函数对称性及其在解题中的应用
借助函数性质，妙用“二级结论”解题
ʏ林春斌在解决一些涉及函数性质(奇偶性㊁周期性㊁对称性等)问题时,往往可以巧妙应用对应的 二级结论 ,直接得出相应的结果,这样可以避免烦琐的推理过程,从而达到提高解题效率的目的㊂一㊁借助奇函数的 二级结论 解题结论1:如果f (x )是奇函数且在x =0处有意义,那么f (0)=0㊂结论2:若奇函数f (x )在关于原点对称的区间上有最值,则f (x )m a x +f (x )m i n =0㊂结论3:若f (x )是奇函数,且g (x )=f (x )+c ,则g (-x )+g (x )=2c ㊂结论4:若f (x )是奇函数,且g (x )=f (x )+c ,g (x )在定义域上有最值,则g (x )m a x +g (x )m i n =2c ㊂例1 已知函数f (x )=2|x |+1-x +22|x |+1的最大值为M ,最小值为m ,则M +m 的值为㊂分析:通过化简并变形f (x )的表达式,构建函数g (x )=x2|x |+1,结合奇函数的 二级结论 直接确定对应函数的最大值与最小值之和㊂解:根据题意得函数f (x )=2|x |+1-x +22|x |+1=2ˑ2|x |-x +22|x |+1=2-x2|x |+1㊂令函数g (x )=-x2|x |+1,其定义域为R ,则f (x )=2+g (x )㊂因为函数g (-x )=--x 2|x |+1=x2|x |+1=-g (x ),所以g (x )是奇函数㊂结合奇函数的 二级结论 得f (x )m a x +f (x )m i n =M +m =2ˑ2=4㊂在利用奇函数的 二级结论 时,要对题设条件中的原函数的解析式进行合理的恒等变形,借助构建的奇函数,利用奇函数的 二级结论 进行分析与求解㊂二㊁借助周期函数的 二级结论 解题已知函数f (x )的定义域内任一自变量x 的值,a ,b 为非零常数㊂结论1:若满足f (x +a )=f (x -a ),f (x +a )=-f (x ),f (x +a )+f (x )=c (c ɪR ),f (x +a )=1f (x )或f (x +a )=-1f (x ),则函数f (x )是周期函数,且一个周期为2a ㊂结论2:若满足f (x )=f (x +a )+f (x -a ),则函数f (x )是周期函数,且一个周期为6a ㊂结论3:若函数f (x )的图像关于直线x =a 与x =b 对称,则函数f (x )是周期函数,且一个周期为2|b -a |(b ʂa )㊂结论4:若函数f (x )的图像关于点(a ,0)对称,又关于点(b ,0)对称,则函数f (x )是周期函数,且一个周期为2|b -a |(b ʂa )㊂结论5:若函数f (x )的图像关于直线x =a 对称,又关于点(b ,0)对称,则函数f (x )是周期函数,且一个周期为4|b -a |(b ʂa )㊂注意:对于结论3,结论4,结论5的巧妙记忆为 两次对称成周期,两轴两心二倍差,一轴一心四倍差㊂例2 函数f (x )的定义域为R ,若f (x +1)是奇函数,且f (x -1)是偶函数,则( )㊂A .f (x +3)是偶函数B .f (x )=f (x +3)C .f (3)=0D .f (x )是奇函数分析:根据题设条件,利用抽象函数的奇偶性构建相应的关系式,通过关系式的变形与转化,利用奇函数的 二级结论 ,周期函数4知识结构与拓展 高一数学 2023年10月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.的 二级结论 得到函数值,以及图像的周期性,进而对所求函数值进行转化与处理㊂解:因为f (x +1)是奇函数,所以f (x +1)=-f (-x +1)㊂因为f (x -1)是偶函数,所以f (x -1)=f (-x -1),所以f (x +1)=f (-x -3)㊂所以-f (-x +1)=f (-x -3),所以f (x )+f (x -4)=0,所以f (x )+f (x +4)=0,所以f (x +8)=-f (x +4)=f (x ),即函数f (x )的周期为T =8㊂对于A ,由f (x )+f (x +4)=0,可得f (x +5)=-f (x +1)=f (-x +1),所以f (x +3)=f (-x +3),即f (x +3)是偶函数,A 正确㊂对于B ,函数f (x )是周期为8的周期函数,B 错误㊂对于C ,由f (x )+f (x +4)=0,可得f (3)=-f (-1),不能得到f (3)的值,C 错误㊂对于D ,由f (x +1)=f (-x -3),f (x )+f (x +4)=0,可得f (0)=f (-2)=-f (2)=-f (4),不能得到f (0)的值,D 错误㊂应选A㊂涉及周期函数的 二级结论 及其应用,解题的关键是借助题设条件,合理构建对应的抽象函数之间满足的关系式,结合 二级结论 进行分析与求解㊂三㊁借助对称函数的 二级结论 解题结论1:若函数f (x +a )是偶函数,则函数f (x )的图像关于直线x =a 对称㊂结论2:若函数f (x +a )是奇函数,则函数f (x )的图像关于点(a ,0)中心对称㊂例3 已知函数f (x )的定义域为R ,f (x +1)为奇函数,f (x +2)为偶函数,当x ɪ[1,2]时,f (x )=a ㊃2x+b ㊂若f (0)+f (3)=6,则f (2024)的值是( )㊂A.-12 B .-2C .6D .12分析:根据题设条件,先利用对称函数的二级结论 得到函数图像的对称性,结合抽象函数的奇偶性构建相应的关系式,再利用周期函数的 二级结论 得到函数图像的周期性,最后求出函数的值㊂解:因为f (x +1)为奇函数,所以函数f (x )的图像关于点(1,0)对称,所以f (1)=0,且f (x +1)=-f (-x +1)㊂因为f (x +2)为偶函数,所以函数f (x )的图像关于直线x =2对称,所以f (x +2)=f (-x +2)㊂结合周期性可知函数f (x )的周期为T =4|1-2|=4㊂当x ɪ[1,2]时,f (x )=a ㊃2x+b ,结合f (x +1)=-f (-x +1)与f (x +2)=f (-x +2)得f (0)=-f [-(-1)+1]=-f (1+1)=-f (2)=-(4a +b ),f (3)=f (1+2)=f (-1+2)=f (1)=2a +b ㊂又f (0)+f (3)=6,所以-(4a +b )+(2a +b )=-2a =6,解得a =-3㊂当x ɪ[1,2]时,f (x )=a ㊃2x +b ,因为函数f (x )的图像关于(1,0)对称,所以f (1)=0,所以f (1)=2a +b =0,所以b =-2a =6㊂由f (x +1)=-f (-x +1),可得f (0)=-f (2)㊂因为当x ɪ[1,2]时,f (x )=6-3㊃2x,所以f (2024)=f (506ˑ4)=f (0)=-f (2)=-(6-3㊃22)=6㊂应选C ㊂解答本题的关键是从对称函数的 二级结论 入手,过渡到周期函数的 二级结论 ,结合逻辑推理与数学运算进行分析与求解㊂定义在[0,1]上的函数f (x )满足f (0)=0,f (x )+f (1-x )=1,fx 5=12f (x ),且当0ɤx 1<x 2ɤ1时,f (x 1)ɤf (x 2),则f 35等于㊂提示:易得f (1)=1㊂将x =1代入fx5 =12f (x )得f 15 =12,将x =15代入f (x )+f (1-x )=1得f 45 =12㊂因为15<35<45,所以f 15 ɤf 35 ɤf45 ,故f35 =12㊂作者单位:江苏省姜堰中学(责任编辑 郭正华)5知识结构与拓展高一数学 2023年10月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
函数的对称性与函数的图象变换
(1)y=2-x (2)y=-2x (3)y=-2-x
y
y
y
1 Ox
1
O
-1
x
1
O
-1
x
函数图象对称变换的规律:
1.函数y=f(-x)与函数y=f(x)的图像关于y轴对称 2.函数y=-f(x)与函数y=f(x)的图像关于x轴对称 3.函数y=-f(-x)与函数y=f(x)的图像关于原点对称 4.函数y=f(x)与函数y=f(2a-x)的图像关于直线 x=a
,0
) 对称
(2)若y=f(x)满足f(a-x)=2c-f(b+x),
则函数图像关于点 (
a+b 2
,C
) 对称
轴对称 函数图像关于直线x=0对称
中心对称性 函数图像关于(0,0)中心对称
-x
x
f(-x)=a对称
函数图像关于(a,0)中心对称
x=a
y=f(x)图像关于(0,0)中心对称
f(-x)=-f(x)
y
-x
o xa
x
类比探究
中心对称性
从”形”的角度看，
从”数”的角度看，
y=f(x)图像关于(a,0)中心对称
f(x)=-f(2a-x)
y
2a-x o
a
xx
类比探究
中心对称性
从”形”的角度看，
从”数”的角度看，
y=f(x)图像关于(a,0)中心对称
②若函数f(x)关于直线x=1对称,则函数f(x-4)-2
关于直线 x=5 对称.
问题2. 设f(x)= 1 (x>0)，求函数y=-f(x)、y=f(-x)、
x
y=-f(-x)的解析式及其定义域，并分别作出它们的图象。
函数性质的八大题型综合应用(解析版)-高中数学
函数性质的八大题型综合应用题型梳理【题型1函数的单调性的综合应用】【题型2函数的最值问题】【题型3函数的奇偶性的综合应用】【题型4函数的对称性的应用】【题型5对称性与周期性的综合应用】【题型6类周期函数】【题型7抽象函数的性质】【题型8函数性质的综合应用】命题规律从近几年的高考情况来看，本节是高考的一个热点内容，函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性是高考的必考内容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图象、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时要充分运用转化思想和数形结合思想，灵活求解．对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的单调性、奇偶性，主要考察方向是：判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小；对于解答题部分，一般与导数相结合，考查难度较大.知识梳理【知识点1函数的单调性与最值的求解方法】1.求函数的单调区间求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.2.函数单调性的判断(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.(2)函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.(3)函数单调性的几条常用结论：①若f(x)是增函数，则-f(x)为减函数；若f(x)是减函数，则-f(x)为增函数；②若f(x)和g(x)均为增(或减)函数，则在f(x)和g(x)的公共定义域上f(x)+g(x)为增(或减)函数；③若f(x)>0且f(x)为增函数，则函数f(x)为增函数，1f(x)为减函数；④若f(x)>0且f(x)为减函数，则函数f(x)为减函数，1f(x)为增函数．3.求函数最值的三种基本方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.4.复杂函数求最值：对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.【知识点2函数的奇偶性及其应用】1.函数奇偶性的判断判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.(3)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个(或多个)函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如f(x)+g(x),f(x)-g(x),f(x)×g(x),f(x)÷g(x)．对于运算函数有如下结论：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；奇×(÷)奇=偶；奇×(÷)偶=奇；偶×(÷)偶=偶．(4)复合函数y=f[g(x)]的奇偶性原则：内偶则偶，两奇为奇．(5)常见奇偶性函数模型奇函数：①函数f(x)=ma x+1a x-1(x≠0)或函数f(x)=m a x-1a x+1．②函数f(x)=±(a x-a-x)．③函数f(x)=log a x+mx-m=log a1+2mx-m或函数f(x)=log a x-mx+m=log a1-2mx+m④函数f(x)=log a(x2+1+x)或函数f(x)=log a(x2+1-x)．2.函数奇偶性的应用(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.(2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.【知识点3函数的周期性与对称性常用结论】1.函数的周期性常用结论(a是不为0的常数)(1)若f(x+a)=f(x)，则T=a；(2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a；(3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a；(4)若f(x+a)=f(1x)，则T=2a；(5)若f(x+a)=f(1x)，则T=2a；(6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b);2.对称性的三个常用结论(1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线x=a+b2对称.(2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点a+b2,0对称.(3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点a+b2,c 2对称.3.函数的的对称性与周期性的关系(1)若函数y=f(x)有两条对称轴x=a，x=b(a<b)，则函数f(x)是周期函数，且T=2(b-a)；(2)若函数y=f(x)的图象有两个对称中心(a,c),(b,c)(a<b)，则函数y=f(x)是周期函数，且T=2(b-a)；(3)若函数y=f(x)有一条对称轴x=a和一个对称中心(b,0)(a<b)，则函数y=f(x)是周期函数，且T=4(b-a)．举一反三【题型1函数的单调性的综合应用】1(2023·广东深圳·统考模拟预测)已知函数f x 的定义域为R，若对∀x∈R都有f3+x= f1-x，且f x 在2，+∞上单调递减，则f1 ，f2 与f4 的大小关系是()A.f4 <f1 <f2B.f2 <f1 <f4C.f1 <f2 <f4D.f4 <f2 <f1【解题思路】由f3+x=f1-x，得到f1 =f3 ，利用单调性即可判断大小关系，即可求解．【解答过程】因为对∀x∈R都有f3+x=f1-x，所以f1 =f3-2=f[1-(-2)]=f3 又因为f x 在2，+∞上单调递减，且2<3<4，所以f4 <f3 <f2 ，即f4 <f1 <f2 ．故选：A．【变式训练】1(2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考二模)定义在R上的函数f(x)满足f2-x=f x ，且当x ≥1时，f (x )单调递增，则不等式f 2-x ≥f (x +1)的解集为()A.12,+∞ B.0,12C.-∞,-12D.-∞,12【解题思路】根据函数的对称性和单调性即可.