孙膑庞涓精确解答鬼谷子问题
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趣味推理题，经典智力题（附解析过程及答案）逻辑推理网智力题1(海盗分金币)——海盗分金币5个海盗抢得100枚金币后，讨论如何进行公正分配。
他们商定的分配原则是：（1）抽签确定各人的分配顺序号码（1，2，3，4，5）；（2）由抽到1号签的海盗提出分配方案，然后5人进行表决，如果方案得到超过半数的人同意，就按照他的方案进行分配，否则就将1号扔进大海喂鲨鱼；（3）如果1号被扔进大海，则由2号提出分配方案，然后由剩余的4人进行表决，当且仅当超过半数的人同意时，才会按照他的提案进行分配，否则也将被扔入大海；（4）依此类推。
这里假设每一个海盗都是绝顶聪明而理性，他们都能够进行严密的逻辑推理，并能很理智的判断自身的得失，即能够在保住性命的前提下得到最多的金币。
同时还假设每一轮表决后的结果都能顺利得到执行，那么抽到1号的海盗应该提出怎样的分配方案才能使自己既不被扔进海里，又可以得到更多的金币呢？智力题2(猜牌问题)S 先生、P先生、Q先生他们知道桌子的抽屉里有16张扑克牌：红桃A、Q、4 黑桃J、8、4、2、7、3 草花K、Q、5、4、6 方块A、5。
约翰教授从这16张牌中挑出一张牌来，并把这张牌的点数告诉P 先生，把这张牌的花色告诉Q先生。
这时，约翰教授问P先生和Q 先生：你们能从已知的点数或花色中推知这张牌是什么牌吗？于是，S 先生听到如下的对话：P先生：我不知道这张牌。
Q先生：我知道你不知道这张牌。
P先生：现在我知道这张牌了。
Q先生：我也知道了。
听罢以上的对话，S先生想了一想之后，就正确地推出这张牌是什么牌。
请问：这张牌是什么牌？智力题3(燃绳问题)烧一根不均匀的绳，从头烧到尾总共需要1个小时。
现在有若干条材质相同的绳子，问如何用烧绳的方法来计时一个小时十五分钟呢？智力题4(乒乓球问题)假设排列着100个乒乓球，由两个人轮流拿球装入口袋，能拿到第100个乒乓球的人为胜利者。
条件是：每次拿球者至少要拿1个，但最多不能超过5个，问：如果你是最先拿球的人，你该拿几个？以后怎么拿就能保证你能得到第100个乒乓球？智力题5(喝汽水问题)1元钱一瓶汽水，喝完后两个空瓶换一瓶汽水，问：你有20元钱，最多可以喝到几瓶汽水？智力题6(分割金条)你让工人为你工作7天，给工人的回报是一根金条。
鬼谷子的难题的答案
鬼谷子的难题的答案一日，鬼谷子在2--100这99个数字中选了2个数字，然后把它们的和告诉了庞涓，把积告诉了孙膑。
当然，庞涓不知道积是多少，孙膑不知道和是多少。
第二日，庞涓遇见孙膑很傲慢的对孙膑说："虽然我不知道这两个数是多少但是我肯定你也不知道。
"孙膑立刻还击道："本来我不知道的，但是现在我知道这两个数是多少了。
"庞涓想了一会，说道："现在我也知道这两个数是多少了。
"请问这二个数各是多少?1、庞涓能确定孙膑肯定不知道这两个数，可以有这样几个推论。
A）庞涓手上的数字是5-197之间的数字。
B）庞涓的和数一定不能拆成两个质数之和，否则就不会有确信。
这可以分解为两点：庞涓手上不是偶数，只可能是奇数，因为任意偶数能被拆成两个质数之和，这是由歌德巴赫猜想来保证；庞涓手上的奇数不是2+质数。
举例：如果庞涓手上是28，根据歌德巴赫猜想可以拆成11+17，当孙膑拿到了181这个积，马上就可以猜出鬼谷子给他的两个数是11和17，与庞涓肯定孙膑不知道这两个数相矛盾，因此将所有偶数排除。
举例：当庞涓手上的数为质数+2时，例如21，而正好是19+2，那样孙膑手上的数是38，只有一种分解方法2*19，因此孙膑同样一开始就能确定这两个数字。
C)庞涓的和数一定不是大于53的奇数。
因为大于53的奇数始终能够拆成偶数和5 3（是质数）的乘积，这个乘积只能唯一的推断出53和该偶数的乘积，否则就要大于9 9了。
另外97是质数，同理应该排除97+2到97+98的所有奇数。
最后剩下的是99+98的奇数，因为都是最大的数，孙膑本来就可以推理出来，与孙膑本来不知道的前提相矛盾，自然排除了。
因此由此可以排除超过53以上的所有奇数。
举例：如果庞涓手上的数字是59，那有一种可能是53+6，当孙膑拿到318时也只有一种分解方式是53*6，因为106*3和159*2中的106和159都大于了99这个最大的数字，因此这与孙膑事先不能肯定相矛盾。
《鬼谷子的局》告诉你，庞涓为什么会败于孙膑，惨死于马陵道
《⿁⾕⼦的局》告诉你，庞涓为什么会败于孙膑，惨死于马陵道读《⿁⾕⼦的局》感触最深的是在礼乐败坏的战国，狡诈与正直的较量，阳谋与阴谋的对决，到底谁是谁⾮，最后⿅死谁⼿，有时会很迷茫，有时⼜觉得明朗。
在那样⼀个天下列国混战的时期，有时很难⽤现在的标准去评判当时的⼈，当时的事，本⽂仅从庞涓与孙膑的较量，来看看正义与阴谋的对决。
1、庞涓与孙宾曾是⼀对患难兄弟在平阳之战中，庞涓亲眼看到魏兵攻陷平阳后屠杀⼿⽆⼨铁的百姓，因看不过魏军的⾏为，⼀箭刺死追杀孙宾的魏卒，⾃⼰也⾃此离开魏军，这是庞涓与孙宾第⼀次相遇，也是他俩相爱相杀的序曲。
平阳之战后，⽗亲孙操战死，祖⽗孙机也死于平阳瘟疫，孙宾被墨者指引，决定到云梦⼭拜⿁⾕⼦为师，半途却遭遇⼩偷，钱财被窃，吃饭时被店伙计羞辱，却被同在店中的庞涓相助，两⼈⾔语相投，成为好友。
孙宾陪庞涓潜回⼤梁，营救被囚于上⼤夫陈轸府中的⽗亲，没想到两⼈却被陈轸的管家设下圈套围捕，双双被投⼊牢狱。
孙宾本是局外⼈，并且是名门望族之后，魏惠王和陈轸都不愿为难于他，可是孙宾却不愿丢下庞涓，⾃⼰离开监狱，坚决要在狱中与庞涓⼀起吃苦受罪，庞涓感于孙宾的⾚诚之⼼，两⼈在狱中义结⾦兰。
后来经监牢掌囚⽩虎暗中相救，两⼈脱离险境，离开⼤梁，结伴共赴云梦⼭，⼀起拜⿁⾕⼦为师。
张仪曾评价庞涓说，”此⼈只可共患难，不可同富贵“，真是⼀语中的。
2、庞涓⾃私独霸的⼼态渐渐显露庞涓、孙宾⼊了⿁⾕⼦门下，⼀块跟随⿁⾕⼦学习兵学之道。
孙宾是⼀个厚道、纯真之⼈，⼀⼼⼀意跟着师⽗学习兵学，他的愿望的是天下太平，政治昌明，⽿不闻战⿎之声，⽬不睹烽⽕之警，众⽣和睦相处，百姓安居乐业，各享天伦之乐。
因此孙宾学习兵学只是为了防守，只是从天下苍⽣幸福安乐出发，⼼中开阔，所思所想更为全⾯，思考更为谨慎。
