三章寿险趸缴纯保费MicrosoftPowerPoi课件教学文案
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CH2 年末支付趸交纯保费.ppt
当 S ＝1 时，即单位保险金对应的定期两全保险的给付预期现值(期限为 n ，年龄为 x )，称之为定期两全保险的单位预期现值，用 A 表示(注意没有上标“1”)。我
x: n
们可以根据给付现值及其概率表得到：
n2
A ＝ x: n
m | qx v m1 ＋ v n n1 p x
m0
(4.6)
由 n1 p x ＝ n1| q x ＋ n p x ，得：
m0
m0
令V ＝ v 2 ，如定期寿险的形式一样，对定期两全保险，其方差为：
2A －(A )2
x: n
x: n
这里如 4.5 一样，左上方的“2”表明，它应按 2i i2 作为利率来计算。
习题1：
设一个35岁的人投保5年期的两全保险，保险 金额为10000元，保险金在死亡的保单年度 末给付。按中国人寿保险业经验生命表 （1990-1993）（男女混合），年利率为6%， 计算其趸缴净保费。
8790.04
10000A20：5 2.5%
10000(A1 20:5 2.5%
A ) 1 20：5 2.5%
8841.58
（2）10000A 9431.99 20:5 6%
（3）10000A 8881.34 60:5 2.5%
（4）10000A 9404.59 60:5 6%
4. 延期寿险的趸缴纯保费
图 4-4 假定 y 处于第 3 年和第 4 年之间：即（ x ）字的人死于 x 3 岁和 x 4 岁 之间，寿险公司将在 x 4 岁年初（ x 3 岁末）支付保险金。
我们已经知道， K x 表示（ x ）的未来生存时间的整数部分，即（ x ）将在 K x 和 K x 1 之间死亡。在死亡年末给付的定期寿险可以描述为：若 K x ＜ n ，则在 K x 1 时给付 S ；若 K x ≥n，则没有给付（ K x 表示的（ x ）死亡之年年初，所以保险金 给付在 K x 1 时，而不在 K x 时；在图 4-4 中， K x ＝ 3，保险金在 4 时候给付）。 那么保险金给付现值可如下表示：
《趸缴纯保费》PPT课件_OK
解：
1 Ax
0 zt . fT (t )dt
1 60
60 e t dt
0
1 [ 1
60
e t
/
60 0
]
1 e 60
60
(
0)
9
2Var(Z ) 2 A ( A)2
1 e 120
(1 e60t )2 (
0)
120
60
3P ( Z
0.9 )
P(vT
0.9 )
P(T
ln 0.9 )
为10元的终身寿险，随机变量T的概率密度函数是fT (t) e－t , 0.04, t 0。保险金于被保险人死亡时给付，保险金给付是从某项 基金中按利息力＝0.06计息支付。试计算这项基金在最初（t 0)时
的数额至少为多少时，才能保证从这项基金中足以支付每个被保险人 的死亡给付的概率达到95％。
范围内的死亡，保险人均给付保险金。
➢ 假定：（x)岁的人投保终身寿险，保险金额为1元
bt 1, t 0 vt vt ,t 0
Z bT vT vT ,T 0
终身寿险的趸缴纯保费：
Ax E(Z )
7
Ax E(Z )
0 zt . fT (t )dt
0
v
t
.t
p
x
.
x
t
dt
解：令Zj表示第j个被保险人的死亡给付在签单时的现值( j 1,..100)
对每个被保险人都有：
vt
bt 10, t 0 v t , t 0, v e0.06
Z j 10vT
100
令Z Z j j 1
11
Ax
0 zt . fT (t )dt
保险精算学-趸缴纯保费
1 dx+n-1 1
x+n-1 x+n dx+n-1
dx+1(1+i)n-2 dx(1+i)n-1
另一种解法：
死亡年末给付趸缴纯保费公式归纳
终身寿险
延期m年的n年定期寿险
延期m年的终身寿险
n年期两全保险 延期m年的n年期两全保 险 递增终身寿险 递减n年定期寿险
Ax= v qx+v2 1|qx+…+vn+1 n|qx +…
所以死亡年末赔付方式是保险精算师在厘定 趸缴保费时通常先假定的理赔方式。
预备1： 延期t 年的1年定期的死亡保险
若被保险人在其他时段死亡，则保险公司 无支付。试计算该保单的精算现值。
死者保单对全体保单共有财产的分享
初始人数
t 年末的 投资积累
1元赔偿
每人交的净保费
死亡人数
计算原理解释： 假设 lx 4（人）, 每人交 0.25 元,
共交 0.25 4 1.00（元）
假设利率 i 100%，则1 年末变为 0.25 4 (1100%) 2(元）
假设死亡率 50%, 则共死亡２人.
