一元二次方程的解法因式分解法知识点总结

一元二次方程的解法--公式法，因式分解法
—知识讲解（基础）
【学习目标】
1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；
2.正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；
3.通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．【要点梳理】
要点一、公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式一元二次方程
，当
时，
.
2.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：
． ①当时，原方程有两个不等的实数根；
②当时，原方程有两个相等的实数根；
③当
时，原方程没有实数根.
3.用公式法解一元二次方程的步骤用公式法解关于x 的一元二次方程
的步骤：
①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出
的值；
④若，则利用公式求出原方程的解；
若，则原方程无实根.
要点诠释：
（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的
选择.
（2）一元二次方程2
0 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+=.
①当2
40b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：21,242b b ac
x a -±-=
.
②当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a =-.
③当240b ac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根.
要点二、因式分解法解一元二次方程 1.用因式分解法解一元二次方程的步骤 （1）将方程右边化为0；
（2）将方程左边分解为两个一次式的积；
（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 2.常用的因式分解法
提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点诠释：
（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次
因式的积；
（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个
等于0；
（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除
以含有未知数的代数式. 【典型例题】
类型一、公式法解一元二次方程
1.用公式法解下列方程．(1)x 2
+3x+1=0；(2)2241x x =-； (3)2x 2
+3x-1=0．
【答案与解析】
(1)a=1，b=3，c=1
∴x=
=
．
∴x 1=，x 2=．
(2)原方程化为一般形式，得2
2410x x -+=．
∵2a =，4b =-，1c =，
∴224(4)42180b ac -=--⨯⨯=>．
∴4222
1222x ±=
=±⨯，即1212
x =+，2212x =-．
(3)∵a=2，b=3，c=﹣1
∴b 2
﹣4ac=17＞0
∴x=∴x 1=
，x 2=
．
【总结升华】用公式法解一元二次方程的关键是对a 、b 、c 的确定．用这种方法解一元二次方程的步骤是：(1)把方程化为一元二次方程的一般形式；(2)确定a ，b ，c 的值并计算24b ac -的值；(3)若24b ac -是非负数，用公式法求解． 举一反三：
【变式】用公式法解方程：（2014•武汉模拟）x 2﹣3x ﹣2=0．【答案】解：∵a=1，b=﹣3，c=﹣2；
∴b 2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）=9+8=17；
∴x==， ∴x 1=
，x 2=
．
2．用公式法解下列方程： (1)（2014•武汉模拟）2x 2+x=2；(2)（2014秋•开县期末）3x 2﹣6x ﹣2=0 ；（3）（2015•黄陂区校级模拟）x 2﹣3x ﹣7=0．