【解答过程】由f 2-x =f (x )，得f (x )的对称轴方程为x =1，故2-x -1 ≥x +1 -1 ，即(1-x )2≥x 2，解得x ≤12．故选：D .2(2023上·江西鹰潭·高三校考阶段练习)已知函数f x =-x 2+2ax +4,x ≤1,1x,x >1是-12,+∞ 上的减函数，则a 的取值范围是()A.-1,-12B.-∞,-1C.-1,-12D.-∞,-1【解题思路】首先分析知，x >1，函数单调递减，则x ≤1也应为减函数，同时注意分界点处的纵坐标大小关系即可列出不等式组，解出即可.【解答过程】显然当x >1时，f x =1x为单调减函数，f x <f 1 =1当x ≤1时，f x =-x 2+2ax +4，则对称轴为x =-2a2×-1=a ，f 1 =2a +3若f x 是-12,+∞上减函数，则a ≤-122a +3≥1解得a ∈-1,-12 ，故选：A .3(2023·四川绵阳·统考三模)设函数f x 为x -1与x 2-2ax +a +3中较大的数，若存在x 使得f x ≤0成立，则实数a 的取值范围为()A.-43,-1 ∪1,4 B.-∞,-43∪4,+∞ C.-∞,1-132∪1+132,4D.-1,1【解题思路】根据绝对值函数的图像和二次函数讨论对称轴判定函数的图像即可求解.【解答过程】因为f x =max x -1,x 2-2ax +a +3 ，所以f x 代表x -1与x 2-2ax +a +3两个函数中的较大者，不妨假设g (x )=|x |-1,h (x )=x 2-2ax +a +3g (x )的函数图像如下图所示：h(x)=x2-2ax+a+3是二次函数，开口向上，对称轴为直线x=a，①当a<-1时，h(x)=x2-2ax+a+3在-1,1上是增函数，需要h(-1)=(-1)2-2a(-1)+a+3=3a+4≤0即a≤-4 3，则存在x使得f x ≤0成立，故a≤-4 3；②当-1≤a≤1时，h(x)=x2-2ax+a+3在-1,1上是先减后增函数，需要h(x)min=h(a)=a2-2a⋅a+a+3=-a2+a+3≤0，即a2-a-3≥0，解得a≥1+132或a≤1-132，又1+132>1，1-132<-1故-1≤a≤1时无解；③当a>1时，h(x)=x2-2ax+a+3在-1,1上是减函数，需要h(1)=12-2a+a+3=-a+4≤0即a≥4，则存在x使得f x ≤0成立，故a≥4.综上所述，a的取值范围为-∞,-4 3∪4,+∞.故选：B.【题型2函数的最值问题】1(2023·江西九江·校考模拟预测)若0<x<6，则6x-x2有()A.最小值3B.最大值3C.最小值9D.最大值9【解题思路】根据二次函数的性质进行求解即可.【解答过程】令y =6x -x 2=-(x -3)2+9，对称轴为x =3，开口向下，因为0<x <6，所以当x =3时，6x -x 2有最大值9，没有最小值，故选：D .【变式训练】1(2023·全国·校联考三模)已知函数f x =bx -b +3 x 3在-1,1 上的最小值为-3，则实数b的取值范围是()A.-∞,-4B.9,+∞C.-4,9D.-92,9【解题思路】由已知可得当-1≤x <1时，可得bx 1+x ≥-3x 2+x +1 恒成立，通过分离变量，结合函数性质可求b 的取值范围【解答过程】因为f 1 =-3，函数f x =bx -b +3 x 3在-1,1 上的最小值为-3，所以对∀x ∈-1,1 ，f x ≥-3恒成立，所以bx -b +3 x 3≥-3恒成立，即bx 1-x 2 ≥-31-x 3 恒成立，当x =1时，b ∈R ，当-1≤x <1时，可得bx 1+x ≥-3x 2+x +1 恒成立.当x =0或x =-1时，不等式显然成立；当0<x <1时，b ≥-3x 2+x +1 x 1+x =-31+1x 2+x，因为x 2+x ∈0,2 ，所以1x 2+x ∈12,+∞ ，1+1x 2+x ∈32,+∞ ，-31+1x 2+x∈-∞,-92 ，所以b ≥-92；当-1<x <0时，b ≤-31+1x 2+x，因为x 2+x ∈-14,0 ，所以1x 2+x ∈-∞,-4 ，1+1x 2+x ∈-∞,-3 ，-31+1x 2+x∈9,+∞ ，所以b ≤9.综上可得，实数b 的取值范围是-92,9.故选：D .2(2023上·广东广州·高一校考阶段练习)定义一种运算min a ,b =a ,a ≤bb ,a >b，设f x =min 4+2x -x 2,x -t (t 为常数，且x ∈[-3,3]，则使函数f x 的最大值为4的t 的值可以是()A.-2或4B.6C.4或6D.-4【解题思路】根据定义，先计算y=4+2x-x2在x∈-3,3上的最大值，然后利用条件函数f(x)最大值为4，确定t的取值即可．【解答过程】y=4+2x-x2=-x-12+5在x∈-3,3上的最大值为5，所以由4+2x-x2=4，解得x=2或x=0，所以x∈0,2时，y=4+2x-x2>4，所以要使函数f(x)最大值为4，则根据定义可知，当t≤1时，即x=2时，2-t=4，此时解得t=-2，符合题意；当t>1时，即x=0时，0-t=4，此时解得t=4，符合题意；故t=-2或4.故选：A.3(2023·广东惠州·统考一模)若函数f x 的定义域为D，如果对D中的任意一个x，都有f x > 0,-x∈D，且f-xf x =1，则称函数f x 为“类奇函数”．若某函数g x 是“类奇函数”，则下列命题中，错误的是()A.若0在g x 定义域中，则g0 =1B.若g x max=g4 =4，则g x min=g-4=1 4C.若g x 在0,+∞上单调递增，则g x 在-∞,0上单调递减D.若g x 定义域为R，且函数h x 也是定义域为R的“类奇函数”，则函数G x =g x h x 也是“类奇函数”【解题思路】对A，根据“类奇函数”的定义，代入x=0求解即可；对B，根据题意可得g-x=1g x，再结合函数的单调性判断即可；对C，根据g-x=1g x，结合正负分数的单调性判断即可；对D，根据“类奇函数”的定义，推导G x G-x=1判断即可.【解答过程】对于A，由函数g x 是“类奇函数”，所以g x g-x=1，且g x >0，所以当x=0时，g0 g-0=1，即g0 =1，故A正确；对于B，由g x g-x=1，即g-x=1g x,g-x随g x 的增大而减小，若g(x)max=g4 =4，则g(x)min=g-4=14成立，故B正确；对于C，由g x 在0,+∞上单调递增，所以g-x=1g x，在x∈0,+∞上单调递减，设t=-x∈-∞,0 ，∴g t 在t ∈-∞,0 上单调递增，即g x 在x ∈-∞,0 上单调递增，故C 错误；对于D ，由g x g -x =1,h x h -x =1，所以G x G -x =g x g -x h x h -x =1，所以函数G x =g x h x 也是“类奇函数”，所以D 正确；故选：C .【题型3 函数的奇偶性的综合应用】1(2023·广东·东莞市校联考一模)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )=ax +1，若f (-2)=5，则不等式f (x )>12的解集为()A.-∞,-12 ∪0,16B.-12,0 ∪0,16C.-∞,-12 ∪16,+∞ D.-12,0 ∪16,+∞ 【解题思路】根据条件可求得x >0时f (x )的解析式，根据函数为奇函数继而可求得当x <0时f (x )的解析式，分情况解出不等式即可.【解答过程】因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (-2)=-f (2)=5，则f (2)=-5，则2a +1=-5，所以a =-3，则当x >0时，f (x )=-3x +1，当x <0时，-x >0，则f (x )=-f (-x )=-[-3×(-x )+1]=-3x -1，则当x >0时，不等式f (x )>12为-3x +1>12，解得0<x <16，当x <0时，不等式f (x )>12为-3x -1>12，解得x <-12，故不等式的解集为-∞,-12 ∪0,16，故选：A .【变式训练】1(2023·全国·模拟预测)已知函数f (x )，g (x )的定义域均为R ，f (3x +1)为奇函数，g (x +2)为偶函数，f (x +1)+g (1-x )=2，f (0)=-12，则102k =1 g (k )=()A.-51B.52C.4152D.4092【解题思路】由题意，根据函数奇偶性可得f (x )的图象关于点(1,0)中心对称、g (x )的图象关于点(1,2)中心对称，进而可知g (x )是以4为周期的周期函数．求出g (1)，g (2)，g (3)，g (4)，结合周期即可求解.【解答过程】因为f (3x +1)为奇函数，所以f (x +1)为奇函数，所以f (x +1)=-f (-x +1)，f (x )的图象关于点(1,0)中心对称，f (1)=0．因为g (x +2)为偶函数，所以g (x +2)=g (-x +2)，g (x )的图象关于直线x =2对称．由f (x +1)+g (1-x )=2，得f (-x +1)+g (1+x )=2，则-f (x +1)+g (1+x )=2，所以g (x +1)+g (1-x )=4,g (x )+g (2-x )=4，所以g (x )的图象关于点(1,2)中心对称．因为g (x )的图象关于x =2轴对称，所以g (x )+g (2+x )=4，g (x +2)+g (x +4)=4，所以g (x +4)=g (x )，即g (x )是以4为周期的周期函数．因为f (1)=0，f (0)=-12，所以g (1)=2，g (2)=52，g (3)=g (1)=2，g (4)=g (0)=4-g (2)=32，所以102k =1g (k )=25×2+52+2+32 +2+52=4092．故选：D ．2(2023·安徽亳州·蒙城第一中学校联考模拟预测)已知函数f x 是定义在R 上的偶函数，函数g x 是定义在R 上的奇函数，且f x ，g x 在0,+∞ 上单调递减，则()A.f f 2 >f f 3B.f g 2 <f g 3C.g g 2 >g g 3D.g f 2 <g f 3【解题思路】利用函数的单调性以及函数的奇偶性，判断各选项的正负即可.【解答过程】因为f x ，g x 在0,+∞ 上单调递减，f x 是偶函数，g x 是奇函数，所以g x 在R 上单调递减，f x 在-∞,0 上单调递增，对于A ，f 2 >f 3 ，但无法判断f 2 ,f 3 的正负，故A 不正确；对于B ，g 2 >g 3 ，但无法判断g 2 ,g 3 的正负，故B 不正确；对于C ，g 2 >g 3 ，g x 在R 上单调递减，所以g g 2 <g g 3 ，故C 不正确；对于D ，f 2 >f 3 ，g x 在R 上单调递减，g f 2 <g f 3 ，故D 正确.故选：D .3(2023·江西吉安·江西省遂川中学校考一模)若定义在R 上的函数f (x )满足：对任意x 1，x 2∈R有f (x 1+x 2)=f (x 1)+f (x 2)-2016，且x >0时，f (x )>2016，记f (x )在[-2017，2017]上的最大值和最小值为M ，N ，则M +N 的值为()A.2016B.2017C.4032D.4034【解题思路】先计算得到f (0)=2016，再构造函数g (x )=f (x )-2016，判断g (x )的奇偶性得出结论．【解答过程】解：令x 1=x 2=0得f (0)=2f (0)-2016，∴f (0)=2016，令x 1=-x 2得f (0)=f (-x 2)+f (x 2)-2016=2016，∴f (-x 2)+f (x 2)=4032，令g(x)=f(x)-2016，则g max(x)=M-2016，g min(x)=N-2016，∵g(-x)+g(x)=f(-x)+f(x)-4032=0，∴g(x)是奇函数，∴g max(x)+g min(x)=0，即M-2016+N-2016=0，∴M+N=4032．故选：C．【题型4函数的对称性的应用】1(2023·江西赣州·统考二模)已知函数f(x)的图像既关于点(-1,1)对称，又关于直线y=x对称，且当x∈[-1,0]时，f(x)=x2，则f174=()A.-194B.-92C.-72D.-174【解题思路】用Γ表示函数y=f x 的图像，设x0,y0∈Γ，根据中心对称性与轴对称性，得到4+y0,-4+x0∈Γ，令4+y0=174，求出y0，即可求出x0，即可得解.【解答过程】用Γ表示函数y=f x 的图像，对任意的x0∈-1,0，令y0=x20，则x0,y0∈Γ，且y0∈0,1，又函数f(x)的图像既关于点(-1,1)对称，且关于直线y=x对称，所以y0,x0∈Γ，则-2-y0,2-x0∈Γ，则2-x0,-y0-2∈Γ，则-4+x0,4+y0∈Γ，则4+y0,-4+x0∈Γ，令4+y0=174，即y0=14，此时x0=-12或x0=12(舍去)，此时-4+x0=-4+-1 2=-92，即174,-92∈Γ，因此f174 =-92.故选：B.【变式训练】1(2023·四川绵阳·绵阳中学校考一模)若函数y=f x 满足f a+x+f(a-x)=2b，则说y=f x 的图象关于点a,b对称，则函数f(x)=xx+1+x+1x+2+x+2x+3+...+x+2021x+2022+x+2022x+2023的对称中心是()A.(-1011,2022)B.1011,2022C.(-1012,2023)D.1012,2023【解题思路】求出定义域，由定义域的对称中心，猜想a=-1012，计算出f(-1012+x)+f(-1012-x) =4046，从而求出对称中心.【解答过程】函数定义域为{x|x≠-1,x≠-2...,...x≠-2022,x≠-2023}，定义域的对称中心为(-1012,0)，所以可猜a=-1012，则f(-1012+x)=-1012+x-1011+x+-1011+x-1010+x+-1010+x-1009+x+...+1009+xx+1010+1010+x1011+x，f(-1012-x)=-1012-x-1011-x +-1011-x-1010-x+-1010-x-1009-x+...+1009-x1010-x+1010-x1011-x=1012+x 1011+x +1011+x1010+x+1010+x1009+x+...+1009-x1010-x+1010-x1011-x，故f(-1012+x)+f(-1012-x)=1010+x1011+x +1012+x 1011+x+1009+xx+1010+1011+x 1010+x⋯+-1012+x-1011+x +1010-x 1011-x=2×2023=4046所以y=f x 的对称中心为(-1012,2023)，故选：C．2(2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模)函数f x 和g x 的定义域均为R，且y=f3+3x为偶函数，y=g x+3+2为奇函数，对∀x∈R，均有f x +g x =x2+1，则f7 g7 = ()A.615B.616C.1176D.2058【解题思路】由题意可以推出f x =f6-x，g x =-4-g6-x，再结合f x +g x =x2+1可得函数方程组，解出函数方程组后再代入求值即可.【解答过程】由函数f3+3x为偶函数，则f3+3x=f3-3x，即函数f x 关于直线x=3对称，故f x =f6-x；由函数g x+3+2为奇函数，则g x+3+2=-g-x+3-2，整理可得g x+3+g-x+3=-4，即函数g x 关于3,-2对称，故g x =-4-g6-x；由f x +g x =x2+1，可得f6-x+g6-x=(6-x)2+1，所以f x -4-g x =(6-x)2+1，故f x +g x =x2+1f x -4-g x =(6-x)2+1 ，解得f x =x2-6x+21,g x =6x-20，所以f7 =72-6×7+21=28,g7 =6×7-20=22，所以f7 g7 =28×22=616.