七年级数学列代数式;求代数式的值华东师大版知识精讲

初一数学列代数式；求代数式的值华东师大版
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
列代数式；求代数式的值
二. 知识要点 1. 知识点概要
⑴了解代数式、单项式、单项式的系数和次数、多项式、多项式的次数、整式的概念. ⑵能用代数式表示简单问题的数量关系
（3）能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义.
（4）通过具体例子感受“同一个代数式可以表示不同的实际意义”，“理解符号所代表的数量关系”.
（5）了解代数式的值的意义，会计算代数式的值.
（6）能读懂计算程序图，会按照规定的程序计算代数式的值，会按照要求设计简单的计算程序，初步感受“算法”的思想及数量的变化与联系. 2. 重点难点
⑴代数式、单项式、多项式的概念及单项式的系数和次数、多项式的次数与项数、将多项式升（降）幂排列.
⑵根据简单问题的数量关系正确列出代数式. （3）读懂计算程序图，计算代数式的值.
三. 考点分析 ㈠用字母表示数
用字母表示数可以简明地表达现实中浩繁的数量间的关系，表达数的各种运算定律、性质和法则。

如用字母a 、b 、c 表示三个数，则加法结合律可表示为：a+b+c=a+（b+c ）=（a+b ）+c.在用字母表示数时，应注意：（1）同一个问题中的相同量要用同一个字母表示，不同量必须用不同字母表示.同一个字母在不同问题中的意义也是不同的.如在表示长方形的面积公式时，用S 表示面积，a 表示长方形的长，b 表示长方形的宽，则有S=ab 。

在这里，S 、a 、b 分别表示不同的量，同样是字母a ，在不同的问题中可表示不同的数。

（2）应该遵循规定了的、约定俗成的、沿袭的表示习惯.如：用C 表示周长，用㎝表示厘米……
㈡代数式
1. 代数式的定义
像n-2，3b ，
y
x
，m+3等由运算符号连接的式子都是代数式.单独一个数或一个字母也是代数式. 2. 写代数式
（1）数与数相乘用“×”；数与字母，字母与字母相乘用“·”或省略不写；（2）字母与数字相乘，数字因式应放在字母因式之前，带分数与字母相乘，带分数要化为假分数.如
34-
a 不能写成311- a.（3）代数式中的除号一般用分数线表示.如2a ÷
b 应写成b
a 2.（4）几个字母因数排列时，一般按字母顺序排列.如5a 2c 3
b 通常写成5a 2b
c 3.（5）代数式若是和或差的形式，且结果中又有单位的，应用括号将代数式括起来，后面再带单位.如（2a+3）㎝不能写成2a+3㎝.
3. 列代数式
列代数式首先要确定数量与数量的运算关系，其次应抓住题中的一些关键词语，如和、差、积、商、平方、倒数以及几分之几、几成、倍等等.抓住这些关键词语，反复咀嚼，认真推敲，列好一般的代数式就不太难了.
㈢整式
1. 单项式的相关概念
单项式是数字与字母的积构成的代数式，其中的数字因数是单项式的系数，单项式中所有字母的指数的和是单项式的次数.单独一个数或一个字母也是单项式. 2. 多项式的相关概念
几个单项式的和叫做多项式.其中的每个单项式是多项式的一个项，次数最高项的次数是这个多项式的次数.按某个字母指数的升降可将多项式进行升幂或降幂排列. 3. 单项式和多项式统称整式.
㈣代数式的值
根据问题的需要，用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算，所得的结果是代数式的值.
【典型例题】
例1. 用代数式表示：
（1）a 与1的差的平方； （2）a 与1的平方差.
分析：这两道题的关键词都是差和平方，但由于这两个关键词的顺序是不一样的，所以反映出来的运算顺序也是不一样的：差的平方是先算差，后平方；平方差是要先平方，再相减.
解：（1）（a-1）2 ； （2）a 2-12.
例2. 读出下列代数式：
（1）ab －3 （2）5x 2+7 （3）y x x - （4）a （m －n ）2
分析：先弄清每式中所含的运算，明确运算顺序，再按“先算先读，后算后读”的基本
原则读出即可.
解：（1）a 与b 的积与3的差；（2）x 的平方的5倍与7的和；（3）x 与x 、y 两数的差的商；（4）m 与n 的差的平方与a 的积.
例3. 写出下列各式的系数与次数
（1）3a （2）-mn （3）π
322
b - （4）2
分析： 单项式的系数是各式的数字因数，次数是式中所有字母的指数的和. 解：（1）单项式3a 的系数是3，次数是1；（2）单项式-mn 的系数是-1，次数是2；
（3）单项式π322b -的系数是π
32-，次数是2；（4）单项式2的系数是2，次数是0.