则保险费支出 １２ （ 2 元）
令
预备2: 纯粹生存年金与生者利原理
生存年金是以被保险人生存为支付条 件的年金.
生存年金的精算原理是“生者利”原 则.
基本符号
(x) —— 投保年龄 的x 人。
——人的极限年龄 bt ——保险金给付函数。
vt ——贴现函数。
zt ——保险给付金在保单生效时的现
时值
zt bt vt
趸缴纯保费的厘定
趸缴纯保费的定义 在保单生效日一次性支付将来保险赔付金的 期望现时值
x+n-1 x+n dx+n-1
dx+1(1+i)n-2 dx(1+i)n-1
另一种解法：
死亡年末给付趸缴纯保费公式归纳
终身寿险
延期m年的n年定期寿险
延期m年的终身寿险
n年期两全保险 延期m年的n年期两全保 险 递增终身寿险 递减n年定期寿险
Ax= v qx+v2 1|qx+…+vn+1 n|qx +…
所以死亡年末赔付方式是保险精算师在厘定 趸缴保费时通常先假定的理赔方式。
预备1： 延期t 年的1年定期的死亡保险
若被保险人在其他时段死亡，则保险公司 无支付。试计算该保单的精算现值。
死者保单对全体保单共有财产的分享
初始人数
t 年末的 投资积累
1元赔偿
每人交的净保费
死亡人数
计算原理解释： 假设 lx 4（人）, 每人交 0.25 元,
共交 0.25 4 1.00（元）
假设利率 i 100%，则1 年末变为 0.25 4 (1100%) 2(元）
假设死亡率 50%, 则共死亡２人.
则保险费支出 １２ （ 2 元）
令
预备2: 纯粹生存年金与生者利原理
生存年金是以被保险人生存为支付条 件的年金.
生存年金的精算原理是“生者利”原 则.
基本符号
(x) —— 投保年龄 的x 人。
——人的极限年龄 bt ——保险金给付函数。
vt ——贴现函数。
zt ——保险给付金在保单生效时的现
时值
zt bt vt
趸缴纯保费的厘定
趸缴纯保费的定义 在保单生效日一次性支付将来保险赔付金的 期望现时值
第三章 人寿保险趸缴净保费的厘定
w
记
2
A = ∫ e−2δt fT (t)dt x
0
w
方差等价公式
Var(zt ) = 2 A −(A )2 x x
投保终身寿险， 例.设(x)投保终身寿险，保险金额为 元。保险金在死亡即 设 投保终身寿险 保险金额为1元 刻赔付,利息力 已知签单时， 的剩余寿命的密度函数为 刻赔付 利息力δ 已知签单时，(x)的剩余寿命的密度函数为
3. n年定期生存险 年定期生存险 定义：被保险人投保后生存至 年期满时 保险人在第n年 年期满时， 定义：被保险人投保后生存至n年期满时，保险人在第 年 末支付生存赔付金的险种。 末支付生存赔付金的险种。
(x 假定： 岁的人，保额1元 假定： )岁的人，保额 元，n年生存险 年生存险
基本函数关系
趸缴净保费的厘定 假定条件: 假定条件 假定一：同性别、同年龄、 假定一：同性别、同年龄、同时参保的被保险人的剩余 寿命是独立同分布的。 寿命是独立同分布的。 假定二： 假定二：被保险人的剩余寿命分布可以用经验生命表进 行拟合。 行拟合。 假定三：保险公司可以预测将来的投资受益（即预定利率）。 假定三：保险公司可以预测将来的投资受益（即预定利率）。 将单个被保险人事故转化为一个同质总体的风险事故。 将单个被保险人事故转化为一个同质总体的风险事故。
0, t ≤ n 0 , t ≤ n bt = ⇒ zt = bvt = n t 1 , t >n v , t > n
趸缴净保费
A (A ) = E(zt ) = v ⋅n px = e ⋅n px
1 x:n n
1 x:n
−δn
随机变量现值方差
Var(zt ) = E(zt2 ) − E2 (zt ) = v2n ⋅n px −(vn ⋅n px )2
保险精算 第3章 趸缴纯保费
19
Actuarial Science
延期寿险的趸缴纯保费
保险精算
20
延期寿险的趸缴纯保费
延期 m年的终身寿险
0 t m bt 1 t m
vt v , t 0
t
0 Z bT vT T v
T m T m
v fT (t )dt e t fT (t )dt A m x m m