故选：B.3(2023·甘肃张掖·高台县校考模拟预测)已知函数f(x)的定义域为R，f x-1的图象关于点(1,0)对称，f3 =0，且对任意的x1,x2∈-∞,0，x1≠x2，满足f x2-f x1x2-x1<0，则不等式x-1f x+1≥0的解集为()A.-∞,1∪2,+∞B.-4,-1∪0,1C.-4,-1∪1,2D.-4,-1∪2,+∞【解题思路】首先根据f(x-1)的图象关于点(1,0)对称，得出(x)是定义在R上的奇函数，由对任意的x1，x2∈(-∞,0)，x1≠x2，满足f(x2)-f(x1)x2-x1<0，得出f(x)在(-∞,0)上单调递减，然后根据奇函数的对称性和单调性的性质，求解即可．【解答过程】∵f(x-1)的图象关于点(1,0)对称，∴f(x)的图象关于点(0,0)对称，∴f(x)是定义在R 上的奇函数，∵对任意的x1，x2∈(-∞,0)，x1≠x2，满足f(x2)-f(x1)x2-x1<0，∴f(x)在(-∞,0)上单调递减，所以f(x)在(0,+∞)上也单调递减，又f3 =0所以f-3=0，且f0 =0，所以当x∈-∞,-3∪0,3时，f x >0；当x∈-3,0∪3,+∞时，f x <0，所以由x-1f x+1≥0可得x-1<0,-3≤x+1≤0或x-1>0,0≤x+1≤3或x-1=0，解得-4≤x≤-1或1≤x≤2，即不等式x-1f x+1≥0的解集为-4,-1∪1,2．故选：C.【题型5对称性与周期性的综合应用】1(2023·四川宜宾·统考一模)已知函数f x ,g x 的定义域为R,g x 的图像关于x=1对称，且g2x+2为奇函数，g1 =1,f x =g3-x+1，则下列说法正确的个数为()①g(-3)=g(5)；②g(2024)=0；③f(2)+f(4)=-4；④2024n=1f(n)=2024.A.1B.2C.3D.4【解题思路】根据奇函数定义得到g-2x+2=-g2x+2，进而得到g x 的对称中心为，再根据对称轴求出周期，通过赋值得到答案.【解答过程】因为g2x+2为奇函数，所以g-2x+2=-g2x+2，则g-x+2=-g x+2，所以g x 对称中心为2,0，又因为g x 的图像关于x=1对称，则g-x+2=g x ，所以-g x+2=g x ，则g x+4=-g x+2=g x ，所以g x 的周期T=4，①g-3=g-3+8=g5 ，所以①正确；②因为g1 =1，g-x+2=g x ，g x 对称中心为2,0，所以g0 =g2 =0，所以g(2024)=g0 =0，所以②正确；③因为f x =g3-x+1，所以f2 =g1 +1=2，因为-g x+2=g x ，所以g-1=-g1 ，则f4 =g-1+1=-g1 +1=0，所以f(2)+f(4)=2，所以③错误；④因为f x =g 3-x +1且g x 周期T =4，所以f x +4 =g 3-x -4 +1=g 3-x +1=f x ，则f x 的周期为T =4，因为f 1 =g 2 +1=1，f 2 =2，f 3 =g 0 +1=1，f 4 =0，所以f 1 +f 2 +f 3 +f 4 =4，所以2024n =1 f (n )=506f 1 +f 2 +f 3 +f 4 =4 =506×4=2024，所以④正确.故选：C .【变式训练】1(2023·北京大兴·校考三模)已知函数f x 对任意x ∈R 都有f x +2 =-f x ，且f -x =-f x ，当x ∈-1,1 时，f x =x 3.则下列结论正确的是()A.函数y =f x 的图象关于点k ,0 k ∈Z 对称B.函数y =f x 的图象关于直线x =2k k ∈Z 对称C.当x ∈2,3 时，f x =x -2 3D.函数y =f x 的最小正周期为2【解题思路】根据f x +2 =-f x 得到f x +2 =f x -2 ，所以f x 的周期为4，根据f -x =-f x 得到f x 关于x =-1对称，画出f x 的图象，从而数形结合得到AB 错误；再根据f x =-f x -2 求出x ∈2,3 时函数解析式；D 选项，根据y =f x 的最小正周期，得到y =f x 的最小正周期.【解答过程】因为f x +2 =-f x ，所以f x =-f x -2 ，故f x +2 =f x -2 ，所以f x 的周期为4，又f -x =-f x ，所以f -x =f x -2 ，故f x 关于x =-1对称，又x ∈-1,1 时，f x =x 3，故画出f x 的图象如下：A 选项，函数y =f x 的图象关于点1,0 不中心对称，故A 错误；B 选项，函数y =f x 的图象不关于直线x =2对称，B 错误；C 选项，当x ∈2,3 时，x -2∈0,1 ，则f x =-f x -2 =-x -2 3，C 错误；D 选项，由图象可知y =f x 的最小正周期为4，又f x +2 =-f x =f x ，故y =f x 的最小正周期为2，D 正确.故选：D .2(2023·四川绵阳·绵阳校考模拟预测)已知函数f x 的定义域为R ,f 1 =0，且f 0 ≠0,∀x ,y∈R 都有f x +y +f x -y =2f x f y ，则下列说法正确的命题是()①f 0 =1；②∀x ∈R ,f -x +f x =0；③f x 关于点1,0 对称；④2023i =1 f (i )=-1A.①②B.②③C.①②④D.①③④【解题思路】利用特殊值法，结合函数的奇偶性、对称性和周期性进行求解即可.【解答过程】对于①，由于∀x ,y ∈R 都有f x +y +f x -y =2f x f y ，所以令x =y =0，则f 0 +f 0 =2f 0 f 0 ，即f 0 =f 20 ，因为f 0 ≠0，所以f 0 =1，所以①正确，对于②，令x =0，则f y +f -y =2f 0 f y =2f y ，所以f y =f -y ，即f x =f -x ，所以∀x ∈R ,f -x -f x =0，所以②错误，对于③，令x =1，则f 1+y +f 1-y =2f 1 f y =0，所以f 1+y =-f 1-y ，即f 1+x =-f 1-x ，所以f x 关于点1,0 对称，所以③正确，对于④，因为f 1+x =-f 1-x ，所以f 2+x =-f -x ，因为f x =f -x ，所以f 2+x =-f x ，所以f 4+x =-f 2+x ，所以f 4+x =f x ，所以f x 的周期为4，在f x +y +f x -y =2f x f y 中，令x =y =1，则f 2 +f 0 =2f 1 f 1 =0，因为f 0 =1，所以f (2)=-1，f (3)=f (-1)=f (1)=0,f (4)=f (0)=1，所以f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=0+(-1)+0+1=0，所以2023i =1 f (i )=505×f (1)+f (2)+f (3)+f (4) +f (1)+f (2)+f (3)=-1，所以④正确，故选：D .3(2023·安徽合肥·合肥一中校考模拟预测)已知函数f x 与g (x )的定义域均为R ，f (x +1)为偶函数，且f (3-x )+g (x )=1，f (x )-g (1-x )=1，则下面判断错误的是()A.f x 的图象关于点(2,1)中心对称B.f x 与g x 均为周期为4的周期函数C.2022i =1f (i )=2022D.2023i =0g (i )=0【解题思路】由f (x +1)为偶函数可得函数关于直线x =1轴对称，结合f (3-x )+g (x )=1和f (x )-g (1-x )=1可得f x 的周期为4，继而得到g x 的周期也为4，接着利用对称和周期算出对应的值即可判断选项【解答过程】因为f x +1 为偶函数，所以f x +1 =f -x +1 ①，所以f x 的图象关于直线x =1轴对称，因为f x -g 1-x =1等价于f 1-x -g x =1②，又f 3-x +g x =1③，②+③得f 1-x +f 3-x =2④，即f 1+x +f 3+x =2，即f 2+x =2-f x ，所以f 4+x =2-f 2+x =f x ，故f x 的周期为4，又g x =1-f 3-x ，所以g x 的周期也为4，故选项B 正确，①代入④得f 1+x +f 3-x =2，故f x 的图象关于点2,1 中心对称，且f 2 =1，故选项A 正确，由f 2+x =2-f x ，f 2 =1可得f 0 =1,f 4 =1，且f 1 +f 3 =2，故f 1 +f 2 +f 3 +f 4 =4，故2022i =1 f (i )=505×4+f (1)+f (2)=2021+f (1)，因为f 1 与f 3 值不确定，故选项C 错误，因为f 3-x +g x =1，所以g 1 =0,g 3 =0,g 0 =1-f 3 ,g 2 =1-f 1 ，所以g 0 +g 2 =2-f 1 +f 3 =0，故g 0 +g 1 +g 2 +g 3 =0，故2023i =0 g (i )=506×0=0，所以选项D 正确，故选:C .【题型6 类周期函数】1(2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测)定义在R 上的函数f x 满足f x +1 =12f x ，且当x ∈0,1 时，f x =1-2x -1 .当x ∈m ,+∞ 时，f x ≤332，则m 的最小值为()A.278B.298C.134D.154【解题思路】根据已知计算出f x =12n 1-2x -2n +1 ≤12n ，画出图象，计算f x =332，解得x =298，从而求出m 的最小值.【解答过程】由题意得，当x ∈1,2 时，故f x =12f x -1 =121-2x -3 ，当x ∈2,3 时，故f x =12f x -1 =141-2x -5 ⋯，可得在区间n ,n +1 n ∈Z 上，f x =12n 1-2x -2n +1 ≤12n ，所以当n ≥4时，f x ≤332，作函数y =f x 的图象，如图所示，当x ∈72,4 时，由f x =181-2x -7 =332,2x -7 =14,x =298，则m ≥298，所以m 的最小值为298故选：B .【变式训练】1(2023上·湖南长沙·高三校考阶段练习)定义域为R 的函数f x 满足f x +2 =2f x -1，当x∈0,2 时，f x =x 2-x ,x ∈0,1 1x,x ∈1,2.若x ∈0,4 时，t 2-7t 2≤f x ≤3-t 恒成立，则实数t 的取值范围是()A.1,2B.1,52C.12,2D.2,52【解题思路】由f (x +2)=2f (x )-1，求出x ∈(2，3)，以及x ∈[3，4]的函数的解析式，分别求出(0，4]内的四段的最小值和最大值，注意运用二次函数的最值和函数的单调性，再由t 2-7t2≤f x ≤3-t 恒成立即为t 2-7t2≤f x min ，f x max ≤3-t ，解不等式即可得到所求范围【解答过程】当x ∈(2,3),则x -2∈(0,1)，则f (x )=2f (x -2)-1=2(x -2)2-2(x -2)-1，即为f (x )=2x 2-10x +11，当x ∈[3，4]，则x -2∈[1，2]，则f (x )=2f (x -2)-1=2x -2-1.当x ∈(0,1)时,当x =12时,f (x )取得最小值,且为-14；当x ∈[1,2]时,当x =2时,f (x )取得最小值,且为12；当x ∈(2,3)时,当x =52时,f (x )取得最小值,且为-32；当x ∈[3,4]时,当x =4时,f (x )取得最小值，且为0.综上可得,f (x )在(0,4]的最小值为-32.若x ∈(0,4]时, t 2-7t2≤f x min 恒成立，则有t 2-7t 2≤-32.解得12≤t ≤3.当x ∈(0,2)时,f (x )的最大值为1,当x ∈(2,3)时,f (x )∈-32,-1 ，当x ∈[3,4]时,f (x )∈[0,1]，即有在(0,4]上f (x )的最大值为1.由f x max ≤3-t ，即为1≤3-t ，解得t ≤2，综上，即有实数t 的取值范围是12,2.故选：C .2(2022·四川内江·校联考二模)定义域为R 的函数f (x )满足f (x +2)=3f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )=x 2-2x ，若x ∈[-4,-2]时，f (x )≥1183t-t 恒成立，则实数t 的取值范围是()A.-∞,-1 ∪0,3B.-∞,-3 ∪0,3C.-1,0 ∪3,+∞D.-3,0 ∪3,+∞【解题思路】根据题意首先得得到函数的具体表达式，由x ∈[-4,-2]，所以x +4∈[0,2]，所以f (x +4)=x 2+6x +8，再由f (x +4)=3f (x +2)=9f (x )可得出f (x )的表达式，在根据函数思维求出f (x )最小值解不等式即可.【解答过程】因为x ∈[-4,-2]，所以x +4∈[0,2]，因为x ∈[0,2]时，f x =x 2-2x ，所以f x +4 =(x +4)2-2(x +4)=x 2+6x +8,因为函数f x 满足f x +2 =3f x ，所以f x +4 =3f x +2 =9f x ，所以f x =19f x +4 =19x 2+6x +8 ，x ∈[-4,-2]，又因为x ∈[-4,-2]，f x ≥1183t-t 恒成立，故1183t -t ≤f x min =-19，解不等式可得t ≥3或-1≤t <0.故选C .3(2023上·浙江台州·高一校联考期中)设函数f x 的定义域为R ，满足f x =2f x -2 ，且当x∈0,2 时，f x =x 2-x ．若对任意x ∈-∞,m ，都有f x ≤3，则m 的取值范围是()A.-∞,52B.-∞,72C.-∞,92D.-∞,112【解题思路】根据给定条件分段求解析式及对应函数值集合，再利用数形结合即得.【解答过程】因为函数f x 的定义域为R ，满足f x =2f x -2 ，且当x ∈0,2 时，f x =x 2-x =-x -1 2+1∈0,1 ，当x ∈(2,4]，时，x -2∈(0,2]，则f (x )=2f (x -2)=2x -2 2-x -2 =-2x -3 2+2∈0,2 ，当x ∈(4,6]，时，x -4∈(0,2]，则f (x )=4f (x -2)=4x -2-2 4-x -2 =-4x -5 2+4∈0.4 ，当x ∈(-2,0]，时，x +2∈(0,2]，则f (x )=12f (x +2)=12(x +2)-x =-12x +1 2+12∈0,12，作出函数f x 的大致图象，对任意x ∈-∞,m ，都有f x ≤3，设m 的最大值为t ，则f t =3，所以-4t -5 2+4=3，解得t =92或t =112，结合图象知m 的最大值为92，即m 的取值范围是-∞,92.故选：C .【题型7 抽象函数的性质】1(2023·新疆乌鲁木齐·统考二模)已知f x ，g x 都是定义在R 上的函数，对任意x ，y 满足f x -y=f x g y -g x f y ，且f -2 =f 1 ≠0，则下列说法正确的是()A.f 0 =1B.函数g 2x +1 的图象关于点1,0 对称C.g 1 +g -1 =0D.若f 1 =1，则2023n =1 f n =1【解题思路】利用赋值法结合题目给定的条件可判断AC ，取f x =sin2π3x ,g x =cos 2π3x 可判断B ，对于D ，通过观察选项可以推断f x 很可能是周期函数，结合f x g y ,g x f y 的特殊性及一些已经证明的结论，想到令y =-1和y =1时可构建出两个式子，两式相加即可得出f x +1 +f x -1 =-f x ，进一步得出f x 是周期函数，从而可求2023n =1 f n 的值.