双曲线焦点三角形的几何性质
2.3.1双曲线及其标准方程B详解
〖人教版高中数学选修2—1〗第二章 圆锥曲线与方程三．双曲线§2．3．1 双曲线及其标准方程第2课时 双曲线及其标准方程（2） 教学过程一．双曲线中焦点三角形性质【例1】⑴（2012年全国大纲卷文科）已知1F ，2F 为双曲线C ：222x y -=的左，右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠= （ ） A ．14B ．35C ．34D ．45⑵设1F 、2F 为双曲线1422=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足︒=∠9021PF F ，则△21PF F 的面积是 ．点评：双曲线中焦点三角形及解题策略⑴焦点三角形：双曲线上的动点P 与两焦点1F 、2F 构成的三角形（三点不共线）称为焦点三角形；⑵解题策略：①焦点三角形的定义——122PF PF a -=；②正弦定理、余弦定理——利用正弦定理，余弦定理建立联系； ③三角形的面积公式——12a S ah =．一般地，双曲线22221x y a b-=(00)a b >>，上一点M 与两焦点1F 、2F 构成△21MF F ，若α=∠21MF F ，则 △21MF F 的面积2cot2S b α=．二．求双曲线的标准方程1．利用定义法求双曲线的标准方程【例2】 已知动圆M 恒过定点()2, 0B -，且与定圆C ：()2224x y -+=相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．【变式】1．若将题中条件变为圆M 与圆C 相切，则动点M 的轨迹方程是什么？2．已知()1,0A -，B 是⊙F ：()2211x y -+=上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P ，则点P 的轨迹方程是 ．2．利用待定系数法求双曲线的标准方程【例3】 ⑴以椭圆2214x y +=的焦点为焦点，且过点(2, 1)Q 的双曲线方程是 （ ）A ．2212x y -=；B ．2214x y -=；C ．2214y x -=；D ．2212y x -=．⑵与双曲线141622=-y x有相同焦点，且经过点()2的双曲线方程是 ．点评：对于与椭圆12222=+by a x (0>>b a )共焦点的双曲线系，可设为22221x y a k k b-=--（22b k a <<）； 对于与双曲线12222=-by a x (0,0>>b a )共焦点的双曲线系，可设为22221x y a k b k-=-+（22b k a -<<）．【同步训练】经过点2,3A ⎛⎝⎭、(3, B -的双曲线的标准方程 ．点评：⑴求双曲线的标准方程，最基本的方法是待定系数法，步骤是： ①定位置——确定焦点的位置（在x 轴上还是在y 轴）；②设方程——根据焦点位置，设出双曲线的标准方程（位置不确定时，需讨论）；③求系数——根据已知条件，确定a 、b 的关系（必要时，利用222c a b =+）,求出a 、b ． 在双曲线的标准方程中，1F 、2F 的位置是双曲线的定位条件；参数a 、b 确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件．⑵当双曲线的焦点位置确定时，标准方程可设为:12222=-b y a x (0,0>>b a )或12222=-bx a y )0,0(>>b a ； 当双曲线的焦点位置不确定时，标准方程可设为:()2210x y mn m n+=<或()2210mx ny mn +=<． 称为双曲线的次标准方程．3．与双曲线有关的轨迹问题【例4】 如图，设A ，B 的坐标分别为()2, 0-和()2, 0，直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是12，求点M 的轨迹方程．【变式】1．（01年上海市）设P 为双曲线2214x y -=上一动点，O 为坐标原点，M为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程是 ．点评：问题⑴和⑵是双曲线的另一种表示形式，问题⑴中求轨迹方程使用的是直接法，问题⑵是相关点法．三．小结1．求双曲线的标准方程的最基本方法是待定系数法，由于双曲线的标准方程只含有两个参数a 、b ，因此只须要找出两个独立的条件.2．双曲线的定义是双曲线的最根本的几何性质，应熟练应用双曲线的定义来解题．。
双曲线焦点三角形内切圆的横坐标
双曲线焦点三角形内切圆的横坐标1. 引言在数学几何中，双曲线是一种重要的曲线，其焦点三角形内切圆的横坐标问题也是一个经典而有趣的话题。
在本文中，我们将深入探讨双曲线焦点三角形内切圆的横坐标，并从简单到复杂、由浅入深地解释这一问题，帮助读者更好地理解和掌握相关知识。
2. 基础概念让我们回顾一下双曲线的基本定义和性质。
双曲线是平面上的一种曲线，其定义为所有满足特定条件的点构成的集合。
在直角坐标系中，双曲线的方程通常具有形如$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的标准形式。
焦点三角形是指由双曲线的两焦点和双曲线上的一点组成的三角形。
内切圆是指与三角形的三条边都相切的圆。
我们将重点讨论双曲线的焦点三角形内切圆的横坐标问题，并探究其数学特性。
3. 双曲线焦点三角形内切圆的横坐标求解让我们以一种直观的方法来解决这一问题。
我们需要了解内切圆与焦点三角形的关系。