庞涓学习兵学可不如孙宾这么单纯，他的梦想是辅佐天下明主，统领百万雄兵，战必胜，攻必克，威服列国，称霸天下，建不世之功业，留英名于青史。
鬼谷子猜数
一段无厘头的对话，暗含曲折的推理，在哥德巴赫大神的指引下，居然能神奇地得出结论。
禁不住想：数字到底是人造的、还是神造的？----进入正题----鬼谷子是孙膑、庞涓的老师，他从2到99中选出两个不同的整数，把两数之和S告诉了庞涓、把两数的乘积M告诉了孙膑。
1、庞涓对孙膑说：虽然我无法确定这两个数是什么，但我肯定你也不知道这两个数是什么。
2、孙说：我本来不知道，但是你这么说，我就知道了。
3、庞说：既然你知道了，那我也就知道了。
问：这两个数字是什么？（题目到此戛然而止，如果是在考试的话，是不是有种被雷劈中、然后坠入万丈深渊的感觉？）----推理步骤----其实就是推导三句话的数学含义1、庞涓知道两数之和S，就敢说孙膑一定不知道，这意味着：这个和数S不是两个素数(质数)的和，否则孙膑就有可能猜出答案。
例如，庞涓的和S不能是16，否则万一两个数是5+11，孙膑拿着乘积M=55肯定能猜出来。
再如，和也不能是15，因为可能是2+13，孙膑拿着26也能猜出来…等等。
因此这句话大大限制了庞涓可能拿到的和数S。
原则上可以从2+3一直试到98+99，试出所有可能的和。
但不用这么麻烦，哥德巴赫猜过：所有大于4的偶数都可以写成两个素数的和，所以庞涓的和S只能是奇数(一下子少了一半?)。
(顺便说一句，哥猜还没有被最终证明，但计算机科学家们好像已经通过粗鲁的硬算，验证到10的100次方以内都是成立的。
哥大神，你这么会猜，能猜六合彩不？)但奇数和仍然有很多，怎么能简便写出所有可能的和数{Si}呢？我家的王可意小朋友说：奇数和必然是一个偶数+一个奇数(聪明，有前途)，所以鬼老师必然是选了一奇一偶的两个数。
而且，别忘了，这两个数不能同为素数。
不妨来试一下，如果偶数大于等于4，它本身就不是素数，这样对另外一个奇数就没有任何限制了，也就没法缩小可能的和数{Si}的范围。
好在有个特别二的2，它既是偶数，又是素数，庞涓的和数S总是可以拆分为2+一个奇数，这时奇数就必须是非素数，即9、15、21、25、27、33…，而可能的和数{Si}就可以简便地写出来，即11、17、23、27、29、35…这就是第一句话告诉我们的，庞涓同学的和数S只能是上面这些数当中的一个。
鬼谷子的难题的答案
鬼谷子的难题的答案一日，鬼谷子在2--100这99个数字中选了2个数字，然后把它们的和告诉了庞涓，把积告诉了孙膑。
当然，庞涓不知道积是多少，孙膑不知道和是多少。
第二日，庞涓遇见孙膑很傲慢的对孙膑说："虽然我不知道这两个数是多少但是我肯定你也不知道。
"孙膑立刻还击道："本来我不知道的，但是现在我知道这两个数是多少了。
"庞涓想了一会，说道："现在我也知道这两个数是多少了。
"请问这二个数各是多少?1、庞涓能确定孙膑肯定不知道这两个数，可以有这样几个推论。
A）庞涓手上的数字是5-197之间的数字。
B）庞涓的和数一定不能拆成两个质数之和，否则就不会有确信。
这可以分解为两点：庞涓手上不是偶数，只可能是奇数，因为任意偶数能被拆成两个质数之和，这是由歌德巴赫猜想来保证；庞涓手上的奇数不是2+质数。
举例：如果庞涓手上是28，根据歌德巴赫猜想可以拆成11+17，当孙膑拿到了181这个积，马上就可以猜出鬼谷子给他的两个数是11和17，与庞涓肯定孙膑不知道这两个数相矛盾，因此将所有偶数排除。
举例：当庞涓手上的数为质数+2时，例如21，而正好是19+2，那样孙膑手上的数是38，只有一种分解方法2*19，因此孙膑同样一开始就能确定这两个数字。
C)庞涓的和数一定不是大于53的奇数。
因为大于53的奇数始终能够拆成偶数和53（是质数）的乘积，这个乘积只能唯一的推断出53和该偶数的乘积，否则就要大于99了。
另外97是质数，同理应该排除97+2到97+98的所有奇数。
最后剩下的是99+98的奇数，因为都是最大的数，孙膑本来就可以推理出来，与孙膑本来不知道的前提相矛盾，自然排除了。
因此由此可以排除超过53以上的所有奇数。
举例：如果庞涓手上的数字是59，那有一种可能是53+6，当孙膑拿到318时也只有一种分解方式是53*6，因为106*3和159*2中的106和159都大于了99这个最大的数字，因此这与孙膑事先不能肯定相矛盾。
鬼谷子子弟入学题目答案
鬼谷子子弟入学题目答案鬼谷子考徒弟问题：他从2到50中选出两个不同的整数,把积告诉孙,把和告诉庞；庞说：我虽然不能确定这两个数是什么,但是我肯定你也不知道这两个数是什么.孙说：我本来的确不知道,但是听你这么一说,我现在能够确定这两个数字了.庞说：既然你这么说,我现在也知道这两个数字是什么了.答案：1、庞通过两数和可以肯定只知道两数积的孙膑不知道这两个数,可以得出以下几个推论：(A)：庞手上的数字是5-197之间的数字.（排除最大和最小）(B)：庞手上的数字和不能为两个素数的和,否则就不能确信孙膑不知道.如20 = 3 + 17,那么当孙膑拿到51时,就能确定两个数为3,17,因为只有3*17一种分解.而对于大于4的任意偶数都可以分解为两个素数的和,可知庞手上的数不是偶数.(C)：庞手上的奇数不是某一个素数与2的和,如15=13+2,那么孙膑拿到26时,就能确定两数为2,13啦,因为只有2与13一种分解.(D)：庞手上的奇数不能大于53,因为大于53的奇数总能分解成偶数与53的和,而该偶数与53的乘积在100内的分解是唯一的.如61=53+8,孙膑拿到424就能确定两数啦,因为如果分解为106*4时,106就超过了100.至此,满足上述条件的数只剩下：11,17,23,27,29,35,37,47,51,53.一共10个.2.孙膑知道两数的积,本来不知道两数,但现在知道啦.这说明孙膑手上的积分解因式的所有组合只能是上述10个数的一个.通过这句话,我们只能得出一组可能的分解.