【解答过程】解：对于A ，令x =y =0，代入已知等式得f 0 =f 0 g 0 -g 0 f 0 =0，得f 0 =0，故A 错误；对于B ，取f x =sin 2π3x ,g x =cos 2π3x ，满足f x -y =f x g y -g x f y 及f -2 =f 1 ≠0，因为g 3 =cos2π=1≠0，所以g x 的图象不关于点3,0 对称，所以函数g 2x +1 的图象不关于点1,0 对称，故B 错误；对于C ，令y =0，x =1，代入已知等式得f 1 =f 1 g 0 -g 1 f 0 ，可得f 1 1-g 0 =-g 1 f 0 =0，结合f 1 ≠0得1-g 0 =0，g 0 =1，再令x =0，代入已知等式得f -y =f 0 g y -g 0 f y ，将f 0 =0，g 0 =1代入上式，得f -y =-f y ，所以函数f x 为奇函数.令x =1，y =-1，代入已知等式，得f 2 =f 1 g -1 -g 1 f -1 ，因为f -1 =-f 1 ，所以f 2 =f 1 g -1 +g 1 ，又因为f 2 =-f -2 =-f 1 ，所以-f 1 =f 1 g -1 +g 1 ，因为f 1 ≠0，所以g 1 +g -1 =-1，故C 错误；对于D ，分别令y =-1和y =1，代入已知等式，得以下两个等式：f x +1 =f x g -1 -g x f -1 ，f x -1 =f x g 1 -g x f 1 ，两式相加易得f x +1 +f x -1 =-f x ，所以有f x +2 +f x =-f x +1 ，即：f x =-f x +1 -f x +2 ，有：-f x +f x =f x +1 +f x -1 -f x +1 -f x +2 =0，即：f x -1 =f x +2 ，所以f x 为周期函数，且周期为3，因为f 1 =1，所以f -2 =1，所以f 2 =-f -2 =-1，f 3 =f 0 =0，所以f 1 +f 2 +f 3 =0，所以2023n =1 f n =1=f 1 +f 2 +f 3 +⋯+f 2023 =f 2023 =f 1 =1，故D 正确.故选：D .【变式训练】1(2023·福建宁德·福鼎市校考模拟预测)已知函数f x 及其导函数f x 的定义域均为R ，对任意的x ,y ∈R ，恒有f x +y +f x -y =2f x f y ，则下列说法正确的个数是()①f 0 =0；②fx 必为奇函数；③f x +f 0 ≥0；④若f (1)=12，则2023n =1f (n )=12.A.1B.2C.3D.4【解题思路】利用赋值法可判断①；利用赋值法结合函数奇偶性定义判断②；赋值，令y =x ，得出f 2x+f0 ≥0，变量代换可判断③；利用赋值法求出f(n)部分函数值，推出其值具有周期性，由此可计算2023n=1f(n)，判断④，即可得答案.【解答过程】令x=y=0，则由f x+y+f x-y=2f x f y 可得2f0 =2f20 ，故f(0)=0或f0 =1，故①错误；当f(0)=0时，令y=0，则f(x)+f(x)=2f(x)f(0)=0，则f(x)=0，故f (x)=0，函数f (x)既是奇函数又是偶函数；当f(0)=1时，令x=0，则f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)，所以f-y=f y ，则-f (-y)=f (y)，即f (-y)=-f (y)，则f (x)为奇函数，综合以上可知f (x)必为奇函数，②正确；令y=x，则f2x+f0 =2f2x ，故f2x+f0 ≥0.由于x∈R，令t=2x,t∈R，即f t +f0 ≥0，即有f x +f0 ≥0，故③正确；对于D，若f1 =12，令x=1,y=0，则f1 +f1 =2f1 f0 ，则f(0)=1，令x=y=1，则f2 +f0 =2f21 ，即f2 +1=12,∴f2 =-12，令x=2,y=1，则f3 +f1 =2f2 f1 ，即f3 +12=-12,∴f(3)=-1，令x=3,y=1，则f4 +f2 =2f3 f1 ，即f4 -12=-1,∴f(4)=-12，令x=4,y=1，则f5 +f3 =2f4 f1 ，即f5 -1=-12,∴f(5)=12，令x=5,y=1，则f6 +f4 =2f5 f1 ，即f6 -12=12,∴f(6)=1，令x=6,y=1，则f7 +f5 =2f6 f1 ，即f7 +12=1,∴f(7)=12，令x=7,y=1，则f8 +f6 =2f7 f1 ，即f8 +1=12,∴f(8)=-12，⋯⋯，由此可得f(n),n∈N*的值有周期性，且6个为一周期，且f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0，故2023n=1f n =337×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)]+f(1)=12，故④正确，即正确的是②③④，故选：C.2(2023·河南·校联考模拟预测)已知函数f x 对任意实数x,y恒有f(x-y)+f(x+y)=f(2x)成立，且当x<0时，f(x)>0.(1)求f(0)的值;(2)判断f x 的单调性，并证明;(3)解关于x的不等式:f x2-(a+2)x+f(a+y)+f(a-y)>0.【解题思路】(1)根据题意，令x=0,y=0，即可求得f(0)=0；(2)令x=0，得到f(-y)=-f(y)，所以f x 为奇函数，在结合题意和函数单调性的定义和判定方法，即可求解；(3)化简不等式为f x2-(a+2)x>f(-2a)，结合函数f x 的单调性，把不等式转化为x2-(a+2)x <-2a，结合一元二次不等式的解法，即可求解.【解答过程】(1)解：因为函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x-y)+f(x+y)=f(2x)成立，令x=0,y=0，则f(0)+f(0)=f(0)，所以f(0)=0.(2)解：函数f x 为R上的减函数.证明:令x=0，则f(-y)+f(y)=f(0)=0，所以f(-y)=-f(y)，故f x 为奇函数.任取x1,x2∈R，且x1<x2，则x1-x2<0，因为当x<0时，f(x)>0，所以f x1-x2>0，所以f x1-f x2=f x1+f-x2=fx1-x22+x1+x22+f x1-x22-x1+x22=f x1-x2>0，即f x1>f x2，所以f x 是R上的减函数.(3)解：根据题意，可得f x2-(a+2)x>-[f(a+y)+f(a-y)]=-f(2a)=f(-2a)，由(2)知f x 在R上单调递减，所以x2-(a+2)x<-2a，即x2-(a+2)x+2a<0，可得(x-2)(x-a)<0，当a>2时，原不等式的解集为(2,a)；当a=2时，原不等式的解集为∅；当a<2时，原不等式的解集为(a,2).3(2023上·广东东莞·高一校联考期中)已知函数f x 对任意实数x,y恒有f x+y=f x +f y ，当x>0时，f x <0，且f1 =-2.(1)判断f x 的奇偶性；(2)判断函数单调性，求f x 在区间-3,3上的最大值；(3)若f x <m2-2am+2对所有的x∈-1,1,a∈-1,1恒成立，求实数m的取值范围.【解题思路】(1)令x=y=0，求得f0 =0，再令y=-x，从而得f-x=-f x ，从而证明求解. (2)设x1,x2∈R且x1<x2，结合条件用单调性的定义证明函数f x 的单调性，然后利用单调性求解区间-3,3上的最大值.(3)根据函数f x <m2-2am+2对所有的x∈-1,1，a∈-1,1恒成立，说明f x 的最大值2小于右边，因此先将右边看作a的函数，解不等式组，即可得出m的取值范围．【解答过程】(1)f x 为奇函数，证明如下：令x=y=0，则f0+0=2f0 ，所以f0 =0，令y=-x，则f x-x=f x +f-x=f0 =0，所以：f-x=-f x 对任意x∈R恒成立，所以函数f x 为奇函数.(2)f x 在R上是减函数，证明如下：任取x1,x2∈R且x1<x2，则x2-x1>0f x2-f x1=f x2+f-x1=f x2-x1<0，所以f x2<f x1，所以f x 在R上为减函数.当x∈-3,3时，f x 单调递减，所以当x=-3时，f x 有最大值为f-3，因为f3 =f2 +f1 =3f1 =-2×3=-6，所以f-3=-f3 =6，故f x 在区间-3,3上的最大值为6.(3)由(2)知f x 在区间-1,1上单调递减，所以f x ≤f-1=-f1 =2，因为f x <m2-2am+2对所有的x∈-1,1，a∈-1,1恒成立，即m2-2am>0对任意a∈-1,1恒成立，令g a =-2am+m2，则g-1>0g1 >0，即2m+m2>0-2m+m2>0，解得：m>2或m<-2.故m的取值范围为-∞,-2∪2,+∞.【题型8函数性质的综合应用】1(2023上·河北石家庄·高一校考阶段练习)已知函数f(x)=a x，g(x)=b⋅a-x+x，a>0且a≠1，若f(1)+g(1)=52，f(1)-g(1)=32，设h(x)=f(x)+g(x)，x∈[-4,4]．(1)求函数h(x)的解析式并判断其奇偶性；(2)判断函数h(x)的单调性(不需证明)，并求不等式h(2x+1)+h(2x-1)≥0的解集．【解题思路】(1)由f(1)+g(1)=52、f(1)-g(1)=32代入可解出a、b，得到h(x)，再计算h(x)与h(-x)的关系即可得到奇偶性；(2)分别判断h(x)中每一部分的单调性可得h(x)的单调性，结合函数的单调性与奇偶性解决该不等式即可得.【解答过程】(1)由f(1)+g(1)=52，f(1)-g(1)=32，即有a+ba+1=52a-ba-1=32，解得a=2b=-1，即f(x)=2x，g(x)=-2-x+x，则h(x)=2x-2-x+x，其定义域为R，h (-x )=2-x -2x -x =-2x -2-x +x =-h (x )，故h (x )为奇函数.(2)h (x )=2x -2-x +x ，由2x 在R 上单调递增，-2-x 在R 上单调递增，x 在R 上单调递增，故h (x )在R 上单调递增，由h (2x +1)+h (2x -1)≥0，且h (x )为奇函数，即有h (2x +1)≥-h (2x -1)=h 1-2x ，即有2x +1≥1-2x ，解得x ≥0，故该不等式的解集为x x ≥0 .【变式训练】1(2023上·上海·高一校考期中)已知定义在全体实数上的函数f x 满足：①f x 是偶函数；②f x 不是常值函数；③对于任何实数x 、y ，都有f x +y =f x f y -f 1-x f 1-y ．(1)求f 1 和f 0 的值；(2)证明：对于任何实数x ，都有f x +4 =f x ；(3)若f x 还满足对0<x <1有f x >0，求f 13+f 23 +⋯+f 20263 的值．【解题思路】(1)取x =1，y =0代入计算得到f 1 =0，取y =0得到f x =f x f 0 ，得到答案.(2)取y =1，结合函数为偶函数得到f x +2 =-f x ，变换得到f x +4 =f x ，得到证明.(3)根据函数的周期性和奇偶性计算f 13 +f 23 +⋯+f 123 =0，取x =y =13和取x =13，y =-13得到f 13 =32，根据周期性得到f 13 +f 23 +⋯+f 20263=-f 13 -1，计算得到答案.【解答过程】(1)f x +y =f x f y -f 1-x f 1-y取x =1，y =0得到f 1 =f 1 f 0 -f 0 f 1 =0，即f 1 =0；取y =0得到f x =f x f 0 -f 1-x f 1 =f x f 0 ，f x 不是常值函数，故f 0 =1；(2)f x +y =f x f y -f 1-x f 1-y ，取y =1得到f x +1 =f x f 1 -f 1-x f 0 =-f 1-x ，f x 是偶函数，故f x +1 =-f x -1 ，即f x +2 =-f x ，f x +4 =-f x +2 =f x .(3)f x +2 +f x =0，f x 为偶函数，取x =-13，则f 53 +f -13 =0，即f 53 +f 13 =0；取x =-23，则f 43 +f -23 =0，即f 43 +f 23=0；故f 73+f 83 +f 103 +f 113 =-f 13 -f 23 -f 43 -f 53 =0，f 2 =-f 0 =-1，f 3 =f -1 =f 1 =0，f 4 =f 0 =1，故f 13+f 23 +⋯+f 123 =0，取x =y =13得到f 23 =f 213 -f 223，取x =13，y =-13得到f 0 =f 213 -f 23 f 43 =f 213 +f 223=1，f 13 >0，f 23 >0，解得f 13 =32，f 13+f 23 +⋯+f 20263 =-f 113 -f 123 =-f 13 -1=-32-1.2(2023下·山西运城·高二统考期末)已知f x =e x -1+e 1-x +x 2-2x +a ，(1)证明：f x 关于x =1对称；(2)若f x 的最小值为3(i )求a ；(ii )不等式f m e x +e -x +1 >f e x -e -x 恒成立，求m 的取值范围【解题思路】(1)代入验证f (x )=f (2-x )即可求解，(2)利用单调性的定义证明函数的单调性，即可结合对称性求解a =2，分离参数，将恒成立问题转化为m >e x -e -x -1e x +e -xmax ，构造函数F (x )=e x -e -x -1e x +e-x ，结合不等式的性质即可求解最值.【解答过程】(1)证明：因为f x =e x -1+e 1-x +x 2-2x +a ，所以f (2-x )=e 2-x -1+e1-(2-x )+(2-x )2-2(2-x )+a =e 1-x +e x -1+x 2-2x +a ，所以f (x )=f (2-x )，所以f (x )关于x =1对称.(2)(ⅰ)任取x 1,x 2∈(1,+∞),且x 1<x 2f x 1 -f x 2 =e x 1-1+e1-x 1+x 21-2x 1-ex 2-1+e1-x 2+x 22-2x 2=e x 1-1-ex 2-1+e1-x 1-e1-x 2+x 21-x 22 -2x 1-x 2=(ex 1-1-ex 2-1)(e x 1-1e x 2-1-1)ex 1-1ex 2-1+(x 1-x 2)(x 1+x 2-2)∵1<x 1<x 2，∴0<x 1-1<x 2-1,∴e x 1-1>1,ex 2-1>1,ex 1-1-ex 2-1<0,ex 1-1e x 2-1-1>0，x 1-x 2<0,x 1+x 2-2>0,∴f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在1,+∞ 上单调递增，又f (x )关于x =1对称，则在-∞,1 上单调递减.所以f (x )min =f (1)=1+a =3，所以a =2.(单调性也可以用单调性的性质、复合函数的单调性判断、导数证明)(ⅱ)不等式f (m (e x +e -x )+1)>f (e x -e -x )恒成立等价于(m (e x +e -x )+1)-1 >e x -e -x -1 恒成立， 即m >ex-e -x -1 e x +e -x =e x -e -x -1e x +e -x恒成立，即m >e x -e -x -1e x +e -xmax令F (x )=e x -e -x -1e x +e -x ，则F (x )=e 2x -e x -1e 2x +1=1-e x +2e 2x +1，令e x +2=n ,n ∈2,+∞ ，则e x =n -2则g n =1-n n 2-4n +5=1-1n -4+5n，因为n ∈2,+∞ ,n -4+5n ≥25-4，n =5取等号，则g n ∈-52,1，所以g n ∈0,52，所以m >52,即m ∈-∞,-52 ∪52,+∞ .3(2023下·广东·高一统考期末)已知函数y =φx 的图象关于点P a ,b 成中心对称图形的充要条件是φa +x +φa -x =2b ．给定函数f x =x -6x +1及其图象的对称中心为-1,c ．(1)求c 的值；(2)判断f x 在区间0,+∞ 上的单调性并用定义法证明；(3)已知函数g x 的图象关于点1,1 对称，且当x ∈0,1 时，g x =x 2-mx +m ．若对任意x 1∈0,2 ，总存在x 2∈1,5 ，使得g x 1 =f x 2 ，求实数m 的取值范围．【解题思路】(1)根据函数的对称性得到关于c 的方程，解出即可求出函数的对称中心；(2)利用函数单调性的定义即可判断函数f (x )单增,(3)问题转化为g (x )在[0,2]上的值域A ⊆[-2,4]，通过讨论m 的范围，得到关于m 的不等式组，解出即可．【解答过程】(1)由于f (x )的图象的对称中心为-1,c ，则f (-1+x )+f (-1-x )=2c ，即(x -1)-6x -1+1+(-x -1)-6-x -1+1=2c ，整理得-2=2c ，解得：c =-1，故f (x )的对称中心为(-1,-1)；(2)函数f (x )在(0,+∞)递增；设0<x 1<x 2，则f x 1 -f x 2 =x 1-6x 1+1-x 2+6x 2+1=x 1-x 2 +6x 1-x 2 x 2+1 x 1+1=x 1-x 2 1+6x 2+1 x 1+1，由于0<x 1<x 2，所以x 1-x 2<0, 6x 2+1 x 1+1>0，所以f x 1 -f x 2 <0⇒f x 1 <f x 2 ，故函数f (x )在(0,+∞)递增；。