根据数学知识，焦点三角形的三条边上的垂直角相等，而内切圆的切点处与三角形的边垂直，因此我们可以利用这一性质来求解内切圆的横坐标。
通过构建直角坐标系，我们可以利用双曲线的方程和辅助线的斜率等来推导出内切圆的横坐标的具体表达式。
在推导过程中，我们需要灵活运用数学分析和几何推导的方法，从而找到内切圆横坐标的通用解。
4. 数学推导和分析接下来，我们将进行更深入的数学推导和分析，来解决双曲线焦点三角形内切圆横坐标的问题。
通过引入参数并代入双曲线的方程，我们可以对内切圆横坐标的表达式进行进一步的简化和推导。
我们需要综合运用双曲线的性质、焦点三角形的几何关系以及内切圆的切线性质，来得出内切圆横坐标的最终结果。
在这一过程中，我们需要逐步展开推导，进行严密的数学分析，以确保结果的准确性和可靠性。
5. 结论与展望通过以上的分析与探讨，我们得出了双曲线焦点三角形内切圆横坐标的解析表达式。
在我们可以给出结论，总结一下我们所得的结果，并对相关问题进行进一步的展望。
双曲线焦点三角形内心的性质与应用
设 犉１犇 ＝ 犉１犎 ＝犿， 犉２犇 ＝ 犉２犈 ＝狀， 犘犈 ＝ 犘犎 ＝狆，内切圆的半径为狉，结合双曲线的 定 义 及 圆 的 切 线 长 性 质，可 得 犘犉１ － 犘犉２ ＝
犉１犇 － 犉２犇 ＝犿 －狀＝２犪． 而 犉１犉２ ＝ 犉１犇 ＋ 犉２犇 ＝犿 ＋狀＝２犮，可求
得 犿 ＝犮＋犪，狀＝犮－犪．
教学
２０２０年２月 解法探究
参谋
双曲线焦点三角形内心的性质与应用
? 福建省平和第一中学 赖平民
众所周知，圆锥曲线一直是高中数学中的重点和 难点之一，备受关注．圆锥曲线中，往往交汇着代数与 几何，既有“数”又有“形”，既有“动”又有“静”，是各方 面知识融合与交汇的场所，要求有较强的综合能力与 应变能力，是 考 查 数 学 能 力，体 现 选 拔 功 能 的 主 阵 地 之一．下面结合一个双曲线焦点三角形内心的两个性 质加以展现、证明，并结合实际加以巧妙应用．
犉１、犉２ 分别为双曲线犆 的左、右焦点，△犘犉１犉２ 的内 切圆的圆心为犐，设直线犐犉１，犐犉２ 的斜率分别为犽１，
犽２，则犽犽１ ２ ＝
．
分析：结合题目条件中给出的双曲线 犆 的离心
率，直接根据性质２中双曲线的焦点三角形内心的性
一、性质展现
【性质１】已知犘
为双曲线犆：狓犪２２
狔２ －犫２
＝１（犪
＞０，
犫＞０）上的任意一点，犉１、犉２ 分别为双曲线犆 的左、右
焦点，△犘犉１犉２ 的内切圆的圆心为犐，则点犐必在直线
狓＝±犪 上．
图１
证明：根据对称性，不失一般性，假定犘 为双曲线 犆 右支上的任意一点，如图１所示，设 △犘犉１犉２ 的内切 圆的圆心犐 在对应三边上的投影分别为犇、犈、犎 ．
双曲线的焦点三角形面积的公式推导
双曲线的焦点三角形面积的公式推导双曲线的焦点三角形是数学中的一个经典问题，涉及到双曲线的性质和几何形状，也与三角形的面积计算有关。
在本文中，笔者将以从简到繁的方式，全面评估双曲线的焦点三角形面积公式，逐步推导并加深理解，从而能更深入地探讨这个问题。
让我们简单地了解一下双曲线这个基本概念。
双曲线是一个数学曲线，与椭圆、抛物线一样，属于二次曲线的一种。
它的数学定义是一组满足特定方程的点的集合，形式一般为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$或$\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1$。
双曲线的性质非常丰富多样，其焦点三角形面积的公式推导将会涉及到双曲线的几何性质。
现在，让我们来思考一下如何计算双曲线的焦点三角形面积。
在给定双曲线的方程$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的情况下，我们需要利用双曲线的几何性质和三角形的面积计算方法来推导出公式。
我们知道双曲线有两条渐近线，它们与双曲线相交于两个点，分别称为焦点。
我们可以得到双曲线的焦点坐标$(\pm c,0)$，其中$c=\sqrt{a^2+b^2}$。
我们选择双曲线上的一点$(x,y)$，并连接它与两个焦点，得到一个三角形。
现在，我们要计算这个三角形的面积。
根据三角形面积的计算公式，我们可以得到双曲线的焦点三角形面积公式为$S=\frac{1}{2}ab$。
通过这个公式，我们可以简单地计算出双曲线的焦点三角形的面积，而不需要进行繁琐的几何证明和计算过程。
然而，这只是一个简单的推导过程。
如果我们要更深入地理解双曲线的焦点三角形面积公式，我们需要对双曲线的性质和相关定理进行更深入的研究和探讨。
我们可以结合双曲线的参数方程和极坐标方程来推导公式，或者利用双曲线的曲率和弧长来进行推导，这些都将有助于我们对双曲线的焦点三角形面积更深入地理解。
在总结回顾本文的内容时，我们可以看到，双曲线的焦点三角形面积公式是通过数学推导和几何性质相结合得到的。
双曲线的简单几何性质(二)
当直线与双曲线的渐进线平行时 , 把直 线方程代入双曲线方程 , 得到的是一次方程 , 根本得不到一元二次方程 , 当然也就没有所 谓的判别式了 。
结论：判别式依然可以判断直线与双曲线的 位置关系 ！
判断直线与双曲线位置关系的操作程序 把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程
直线与双曲线的 渐进线平行
相切
[2] l : y 4 x 1 , c : x2 y2 1 相 交
3
9 16
试一下:判别式情况如何?
一般情况的研究
显然,这条直线与双曲线的渐进线是平行的, 也就是相交.把直线方程代入双曲线方程,看 看判别式如何?
l : y b x m ,c: x2 y2 1
a
a2 b2
根本就没有判别式 !
