自控原理习题解答第五章

4
2
4 分离点
ss 4s 2 2s 2 k 0
s 4 6s 3 10s 2 8s k 0
k s 4 6s 3 10s 2 8s k
dk 4s 3 18s 2 20s 8 0
ds
s 2 1 . 5s 0 . 5 s 3 s 3 4 . 5s 2 5s 2
2 实轴上的根轨迹： 0, 4
3n m 4, 渐近线的倾角和渐近线 与实轴的交点
2l 1 , l 0,1,2
nm
l
0
: 1,2
4
45 ; l
1 : 3,4
3 4
( 135
)
Biblioteka Baidu
n
m
a
pj zi
j1
i1
nm
4 1 j - 1 - j - 0 3 1.5
求k
由式 5 14 得
n
k j1 (s p j ) l 1 l 2 l 3
m
(s z i )
l4
i1
l1 1, l 2 1 2 2 k l1 l 2 l 3 1 .25
l4
5,l3
5,l4 4
• S值如果满足相角方程，也一定满足幅值方 程。
• 注意：
• 测量相角时，规定以逆时针为正，即矢量 与正实轴的夹角。
i1
j1
1 1 2 3 2l 1 29 .7 126.87 0 82 .87 180.04
s 2 点满足幅角方程，它是
根轨迹上的点。
3
j
2
2 l 2
p2
l4
l1
1
0
o 1
z1
-1
1
l3
p1
3
-2
p3
-3 -6 - 5 -4 - 3 -2 -1
s 3 3s 2 1 . 5s 2 5s 1 . 5s 2 4 . 5s
7.512.5-10k
s0
12.5k
12.5 12.5k
10k 7.512.5k- 0
7.5
7.5 12.5 - 10k 0 解得： k 9.375 (7.5 12.5 - 10k) 10k - 7.5 2 12 .5k 0 解得： k 2.34 由 s 2 得方程：
7.5 12.5 - 10k s 2 7.5 12.5k 0
0
1
2
求k
由式 5 14 得
n
k j1 (s p j ) l1 l 2 l 3
m
(s z i )
l4
i1
l1 1.5 2 2 2 2 .5, l 2 0 .5,
l 3 0.5 2 4 2 4 .031 , l 4 k l1 l 2 l 3 1 .25
l4
5 1 .5 2 2 2 4.031
第五章习题解答
5-1 设闭环系统的开环传递函数为
G(s)H(s)s(sk2(s45s)8）
试用幅角条件检验下列s平面上的点是不是根轨迹上 的点，如是，则用幅值条件计算该点所对应的k值。 (1)点(-1，j0)；(2)点(-1.5，j2)；(3)点(-6，j0)； (4)点(-4，j3)；(5)点(-1，j2.37)。
• 绘制根轨迹时，应令s平面实轴与虚轴比例 尺相同，只有这样才能反映s平面坐标位置 与相角的关系。
• 在本章常用的是开环根轨迹增益k*（首1 型），而工程实际中常用的是开环k，一定 要注意两者的定量比例关系。
答 5 1 2 画出零极点在 s 平面上的位置图
s 2 4s 8 s 2 j2 s 2 j2 , 开环极点为：
1
180
， 2
tg 1
2 1
63 .4 ,
3
tg 1
2 1
63 .4 , 1
0
用式 5 11 检验 s 1是不是根轨迹上的点
m
n
i j 2l 1 , l 0 ,1,2 ,
i1
j1
0 180 63 .4 63 .4 180
s 1点满足幅角方程，它是
根轨迹上的点。
1 n 4 , m 1, p 1 0 , p 2 0 , p 3 2 .5 , p 4 5 , z 1 1 .25 2 实轴上的根轨迹： 1.25 — -2.5 ，- 5 — -
3 n m 3 , 渐近线的倾角和渐近线
与实轴的交点
2l 1 , l 0 ,1,2 , l 0 : ; l 1 :
5-2设闭环系统的开环传递函数为
G(s)H(s)s2(0.4k(0s.81s )1()0.12)s
试绘制系统的根轨迹图。
k 0 .8 s 1
答 5 - 2 G s H s
0.8
s 2 0 .4 s 1 0 .2 s 1
0.4 0 .2
10k s 1 .25 s 2 s 2 .5 s 5
解得： s j 3.12 j1 .77
1 .77
5-3设系统的开环传递函数为
G(s)H(s)
k
s(s4)2(s2s2)
试绘制系统的根轨迹图。
答 5
-
3G s H s
ss
4 s
k 1
js
1
j
1n 4, m 0, p 1 0, p 2 -4 , p 3 1 j, p 4 1 j
nm
3
n
m
a
j1
pj
i1
zi
2 .5 5 1 .25
nm
3
2 .803
4求与虚轴的交点
s2s 2.5s 510ks 1.25 0
s4 7.5s3 12.5s2 10ks12.5k 0
s4
1
s3
7.5
s2
7.512.5-10k
7.5
s1 (7.512.5-10k)10k- 7.52 12.5k
p 1 0 , p 2 2 j2 , p 3 2 j2 , z 5
1 180
tg 1 2 1.5
126
. 87 ， 2 0 ,
3
tg
1
4 0.5
82.87
.4 , 1
tg
1
5
2 - 1.5
29.7
用式 5 11 检验 s 2 是不是根轨迹上的点
m
n
i j 2l 1 , l 0 ,1, 2 ,
答511
画出零极点s平 在面上的位置图
s2 4s8s2 j2s2 j2
开环极点为：
p1 0,p2 2 j2,p3 2 j2,z 5
3
j
2
p2
2
1
l2
0
o
1
l4
1
z1
l1
p1
-1
l3
3
-2
p3
-3 -6 -5 -4 -3 -2
-1
0
1
2
用 表示极点，用 由图可以计算出
表示零点，用
表示试验点 .。