一(复数与复数运算)
复数及其运算(完整版本)
z1 z2
z1 z2
;
(5)zz;
(6 )zz R e (z )2 I m (z )2 |z|2 ;
恒为正整数或0,它的非负平方根称为z的模或绝对值
11
例 1 设 z13i , 求 R z )e I,m ( z )与 z( z. i 1i
解 z1 3i i 3i(1i) 3 1 i, i 1i ii (1i)1 (i) 2 2
18
19
20世纪
•16世纪，解代数方程时引入复数(笛卡尔，韦塞尔，阿尔冈) •17世纪，实变初等函数推广到复变数情形 •18世纪，逐步阐明复数的几何、物理意义。（达朗贝尔，欧拉）
流 体 力 学u (x ,y )+ iv (x ,y )
3
•19世纪，奠定理论基础。A.L.Cauchy、维尔斯特 拉斯分别用积分和级数研究复变函数，黎曼研究复 变函数的映射性质
§1-1 复数及其运算 §1-2 复平面上的点集 §1-3 复变函数及其极限和连续 §1-4 复球面与无穷远点
6
§1-1 复数及其运算
主要介绍关于复数的基本概念，包括复数的定 义、表示方法、运算法则、基本不等式的应用
7
一 复数的概念及表示法
i2 1
定 义 ： 形 如 z x y i 或 z x i y 的 数 称 为 复 数 .
则z 1 z 2 x 1 x 2 且 y 1 y 2
8
共轭复数 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两
个复数称为共轭复数, z的共轭复数记z. 为
即 z ： x i,y 则 若 z x i.y
x Rez zz , y Imz zz
2
2i
9
复数系关于加法,乘法,除法是自封闭的
复数及复数运算
复变函数（§1.1）§1.1复数运算(一)复数的基本概念一个复数z可以表为某个实数x与某个纯虚数i y的和，z = x + i y， (1.1.1) 这称为复数的代数式，x和y分别为该复数的实部和虚部，并分别记作Re z和Im z。
如果将x和y当作平面上点的坐标(图1−1)，复数z就跟平面上的点一一对应起来。
这个平面称为复数平面，两个坐标轴分别称为实轴和虚轴。
如果将x和y当作矢量的直角坐标分量(图1−1)，复数z还可以用复数平面上的矢量来表示。
改用极坐标ρ和φ (图1−1)代替直角坐标x和y，两者之间的关系如下{ρ=√x2+y2，φ=arctan(yx )；{x=ρcos φ ，y=ρsin φ 。
(1 .1 .2 )则复数z可表为三角式或指数式，即z = ρ ( cos φ + i sin φ ) ，(1 .1 .3 )或z =ρe iφ(1 .1 .4 )ρ称为该复数的模，记作|z|。
φ称为该复数的幅角，记作Arg z 。
一个复数的辐角值不能唯一地确定，可以取无穷多个值，并且彼此相差2π的整数倍。
通常约定，以arg z表示其中满足条件0 ≤ Arg z <2π的一个特定值，并称arg z为Arg z的主值，或z的主幅角。
于是有φ = Arg z = arg z + 2kπ(k = 0，±1，±2 … ) 。
复数“零”(即实部x及虚部y都等于零的复数)的辐角没有明确意义。
一个复数z的共扼复数 z∗，指的是对应的点对实轴的反映，即z∗= x –i y = ρ (cos φ –i sin φ) = ρe−iφ(1 .1 .5 )(二)无限远点前面我们将模为有限值的复数跟复数平面上的有限远点一一对应起来，在复变函数论中，通常还将模为无限大的复数也跟复数平面上的一点相对应，并且称这一点为无限远点。
关于无限远点，可作如下理解.把一个球放在复数平面上，球以南极S跟复数平面相切于原点，如(图1−2) 所示。
数学物理方法1.1复数与复数运算
12
课后习题
1.下列各式在复平面上表示什么？ (1) |z-a|=|z-b|，a、b为复常数
解：由表达式可知，这是一条直线，即a、b两点 的垂直平分线。
(3) Rez>1/2
解：设z=x+iy，则Rez=x，故原式即为x>1/2，它表 示为x>1/2的半平面。
2.将下列复数用代数式、三角式和指数式表示。
指数式和三角式的优越性 模相乘、幅角相加.