Δ>0
直线与双曲线相交（两个交点）
Δ=0
直线与双曲线相切
Δ<0
直线与双曲线相离
注:
①相交两点:
△＞0
直线与双曲线只
同侧：x1 x2＞0 异侧: x1 x2 ＜0 相交一点: 直线与渐进线平行
有一个交点是直 线与双曲线相切 的必要不充分 条 件！
②相切一点: △=0
特别注意直线与双 曲线的位置关系中：
③相 离: △＜0
一解不一定相切， 相交不一定两解， 两解不一定同支。
判断下列直线与双曲线的位置关系：
[1] l : y 4 x 1,c : x2 y2 1; 相交(一个交点)
5
25 16
[2] l : y 5 x 1,c : x2 y2 1. 相离
4
25 16
题型一：直线与双曲线的位置关系
为三角形的三边。解决与这个三角形有关的问题，要充分 利用双曲线的定义和三角形的边角关系、正弦定理、余弦 定理。
双曲线知识点归纳
高考双曲线知识点归纳2．双曲线的标准方程及其几何性质3.等轴双曲线：实轴长与虚轴长相等的双曲线，其标准方程为()220x y λλ-=≠，离心率为，渐近线方程为y x =±（互相垂直）4.共轭双曲线：双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的共轭双曲线是22221(0,0)y x a b b a-=>>，性质如下：⑴双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线；⑵双曲线与它的共轭双曲线有相同的焦距，四焦点共圆； ⑶双曲线与它的共轭双曲线离心率分别为12,e e ,则有2212111e e +=和12e e +≥. 5.双曲线系:,a y a x R ≤-≥∈或(0,)a ±⑴与双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>共渐近线的双曲线系方程为2222(0,00)x y a b a bλλ-=>>≠，,它们的渐近线为22220(0,0)x y a b a b -=>> ⑵与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>共焦点的双曲线系方程为222221(0,0,)x y a b k a a k b k-=>>>-+- 6.点与双曲线的位置关系⑴点P ()00,x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>内2200221(0,0)x y a b a b ⇔->>>⑵点P ()00,x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上2200221(0,0)x y a b a b⇔-=>>⑶点P ()00,x y 在双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>外2200221(0,0)x y a b a b⇔-<>>7.直线与双曲线的位置关系可将双曲线方程与直线方程联立方程组消元后产生关于X （或Y ）的一元二次(或一元一次)方程的解来判定。
双曲线的简单几何性质(基础知识+基本题型)(含解析)2021-2022学年高二数学上学期
3.2.2双曲线的简单几何性质（基础知识+基本题型）知识点一 双曲线的性质根据双曲线的标准方程22221(0,0)x y a b a b-=>>研究它的几何性质．1．范围,x a y R ≥∈，即,x a x a y R ≥≤-∈或．双曲线位于两条直线x a =±的外侧．讨论双曲线的范围就是确定方程中变量,x y 的范围，由不等式222211x y a b =+≥，得||x a ≥，由222211y x b a--≥-，得y R ∈. 提示双曲线在直线x a =与x a =-之间没有图象，当x 无限增大时，y 也无限增大，所以双曲线是无限伸展的，不像椭圆那样是封闭的.2．对称性双曲线的图象关于x 轴、y 轴成轴对称，关于原点成中心对称，我们把x 轴、y 轴叫做双曲线的对称轴，原点(0,0)O 叫做双曲线的对称中心，简称中心. 提示（1）把双曲线标准方程中的x 换成x -，方程并没有发生变化，说明当点(,)P x y 在双曲线上时，它关于y 轴的对称点1(,)P x y -也在双曲线上，所以双曲线的图象关于y 轴成轴对称.（2）同理，把双曲线标准方程中的y 换成y -，可以说明双曲线的图象关于关于x 轴成轴对称；把双曲线标准方程中的x 换成x -，y 换成y -，可以说明双曲线的图象关于原点成中心对称. （3）如果曲线具有三种对称性的其中两种，那么它就具有另一种对称性.（4）对于任意一个双曲线而言，对称轴是两个焦点的连线所在直线及其垂直平分线，且双曲线的中心是双曲线的对称中心.3．顶点与实轴、虚轴如图所示．（1）双曲线和其对称轴的交点叫做双曲线的顶点，双曲线的顶点为1(,0)A a -，2(,0)A a . （2）线段12A A 叫做双曲线的实轴，线段12B B 叫做双曲线的虚轴.（3）实轴长122A A a =，虚轴长122B B b =，,a b 分别为双曲线的半实轴长和半虚轴长.拓展双曲线中,,a b c 的几何意义及特征三角形：（1）当双曲线焦点在x 轴上时，a 是半实轴长，b 是半虚轴长，且222c a b =+，所以以,,a b c 为三边长可构成直角三角形，如图2.3-10所示，其中22Rt OA B ∆称为双曲线的特征三角形，双曲线的焦点永远在实轴上.（2）当双曲线的焦点在y 轴上时，可得类似的结论.4．渐近线（1）渐近线画法：经过点1(,0)A a -，2(,0)A a 作y 轴的平行线x a =±，经过点1(0,)B b -，2(0,)B b 作x轴的平行线y b =±，四条直线围成一个矩形，矩形 两条对角线，这两条对角线所在的直线即为双曲线的渐近线.双曲线22221x y a b-=的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近.（2）渐近线方程：by x a =±.拓展（1）双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为b y x a =±，双曲线22221y x a b -=的渐近线方程为ay x b=±，两者容易混淆，可先将双曲线方程中的“1”换成“0”，再因式分解即可得渐近线方程，这样就不容易记错了.（2）双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交.（3）与双曲线22221x y a b -=共渐近线的双曲线方程可设为2222(0)x y a b λλ-=≠；与双曲线22221x y a b-=共焦点的双曲线方程可设为2222221()x y b a a b λλλ-=-<<-+.5．离心率（1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，定义式c e e a =⇒（2）范围：1e >.由等式222c a b =+，得b a ==e 越大，b a 也越大，即渐近线b y xa=±的斜率的绝对值越大，这时双曲线的形状就越陡，由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔. 提示因为c e a =，c ，所以e =，b a222(1)b a e =-，在,,,a b c e 四个参数中，只要知道其中两个，就可以求出另两个，关键要熟悉它们之间的关系. 知识点二 等轴双曲线与共轭双曲线1.实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，等轴双曲线有如下性质：（1）方程形式为22(0)x y λλ-=≠；（2）渐近线方程为y x =±，它们互相垂直，并平分双曲线实轴和虚轴所成的角；（3.2. 