第二章 平面杆件体系的几何组成分析
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余约束的数目n，称为超静定次数。
静定结构
一次超静定结构
对静定结构进行内力分析时，只需考虑静 力平衡条件；而对超静定结构进行内力分析时， 除了考虑静力平衡条件外，还需考虑变形条件。
第五节 平面杆件结构的分类
平面杆件结构按其受力特征可分为以下几 种类型： （1） 梁
梁是一种以弯曲变形为主的构件，其轴线通常为直 线。梁可以是单跨的或多跨的（图2.23）。
第二章 平面杆件体系的几何 组成分析
学习要求
4. 了解体系的几何组成与静定性的关系， 能正确区分静定结构与超静定结构。
5. 了解平面杆件结构的分类。
第二章 平面杆件体系的几何组成分析
2.1 概述 2.2 几何不变体系的基本组成规则 2.3 几何组成分析举例 2.4 体系的几何组成与静定性的关系 2.5 平面杆件结构的分类
【例2.5】 试对图2.17所示体系进行几何组成分析。 【解】 1)计算自由度。
W=3m2hr =3×42×36=0 2)几何组成分析。
图2.17
A II
A
Ⅲ
B
I
B
C CⅣ
D
E
D
E
A
B
C
D
E
Ⅴ
该体系是无多余约束的几何不变体系
【例2.6】试对图2.18所示体系进行几何组成分析。 【解】 1)计算自由度。
【例2.1】 试计算图2.7所示 体系的自由度
G
E
F
A
B
C
D
图2.7
【解】 该体系的刚片数m=6；铰E和F分别为连接三刚片 的复铰，各相当于二个单铰，铰G为单铰，故单 铰总数h=5，支座链杆数r=6。体系的自由度为
W=3m2hr =3×62×56=2
【例2.2】 试计算图2.8
A
B
所示体系的自由度。
C
D
E
F
图2.8
【解】 该体系的刚片数m=6；铰E和F各为连接三刚
片的复铰，各相当于二个单铰，铰A、B、C、
D各为单铰，故单铰总数h=8；支座链杆数r=3。 体系的自由度为
W=3m2hr =3×62×83= 1
【例2.3】 试计算图2.9所示体系的自由度。
D
E
A
Biblioteka Baidu
C
B
图2.9
【解】 该体系全部由链杆而组成。结点数j=5，链 杆数b=7，支座链杆数r=3，体系的自由度为
系的几何可变或不变性。
图2.14
四、对瞬变体系的进一步分析
如在图2.15(a)所示体系中，在荷载F作用下，铰C向 下发生一微小位移而到达C＇位置。
由图2.15(b)列出平衡方程
ΣX=0 FBCcosFACcos =0
得 FBC=FAC=FN
ΣY=0 2FNsinF=0 FN F
2 s in
的直杆称为链杆。
一根链杆相当于一个约束。
O
一个固定铰支座相当于二个约束
I AA C
x
图2.4
一个固定端支座相当于三个约束。
连接两个刚片的铰称为单铰。一个单铰相当于两 个约束［图2.4(c)］ 一个铰同时连接两个以上刚片时，这种铰称为复 铰 图 2.4(d)连 接 n个 刚片 的 复 铰 ， 其 作 用相 当 于 （n1）个单铰
(a)
图2.2
（b）
二、几何组成分析的目的
1. 判别某一体系是否几何不变，从而决定它能否 作为结构
2. 研究几何不变体系的组成规则，以保证所设计 的结构是几何不变的
3. 正确区分静定结构和超静定结构，为结构的内 力计算打下必要的基础
三、刚片、自由度和约束的概念
1. 刚片：一根杆件,平面体系中又把刚体称为刚片, 体系中已被肯定为几何不变的某个部分和 支承体系的基础都可看成是一个刚片
化 ，体系与基础是按两刚片规则连接时，则
可先撤去这些支座链杆，只分析体系内部杆件
的几何组成性质。
【例2.4】 试对图2.16所示体系进行几何组成分析
【解】
1)计算自由度。 W=2jbr=2×7113=0
2)几何组成分析。
