函数对称性及其在解题中的应用

( 2)函数 y = f ( x) 与 a - x = f ( a - y) 的图像关 于直线 x + y = a成轴对称 ;
( 3)函数 y = f ( x)与 x - a = f ( y + a)的图像关于 直线 x - y = a成轴对称.
定理 4与定理 5中的 ( 1 ) ( 2)证明留给读者 , 现 证定理 5中的 ( 3) .
( 1) ( 2)的证明留给读者 ,以下给出 ( 3)的证明.
证明 函数 y = f ( x)图像关于点 A ( a, c)成中心 对称 ,有 f ( x) + f ( 2a - x) = 2c,用 2b - x代 x得
f ( 2b - x) + f [ 2a - ( 2b - x) ] = 2c.
故 y = f ( x)是周期函数 ,且 4 | a - b |是其一个周期. 2 不同函数对称性的探究
定理 4 函数 y = f ( x) 与 y = 2b - f ( 2a - x) 的 图像关于点 A ( a, b) 成中心对称.
定理 5 ( 1) 函数 y = f ( x) 与 y = f ( 2a - x) 的 图像关于直线 x = a成轴对称 ;
同理可证 :函数 x - a = f ( y + a)的图像上任一点 关于直线 x - y = a的轴对称点也在函数 y = f ( x)的 图像上. 故定理 5中的 ( 3)成立.
推论 函数 y = f ( x)的图像与 x = f ( y)的图像关 于直线 x = y成轴对称. 3 几个特殊复合函数的对称性
2006年第 6期 数 学 教 学 研 究
31
点 P与点 Q 关于点 A ( a, b)对称 ,充分性得证. 推论 函数 y = f ( x)的图像关于原点 O 对称的
充要条件是 f ( x) + f ( - x) = 0. 定理 2 函数 y = f ( x) 的图像关于直线 x = a对
函数对称性及其在解题中的应用
郑建雄
(浙江省绍兴县鲁迅中学 312008)
函数是高中数学教学的核心内容 , 对称性是函 数图像的重要性质 , 对称关系不仅广泛存在于数学 问题之中 ,而且利用对称性往往能更简捷地使问题 得到解决. 考查对称性能有效地考查学生的逻辑思 维能力 、空间想象能力 、分析问题和解决问题的能 力 ,因而是高考和竞赛中命题的热点和重点. 本文拟 通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性等 方面来探讨函数对称性及其在解题中的应用. 1 函数自身对称性的探究
2b - y = f ( 2a - x) ,即 y + f ( 2a - x) = 2b. 故 f ( x) + f ( 2a - x) = 2b, 必要性得证.
(充分性 )设点 P ( x0 , y0 )是 y = f ( x)图像上任一 点 ,则 y0 = f ( x0 ) .
∵f ( x) + f ( 2a - x) = 2b, ∴f ( x0 ) + f ( 2a - x0 ) = 2b, 即 2b - y0 = f ( 2a - x0 ) . 故点 Q ( 2a - x0 , 2b - y0 )也在 y = f ( x)图像上 ,而
10
8
λ+
5 λ
,
当
8
λ=
5即 λ
λ
=
5 8
5 8
< 1 时 , S 取得最小值 ,此
时 ,画面的高为 x =
4840 λ
= 88cm,宽为 λx =
5 8
·88
= 55cm.