生存保险： 被保险人生存至保险期满，由保险人按保险合同的规定给付保 险金的险种 生死合险： 被保险人不论于保险期限内死亡或生存至保险期满，保险人都 负责给付保险金
5
第3章 趸缴纯保费
一类考虑死亡保险金在死亡后立即给付 给付模型 一类考虑死亡保险金在死亡的保单年度末给付
6
Actuarial Science
i i i
… 时 间 n 1 n
n
i
i
1 i
0
1
2
3
… 时 间
n2
n 1
n
31
期末付年金
1 1 1 付 款 额 … 1
n2
1
n 1
1
0
1
2
3
… 时 间
n
sn (1 i)n1 (1 i)n2 ... (1 i) 1
1 (1 i) ... (1 i)n2 (1 i)n1 1 (1 i )n (1 i ) n 1 n 1 (1 i) 1 isn 1 (1 i ) i 1
35
年金积累值
1000s10 0.06
应用实例
例 某银行客户想通过零存整取方式在1年 后得到10000元，在月复利为0.5%的情况下， 问每月末需存入多少钱才能达到其目的。 解 设每月需存入D元，有 D s12 0.005 10000
Actuarial Science
延期寿险的趸缴纯保费
保险精算
20
延期寿险的趸缴纯保费
延期 m年的终身寿险
0 t m bt 1 t m
vt v , t 0
t
0 Z bT vT T v
T m T m
v fT (t )dt e t fT (t )dt A m x m m
生存保险： 被保险人生存至保险期满，由保险人按保险合同的规定给付保 险金的险种 生死合险： 被保险人不论于保险期限内死亡或生存至保险期满，保险人都 负责给付保险金
5
第3章 趸缴纯保费
一类考虑死亡保险金在死亡后立即给付 给付模型 一类考虑死亡保险金在死亡的保单年度末给付
6
Actuarial Science
i i i
… 时 间 n 1 n
n
i
i
1 i
0
1
2
3
… 时 间
n2
n 1
n
31
期末付年金
1 1 1 付 款 额 … 1
n2
1
n 1
1
0
1
2
3
… 时 间
n
sn (1 i)n1 (1 i)n2 ... (1 i) 1
1 (1 i) ... (1 i)n2 (1 i)n1 1 (1 i )n (1 i ) n 1 n 1 (1 i) 1 isn 1 (1 i ) i 1
35
年金积累值
1000s10 0.06
应用实例
例 某银行客户想通过零存整取方式在1年 后得到10000元，在月复利为0.5%的情况下， 问每月末需存入多少钱才能达到其目的。 解 设每月需存入D元，有 D s12 0.005 10000
趸缴净保费的厘定上课讲义
寿险产品趸缴净保费的厘定
1 厘定原则和建模假设 2 建模思想 3 死亡即刻赔付趸缴净保费 4 死亡年末赔付趸缴净保费 5 不同时刻赔付的换算关系
建模思想
折算到保单签订日得到期望赔付值
要有一条共同的线索 将这些因素综合在一起考虑
什么时候 发生赔付
赔付额 等于多少
钱的 时间价值
赔付事件 发生概率
基本符号
▪ ( x ) —— 投保年龄。
▪ ——人的极限年龄
▪ b t ——保险金给付函数。
▪ v t ——贴现函数。 ▪ z t ——保险给付金在保单生效时的现时值
净保费的厘定方程
▪ 未来赔付现时值
zt bt vt
▪ 趸缴净保费等于未来赔付现时值的期望
E （ z t） z tfT ( t) d t b tv tfT ( t) d t
趸缴净保费的厘定
▪ 趸缴纯保费 ▪ 定期人寿保险 ▪ 终身人寿保险 ▪ 延期保险 ▪ 生存保险 ▪ 死亡即刻赔付
▪ 死亡年末给付
中英文单词对照
▪ Net single premium ▪ Term insurance ▪ Whole life insurance ▪ Deferred insurance ▪ Pure endowment insurance ▪ Payable at the moment of
例3.2
设(x)投保终身寿险,保险金额为1元,
签单时其未来寿命T的密度函数为
1 fT (t) 60
,
0 x 60 .