函数的周期性和对称性形影不离-学会解题之高三数学多题一解【原卷版】
专题05 函数的周期性和对称性形影不离【高考地位】函数的周期性和对称性是函数的两个基本性质。
在高中数学中，研究一个函数，首看定义域、值域，然后就要研究对称性（中心对称、轴对称），并且在高考中也经常考查函数的对称性和周期性，以及它们之间的联系。
因此，我们应该掌握一些简单常见的几类函数的周期性与对称性的基本方法。
类型一 函数的周期性的判定及应用万能模板 内 容使用场景 几类特殊函数类型解题模板第一步 合理利用已知函数关系并进行适当地变形； 第二步 熟记常见结论，准确求出函数的周期性；（1）若函数)(x f 满足)()(a x f a x f -=+，则函数)(x f 的周期为a 2； （2）若函数)(x f 满足)()(x f a x f -=+或)(1)(x f a x f =+或)(1)(x f a x f -=+，则函数)(x f 的周期为a 2； 第三步 运用函数的周期性求解实际问题.例 1 函数定义域为，且对任意，都有，若在区间上则（ ）A.B. C.D.【变式演练1】（2022·江苏南京·高三阶段练习）已知函数()f x ，任意x y R ∈，，满足()()()()22f x y f x y f x f y +-=-，且()()1220f f ==，，则()()()1290f f f +++的值为（ ）A ．2-B ．0C ．2D ．4【变式演练2】（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））定义在R 上的函数()f x 满足1(1)()3f x f x +=，且当[0,1)x ∈时，()1|21|f x x =--.若对[,)x m ∀∈+∞，都有2()81f x ≤，则m 的取值范围是（ ）A ．10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．11,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．13,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．143⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【变式演练3】（多选）（2022·云南·高三阶段练习）已知函数()f x 的定义域为1221R,,R,2x x x x ∀∈-=，都有()()120f x f x +=，且()11f =，则下列结论正确的是（ ）A ．()231f =B ．()231f -=C ．()()()()()123451f f f f f ++++=D ．()()()()1230f x f x f x f x ++++++=类型二 函数的对称性问题万能模板 内 容使用场景 几类特殊函数类型 解题模板记住常见的几种对称结论：第一类 函数)(x f 满足()()f x a f b x +=-时，函数()y f x =的图像关于直线2a bx +=对称； 第二类 函数)(x f 满足()()c f x a f b x ++-=时，函数()y f x =的图像关于点(,)22a b c+对称； 第三类 函数()y f x a =+的图像与函数()y f b x =-的图像关于直线2b ax -=对称. 例2 ．（多选）（2022·福建省福州第一中学高三开学考试）已知函数()()sin sin 1f x x x =+-，则下列结论正确的是（ ）A ．()y f x =图象是轴对称图形B ．()()0f x f x π++=C ．()f x 在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．()[]1,0,1f x x <∀∈例3 （2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高三开学考试（理））定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x -＋＝，且()f x 在[]10-，上是增函数，给出下列几个命题：①()f x 是周期函数；②()f x 的图象关于直线1x =对称； ③()f x 在[]1,2上是减函数； ④(2)(0)f f =．其中正确命题的序号是_____．(写出所有正确命题的序号)例4 （2022·辽宁·大连二十四中高三阶段练习）已知直线3y x =-+分别与函数e x y =和ln y x =的图象交于点()11,A x y ，()22,B x y ，则12x x +=_________．【变式演练4】（2022·湖南湘潭·高三开学考试）（多选）已知函数()()sin cos f x x x x ππ=+∈R ，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()f x 是周期函数 B ．函数()f x 的最大值是2C ．函数()f x 的图象关于点1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭对称D ．函数()f x 的图象关于直线12x =对称 【变式演练5】（2022·四川省德阳市第三中学高三开学考试）设()()ln ,024,24x x f x f x x ⎧<≤⎪=⎨-<<⎪⎩，若方程()f x m =有四个不相等的实根()1,2,3,4i x i =，则()2221234x x x x +++的取值范围为___________.【高考再现】1.（2022·全国乙（理）T12） 已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，且()(2)5,()(4)7f x g x g x f x +-=--=．若()y g x =的图像关于直线2x =对称，(2)4g =，则221()k f k ==∑（ ）A. 21-B. 22-C. 23-D. 24-2.（2022·新高考Ⅰ卷T12） 已知函数()f x 及其导函数()'f x 的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，则（ ）A. (0)0f =B. 102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C. (1)(4)f f -=D. (1)(2)g g -=3.（2022·新高考Ⅱ卷T8） 若函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221()k f k ==∑（ ）A. 3-B. 2-C. 0D. 14．（2021·全国高考真题（理））设函数()f x 的定义域为R ，()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，当[]1,2x ∈时，2()f x ax b =+．若()()036f f +=，则92f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．94-B ．32-C ．74D ．525．（2021·全国高考真题（理））设函数1()1xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是（ ）A ．()11f x --B ．()11f x -+C ．()11f x +-D ．()11f x ++6. 【2016高考新课标2理数】已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()miii x y =+=∑（ ）（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m7. 【2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ）】已知f(x)是定义域为(−∞,+∞)的奇函数,满足f(1−x)=f(1+x).若f(1)=2，则f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(50)=（ ） A ． −50 B ． 0 C ． 2 D ． 508. 【2018年全国文科数学】已知函数f(x)=lnx +ln(2−x)，则 A ． f(x)在（0，2）单调递增B ． f(x)在（0，2）单调递减C ． y =f(x)的图像关于直线x=1对称D ． y =f(x)的图像关于点（1，0）对称9.【2016年高考四川理数】已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，()4xf x =，则5()(1)2f f -+=.10. 【2018年全国普通高等学校招生统一考试数学】函数f(x)满足f(x +4)=f(x)(x ∈R)，且在区间(−2,2]上，f(x)={cosπx2,0<x ≤2,|x +12|,−2<x ≤0,则f(f(15))的值为____，11. 【2016高考江苏卷】设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[1,1)-上，,10,()2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩ 其中.a ∈R 若59()()22f f -= ，则(5)f a 的值是. 【反馈练习】1．（2022·河南·南阳市第六完全学校高级中学高三阶段练习（文））已知函数()f x 是R 上的偶函数，且()f x 的图象关于点()1,0对称，当[]0,1x ∈时，()22xf x =-，则()()()()0122022f f f f +++⋅⋅⋅+的值为（ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．12．（2022·福建省龙岩第一中学高三阶段练习）已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()0f x f x -+=，()2()f x f x -=，当01x ≤≤时，()21x f x =-，则()2log 2023f =（ ）A ．252048-B ．9991024-C ．10242023-D ．512999-3．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（理））已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()()25f x g x +-=，()()49g x f x --=，若y g x 的图象关于直线2x =对称，()24g =，则()221k f k ==∑（ ）A ．47-B ．48-C ．23-D ．24-4．（2022·甘肃·武威十八中高三阶段练习（理））已知奇函数()f x 满足()(2)f x f x -=+，当[0,1]x ∈时，2()2f x x =，则(7)f =（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．25．（2022·河北深州市中学高三阶段练习）已知定义域为R 的函数()f x 满足：对任意的x ∈R ，有()()22f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()()21log 1f x x =++，则()2023f =（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36．（2022·北京四中高三开学考试）已知函数()sin cos sin cos x xf x x x+=，在下列结论中：①π是()f x 的一个周期； ②()f x 在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减；③()f x 的图象关于直线π4x =对称； ④()f x 的图象关于点π,04⎛⎫- ⎪⎝⎭对称.正确结论的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．（2022·云南·高三阶段练习）已知函数()2()ln11f x x x =++，定义域为R 的函数满足()()20g x g x +--=，若函数()y f x =与()y g x =图象的交点为()11,x y ，()22,x y ，……，()66,x y ，则()61i i i x y =-=∑（ ）A ．6B ．12C ．6-D ．12-8．（2022·福建省龙岩第一中学高三阶段练习）（多选）已知函数()f x 为R 上的奇函数，()()1g x f x =+为偶函数，下列说法正确的有（ ） A ．()f x 图象关于(10)-，对称 B ．()20230g =C ．()g x 的最小正周期为4D ．对任意R x ∈都有()()11f x f x -=+9．（2022·黑龙江·嫩江市高级中学高三开学考试）（多选）已知偶函数()f x 满足()(2)0f x f x +-=，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 是以2为周期的周期函数B ．函数()f x 是以4为周期的周期函数C ．函数(3)f x -为偶函数D ．函数(1)f x -为奇函数10．（2022·浙江·慈溪中学高三开学考试）（多选）已知函数()[]f x x x =-，其中[]x 表示不大于x 的最大整数，如：[]0.20=，[]1.22-=-，则（ ） A ．()f x 是增函数 B ．()f x 是周期函数 C ．()2f x 的值域为[)0,1D ．()2f x 是偶函数11．（2022·河北深州市中学高三阶段练习）（多选）已知函数()f x 对x ∀∈R ，都有()()()(),2f x f x f x f x -=--=，且()11f =，则（ ）A ．()f x 的图像关于直线1x =对称B ．()f x 的图像关于点()2,0-中心对称C ．()60f =D ．()51f =-12．（2022·广西·桂电中学高三阶段练习）已知函数()f x 满足对R x ∀∈，有()()11f x f x -=+，()()2f x f x +=-，当()0,1x ∈时，()2f x x mx =+，若35122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则m =________13．（2022·宁夏·银川一中高三阶段练习（理））奇函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +为偶函数，且()11f -=-，则()()20222023f f +=______．