图2.16
B
E
A
C DF
G
B
E
A G
C DF
该体系是无多余约束的几何不变体系
W=2jbr =2×573=0
2. 计算结果的讨论
W＞0。表明体系存在自由度，缺乏足够的约束，体系 一定为几何可变的。
W=0。 表明体系具有保证几何不变的最少约束数。如 约束布置得当，则体系为几何不变的；否则为几何可 变的。 W＜0。表明体系有多余约束。但有多余约束的体系不 一定为几何不变的，如约束布置不当，仍可为几何可 变的。 W≤0是保证体系几何不变的必要条件，但不是充分条 件。为了判别一个体系是否几何不变，还需进一步研 究几何不变体系的组成规则。
第二节 几何不变体系的 基本组成规则
本节讨论平面杆件体系无多余约束的几何不 变体系的基本组成规则。
一、二刚片连接规则
两刚片用不全交于一点也不全平行的三根链杆相互 连接，或用一个铰及一根不通过铰心的链杆相连接， 组成无多余约束的几何不变体系。
图2.10
瞬变体系 发生微小位移后不再运动的体系 当两刚片之间用一个单铰及链杆连接时，若链
图2.27
（5）拱
拱的轴线多为曲线，其特点是在竖向荷载作用下 能产生水平支座反力（图2.22）。这种水平支座 反力可减少拱横截面上的弯矩。
图2.22
本章完
第二章 平面杆件体系的几何 组成分析
内容提要
本章介绍平面杆件体系的几何组成分析， 内容包括几何组成分析的目的，刚片、自由 度与约束等基本概念，几何不变体系的组成 规则，判别体系是否几何不变，正确区分静 定结构和超静定结构，以及平面杆件结构的 分类。本章是以后进行结构内力计算的基础。
第二章 平面杆件体系的几何 组成分析
杆通过铰心［图2.11(a)、（b）］，则体系是几何可 变或瞬变的。
几何可变体系
瞬变体系 几何可变体系 图2.11
瞬变体系
二、三刚片连接规则
三刚片用不在同一直线上的三个铰两两 相连，组成无多余约束的几何不变体系。
图2.12
瞬变体系 图2.13
三、加减二元体规则
二元体 两根不共线的链杆连接一个结点的装置 在一个体系上增加或减少二元体，不改变体
学习要求
1. 理解几何不变体系与几何可变体系的 概念。了解几何组成分析的目的。
2. 了解几何组成分析中的若干基本概念， 主要有：刚片，自由度，约束对自由度的影 响，单铰、复铰，虚铰、瞬铰，多余约束， 瞬变体系。
3. 掌握平面体系的自由度计算。掌握几 何不变体系的基本组成规则，并能熟练运用 规则对一般的平面杆件体系进行几何组成分 析。
当θ→0时，不论F有多小，FN→∞，这 将造成杆件破坏。
图2.15
第三节 几何组成分析举例
1、若W＞0（或V＞0），则可判别
计算体系的 体系为几何可变的
自由度W ：
2、若W≤0（或V≤0），说明体系满 足几何不变的必要条件,应用基本组 成规则进行分析
注意: 在分析过程中，应用规则扩大可判别为几何不 变的部分作为刚片，逐一撤除二元体使分析简
2. 自由度：体系在运动时，确定其位置所需的独立 坐标的数目
平面内一个点的自由度等于2 ［图2.3(a)］ 平面内一个刚片的自由度等于3 ［图2.3(b)］
y
y
x
y o
x
y
xo
x
图2.3
3. 约束对自由度的影响
约束是刚片和刚片之间的某种
连接装置，是限制体系运动的
一种条件。
y
两端是铰链连接，中间不受力
A
A
(a)
(b)
图2.6
四、平面体系的自由度计算
1. 计算公式 W=3m2hr W——体系的计算自由度；
m——刚片数；
h——单铰数；
W=2jbr
r——支座链杆数 j——铰结点数；
b——链杆数；
r——支座链杆数。
V=3m2h3 V ——体系内部的计算自由
V=2jb3
度(当体系不与基础相连时 )
图2.23
（2）刚架
刚架是由直杆组成，其结点全部或部分为刚结点 的结构（图2.24）。刚架各杆主要承受弯矩，也 承受剪力和轴力。