以双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，与原双曲线是一对共轭双曲线.例如，双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>与22221(0,0)y x a b b a -=>>是一对共轭双曲线，其性质如下： （1）双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线； （2）双曲线与它的共轭双曲线有相同的焦距. 知识点三 直线与双曲线的位置关系 1. 直线与双曲线有三种位置关系：（1）无公共点，此时直线有可能为双曲线的渐近线.（2）有一个公共点，分两种情况：①直线是双曲线的切线，特别地，直线过双曲线一个顶点，且垂直于实轴；②直线与双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的一支有一个公共点. （3）有两个公共点，可能都在双曲线一支上，也可能两支上各有一个点.2. 当直线与双曲线相交时，先联立直线方程与双曲线方程可求得两个交点的坐标，从而根据距离公式求出弦长，再结合双曲线的定义，还可以求解焦点三角形的周长等.3. 当直线与双曲线相交时，涉及中点问题，可首先设出直线与双曲线两交点的坐标，然后分别代入双曲线方程，最后作差，即得中点坐标与该直线的斜率的关系式.考点一由方程求双曲线的几何性质例 1 求双曲线22494y x-=-的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程，并画出该双曲线的草图.解：将双曲线化为221 419x y-=，可知半实轴长4293a=，半虚轴长1b=，于是有2241319c a b=+=+=，所以焦点坐标为13(，离心率为13cea==渐近线方程为by xa=±，即32y x=±.为画出双曲线的草图，首先在平面直角坐标系中画出渐近线32y x =±，且顶点坐标为2(,0)3±，然后算出双曲线在第一象限内一点的坐标，如取1y=，算出230.94x=≈.由题意，知点(0.94,1)±在双曲线上，将三点(0.94,1)-，2(,0)3，(0.94,1)依次连成光滑曲线并让它逐步接近渐近线，画出第一、第四象限内双曲线的一支，最后由对称性可画出双曲线位于第二、三象限内的另一支，得双曲线的草图如图所示.已知双曲线的方程讨论其几何性质时，需先看所给方程是否为标准方程，若不是，需先把方程化为标准方程，这样便于直观写出,a b的值，进而求出c的值及双曲线的焦点坐标、顶点坐标、离心率与渐近线方程.考点二由双曲线的几何性质求标准方程例2求满足下列条件的双曲线的标准方程：（1）一个焦点为(0,13)，且离心率为135；（2）渐近线方程为12y x=±，且经过点(2,3)A- .解：（1）由题意，知双曲线的焦点在y 轴上，且13c =，由于135c a =，所以5a =，12b =. 故所求双曲线的标准方程为22125144y x -=.（2）因为双曲线的渐近线方程为12y x =±，若焦点在x 轴上，设所求双曲线标准方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，则12b a =.（Ⅰ）因为点(2,3)A -在双曲线上，所以22491a b -=. （Ⅱ） 联立（Ⅰ）（Ⅱ），无解.若焦点在y 轴上，设所求双曲线标准方程为22221(0,0)y x a b a b -=>>，则12a b =.（Ⅲ）因为点(2,3)A -在双曲线上，所以22941a b -=. （Ⅳ） 联立（Ⅲ）（Ⅳ），解得228,32a b ==. 故所求双曲线的标准方程为221832y x -=.当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应分类讨论.为了避免讨论，也可设双曲线方程为221(0)mx ny mn -=>，从而直接求得.若已知双曲线的渐近线方程为by x a =±，则可设方程为2222(0)x y a b λλ-=≠，避免讨论焦点的位置. 考点三 双曲线的离心率1．求离心率的值例3 已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点，PQ 是经过1F 且垂直与x 轴的双曲线的弦，如果0290PF Q ∠=,求双曲线的离心率.解：设1(,0)F c ，将x c =代入双曲线方程，得22221c y a b -=，所以2b y a =±.由22PF QF =,0290PF Q ∠=,知112PF F F =,所以22b c a =，22b ac =，所以2220c ac a --=.即2210e e --=，解得1e =+1e =.故所求双曲线的离心率为1求双曲线离心率的常用方法（1）依据条件求出,a c ，计算c e a=； （2）依据条件建立关于,,a b c 的关系式，一种方法是消去b 转化为关于e 的方程求解；另一种方法是消去c 转化为含b a 的方程，求出ba后利用221b e a =+求解.例4 设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距长为2c ，直线l 过点(,0)A a ，(0,)B b 两点，已知原点到直线l的距离为34c ，则双曲线的离心率为 . 解析：如图所示，在△OAB 中，OA a =，OB b =，34OE c =，22AB a b c =+=.因为AB OE OA OB ⋅=⋅, 所以3c ab =223)a b ab +=，两边同除以2a 233()0b b a a -=， 解得3ba=3b a =所以212c b e a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭.答案：2223)a b ab +=，此方程可称为关于,a b 的齐次方程，转化为以ba为变量的一元二次方程是求解的关键.2．求离心率的范围例5 双曲线22221(1,0)x y a b a b-=>>的焦距为2c ，直线l 过点(,0)a ，(0,)b 两点，且点(1,0)到直线l 的距离与点(1,0)-到直线l 的距离之和45s c ≥，求双曲线的离心率e 的取值范围.解：由题意，知直线l 的方程为1x ya b +=，即0bx ay ab +-=. 因为点(1,0)到直线l 的距离122d a b =+，点(1,0)-到直线l 的距离222d a b =+，所以122abs d d c=+=. 由45s c ≥，得2ab c 45c ≥，即252c .于是得22e ，即22425250e e -+≤.解得2554e ≤≤.因为1e >，所以e的取值范围是. 求双曲线离心率的范围时，要根据题意挖掘题中隐含的不等关系，构造不等式，从而求出双曲线的离心率的取值范围.例6 双曲线222:1(0)x C y a a-=>与直线:1l x y +=相交于两个不同的点,A B ，则双曲线的离心率e 的取值范围是 .解：由22211x y a x y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，消去y ，得到2222(1)220a x a x a -+-=，由题意知，24221048(1)0a a a a ⎧-≠⎪⎨+->⎪⎩，解得(0,1)(1,2)a ∈.所以c e a ===，所以(2,)e ∈+∞.答案：(2,)+∞ .利用一元二次方程根的判别式构建不等关系是一种常用的方法，另外也可利用基本不等式构建不等关系，线性规划中的区域符号也可构建不等关系. 考点四 直线与双曲线的位置关系例7 已知双曲线22:1C x y -=及直线:1l y kx =-.若直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，求实数则k 的取值范围.解：由2211x y y kx ⎧-=⎪⎨=-⎪⎩，消去y ，得到22(1)220k x kx -+-=，由题意，知2221048(1)0k k k ⎧-≠⎪⎨+->⎪⎩，解得k <，且1k ≠±. 故实数k 的取值范围是(1)(1,1)(1,2)--.直线与双曲线交点问题，常利用直线方程与双曲线方程构成的方程组求解.。