14．（2021·辽宁·沈阳二中高三开学考试）已知定义域为R 的函数()f x 对任意的实数x ，y 满足()()()πcos 222f x f y x y x y f +-+⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，且()()010f f ==，112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，并且当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >， ①函数()f x 是奇函数；②函数()f x 在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增③函数()f x 是以2为周期的周期函数；④502f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭其中的真命题有______．（写出所有真命题的序号）15．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知函数()g x 的图象与函数()[)()20,f x x x =∈+∞的图象关于直线y x =对称，将函数()g x 图象右移2个单位，下移2个单位得到函数()h x 的图象，若P ，Q 分别为函数()f x ，()h x 图象上的两个动点，则这两点间距离的最小值为______.16．定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，且当10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()4f x x =，则函数1()()1g x f x x =+-在[]-24，上的零点之和为____________. 【来源】山东省济南市济南市莱芜第一中学2020-2021学年高三下学期2月月考数学试题 17．定义在R 上的函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-，当[2,2)x ∈-时，3()sin 2f x x x π=-，则函数()f x 在区间[0,669)上的零点个数是______．【来源】云南师范大学附属中学2021届高三高考适应性月考卷（六）数学（理）试题18．已知定义在R 上的函数满足(3)(3)f x f x -=-+，且()f x 图像关于1x =对称，当(1,2]x ∈时，2()log (21)f x x =+，则8252f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________.19．定义在R 上的函数()f x 满足(6)()f x f x +=．当[)3,3x ∈-时，()()22,3113x x f x x x ⎧-+-≤<-⎪=⎨-≤<⎪⎩，，则(4)f =___________；(1)(2)(3)(2016)(2017)f f f f f +++++=__________．20．（2022·安徽·合肥市第十中学模拟预测）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且它的图象关于直线1x =对称.(1)求证：()f x 是周期为4的周期函数；(2)若())01f x x x =≤≤，求[]5,4x ∈--时，函数()f x 的解析式.。
高三函数对称性知识点汇总
高三函数对称性知识点汇总函数是数学中的重要概念，在高三数学学习中，函数的对称性是一个重要的知识点。
本文将对高三函数对称性的相关知识进行汇总，并介绍不同函数的对称性及其特点。
函数的对称性是指函数图像在某种变换下保持不变的性质。
在高三函数学习中，常见的函数对称性有以下几种：关于x轴对称、关于y轴对称、关于原点对称、关于直线对称、关于点对称。
一、关于x轴对称若函数图像在x轴两侧关于x轴对称，即对于函数中的每一个点(x, y)，都存在另一个点(x, -y)也在函数图像上，则称函数关于x轴对称。
对于一个函数关于x轴对称的特点有：1. 函数的解析式中只含有偶次项，或不包含奇次项。
2. 函数图像关于y轴对称。
若函数图像在y轴两侧关于y轴对称，即对于函数中的每一个点(x, y)，都存在另一个点(-x, y)也在函数图像上，则称函数关于y 轴对称。
对于一个函数关于y轴对称的特点有：1. 函数的解析式中只含有偶次幂的x，或不包含x。
2. 函数图像关于x轴对称。
三、关于原点对称若函数图像关于原点对称，即对于函数中的每一个点(x, y)，都存在另一个点(-x, -y)也在函数图像上，则称函数关于原点对称。
对于一个函数关于原点对称的特点有：1. 函数的解析式中只含有偶次幂的x，或不包含x。
2. 函数图像关于原点对称。
当函数图像在直线L两侧对称时，我们称函数关于直线L对称。
对于关于直线对称的函数，其特点有：1. 函数的解析式中含有x与常数的乘积，并且在函数中不含有形如|x|的项。
2. 函数图像上关于直线L对称。
五、关于点对称若函数图像在点P两侧对称时，我们称函数关于点P对称。
对于关于点对称的函数，其特点有：1. 函数的解析式中含有x与常数的乘积，并且在函数中不含有形如|x|的项。
2. 函数图像关于点P对称。
综上所述，高三数学中的函数对称性知识点主要包括关于x轴对称、关于y轴对称、关于原点对称、关于直线对称、关于点对称等几种形式。
抽象函数奇偶性对称性周期性经典总结
（2）轴对称：对称轴方程为： Ax By C 0 。
① 点A(x, y)与B(x/ , y / ) B(x 2A(Ax By C) , y 2B(Ax By C)) 关 于
A2 B2
A2 B2
直线 Ax By C 0成轴对称；
②函数 y f (x)与y 2B(Ax By C) f (x 2A(Ax By C)) 关于直线
2、奇函数 y f (x) 与 y f (x) 图象关于原点对称函数
3、函数 y f (x) 与 y f (x) 图象关于 X 轴对称
4、互为反函数 y f (x) 与函数 y f 1(x) 图象关于直线 y x 对称
5.函数 y f (a x) 与 y f (b x) 图象关于直线 x b a 对称 2
性质 1 若函数 y＝f(x)关于直线 x＝a 轴对称，则以下三个式子成立且等价： （1）f(a＋x)＝f(a－x) （2）f(2a－x)＝f(x) （3）f(2a＋x)＝f(－x) 性质 2 若函数 y＝f(x)关于点（a，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价： （1）f(a＋x)＝－f(a－x)（2）f(2a－x)＝－f(x)（3）f(2a＋x)＝－f(－x)
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论
一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函 数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值, 特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一 个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比 较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及 函数知识灵活运用的能力
f (x)
xa, b
f
轮换对称性及其在中学数学中的应用 (1)
轮换对称性及其在中学数学中的应用一、轮换对称性的相关定义与性质1.1、轮换对称性的相关定义：定义1. 如果把一个代数式中的字母按照某个秩序排列, 然后依次把第一个字母换成第二个字母，把第二个字母换成第三个字母，……，把最后一个字母换成第一个字母，称这种变换字母的方法叫做轮换.定义2 如果把一个代数式中的字母对调，所得的代数式和原来的代数式恒等，那么，就说原来的代数式关于这些字母对称，原来的代数式就是关于这些字母的对称式.定义3 如果一个函数，则称该函数是对称函数.定义4 如果通过轮换后所得的代数式与原来的代数式恒等，则把原来的代数式叫做关于这些字母的轮换对称式.定义5 如果轮换对称式中各项的次数相等, 则把这样的代数式叫做齐次轮换对称式.1.2、轮换对称性的相关定义与性质性质1 轮换对称式的和、差、积、商也是轮换对称式.性质2 齐次轮换对称式的和、差、积、商也是齐次轮换对称式.二、轮换对称性的应用举例2.1 轮换对称性在因式分解中的应用由轮换对称式的性质可知,当一个轮换对称式有某个因式时,它一定还有关于这个因式中的变数的轮换对称式.根据这个性质,再利用因式定理和待定系数法,可以比较简便地把一个轮换对称式因式分解.例1 设△ABC的三边长分别为 a 、b、c, 且则△ABC的形状是三角形?因为等式是关于a、b、c的轮换对称式,可考虑先去分母,再通过分解因式来确定a 、b、c 的关系.解：将原式去分母,并设其为f, 得当a=b 时,f=0, 由因式定理知f有因式a-b. 又f 是关于a、b、c的轮换对称式,由性质知,f 还有因式b-c和c-a. 于是,f有因式由于f和g 都是三次齐次轮换对称式, 故f和g 之间只差一个非零常数因子, 即由此可知,a-b 、b-c 、c-a中至少有一个等于0, 即a、b、c 中至少有两个相等, 则三角形至少有两条边相等. 所以, 三角形是等腰三角形.2.2 轮换对称性在不等式中的应用例2 已知x 、y 、z 为正实数，求证:解这是道轮换对称不等式, 原命题等价于：又：且;由轮换对称知，必有：；所以原命题为真 .2.3 利用轮换对称性求最值在高考或竞赛的选择、填空题中,常会遇到一类求最值问题, 这类问题的特征是条件式与待求式都是轮换对称式即所给式中的字母x、y、z ……能依次轮换,相互代替而结果不变, 则关于x、y、z、……的代数式的最大( 小) 值, 一定是在x = y = z =……时的值（x = y = z =……时代数式不能有奇点） . 运用此性质,能有效、迅速求解此类题, 从而赢得宝贵的时间.例3 已知P(x,y) 是曲线C:上一动点 . 设，则.解：依据x、y 轮换对称性,可得仅当x=y, 即x2 =y2时,S 取得最大或最小值, 于是. 由条件分析可知, 当x=y 时,最大；当x=-y时,最小 . 所以,故原式的值是 .2.4 轮换对称多项式的乘法例4 计算分析因为原式中的两个因式都是关于x 、y 、z 的轮换对称式,由性质1知,其积也是关于x 、y、z 的轮换对称式, 于是, 只要把第一个因式的第一个字母乘以第二个因式, 然后按照轮换对称的规律写出其余各项即可解由于. 又因为原式为x、y、z的轮换对称式，∴原式2.5 降元法求最值问题因为求一元函数的最值对于解题者来讲有较多和熟悉的方法，尤其有较为有力的导数方法，所以，对于三元轮换对称式S 的最值求法，基本思想是将三变元转化为一个变元函数来处理．先假定三变元变化时，S值变化具有连续性.下面通过例题介绍．例5 设非负实数a、b、c满足a+b+c＝1. 求.解:由轮换对称性可设，对任意给定（固定a的值），有设，显然，。
函数图象对称中心的性质及其应用
函数图象对称中心的性质及其应用薛振鸿【期刊名称】《高中数理化》【年(卷),期】2018(000)014【总页数】2页(P12-13)【作者】薛振鸿【作者单位】江苏省盐城市亭湖高级中学【正文语种】中文函数是高中数学教学的主线,是整个高中数学的重中之重.函数性质是高考和竞赛的热点,对称性是函数的一个基本性质,不仅广泛应用于函数问题的解题过程之中,而且利用对称性解决问题思路更简捷．本文通过对函数对称中心的探讨、归类，提出函数对称中心的性质及其应用.定理1 函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)对称的充要条件是:f(x)+f(2a-x)=2b.证明 (必要性)设点A(x0,y0)是函数y=f(x)图象上任意一点,因为点A(x0,y0)关于P(a,b)的对称点A′(2a-x0,2b-y0)也在y=f(x)图象上,所以y0=f(x0), 2b-y0=f(2a-x0),即y0+f(2a-x0)=2b, f(x0)+f(2a-x0)=2b.(充分性) 设点A(x0,y0)是y=f(x)图象上任意一点,则y0=f(x0).因为f(x)+f(2a-x)=2b,所以f(x0)+f(2a-x0)=2b,即2b-y0=f(2a-x0),即点A′(2a-x0,2b-y0)也在y=f(x)图象上,而点A与点A′关于点P(a,b)对称,所以得证.推论1 若函数y=f(x)满足f(x+a)+f(b-x)=m,则函数y=f(x)是中心对称图象,并且点为函数y=f(x)的对称中心.特别地，当a=b=m=0时,函数y=f(x)满足f(x)=-f(-x),函数y=f(x)为奇函数,即关于原点O(0,0)对称.推论2 如果函数y=f(x)满足f(ax+b)+f(-ax+b)=m (a≠0),则函数y=f(ax) (a≠0)是中心对称图象,且点为对称中心.例1 已知函数y=f(x)满足f(x)+f(-x)=2 016,记y=f-1(x)为函数y=f(x)的反函数,求f-1(x)+f-1(2 016-x)的值.由定理1知，函数y=f(x)图象关于点(0,1 008)对称.根据原函数与反函数的关系可知函数y=f-1(x)的图象关于点(1 008,0)对称,由定理1得f-1(x)+f-1(2 016-x)=0. 定理2 函数f(x)=ax3+bx2+cx+d (a≠0)是中心对称图象,且点是对称中心.证明设点P1(x1,f(x1)),P2(x2,f(x2))为函数f(x)=ax3+bx2+cx+d (a≠0)图象上2个不同的点,由题设条件得:当时,即时，所以函数f(x)=ax3+bx2+cx+d (a≠0)是中心对称图象,且点为对称中心.例2 已知曲线C:y=x3-3px2,斜率为m的2条直线分别与曲线切于2点A,B.(1)求证:线段AB的中点在曲线C上.(2)若直线AB的方程为y=-x-1，求p,m的值.答案 (1)略；(2)p=1,m=3.过程略.定理3 函数是中心对称图象,且对称中心为证明设点P1(x1,f(x1)),P2(x2,f(x2))为函数图象上的2个不同的点,由题中条件得: 当时,即时，所以函数是中心对称图象,点为函数的对称中心.且点不是函数定义域内的点.例3 求证:函数是中心对称图象, 且对称中心为证明设点P1(x1,f(x1)),P2(x2,f(x2))为函数图象上的2个不同的点,由条件得(n∈N*),(n∈N*).当i+j=n+1 (i,j∈N*)且时,即x1+x2=-n-1时，函数是中心对称图象,且对称中心为定理4 求证:函数是中心图象,且为对称中心.证明设点P1(x1,f(x1)),P2(x2,f(x2))为函数图象上的2个不同的点,由题设条件得: 当即x2=2loga|b|-x1时，所以函数是中心图象,并且点为对称中心.一般是中心图象,且点为对称中心.证明不再赘述.例4 已知函数若数列{an}的通项公式求数列{an}的前m项和Sm.由题设条件由定理4一般结论得函数的对称中心为由定理1得Sm=a1+a2+…+am-1+am=Sm=am-1+am-2+…+a1+am=两式相加故。
抽象函数的对称性 ——点,直线,周期
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一.概念:抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。
分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y =[]a b T b a x -=∈,,。
把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。
