运动学例题_
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v 烟船 20 ( km h )
1
北 v船 水
30
y
v风 地
v风地
20 km h
1
O
v水 地 东
v水地
x
30
即在船上观察，烟以 的速率向南偏西
30
v风船
30 飘去。
v船水
v v0 v
v
2
y´
x´
v0
x
1
v v0 tan 60 10 tan 60 17.3 m s
H 17.3
2
v
2g
2 9.80
15.3 m
v 60
v0
Example 2 河水自西向东流动,速度为10 kmh-1. 一轮船在 水中航行, 船相对于河水的航向为北偏西30, 相对于河水 的航速为20 kmh-1. 此时风向为由东向西，风速为10 kmh-1. 试求在船上观察到的烟囱冒出的烟缕的飘向(设烟 离开烟囱后很快就获得与风相同的速度). Solution 根据相对速度公式 北 y v船 水 v 烟船 v 风船 v 风地 v 船地
v r r (2t 4) 0.4 m s 1 v 0.4et m s
2
1
a r 0.4 m s
2
an r 0.8 m s 2 a 0.8en 0.4 et m s
2
Example 2 一质点从静止出发作圆周运动，半径R=3.0m， 2 a 3.，求：（1）速度与时间的关 0 m s 切向加速度 系； （2）经过多长时间，其加速度与由圆心至质点的 矢径方向成 135 0 角？（3）在上述时间内，质点所经历 的路程和角位移各为多少？ Solution （1） a
v 船地 v 船水 v 水地 可见 v 烟船 v 风地 v 船水 v 水地
30
v风 地
O
v水 地 东
x
v 烟船 v 风地 v 船水 v 水地 v 风地 ( v 船水 ) ( v 水地 )
Example 3 一质点沿 x 轴作加速运动，已知 t =0 时， x = x0，v = v0， （1）a=-kv，求任意时刻的速度v(t)和位置x(t)； （2）a=-kx，求任意位置的速度v(x) Solution
（1） a
dv dt
kv
t
v dx
dt
t 0
v0 e
kt
a
a
135
0
0
45
s
ds
s0
vdt
0
an n
s
S 0 3t dt
3 1
1
1 5 (m)
2 S 1 5 0 5(rad ) R 3
Example 1 一观察者A坐在平板车上，车以10m/s的速 率沿水平轨道前进。他以与车前进的反方向呈60°角 向上斜抛出一石块，此时站在地面上的观察者B看到石 块沿铅垂向上运动。求石块上升的高度。 Solution 按题意作矢量图 y
kt
v
dv v v
v0
v0
kdt
0
x
x0
dx v0 e
dt
ln
k t
kt
x x0
x x0
v0 k
(e
kt
1)
)
v v0 e
v0 k
(1 e
kt
（2）
a
dv dt
kx
dv dx dx dt
v
dv dx
kxdx vdv
例题1: Example 1
一人站在崖上, 用绳子通过一滑轮向岸边拉一条小船， 如图，假设崖高为h ， 拉绳的速率为 v0 ， 初始时刻绳 长为 l 0，求：船靠岸的速度。
解： Solution
v0
l h
O
x x
x l h
2 2
2
2x
dx dt
2l
0
v
dx dt
l dl x dt
l0 - v0t (l0 v0t ) h
2 2
Example 2 一物体作直线运动，初速度为零，初加速 度为a0, 出发后经过时间间隔2秒，加速度均匀增加a0, 求经过 t 秒后物体的速度和离开出发点的距离。
Solution ：加速度： a a0
v
dv dt
3
et a
an
3dt v 3t (m s 1 ) 0 0 an 0 （2） tan 45 1 a 2 2 v (3t ) an a 3 an 3 R 3 dv
t
a
en
135
0
0
45
t 1(s)
（3）
v
ds dt
1
a0 2 t
a
dv dt
t
t
dv adt
v
v
0
a0 2 a0 2 a0 3 x 0 vdt a0t t dt t t 0 0 4 2 12
t
t
a0 a0 2 dv adt a0 t dt a0t t 0 0 2 4 dx v dx vdt dt
kxdx
x0 x
v
v0
vdv
(v v )
2 2 0
1 2
k(x x )
2 0 2
1 2
v v k(x x )
2 0 2 0 2
Example 1 半径为r=0.2m的飞轮，可绕o轴转动。已知 轮缘上一点M的运动方程为 t 2 4t，求在1秒时刻 M点的速度和加速度。 d d Solution 2 2t 4 dt dt