如17可以分解成13+4或是14+3或是11+6等等,当孙膑拿到42时,可以分解成42=14*3=6*6=2*21,而14+3=17,2+21=23都是上面10个候选解中的数字,可知17不能分解为14+3,同理,可以得出上述10个数的可能分11的可能的分(4,7),(3,8),(2,9),17的可能的分(4,13),23的可能的分(10,13),(7,16),(4,19),27的可能的分(13,14),(11,16),(10,17),(9,18),(8,19),(7,20),(5,22),(4,23),(2,25), 29的可能的分(13,16),(12,17),(11,18),(10,19),(8,21),(7,22),(6,23),(4,25),(2,27), 35的可能的分(17,18),(16,19),(14,21),(12,23),(10,25),(9,26),(8,27),(6,29),(4,31),(3,32), 37的可能的分(17,20),(16,21),(10,27),(9,28),(8,29),(6,31),(5,32),41的可能的分(19,22),(18,23),(17,24),(16,25),(15,26),(14,27),(13,28),(12,29),(10,31), (9,32),(7,34),(4,37),(3,38),47的可能的分(23,24),(22,25),(20,27),(19,28),(18,29),(17,30),(16,31),(15,32),(13,34), (10,37),(7,40),(6,41),(4,43),53的可能的分(26,27),(25,28),(24,29),(23,30),(22,31),(21,32),(20,33),(19,34),(18,35), (17,36),(16,37),(15,38),(13,40),(12,41),(10,43),(8,45),(6,47),(5,48),3.庞知道两数的和,当孙膑说知道两数的时候,庞也知道两数啦,那么庞手上的数字,只能有一个可能的分解,而上面的分解中只有17有唯一的分解.本题的答案为：4和13.。
名人故事——孙膑与庞涓
名人故事——孙膑与庞涓
孙膑与庞涓斗智斗勇，本来按三局两胜，孙膑已经赢了。
但，庞涓为找回点面子，坚持比赛，坚决要求鬼谷子出第三道题。
万般无奈，经不住庞涓的死缠硬磨，鬼谷子除了第三道题。
第三道很简单，就是把鬼谷子从谷雨洞骗出来，谁把师父请出来，就算谁赢。
庞涓迫不急奈地抢先说：“我先来，我先来”。
庞涓说：“师父你快出来吧，外面很热闹，有吹笛笛的，有打鼓的，又敲锣的，有大姑娘坐花轿，娶媳妇结婚的。
”
鬼谷子想：“骗人，热闹也不出去”。
庞涓见师父不出来，又说：“师父，你快出来吧，有只大老虎来了，要上山洞里吃你去”。
鬼谷子想：“你在洞口，有老虎也会先吃你”。
庞涓想了很多法儿，始终没把师父请出来，万般无奈，说：“孙膑你来吧，我骗不不出来，你也骗不出来，顶着咱俩比个平手”。
孙膑自言自语地说：“庞涓都把办法想绝了，都没把师父请出来，我也请不出来。
不过，师父，我有办法，把你从洞口请进洞内。
”
鬼谷子想：“你们没办法把我请出去，肯定也没办法把握请进来”。
于是，就走出洞来，坐好，说：“请吧”。
孙膑微微一笑，说：“师父，我也没办法把你请进去，不过，我
已经把你请出来了”。
鬼谷子顿悟，自己上当了。
庞涓下山鬼谷子送他了八个字：遇羊而荣，遇马而瘁，结果句句应验
庞涓下⼭⿁⾕⼦送他了⼋个字：遇⽺⽽荣，遇马⽽瘁，结果句句应验中国历史上有许多风起云涌、英雄辈出的时代，在这之中最精彩纷呈的当推春秋战国时代。
在春秋战国连绵⼏百年的战⽕⾥，中国的政治体制、道德体制以及⽂化体制都在不断的推陈出新。
诸国之间征战不休，诸⼦百家之间百家争鸣，使得整个中国⼤地都呈现出了⼀种异常活跃的状态。
都知道，中国存在六⼤神⼈：刘伯温、袁天罡、诸葛亮、张良、⿁⾕⼦、姜⼦⽛，他们料事如神，洞察天机。
春秋战国时期如此精彩纷呈，⾃然也少不了神⼈的参与。
这位神⼈，就是春秋战国时期最⼤的传说：⿁⾕⼦，被后世成为“谋圣”。
他⼀⽣未出⿁⾕，没有为天下出⼀谋⼀计，其弟⼦却搅动天下局势，影响列国兴亡，这才是不谋之谋，前⽆古⼈，后⽆来者！⽽他最出名的预⾔，就是有关他两位徒弟的未来。
我们都知道，⿁⾕⼦有两位徒弟，分别是⼤名⿍⿍的孙膑和名声不怎么好的庞涓。
但最初，这两位徒弟之间还是很和谐的，两⼈在⿁⾕⼦门下求学，⾐⾷起居皆在⼀处，同窗之情⽇渐深厚。
后来，有⼀天，庞涓下⼭打⽔，便听到了魏国重⾦求贤的消息，这⼀下⼦他的⼼思就活动了起来。
要知道，当时的他已经在⿁⾕⼦门下刻苦学习了三年有余，对于兵法颇有造诣，⾃然想要离开⿁⾕去外⾯看看更⼤的世界，最好能够利⽤⾃⼰的才华功成名就。
所以，庞涓⽴刻就回到了⼭中，想要跟⾃⼰的师傅⿁⾕⼦辞⾏。
不过，他毕竟在⿁⾕⼦这⾥学了三年，便有点担⼼⿁⾕⼦不让他⾛，于是，在见到⿁⾕⼦之后，他吞吞吐吐了半天，还是没有说出个所以然来。
⽽⿁⾕⼦早就对他的盘算⼀清⼆楚，于是，便笑着对他说：“适合你⼊世的时机已经到来，为什么还要作迟疑之态，赶快下⼭去求取富贵去吧。
”庞涓⼀听，顿时⼼花怒放：“弟⼦也正有此意，只是不知道⾃⼰下⼭之后，能不能获得成功呢？”⿁⾕⼦想了想，说道：“那你就去⼭中摘⼀枝花给我吧，我来为你占⼘⼀下。
”于是，庞涓告退，前往⼭中摘花。
可是，现在已是六⽉，花期都已经过了，去哪⾥找开得正好的花呢？庞涓找了⼤半天，才找到了⼀⽀草花。
鬼谷子问徒
One day，a master gave a trick issue to his two apprentices Sun and Pang.He drew two whole numbers in the interval from 2 to 99，and then he gave the sum and product of the numbers to Sun and Pang respectively.The master demanded his students to guess the numbers without exposing their message.Sun said:Although I can’t confirm what the integers are，but I ensure that you cannot do it neither.Pang said:Of course，originally I did not know the answer，however，after hearing what you said，now I have found what the numbers are.Sun said:Since you said so，now I have found the answer too.Y ou have heard the dialogue.Now try to analyse and resolve the trick problem.If you do it by yourself，you are truly a wise individual.孙膑、庞涓都是鬼谷子的徒弟。