图2.24
（3）桁架
桁架是由直杆组成，其所有结点都为铰结点的 结构（图2.25）。在平面结点荷载作用下各杆主 要产生轴力。
图2.25
(4) 组合结构
组合结构是由桁架和梁或刚架组合在一起而形成 的结构（图2.27）。 其特点是一部分杆件只承受轴力，而另一部分杆 件则同时承受弯矩、剪力和轴力。
W=2jbr =2×15264=0
2)几何组成分析。
图2.18
B
A
C
D
E
O1
B
O2
A
I
II
C
D
E
III
体系为瞬变体系
【例2.7】 试对图2.19所示体系进行几何组成分析。 【解】 1)计算自由度。 W=2jbr=2×8134=－1 2)几何组成分析。
图2.19
D
C
H G
O
II
E A
图2.4
o o
y
杆的延长线的交点而形成的铰
称 为 虚 铰 ［ 图 2.5 （ a ） ］ 、 ［图2.5（b）］
O x
(a)
y
虚铰的作用与单铰一样，仍相 当于两个约束
I
o
II
O
x
(b)
图2.5
如果在一个体系中增加一个约束，而体系的自由度 并不因此而减少，则此约束称为多余约束 ［图 2.6(a)］［图2.6(b)］
F B
I
体系为瞬变体系
【例2.8】 试对图2.20所示体系进行几何组成分析。 【解】 1)计算自由度。
W=3m2hr=3×32×26=－1
2)几何组成分析。
图2.20
II
D
Ⅳ III
A
B
I
Ⅴ
C
体系为有一个多余约束的几何不变体系
第四节 体系的几何组成与 静定性的关系
无多余约束的几何不变体系是静定结构。 有多余约束的几何不变体系是超静定结构。多
第一节 概述
一、几何不变体系和几何可变体系
杆件结构是由若干杆件按一定规律互相连接 在一起而组成，用来承受荷载作用的体系。
图2.1
几何不变体系：在任意荷载作用下，其原有的几何 形状和位置保持不变［图2.2(a)］
几何可变体系：在任意荷载作用下，其几何形状和 位置发生变化［图2.2（b）］
工程结构必须 是几何不变体 系
静定结构
一次超静定结构
对静定结构进行内力分析时，只需考虑静 力平衡条件；而对超静定结构进行内力分析时， 除了考虑静力平衡条件外，还需考虑变形条件。
第五节 平面杆件结构的分类
平面杆件结构按其受力特征可分为以下几 种类型： （1） 梁
梁是一种以弯曲变形为主的构件，其轴线通常为直 线。梁可以是单跨的或多跨的（图2.23）。
第二章 平面杆件体系的几何 组成分析
学习要求
4. 了解体系的几何组成与静定性的关系， 能正确区分静定结构与超静定结构。
5. 了解平面杆件结构的分类。
第二章 平面杆件体系的几何组成分析
2.1 概述 2.2 几何不变体系的基本组成规则 2.3 几何组成分析举例 2.4 体系的几何组成与静定性的关系 2.5 平面杆件结构的分类
【例2.5】 试对图2.17所示体系进行几何组成分析。 【解】 1)计算自由度。
W=3m2hr =3×42×36=0 2)几何组成分析。
图2.17
A II
A
Ⅲ
B
I
B
C CⅣ
D
E
D
E
A
B
C
D
E
Ⅴ
该体系是无多余约束的几何不变体系
【例2.6】试对图2.18所示体系进行几何组成分析。 【解】 1)计算自由度。
【例2.1】 试计算图2.7所示 体系的自由度
G
E
F
A
B
C
D
图2.7
【解】 该体系的刚片数m=6；铰E和F分别为连接三刚片 的复铰，各相当于二个单铰，铰G为单铰，故单 铰总数h=5，支座链杆数r=6。体系的自由度为
W=3m2hr =3×62×56=2
【例2.2】 试计算图2.8
A
B
所示体系的自由度。
C
D
E
F
图2.8
【解】 该体系的刚片数m=6；铰E和F各为连接三刚
片的复铰，各相当于二个单铰，铰A、B、C、
D各为单铰，故单铰总数h=8；支座链杆数r=3。 体系的自由度为