【思路点拨】针对具体的试题具体分析，不是一般式的先化成一般式，再写出a,b,c 的值，代入求值即可.
【答案与解析】
解：(1)∵2x 2+x ﹣2=0，
∴a=2，b=1，c=﹣2，
∴x==
=
，
∴x 1=
，x 2=
．
(2)∵a=3，b=﹣6，c=﹣2，
∴b 2﹣4ac=36+24=60＞0，
∴x=， ∴x 1=
，x 2=
（3）∵a=1，b=﹣3，b=﹣7．
∴b 2﹣4ac=9+28=37.x=
=
，
解得 x 1=，x 2=．
【总结升华】首先把每个方程化成一般形式，确定出a 、b 、c 的值，在240b ac -≥的前提下，代入求根公式可求出方程的根． 举一反三：
【变式】用公式法解下列方程： 2221x x +=； 【答案】解：移项，得22210x x +-=．
∵ 2a =，2b =，1c =-，224242(1)120b ac -=-⨯⨯-=>，
∴ 21213
222
x -±-±=
=
⨯， ∴ 1132
x --=
，213
2x -+=．
类型二、因式分解法解一元二次方程
3．用因式分解法解下列方程：
(1)3(x+2)2＝2(x+2)； (2)(2x+3)2
-25＝0； （3）x （2x+1）=8x ﹣3．
【思路点拨】 用因式分解法解方程，一定要注意第1小题，等号的两边都含有（x+2）这一项，切不可在方程的两边同除以（x+2）,化简成3（x+2）=2,因为你不知道（x-2）是否等于零.第2小题，运用平方差公式可以，用直接开方也可以.第3小题化成一般式之后，再运用分解因式法解方程. 【答案与解析】
(1)移项．得3(x+2)2
-2(x+2)＝0，(x+2)(3x+6-2)＝0．
∴ x+2＝0或3x+4＝0，
∴ x 1＝-2，243
x =-
． (2)(2x+3-5)(2x+3+5)＝0，
∴ 2x-2＝0或2x+8＝0， ∴ x 1＝1，x 2＝-4．
（3）去括号，得：2x 2
+x=8x ﹣3，
移项，得：2x 2
+x ﹣8x+3=0
合并同类项，得：2x 2
﹣7x+3=0， ∴（2x ﹣1）（x ﹣3）=0， ∴2x﹣1=0或 x ﹣3=0，
∴
，x 2=3．
【总结升华】(1)中方程求解时，不能两边同时除以(x+2)，否则要漏解．用因式分解法解一元二次方程
必须将方程右边化为零，左边用多项式因式分解的方法进行因式分解．因式分解的方法有提公因式法、公式法、二次三项式法及分组分解法．(2)可用平方差公式分解．
4．解下列一元二次方程： (1)(2x+1)2
+4(2x+1)+4＝0； (2)(31)(1)(41)(1)x x x x --=+-．
【答案与解析】
(1)(2x+1)2
+4(2x+1)+4＝0，
(2x+1+2)2
＝0．
即2(23)0x +=， ∴ 1232
x x ==-
． (2)移项，得(3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)＝0，
即(x-1)(x+2)＝0，
所以11x =，22x =-．
【总结升华】解一元二次方程时，一定要先从整体上分析，选择适当的解法．如 (1)可以用完全平方公式．用含未知数的整式去除方程两边时，很可能导致方程丢根，（2）容易丢掉x ＝1这个根． 举一反三：
【变式】（1）（x+8）2
-5(x+8)+6=0 （2）3(21)42
x x x +=+【答案】（1）（x+8-2）(x+8-3)=0
(x+6)(x+5)=0 X 1=-6,x 2=-5. (2)3x(2x+1)-2(2x+1)=0(2x+1)(3x-2)=0
1212
,23
x x =-=.
5．探究下表中的奥秘，并完成填空：
一元二次方程 两个根 二次三项式因式分解 x 2﹣2x+1=0 x 1=1，x 2=1 x 2﹣2x+1=（x ﹣1）（x ﹣1） x 2﹣3x+2=0 x 1=1，x 2=2 x 2﹣3x+2=（x ﹣1）（x ﹣2） 3x 2
+x ﹣2=0 x 1=，x 2=﹣1 3x 2
+x ﹣2=3（x ﹣）（x+1） 2x 2
+5x+2=0
x 1=﹣，x 2=﹣2 2x 2
+5x+2=2（x+）（x+2）
4x 2+13x+3=0 x 1= ，x 2= 4x 2
+13x+3=4（x+ ）（x+ ）
将你发现的结论一般化，并写出来．