一天，鬼谷子出了一道题目：他从2到99这九十八个整数中选出两个不同的整数，把加和告诉孙膑，把乘积告诉庞涓；并让两个徒弟在不将自己的信息告知对方的情况下相互猜数。
鬼谷子问题
鬼谷子问题孙膑，庞涓都是鬼谷子的徒弟；一天鬼出了这道题目：他从2到99中选出两个不同的整数，把积告诉孙，把和告诉庞。
庞说：我虽然不能确定这两个数是什么，但是我肯定你也不知道这两个数是什么。
孙说：我本来的确不知道，但是听你这么一说，我现在能够确定这两个数字了。
庞说：既然你这么说，我现在也知道这两个数字是什么了。
问这两个数字是什么？个人思路：1、庞说：我虽然不能确定这两个数是什么，但是我肯定你也不知道这两个数是什么。
这句话就是说，我庞涓根据这两个数的和，我就知道，你孙膑不能确定这两个数首先，我们得了解一下，“孙膑不能确定”这话是什么意思。
孙膑知道的是积，这个积由两个整数相乘所得，假如这个数是12，那么相乘可以得到12的两个数可以是3与4，也可以是2与6，这时，孙膑不能确定；假如这个数是15，那么相乘的两个数只能是3与5，这个时候孙膑能确定。
所以“孙膑不能确定”这个意思就是，孙膑的所知道的积，可以由两组以上数字相乘所得，用一个数学上的语言描述就是，这个积E=a*b，a与b至少有一个是非素数。
好了，知道“孙膑不能确定”是什么意思后就剩下这个问题了。
在什么样的情况下庞涓才能确定地说，“孙膑你不能确定”？换句话就是说，庞涓在什么情况下才能确定地说，这两个数，至少有一个是非素数？庞涓知道的是这两个数的和，根据这个和，他可以知道这两个数的所有可能组成。
那么只有当所有的可能组成都至少有一个非素数时，庞涓才能确定，这两数，至少有一个非素数，否则不能。
（根据此求到集合：{d}，集合{d}的意义请往下看）例如：这个和为10，10的值可以是2+8,3+7,4+6，那么这两个数可能是2和8，可能是3和7，也可能是4和6。
这个时候，庞涓是不能确定这两个数至少有一个为非素数，因为3和7都是素数；又例如这个数的和为11,11的值可以是2+9,3+8,4+7,5+6，这个时候，无论这两个数是当中的哪一组，庞涓都能确定，至少有一个为非素数。
马陵道孙庞斗智的故事
马陵道孙庞斗智的故事民间故事以明确的某个人物、地方、史事、风俗、自然物或人工物等为对象，民间传说借以创造多种多样的故事，具有一定的历史性。
小编为大家整理了《马陵道孙庞斗智》的民间故事，希望大家喜欢。
《马陵道孙庞斗智》战国时期，孙膑和庞涓拜鬼谷子为师兵法，同学期间情谊深厚，结拜为兄弟。
庞涓听到魏国以优厚的待遇招求天下贤才，决定下山谋求富贵。
临行前对孙膑说：“如果我能获得重用，一定来接孙兄共同建功立业。
”庞涓见到魏王，倾尽胸中所有，并保证说：“若用我为大将，六国就可以在我的把握之中!”魏王于是任命他为元帅。
庞涓率军连连打败入侵的诸侯小国，宋、鲁、卫、郑纷纷前来朝贺。
后来又打败了强大的齐国，更加提高了魏国的声威与地位。
在庞涓忙于建功立业之时，孙膑仍在潜心苦学。
鬼谷子见孙膑诚挚正派，就把孙子兵法传授给了他。
魏王请孙膑下山辅佐自己，孙膑以为是庞涓的推荐，到魏国后先去看望庞涓，并住在他府里。
庞涓表面表示欢迎，心里却很是不安。
魏王要试一下孙膑的才能，让孙庞二人表演阵法。
庞涓之阵，孙膑一眼就能看懂，并指出如何攻破;而孙膑的布阵，庞涓却茫然不识，只得请教孙膑，孙膑一五一十告诉了他。
庞涓因此暗暗嫉恨。
为了除掉孙膑，庞涓骗取了孙膑的笔迹，伪造书信陷害孙膑私通齐国使者，早有背魏向齐之心。
魏王不知有诈，令人用尖刀剜去孙膑的膝盖骨，又在他脸上刺下“私通敌国”四个字。
庞涓假惺惺地去看望孙膑，还泪流满面，亲自为孙膑上药，无微不至地照料他。
一个月后，孙膑虽然伤愈了，但却成了残疾人。
孙膑并不知这一切都是庞涓所为，他总想为庞涓做点什么以报答他。
庞涓见时机已到，就说：“你就把鬼谷子先生所传的孙子兵法写出来吧。
”孙膑夜以继日地在竹简上写起来。
照顾他起居的人知道庞涓要害死孙膑，偷偷把消息告诉给他，孙膑这才恍然大悟。
第二天，孙膑忽然大叫一声，昏倒在地，大呕大吐，两眼翻白。
醒过来后神情恍惚，竖目大骂，推翻书案，抓起已写好的竹简扔进了火盆。
庞涓听到手下汇报，急慌慌跑来。
历史故事----孙膑与庞涓（害人者必自害）
历史故事----孙膑与庞涓（害人者必自害）细想起来，我见过一道数学题目，就是鬼谷子的两个徒弟之间的关系数据。
孙膑,庞涓都是鬼谷子的徒弟,一天鬼谷子出了一道题:他从2到99选出两个不同的整数,把和告诉孙,把积告诉庞.庞说:我虽不能确定这两个数是什么,但是我肯定你也不知道这两个数是什么.孙说:我本来的确不知道,但是听你这么一说,我现在能确定这两个数字了.庞说既然你这么说,我现在也知道这两个数字是什么了.请问这两个数字是什么?为什么?这说的是孙庞二人学徒时的事，今天我要说的是他们二人本是好朋友，可是却变成了相互残杀的境地。
下面让我慢慢道来。
魏惠王也学秦孝公的样，要找一个商鞅式的人才。
他花了好些金钱招徕天下豪杰。
当时有个魏国人叫庞涓的来求见，向他讲了些富国强兵的道理。
魏惠王听了挺高兴，就拜庞涓为大将。
庞涓真有点本领。
他天天操练兵马，先从附近几个小国下手，一连打了几个胜仗，后来连齐国也给他打败了。
打那时候起，魏惠王更加信任庞涓。
庞涓自以为是了不起的能人。
可是他知道，他有一个同学齐国人孙膑（ｂìｎ），本领比他强。
据说孙膑是吴国大将孙武的后代，只有他知道祖传的《孙子兵法》。
魏惠王也听到孙膑的名声，有一次跟庞涓说起孙膑。
庞涓派人把孙膑请来，跟他一起在魏国共事。
哪儿知道庞涓存心不良，背后在魏惠王面前诬陷孙膑私通齐国。
魏惠王十分恼怒，把孙膑办了罪，在孙膑的脸上刺了字，还剜掉了他的两块膝盖骨。
幸好齐国有一个使臣到魏国访问，偷偷地把孙膑救了出来，带回齐国。