0 , 其它
利息力为( 0).
计算（1）Ax (2)Var(zt ) (3)满足P(z 0.9) 0.9的0.9.
例3.2答案
(1)Ax
寿险精算学课件-(3)精选全文
费用分类
成分
投资费用
（1）投资分析成本（2）购买、销售及服务成本
1、新契约费 （1）销售费用，包括代理人佣金及宣传广告费（2）风
保
险分类，包括体检费用（3）准备新保单及记录
险 2、维持费 （1）保费收取及会计
费
（2）给付变更及理陪选择权准备
用
（3）与保单持有人进行联络
3、营业费用 （1）研究、开发新险种费用（2）精算及一般法律服务 （3）普通会计（4）税金、许可证等费用
0
Ax
P( Ax )ax
0
P( Ax )
Ax ax
方差确定
Var(L)
Var[vt
P(
Ax
)
1
v d
k
1
]
Var[v(k 1)(s1)
P
(
Ax
)
1
v d
k
1
]
Var[(vs1 P( Ax ) )vk1] d
记Z s
vs1
P( Ax d
)
，Z
k
vk 1
由于分数剩余寿命和整值剩余寿命相互独立，
(
Z
k
)
方差的确定
终身寿险场合有
E
(Z
2 k
)
2 Ax，Var(Zk
)
2 Ax
-
Ax
2
在分数期死亡服从均匀分布的假定下，有
E(Zs )
E
v
s-1
P( Ax )
d
i
P( Ax ) d
Var(Zs
)
Var
v
s-1
P( Ax d
)
Var (v s -1 )
第三章 寿险的趸缴净保费
1
1
延期m年n年两全险
m|
Ax:n
m|
A
1 x:n
m| Ax:n Ax:m Ax m:n
1
1
例.已知: 计算20| Ax
1) 2.5%; 2)死亡力恒定; 3) e x 10.0.
0
7. 递增寿险 假定赔付金额为剩余寿命的线性递增函数 一年递增一次（n年定期寿险）
趸缴净保费
1 x:m
A
1 x:m n
A
1 x m:n
A x:m
1
( x) 岁的人，保额1元，延期m年n年生存险 假定：
T mn 0, ZT bT vT m n v , T mn
趸缴净保费
m|
Ax:n E ( Z ) v
1
mn
m n px A x:m Ax m:n m Ex n Ex m
基本函数关系
0, T n 0 , T n bT ZT bT vT n 1 , T n v , T n 趸缴净保费 1 n n 1
Ax:n ( Ax:n ) E(ZT ) v n px e
n px
随机变量现值方差
Var ( Z ) E ( Z 2 ) E 2 ( Z ) v 2 n n px (v n n px ) 2 v n px n qx A ( A )
净均衡原理 保险人收取的净保费应该恰好等于未来支出的保险赔付金。 （Arrow:风险转移公平原则） 趸缴纯保费=未来保险金给付的精算现值 死亡赔付方式：（1）死亡即刻赔付；（2）死亡年末赔付。
第一节 连续型寿险的趸缴纯保费
死亡即刻赔付就是指如果被保险人在保障期内发生保险责任 范围内的死亡 ，保险公司将在死亡事件发生之后，立刻给予 保险赔付。它是在实际应用场合，保险公司通常采用的理赔 方式。 由于死亡可能发生在被保险人投保之后的任意时刻，所以死 亡即刻赔付时刻是一个连续随机变量，它距保单生效日的时 期长度就等于被保险人签约时的剩余寿命。
保险精算学-趸缴纯保费(1)(ppt文档)
5148.16（ 元 ）
练习：变额保险金的终身寿险
5.2.2 定期寿险年末付的趸交纯保费
n1
A1 x ;n|
k1 k | qx
k0
n1
d k 1 xk
k0
lx
n1
d xk1 xk
k0 xl x
M x M xn Dx
例：假设30岁的人投保。保单规定: 被保险人在保 险开始5年内死亡时，给付1000元，5年后死亡之时， 给付2000元。求其趸缴纯保费。
所以死亡年末赔付方式是保险精算师在厘定 趸缴保费时通常先假定的理赔方式。
预备1： 延期t 年的1年定期的死亡保险
若被保险人在其他时段死亡，则保险公司 无支付。试计算该保单的精算现值。
死者保单对全体保单共有财产的分享
初始人数
t 年末的 投资积累
1元赔偿
每人交的净保费
死亡人数
计算原理解释： 假设 lx 4（人）, 每人交 0.25 元,
E(zt )
第二节
死亡年末理赔的死亡保 险的现值
死亡年末赔付
死亡年末赔付的含义
死亡年末陪付是指如果被保险人在保障期 内发生保险责任范围内的死亡 ，保险公司 将在死亡事件发生的当年年末给予保险赔付。
由于赔付时刻都发生在死亡事件发生的当年 年末，所以死亡年末陪付时刻是一个离散随 机变量，它距保单生效日的时期长度就等于 被保险人签约时的整值剩余寿命加一。这正 好可以使用以整值年龄为刻度的生命表所提 供的生命表函数。
生存年金的精算原理是“生者利”原 则.