1、 双曲线的定义、标准方程、几何性质
1、双曲线的定义、标准方程、几何性质学习目标1、 理解掌握双曲线的概念、标准方程、几何性质2、 掌握双曲线的标准方程的求法3、 掌握利用双曲线几何解有关问题，特别是离心率的有关问题的解法 3、掌握综合题的解法重点： 双曲线的概念、几何性质 难点： 综合题的解法 知识梳理1．双曲线定义：在平面内，到两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)a PF PF 221=-（a 为常数c a <<0）的点的轨迹叫做双曲线．⑴若2a ＜21F F ，则动点P 的轨迹是双曲线．⑵若2a =21F F ，则动点P 的轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线（在直线F 1，F 2上）． ⑶若2a ＞21F F ，则动点P 无轨迹．(1) 渐近线方程是x aby ±= ① 双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>渐近线方程：令02222=-by a x )0,0(>>b a ，即x a b y ±=; ② 渐近线是02222=-b y a x (或x aby ±=⇔0=±b y a x )的双曲线设为λ=-2222b y a x ．(λ≠0),k 是待定系数． ③（焦渐距）焦点到渐近线的距离恒为b ．(2) 等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线． 定义式：a b =．注：①等轴双曲线的渐近线方程为：x y ±= ．②渐近线互相垂直． ③等轴双曲线可设为：)0(22≠=-λλy x ．（0>λ时焦点在x 轴，0<λ时焦点在y 轴上）(3) 离心率是22221ab ac a c e +=== （1>e ）e 越大开口越开阔；e 越小，开口越扁狭．4．双曲线系方程(1) 双曲线12222=-b y a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+λλb y a x （22b a <<-λ） (2) 双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程可设为λ=-2222b y a x )0(≠λ．（当0>λ时焦点在x 轴，当0<λ时焦点在y 轴上）．分类例析一、 定义 基础练习1已知两个定点1(4,0)F -,2(4,0)F ,(1)若动点P 到12,F F 的距离的差的绝对值等于6,则点P 的轨迹方程是 ;(2)若动点P 到12,F F 的距离的差的绝对值等于8,则点P 的轨迹方程是 ;(3)动点P 到12,F F 的距离的差的绝对值等于10, 则点P 的轨迹方程是 ;例1、已知双曲线116922=-y x 的右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线上的左支上且3221=PF PF ，求：（1）21PF F ∠的大小． （2）12PF F △的面积（3）若|PF 1|=9，求|PF 2|的值归纳：（1）巧妙地将双曲线的定义应用于解题当中，使问题得以简单化．（2）题目的“点P 在双曲线的左支上”这个条件非常关键，应引起我们的重视，若将这一条件改为“点P 在双曲线上”结论如何改变呢？请读者试探索． （3）焦点三角形PF 1F 2的面积是b 2 cot2α(α=21PF F ∠)； （4）变式题：若21PF F ∠是钝角时，求x 范围变式练习11（2020新课标1文11）设12,F F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且||2OP =，则12PF F △的面积为A ．72B ．3C ．52D ．22（2020新课标3理11）设双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2．P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a = A ．1B ．2C ．4D ．83（2019新课标3文）10．已知F 是双曲线C ：22145x y -=的一个焦点，点P 在C 上，O为坐标原点，若=OP OF ，则OPF △的面积为（ ）A ．32B ．52 C ．72 D ．924（2019新课标3理）10．双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐进线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为A B C ． D ．5（2020新课标2文理9）设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线C ：2222x 1y a b-=（a>0,b>0）的两条渐近线分别交于D ，E 两点，若ODE ∆的面积为8，则C 的焦距的最小值为 A ．4 B ．8 C ．16 D ．326（2018新课标1理）11．已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |=A ．32B ．3C ．D ．47（2017新课标1文）5．已知F 是双曲线C ：x 2-23y =1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3).则△APF 的面积为 A ．13B ．1 2C ．2 3D ．3 28、P 是双曲线1366422=-y x 上一点，1F 、2F 是双曲线的两个焦点，且171=PF ，则2PF 的值是 ;二、 标准方程例2．（1）已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线上两点12,P P 坐标分别为9(3,2),(,5)4-，求双曲线的标准方程。
双曲线课件-2025届高三数学一轮复习
｜PF1｜－｜PF2｜＝±2 a ＝±6，又｜PF 1｜＝5，则｜PF 2｜＝11.
6.
2
2
已知双曲线 C ： 2 － 2 ＝1( a ＞0， b ＞0)的焦距为4
线 C 的渐近线方程为
3 ，实轴长为4 2 ，则双曲
2 x ± y ＝0 .
[解析] 由题意知，2 c ＝4 3 ，2 a ＝4 2 ，则 b ＝ 2 − 2 ＝2，所以 C 的渐近线
C.
2 2
2
双曲线 － ＝1的渐近线方程是y＝± x
9
4
3
D. 等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2
2. [浙江高考]渐近线方程为 x ± y ＝0的双曲线的离心率是(
A.
2
2
B. 1
C. 2
C )
D. 2
[解析] 因为双曲线的渐近线方程为 x ± y ＝0，所以无论双曲线的焦点在 x 轴上还是
轴上.又离心率 e ＝
2 ，所以 ＝
2 ，所以 a ＝ 2 ，则 b 2＝ c 2－ a 2＝2，所以双曲
2
2
线 C 的标准方程为 － ＝1.
2
2
解法二
因为双曲线 C 的离心率 e ＝ 2 ，所以该双曲线为等轴双曲线，即 a ＝ b .又
双曲线 C 的焦点为(－2，0)和(2，0)，所以 c ＝2，且焦点在 x 轴上，所以 a 2＋ b 2＝
1
以｜ PF 1｜·｜ PF 2｜＝8，所以 △ ＝ ｜ PF 1｜·｜ PF 2｜·sin
2
1 2
解法二
60°＝2 3 .