齐国大将田忌听说孙膑是个将才，把他推荐给齐威王。
齐威王也正在改革图强。
他跟孙膑谈论兵法后，大为赏识，只恨没早点见面。
公元前３５４年，魏惠王派庞涓进攻赵国，围了赵国的国都邯郸（ｈáｎｄāｎ，今河北邯郸西南）。
第二年，赵国向齐威王求救。
齐威王想拜孙膑为大将，孙膑忙推辞说：“不行。
我是个受过刑的残废人，当了大将，会给人笑活。
大王还是请拜田大夫为大将吧。
”齐威王就拜田忌为大将，孙膑为军师，发兵去救赵国。
孙膑和庞涓的故事
孙膑和庞涓的故事【背景概述】智慧来源于学习，学识来源于勤奋。
为什么那样说？这个可以从孙膑和庞涓的故事讲起。
他们是战国时期的人物，是中国最混乱也是最出人才的时期。
正是时势造英雄英雄出时势。
当时全中国是东周末年，经历了春秋时期争战后，剩下了七国——齐、楚、燕、韩、赵、魏、秦。
鬼谷，山林茂密，深不可测，当时叫鬼谷，鬼谷隐居一个绝地通天满腹经纶的人，他的名字不知道是叫什么，人们以他隐居鬼谷，便叫他做鬼谷子。
鬼谷子教了四个当时很了不起的人物，你听说过没有？两文两武——文的是张仪、苏秦；武的是孙膑、庞涓。
张仪和苏秦两人结拜为兄弟，学的是纵横术，相当于现在的外交学。
【庞涓下山出仕做官，孙膑得到祖传兵法】现在就讲孙膑和庞涓，两人也结拜为兄弟，同在鬼谷子那里学兵法。
学了三年后，庞涓自以为学得差不多了，便急于下山施展自己所学。
鬼谷子察言观色，知道他要建立功名很心切，便笑着对他说：“你求取功名的时候到了，怎么不下山求取富贵呢？”庞涓一听，正合我怀了，说：“只是我下山未知情况怎么样？”鬼谷子便为他占卜，叫庞涓这、摘取一朵山花一支，算算他的命运。
那时是六月天，走遍山里所有地方，未见一朵山花。
最后只好摘了一支草花，连根把起。
庞涓仔细看看，草花质弱身微，不像大器。
他扔掉，再去找山花摘，找了很久，还找不到一朵山花，只好折回刚才的地方，把那支草花捡起。
藏在袖筒里。
庞涓回告鬼谷子，山里没有花啊！鬼谷子说：“怎么没有花呀？你袖里的不是花吗？”——可知鬼谷子真是神人，骗不到他的。
庞涓于是只好把草花递上鬼谷子。
花已经离开泥土，再经过日头晒，半凋谢了。
鬼谷子说：“花名叫马兜铃，一开十二朵，是你荣华富贵的年数，你有十二年富贵荣华。
”“因你采摘于鬼谷，经过太阳晒，凋萎了。
”——“鬼”字合委，便是“魏”，可知你一定在魏国发迹。
庞涓一听，好啊！荣华富贵十二年，还在魏国那样的大国，战战称奇。
但是，鬼谷子跟着说：“但你不应该欺骗我，没有摘到花。
欺骗别人，终为别人欺骗。
鬼谷子弟子孙膑、庞涓成仇深入解析,绝对亮瞎你的狗眼
鬼谷子弟子孙膑、庞涓成仇深入解析，绝对亮瞎你的狗眼各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢庞涓闻言，忙到山中去摘野花，可此时乃是八月的天，花期都已经过了，庞涓在草丛中找寻了半天，却只找到了一只毫不起眼的草花。
庞涓将此花连根拨起，想回去见鬼谷子，可转念又一想这草花地位卑贱，成不了什么大气候，想到此处又把草花扔在了地上，继续在山中找寻，可周围实在找不到任何花了，庞涓见天色已晚，知道再寻无意，只好走了回去，却在路上又见了那只草花，想了想便将草花拣起来放在袖中，回去见到鬼谷子说：“回师父，山里没有花，学生未曾找到。
”鬼谷子微微一笑看了看庞涓道：“庞涓，你袖子里是什么?”庞涓叹了口气，缓缓从袖中取出一只草花，庞涓拿在手里摇了摇道：“此乃草花，花卑位贱。
”“同样为花，何言贵贱?”鬼谷子说着，随手从庞涓手中将花接了过来。
庞涓这花离土时间已长，没有水的滋润，又匀经日晒，早已经半萎了。
鬼谷子拿在手里笑着说：“你知道这花的名子吗?此花名曰马兜铃。
虽为草花，但一开便是十二朵。
”鬼谷子又看了看这花点了点头道：“也罢，这花正好是你发迹的年数。
此花采于鬼谷，见日而萎，你成功的地方，一定是魏国。
我给你八个字，你一定要记在心里。
”庞涓闻言忙恭敬道：“师父所言，弟子定铭计于心。
”鬼谷子负手而行道：“遇羊而荣，遇马而瘁。
”此乃金玉良言，正是姜子牙算得的未来一线，只是这庞涓的未来有高人隐去了，姜子牙却是算的不够清晰，与只能算得这么多了。
庞涓闻言忙跪下道：”先生的教诲，弟子终身难忘，谢您栽培！”说罢，两眼垂泪，此时正好孙宾也在身旁，庞涓噙着泪水转向孙宾对孙宾说：“我与孙兄有八拜之交，情同手足，小弟此次下山，只要我能发迹，一定推荐师兄，你我共建大业。
”孙宾闻言忙道：”此话当真?”孙宾本来也想下山，不过这姜子牙以其功业未满，下山必遇有灾祸为由不令其下山，其本意是想让庞涓笨鸟先飞。
庞涓闻言正色道:“我若失信，必当死于乱箭之下!”庞涓正要走，鬼谷心道：如今二人感情还算好，却难成事，待我再拆他们一拆。
鬼谷子用两朵花断庞涓与孙膑 (郭晓刚)
鬼谷子用两朵花断庞涓与孙膑在鬼谷子的细心的教导下，孙膑和庞涓刻苦学习，精心研究，对兵法已颇有造诣了，眼见时光荏苒，三年有余，俩人想离开鬼谷子，到外面闯世界的欲望也越来越大。
一日，庞涓下山打水，听说魏国用重金诚聘贤能，担任将相，心里的火再也按耐不住了，他急忙回到山中向鬼 谷子先生辞行。
但又不知下山之后能否成功，而求先生为他预测，于是鬼谷子说：“你到山中摘一只花来，我为你占上一课。
”庞涓就到山中去采花，可六月的天，花期都过了，找了半天只找到一只草花。
庞涓将此花连根拔起，想回去见先生，可又想草花不好，恐成不了气候，又把它扔在地上，但周围实在找不到任何花，只好又将草花拣起来，放在袖中，回去见先生说：“山里没有花，只有草花”。
鬼谷子接过花。
看花离土时间长了，加之又晒太阳，已经半萎了。
“你知道这花的名字吗？这是马兜玲。
一开就是十二朵，正好预示了你的发迹年数，采于鬼谷（鬼谷子先生隐居的地名）见日而萎，你成功的地方定与“魏”字有关，应在魏国无疑，我送你八个字，一定要记住。
”“弟子愿意领教”。
“遇羊而荣，遇马而瘁”。
当时庞涓并不知这八个字是何意。
庞涓自从离开鬼谷子以后，一路来到了魏国。
首先，他先到了相国王错家与王错大谈兵法。
王错很感兴趣，就把他推荐给魏惠王。
庞涓入朝的时候，正赶上魏王用膳，疱人送上来一头蒸羊。
庞涓一喜，因为先生说过：遇羊而荣。
看来是该从此发迹了，果然他一路是青云直上。
后来大家都知道，庞涓被孙膑用减灶之计引入马陵道，并在深谷中设下埋伏，庞涓也死于乱箭之下正应了“遇马而瘁”之语。