[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x )()(kT x f x f x f 2、奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。
分段函数的奇偶性3、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A --②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-=④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=-⑤成中心对称。
数学中的对称性及其应用
Course Education Research课程教育研究2022年第5期理论·探索数学当中的对称现象较多,无论是图形还是公式当中都具有一定的对称性。
利用对称性解决数学问题可以丰富解题思路、减轻解题工作量,为此本文将对数学中的对称性及其应用进行简要分析。
1.对称概述对称指的是某种意义下的平衡、对等[1]。
从某种角度来看,对称象征着协调、和谐。
日常生活中的对称现象有很多,如太阳、埃菲尔铁塔等,具有较强的美感。
数学本身就是研究客观世界中空间形式与数量关系的学科,而客观世界中有大量的对称现象,所以对称性也是数学研究的重点。
在古希腊时期,人们就开始研究数学中的对称性。
例如,泰勒斯应用比例原理检测了金字塔的高度。
欧几里得所著的《原本》描述了大量的对称性命题,而赫尔曼·外尔在《对称》一书当中描述了多种对称形式,如旋转对称性、双侧对称性、结晶对称性等。
我国对数学中的对称性也有深入研究,例如《九章算术》中的“盈不足术”就分析了平面图形与立体图形的对称性。
2.对称性在初等数学中的表现形式与应用从义务教育到高等教育,数学一直是重点学科。
而对称性在数学中也占据着重要地位,例如对称性在初等数学中发挥着重要作用。
对称性与初等数学息息相关,无论是平面几何还是立体几何当中都包含大量的对称性内容,且代数知识当中也展现出了大量的对称性。
2.1对称性在初等数学中的表现形式对称性在初等数学中的表现主要体现在平面几何、立体几何以及公式、定理等方面。
(1)对称性在平面几何中的表现形式。
从平面几何来看,轴对称图形、中心对称图形以及平移对称图形当中都蕴含了对称性知识。
第一,轴对称图形。
轴对称图形指的是若沿着平面上的一条直线对一个平面图形进行折叠,且图形在直线两边的部分能够完全重合,这一平面图形就属于轴对称图形,而平面上的这条直线就属于对称轴。
从轴对称的定义来看,对称轴可以将图形分为相等的两部分,且在镜面反射过程中也不会出现变化。
函数的周期性和对称性解析王彦文
专题二：函数的周期性和对称性【高考地位】函数的周期性和对称性是函数的两个基本性质。
在高中数学中，研究一个函数，首看定义域、值域，然后就要研究对称性（中心对称、轴对称），并且在高考中也经常考查函数的对称性和周期性，以及它们之间的联系。
因此，我们应该掌握一些简单常见的几类函数的周期性与对称性的基本方法。
【方法点评】一、函数的周期性求法 使用情景：几类特殊函数类型解题模板：第一步 合理利用已知函数关系并进行适当地变形； 第二步 准确求出函数的周期性； 第三步 运用函数的周期性求解实际问题. 例1 (1) 函数)(x f 对于任意实数x 满足条件)(1)2(x f x f =+，若5)1(-=f ，则=))5((f f （ ） A ．5- B ．5 C ．51 D ．51- 【答案】D考点：函数的周期性． (2) 已知()x f 在R 上是奇函数，且满足()()x f x f -=+5，当()5,0∈x 时，()x x x f -=2，则()=2016f （ ）A 、-12B 、-16C 、-20D 、0 【答案】A 试题分析：因为()()5f x f x +=-，所以()()()105f x f x f x +=-+=，()f x 的周期为10，因此()()()()20164416412f f f =-=-=--=-，故选A ．考点：1、函数的奇偶性；2、函数的解析式及单调性．【点评】(1)函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值．(2)求函数周期的方法【变式演练1】已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=-，(3)()f x f x -=，则(2019)f =（ ） A ．3- B ．0 C ．1 D ．3 【答案】B【变式演练2】定义在R 上的函数()f x 满足()()[)20,0,2f x f x x ++=∈时，()31x f x =-，则()2015f 的值为（ ）【答案】A试题分析： 由已知可得⇒=+-=+)()2()4(x f x f x f ()f x 的周期⇒=4T ()2015f ==)3(f2)1(-=-f ，故选A.考点：函数的周期性.【变式演练3】定义在R 上的偶函数()y f x =满足(2)()f x f x +=-，且在[2,0]x ∈-上为增函数，3()2a f =，7()2b f =，12(log 8)c f =，则下列不等式成立的是（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．c a b >>【答案】B试题分析：因为定义在R 上的偶函数()y f x =在[2,0]x ∈-上为增函数，所以在[0,2]x ∈上单调递减，又(4)()f x f x +=，所以()()1271(),(log 8)3122b f f c f f f ⎛⎫====-= ⎪⎝⎭，又13122<<，所以b c a >>．考点：1．偶函数的性质；2．函数的周期性． 二、函数的对称性问题 使用情景：几类特殊函数类型解题模板：记住常见的几种对称结论：第一类 函数)(x f 满足()()f x a f b x +=-时，函数()y f x =的图像关于直线2a bx +=对称； 第二类 函数)(x f 满足()()c f x a f b x ++-=时，函数()y f x =的图像关于点(,)22a b c+对称；第三类 函数()y f x a =+的图像与函数()y f b x =-的图像关于直线2b ax -=对称.例2 ．（从对称性思考）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=-，(3)()f x f x -=，则(2019)f =（ ) A ．3- B ．0 C ．1 D ．3 【答案】B【易错点晴】函数()f x 满足),(-)-(x f x f =则函数关于），（00中心对称，(3)()f x f x -=,则函数关于32=x 轴对称，常用结论：若在R 上的函数()f x 满足)()(),()(x b f x b f x a f x a f +-=+-=+，则函数)(x f 以||4b a -为周期.本题中，利用此结论可得周期为632-04=⨯，进而(2019)(3)f f =，)3(f 需要回到本题利用题干条件赋值即可. 例3 已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭对称, 且满足()32f x fx ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,又()()11,02f f -==-,则()()()()123...2008f f f f ++++=（ ）A ．669B ．670C ．2008D ．1 【答案】D试题分析：由()32f x f x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭得()()3f x f x =+，又()()11,02f f -==-，(1)(13)(2)f f f ∴-=-+=，(0)(3)f f =，()f x 的图象关于点3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，所以()1131()()(1),(1)(2)(3)0222f f f f f f f -=--=-+=∴++=，由()()3f x f x =+可得()()()()()()()123...2008669(123)(1)(1)(1)1f f f f f f f f f f ++++=⨯+++==-=，故选D.考点：函数的周期性；函数的对称性． 例4 已知函数21()(,g x a x x e e e=-≤≤为自然对数的底数）与()2ln h x x =的图像上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．21[1,2]e + B ．2[1,2]e - C ．221[2,2]e e +-D ．2[2,)e -+∞ 【答案】B考点：利用导数研究函数的极值；方程的有解问题.【变式演练4】定义在R 上的奇函数)(x f ，对于R x ∈∀，都有)43()43(x f x f -=+，且满足2)4(->f ，mm f 3)2(-=，则实数m 的取值范围是 . 【答案】1-<m 或30<<m试题分析：由33()()44f x f x +=-，因此函数()f x 图象关于直线34x =对称，又()f x 是奇函数，因此它也是周期函数，且3434T =⨯=，∵(4)2f >-，∴(4)(4)2f f -=-<，∴(2)(232)(4)f f f =-⨯=-，即32m m-<，解得103x x <-<<或.考点：函数的奇偶性、周期性.【高考再现】1. 【2016高考新课标2理数】已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()mi i i x y =+=∑（ ）（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m【答案】C试题分析：由于()()2f x f x -+=，不妨设()1f x x =+，与函数111x y x x+==+的交点为()()1,2,1,0-，故12122x x y y +++=，故选C.考点： 函数图象的性质【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图象有对称轴2a bx +=；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数的图象有对称中心.2. 【2016高考山东理数】已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，3()1f x x =- ；当11x -≤≤ 时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=- .则f (6)= （ ） （A ）?2 （B ）?1（C ）0（D ）2【答案】D考点：1.函数的奇偶性与周期性；2.分段函数.【名师点睛】本题主要考查分段函数的概念、函数的奇偶性与周期性，是高考常考知识内容.本题具备一定难度.解答此类问题，关键在于利用分段函数的概念，发现周期函数特征，进行函数值的转化.本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.3. 【2016年高考四川理数】已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，()4x f x =，则5()(1)2f f -+= .【答案】-2考点：函数的奇偶性和周期性.【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，周期性，属于基本题，在求值时，只要把5()2f -和(1)f ，利用奇偶性与周期性化为(0,1)上的函数值即可．5. 【2016高考江苏卷】设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[1,1)-上，,10,()2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩其中.a ∈R若59()()22f f -= ，则(5)f a 的值是 . 【答案】25-【解析】51911123()()()()22222255f f f f a a -=-==⇒-+=-⇒=， 因此32(5)(3)(1)(1)155f a f f f ===-=-+=-考点：分段函数，周期性质【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值. 【反馈练习】1. 【2016届云南昆明一中高三仿真模拟七数学，理4】设函数()y f x =定义在实数集R 上，则函数()y f a x =-与()y f x a =-的图象（ ）A ．关于直线0y =对称B ．关于直线0x =对称C ．关于直线y a =对称D ．关于直线x a =对称 【答案】D2．【 2017届河南夏邑县第一高级中学高三文一轮复习周测二数学试卷】已知函数()f x 是定义在R 内的奇函数，且满足()()4f x f x +=，当()0,2x ∈时，()22f x x =，则()2015f =（ ）A ．-2B ．2C ．-98D ．98 【答案】A 试题分析：由()()4f x f x +=得()f x 的周期⇒=4T ()2015(3)(1)(1)2f f f f ==-=-=-，故选A.考点：1、函数的奇偶性；2、函数的周期性.3. 【2017届河南新乡一中高三9月月考数学，文8】定义在R 上的偶函数()f x 满足(3)()f x f x -=-，对12,[0,3]x x ∀∈且12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x ->-，则有（ ）A ．(49)(64)(81)f f f <<B ．(49)(81)(64)f f f <<C ．(64)(49)(81)f f f <<D ．(64)(81)(49)f f f <<【答案】A 【解析】试题分析：因为(3)()f x f x -=-，所以()(6)(3)f x f x f x -=--=，及()f x 是周期为6的函数，结合()f x 是偶函数可得，()()()()()(49)1,(64)22,(81)33f f f f f f f f ==-==-=，再由12,[0,3]x x ∀∈且12x x ≠，1212()()0f x f x x x ->-得()f x 在[0,3]上递增，因此(1)(2)(3)f f f <<，即(49)(64)(81)f f f <<，故选A ．考点：1、函数的周期性；2、奇偶性与单调性的综合．4. 【2017届安徽合肥一中高三上学期月考一数学试卷，文12】已知定义在R 上的函数()f x 满足：(1)y f x =-的图象关于(1,0)点对称，且当0x ≥时恒有31()()22f x f x -=+，当[0,2)x ∈时，()1xf x e =-，则(2016)(2015)f f +-=（ ） A ．1e - B ．1e - C ．1e -- D ．1e + 【答案】A试题分析：(1)y f x =-的图象关于(1,0)点对称，则()f x 关于原点对称. 当0x ≥时恒有31()()22f x f x -=+即函数()f x 的周期为2.所以()()(2016)(2015)011f f f f e +-=-=-.考点：函数的单调性、周期性与奇偶性，分段函数．5. 【2016-2017学年贵州遵义四中高一上月考一数学试卷，理11】已知函数2()(12)f x a x x =-≤≤与()2g x x =+的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．9[,)4-+∞ B ．9[,0]4- C ．[2,0]- D ．[2,4]【答案】C 【解析】考点：构造函数法求方程的解及参数范围.6. 