y2
z1 z2
1 2 z2
y1
1 2
z1
x1 x2
10
除法运算：
z1 x1 x2 y1 y2 x y1 x1 y2 i 2 2 2 2 2 z2 x2 y2 x2 y2
1 i ( ) e 2 1 [cos(1 2 ) i sin(1 2 )] 2
1
课程的基本要求
《数学物理方法》作为物理、电子类专业的专业基 础课，既是一门数学课程，又是一门物理课程。在 学习过程中，固然不应该将数学的严谨性弃置不 顾，也不宜在数学上作过多的纠缠；既要照顾数学 完整性与连续性，也应考虑物理模型、物理图象、 物理过程以及数学结论的物理内涵，因此，应将数 学方法与物理思想有机地联系起来，作为一个整体 加以学习。主要是掌握今后有关物理课程中遇到的 各种数学工具，并能熟练地运用这些数学手段有效 地解决物理问题。
复数与复数运算
复数与复数运算复数是数学中一个重要的概念，它由实部和虚部组成，常用形式为a+bi，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位。
复数的引入为解决一些实数范围内无法解决的问题提供了新的可能性。
在实际应用中，复数常常用于描述交流电路、信号处理、量子力学等领域。
本文将探讨复数的基本概念以及复数运算的相关内容。
一、复数的基本概念复数的引入是为了解决无法在实数范围内解决的方程，例如x^2=-1。
在实数范围内，这个方程无解，但引入了虚数单位i后，我们可以得到解x=i和x=-i，其中i^2=-1。
虚数单位i定义为i^2=-1，它是一个与实数无关的数。
复数的一般形式为a+bi，其中a为实部，bi为虚部。
实部和虚部都可以是实数，也可以是复数。
当虚部为零时，复数退化为实数。
复数的实部和虚部可以通过实数的运算进行加减乘除。
例如，(3+2i)+(1+4i)=(3+1)+(2+4)i=4+6i。
二、复数运算的基本规则复数的加减法遵循实数的运算法则，实部相加，虚部相加。
例如，(3+2i)+(1+4i)=(3+1)+(2+4)i=4+6i。
复数的乘法按照分配律进行，即(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi^2=(ac-bd)+(ad+bc)i。
复数的除法可以通过乘以共轭复数的方式进行，即(a+bi)/(c+di)=(a+bi)(c-di)/(c+di)(c-di)=(ac+bd)/(c^2+d^2)+(bc-ad)/(c^2+d^2)i。
复数的运算还可以通过极坐标形式进行。
极坐标形式表示复数的模和幅角，即z=r(cosθ+isinθ)，其中r为模，θ为幅角。
复数的模可以通过勾股定理计算得到，即|r|=√(a^2+b^2)。
复数的幅角可以通过反三角函数计算得到，即θ=arctan(b/a)。
在极坐标形式下，复数的乘法和除法变得更加简洁，即z1z2=r1r2(cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2))和z1/z2=(r1/r2)(cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2))。
数学中的复数与复数运算
数学中的复数与复数运算数学中的复数是一个非常有趣且重要的概念。
复数是由实数和虚数组成的数，可以用形如a+bi的方式表示，其中a和b都是实数，i是虚数单位，满足i^2=-1。
复数的引入是为了解决实数域中无法解决的方程问题，比如x^2+1=0。
在实数域中，这个方程无解，但是在复数域中，可以找到解x=i和x=-i。
因此，复数的引入使得我们能够解决更多的方程问题。
复数的运算也是非常有趣的。
与实数不同，复数的加法和减法是直接按照实部和虚部相加减的。
例如，(3+2i)+(1+5i)=4+7i，(3+2i)-(1+5i)=2-3i。
复数的乘法也是按照特定的规则进行的。
要计算两个复数的乘积，首先将实部相乘，然后将虚部相乘，最后将两个结果相加。
例如，(3+2i)×(1+5i)=(3×1)+(3×5i)+(2i×1)+(2i×5i)=3+15i+2i+10i^2=3+17i-10= -7+17i。
除法运算也是复数运算中的一个重要部分。
要计算两个复数的除法，首先需要将分母的共轭复数乘以分子和分母，然后将结果进行简化。
例如，(3+2i)/(1+5i)=((3+2i)(1-5i))/((1+5i)(1-5i))=(3-15i+2i-10i^2)/(1-25i^2)=(3-13i+10)/(1+25)=13/26-(13/26)i=1/2-(1/2)i。
复数的模也是一个重要的概念。
复数的模表示复数到原点的距离，可以通过勾股定理计算。
复数z=a+bi的模可以表示为|z|=√(a^2+b^2)。
模的平方也是复数的实部平方加上虚部平方的和。
例如，复数3+4i的模为|3+4i|=√(3^2+4^2)=√(9+16)=√25=5。
复数的幂运算也是复数运算中的一个重要部分。
要计算一个复数的幂，可以使用欧拉公式e^(ix)=cos(x)+isin(x)。
通过欧拉公式，可以将复数的幂转化为三角函数的形式进行计算。
复数与复数运算
谢 谢 观 看！
数学物理方法
绪论
教学目的
• 数学物理方法是高等师范院校本科教育
的一门重要基础课，它使学生获得复变 函数，傅里叶变换，三种偏微分方程的 建立与求解及球函数、柱函数等方面的 基础知识。是学习物理专业四门基础理 论课的基础与数学工具。课程目的重点 在于培养学生运用数学方法分析、解决 物理问题的能力。
课程内容
数学物理方程（七、八、九、十、十一
• 考试方式：闭卷 • 考核方式：平时10％，期末90％ • 即平时成绩满分10分，每缺席1次扣2分，6
次以上取消本门课程考试资格。
1.1 复数与复数运算
• 重点：复数与复平面上的点的对应关系，复数
的直角坐标表示，极坐标表示 • 难点：复数的指数式与代数式之间的转换，无 限远点的概念 • 掌握：复数的三种表示方式，复数的运算法则 • 1. 复数的概念
