t 时，)(x f '在（-1，1）上满足)(x f '>0，即)(x f 在（-1，1）上是增函数。
故t 的取值范围是5≥t .数学思想方法是解决数学问题的灵魂，同时它又离不开具体的数学知识在解决含参数不等式的恒成立的数学问题中要进行一系列等价转化．因此，更要重视转化的数学思想．(5)、能成立问题(部分成立)（存在性问题）若在区间D 上存在实数x 使不等式f(x)>A 成立,即f(x)>A 在区间D 上能成立, ⇔f(x)max > A ；若在区间D 上存在实数x 使不等式f(x)<A 成立,即f(x)<A 在区间D 上能成立, ⇔ f(x)min < A 。
例1．已知两个函数2()816f x x x k =+-，32()254g x x x x =++，其中k 为实数.(1)若对任意的[]33，-∈x ，都有)()(x g x f ≤成立，求k 的取值范围； (2)若对任意的[]3321，、-∈x x ，都有)()(21x g x f ≤，求k 的取值范围. (3)若对于任意1x []3,3∈-,总存在[]03,3x ∈-使得)()(10x f x g =成立，求k 的取值范围.41 x )【分析及解】(1) 令k x x x x f x g x F +--=-=1232)()()(23,问题转化为0)(≥x F 在 []3,3-∈x 上恒成立,即0)(min ≥x F 即可∵)2(61266)(22'--=--=x x x x x F ,由0)('=x F , 得2=x 或 1-=x . ∵(3)45(3)9(1)7(2)20F k F k F k F k -=-=--=+=-，，，,∴45)(min -=k x F , 由045≥-k , 解得 45≥k .(2)由题意可知当[]33，-∈x 时,都有min max )()(x g x f ≤.由01616)('=+=x x f 得1-=x .∵k f k f --=--=-8)1(24)3(，, k f -=120)3(,∴120)(max +-=k x f .由04106)(2'=++=x x x g 得321-=-=x x 或, ∵21)3(-=-g , 111)3(=g , 1)1(-=-g , 272832(-=-g , ∴21)(min -=x g .则21120-≤-k , 解得141≥k .(3) 若对于任意1x []3,3∈-,总存在[]03,3x ∈-使得)()(10x f x g =成立，等价于()f x 的值域是()g x 的值域的子集，由(2)可知， 2()816f x x x k =+-在[]3,3-的值域为[]8,120k k ---+， 32()254g x x x x =++在[]3,3-的值域为[]21,111-，于是，[][]8,12021,111k k ---+⊆-，即满足 821,120111.k k --≥-⎧⎨-+≤⎩解得913k ≤≤。