【思路点拨】利用因式分解法，分别求出表中方程的解，总结规律，得出结论． 【答案与解析】填空：﹣，﹣3；4x 2
+13x+3=4（x+）（x+3）．
发现的一般结论为：若一元二次方程 ax 2
+bx+c=0的两个根为x 1、x 2，则 ax 2
+bx+c=a （x ﹣x 1）（x ﹣x 2）．
【总结升华】考查学生综合分析能力，要根据求解的过程，得出一般的结论，解一元二次方程——因式分解法．
一元二次方程的解法--公式法，因式分解法—巩固练习（基础）
【巩固练习】 一、选择题 1．（2014•泗县校级模拟）下列方程适合用因式方程解法解的是（ ） A ．x 2﹣3
x+2=0 B ．2x 2=x+4 C ．（x ﹣1）（x+2）=72 D ．x 2﹣11x ﹣10=0
2．方程(1)2x x -=的解是( )
A ．1x =-
B ．2x =-
C ．11x =-，22x =
D ．11x =，22x =-3．一元二次方程2340x x +-=的解是( ) A ．11x =；24x =- B ．11x =-；24
x = C ．11x =-；24x =- D ．11x =；24
x =4.方程x 2
-5x-6＝0的两根为( )
A ．6和1
B ．6和-1
C ．2和3
D ．-2和3 5．方程(x-5)(x-6)＝x-5的解是 ( )
A ．x ＝5
B ．x ＝5或x ＝6
C ．x ＝7
D ．x ＝5或x ＝7 6．已知210x x --=，则3222012x x -++的值为 ( )
A ． 2011
B ．2012
C ． 2013
D ．2014 二、填空题
7．（2015•厦门）方程x 2
+x ＝0的解是___ _____； 8．方程(x-1)(x+2)(x-3)＝0的根是_____ ___．
9．请写一个两根分别是1和2的一元二次方程___ _____．
10．若方程x 2
-m ＝0的根为整数，则m 的值可以是_____ ___．(只填符合条件的一个即可) 11．已知实数x 、y 满足2222()(1)2x y x y ++-=，则22x y +=________．12．已知y ＝(x-5)(x+2)．(1)当x 为 值时，y 的值为0； (2)当x 为 值时，y 的值为5.
三、解答题 13．（2014秋•宝坻区校级期末）解方程 （1）2（x ﹣3）2=8（直接开平方法）（2）4x 2﹣6x ﹣3=0（运用公式法）（3）（2x ﹣3）2=5（2x ﹣3）（运用分解因式法） （4）（x+8）（x+1）=﹣12（运用适当的方法）
14.用因式分解法解方程
（1）x 2
-6x-16＝0．
（2）(2x+1)2
+3(2x+1)+2＝0．
15
(2)请观察上表，结合24b ac -的符号，归纳出一元二次方程的根的情况． (3)利用上面的结论解答下题．
当m 取什么值时，关于x 的一元二次方程(m-2)x 2
+(2m+1)x+m-2＝0， ①有两个不相等的实数根； ②有两个相等的实数根； ③没有实数根．
【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】C ；
【解析】解：根据分析可知A 、B 、D 适用公式法．
而C 可化简为x 2
+x ﹣72=0，即（x+9）（x ﹣8）=0， 所以C 适合用因式分解法来解题．故选C ．
2.【答案】C ；
【解析】整理得x 2
-x-2＝0，∴ (x-2)(x+1)＝0.3.【答案】A ；
【解析】可分解为(x-1)(x+4)＝04.【答案】B ；
【解析】要设法找到两个数a ，b ，使它们的和a+b ＝-5，积ab ＝-6，
∴ (x+1)(x-6)＝0，∴ x+1＝0或x-6＝0． ∴ x 1＝-1，x 2＝6． 5.【答案】D ；
【解析】此方程左右两边含有相同的因式(x-5)，应移项后用因式分解法求解．即(x-5)(x-6)-(x-5)0．
∴ (x-5)(x-6-1)＝0，∴ 15x =，27
x =6.【答案】C ；
【解析】由已知得x 2
-x ＝1，
∴ 3
2
2
2
22012()20122012120122013x x x x x x x x 2
-++=--++=-++=+=．
二、填空题 7．【答案】x 1＝0，x 2＝-1．
【解析】可提公因式x ，得x(x+1)＝0．
∴ x ＝0或x+1＝0，∴ x 1＝0，x 2＝-1． 8．【答案】x 1＝1，x 2＝-2，x 3＝3.