2
2
由题意可得双曲线 C 的标准方程为 － ＝1，所以可得 b 2＝2，由双曲
双曲线焦点三角形内切圆的性质及应用
2020年第11期中学数学研究・31・；1.即证9 )〉^ + 0.艮卩证 9 ； ( a +")・1(14) •设函数 G ( / =9-( !+0)(#)(0;;1).即证 G (/ <0.因为 G (/ 二丄-(!+0):=/ (1+0)(V"/4)<0.所以h (/在(0,1 )上为增函+0 ) 2数.因此,h （/ <h （1） =0.命题得证.问题 是不同的设问方式，但是本质没有变，因此处理的方法是一样的，要么是直接 :某个新函数，要么分离变量或之后 新的函数，的新函数的 性得到想要的不.双曲线焦点三角形内切圆的性质及应用江西师范大学附属中学（330027） 陈选明在线的考查中，焦点三角形是考查椭圆线第一 的良好载体•焦点三角 合，这样的 题难度一定不会小，往往还涉及中位线、角线、中线、相似 面几何的知识.双线焦点三角形的 ，在 中鲜有涉及，但在模 题中屡见不鲜•本文就 线焦点三角形的的相关性质的推理与变式引申做一的顶点；且当"点在双曲线左支时，切点为左顶点, 当"点在 线右支时，切点为右顶点.兀0证明：由圆的切线长相等，即AF = "+，-F = -；，F 2 + = F 2E.结合双曲线的定义AF 1 -AF 2 =2& =F 1E - F 2 E ，因为 2 c = F 1E + F 2 E ，f F 1E 二& + c ，F 2 E = c — &.延伸椭圆的焦点三角形$F ] PF 2的旁心与% 轴相切于顶点.例1 （2020年重庆市高考模拟第12题）如图 2,双曲线％ -*2 = 1 （&〉0,'〉0）的左、右焦点分别为& bF 1 ,F 2，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲 线于点A ,若F.的内切圆半径为彳，则双曲线的)离心率为（2•攀5弓诸7普解法一：设"2 =2( 2 >0 ), )"2 F 1 =#,则 tan# 二 2,于是 os. = -&-, sin# 二 2,设"(%0 ,*0 ),则&=c - 2COS0 = c - -&2, *0 = - 2sin # =-^2.即&(c 一 ——m ,c (_—2)C( & 、2' (C -—2)—2 ),代入双曲线 2------&=1,解得 2 = 2& 所以 1*= 2sin # =2&(,由等面积知1・2c •丨*。
双曲线焦点三角形的几何性质
双曲线焦点三角形的几何性质Revised as of 23 November 2020双曲线焦点三角形的几个性质 在椭圆中，焦点三角形中蕴含着很多性质，这些性质都可以类比到双曲线焦点三角形中：设若双曲线方程为12222=-by a x ,21,F F 分别为它的左右焦点，P 为双曲线上任意一点，则有：性质1、若θ=∠21PF F 则2cot 221θb S PF F =∆特别地，当 9021=∠PF F 时，有221b S PF F =∆性质2、焦点三角形21F PF 在P ∠处的内角平分线，过2F 作平分线的垂线，设垂足为Q ，则Q 点的轨迹是性质3、以21,r r 为直径做一个圆与大圆（以21A A 为直径的圆）相切。
性质4、双曲线焦点三角形的内切圆与21,F F 相切于实轴顶点；且当P 点在双曲线左支时，切点为左顶点，且当P 点在双曲线右支时，切点为右顶点。
证明：设双曲线12222=-by a x 的焦点三角形的内切圆且三边21F F ，1PF ，2PF 于点A,B,C ，双曲线的两个顶点为21,A A||||||||||||||||||212121AF AF BF CF PF PF -=-=-a AF AF a PF PF 2||||||,2||||||2121=-∴=-所以A 点在双曲线上，又因为A 在21F F 上，A 是双曲线与x 轴的交点即点21,A A性质5、在双曲线中A ，B 在双曲线上且关于原点对称，P 为椭圆上任意一点，则22ba k k PB PA = 性质6、P 点在x=c 上移动的过程当中，张角APB ∠的取值范围（A ，B 为两顶点）。
]arctan ,0[ba 性质7、双曲线离心率为e ，其焦点三角形21F PF 的旁心为A ，线段PA 的延长线交21F F 的延长线于点B ，则e AP BA =|||| 证明：由角平分线性质得e a c P F P F B F B F P F B F P F B F AP BA ==--===22||||||||||||||||||||21212211 性质8、双曲线的焦点三角形21F PF 中，βα=∠=∠1221,F PF F PF当点P 在双曲线右支上时，有112cot 2tan +-=e e βα 当点P 在双曲线左支上时，有112tan 2cot +-=e e βα。
双曲线标准方程及几何性质
y M
F1 O
F2 x
双曲线与椭圆之间的区别与联系
定义 方程
焦点
椭圆
双曲线
|MF1|+|MF2|=2a
||MF1|－|MF2||=2a
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0)
y2 a2
x2 b2
1(a
0, b
0)
F（±c，0） F（0，±c）
AM值A,B,BmM点相)；交于点M,且它们的斜率之积是 9, 试 求点M的轨迹方程。
2A.(双a,曲0)和线B(ax-a22,0),bPy2Q2 是 1双a曲线0的, b一条0垂的直实于轴实两轴顶的点弦。
直线AP与BQ交于M，求M的轨迹方程。
思考：若为椭圆呢？
y
P
M
BoA
x
Q
二、利用双曲线的定义求轨迹方程
∴方程的曲线为焦点在y轴上的双曲线。 故 选（B）
跟踪练习
1规(.123方)律圆椭双程：：圆曲方A： 线3 =y程A：B2m>>A00B,B<m>00x，,2A1再≠根B1，据表，再A示讨,根B曲论的据线方正A的程,负B条的表判件大示断：小的焦判点断的 曲焦位线点置是的。什位么置？。
x2 y2 1 AB
a2 b2
y
(4)等轴双曲线：
x2 a2
y2 a2
（1 或x2
y2
,
0)
①e 2
② 0 时，开口左右； 0 时，开口上下；
③ 所有等轴双曲线渐近线都是: y x
(完整版)双曲线经典知识点总结
双曲线知识点总结班级姓名知识点一：双曲线的定义在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.注意：1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；5．若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。
知识点二：双曲线的标准方程1．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；2．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中.注意：1．只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程；2．在双曲线的两种标准方程中，都有；3．双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，；当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，.知识点三：双曲线的简单几何性质双曲线（a＞0，b＞0）的简单几何性质（1）对称性：对于双曲线标准方程（a＞0，b＞0），把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，方程都不变，所以双曲线（a＞0，b ＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。
（2）范围：双曲线上所有的点都在两条平行直线x=―a和x=a的两侧，是无限延伸的。
因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a或x≥a。
（3）顶点：①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。
②双曲线（a＞0，b＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A1（―a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。
