人教版数学高一-2012高一数学学案 集合的含义与表示(二) (人教A版必修1)

1.1.1 集合的含义与表示(二)

学习目标

1．掌握集合的表示方法，能在具体问题中选择适当的方法表示集合．

2．通过实例和阅读自学体会用列举法和描述法表示集合的方法和特点，培养自主探究意识和自学能力．

自学导引

1．把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．

2．用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法． 3．写出不等式x －7<3的解集：{x |x <10}．

4．所有偶数的集合可表示为：{x ∈Z |x ＝2k ，k ∈Z }． 5．方程(x ＋1)(x －3)＝0的所有实数根组成的集合为：{－1,3}

.

一、用列举法表示集合

例1 用列举法表示下列集合： (1)15的正约数组成的集合；

(2)平方后仍为原数的数组成的集合． 解 (1)15＝1×3×5，故集合为{1,3,5,15}．

(2)平方后仍为原数的数构成的集合是{0,1}．

点评 用列举法表示集合时，里面元素与顺序无关，该法表示集合直观明了． 变式迁移1 用列举法表示下列集合： (1)不大于10的非负偶数集；

(2)由a a

＋b

|b |

(a .，b R )所确定的实数集合． 解 (1){0,2,4,6,8,10} (2){－2,0,2}

二、用描述法表示集合

例2 用描述法表示下列集合：

(1)正偶数集；(2)被3除余2的正整数集；

(3)不等式2x ＋5<3的解集；(4)第一、三象限点的集合．

分析 (1)中的正偶数都能被2整除︐所以正偶数可以表示为

x ＝2n (n N *)的

形式︔

(2)

中被

3除余

2的正整数满足

x －2＝3n (n N *)︐则x ＝3n ＋2 (n N *)︔(4)中的点

(x ︐

y )

满足xy >0.

解 (1){x |x ＝2n ，n N *}． (2){x |x ＝3n ＋2，n N *}． (3){x R |2x ＋5<3}，或{x R |x <－1}． (4){(x ，y )|xy >0}．

点评

用描述法表示集合︐一要看集合的代表元素是什么︐是点集还是数集︔二是看元

素满足什么条件︐一般情况下︐用符号语言表示元素满足的条件︒

变式迁移2 用适当方法表示下列集合：

(1)函数y ＝a .x 2＋bx ＋c (a .♊0)的图象上所有点的集合；

(2)一次函数y ＝x ＋3与y ＝－2x ＋6的图象的交点组成的集合； (3)不等式x －3>2的解集；

(4)自然数中不大于10的质数集．

解 (1){(x ，y )|y ＝a .x 2＋bx ＋c ，x R ，a .♊0}．

(2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋3y ＝－2x ＋6＝⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝1y ＝4.

用列举法表示为：{(1,4)}． (3){x |x >5}

(4){2,3,5,7}．

三、集合语言与数学语言的转换

例3 已知集合A ＝{x |a .x 2－3x ＋2＝0}，若A 中的元素至多只有一个，求a 的取值范围．

分析

讨论关于

x 的方程

a .x 2－

3x ＋

2＝

0实

数根的情况︐从中确定

a

的取值范围︐依题

意方程有一个实数根或两个相等的实数根或无实数根︒

解 (1)a ＝0时，原方程为－3x ＋2＝0，x ＝2

3

，符合题意．

(2)a .♊0时，方程a .x 2－3x ＋2＝0为一元二次方程．

由Δ＝9－8a .♎0，得a .♏9

8

.

当a .♏9

8

时，方程a .x 2－3x ＋2＝0无实数根或有两个相等的实数根．

综合(1)(2)，知a ＝0或a ♏9

8

.

点评 ❽a ＝

0❾这种情况最容易被忽视︐只有在

❽a ♊0❾

的条件下︐方程

ax 2－

3x ＋2＝

是一元二次方程︐才能用判别式

Δ解决问题︒

变式迁移3 设集合{x |x 2＋mx ＋n ＝0}＝{2}，求实数m 、n 的值． 解 {x |x 2＋mx ＋n ＝0}＝{2}，

方程x 2＋mx ＋n ＝0有两等根x 1＝x 2＝2， 由根与系数的关系得m ＝－4，n ＝4.

1．在用列举法表示集合时应注意以下四点：

(1)元素间用❽，❾分隔；

(2)元素不重复；

(3)不考虑元素顺序；

(4)对于含有较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号．

2．使用描述法时应注意以下四点：

(1)写清楚该集合中元素的代号(字母或用字母表示的元素符号)；

(2)说明该集合中元素的特征；

(3)不能出现未被说明的字母；

(4)用于描述的语句力求简明、确切．

一、选择题

1．集合{1,3,5,7,9}用描述法表示应是()

A．{x|x是不大于9的非负奇数}

B．{x|x♎9，x N}

C．{x|1♎x♎9，x N}

D．{x|0♎x♎9，x Z}

答案 A

2．在直角坐标系内，坐标轴上的点的集合可表示为()

A．{(x，y)|x＝0，y♊0}

B．{(x，y)|x♊0，y＝0}

C．{(x，y)|xy＝0}

D．{(x，y)|x＝0，y＝0}

答案 C

3．下列语句：

♊0与{0}表示同一个集合；

♋由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}；

♌方程(x－1)2(x－2)2＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}；

♍集合{x|4

正确的是()

A．只有♊和♍B．只有♋和♌

C．只有♋D．以上语句都不对

答案 C

4．由大于－3且小于11的偶数组成的集合是()

A．{x|－3

B．{x|－3

C．{x|－3

D．{x|－3

答案 D