W=3m2hr =3×62×83= 1
【例2.3】 试计算图2.9所示体系的自由度。
D
E
A
Biblioteka Baidu
C
B
图2.9
【解】 该体系全部由链杆而组成。结点数j=5，链 杆数b=7，支座链杆数r=3，体系的自由度为
系的几何可变或不变性。
图2.14
四、对瞬变体系的进一步分析
如在图2.15(a)所示体系中，在荷载F作用下，铰C向 下发生一微小位移而到达C＇位置。
由图2.15(b)列出平衡方程
ΣX=0 FBCcosFACcos =0
得 FBC=FAC=FN
ΣY=0 2FNsinF=0 FN F
2 s in
的直杆称为链杆。
一根链杆相当于一个约束。
O
一个固定铰支座相当于二个约束
I AA C
x
图2.4
一个固定端支座相当于三个约束。
连接两个刚片的铰称为单铰。一个单铰相当于两 个约束［图2.4(c)］ 一个铰同时连接两个以上刚片时，这种铰称为复 铰 图 2.4(d)连 接 n个 刚片 的 复 铰 ， 其 作 用相 当 于 （n1）个单铰
(a)
图2.2
（b）
二、几何组成分析的目的
1. 判别某一体系是否几何不变，从而决定它能否 作为结构
2. 研究几何不变体系的组成规则，以保证所设计 的结构是几何不变的
3. 正确区分静定结构和超静定结构，为结构的内 力计算打下必要的基础
三、刚片、自由度和约束的概念
1. 刚片：一根杆件,平面体系中又把刚体称为刚片, 体系中已被肯定为几何不变的某个部分和 支承体系的基础都可看成是一个刚片
化 ，体系与基础是按两刚片规则连接时，则
可先撤去这些支座链杆，只分析体系内部杆件
的几何组成性质。
【例2.4】 试对图2.16所示体系进行几何组成分析
【解】
1)计算自由度。 W=2jbr=2×7113=0
2)几何组成分析。
图2.16
B
E
A
C DF
G
B
E
A G
C DF
该体系是无多余约束的几何不变体系
W=2jbr =2×573=0
2. 计算结果的讨论
W＞0。表明体系存在自由度，缺乏足够的约束，体系 一定为几何可变的。
W=0。 表明体系具有保证几何不变的最少约束数。如 约束布置得当，则体系为几何不变的；否则为几何可 变的。 W＜0。表明体系有多余约束。但有多余约束的体系不 一定为几何不变的，如约束布置不当，仍可为几何可 变的。 W≤0是保证体系几何不变的必要条件，但不是充分条 件。为了判别一个体系是否几何不变，还需进一步研 究几何不变体系的组成规则。
第二节 几何不变体系的 基本组成规则
本节讨论平面杆件体系无多余约束的几何不 变体系的基本组成规则。
一、二刚片连接规则
两刚片用不全交于一点也不全平行的三根链杆相互 连接，或用一个铰及一根不通过铰心的链杆相连接， 组成无多余约束的几何不变体系。
图2.10
瞬变体系 发生微小位移后不再运动的体系 当两刚片之间用一个单铰及链杆连接时，若链
图2.27
（5）拱
拱的轴线多为曲线，其特点是在竖向荷载作用下 能产生水平支座反力（图2.22）。这种水平支座 反力可减少拱横截面上的弯矩。
图2.22
本章完
第二章 平面杆件体系的几何 组成分析
内容提要
本章介绍平面杆件体系的几何组成分析， 内容包括几何组成分析的目的，刚片、自由 度与约束等基本概念，几何不变体系的组成 规则，判别体系是否几何不变，正确区分静 定结构和超静定结构，以及平面杆件结构的 分类。本章是以后进行结构内力计算的基础。
第二章 平面杆件体系的几何 组成分析
杆通过铰心［图2.11(a)、（b）］，则体系是几何可 变或瞬变的。
几何可变体系
瞬变体系 几何可变体系 图2.11
瞬变体系
二、三刚片连接规则
三刚片用不在同一直线上的三个铰两两 相连，组成无多余约束的几何不变体系。
图2.12
瞬变体系 图2.13
三、加减二元体规则