所谓生者利，指生存者对共有财产中 死者权利部分的享有权.
纯粹生存年金的现值
生者利原理
0时刻此 人群共 缴纳钱
保险精算人寿保险趸缴纯保费-PPT精品文档
常见概念中英文单词对照(2)
定期人寿保险 终身人寿保险 两全保险 生存保险 延期保险 变额受益保险
Term life insurance Whole life insurance Endowment insurance Pure endowment insurance Deferred insurance Varying benefit insurance
人寿保险的分类
受益金额是否恒定
定额受益保险 变额受益保险
保障标的的不同
保单签约日和保障期 期始日是否同时进行
人寿保险（狭义） 生存保险 两全保险 定期寿险 终身寿险
保障期是否有限
即期保险 延期保险
人寿保险的特点
保障的长期性
这使得从投保到赔付期间的投资收益（利息）成为 不容忽视的因素。 人寿保险的赔付金额和赔付时间依赖于被保险人的 生命状况。被保险人的死亡时间是一个随机变量。 这就意味着保险公司的赔付额也是一个随机变量， 它依赖于被保险人剩余寿命分布。 这意味着，保险公司可以依靠概率统计的原理计算 出平均赔付并可预测将来的风险。
主要险种的趸缴纯保费的厘定
终身寿险 n年期定期寿险 n年期生存保险 n年期两全保险 延期m年的终身寿险 延期m年的n年期的两全保险 递增终身寿险 递减n年定期寿险
1、终身寿险
定义 保险人对被保险人在投保后任何时刻发生的保险责任 范围内的死亡均给付保险金的险种。 假定： ( x ) 岁的人，投保保额bt=1元终身寿险 基本函数关系
力 和 fT(x)( t) 、 fX( t) 的关系是怎样的 x
第三章___人寿保险的精算现值
l 100张保单的未来赔付支出总现值
l 平均每张保单的未来赔付现值（保单的精算现 值）为：134.68元。
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第三章___人寿保险的精算现值
基本符号
l
—— 岁投保的人整值剩余寿命
l bk+1——保险金在死亡年末给付函数 l vk+1 ——贴现函数 l zk+1 ——保险赔付金在签单时的现时值
l 它的实质是在统计意义上的收支平衡。是在大数场合下，收入 期望现时值等于支出期望现时值
l 精算现值（包含两层含义）：
l 保险赔付在投保时的期望现值
l 把所有可能的赔付先折现到保单签发时刻，然后再求 期望值
l 精算现值=趸缴净保费
l 由于赔付的不确定性源于人的死亡不确定，所以， 以连续型（离散型）未来寿命为随机变量，来求期 望值。
第三章___人寿保险的精算现值
n年定期保险的趸缴净保费
给付函数 给付现值随机变量
趸缴净保费
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第三章___人寿保险的精算现值
递增终身寿险(一年递增一次）
l 给付现值随机变量
l 趸缴净保费
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第三章___人寿保险的精算现值
递增终身寿险（连续递增）
l 给付现值随机变量
l 在UDD假设下，有
l当
时，相当于连续寿险的趸缴纯保费
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第三章___人寿保险的精算现值
例3.7
l 某人在30岁时投保了50 000元30年期两全保险， 设预定利率为6%，以中国人寿业经验生命表 （1990-1993年，男女混合表），求这一保单 的趸缴净保费。
l 其他条件同上。但保单规定：投保的前10年死 亡赔付50 000元，后20年死亡赔付30 000元， 满期存活给付20 000元。求这一保单的趸缴净 保费。
l 平均每张保单的未来赔付现值（保单的精算现 值）为：134.68元。
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第三章___人寿保险的精算现值
基本符号