例4. 把多项式3
223446961ab b a b a b a --+--重新排列： （1）按a 的降幂排列；（2）按b 的降幂排列.
分析：重新排列多项式的各项的位置时，要注意连同它前面的符号一起排列.按某字母
降幂排列，即将该字母的指数由高到低排列，常数项可作为该字母的指数最低的项.
解：（1）16964
32234----+b ab b a b a a （2）16964
3
2
2
3
4
-++---a b a b a ab b
例5. 当x=-0.5，
y=2
2
1
时，求代数式x （x-y ）2的值.
分析：先将字母的值代入后，再将小数化为分数，带分数化为假分数，按运算顺序正确计算即可.
解：把x=-0.5，y=2
21代入，则x （x-y ）2= -21×（-21-221）2=-21×（-3）2=-21×9=-2
9.
例6. 下图是一组数值转换机，写出图a 的输出结果，找出图b 的转换步骤，并完成下表.
分析：由图可知，图a 输出的实际上是代数式3x-2的值，而图b 只有在第一步应填“-3”，第二步填“×2”时，输出的才是2（x-3）的值.想求输出的数值，只要将输入的数值分别代入这两个代数式就行了.
解：图a 的输出结果为3x-2， 图b 第一步应填“-3”，第二步填“×2”；图a 的输出值
从左至右依次为－11，－27，－2，－4
5
，2；图b 的输出值从左至右依次为－12，－7，－6，－
211，－3
10
.
例7. （2008年梅州）如下图所示，在长和宽分别是a 、b 的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x 的正方形.
⑴用a ，b ，x 表示纸片剩余部分的面积； ⑵当a =6，b =4，x =2时，求剩余部分的面积. 分析：第⑴题是根据整体与部分的关系列代数式；第⑵题是由第⑴题的结论求代数式的
输 入
-3
2
1-
0 0.25 34 图a 的输出 图b 的输出
值.
解：⑴剩余部分的面积S=2
4ab x -；
⑵当a =6，b =4，x =2时，S=2
4ab x -=6×4-4×22=8.
例8.
（1）试用含a 的代数式表示b ； （2）计算当a=100时，b 的值.
分析：由图表可知电话费中都包含基本话费0.8元，除0.8元外的电话费都是通话时间的0.2倍.故电话费b （元）与通话时间a （分）的关系是b=0.8+0.2a.
解：（1）由题意可得，b=0.8+0.2a ；（2）当a=100时，b=0.8+0.2×100=20.8（元）.
例9. 观察下面一系列等式：32-12=8=8×1；52-32=16=8×2；72-52=24=8×3；92-72=32=8×4.
你从中发现了什么规律？用代数式表述这个规律.
分析：观察可知左边是连续奇数的平方差（大数减小数），右边是8的倍数，发现了规律，下一步就可以用代数式表述出来了.
解：这个规律用代数式可以表述为（2n+1）2-（2n-1）2=8n （n 为自然数） .
例10. 你能很快算出19952 吗？
分析：为了解决这个问题，我们考察个位数为5的自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数可用代数式表示为10n+5，问题即求（10n+5）2 的值（n 为自然数） ，试分析n ＝1，n ＝2，n=3，…这些简单情况，从中探索其中的规律，并归纳、猜想出结论（在下面横线上填上你的探索结果）.
（1）通过计算，探索规律：
152=225，可写成100×1×（1+1）+25， 252=625，可写成100×2×（2+1）+25， 352=1225，可写成100×3×（3+1）+25， 452=2025，可写成100×4×（4+1）+25， 752=5625，可写成_____________， 852=7225，可写成_____________， ……
（2）从第（1）题的结果，归纳、猜想得： （10n+5）2＝_____________.
（3）根据上面的归纳、猜想，请算出：19952＝______. 解：（1）l00×7×（7+1）+25，100×8× （8+1）+25； （2）100n （n+1）+25，n 为自然数； （3）100×199×（199+1）+25=3980025.
点评：本例的实质是先用代数式表示出一般情况，再求特殊情况下代数式值的计算规律，归纳出一般性结论，再求这个一般性结论中代数式的值，体现了“特殊—— 一般 ——特殊”的思想方法，这正是用字母代数（从特殊到一般）后再求代数式值（从一般到特殊）这种思想方法的反复应用.