【解析】由x-1＝0或x+2＝0或x-3＝0求解． 9．【答案】2320x x -+=；
【解析】逆用因式分解解方程的方法，两根为1、2的方程就是(x-1)(x-2)＝0，然后整理可得答案． 10．【答案】4；
【解析】 m 应是一个整数的平方，此题可填的数字很多． 11．【答案】2；
【解析】由(x 2+y 2)2-(x 2+y 2)-2＝0得(x 2+y 2+1)(x 2+y 2
-2)＝0又由x ，y 为实数，
∴ x 2+y 2＞0，∴ x 2+y 2
＝2． 12．【答案】 (1) x ＝5或x ＝-2；(2) 3692x +=
或369
2
x -=． 【解析】(1)当y ＝0时(x-5)(x+2)＝0，
∴ x-5＝0或x+2＝0，∴ x ＝5或x ＝-2．
(2)当y ＝5时(x-5)(x+2)＝5，
∴ 23150x x --=，3941(15)369
212
x ±-⨯⨯-±=
=⨯，
∴ 3692x +=
或369
2
x -=． 三、解答题
13.【解析】
解：（1）（x ﹣3）2=4
x ﹣3=2或x ﹣3=﹣2， 解得，x 1=1或x 2=5； （2）a=4，b=﹣6，c=﹣3，
b 2﹣4ac=（﹣6）2﹣4×4×（﹣3）=84，
x=
=，
，
；
（3）移项得，（2x ﹣3）2﹣5（2x ﹣3）=0，
因式分解得，（2x ﹣3）（2x ﹣3﹣5）=0，
，x 2=4；
（4）化简得，x 2+9x+20=0，
（x+4）（x+5）=0，
解得，x 1=﹣4，x 2=﹣5．
14.【解析】
（1）(x-8)(x+2)＝0，
∴ x-8＝0或x+2＝0，
∴ 18x =，22x =-．
（2）设y ＝2x+1，则原方程化为y2+3y+2＝0，∴ (y+1)(y+2)＝0，
∴ y+1＝0或y+2＝0， ∴ y ＝-1或y ＝-2．
当1y =-时，211x +=-，1x =-；
当2y =-时，212x +=-，32x =-
． ∴ 原方程的解为11x =-，23
2
x =-．
15.【解析】
(2)①当240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根； ②当2
40b ac -=时，方程有两个相等的实数根；③当240b ac -<时，方程没有实数根． (3)2
42015b ac m -=-，
①当原方程有两个不相等的实数根时，2
420150b ac m -=->，即3
4
m >且m ≠2； ②当原方程有两个相等的实数根时，b 2 -4ac =20m -15=0，即34
m =； ③当原方程没有实数根时， 2
420150b ac m -=-<，即34
m <
．
一元二次方程的解法--公式法，因式分解法—知识讲解（提高）
【学习目标】
1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；
2.正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；
3.通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．【要点梳理】
要点一、公式法解一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式
一元二次方程，当
时，
.
2.一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式：
． ①当时，原方程有两个不等的实数根；
②当时，原方程有两个相等的实数根；
③当
时，原方程没有实数根.
3.用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x 的一元二次方程
的步骤：
①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出
的值；
④若，则利用公式求出原方程的解；
若，则原方程无实根.
要点诠释：
（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用.
（2）一元二次方程2
0 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：222
4()24b b ac x a a -+= ①当2
40b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：21,242b b ac
x a
--=
②当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a
=-
③当240b ac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根. 要点二、因式分解法解一元二次方程
1.用因式分解法解一元二次方程的步骤
（1）将方程右边化为0；
（2）将方程左边分解为两个一次式的积；
（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
2.常用的因式分解法
提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.
要点诠释：
（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；
（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；
（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.