二元体 两根不共线的链杆连接一个结点的装置 在一个体系上增加或减少二元体，不改变体
学习要求
1. 理解几何不变体系与几何可变体系的 概念。了解几何组成分析的目的。
2. 了解几何组成分析中的若干基本概念， 主要有：刚片，自由度，约束对自由度的影 响，单铰、复铰，虚铰、瞬铰，多余约束， 瞬变体系。
3. 掌握平面体系的自由度计算。掌握几 何不变体系的基本组成规则，并能熟练运用 规则对一般的平面杆件体系进行几何组成分 析。
当θ→0时，不论F有多小，FN→∞，这 将造成杆件破坏。
图2.15
第三节 几何组成分析举例
1、若W＞0（或V＞0），则可判别
计算体系的 体系为几何可变的
自由度W ：
2、若W≤0（或V≤0），说明体系满 足几何不变的必要条件,应用基本组 成规则进行分析
注意: 在分析过程中，应用规则扩大可判别为几何不 变的部分作为刚片，逐一撤除二元体使分析简
2. 自由度：体系在运动时，确定其位置所需的独立 坐标的数目
平面内一个点的自由度等于2 ［图2.3(a)］ 平面内一个刚片的自由度等于3 ［图2.3(b)］
y
y
x
y o
x
y
xo
x
图2.3
3. 约束对自由度的影响
约束是刚片和刚片之间的某种
连接装置，是限制体系运动的
一种条件。
y
两端是铰链连接，中间不受力
A
A
(a)
(b)
图2.6
四、平面体系的自由度计算
1. 计算公式 W=3m2hr W——体系的计算自由度；
m——刚片数；
h——单铰数；
W=2jbr
r——支座链杆数 j——铰结点数；
b——链杆数；
r——支座链杆数。
V=3m2h3 V ——体系内部的计算自由
V=2jb3
度(当体系不与基础相连时 )
图2.23
（2）刚架
刚架是由直杆组成，其结点全部或部分为刚结点 的结构（图2.24）。刚架各杆主要承受弯矩，也 承受剪力和轴力。
图2.24
（3）桁架
桁架是由直杆组成，其所有结点都为铰结点的 结构（图2.25）。在平面结点荷载作用下各杆主 要产生轴力。
图2.25
(4) 组合结构
组合结构是由桁架和梁或刚架组合在一起而形成 的结构（图2.27）。 其特点是一部分杆件只承受轴力，而另一部分杆 件则同时承受弯矩、剪力和轴力。
W=2jbr =2×15264=0
2)几何组成分析。
图2.18
B
A
C
D
E
O1
B
O2
A
I
II
C
D
E
III
体系为瞬变体系
【例2.7】 试对图2.19所示体系进行几何组成分析。 【解】 1)计算自由度。 W=2jbr=2×8134=－1 2)几何组成分析。
图2.19
D
C
H G
O
II
E A
图2.4
o o
y
杆的延长线的交点而形成的铰
称 为 虚 铰 ［ 图 2.5 （ a ） ］ 、 ［图2.5（b）］
O x
(a)
y
虚铰的作用与单铰一样，仍相 当于两个约束
I
o
II
O
x
(b)
图2.5
如果在一个体系中增加一个约束，而体系的自由度 并不因此而减少，则此约束称为多余约束 ［图 2.6(a)］［图2.6(b)］
F B
I
体系为瞬变体系
【例2.8】 试对图2.20所示体系进行几何组成分析。 【解】 1)计算自由度。
W=3m2hr=3×32×26=－1
2)几何组成分析。
图2.20
II
D
Ⅳ III
A
B
I
Ⅴ
C
体系为有一个多余约束的几何不变体系
第四节 体系的几何组成与 静定性的关系
无多余约束的几何不变体系是静定结构。 有多余约束的几何不变体系是超静定结构。多
第一节 概述
一、几何不变体系和几何可变体系
杆件结构是由若干杆件按一定规律互相连接 在一起而组成，用来承受荷载作用的体系。
图2.1
几何不变体系：在任意荷载作用下，其原有的几何 形状和位置保持不变［图2.2(a)］
几何可变体系：在任意荷载作用下，其几何形状和 位置发生变化［图2.2（b）］
工程结构必须 是几何不变体 系