例11. 若a+2004=b+2005=c+2008，则（a-b ）2+（b-c ）2+（a-c ）2= .
分析：能否从已知条件中求出a-b 、b-c 、a-c 的值是解题的关键.从题设中找到这三个代数式的值显然是比较容易的.
解：由a+2004=b+2005=c+2008知，a-b=1，b-c=3，a-c=4.代入原式=12+32+42=26.
例12. 已知代数式132++x x 的值是8，那么代数式201242
-+x x 的值是 . 分析：要求代数式201242
-+x 的值，我们会自然想到求x 的值.而由已知条件
132++x x =8，同学们根据已学的知识，是没办法求出x 的值的.如果我们细心地观察所求
代数式与已知条件间的关系，我们就能发现201242
-+x x =20)3(42-+x x ，而（x 2+3x ）
的值从条件式中是可以通过结构改造的方法求得的.因此，我们只要将（x 2+3x ）整体代入，问题就能迎刃而解了.
解：由132++x x =8得：x x 32+=7.则201242
-+x x =20)3(42
-+x x =4×7-20=8.
［数学思想方法的学习］ 1. 字母表示数的思想 引入字母表示数，是从算术进入代数的重要标志之一，正确地理解用字母表示数的意义，是学好数学基础知识的基本要求. 2. “特殊与一般”的思想方法 从几个简单的、个别的、特殊的情况去研究、探索、归纳出一般的规律和性质，反过来，应用一般的规律和性质去解决特殊的问题，这是数学中经常使用的思想方法，列代数式和求代数式的值，就体现了这种思维方法. 3. 整体思想 从大处着眼，由整体入手，通过细心的观察和深入的分析，找出整体与局部的有机联系，从整体上把握问题，从而在客观上寻求解决问题的途径的一种常用的方法.
【模拟试题】（答题时间：90分钟）
一、细心选一选（每题2分，共20分）
1. 用字母表示加法交换律，错误的是（ ）. A. a+b=b+a B. m+n=n+m C. p ·q=q ·p D. x+y=y+x
2. 如果m 表示奇数，n 表示偶数，则m+n 表示（ ）. A. 奇数 B. 偶数 C. 合数 D. 质数
3. 已知一个三位数，它的百位数字是a ，十位数字是b ， 个位数字是c ，则这个三位数字是（ ）.
A. abc
B. a+b+c
C. 100a+10b+c
D. 100c+10b+a 4. 下列代数式的意义是a ，b 的平方和的是（ ） . A.（a+b ）2 B. a+b 2 C. a 2+b D. a 2+b 2
5. 用语言叙述
1
a
-2表示的数量关系中，表达不正确的是（ ） . A. 比a 的倒数小2的数
B. 比a 的倒数大2的数
C. a 的倒数与2的差
D. 1除以a 的商与2的差
6. 下列说法：①a 与
b a
c +均是代数式，②c
ab 表示 a 除以 c 再乘 b ，③%60+a b 表示a 与b 的和的60%，④2
)(b a -表示b a 、的差的平方．其中正确的有（ ）.
A. ①②
B. ③④
C. ①④
D. ②④ 7. 已知a-b=5， c+d=-3， 则（b+c ）-（a-d ）的值为（ ）. A. 2
B. –2
C. –8
D. 8
8. 当的值是时，代数式2
2
1121x
x x x x +-++=（ ）. A. 3 B. 37 C. 23
D. 2
*9. 当的值为，那么的值是时，代数式a 06232
3++--=ax x x x （ ）.
A. –1
B. –13
C. 0
D. 6 *10. 已知-x+2y=6，则3（x-2y ）2-5（x-2y ）+6的值是（ ） . A. 84
B. 144
C. 72
D. 360
二、仔细填一填（每题2分，共20分）
11. 小明跑步速度为v 米/秒，问他的百米成绩为______秒. 12. 用代数式表示比m 的4倍大2的数为______.
13. 小彬上次数学成绩80分，这次成绩提高了a%，这次数学成绩为_______.
14. 三个连续的自然数，中间的一个为n ，则第一个为 ，第三个为 . 15. 矩形的一边长为a －2b ，另一边比第一边大2a+b ，则矩形的周长为__________. *16. 如果a=2b ， b=4c ，那么代数式
._______
354的值为b
c
a -. *17. 细胞在分裂过程中，一个细胞第一次分裂成两个，第二次分裂成4个，第三次分裂成8个，那么第n 次时细胞分裂的个数为 个.
18. 当x=7，y=4，z=0时，代数式x （2x －y+3z ）的值为__________.