又过了一年的时间，庞涓让鬼谷子的老友墨翟捎来一封信希望孙膑能来魏国，共图大业，孙膑十分高兴，欲辞先生而投奔魏王，鬼谷子见状想给孙膑占上一课，也让他去摘一朵山花来。
而孙膑等不及到山中采花，见先生几案上供有一枚黄菊，就随手摘下一只，呈给先生看后又插入瓶中。
先生说：“此花已被折断，不为完好，必有伤残，但性耐岁寒，经霜不坏，虽有残害，不为大凶。
鬼谷子的经典数学题
鬼谷子的经典数学题一天，鬼谷子随意从2-99中选取了两个数。
他把这两个数的和告诉了庞涓，把这两个数的乘积告诉了孙膑。
但孙膑和庞涓彼此不知到对方得到的数。
思考了一阵后，庞涓很有自信的对孙膑说：“虽然我不知到这两个数是什麽，但我知道你一定也不知道。
”随后，孙膑说：“你这么一说，我反而知道了。
”庞涓大惊，说：“等等。
”略加思索后，说：“我也知道了。
”请问：这两个数是什么？答案设欲求的两个数为（X，Y），庞涓知道的和数设为A，孙膑知道的乘积设为B。
定义A的"鬼谷和拆分"为满足m+n=A的整数m、n，且2<= m<=n<=99；定义B的"鬼谷积拆分"为满足p*q=B的整数p、q，且2<=p<=q<=99。
一、解读"庞涓很有自信的对孙膑说：虽然我不知到这两个数是什麽，但我知道你一定也不知道。
"这说明通过A的所有"鬼谷和拆分"中两个数的乘积都不能知道（X，Y）。
先给出乘积在以下两种情况时就能通过乘积直接知道两个乘数。
结论1、C=D*E,D,E均为素数，这时通过乘积就能知道两个乘数肯定为D,E。
结论2、C=D*E,E为>=53的素数，因为C为2-99之间的两个数的乘积，而E为>=53的素数，所以这两个乘数之一肯定是E，另一个就为D。
下面从分析A的值入手，（1） A不能为197（99+98），这是2-99之间最大的两个数，孙膑当然能通过B知道这两个数是98、99；（2） 197>A >=99不能成立，如果A>=99，那么A的一个"鬼谷和拆分"为m+97=A，根据结论2，孙膑就能知道（X，Y）分别为97和B/97；（3） 99>A >=55不能成立，如果99>A >=55，那么A的一个"鬼谷和拆分"为m+53=A，根据结论2，孙膑就能知道（X，Y）分别为53和B/53；（4） A不能为<55的偶数，因为任一偶数都能拆成两个素数之和（这是哥德巴赫猜想的结论，虽然哥德巴赫猜想还没有被证明，但在<55的范围内可以一一试出来），根据结论1，孙膑就能知道（X，Y）就是这两个素数；（5） A不能为5、7、9、13、19、21、25、31、33、39、43、45、49，因为这些数都能拆成2和另一素数之和，根据结论1，孙膑就能知道（X，Y）就是这两个素数这样我们只需分别讨论A为11、17、23、27、29、35、37、41、47、51、53这11种情况，也就是说只有A为这11个数之一时，才能"庞涓很有自信的对孙膑说：虽然我不知到这两个数是什麽，但我知道你一定也不知道。
鬼谷子“刁难”学生
鬼谷子“刁难”学生
鬼谷子“刁难”学生
鬼谷子是有名的智者，他有两个徒弟——庞涓和孙膑。
一天，鬼谷子给庞涓和孙膑出了道难题：鬼谷子端坐在屋里，要庞涓和孙膑想办法把他老人家请出门。
先出手的是庞涓，庞涓聪明好动，硬的软的不择手段，鬼谷子仍旧稳坐在屋里，气急败坏的庞涓干脆来横的了，他冲屋里的鬼谷子喊：老师，你若是再不出来，我就一把火烧了这房子！鬼谷子淡定地回答：那你试试看吧，可能你还没点着火，我已经一个飞刀取了你一性一命。
庞涓再大胆也舍不得拿一性一命开玩笑啊，吓得哆哆嗦嗦去找孙膑。
孙膑走到屋外，对鬼谷子说了一番话，鬼谷子二话不说就溜出屋来了。
聪明的小读者，你们知道孙膑说了什么吗？
孙膑对屋内的鬼谷子说：老师，学生实在是没办法把您从屋子里请出来，但是学生却有本事让您进屋子去。
鬼谷子受到这一刺激，立马变得好斗起来，一咕噜站起身一子冲到屋外，对孙膑说：我还不信，你有什么本事能把我请进屋子。
孙膑只是礼貌地回答了一句：老师，您看，您已经被我请出来了呢。
鬼谷子才恍然大悟，知道自己中了学生的计。
“鬼谷子之问”的一种解答
‚鬼谷子之问‛的一种解答庞涓、孙膑都是鬼谷子的徒弟。
有一天，鬼谷子出题考他们。
鬼谷子从2~99（包括2和99）中选出两个不同的整数，并把这两个整数的积只告诉了孙膑，而和则只告诉了庞涓。
鬼谷子要求庞涓和孙膑各自确定出他所选的那两个整数是什么。
①犹豫了一段时间后，庞涓对孙膑说：“我虽然不能够确定这两个数是什么，但我敢肯定你也应该不能够确定这两个数是什么！”②孙膑听后说：“我本来的确不能够确定这两个数是什么，但听你这么一说，我现在能够确定了。
”③庞涓听完孙膑的话，说：“既然你这么说，我现在也能够确定这两个数是什么了！”④故事到此结束。
我想鬼谷子、庞涓、孙膑和一些旁观者在故事的最后肯定都是相顾而笑了，这可谓中国人彼此间的会意之笑。
当然，也有一些旁观者会感觉莫名其妙。
下面请允许我仅用逻辑推理和一些简单的数学知识来揭开“鬼谷子之问”的神秘面纱。
在这个故事里，实际上只有四个人。
第一个人是鬼谷子，他首先掌握完全信息（如果我们把那两个不同的整数作为信息的话）。
第二和第三个掌握完全信息的人分别是孙膑和庞涓。
作为旁观者（或是读者），则是在故事的最后才获得了完全信息。
我既不是庞涓，也不是孙膑，更不是鬼谷子，所以，我需要从故事的开始到结束一路分析推理下来，才能得到答案。
先假设鬼谷子所选出的那两个不同的整数是x、y，则有：x=2、3、4……98、99，y=2、3、4……98、99。
将x、y的积‚xy”记为P，和“x+y”记为S，则有：2×3≤P≤98×99，2+3≤S≤98+99。
庞涓的第一句话（我虽然不能够确定这两个数是什么，但我敢肯定你也应该不能够确定这两个数是什么）告诉了我们两点：（1）庞涓仅凭其手中的和S，不能够确定出那两个整数是什么。
（2）孙膑仅凭其手中的积P，不能够确定出那两个整数是什么。
（这里有一个重要的条件假设━━庞涓对自己所说出的话‚不负责‛，即他没有考虑到他所说出的话可能会促使孙膑获得完全信息）现在，请允许我推敲一下庞涓。
鬼谷子智谋“攻其所必救”；弟子孙膑“围魏救赵”完美体现；
鬼谷子智谋“攻其所必救”；弟子孙膑“围魏救赵”完美体现；攻其必“救”，迫使局势发生变化【原文】益之损之，皆为之辞。
用分威散势之权，以见其兑威、其机危，乃为之决。
