一(复数与复数运算)

结论 tgArgz y
x
设1为z 0的一个辐角，则
Argz 1 2k k为任意整数
Argz的主值 arg z：z 百度文库的辐角中，满足 0 0 2
的角.
z 0时，辐角没有意义.
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共轭复数 设 z x iy, 定义 z的共轭复数 z x iy. 共轭复数的性质:
i) z1 z2 z1 z2 z1z2 z1z2
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复数的三角表示式：z rcos i sin
r
x2 y2
复数的指数表示式： z rei
arctg( y / x)
欧拉公式
r称为z的模： z x2 y2
y
x z , y z , z x y , zz z 2
Z z
z的辐角： Argz
O
x
z 0时，以正实轴为始边，以表示z的向量OP为终边的弧度数
复函 2i ln 2 i(2n 1) 1,1 ez ezi2n
(a z)
2
复变函数的内容： １、将“实函”中, 函数、极限、连续、微商、积分、级数推 广至“复函”中； ２、解除了实数领域中若干禁令：
３、建立了三角函数和指数函数，双曲函数的关系
eix cos x i sin x,
shx为双曲正弦
•S
A
因当z点无限地远离原点时 或者说，当复数z的模无限地变大时，
点P就无限地接近于N. 所以，规定： 复平面上有一个唯一的“无穷远点”与N相对应相. 应地，规定：
复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点 N相对应. 记为∞
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三. 复数的运算
z1 x1 iy1, z2 x2 iy2 和差 z1 z2 (x1 x2 ) i( y1 y2 )
(1.3.7)
定义
z n
1 zn
zn r ncos nθ i sin n
r ncos nθ i sinnθ
r 1
棣莫弗(DeMoivre)公式：
cosθ i sin n cos nθ i sinn
(1.3.8)
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z的n次根： w n z
下面求出w
令z rcosθ i sin
第一篇 复变函数论
复变函数理论被人誉为19世纪最独特的创造，这个新的数学 分支统治了19世纪。几乎象微积分的直接扩展统治了18世纪那 样，曾被称为19世纪的数学享受，也曾被称为抽象科学最和谐 的理论之一。
复变函数理论中最重要的内容是解析函数。解析函数不仅对 数学自身的发展起了重大作用，而且在理论物理、空气动力学、 流体力学、天体物理、弹性理论及其工程技术中也有广泛的应 用。所以本篇研究的中心问题是解析函数的问题。
z2 3 4i
25
55
例2 设 z 1 3i ,求 Re( z), Im( z) 与 zz i 1i
z 1 3i i 3i(1 i) i 3 i 3 3 1 i
i 1i
(1 i)(1 i)
2 2 22
Re(z) 3 , Im(z) 1 , zz ( 3 1 i)(3 1 i) 5
sin(ix) ishx,
chx为双曲余弦
cos(ix) chx,
shx 1 (ex ex )•••••chx 1 (ex ex )
2
2
3
二. 复变函数的应用： 1、解偏微分方程的边值问题，如：保角变换法、 复变函数法； 2、解偏微分方程的初值问题，如：积分变换法、 行波法；
3、计算实积分，如：留数定理。
交换律结合律
z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 积 z1z2 (x1x2 y1 y2 ) i(x1 y2 x2 y1)
交换律、结合律、分配律
商
z1 z2
x1x2 x22
y1 y2 y22
i
x2 y1 x1 y2 x22 y22
除法是乘法的逆运算
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有的时候采用三角式或者指数式表示更加简单：
4
第一章 复变函数
§1.1 复数与复数运算
一. 复数的基本概念
虚数单位 i i2 1
y Z
z
复数
z x iy,
代数式 O
实部、虚部 x Rez y Im z
x 复数平面
实轴
纯虚数
z iy, y 0.
虚轴
两个复数相等 实部和虚部分别相等 复数还可以用复平面上的矢量来表示！
复数不 能比较 大小！
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w0
r1
n cos
n
i
sin
n
w1
r1 n cos
2
n
i sin
2
n
wn1
r1 n cos
2n 1
n
i sin
2n 1
n
以原点为中心，r1 n为半径的圆的内接正n边形的n个顶点
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例1
设
z1
5 5i, z2
3
4i
求
z1 z2
与
z1 z2
解: z1 5 5i 35 5i 7 1 i
由于复变函数是定义在复数集上的，为此在学习时我们首先 需要复习有关复数的概念。
1
一. 复变函数的内容： １、将“实函”中, 函数、极限、连续、微商、积分、级数推 广至“复函”中；
２、解除了实数领域中若干禁令：
实函
(a x)
2
不存在
ln(2)
不存在
| cos a |
ea
| sin a |
1 ex exb
w cos i sin
由棣莫弗公式得：
n cos n i sinn rcosθ i sin
n r cosn cos sinn sin
n r , n 2k , k 0,1,2,
n r,
2k ,
n
k 0,1,2, , n 1时，得到n个相异的根：
z1z2 12[cos(1 2 ) i sin(1 2 )]
••••
ei(12 ) 12
z1 z2
1 2
[cos(1 2 ) i sin(1 2 )]
••• 1 ei(12 ) 2
辐角不能唯一确定，可以相差2 的整数倍
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z的n次幂： zn zz z
n个
zn r n cos nθ i sinn
2
2
22 22 2
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例3 将 z 12 2i 化为三角表示和指数表示.
z1 z1
z2
z2
ii) z z
y
iii) zz Rez2 Im z2
Z z
iv) z z 2 Rez
z z 2i Imz
O
x
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二. 无限远点
•N
N为北极，S为南极 除去北极N，球面上的点与复平面内
P
A
的点一一对应. 即
除去北极N，球面上的点与 复数一一对应.这种对应叫做
测地投影，球叫做复数球