(5)复数的商： z1 x1＋iy1 ( x1＋iy1 )( x2 -iy2 ) x1 x2 y1 y2 x2 y1 x1 y2 = = 2 +i 2 2 2 z2 x2＋iy2 ( x2＋iy2 )( x2 -iy2 ) x2 y2 x2 y2 z1 1 (cos 1 i sin 1 ) 1 [cos(1 2 ) i sin(1 2 )] z2 2 (cos 2 i sin 2 ) 2
i
] , k 0,1
2 2 k 0, e cos i sin i 4 4 2 2 5 i 5 5 2 2 4 k 1, e cos i sin i 4 4 2 2
4
（8）区别：|z|2与z 2 |z|2 2 z z* , z 2 z z
复数的运算与复数方程的解法
复数的运算与复数方程的解法复数是由实数和虚数组成的数，包含实部和虚部。
在复数的运算中，可以进行加法、减法、乘法和除法操作。
同时，复数也可用于解决复数方程。
一、复数的加减法运算复数的加减法运算可以通过实部和虚部的相加减来完成。
假设有两个复数z1和z2，分别表示为z1=a1+bi，z2=a2+bi，其中a1和a2为实部，b为虚部。
1. 加法运算z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i2. 减法运算z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i通过以上公式，我们可以利用实部和虚部对复数进行相加减运算。
二、复数的乘法运算复数的乘法运算可以通过公式(a+bi)(c+di)= (ac-bd)+(ad+bc)i来完成。
1. 将两个复数展开并按照实部和虚部分别相乘，得到的结果相加即可。
例如，有复数z1=3+2i，z2=4-5i，我们可以将它们进行乘法运算：z1*z2=(3+2i)(4-5i)=(3*4-2*5)+(3*(-5)+2*4)i=(12-10)+(-15+8)i=2-7i三、复数的除法运算复数的除法运算可以通过乘法的逆运算-相乘数的倒数来完成。
假设有两个复数z1和z2，分别表示为z1=a1+bi，z2=a2+bi，其中a1和a2为实部，b为虚部。
1. 将复数z2的共轭复数(实部相同，虚部取相反数)作为除数，即z2的共轭复数为a2-bi。
2. 将z1乘以z2的共轭复数。
3. 将结果的实部除以z2和z2的共轭复数的模的平方，虚部除以模的平方，得到的商即为除法运算结果。
四、复数方程的解法复数方程是指方程中未知数是复数的方程，一般形式为az + b = 0，其中a和b为已知复数。
1. 将方程转化为标准形式：az = -b。
2. 计算方程中的变量z，得到复数解。
例如，解复数方程2z + 3i = 0：2z = -3iz = -3i/2通过以上步骤，我们可以求解复数方程的解。
总结：复数的运算可以通过实部和虚部的加减乘除运算完成，运算的结果仍然是一个复数。
复数与复数运算数学中的虚实之间
复数与复数运算数学中的虚实之间复数与复数运算：数学中虚实之间在数学中，复数是由实数与虚数相加得到的数。
虚数是一个不能用实数表示的数，它的特点是平方为负数。
复数的存在使我们能够解决一些实际问题中的难题，并且在数学的其他分支中也有广泛的应用。
本文将探讨复数的定义、运算规则以及复数与实际问题之间的联系。
复数的定义复数是由实数与虚数相加而得到的数。
在复数表示中，实数部分用a表示，虚数部分用bi表示，其中a和b都是实数，i是虚数单位，满足i²=-1。
复数的一般形式可以写作a+bi。
例如，2+3i就是一个复数，其中实数部分是2，虚数部分是3i。
复数运算规则与实数类似，复数也具有加、减、乘、除等基本运算。
1. 复数的加法与减法复数的加法就是实部与实部相加，虚部与虚部相加。
例如，(3+4i)+(2+5i)=5+9i。
复数的减法也类似，实部与实部相减，虚部与虚部相减。
例如，(3+4i)-(2+5i)=1-i。
2. 复数的乘法复数的乘法与实数的乘法类似，实部与实部相乘，虚部与虚部相乘，并且要注意虚数单位i的平方为-1。
例如，(3+4i)*(2+5i)=(6-20)+(15+10)i=-14+25i。
3. 复数的除法复数的除法涉及到共轭复数的概念。
共轭复数就是虚数的符号取相反数。
例如，对于复数a+bi，它的共轭复数为a-bi。
复数的除法可以通过乘以共轭复数的方式转化为乘法。
例如，(3+4i)/(2+5i)可以转化为(3+4i)*(2-5i)。
复数的应用复数不仅在数学中有广泛的应用，还在物理学、工程学等学科中发挥重要的作用。
1. 电路分析在电路分析中，往往涉及到交流电，而交流电是由正弦函数表示的。
而正弦函数可以通过复数的指数形式进行表示，因此复数在电路分析中起到了重要的作用。
2. 物理学中的波动现象波动现象涉及到振幅、周期和相位等概念，这些概念可以通过复数进行表示。
例如，光的电场和磁场波动可以用复数表示，从而方便地进行计算和描述。
复数的概念与运算
复数的概念与运算复数是数学中的一个重要概念，它包含了实数无法涵盖的一些数值。
在本文中，我将介绍复数的定义与表示方式，并探讨复数运算的基本规则和性质。
一、复数的定义与表示方式复数是由实数和虚数共同构成的数，可以用(a+bi)的形式表示，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位，i的平方为-1。
在复数的表示中，a和b都是实数。
二、复数的基本运算1. 加法运算两个复数的加法是将它们对应的实部和虚部分别相加。
设有两个复数z1=a+bi，z2=c+di，它们的和为：z1+z2=(a+c)+(b+d)i2. 减法运算两个复数的减法是将被减数的实部和虚部分别与减数的实部和虚部相减。
设有两个复数z1=a+bi，z2=c+di，它们的差为：z1-z2=(a-c)+(b-d)i3. 乘法运算两个复数的乘法运算遵循分配律和虚数单位的平方性质。
设有两个复数z1=a+bi，z2=c+di，它们的积为：z1*z2=(ac-bd)+(ad+bc)i4. 除法运算两个复数的除法运算需要进行乘法运算和除法运算的综合。
设有两个复数z1=a+bi，z2=c+di，它们的商为：z1/z2=((ac+bd)/(c^2+d^2))+((bc-ad)/(c^2+d^2))i三、复数的性质与应用复数运算具有如下性质：1. 加法和乘法运算满足交换律和结合律。