l
—— 岁投保的人整值剩余寿命
l bk+1——保险金在死亡年末给付函数 l vk+1 ——贴现函数 l zk+1 ——保险赔付金在签单时的现时值
l 它的实质是在统计意义上的收支平衡。是在大数场合下，收入 期望现时值等于支出期望现时值
l 精算现值（包含两层含义）：
l 保险赔付在投保时的期望现值
l 把所有可能的赔付先折现到保单签发时刻，然后再求 期望值
l 精算现值=趸缴净保费
l 由于赔付的不确定性源于人的死亡不确定，所以， 以连续型（离散型）未来寿命为随机变量，来求期 望值。
第三章___人寿保险的精算现值
n年定期保险的趸缴净保费
给付函数 给付现值随机变量
趸缴净保费
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第三章___人寿保险的精算现值
递增终身寿险(一年递增一次）
l 给付现值随机变量
l 趸缴净保费
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第三章___人寿保险的精算现值
递增终身寿险（连续递增）
l 给付现值随机变量
l 在UDD假设下，有
l当
时，相当于连续寿险的趸缴纯保费
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第三章___人寿保险的精算现值
例3.7
l 某人在30岁时投保了50 000元30年期两全保险， 设预定利率为6%，以中国人寿业经验生命表 （1990-1993年，男女混合表），求这一保单 的趸缴净保费。
l 其他条件同上。但保单规定：投保的前10年死 亡赔付50 000元，后20年死亡赔付30 000元， 满期存活给付20 000元。求这一保单的趸缴净 保费。
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❖ 1、保费
A
x
E(Z)
vt
0
fx(t)dt
et 0
t
px
xtdt
❖
2、Z的方差： V(z a ) E r (z2 ) E (z)2 2A x (A x)2
❖ 其中： 2Ax 0 e2tt px xtdt
例：设(x)投保终身寿险，保险金额为1元，利息力为
签单时其T的概率密度
1
f
x
(t
年末给付。
四、常见的险种
❖ 1、定期寿险 ❖ 2、终身寿险 ❖ 3、两全保险 ❖ 4、生存保险（以生存为给付条件） ❖ 5、递增型寿险 ❖ 6、递减型寿险
设：x 投保的年龄
❖ bt 保险金的给付值；
❖ Zt ❖ vt
保险金的给付现值； 折现函数
(x)
t
❖ 保险金现值函数 Zt=btvt
bt
❖ 保险金的随机现值 ZT=bTvT
t
pxxtdt ne2t 0
t
px
xtdt
例：已知
s(x)1 x 0x100i0.1
100
❖
求：
1） A
1 30
:10
2） Var(Z)
❖ 解： 1）
fx (t)
s(xt) 1 s(x) 100x
当： x30
1 fx (t) 70
A1 ＝10et 30:10 0
fx(t)dt
1 70
1 0et dt
❖ 保险金的期望现值 E(Z)
❖ 趸缴纯保费 = E(Z)
第一节 死亡立即给付的寿险趸缴纯保费
❖ 一、n年定期寿险趸缴纯保费
❖ 设： bt 1
0tn
保险金给付现值
ZbTvT vT vT
1、保险金给付的精算现值（期望现值） ：
❖。 E(Z)
n
0 Zf (t)dt
nvt
0
fx(t)dt
nvt
V(a Z) rE (Z2)E (Z)22A1 (A1 )2
x:n
x:n
❖ 其中：
n1
2A1 E(Z2) x:n
e q 2(k1) kx
k0
4、自然保费
❖ 当n=1时，有：
0
t
px
xtdt
net 0
t
px
xtdt
2、寿险趸缴纯保费
A ❖ 。
1
x :n
E(Z)
nvt
0
fx(t)dt
net 0
t
px
xtdt
3、Z的方差
❖ 。 V(a Z) rE (Z2)E (Z)2
2A1 (A1 )2
x:n
x:n
其中
：
2A1 x:n
E(Z2)
n 0
Z2
fx(t)dt