**19. 某人骑自行车走了0.5小时，然后乘汽车走了1.5小时，最后步行a 千米，已知骑自行车与汽车的速度分别为v 1千米/秒和v 2千米/秒，则这个人所走的全部路程为______. 20. 教学楼大厅面积S m 2，如果矩形地毯的长为a 米，宽b 米，则大厅需铺这样的地毯____块.
三、认真算一算：（每小题6分，共24分） 21. （1）在式子2
02
1gt t u s +
=中，已知80=u 米／秒，20=t 秒，8.9=g 米/秒2，求s .
（2）已知321===c b a ，，，求代数式
abc
c b a 2
22++. *（3）已知a 是最小的正整数，b 、c 是有理数，且│3+b │+（2a-c ）2=0，求
2244
ab c a b -+-+的值.
*（4）如图所示，根据图中标明的尺寸，•写出求图中阴影部分的面积S 的公式，并求当x=3时，阴影部分的面积（π取3.14）.
四、努力解一解（共36分）
22. 按如图所示方式在餐桌上摆碗：
（1）一张餐桌上放6个碗，3张餐桌上放______个碗； 桌子的张数 3
4
5
6
…
n
…
摆碗数
23. 某校举办跳绳比赛，第一组有男生m 人，女生n 人，男生平均每分钟跳105次，女生平均每分钟跳110次，一分钟第一组学生共跳绳多少次？当m=5，n=5时，结果是多少？ 24. 今年初共青团中央发出了“保护母亲河的捐款活动”，某校初一两个班的115名学生积极参加，已知甲班
31的学生每人捐款10元，乙班5
2
的学生每人捐款10元，两班其余学生每人捐5元，设甲班有学生x 人，试用代数式表示两班捐款的总额.
*25. 某商店进货价降低8%，而售价保持不变，结果使商店的利润可提高10%，问原来利润是百分之几？
26. 已知a=3，b=2，计算：（1）a 2+2ab+b 2；（2）（a+b ）2. （3）当a=2，b=1或a=4，b=－3时，分别计算两式的值，从中可发现怎样的规律？
*27. 一根弹簧原来的长度是10厘米，当弹簧受到的拉力为F 千克（F 在一定范围内）时，弹簧的长度用l 拉力F （kg ）
弹簧长度l （cm ）
1 10+0.5
2 10+1
3 10+1.5
4 10+2
思考：
（1）写出当F=7 kg 时，弹簧的长度l 为多少厘米？ （2）写出拉力为F 时，弹簧长度l 与F 的关系式.
（3）计算当拉力F=100 kg 时弹簧的长度l 为多少厘米？
试题答案
1. C
2. A
3. C
4. D
5. B
6. D
7. C
8. B
9. B
10. B
11.
v
100
12. 4m+2 13. 80（1+ a%） 14. n-1，n+1
15. 8a －6b
16.
4
9 17. 2n
18. 70
19. （0.5 v 1+1.5 v 2+a ）千米
20.
ab
S 21. （1）2021gt t u s +
==8×20+2
1
×9.8×202=160+1960=2120（米）
； （2） abc c b a 222++=
3
7
614321321222==⨯⨯++； （3） 由题目条件知：a=1，b=-3，c=2， 22
44
ab c
a b -+-+= 274144)3(12)3(1422-=-=+--+-⨯⨯-； （4） S=π12x 2-x 2=13.53314.32
12
2=-⨯⨯.
22. （1）18；（2）18，24，30，36，…6n …
23. 105m+110n ，当m=5，n=5时，105m+110n =105×5+110×5=1075（次）. 24.
310x+52（115－x ）×10+［32x+53（115－x ）］×5=－3
x +805. 25. 设原进价为a ，利润为x ，依题意知：a+x=（1-8%）a+（1+10%）x ，因为x=0.8a ，所以原利润率为：
x a ×100%=0.8a
a
×100%=80%. 26. （1） a 2+2ab+b 2 =32+2×3×2+22=25，（2）（a+b ）2=（2+3）2=25，（3） 当a=2，b=1
时，a 2+2ab+b 2=22+2×2×1+12=9，（a+b ）2=（1+2）2=9， 当a=4，b=－3时，a 2+2ab+b 2=42+2×4×（-3）+（-3）2=1，（a+b ）2=［4+（-3）］2=1，由此可发现（a+b ）2=a 2+2ab+b 2. 27. （1）10+0.5×7=13.5（厘米），（2） 弹簧长度l 与F 的关系式：弹簧长度l=10+0.5F ， （3）10+0.5×100=60（厘米）.。