【典型例题】
类型一、公式法解一元二次方程
1．解关于x 的方程2()(42)50m n x m n x n m ++-+-=．
【答案与解析】
(1)当m+n ＝0且m ≠0，n ≠0时，原方程可化为(42)50m m x m m +--=．
∵ m ≠0，解得x ＝1．
(2)当m+n ≠0时，
∵ a m n =+，42b m n =-，5c n m =-，
∴ 2224(42)4()(5)360b ac m n m n n m m -=--+-=≥，
∴ 2243624|6|2()2()
n m m n m m x m n m n -±-±==++， ∴ 11x =，25n m x m n
-=+． 【总结升华】解关于字母系数的方程时，应该对各种可能出现的情况进行讨论．
举一反三：
【高清ID 号：388515
关联的位置名称（播放点名称）：用公式法解含有字母系数的一元二次方程---例2练习】
【变式】解关于x 的方程2223(1)x mx mx x m ++=+≠；
【答案】原方程可化为2(1)(3)20,
m x m x -+-+= ∵1,3,2,a m b m c =-=-=
∴ 2224(3)8(1)(1)0b ac m m m -=---=+≥，
∴ 23(1)3(1),2(1)2(1)m m m m x m m -±+-±+==-- ∴ 122, 1.1x x m
==- 2． 用公式法解下列方程： (m-7)(m+3)+(m-1)(m+5)＝4m ；
【答案与解析】
方程整理为224214540m m m m m --++--=，
∴ 22130m m --=，∴ a ＝1，b ＝-2，c ＝-13，
∴ 224(2)41(13)56b ac -=--⨯⨯-=，
∴ 24(2)56221b b ac m a -±---±==⨯22141142
±==±， ∴ 1114m =+，2114m =-．
【总结升华】先将原方程化为一般式，再按照公式法的步骤去解.
举一反三：
【高清ID 号：388515
关联的位置名称（播放点名称）：用因式分解法解含字母系数的一元二次方程---例5（3）】
【变式】用公式法解下列方程：
【答案】∵2
1,3,2,
a b m c m ==-= ∴22224(3)4120b ac m m m -=--⨯⨯=≥ ∴23322
m m m m x ±±== ∴122,.
x m x m ==
类型二、因式分解法解一元二次方程
3．（2015•东西湖区校级模拟）解方程：x 2﹣1=2（x+1）．
【答案与解析】
解：∵x 2﹣1=2（x+1），
∴（x+1）（x ﹣1）=2（x+1），
∴（x+1）（x ﹣3）=0，
∴x 1=﹣1，x 2=3．
【总结升华】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程的知识，左边先平方差公式分解，然后提取公
因式（x+1），注意不要两边同除（x+1），这样会漏解.
举一反三：
【变式】解方程（2015·茂名校级一模）
（1）x 2-2x-3=0； （2）（x-1）2+2x(x-1)=0．
【答案】解：（1）分解因式得：（x-3）（x+1）=0
∴x-3=0，x+1=0
∴x 1=3,x 2=-1.
（2）分解因式得：（x-1）（x-1+2x ）=0
∴x-1=0，3x-1=0
∴x 1=1,x 2=1
3.
4．如果2222()(2)3x y x y ++-=，请你求出22x y +的值．
【答案与解析】
设22x y z +=，∴ z(z-2)＝3．
整理得：2230z z --=，∴ (z-3)(z+1)＝0．
∴ z 1＝3，z 2＝-1．
∵ 220z x y =+>，∴ z ＝-1(不合题意，舍去)
∴ z ＝3．
即22x y +的值为3．
【总结升华】如果把22x y +视为一个整体，则已知条件可以转化成一个一元二次方程的形式，用因式
分解法可以解这个一元二次方程．此题看似求x 、y 的值，然后计算22x y +，但实际上如果把22x y +看成一个整体，那么原方程便可化简求解。

这里巧设22z x y =+再求z 值，从而求出22x y +的值实际就是换元思想的运用．
易错提示:忽视220x y +>，而得223x y +=或22
1x y +=-． 一元二次方程的解法--公式法，因式分解法—巩固练习（提高）
【巩固练习】
一、选择题
1.方程(3)(2)1x x -+=的解为（ ）．
A ．3x =