2. 复数的乘法满足分配律和幂运算的规则。
复数的应用广泛，特别是在电学和物理学领域中。
在电路分析中，复数的使用可以简化计算，例如在交流电路的分析中，可以将电压和电流表示为复数形式，从而方便地进行计算。
总结：复数是由实数和虚数构成的数，可以用(a+bi)的形式表示。
复数的加法、减法、乘法和除法运算分别是实部和虚部的相应运算。
复数运算具有交换律、结合律和分配律。
复数在电学和物理学中有着广泛的应用。
以上就是对复数的概念与运算的介绍。
复数作为数学中一个重要的概念，其应用领域十分广泛，并且在实际问题中有着重要的作用。
复数与复数的运算
复数与复数的运算在数学中，复数是由实部和虚部组成的数。
实部是一个实数，虚部则包含一个实数与单位虚数i的乘积。
复数可以进行加法、减法、乘法和除法等运算，下面将详细介绍复数与复数的各种运算。
一、复数加法与减法复数的加法和减法可以通过分别相加或相减实部和虚部来实现。
假设有两个复数a+bi和c+di，其中a、b、c、d分别为实数。
1. 加法：两个复数相加，实部与实部相加，虚部与虚部相加。
结果为(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。
例子：计算(2+3i)+(4+5i)的结果。
解答：将实部2和4相加，得到6；将虚部3i和5i相加，得到8i。
因此，(2+3i)+(4+5i)=6+8i。
2. 减法：两个复数相减，实部与实部相减，虚部与虚部相减。
结果为(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。
例子：计算(5+6i)-(2+3i)的结果。
解答：将实部5和2相减，得到3；将虚部6i和3i相减，得到3i。
因此，(5+6i)-(2+3i)=3+3i。
二、复数乘法复数的乘法可以通过使用分配律和乘法公式来实现。
假设有两个复数a+bi和c+di，其中a、b、c、d分别为实数。
乘法法则为：(a+bi)×(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。
例子：计算(2+3i)×(4+5i)的结果。
解答：将实部2和4相乘，得到8；将虚部3i和5i相乘，得到-15。
同时，实部2和5i相乘，得到10i；将虚部3i和4相乘，得到12i。
因此，(2+3i)×(4+5i)=8-15+10i+12i= -7+22i。
三、复数除法复数的除法可以通过乘以共轭复数并进行简化来实现。
假设有两个复数a+bi和c+di，其中a、b、c、d分别为实数且c+di≠0。
除法公式为：(a+bi)÷(c+di)=((a+bi)×(c-di))/((c+di)×(c-di))。
例子：计算(5+6i)÷(2+3i)的结果。
复数与复数的运算
复数与复数的运算复数是数学中的一个重要概念，它可以表示为实数与虚数的和。
在复数运算中，我们可以进行加法、减法、乘法和除法等操作。
本文将详细介绍复数与复数之间的运算规则，包括加减法、乘除法以及复数的共轭和模。
一、复数的表示方法复数可表示为 a+bi的形式，其中 a 为实数部分，b 为虚数部分，i 为单位虚数。
在二维坐标系中，复数 a+bi可表示为平面上的一点，其中 a 为横坐标，b 为纵坐标。
二、复数的加减法复数的加法规则非常简单，只需将实数部分与虚数部分分别相加即可。
例如，(2+3i)+(1+2i)等于 (2+1)+(3+2)i，即 3+5i。
对于复数的减法，可以将其转化为加法运算。
例如，(2+3i)-(1+2i)等于 (2-1)+(3-2)i，即 1+i。
三、复数的乘除法复数的乘法运算则需要将每一项进行展开并运算。
假设有复数 a+bi 与 c+di 相乘，计算步骤如下：1. 将 a+bi 按分配律展开，得到 a*c+a*di+b*ci+b*di²。
2. 将 i²替换为 -1，即可化简为 a*c+a*di+b*ci-b*d。
3. 对结果进行合并，得到 (ac-bd)+(ad+bc)i，即为乘法运算的结果。
例如，(2+3i)(1+2i)的乘法运算步骤如下：1. (2*1+2*2i+3i*1+3i*2i)2. (2+4i+3i-6)3. (2-6+4i+3i)4. (-4+7i)因此，(2+3i)(1+2i)的乘法结果为 -4+7i。
对于复数的除法，可以借助复数的共轭进行计算。
具体步骤如下：1. 将除数的分子与分母同时乘以除数的共轭。
2. 将除法转化为乘法。
3. 对结果进行合并、化简。
例如，(2+3i)/(1+2i)的除法运算步骤如下：1. ((2+3i)(1-2i))/(1²+(2i)²)2. ((2+6+3i-6i)/(1+4))3. ((8-3)-(6+3)i)/54. (5-9i)/55. 1-1.8i因此，(2+3i)/(1+2i)的除法结果为 1-1.8i。
复数与复数运算详细解析与归纳
复数与复数运算详细解析与归纳复数是数学中一种重要的概念，它包含了实数范围之外的数。
在本文中，我们将详细解析复数的定义、运算规则以及复数的归纳方法，旨在帮助读者更好地理解和应用复数。
一、复数的定义复数是由实数和虚数单位构成的数，通常表示为a+bi的形式，其中a和b都是实数，i是虚数单位，满足i²=-1。
复数由实部和虚部两部分组成，实部是实数部分，虚部是虚数部分。
二、复数的四则运算1. 加法：对应位置的实部和虚部分别相加。
2. 减法：对应位置的实部和虚部分别相减。
3. 乘法：按照分配律展开并合并同类项，同时注意i²的取值。
4. 除法：将除数乘以共轭复数的分子和分母，然后进行简化。
三、复数的性质与归纳1. 共轭复数：将复数的虚部取负数得到的数为共轭复数，记作z'。
共轭复数具有以下性质：a. 共轭复数的实部相等，虚部的符号相反。
b. 复数与它的共轭复数的乘积等于它的模的平方。
c. 对于实数，它的共轭复数等于它本身。
2. 复数的模和辐角：复数的模是复数到原点的距离，通常用|r|表示；辐角是复数与实轴正半轴之间的夹角，通常用θ表示。
复数的性质与归纳如下：a. 复数的模等于它与共轭复数的乘积的平方根。
b. 复数的辐角等于它在坐标平面上与实轴正半轴的夹角。