nv2t 0
A x:n1A x:n NhomakorabeaA
x
1 :n
Z的方差 Va(Zr)2Ax:n(Ax:n)2
3、延期m年的两全保险
❖。 m A x :n
m m nvttpx xtd tvm nm npx
vmmpx Axm:n
1
A x:nm
Ax:m
第二节 死亡年末付的寿险趸缴纯保费
❖ 以被保险人死亡为给付条件，保险金在死亡 年末给付的一种保险。
第三章
寿险趸缴纯保费
一、保费缴纳的形式
❖ 趸缴保费 一次性缴清的保费。 ❖ 均衡保费 分期缴纳的保费。 二、纯保费 ❖ 只考虑死亡给付，不考虑费用的保费。
三、保险金特点
❖ 1、支付的数量是确定的，但给付的时间不能 确定；
❖ 2、保险金的给付是在将来，签单时在现在； ❖ 3、保险金的两种给付：死亡立即给付；死亡
0
)2
三、、延期寿险的趸缴纯保费
❖ 1、延期m年的终身寿险趸缴纯保费
bt
0
1
tm tm
Z
0
v T
T m T m
保险金给付的精算现值为：
E(Z)
vt
m
fx(t)dt
vt m
t
pxxtdt
❖ 趸缴纯保费
m
Ax
vt
m
fx(t)dt
vt
m
t
pxxtdt
上式还可以表示为：
。 ❖ m A x 0 v ttp x x td t0 m v ttp x x tdt 1 Ax Ax:m
)
60
0 t 60
求： 1） A x 2） Var(z)
0 t 60
解：
A 1）
x
e 60 t
0
fx(t)dt
60et
0
1 dt 60
1 e60
60
。
2）
2Ax＝06 0e2t
1d t 60
1
e120 120
Va(zr)2Ax(Ax)2
1
e120 120
1 e6 ( 60
❖ 一、n年期定期寿险趸缴纯保费
❖ 设： bk1 1 (K=0、1、2… …n-1)
v Zbk1vk1
K1
❖ 保险金的精算现值： E(Z)E(vk1)
2、纯保费
n1
❖ 。
A1 E(Z) x:n
vk1 k qx
k 0
n1
vk1 k
pxqxk
k0
n1
vk 1
dxk
k 0
lx
。
❖ 。Z的方差：
❖
2）
2
10 Ax
e2t
10
fx(t)dt0.25e1.6
Va(z)r210Ax(10Ax)2 0.2e 5 1.60.1e6 2
四、n年期两全保险的趸缴纯保费
❖ 两全保险又称生死合险。是由死亡保险和生 存保险两种保险综合而成，被保险人在n年期 内死亡或活过n年期，保险人都要给付保险金， 这是一种即有保障功能，又有储蓄功能的保 险。
❖ 。如果设tms ,则：
mAx0 vm sm spx xm sds
vmmpx0vsspxm d xms s
vmmpx.Axm
mEx vmmpx 称为精算折现因子 。
❖ 2、延期m年的n年定期寿险的趸缴纯保费
A m
1
x:n
mnvt
m
t
px
xtdt
vmmpx
A1 xm:n
1
1
Ax:nm Ax:m
0
710
et
10 0
0.063
803
2） 2A310 ： 10 ＝0 10e2t fx(t)dt
❖。
1 10e2tdt
70 0
710 (21 )e2t
100.063803
0
Va (Z)r2A3 1:0 10(A3 1:0 10)20.055321
二、终身寿险趸缴纯保费
❖ 设： bt 1
❖ 保险金的精算现值：E(Z)0vt fx(t)dt
例(x)投保延期10年的终身寿险，保险金额为1元，死
亡立即给付，已知， 0.06 sx(t) e0.04t x 0
❖ 求：1） 10 A x
2） Var(z)
❖ 解：1） f x (t) sx(t)0.0e4 0.0t4
10Ax
et 10
fx(t)dt1 e 0 t0.0e4 0.0t4 d t0.4e 1
1、n年期生存保险
❖。
Z
0
v n
T n T n
保险金给付的期 望现值为：
E(z)vnnpx
❖ 生存保险的趸缴纯保费
A1 x:n
vn n px
2、n年期两全保险
❖ 保险金给付现值
Z
vT
v n
T n T n
❖ 保险金给付精算现值
E(Z)
1
E(Z1)E(Z2)Ax:n
vnn px
❖ 两全保险的纯保费