B ．2x =-
C ．13x =，22
x =- D ．以上结论都不对 2．整式x+1与整式x-4的积为x 2-3x-4，则一元二次方程x 2-3x-4＝0的根是( )．
A ．x 1＝-1，x 2＝-4
B ．x 1＝-1，x 2＝4
C ．x 1＝1，x 2＝4
D ．x 1＝1，x 2＝-4
3．如果x 2+x -1＝0，那么代数式3227x x +-的值为( )
A ．6
B ．8
C ．-6
D ．-8
4．若关于x 的一元二次方程(m -1)x 2+5x+m 2-3m+2＝0的常数项为0，则m 的值等于(
) A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．0
5．若代数式(2)(1)||1
x x x ---的值为零，则x 的取值是( )． A ．x ＝2或x ＝1 B ．x ＝2且x ＝1
C ．x ＝2
D ．x ＝-1
6．（2015·广安）一个等腰三角形的两条边长分别是方程x 2-7x+10=0的两根，则该等腰三角形周长是
( )．
A ．12
B ．9
C ．13
D ．12或9
二、填空题
7．已知实数x 满足4x 2
-4x+1＝0，则代数式122x x +的值为________． 8．已知y ＝x 2+x-6，当x ＝________时，y 的值是24．
9．若方程2
x mx n ++可以分解成（x-3）与(x+4)的积的形式，则m ＝________，n ＝________．
10．若规定两数a 、b 通过“※”运算，得到4ab ，即a ※b ＝4ab ，例如2※6＝4×2×6＝48．
(1)则3※5的值为 ；
(2)则x ※x+2※x-2※4＝0中x 的值为 ；
(3)若无论x 是什么数，总有a ※x ＝x ，则a 的值为 ．
11．（2014秋•王益区校级期中）阅读下面的材料，回答问题：
解方程x 4﹣5x 2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x 2=y ，那么x 4=y 2，于是原方程可变为y 2﹣5y+4=0 ①，解得y 1=1，y 2=4．
当y=1时，x 2=1，∴x=±1；
当y=4时，x 2=4，∴x=±2；
∴原方程有四个根：x 1=1，x 2=﹣1，x 3=2，x 4=﹣2．
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到 的目的，体现了数学的转化思想．
（2）方程（x 2+x ）2﹣4（x 2+x ）﹣12=0的解为 ．
12．若方程(2012x)2-2011×2013x-1＝0的较大根为a ，方程x 2-2012x-2013＝0的较小根为b ，
则2013()a b +＝________．
三、解答题
13.用公式法解下列方程：
2(1)210x ax --=；（2）22222(1)()ab x a x b x a b +=+>．14．(2015春·北京校级期中)用适当方法解下列方程：
（1）（2x-3）2=25 (2)x 2-4x+2=0 (3)x 2-5x-6=0
15．(1)利用求根公式计算，结合①②③你能得出什么猜想?
①方程x 2+2x+1＝0的根为x 1＝________，x 2＝________，x 1+x 2＝________，x 1·x 2＝________．②方程x 2-3x-1＝0的根为x 1＝________，x 2＝________，x 1+x 2＝________，x 1·x 2＝________．③方程3x 2+4x-7＝0的根为x 1＝_______，x 2＝________，x 1+x 2＝________，x 1·x 2＝________．
(2)利用求根公式计算：一元二次方程ax 2+bx+c ＝0(a ≠0，且b 2-4ac ≥0)的两根为x 1＝________，
x 2＝________，x 1+x 2＝________，x 1·x 2＝________．
(3)利用上面的结论解决下面的问题：
设x 1、x 2是方程2x 2+3x-1＝0的两个根，根据上面的结论，求下列各式的值：
①12
11x x +； ②2212x x +． 【答案与解析】
一、选择题
1．【答案】D ；
【解析】注意方程右边不是0．
2．【答案】B ；
【解析】∵ 234(1(4)x x x x --=+-，∴ 2340x x --=的根是11x =-，24x =．
3．【答案】C ．