c. 两个复数相等，当且仅当它们的实部和虚部分别相等。
3. 欧拉公式：欧拉公式将复数的辐角表示为指数形式，可以用于简化复数的运算。
欧拉公式的表达式为e^(iθ) = cosθ + isinθ，其中e为自然对数的底数。
利用欧拉公式可以更方便地进行复数的乘方运算和三角函数的运算。
四、应用举例复数在物理学、工程学以及信号处理等领域有广泛的应用。
下面是一些常见的应用举例：1. 交流电路中的复数阻抗：复数可以用来表示交流电路中的电阻、电感和电容，进而分析电路中的电流和电压。
2. 复数频域分析：利用复数的欧拉公式，可以将信号在频域上进行分析和处理，例如傅里叶变换。
复数与复数运算
复数与复数运算复数是数学中的一个重要概念，它是由实数和虚数组成的。
在本文中，我们将探讨复数的定义、复数的表示形式以及复数的运算规则。
一、复数的定义与表示形式在数学中，复数是由实数和虚数构成的数，可以用以下形式表示：z = a + bi其中，z表示复数，a为实部，b为虚部，i为虚数单位，满足i² = -1。
二、复数的运算规则1. 复数的加法：将两个复数的实部相加，虚部相加即可。
例如，(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i2. 复数的减法：将两个复数的实部相减，虚部相减即可。
例如，(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i3. 复数的乘法：使用分配律展开，注意i的平方等于-1。
例如，(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi²由于i² = -1，则可化简为：(ac - bd) + (ad + bc)i4. 复数的除法：使用有理化分母的方法，将分子和分母同时乘以共轭复数的形式。
例如，(a + bi)/(c + di) = (a + bi)(c - di)/(c² + d²)经过化简，最终可得：[(ac + bd) + (bc - ad)i]/(c² + d²)三、复数的性质1. 复数的共轭：一个复数的共轭是改变虚部符号而得到的。
例如，若z = a + bi，则其共轭为z* = a - bi2. 复数的模：一个复数的模为它与原点之间的距离，可以用勾股定理来计算。
例如，若z = a + bi，则其模为|z| = √(a² + b²)3. 复数的乘法逆元：若一个复数z ≠ 0，则它的乘法逆元为倒数的共轭。
例如，若z = a + bi，则其乘法逆元为1/z = (a - bi)/(a² + b²)四、实例演算为了更好地理解复数与复数运算，我们来解决一个实际的实例问题：计算复数的乘法和除法。
数学物理方法 第一章 复变函数
z2
i=e
iπ
iπ / 2
e +1 = 0
This identity is particularly remarkable as it involves e, π, i, 1 and 0, arguably the five Leonhard Eular (1707-1783) Swiss most important constants in 4 mathematician, mathematics.
复数除法图示二
y z2
z1 z= z2
z1
|λ | | z | = | z 2 | | z1 | | λ |= 1 | z1 | | z |= | z2 |
ρ=1
ϕ 2- ϕ 1 ∆ o z2 λ ≈ ∆ o z1 z
o
λ x
z （杨超）13451827646
13
指数运算
z =ρ e
n n inϕ
= ρ (cos nϕ + i sin nϕ ) , 特别当 ρ = 1,
n
e inϕ = (e iϕ ) n = (cos ϕ + i sin ϕ ) n = cos nϕ + i sin nϕ
根式运算
n
z= ρe
n n
[
i(ϕ + 2 kπ )
]
1 n
=n ρ e
i
( ϕ + 2 kπ ) n
ϕ + 2 kπ ϕ + 2 kπ = ρ cos + i sin n n k = 0, 1, 2, ... , n - 1
2 2
(for 0 ≤ ϕ 0 < 2π ) (for 0 ≤ ϕ 0 < π ) (for π ≤ ϕ 0 < 2π )
复数的运算(一)
C
4 2
A
1 2
5.已知关于 5.已知关于 x 的实系数方程 x －2 ax+a － 4 a+4=0 的两 +4=0 |+|x |=3， ． 虚根为 x1、 x2， 且| x1|+| 2|=3，则 a 的值为
2 2
解:依题意可设两虚根为 m + ni , m − ni m + ni + m − ni = 2a 则由韦达定理得 ( m + ni )( m − ni ) = a 2 − 4a + 4 又∵ m + ni + m − ni = 3 ,∴ 2 m + n = 3
2 2
9 1 7 ∴ a − 4a + 4 = 解得 a = 或 ( 舍去) 4 2 2 评注: 系数一元二次方程 一元二次方程有虚根一定是成 评注: 实系数一元二次方程 有虚根一定是成 对出现的.(两虚根互为共轭复数) .(两虚根互为共轭复数 对出现的.(两虚根互为共轭复数)
2
为复数, 的值. 6.设 z 为复数,且 | z |=| z + 1 |= 1，求 | z − 1 | 的值.
注意到 i 2 = −1 ，虚数单位 i 可以和实数进行运 算且运算律仍成立，所以复数的加 复数的加、 算且运算律仍成立，所以复数的加、减 、乘运算我 们已经是自然而然地在进行着， 们已经是自然而然地在进行着， 只要把这些零散的 操作整理成法则 即可了！ 操作整理成法则 即可了！
1.复数加、减法的运算法则： 1.复数加、减法的运算法则： 复数加 已知两复数z 是实数） 已知两复数 1=a+bi, z2=c+di（a,b,c,d是实数） （ 是实数 (1)加法法则：z1+z2=(a+c)+(b+d)i; 加法法则： 加法法则 (2)减法法则：z1-z2=(a-c)+(b-d)i. 减法法则： 减法法则 即:两个复数相加(减)就是 两个复数相加( 实部与实部,虚部与虚部分别相加( 实部与实部,虚部与虚部分别相加(减).