【译文】谋略的增减变化，都要讨论得失。
要善于利用“分威”、“散势”的权谋，发现对方的用心，了解隐微的征兆，然后再进行决断。
鬼谷子认为：“用分威散势之权，以见其兑威、其机危，乃为之决。
”即给对方制造危机，然后自己利用这种危机，便可以巧妙地扭转当前的局势，变被动为主动。
“以见其兑威、其机危，乃为之决”的话很精辟，其中隐含着丰富的战略智慧。
“危”只是一种非常的手段，“决”才是最终的目的。
其主要策略是攻其所必救，歼其救者;攻其所必退，歼其退者。
用于军事上，这种智谋就是与势头强大、兵力集中的敌军作战时，不如采取避强攻弱的战术，攻打对方的要害和薄弱环节，分散强敌的兵力和注意力，然后集中己方兵力，加以痛击。
这一智谋，表面上看是舍近求远，实际上，它不是头痛医头脚痛医脚，而是以逆向思维的方式，绕开问题的表面现象，从事物的本源上去解决问题，所以它离胜利更近，往往能取得一招制胜的神奇效果。
有一个乞丐在海边上寻找食物，向一个打渔的人要一条鱼吃，打渔的人没有答应把鱼给乞丐，而是给了乞丐一根鱼竿，说：“我给你一条鱼，你一会儿就吃掉了，你下次还会找我或找别人来要鱼吃。
如果我给你一根鱼竿，你就可以去钓鱼，自食其力，自己活下去。
”这个思路实际上是和鬼谷子的主张是一样的，以关键处为突破口，治标治本。
在做事情时，若能机智地采用“用分威散势之权，以见其兑威、其机危，乃为之决”的方法，避实就虚，往往能达到趋利避害、机动歼敌的目的，轻松取得最好的结果。
在战场上，能够成功地调动敌人而不被敌人调动，其中很有学问，而攻其必救人为地打破平衡是调动敌人、引导变化朝着对自己有利方向发展的最常用方法。
“围魏救赵”就是一个成功的实例。
公元前353年，逐渐强大起来的魏国开始蠢蠢欲动，魏惠王派精通兵法的魏国大将军庞涓率领八万大军攻打赵国的都城邯郸(今河北邯郸)。
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我们先来论述一下这个问题：一天，鬼谷子随意从2-99中选取了两个数。
他把这两个数的和告诉了庞涓，把这两个数的乘积告诉了孙膑。
但孙膑和庞涓彼此不知到对方得到的数。
第二天，庞涓很有自信的对孙膑说：虽然我不知到这两个数是什麽，但我知道你一定也不知道。
随后，孙膑说：那我知道了。
庞涓说：那我也知道了。
总体而言就是说庞涓根据手上的信息判断出来孙膑不知道，孙膑根据庞涓判断自己不知道的信息加上手中的两数之积得到这两个数字，庞涓根据孙膑得到了这两个数字的这个信息得到自己的两个数字。
总体来说就是庞涓说“我不知道，你不知道”，孙膑用庞涓的“你不知道”而知道，庞涓利用孙膑的“知道”而知道。
引号中是信息流的内容。
这里最重要的就是庞涓的那句话，我们来仔细分析。
庞涓说“虽然我不知到这两个数是什麽，但我知道你一定也不知道。
”庞涓手中的数字是两个数之和，他不知道是很正常的，但是第二个信息就很重要，庞涓何以肯定孙膑不知道?也就是说庞涓手中的这个和数的任意可能拆分所构造出来的两个数字绝对不是孙膑手中的乘积的唯一分解，换句话说这两个数所构造的乘积绝对不是只能展开成这两个数的乘积。
我们要仔细考虑这个信息。
第一点，众所周知，庞涓手上的数必定不能化成两个素数之和，一旦庞涓手上的和数可以（注意，是可以）化成两个素数之和的话，庞涓就无法肯定孙膑一定不知道这两个数，因为素数的乘积只能唯一的分解成这两个素数，举个例子，比如说庞涓手上得到的和数是20,20=13+7（一种可能性），一旦孙膑手上的两数之积是13*7=91，那么孙膑看一眼瞬间就可以知道这两个数是什么数了，那么庞涓自然就无法肯定孙膑不知道。
由此我们就得到本段开头的结论（同样的道理，2是素数，自然一切可以拆分成2+素数形式的和也不会出现在庞涓手上）。
但是我们知道哥德巴赫猜想中有任意大于6的偶数都可以化成两个素数之和（有同学说这个猜想还没有被证明，但是至少200以内的偶数是可以穷尽的，所以这个猜想对于我们现在的这个问题是适用的），但是因为除了2以外的素数都是奇数，奇数之和是偶数，所以我们排除了庞涓手上的和数是一个偶数的可能性，并且这个和数减去2不能是一个素数，这是庞涓第一句话的第一个信息。
第二点，很重要！！但是很难想到！！的一点如下。
这两个数都是在2-99这样的区间内取的，这个区间和庞涓的第一句话在一起就是一个极其强有力的限制！！我们瞬间就排除了庞涓手上的数大于53（53是乘以2最接近100的素数）的可能性。
这是为什么呢？假如庞涓手上的数是100以上的一个数，那么我们必然可以把这个数拆成97和某个数之和（134=97+37/166=97+69），一旦我们做成这样的拆分，庞涓的话就不成立了，因为庞涓肯定孙膑不知道，那么庞涓手上的数不可拆成两个相乘唯一分解数。
用刚才的例子，166虽然不能拆成两个小于99的素数之和，但是166=97+69（可能），一旦孙膑手上得到的数是97*69的话，孙膑就会立刻得到这两个数了，因为97是素数，所以97*69一定不能变成另外两个小于99的数之积（不相信的话可以去试一试，69可以分解成3*23，不管把3还是23和97相组合都明显超出99的范畴了）。
于是庞涓手上一定不是一个大于100的数。
如果是小于100大于53的数，那么这个数一定能被拆分成53和另外一个数之和，因为刚才一样的原因，这两个数的乘积只能被拆分成这两个数（小于99）相乘。
所以现在我们得到结论，庞涓手上的必须是小于等于53的数字！！！！！（很神奇~~）庞涓首先说的两句话代表的信息，我们已经梳理完了，概括为以下三点，庞涓手上的和数必须是：一个小于等于53的数字；必须是奇数；这个数不能拆成两个素数之和（包括2+素数在内）。
2到53总共有52个数，奇数的话只剩下26个数，除去所有的（素数+2）（在2到53之中，共16个素数，除去2和53），又排除掉14个数，还剩下12个数，去掉3，也就是说庞涓手上的数只有11种可能性，如下：11 17 23 27 29 35 37 41 47 51 53我们称这11个数为11数集合，这些具体的数我们暂且不考虑，接下来我们只利用上面给出的一些条件来继续讨论孙膑和庞涓的话。
现在我们要考虑孙膑说的话了，孙膑说“我知道了。
”孙膑作为一个旁观者和我们一样，一听到庞涓的吹嘘立刻心算如上的步骤，就得到和我们一样的三点结论。
结合自己手中的两个数之积，孙膑恍然大悟。
