人教版数学高一-2012高一数学学案 集合的含义与表示(二) (人教A版必修1)

1.1.1 集合的含义与表示(二)
学习目标
1．掌握集合的表示方法，能在具体问题中选择适当的方法表示集合．
2．通过实例和阅读自学体会用列举法和描述法表示集合的方法和特点，培养自主探究意识和自学能力．
自学导引
1．把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．
2．用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法． 3．写出不等式x －7<3的解集：{x |x <10}．
4．所有偶数的集合可表示为：{x ∈Z |x ＝2k ，k ∈Z }． 5．方程(x ＋1)(x －3)＝0的所有实数根组成的集合为：{－1,3}
.
一、用列举法表示集合
例1 用列举法表示下列集合： (1)15的正约数组成的集合；
(2)平方后仍为原数的数组成的集合． 解 (1)15＝1×3×5，故集合为{1,3,5,15}．
(2)平方后仍为原数的数构成的集合是{0,1}．
点评 用列举法表示集合时，里面元素与顺序无关，该法表示集合直观明了． 变式迁移1 用列举法表示下列集合： (1)不大于10的非负偶数集；
(2)由a a
＋b
|b |
(a .，b R )所确定的实数集合． 解 (1){0,2,4,6,8,10} (2){－2,0,2}
二、用描述法表示集合
例2 用描述法表示下列集合：
(1)正偶数集；(2)被3除余2的正整数集；
(3)不等式2x ＋5<3的解集；(4)第一、三象限点的集合．
分析 (1)中的正偶数都能被2整除︐所以正偶数可以表示为
x ＝2n (n N *)的
形式︔
(2)
中被
3除余
2的正整数满足
x －2＝3n (n N *)︐则x ＝3n ＋2 (n N *)︔(4)中的点
(x ︐
y )
满足xy >0.
解 (1){x |x ＝2n ，n N *}． (2){x |x ＝3n ＋2，n N *}． (3){x R |2x ＋5<3}，或{x R |x <－1}． (4){(x ，y )|xy >0}．
点评
用描述法表示集合︐一要看集合的代表元素是什么︐是点集还是数集︔二是看元
素满足什么条件︐一般情况下︐用符号语言表示元素满足的条件︒
变式迁移2 用适当方法表示下列集合：
(1)函数y ＝a .x 2＋bx ＋c (a .♊0)的图象上所有点的集合；
(2)一次函数y ＝x ＋3与y ＝－2x ＋6的图象的交点组成的集合； (3)不等式x －3>2的解集；
(4)自然数中不大于10的质数集．
解 (1){(x ，y )|y ＝a .x 2＋bx ＋c ，x R ，a .♊0}．
(2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋3y ＝－2x ＋6＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1y ＝4.
用列举法表示为：{(1,4)}． (3){x |x >5}
(4){2,3,5,7}．
三、集合语言与数学语言的转换
例3 已知集合A ＝{x |a .x 2－3x ＋2＝0}，若A 中的元素至多只有一个，求a 的取值范围．
分析
讨论关于
x 的方程
a .x 2－
3x ＋
2＝
0实
数根的情况︐从中确定
a
的取值范围︐依题
意方程有一个实数根或两个相等的实数根或无实数根︒
解 (1)a ＝0时，原方程为－3x ＋2＝0，x ＝2
3
，符合题意．
(2)a .♊0时，方程a .x 2－3x ＋2＝0为一元二次方程．
由Δ＝9－8a .♎0，得a .♏9
8
.
当a .♏9
8
时，方程a .x 2－3x ＋2＝0无实数根或有两个相等的实数根．
综合(1)(2)，知a ＝0或a ♏9
8
.
点评 ❽a ＝
0❾这种情况最容易被忽视︐只有在
❽a ♊0❾
的条件下︐方程
ax 2－
3x ＋2＝
是一元二次方程︐才能用判别式
Δ解决问题︒
变式迁移3 设集合{x |x 2＋mx ＋n ＝0}＝{2}，求实数m 、n 的值． 解 {x |x 2＋mx ＋n ＝0}＝{2}，
方程x 2＋mx ＋n ＝0有两等根x 1＝x 2＝2， 由根与系数的关系得m ＝－4，n ＝4.