【解析】∵ 210x x +-=，∴ 21x x +=．
∴ 32322222
277()77176x x x x x x x x x x x +-=++-=++-=+-=-=-．
4.【答案】B ；
【解析】由常数项为0可得m 2-3m+2＝0，∴ (m -1)(m -2)＝0，即m -1＝0或m -2＝0，
∴ m ＝1或m ＝2，而一元二次方程的二次项系数m -1≠0，∴ m ≠1，即m ＝2．
5．【答案】C ；
【解析】(2)(1)0x x --=且||1x ≠，∴ 2x =．
6．【答案】A ；
【解析】x 2-7x+10=0，x 1=2，x 2=5，此等腰三角形的三边只能是5，5，2，其周长为12．
二、填空题
7．【答案】2；
【解析】用因式分解法解方程24410x x -+=得原方程有两个等根，即1212x x ==
， 所以121122x x
+=+=． 8．【答案】5或-6；
【解析】此题把y 的值代入得到关于x 的一元二次方程，解之即可．
如：根据题意，得2624x x +-=，整理得2300x x +-=，解得15x =，26x =-．
9．【答案】 1 ； -12 ；
【解析】22(3)(4)12x mx n x x x x ++=-+=+-，∴ m ＝1，n ＝-12．
10．【答案】(1)60；(2) 12x =，24x =-；(3) 14
a =
． 【解析】(1)3※5＝4×3×5＝60；
(2)∵ x ※x +2※2x -※4＝24(28)0x x +-=，∴ 12x =，24x =-； (3)∵ a ※4x ax ==x ，4(41)0ax x a x -=-=，
∴ 只有410a -=，等式才能对任何x 值都成立．
∴ 14
a =． 11．【答案】(1) 换元； 降次； (2) x 1=﹣3，x 2=2．
【解析】解：（1）换元，降次
（2）设x 2+x=y ，原方程可化为y 2﹣4y ﹣12=0，
解得y 1=6，y 2=﹣2．
由x 2+x=6，得x 1=﹣3，x 2=2．
由x 2+x=﹣2，得方程x 2+x+2=0，
b 2﹣4ac=1﹣4×2=﹣7＜0，此时方程无实根．
所以原方程的解为x 1=﹣3，x 2=2．
12.【答案】0 ；
【解析】 (2012x)2-2011×2013x-1＝0的两根为11x =，22
12012x =-，∴ 1a =， 2201220130x x --=的两根为122013,1x x ''==-，∴ 1b =-，
∴ 2013()
0a b +=．
三、解答题
13.【答案与解析】
（1）∵1,2,1,a b a c ==-=-
∴2224(2)41(1)440b ac a a -=--⨯⨯-=+＞
∴x a ==±
∴12x a x a =+=-（2）222(1)ab x a x b x +=+，
即222()0abx a b x ab -++=，
令A ＝ab ，B ＝22()a b -+，C ＝ab ．
∵ 2222222
4()4()0B AC a b ab ab a b ⎡⎤-=-+-∙=-⎣⎦＞，
∴ 2222()22B a b a b x A ab
-+±-==， ∴ 222221222a b a b a a x ab ab b
++-===， 222222()222a b a b b b x ab ab a
+--===， ∴ 1a x b
=，2b x a =． 14.【答案与解析】
解：（1）直接开平方得：2x-3=±5，
∴2x-3= 5或2x-3=-5
∴x 1= 4，x 2= -1
（2）∵a=1,b=-4,c=2,
∴△=b 2-4ac=16-8=8.
∴ x =
∴12=2=2.
x x +-（3）分解因式得：（x-6）(x+1)=0
∴ x-6= 0或 x+1=0
∴x 1= 6，x 2= -1.
15.【答案与解析】
(1)两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数，两根之积等于常数项除以二次项系数．
① -1 ； -1 ； -2 ； 1.
② 32+ ；32
- ； 3 ；-1.
③ 73- ； 1 ； 43- ； 73
- .
；
；b a - ；c a . (3)1232
x x +=-，1212
x x =-． ①1212123112312x x x x x x -++===-． ②22212121291913()2214244x x x x x x ⎛⎫+=+-=-⨯-=+= ⎪⎝⎭．。