双曲线中常考的十六条焦点性质及其证明
双曲线中常考的十六条焦点性质及其证明（一）双曲线的焦点到一条渐近线的距离等于虚半轴长证法一（坐标法）：设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>焦点为(,0)F c ，一条渐近线为:bl y x a=即0bx ay -=， (,0)F c 到l 的距离为22|0|.bc a bcd b ca b -⨯===+证法二（几何法）：过实轴端点A 作实轴垂线AD 交渐近线于点D ， 则bDA a b a=⨯=，又22OD a b c OF =+==，所以(,0)F c 到l 的距离FH DA b ==。
（等腰三角形两腰上的高相等）（二）双曲线中，PT 平分焦点△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点.证明：延长F 1H 到M ，交PF 2于M ，则1PM PF =， 又12||||2PF PF a -=，∴2||2F M a = 又H 、O 为MF 1、F 1F 2中点， ∴OH21||2F M OH a ⇒= ∴ H 点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点.（三）设A 1、A 2为双曲线的左、右顶点，则△PF 1F 2的内切圆，必与A 1A 2所在的直线切于A 2（或A 1）.证明：设12A A 切X 轴于点'A ，与1PF 切于M ，PF 2切于N∵1212||||2||||||||2PF PF a PM MF PN NF a -=⇔+--= ∵|PM|=|PN|,|MF 1|,|NF 2|=2|'|A F ∴12|'||'|2F A A F a -= 又12|'||'|2F A A F c +=∴222|'|||A F c a A F =-=，∴'A 2与A 重合.注：可知，圆心在直线x a =或直线x a =-上.（四）双曲线焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以双曲线实轴为直径的圆相外切(或内切).证明：以焦半径MF 2为直径的圆的半径为r 1，圆心为O 1；以MF 1为直径的圆的半径为r 2，圆心为O 2， 由双曲线定义知12||||||MF MF AB =+∴112111||||(||||)22OO F M MF AB r a ==+=+，∴圆O 1与圆O 外切 又 12||||||MF AB MF -=∴221211||||(||||)22OO F M MF AB r a ==-=-，∴圆O 2与圆O 内切（五）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交双曲线于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b+=. 证明：设交点0012(,),(,),(,)S x y P m n P m n -∵111P A A S K K = ，222P A P S K K =，∴0220000222200000y nm a x a y y y n n n y m a m a x a x a a m x a n m a x a⎧=⎪++-⎪⇒⋅=⋅⇒=⎨+-+----⎪=⎪--⎩ 又222222222222211m n n m n b a b b a a m a-=⇒=-⇒=--， ∴22220002222201y x y b x a a a b =-⇒+=- 即22221x y a b+=（六）若000(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=.证明：求导可得：202220220'x b x y y y a b y a '⋅-=⇒=，切线方程2000002220()1x b x x y y y y x x y a a b-=-⇒-=（七）若000(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>外 ，则过P 0作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=. 证明：设111222(,),(,)P x y P x y ，则过12PP 切线分别为11122:1x x y yl a b-=，22222:1x x y yl a b-= ∵0P 在12l l 、上 ∴1010221x x y y a b +=，2020221x x y y a b+=∴过12PP 方程00221x x y y a b-=（八）AB 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=.证明：设(,),(,)A A B B A x y B x y ，则()22A B A Bx x y y M ++⋅， 2222A B A B A BOM ABA B A B A By y y y y y K K x x x x x x +--=⋅=+-- 又22222222222222A b A AB B A Bx x x y x y y y a b a b a b ---=-⇒=， ∴22OM ABb K K a=（九）若000(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>内，则过P 0的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b-=-.证明：设弦与双曲线交于111222(,),(,)P x y P x y ，中点(,)S m n122222220112212222222012()()P P POS n y x y x y x x b mb K K m x a b a b y y a na -+-=-⇒====-+ 22222200m b mb x n a na y ⇒-=-22002222x m y ym n a b a b⇒+=-，即22002222x x y yx y a b a b-=-。
双曲线的几何性质课件
双曲线的
标准方程
为
：
x^2/a^2 -
y^2/b^2 =
1
a和b是双 曲线的半 轴长， a>b
双曲线的
标准方程
可以表示
为
：
x^2/a^2 -
y^2/b^2 =
1
双曲线的
标准方程
可以表示
为
：
x^2/a^2 -
y^2/b^2 =
1
双曲线的
双曲线关于x轴对称
双曲线关于原点对称
添加标题
添加标题
双曲线关于y轴对称
添加标题
添加标题
双曲线关于直线y=x对称
顶点：双曲线有两个顶点，分 别位于x轴和y轴上
中心：双曲线的中心位于顶点 连线的中点
顶点坐标：顶点的坐标可以通 过双曲线的方程求解得到
中心坐标：中心的坐标可以通 过顶点的坐标和双曲线的方程 求解得到
双曲线的离心率与焦点距离成反比 离心率越大，焦点距离越短 离心率越小，焦点距离越长 双曲线的离心率决定了焦点距离的大小
离心率：双曲线 的离心率是双曲 线的性质之一， 决定了双曲线的 形状和位置
开口大小：双曲 线的开口大小是 指双曲线的两个 焦点之间的距离， 与离心率有关
关系：双曲线的 离心率越大，开 口越小；离心率 越小，开口越大
双曲线的渐近 线与直线的交 点称为渐近线 与直线的交点
渐近线与直线 的交点性质是 双曲线的几何
性质之一
渐近线与直线 的交点性质决 定了双曲线的
形状和位置
渐近线与直线 的交点性质是 双曲线的重要
特征之一
确定双曲线的渐近线方程 计算渐近线与直线的交点坐标 判断交点是否在双曲线上 应用交点坐标求解双曲线的参数
椭圆双曲线知识点总结