那么孙膑知道了对这两个数的限制什么呢？如下因为庞涓手上的数是个奇数，必然可以变成奇数和一个偶数之和，那么孙膑手上的这个两数之积必然是一个偶数（偶数乘以奇数）。
我们可以对这个乘积做一个分解变成（2^n*奇数）的形式，如果这个奇数是一个奇合数的话，那么孙膑不可能立刻得到这两个数，因为比如4*27=36*3，也就是说孙膑手里的分解不唯一了，我们必须舍弃这个奇数是合数的可能性，那么孙膑手中的两个数之积一定是（2^n*奇素数）的形式（在不考虑11数集合约束的条件下，我们暂且这么肯定的说：孙膑手中的两个数之积只可以采取（2^n*奇素数）的形式）。
庞涓紧接着说“我也知道了”，他也知道了在不考虑11数集合约束的条件下---孙膑手中的两个数之积一定是（2^n*奇素数）的形式，为了让庞涓也立刻知道，也就是说这个（2^n*奇素数）的形式必须是唯一的表达为两个数之和（也就是能够唯一确定的）。
《但是我们还需要记住：孙膑手中的两数之积有的时候是分解成（2^n*奇合数）的形式，我们稍后（下面蓝色字体部分）再来排除掉（2^n*奇合数）这种形式出现的可能性。
》现在我们可以来考虑刚才给的那11个数了。
11=4+7=8+3 23=16+7=4+19 27=16+7=4+23 35=32+3=4+31 37=32+5=8+29 47=4+43=16+31 51=8+43=32+19（以上这7组数据都发生了：虽然两个数之积是（2^n*奇素数）的形式，并且和数都符合11数集合约束，但是庞涓却不能够唯一确定的矛盾情况，因此必须排除）剩下的只有四组可能性了17= 4+13 4*13=5229= 16+13 16*13=20841= 4+37 4*37=14853= 16+37 16*37=592（以上这4组数据的两个数之积是（2^n*奇素数）的形式，并且和数都符合11数集合约束，而且具有唯一的（2^n*奇素数）组合形式，因此可以暂时保留，进行下一步分析，研究这4组数据是否存在其他潜在的漏洞）接下来对于这四组数据进一步研究：假设孙膑手中的两个数之积可以采用（2^n*奇素数）或者也可以采用（2^n*奇合数）的形式，同时考虑11数集合约束的条件。
由于实际上孙膑手上的这个积的话分解的两个数有很多情况下都是两数之和不属于11数集合，这时候会出现孙膑可以唯一的确定、但是庞涓却不能通过和数来唯一确定的情况。
或者出现了两数之和虽然属于11数集合约束的条件、但是孙膑却不能通过积数来唯一确定两个数字的情况。
我们必须把这些可能性全部排除。
现在我们再依次整理这4组数据，从大到小逐一分析《此刻不考虑两个数之积一定是（2^n*奇素数）的形式，而将其扩展到两数之积也许是分解成2^n*奇合数的形式，或者也许是2^n*奇素数的形式》首先来看，举例53=16+37=6+47（假如两数之积分解成2^n*奇合数，会发现什么样的矛盾呢？对于孙膑可以唯一的确定情况，庞涓是否同样能唯一确定？）,6*47=2*3*47=3*94，3+94=97，这个97不属于11数集合，那么孙膑就能根据和数是否属于11数集合，来唯一的确定这两个数是6和47、而不会是3和94，但是庞涓此时就不知道到底是16和37还是6和47了，所以53要排除。
其次来看，举例41=4+37=10+31 ，10*31=2*5*31=5*62，62+5=67不属于11数集合，孙膑依然能唯一确定这两个数是10和31，但是庞涓此时就不知道到底是4和37还是10和31了。
接着看，举例29=16+13=27+2,2*27=2*3*3*3=6*9=18*3，但是因为6+9=15,18+3=21。
15和21都不属于11数集合，所以孙膑能依然确定，庞涓还是不能依然确定。
以上只是举例，没有把所有可能加法情况全部分析（也无需全部分析），因为只要有一种可能性导致了庞涓或孙膑的不确定，这个数立刻就应该被排除了（29、41、53均存在潜在漏洞导致了不确定性）。
但是要证明一个数是完美符合的，我们就得穷举该数字对应的所有可能加法，接下来我们就采用穷举法来分析17这个和数。
17=4+13=3+14=2+15=5+12=6+11=7+10=8+9仔细考虑，只有4和13是两人都能唯一确定的，其他加法会出现矛盾情况，具体分析如下：3*14=3*2*7=6*7=21*2，因为21+2=23与3+14=17一样同属于11数集合，所以如果分解成3和14的话孙膑知道积数是42，就不能唯一确定到底是21、2还是3、14，故不能分解成3和14. 2*15=2*3*5=6*5=10*3，因为6+5=11属于11数集合，故不能分解成5和6.5*12=5*3*4=20*3=15*4，因为20+3=23属于11数集合，故不能分解成5和12.6*11=2*3*11=2*33=22*3，因为2+33=35属于11数集合，故不能分解成6和11.7*10=7*2*5=14*5=2*35，因为2+35=37属于11数集合，故不能分解成7和10.8*9=2*2*2*3*3=6*12=4*18=36*2=24*3，因为24+3=27属于11数集合，故不能分解成8和9. 所以这个和数只能是17，17=4+13，4*13=2*2*13=2*26，由于2+26=28不属于11数集合可以被孙膑排除，故而只能分解成4+13=17，乘积是4*13=52。
那么鬼谷子选了4和13，给了庞涓17，给了孙膑52。
以上是完全以懵然无知的旁观者的角度来分析此问题的，如果是当局者，问题就简单多了。
比方说：阿拉是孙膑，手里的积数是52，正在犹豫是52=2*26还是52=4*13，发愁要不要找校长教授导师三位一体的鬼谷子潜规则白相一下呢？这时候，自作聪明的庞涓沉不住气发话了：次奥师弟噢，虽然俺不知到这两个数是什麽，但俺（通过牛叉的哥德巴赫猜想）确定知道汝一定也不知道。
孙膑一听此言，通过长江二号计算也得到了了这个11数集合《11，17，23，27，29，35，37，41，47，51，53》，然后立即得知只有52=4*13才是符合的，所以孙膑喜不自胜地说：阿拉知道了。
庞涓一听后悔莫及，知道自己一言不慎、祸从口出给了对方天量的信息，导致棱镜门爆发，但无奈之下也只好说：劳资也知道了。
因为庞涓通过四则运算得知，在17=4+13=3+14=2+15=5+12=6+11=7+10=8+9之中只有17=4+13才能够让孙膑心无旁骛、一语中的。