1．在用列举法表示集合时应注意以下四点：
(1)元素间用❽，❾分隔；
(2)元素不重复；
(3)不考虑元素顺序；
(4)对于含有较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号．
2．使用描述法时应注意以下四点：
(1)写清楚该集合中元素的代号(字母或用字母表示的元素符号)；
(2)说明该集合中元素的特征；
(3)不能出现未被说明的字母；
(4)用于描述的语句力求简明、确切．
一、选择题
1．集合{1,3,5,7,9}用描述法表示应是()
A．{x|x是不大于9的非负奇数}
B．{x|x♎9，x N}
C．{x|1♎x♎9，x N}
D．{x|0♎x♎9，x Z}
答案 A
2．在直角坐标系内，坐标轴上的点的集合可表示为()
A．{(x，y)|x＝0，y♊0}
B．{(x，y)|x♊0，y＝0}
C．{(x，y)|xy＝0}
D．{(x，y)|x＝0，y＝0}
答案 C
3．下列语句：
♊0与{0}表示同一个集合；
♋由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}；
♌方程(x－1)2(x－2)2＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}；
♍集合{x|4<x<5}可以用列举法表示．
正确的是()
A．只有♊和♍B．只有♋和♌
C．只有♋D．以上语句都不对
答案 C
4．由大于－3且小于11的偶数组成的集合是()
A．{x|－3<x<11，x Q}
B．{x|－3<x<11}
C．{x|－3<x<11，x＝2k，k N}
D．{x|－3<x<11，x＝2k，k Z}
答案 D
5．下列集合中表示同一集合的是( ) A ．M ＝{(3,2)}，N ＝{(2,3)} B ．M ＝{3,2}，N ＝{2,3}
C ．M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，N ＝{y |x ＋y ＝1}
D ．M ＝{1,2}，N ＝{(1,2)} 答案 B 二、填空题
6．下列可以作为方程组⎩⎨⎧
x ＋y ＝3
x －y ＝－1
的解集的是__________(填序号)．
(1){x ＝1，y ＝2}； (2){1,2}；
(3){(1,2)}； (4){(x ，y )|x ＝1或y ＝2}； (5){(x ，y )|x ＝1且y ＝2}；
(6){(x ，y )|(x －1)2＋(y －2)2＝0}．
答案 (3)(5)(6) 7．已知a Z ，A ＝{(x ，y )|ax －y ♎3}且(2,1) A ，(1，－4)∉A ，则满足条件的a 的值为________．
答案 0,1,2 解析 (2,1) A 且(1，－4)∉A 2a －1♎3且a ＋4>3 －1<a ♎2又a Z
a .
的取值为0,1,2.
8．已知集合M ＝{x N |8－x N }，则M 中的元素最多有________个． 答案 9 三、解答题
9．用另一种方法表示下列集合． (1){绝对值不大于2的整数}；
(2){能被3整除，且小于10的正数}； (3){x |x ＝|x |，x <5且x Z }； (4){(x ，y )|x ＋y ＝6，x N *，y N *}； (5){－3，－1,1,3,5}．
解 (1){－2，－1,0,1,2}． (2){3,6,9}．
(3) x ＝|x |， x ♏0，又 x Z 且x <5， x ＝0或1或2或3或4.
集合可以表示为{0,1,2,3,4}．
(4){(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)}． (5){x |x ＝2k －1，－1♎k ♎3，k Z }． 10．已知数集M 满足条件：若a M ，则
a
a
-+11 M (a ♊0，a ♊±1)，已知3 M ，试把由此确定的M 的其他元素全部求出来．
解 a ＝3 M ，则a
a -+11＝1＋3
1－3＝－2 M .
1－21＋2
＝－13 M
1－131＋13＝12 M ，1＋121－12
＝3 M ， 则集合M 的其他元素为－2，－13，12
.
即M ＝⎩⎨⎧
⎭⎬⎫3，－2，－13，12.。