1
北 v船 水
30
y
v风 地
v风地
20 km h
1
O
v水 地 东
v水地
x
30
即在船上观察，烟以 的速率向南偏西
30
v风船
30 飘去。
v船水
v v0 v
v
2
y´
x´
v0
x
1
v v0 tan 60 10 tan 60 17.3 m s
H 17.3
2
v
2g
2 9.80
15.3 m
v 60
v0
Example 2 河水自西向东流动,速度为10 kmh-1. 一轮船在 水中航行, 船相对于河水的航向为北偏西30, 相对于河水 的航速为20 kmh-1. 此时风向为由东向西，风速为10 kmh-1. 试求在船上观察到的烟囱冒出的烟缕的飘向(设烟 离开烟囱后很快就获得与风相同的速度). Solution 根据相对速度公式 北 y v船 水 v 烟船 v 风船 v 风地 v 船地
v r r (2t 4) 0.4 m s 1 v 0.4et m s
2
1
a r 0.4 m s
2
an r 0.8 m s 2 a 0.8en 0.4 et m s
2
Example 2 一质点从静止出发作圆周运动，半径R=3.0m， 2 a 3.，求：（1）速度与时间的关 0 m s 切向加速度 系； （2）经过多长时间，其加速度与由圆心至质点的 矢径方向成 135 0 角？（3）在上述时间内，质点所经历 的路程和角位移各为多少？ Solution （1） a
v 船地 v 船水 v 水地 可见 v 烟船 v 风地 v 船水 v 水地
30
v风 地
O
v水 地 东
x
v 烟船 v 风地 v 船水 v 水地 v 风地 ( v 船水 ) ( v 水地 )
Example 3 一质点沿 x 轴作加速运动，已知 t =0 时， x = x0，v = v0， （1）a=-kv，求任意时刻的速度v(t)和位置x(t)； （2）a=-kx，求任意位置的速度v(x) Solution
（1） a
dv dt
kv
t
v dx
dt
t 0
v0 e
kt
a
a
135
0
0
45
s
ds
s0
vdt
0
an n
s
S 0 3t dt
3 1
1
1 5 (m)
2 S 1 5 0 5(rad ) R 3
Example 1 一观察者A坐在平板车上，车以10m/s的速 率沿水平轨道前进。他以与车前进的反方向呈60°角 向上斜抛出一石块，此时站在地面上的观察者B看到石 块沿铅垂向上运动。求石块上升的高度。 Solution 按题意作矢量图 y
kt
v
dv v v
v0
v0
kdt
0
x
x0
dx v0 e
dt
ln
k t
kt
x x0
x x0
v0 k
(e
kt
1)
)
v v0 e
v0 k
(1 e
kt
（2）
a
dv dt
kx
dv dx dx dt
v
dv dx
kxdx vdv
例题1: Example 1
一人站在崖上, 用绳子通过一滑轮向岸边拉一条小船， 如图，假设崖高为h ， 拉绳的速率为 v0 ， 初始时刻绳 长为 l 0，求：船靠岸的速度。
解： Solution
v0
l h
O
x x
x l h
2 2
2
2x
dx dt
2l
0
v
dx dt
l dl x dt
l0 - v0t (l0 v0t ) h
2 2
Example 2 一物体作直线运动，初速度为零，初加速 度为a0, 出发后经过时间间隔2秒，加速度均匀增加a0, 求经过 t 秒后物体的速度和离开出发点的距离。
Solution ：加速度： a a0
v
dv dt
3
et a
an
3dt v 3t (m s 1 ) 0 0 an 0 （2） tan 45 1 a 2 2 v (3t ) an a 3 an 3 R 3 dv
t
a
en
135
0
0
45
t 1(s)
（3）
v
ds dt
1
a0 2 t
a
dv dt
t
t
dv adt
v
v
0
a0 2 a0 2 a0 3 x 0 vdt a0t t dt t t 0 0 4 2 12
t
t
a0 a0 2 dv adt a0 t dt a0t t 0 0 2 4 dx v dx vdt dt
kxdx
x0 x
v
v0
vdv
(v v )
2 2 0
1 2
k(x x )
2 0 2
1 2
v v k(x x )
2 0 2 0 2
Example 1 半径为r=0.2m的飞轮，可绕o轴转动。已知 轮缘上一点M的运动方程为 t 2 4t，求在1秒时刻 M点的速度和加速度。 d d Solution 2 2t 4 dt dt