如果 λ∈
23 ,
34
S 的表达式 ,得 :
S (λ1 ) - S (λ2 )
,可设
2 3
≤λ1
<λ2
≤
3 4
, 则由
= 44 = 44 由于
定理
6 函数
f ( x)
=
ax cx
+ +
b d
(
c≠0
)
的图像关
于
点 ( - d , a )成中心对称. cc
证明 ∵f ( x) + f ( - 2d - x) c
a ( - 2d - x) + b
= ax + b + cx + d c (
-
c 2d
-
x)
= 2a, +d c
c
由定理 1知函数 f ( x) = ax + b ( c≠0)的图像关 cx + d
= g ( - kx - b) , 又 y = g ( x)是偶函数 , ∴g ( - kx - b) = g ( kx + b) = g [ f ( x) ],
故 F ( - 2b - x) = F ( x). k
由定理 2可知定理也成立. 同理可得定理 ( 2)成立. 4 函数对称性应用举例 例 1 (第十二届希望杯高二第二试题 )定义在 R上的非常数函数满足 : y = f (10 + x)为偶函数 , 且 f ( 5 - x) = f ( 5 + x) ,则 f ( x)一定 ( ) . (A )是偶函数 ,也是周期函数 (B)是偶函数 ,但不是周期函数 ( C)是奇函数 ,也是周期函数 (D )是奇函数 ,但不是周期函数. 解 因 y = f ( 10 + x)为偶函数 , 有 f ( 10 + x ) = f ( 10 - x) ,于是 f ( x)有两条对称轴 x = 5与 x = 10, 因 此 f ( x)是以 10为其一个周期的周期函数. 而 x = 0 即 y轴也是 f ( x)的对称轴 ,因此 y = f ( x)还是一个偶 函数. 故选 (A ) . 例 2 设定义域为 R的函数 y = f ( x) 、y = g ( x) 都有反函数 ,并且 y = f ( x - 1)和 y = g - 1 ( x - 2)函数 的图像关于直线 y = x 对称 , 若 g ( 5 ) = 1999, 那么
30
数 学 教 学 研 究 2006年第 6期
设画面高为 xcm,宽为 λxcm,则 λx2 = 4840,设纸 张面积为 S,则有
S = ( x + 16) (λx + 10) =λx2 + ( 16λ + 10) x + 160.
将
x
=
Baidu Nhomakorabea22
10代入上式 λ
,得
S = 5000 + 44
10 8
λ 1
+
5 λ
-8
1
10 (
λ 1
-
λ 2
)
8-
λλ 12
≥
2 3
>
5 8
,故
8
-
λ 2
-
5 λ
2
5 λλ .
12
5 λλ
> 0.
12
因此 S (λ1 ) - S (λ2 ) < 0, 所 以 S (λ) 在 区 间
2 3
,
3 4
内单调递增.
从而 ,对于 λ∈
2 3
,
3 4
,则当 λ = 2 时 ,所用 3
(3 )
又函数 y = f ( x)图像关于直线 x = b成轴对称 ,
有 f ( 2b - x) = f ( x) ,代入 ( 3 )得
f ( x) = 2c - f [ 2 ( a - b) + x ].
(3 3 )
用 2 ( a - b) - x代 x得
f [ 2 ( a - b) + x ] = 2c - f [ 4 ( a - b) + x ], 代入 ( 3 3 )得 f ( x) = f [ 4 ( a - b) + x ].
证明 点 P ( x0 , y0 ) 是 y = f ( x) 图像上任一点 , 其关于直线 x - y = a 的对称点为 Q ( x1 , y1 ) , 则 y0 = f ( x0 ) , x1 = a + y0 , y1 = x0 - a,
∴x0 = a + y1 , y0 = x1 - a. 代入 y0 = f ( x0 )之中得 x1 - a = f ( a + y1 ) ,知点 Q ( x1 , y1 )在函数 x - a = f ( y + a)的图像上.
由定理
1可知函数
f ( x)
=
ax
c -
( a > 0, b
a ≠1,
c
≠0, b > 0)的图像关于点 ( loga b,
-
c )成中心对称 , 2b
因为函数
f ( x)
=
ax
c -
( a > 0, a≠1, c≠0, b > 0)的反 b
32
数 学 教 学 研 究 2006年第 6期
定理 1 函数 y = f ( x) 的图像关于点 A ( a, b) 对称的充要条件是 f ( x) + f ( 2a - x) = 2b.