初中数学知识归纳复数的概念与复数的运算
初中数学知识归纳复数的概念与复数的运算复数是数学中一个重要的概念，在初中数学学习中也是一项必须掌握的内容。
本文将对复数的概念以及复数的运算进行详细的归纳。
一、复数的概念复数是由实数和虚数构成的数，通常记作a+bi，其中a和b都是实数，i是虚数单位，满足i²=-1。
在复数a+bi中，a称为实部，bi称为虚部。
在实数范围内，有些方程是无法求根的，例如x²+1=0。
为了解决这类方程无解的问题，人们引入了虚数单位i。
虚数单位i具有i²=-1的性质，所以x²+1=0可以写成x²=-1，根据i的性质，我们可以得到x=i和x=-i两个解，这就是复数的引入。
复数既包括实数，也包括虚数，可以表示在复平面上，实部表示复数在实轴上的投影，虚部表示复数在虚轴上的投影。
二、复数的运算1. 复数的加法和减法设有两个复数a+bi和c+di，其中a、b、c、d都是实数，则它们的和为(a+c)+(b+d)i，差为(a-c)+(b-d)i。
复数的加法和减法运算就是分别对实部和虚部进行相加或相减。
2. 复数的乘法设有两个复数a+bi和c+di，它们的乘积为(ac-bd)+(ad+bc)i。
使用分配律和虚数单位i的性质，将复数的乘法运算转化为实数之间的乘法运算，并根据i²=-1化简得到最终结果。
3. 复数的除法设有两个非零复数a+bi和c+di，它们的除法为：```(a+bi)(c-di)(a+bi) / (c+di) = ---------------(c+di)(c-di)```为了将除法转化为乘法，可以借助共轭复数的概念。
共轭复数是保持实部不变、虚部相反的复数，记作a-bi。
借助共轭复数的概念，我们可以将分子和分母都乘以共轭复数来进行除法运算。
三、复数的应用复数在数学中有广泛的应用，尤其是在电学和物理学中。
在电学中，电流和电压往往是复数形式的。
复数可以表示电流或电压的幅度和相位，方便进行电路分析和计算。
复数的概念和运算
复数的概念和运算内容：1．复数的有关概念虚数单位I ；复数的定义；复数的表示法；共轭复数；复数的模；复数相等.2．复数的运算：复数代数形式的加、减、乘、除运算及加、减法运算的几何解释要求：对数的发展有初步认识；对复数有关概念有理性的认识，能够解释，举例或变形、推断，并能利用这些知识解决简单问题.对复数运算及其加、减法的几何解释有较深刻的理性认识，形成技能，并能利用所学知识解决有关问题.例1．i 2n-3+i 2n-1+i 2n+1+i 2n+3的值为（ ）.A 、-2B 、0C 、2D 、4分析与解答： 法一：原式0)()1()11(332=-+--=+++=i i i i i i i ii n n 法二：原式 0)1111()1(3264232=-+-=+++=--n n i i i i i法三：视为等比数列， 原式011)11(1)1(322832=+-=--=--n n i ii i . 选B. 几种方法（法一，法二是同一种方法）均用到了i 的运算的周期性：14=n i ，.,1,342414i i i i i n n n -=-==+++例2．设z 1,z 2为复数，那么02221=+z z 是z 1,z 2同时为零的（ ）.A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件分析与解答：若z 1,z 2同时为零，则02221=+z z 成立；而当02221=+z z 时，就不一定z 1,z 2同时为零. 如：当z 1=i, z 2=1时0112221=+-=+z z ，故选B.注意在复数集中不能套用实数集中的性质.例3．下面命题中正确的是（ ）.A 、互为共轭复数的两数之差必是纯虚数B 、复数a+b i =c+d i 的充要条件是a=c,b=d.C 、如果让实数 a 与纯虚数a i 对应，那么实数集与纯虚数集是一一对应.D 、复平面虚轴上各点与纯虚数一一对应.分析与解答：A 、否定：因为复数≠虚数，如z=3,3=z , ∴0=-z z 不是纯虚数.B 、a,b,c,d 应为R ，否则不成立，因此否定.C 、否定：a=0时，a i =0不是纯虚数.D 、正确，虚轴不包括原点.例4．已知：i z z 97||3-=-，求复数z.分析与解答：设z=a+b i (a,b ∈R)，由已知有 i b a bi a 97)(322-=+-+，整理为i bi b a a 973322-=++-，根据复数相等，有⎪⎩⎪⎨⎧-==+-)2.....(.. (9)3)1........(7322b b a a 由 (2)得b=-3代入(1)得a=4或45=a . 经检验45=a 舍去， ∴z=4-3i . 注意：利用复数相等将复数问题转化为实数问题后，在解方程组时，因有一个是无理方程，因此必须验根.例5．设z ∈c ，且|z|=2,求|31|z i +-的最小值和最大值.分析与解答： 法一：|||31||31|||||31||z i z i z i +-≤+-≤--，又∵ |z|=2, 2|31|=-i ,∴ 4|31|0≤+-≤z i ，因此|31|z i +-的最小值为0，最大值为4.此法利用的是复数模的性质：||z 1|-|z 2||≤|z 1+z 2|≤|z 1|+|z 2|.请问，你知道等号成立的条件吗？ 法二：利用复数减法的几何意义：|z|=2是以原点为圆心，2为半径的圆. )31(||31|i z z i +--=+-|表示此圆上的点到点)3,1(-M 的距离，由图知：∵M 就在圆上，所以最小距离为0，而最远距离在过M 点的直径的另一端M'处，|MM'|=2R=4，得最远距离为4.此题还有其它解法，但这两种解法最快捷.例6．当21i z --=时，求z 100+z 50+1的值. 分析与解答： 由21i z --=得i i z -=-=222， ∴i 4=-1. 则 z 100+z 50+1=(-1)25+(-1)12(-i )+1=-i . 例7．求同时满足下列两个条件的所有复数z.(1)z z 10+是实数，且6101≤+<zz . (2)z 的实部和虚部都是整数.分析与解答：由题,设 z=x+yi (x,y ∈Z 且x 2+y 2≠0),则2210101010y x yi x yi x yi x yi x z z +-++=+++=+ i yx y y x x )101()101(2222+-+++= ∵ z z 10+是实数，∴ 虚部0)101(22=+-yx y ， ∴ y=0或010122=+-y x ，又∵ 6101≤+<z z ，∴ 6)101(122≤++<y x x ……① (1)当y=0时 ①式化为 6101≤+<xx , x<0时，010<+x x ， 6101≤+<xx 无解. x>0时，,610210>≥+x x 6101≤+<x x 无解. (2)当x 2+y 2=10时，①式可化为 1<2x ≤6, ∴ 321≤<x , 又∵x,y ∈Z, ∴x=1,x=2,x=3. ∴ ⎩⎨⎧==31y x ⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧-==131331y x y x y x 因此，同时满足条件(1)和(2)的所有复数是： i i i i -+-+3,3,31,31.。
复数的运算和复数的模
一．复数的模
复平面上复数表示的点到原点 的距离。而实数的绝对值是数
y
Z(a,b)
轴上的点到原点的距离，所以
复数的模是实数绝对值概念的 o
x
扩充。|z|=|OZ|=|OZ |
对复数的模有:|z|=|a+bi|= a2 b2 ≥0;
= | z a | =1.