椭圆知识点【知识点1】椭圆的概念:在平面内到两定点F 1、F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．当动点设为M 时，椭圆即为点集P ={}12|2M MF MF a +=【知识点2】椭圆的标准方程焦点在x 轴上椭圆的标准方程:()222210x ya b a b+= >>，焦点坐标为（c ，0)，（-c ，0) 焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为：()222210x y a b b a+= >>焦点坐标为（0，c ，）(o ，-c )【知识点3】椭圆的几何性质:规律:(1)椭圆焦点位置与x 2，y 2系数间的关系：焦点在分母大的那个轴上.(2)椭圆上任意一点M 到焦点F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c .(3)在椭圆中，离心率22222221a b a b a a c a c e -=-===(4)椭圆的离心率e 越接近１椭圆越扁；e 越接近于０，椭圆就接近于圆；【知识点4】椭圆中的焦点三角形:定 义:∣PF 1∣+∣PF 2∣＝2a ∣F 1F 2∣＝2c余弦定理:∣F 1F 2∣2=∣PF 1∣2+∣PF 2∣2-2∣PF 1∣∣PF 2∣cosθ(∠F 1PF 2=θ)面积公式:在椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是椭圆上任意一点，θ=∠21PF F ，则2tan 221θb S PF F =∆【知识点5】点(x 0,y 0)与椭圆22221x y a b+=(a >b >0)的位置关系:点P 在椭圆上⇔2200221x y a b+=点P 在椭圆内部⇔2200221x y a b +< 点P 在椭圆外部⇔2200221x y a b+>【知识点6】直线与椭圆位置关系的判断：① 直线斜率存在时221y kx bmx ny =+⎧⎨+=⎩⇒222()210m k n x kbnx b +++-=直线与椭圆相交0>∆⇔ 直线与椭圆相切0=∆⇔ 直线与椭圆相离0<∆⇔② 直线斜率不存在时22221x m x y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩判断y 有几个解标准方程()222210x y a b a b += >> ()222210x y a b b a+= >> 图形性质范围 a x a -≤≤b y b -≤≤对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点顶点A 1(－a,0)， A 2(a,0)B 1(0，－b )，B 2(0，b )A 1(0，－a )，A 2(0，a )B 1(－b,0)，B 2(b,0)轴 长轴A 1A 2的长为2a ；短轴B 1B 2的长为2b焦距 ∣F 1F 2 |=2c离心率 e=ca∈(0,1) a ，b ，c 的关系c 2＝a 2－b 2双曲线知识点【知识点1】双曲线的概念:在平面内到两定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫双曲线．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．当动点设为M 时，椭圆即为点集P ={}12|2M MF MF a -=【知识点2】双曲线的标准方程焦点在x 轴上双曲线的标准方程: ()222210,0x y a b a b-= >>，焦点坐标为（c ，0)，（-c ，0)焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为：()222210,0y x a b b a-= >>焦点坐标为（0，c ，）(o ，-c )【知识点3】双曲线的几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) 图 形性 质范 围 x ≥a 或x ≤－a ，y ∈Rx ∈R ，y ≤－a 或y ≥a对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点顶点A 1(－a,0)，A 2(a,0) A 1(0，－a )，A 2(0，a )渐近线y ＝±b a x y ＝±a b x离心率e ＝ca，e ∈(1，＋∞)，其中c ＝a 2＋b 2 实虚轴 线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长a 、b 、c 的关系 c 2＝a 2＋b 2(c ＞a ＞0，c ＞b ＞0)规律:1.双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．2.区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a ，b ，c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.(2)双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e ∈(0,1)． (3)在双曲线中，离心率22222221c c a b be a a a a+====+ (4)双曲线的离心率e 越接近大,开口越阔.【知识点4】双曲线中的焦点三角形:定 义:∣PF 1∣-∣PF 2∣＝±2a ∣F 1F 2∣＝2c余弦定理:∣F 1F 2∣2=∣PF 1∣2+∣PF 2∣2-2∣PF 1∣∣PF 2∣cosθ(∠F 1PF 2=θ)面积公式:在双曲线12222=+by a x （a ＞b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是双曲线上任意一点，θ=∠21PF F ，则122tan2F PF b S θ∆=【知识点5】直线与双曲线的位置关系的判断：设直线)0(:≠+=m m kx y l ，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 联立解得02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b（1）若0222=-k a b 即a bk ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； （2）若0222≠-k a b 即ab k ±≠时，))((4)2(222222222b a m a k a b mk a -----=∆①0>∆⇒直线与双曲线相交，有两个交点； ②0=∆⇒直线与双曲线相切，有一个交点； ③0<∆⇒直线与双曲线相离，无交点；【知识点6】弦长公式:│AB │=2221212121||1()4k x x k x x x x +⋅-=+⋅+-⋅21ka∆=+， 12211AB y y k ==+-211k a∆=+ （其中k 为直线斜率） 【知识点7】中点弦问题（点差法）：遇到弦中点，两式减一减。
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双曲线焦点三角形的几个性质
在椭圆中，焦点三角形中蕴含着很多性质，这些性质都可以类比到双曲线焦点三角形中：设若双曲线方程为122
22=-b
y a x ,21,F F 分别为它的左右焦点，P 为双曲线上任意一点，则有：
性质1、若θ=∠21PF F 则2cot 221θb S PF F =∆特别地，当ο9021=∠PF F 时，有221b S PF F =∆ 性质2、焦点三角形21F PF 在P ∠处的内角平分线，过2F 作平分线的垂线，设垂足为Q ，则Q 点的轨迹是？
性质3、以21,r r 为直径做一个圆与大圆（以21A A 为直径的圆）相切。
性质4、双曲线焦点三角形的内切圆与21,F F 相切于实轴顶点；且当P 点在双曲线左支时，切点为左顶点，且当P 点在双曲线右支时，切点为右顶点。
证明：设双曲线122
22=-b
y a x 的焦点三角形的内切圆且三边21F F ，1PF ，2PF 于点A,B,C ，双曲线的两个顶点为21,A A
所以A 点在双曲线上，又因为A 在21F F 上，A 是双曲线与x 轴的交点即点21,A A
性质5、在双曲线中A ，B 在双曲线上且关于原点对称，P 为椭圆上任意一点，则22b
a k k PB PA = 性质6、P 点在x=c 上移动的过程当中，张角APB ∠的取值范围（A ，B 为两顶点）。
]arctan ,0[b
a 性质7、双曲线离心率为e ，其焦点三角形21F PF 的旁心为A ，线段PA 的延长线交21F F 的延长线于点B ，则e AP BA =|
||| 证明：由角平分线性质得
e a c P F P F B F B F P F B F P F B F AP BA ==--===22||||||||||||||||||||21212211 性质8、双曲线的焦点三角形21F PF 中，βα=∠=∠1221,F PF F PF
当点P 在双曲线右支上时，有1
12cot 2tan +-=e e βα 当点P 在双曲线左支上时，有112tan 2cot +-=e e βα。