证明 (必要性 )设点 P ( x, y) 是 y = f ( x) 的图 像上任一点 , 因点 P ( x, y) 关于点 A ( a, b) 的对称点 Q ( 2a - x, 2b - y) 也在 y = f ( x) 图像上 ,则
函数为
f ( x)
= loga (
c x
+ b) ,所以有 :
定理 9 函数
f ( x)
= loga (
c x
+ b) ( a > 0, a≠1, c
≠0,
b > 0)的图像关于点
(
-
c 2b
,
loga b)成中心对称.
定理 10 函数
f ( x)
= loga (
c x
- b) ( a > 0, a≠1,
称的充要条件是 f ( a + x) = f ( a - x) ,即 f ( x) = f ( 2a - x) . (证明留给读者 )
推论 函数 y = f ( x) 的图像关于 y轴对称的充 要条件是 f ( x) = f ( - x) .
定理 3 ( 1) 若函数 y = f ( x) 图像同时关于点 A ( a, c) 和点 B ( b, c) 成中心对称 ( a ≠ b) , 则 y = f ( x) 是周期函数 ,且 2 | a - b | 是其一个周期 ;
c≠0, b > 0)的图像关于点 ( 2cb, loga b)成中心对称. 定理 11 已知一次函数 f ( x) = kx + b ( x∈R) . ( 1) 若 y = g ( x) 为偶函数 ,则复合函数 F ( x) =
g [ f ( x) ]的图像关于直线 x = - b 中心对称 ; k
( 2)若函数 y = f ( x)图像同时关于直线 x = a和 直线 x = b成轴对称 ( a≠b) ,则 y = f ( x)是周期函数 ,
且 2 | a - b |是其一个周期 ; ( 3)若函数 y = f ( x)图像既关于点 A ( a, c)成中心
对称又关于直线 x = b成轴对称 ( a≠b) ,则 y = f ( x)是 周期函数 ,且 4 | a - b |是其一个周期.
(2)若 y = g ( x) 为奇函数 ,则复合函数 F ( x) =
g [ f ( x) ]的图像关于点 ( - b , 0) 中心对称. k
证明 ( 1) ∵F ( - 2b - x) = g [ f ( - 2b - x) ]
k
k
= g [ k ( - 2b - x) + b ] = g ( - 2b - kx + b) k
于点 ( - d , a )成中心对称. cc
定理
7 函数
f ( x)
=
ax
c -
( a > 0, a ≠1, c≠0, b b
> 0)的图像关于点 ( loga b,
-
c )成中心对称. 2b
定理
8 函数
f ( x)
=
ax
c +
(a b
>
0,
a ≠1,
c≠0,
b
> 0)的图像关于点
(
loga b,
纸张面积最小.
评注 本题取材于现实生活中的实际问题 , 重
点考查建立函数关系式 、求函数最值的技能技巧和
运用所学数学知识解决实际问题的能力. 建立起函 数关系式以后 ,为求函数的最小值 ,不等式的知识在 这里发挥了工具作用.
综上可知 ,不等式作为中学阶段的重要内容和 求解数学问题的重要工具 , 在高考命题中被淋漓尽 致地体现出来了 , 它所涉及的内容的深度和广度是 其它章节的知识和内容所无法相比的. 因此 ,要想在 高考中获得理想的成绩 , 必须高度重视不等式知识 的复习和研究 , 既要掌握好不等式中的基本题型的 解法 ,更要关注不等式与其它数学知识融合在一起 的综合问题与应用问题的解法 , 强化运用数学思想 方法指导解题的意识 , 提高应用不等式的知识解题 的能力.
c )成中心对称. 2b
定理 8的证明留给读者 ,下面证明定理 7.
证明 函数
f ( x)
=
ax
c -
(a > 0且 b
a ≠1,
c≠0,
b
> 0) ,
∵f ( x)
+ f ( 2 loga b -
x)
=
ax
c -
b
+
c a2 logab -
x
-
b
= ax
c -
b + b2
cax - bax
=
-
c, b
f ( 4) = ( ) .