| z || a z |
评析：运用复数模的性质计算，能简捷.
(2)中由已知条件|z|=1,巧妙用了z· z
代换1。
例题
例5.已知Z是复数, z 1 1 , z
求证: 1 5 | z | 1 5
2
2
例题
例5.已知Z是复数, z 1
z
1,求证: 1
2
5 | z | 1 5 2
=2(z1 z1 +z2 z2 )=2(|z1|2+|z2|2)
（2）∵|zk|=r，∴
1 zk
zk r2
∴原式=
| z1 z2 1
zn |
r 2 | z1 z2 zn |
= r2
z1 z2 z1 z2
zn zn =r2.
例10.若Z为虚数,且|Z|=1,求证:z 1
是纯虚数.
z 1
例11:已知|Z|=1,求|Z2-Z+1|的最大值和最 小值.
例12.已知a,b∈R,且|a|≠|b|, |Z|=1
u a bz b az
,求证:|u|=1
例13.设z为虚数,求 z2 4 为实数的充要条件 z
解：若z2 4 为实数，则z2 4 ( z2 4)
高中数学中的复数与复数运算应用相关性质解析
高中数学中的复数与复数运算应用相关性质解析复数是高中数学中一个重要的概念。
它由实数和虚数部分组成，可表示为a+bi的形式，其中a为实数部分，b为虚数部分，i为虚数单位。
复数在数学中有广泛的应用，特别是在代数学和物理学中。
本文将解析高中数学中的复数与复数运算应用相关的性质。
一、复数的定义与性质复数是由实数和虚数部分组成的数。
实数部分可以为任意实数，而虚数部分可以写成bi的形式，b为一个非零实数。
复数的加、减、乘、除等运算可以用代数方式进行。
复数的加法和减法遵循有理数加法和减法的规律，即实部相加或相减，虚部相加或相减。
例如，(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i，(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。
复数的乘法按照分配率进行计算。
例如，(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。
复数的除法需要进行有理化处理，通过乘以共轭复数来除去分母中的虚数部分。
例如，(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c^2+d^2)+[(bc-ad)/(c^2+d^2)]i。
二、复数运算在方程中的应用复数在方程的求解中有广泛的应用。
考虑一元二次方程ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为实数且a≠0。
当Δ=b^2-4ac<0时，方程的解为复数。
复数解由下式给出：x=(-b±√Δ)/(2a)。
例如，考虑方程x^2+1=0。
由于Δ=(-1)^2-4(1)(1)=-3<0，所以方程的两个解为虚数，即x=(-1±√(-3))/(2(1))=(-1±i√3)/2。
复数解在数学中有重要的应用，特别是在解析几何和数学模型中。
例如，复数解可用于描述平面上的向量和旋转操作。
它们还可以用于解决无理数问题，如开方运算中对负数的求根等。
三、复数运算在物理学中的应用复数在物理学中具有广泛的应用，尤其是在描述振动和波动过程中。
例如，交流电的电流和电压可以用复数来表示。
复数与复数运算
复数与复数运算复数是数学中一个重要的概念，它由实数和虚数部分组成，可以用形如a + bi 的形式表示，其中a和b都是实数，i是虚数单位，满足i^2 = -1。
复数在数学和物理等领域中有着广泛的应用，它不仅可以描述波动现象和电路中的相位关系，还可以用来解决一些实数无法解决的问题。
在本文中，我们将探讨复数的基本概念和复数运算的性质。
一、复数的基本概念复数由实数部分和虚数部分组成，实数部分表示复数在实数轴上的位置，虚数部分表示复数在虚数轴上的位置。
实数部分可以为零，此时复数为纯虚数；虚数部分可以为零，此时复数为实数。
复数的模表示复数到原点的距离，可以用勾股定理计算得到，即模为√(a^2 + b^2)。
复数的幅角表示复数与实数轴正半轴的夹角，可以用三角函数计算得到，即幅角为arctan(b/a)。
复数的共轭复数表示实部不变，虚部取相反数的复数，即共轭复数为a - bi。
二、复数运算的性质1. 加法与减法：复数的加法和减法与实数的加法和减法类似，实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。
例如，(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i，(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i。
复数的加法和减法满足交换律和结合律。
2. 乘法与除法：复数的乘法和除法与实数的乘法和除法有所不同。
两个复数相乘时，实部与实部相乘减虚部与虚部相乘，并加上实部与虚部相乘的结果。
例如，(a + bi) * (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i。
两个复数相除时，可以将除数的共轭复数乘以被除数，然后将结果除以除数的模的平方。
例如，(a + bi) / (c + di) = [(ac + bd) + (bc - ad)i] / (c^2 + d^2)。
3. 幂运算：复数的幂运算可以通过将复数转化为指数形式来进行。
一个复数的n次幂等于模的n次方乘以幅角的n倍。
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12
w0
r1
n cos
n
i
sin
n
w1
r1 n cos
2
n
i sin
2
n
wn1
r1 n cos
2n 1
n
i sin
2n 1
n
以原点为中心，r1 n为半径的圆的内接正n边形的n个顶点
13
例1
设
z1
5 5i, z2
3
4i
求
z1 z2
与
z1 z2
解: z1 5 5i 35 5i 7 1 i
4
第一章 复变函数
§1.1 复数与复数运算
一. 复数的基本概念
虚数单位 i i2 1
y Z
z
复数
z x iy,
代数式 O
实部、虚部 x Rez y Im z
x 复数平面
实轴
纯虚数
z iy, y 0.
虚轴
两个复数相等 实部和虚部分别相等 复数还可以用复平面上的矢量来表示！
复数不 能比较 大小！
z1z2 12[cos(1 2 ) i sin(1 2 )]
••••
ei(12 ) 12
z1 z2
1 2
[cos(1 2 ) i sin(1 2 )]
••• 1 ei(12 ) 2
辐角不能唯一确定，可以相差2 的整数倍
10
z的n次幂： zn zz z
n个
zn r n cos nθ i sinn
结论 tgArgz y
x
设1为z 0的一个辐角，则
Argz 1 2k k为任意整数
Argz的主值 arg z：z 0的辐角中，满足 0 0 2
的角.
z 0时，辐角没有意义.
6
共轭复数 设 z x iy, 定义 z的共轭复数 z x iy. 共轭复数的性质:
i) z1 z2 z1 z2 z1z2 z1z2
sin(ix) ishx,
chx为双曲余弦
cos(ix) chx,
shx 1 (ex ex )•••••chx 1 (ex ex )
2
2
3
二. 复变函数的应用： 1、解偏微分方程的边值问题，如：保角变换法、 复变函数法； 2、解偏微分方程的初值问题，如：积分变换法、 行波法；
3、计算实积分，如：留数定理。
z2 3 4i
25
55
例2 设 z 1 3i ,求 Re( z), Im( z) 与 zz i 1i
z 1 3i i 3i(1 i) i 3 i 3 3 1 i
i 1i
(1 3 , Im(z) 1 , zz ( 3 1 i)(3 1 i) 5
第一篇 复变函数论
复变函数理论被人誉为19世纪最独特的创造，这个新的数学 分支统治了19世纪。几乎象微积分的直接扩展统治了18世纪那 样，曾被称为19世纪的数学享受，也曾被称为抽象科学最和谐 的理论之一。
复变函数理论中最重要的内容是解析函数。解析函数不仅对 数学自身的发展起了重大作用，而且在理论物理、空气动力学、 流体力学、天体物理、弹性理论及其工程技术中也有广泛的应 用。所以本篇研究的中心问题是解析函数的问题。
由于复变函数是定义在复数集上的，为此在学习时我们首先 需要复习有关复数的概念。
1
一. 复变函数的内容： １、将“实函”中, 函数、极限、连续、微商、积分、级数推 广至“复函”中；
２、解除了实数领域中若干禁令：
实函
(a x)
2
不存在
ln(2)
不存在
| cos a |
ea
| sin a |
1 ex exb
(1.3.7)
定义
z n
1 zn
zn r ncos nθ i sin n
r ncos nθ i sinnθ
r 1
棣莫弗(DeMoivre)公式：
cosθ i sin n cos nθ i sinn
(1.3.8)
11
z的n次根： w n z
下面求出w
令z rcosθ i sin
•S
A
因当z点无限地远离原点时 或者说，当复数z的模无限地变大时，
点P就无限地接近于N. 所以，规定： 复平面上有一个唯一的“无穷远点”与N相对应相. 应地，规定：
复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点 N相对应. 记为∞
8
三. 复数的运算
z1 x1 iy1, z2 x2 iy2 和差 z1 z2 (x1 x2 ) i( y1 y2 )
5
复数的三角表示式：z rcos i sin
r
x2 y2
复数的指数表示式： z rei
arctg( y / x)
欧拉公式
r称为z的模： z x2 y2
y
x z , y z , z x y , zz z 2
Z z
z的辐角： Argz
O
x
z 0时，以正实轴为始边，以表示z的向量OP为终边的弧度数
交换律结合律
z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 积 z1z2 (x1x2 y1 y2 ) i(x1 y2 x2 y1)
交换律、结合律、分配律
商
z1 z2
x1x2 x22
y1 y2 y22
i
x2 y1 x1 y2 x22 y22
除法是乘法的逆运算
9
有的时候采用三角式或者指数式表示更加简单：
w cos i sin
由棣莫弗公式得：
n cos n i sinn rcosθ i sin
n r cosn cos sinn sin
n r , n 2k , k 0,1,2,
n r,
2k ,
n
k 0,1,2, , n 1时，得到n个相异的根：
z1 z1
z2
z2
ii) z z
y
iii) zz Rez2 Im z2
Z z
iv) z z 2 Rez
z z 2i Imz
O
x
7
二. 无限远点
•N
N为北极，S为南极 除去北极N，球面上的点与复平面内
P
A
的点一一对应. 即
除去北极N，球面上的点与 复数一一对应.这种对应叫做
测地投影，球叫做复数球
2
2
22 22 2
14
例3 将 z 12 2i 化为三角表示和指数表示.
复函 2i ln 2 i(2n 1) 1,1 ez ezi2n
(a z)
2
复变函数的内容： １、将“实函”中, 函数、极限、连续、微商、积分、级数推 广至“复函”中； ２、解除了实数领域中若干禁令：
３、建立了三角函数和指数函数，双曲函数的关系
eix cos x i sin x,
shx为双曲正弦