【2017届河北武邑中学高三上周考数学试卷，理9】若对正常数m 和任意实数x ，等式1()()1()f x f x m f x ++=-成立，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 是周期函数，最小正周期为2mB ．函数()f x 是奇函数，但不是周期函数C ．函数()f x 是周期函数，最小正周期为4mD ．函数()f x 是偶函数，但不是周期函数 【答案】C考点：函数的周期性．7. 【2017届四川成都七中高三10月段测数学试卷，文10】 函数()f x 的定义域为R ，以下命题正确的是（ ） ①同一坐标系中，函数(1)y f x =-与函数(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称；②函数()f x 的图象既关于点3(,0)4-成中心对称，对于任意x ，又有3()()2f x f x +=-，则()f x 的图象关于直线32x =对称；③函数()f x 对于任意x ，满足关系式(2)(4)f x f x +=--+，则函数(3)y f x =+是奇函数. A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③ 【答案】D 【解析】 试题分析： ①正确，因为函数()x f y =与()x f y -=关于y 轴对称，而()1-=x f y 和()x f y -=1都是()x f y =与()x f y -=向右平移1个单位得到的，所以关于直线1=x 对称；②正确，因为函数关于点⎪⎭⎫⎝⎛043-，成中心对称，所以()x f x f -=⎪⎭⎫⎝⎛--23，而3()()2f x f x +=-，所以⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--x f x f 2323，即()()x f x f =-，又根据3()()2f x f x +=-，可得函数的周期3=T ,又有()()x f x f =-，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+232323x f x f x f ，所以函数关于直线23-=x 对称；③正确，因为()()3242=+-++x x ，所以函数()x f 关于点()0,3对称，而函数()3+=x f y 是函数()x f y =向左平移3个单位得到，所以函数()3+=x f y 是奇函数.故3个命题都正确，故选D.考点：抽象函数的性质8. 【2015-2016学年东北育才学校高二下段考二试数学，文12的图像上关于原点对称的点有（ ）对A. 0B. 2C. 3D. 无数个 【答案】B2241y x x =++关于原点对称的图象，记为曲线C .容易发现与曲线C 有且只有两个不同的交点，所以满足条件的对称点有两对，即图中的,A B 就是符合题意的点，故选B.考点：函数的图象与性质及应用．9. 【2015-2016学年东北育才学校高二下段考二试数学，文7】定义在实数集R 上的函数()f x 满足()()20f x f x ++=，(4)()f x f x -=.现有以下三种叙述：①8是函数()f x 的一个周期；②()f x 的图象关于直线2x =对称；③()f x 是偶函数.其中正确的是（ ）A ．②③ B. ①② C ．①③ D. ①②③ 【答案】D考点：函数周期性、对称性和奇偶性．。
三角函数的对称轴
三角函数图象的对称性质及其应用一、正弦曲线和余弦曲线都是轴对称图形性质1、函数)sin(ϕω+=x A y 和)cos(ϕω+=x A y 的图象关于过最值点且垂直于x 轴的直线分别成轴对称图形；)sin(ϕω+=x A y 对称轴方程的求法是：令1)sin(±=+ϕωx ，得2ππϕω+=+k x )(Z k ∈，则ωϕπ22)12(-+=k x 为函数)sin(ϕω+=x A y 的图象的对称轴方程。
)cos(ϕω+=x A y 对称轴方程的求法是：令1)cos(±=+ϕωx ，得πϕωk x =+)(Z k ∈，则ωϕπ-=k x 为函数)cos(ϕω+=x A y 的图象的对称轴方程。
例1、函数)62sin(3π+=x y 图象的一条对称轴方程是（ ）（A ）0=x （B ）32π=x （C ）6π-=x （D ）3π=x 解：由性质1知，令1)62sin(3±=+πx 得262πππ+=+k x )(Z k ∈，即62ππ+=k x )(Z k ∈，取1=k 时，32π=x ，故选（B ）。
例2、函数)33cos(21)(π+=x x f 的图象的对称轴方程是解：由性质1知， 令1)33cos(±=+πx 得ππk x =+33)(Z k ∈，即93ππ-=k x )(Z k ∈，所以)33cos()(π+=x x f 的图象的对称轴方程93ππ-=k x )(Z k ∈。
二、正弦曲线和余弦曲线都是中心对称图形性质2、函数)sin(ϕω+=x A y 和)cos(ϕω+=x A y 的图象关于其与x 轴的交点分别成中心对称图形；)sin(ϕω+=x A y 的对称中心求法是：令0)sin(=+ϕωx ，得πϕωk x =+)(Z k ∈，则ωϕπ-=k x )(Z k ∈，所以函数)sin(ϕω+=x A y 的图象关于点)0,(ωϕπ-k )(Z k ∈成中心对称；)cos(ϕω+=x A y 对称中心的求法是：令0)cos(=+ϕωx ，得2ππϕω+=+k x )(Z k ∈，则ωϕπ22)12(-+=k x )(Z k ∈，所以函数)cos(ϕω+=x A y 的图象关于点)0,22)12((ωϕπ-+k )(Z k ∈成中心对称； 例3、函数)62sin(4π-=x y 的图象的一个对称中心是（ ）（A ）)0,12(π （B ）)0,3(π （C ）)0,6(π- （D ）)0,6(π解：由性质2知，令0)62sin(=-πx 得ππk x =-62)(Z k ∈，即122ππ+=k x )(Z k ∈，取0=k 时，12π=x ，故选（A ）。
二次函数轴对称性质
二次函数轴对称性质二次函数是高中数学中的一个重要内容，它在解决实际问题以及数学建模中具有广泛的应用。
在研究二次函数时，轴对称性质是其中一个重要的性质，它在图像的对称性、方程的解等方面具有重要的作用。
本文将详细介绍二次函数轴对称性质及其应用。
1. 轴对称性质的定义二次函数的一般形式为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数，a≠ 0。
二次函数的轴对称性质即为其图像相对于某一直线的对称性。
这条直线称为二次函数的轴线。
2. 轴对称性质的表达式设二次函数的轴线方程为 x = p，那么对于任意 x，函数值相等：f(p + h) = f(p - h)其中 h 为任意实数，即函数在轴线两侧对称。
3. 轴对称性质与图像的关系对于二次函数 y = ax^2 + bx + c，其轴线方程为 x = -b/2a。
当 a > 0 时，二次函数图像开口向上，轴线是图像的最低点；当 a < 0 时，二次函数图像开口向下，轴线是图像的最高点。
轴对称性质使得二次函数图像关于轴线对称。
也就是说，对于图像上任意一点 (x, y)，关于轴线上的对称点 (-x, y) 也在图像上。
这意味着二次函数图像在轴线上两侧的形状是完全一样的。
4. 轴对称性质的应用轴对称性质可以用于求二次函数的性质、方程的解以及解决实际问题。
首先，通过轴对称性质，可以简单地确定二次函数的开口方向以及最值点的坐标。
其次，利用轴对称性质可以求解二次函数的方程。
对于二次函数 y = ax^2 + bx + c，如果 a > 0，则对称轴为 x = -b/2a，方程与 x 轴的交点为相等的两个解；如果 a < 0，则对称轴依然为 x = -b/2a，方程无解。
最后，轴对称性质在实际问题中的应用十分广泛。
例如，某商品的销售量与商品售价之间可能存在二次函数的关系。
通过研究二次函数的轴对称性质，我们可以确定最佳售价，以最大程度地提高销售量。
数学中的函数图像解析
数学中的函数图像解析数学是一门极具价值的学科，它运用逻辑和演绎的方法，通过研究数量、结构、变化等现象，探究自然界和人类社会的规律。
其中，函数是一种非常基本的数学概念，它描述了一种元素之间的一对一关系。
而函数图像，则是用来表示函数在坐标系中的一种图形。
在学习数学的过程中，认识和理解函数图像的特点和属性，是极为重要的一步。
本文将从函数图像的基本性质、常见函数的图像及其解析入手，探究函数图像在数学学科中的应用和意义。
一、函数图像的基本性质在二维坐标系中，函数图像是由函数$f(x)$的若干个点$(x,f(x))$组成的曲线。
这条曲线可能是一条直线，也可能是一条光滑的曲线，其大致形态受到函数的类型和函数值域的限制。
在分析函数图像的时候，我们通常会从以下几个方面进行考虑。
1. 对称性一个函数如果具有对称性，那么它的图像也会体现这种对称性。
例如，偶函数关于$y$轴对称，奇函数关于原点对称。
2. 单调性函数图像的单调性描述了函数的增减趋势。
单调递增的函数图像向右上方延伸，单调递减的函数图像向右下方延伸。
3. 极值点在函数图像上，极值点是指函数曲线上的局部最大或最小值点。
计算极值点的方法一般是对函数的导数等于0的点进行求解。
4. 渐进线函数图像在接近某些点的时候，可能会逐渐趋于某条直线，这条直线就是函数的渐近线。
常见的有水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线。
二、常见函数的图像及其解析1. 一次函数$y=kx+b$是一次函数的标准形式，其中$k$和$b$是常数。
一次函数的图像是一条直线，斜率$k$决定了直线的倾斜程度，截距$b$则决定了直线与$y$轴相交的位置。
2. 二次函数$y=ax^2+bx+c$是二次函数的标准形式，其中$a<>0$。
二次函数的图像是一个开口朝上或朝下的抛物线。
抛物线的开口方向由二次系数$a$的符号来决定，$x$轴截距是$c$，对称轴是$x=-\frac{b}{2a}$。
3. 指数函数$f(x)=a^x$是一个指数函数，其中$a>0$且$a≠1$。
对称性和奇偶性在积分中的应用
2． 3 积分区域关于直线 = 对称 （也称作变量可轮换性或 变量位置的对称性）
例7， 解一： 利用 2.2
， 其中 : 2+
2
1
解二： 利用 2.2， 2.3.解一中
2
关于 = 对称， 因此
学技术出版社， 1999 [4] 李富强， 王东霞. 关于奇偶函数在对称区间上的定积分 公式的推广[J].平顶山工学院学报， 2004， 13(2):67-69 [5] 翁耀明. 一类反函数的简捷积分法 [J]. 大学数学， 2003， 19(2):91-93 [6] 孙建武， 宋扣兰. 积分计算的对称性定理的推广及其应 用[J]. 淮阴师范学院学报， 2006， 5(3):190-193
在 线
学科教学
2008 年 6 月号
对称性和奇偶性在积分中的应用
运城学院师范分院 王 洁
[摘 要]在定积分和重积分的计算中， 恰当地利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性， 可以使积分运算大大简化,并通过 具体例子表明这些结论是十分有效的。 [关键词]对称性 奇偶性 定积分 重积分
积分计算是微积分的基本运算， 但求积分却没有固定的方 法可循， 只能依据基本思路， 因题而异进行尝试。在积分计算 中巧妙地利用积分区域的对称性、 被积函数的奇偶性， 既能收 到事半功倍的效果， 又很好地体现了数学的对称美。 下面给出 笔者在教学中发现的几则应用。 1． 定积分中的应用 1． 1 积分区间对称 当被积函数有奇偶性时， 当被积函数无奇偶性时， 大部分教材上都有， 这里就不赘述了。 例 1 计算 解： 直接利用上述结论， 有 例 2 计算 分析： 本题可以直接利用上述结论来求， 也可以利用对数 函数的性质进行变形， 将对数部分化为奇函数， 进而求解。 解： 令 ， 因为 又（2 得到 一般地， 如果（ ） 为[ ， 而 在[-2， 2]是函数， 有 =
函数对称性及其在解题中的应用
致 地 体 现 出来 了 ， 所 涉 及 的 内 容 的 深 度 和 广 度 是 它 其 它 章 节 的知 识 和 内容 所 无 法 相 比的 ． 此 ， 想 在 因 要 的复 习和 研 究 ， 要 掌 握 好 不 等 式 中 的 基 本 题 型 的 既
如 Ａ［，】 设 ≤，Ａ ， 高考 中获得理 想 的成 绩 ， 须高 度重 视不 等式知 识 果 丁 ３， 手 Ａ ：３ ｅ２ 可 ＜≤ 则 必
８＝即＝Ｉｃ时取最值 这 里 发挥 了 工 具 作 用 ． ４去 Ａ５５１ ，得小， Ｘ ）ｓ 此 综 上可知 ， 等式 作 为 中学 阶段 的重要 内容 和 不 求解 数学问题 的重要 工具 ， 高考 命题 中被 淋漓 尽 在 时 面高 √ ＝ｃ宽 ÷・ ’ 的为＝ ８ ， 画 ８ 为 ｍ
代人上式 ， 得
评注
本题取 材 于现 实 生活 中 的实际 问题 ， 重
点 考 查 建 立 函数 关 系 式 、 函 数 最 值 的 技 能 技 巧 和 求
ｓｏ＋ （ ） ＝ｏ铂 ｓ ５， ｓ ｏ ＋
运 用 所 学 数 学 知 识 解 决 实 际 问 题 的 能 力 ． 立 起 函 建 数 关 系式 以后 ， 求 函数 的 最 小 值 ， 等式 的 知 识 在 为 不
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函数对称性及其在解题中的应用
郑建 雄
（ 江省 绍兴 县 鲁 迅 中 学 浙 ３２ ０ ） １０ ８
函数 是 高 中数 学 教 学 的 核 心 内 容 ， 称 性 是 函 对 数 图 像 的 重 要 性 质 ， 称 关 系 不 仅 广 泛 存 在 于 数 学 对 问题 之 中 ， 且 利 用 对 称 性 往 往 能 更 简 捷 地 使 问 题 而 得 到 解 决 ． 查 对 称 性 能 有 效 地 考 查 学 生 的 逻 辑 思 考 维 能 力 、 间 想 象 能 力 、 析 问 题 和 解 决 问 题 的 能 空 分 力 ， 而 是 高 考 和 竞 赛 中命 题 的热 点 和 重 点 ． 文 拟 因 本 通 过 函 数 自身 的对 称 性 和 不 同 函 数 之 间 的对 称 性 等 方 面 来探 讨 函 数 对 称 性 及 其 在解 题 中 的 应 用 ．
对称性在积分计算中的应用精编
对称性在积分计算中的应用引言积分在数学分析中是相当重要的一项内容，而在计算积分的过程中，我们经常会碰到积分区域或者被积函数具有某种对称性的题型.那么，如果我们在解题中发掘或注意到问题的对称性，并巧妙地把它们应用到积分的计算过程中去，往往可以简化计算过程，达到事倍功半的效果，我们甚至可以不用计算就可以直接判断出其结果.在积分计算中利用对称性来解题这种方法，是一种探索性的发现方法，它与其他方法的不同之处主要体现在其创造性功能. 因此，掌握和充分利用对称性求积分这一方法，对于活跃和开拓我们学生的创造性思维，提高判断解题能力，探讨解题方法是十分有益的.下面从定积分、积分、线面积分三方面来介绍一下对称性在积分计算中的应用.一、相关的定义设平面区域为D ,若点),(y x ),2(y x a D -⇔∈,则D 关于直线a x =对称，称点),(y x 与),2(y x a -是关于a x =的对称点.若点),(y x ∈D ⇔)2,(y b x - ),(y x D ∈，则D 关于直线b y =对称，称点),(y x 与)2,(y b x -是关于b y =的对称（显然当0=a ,0=b 对D 关于y ,x 轴对称）。
二、对称性在定积分中的应用（一） 定积分的概念 1. 概念设函数)(x f 在],[b a 上有界，(1) 在],[b a 内插入若干个分点,......210b x x x x a n =<<<<=把区间[,]a b 分成n 个小区间01121[,],[,],......[,],n n x x x x x x -各个小区间长度依次为110221,,x x x x x x ∆=-∆=-1.......n n n x x x -∆=-(2) 在每个小区间上任取一点1(),()i i i i i x x f ξξξ-≤≤作函数与小区间长度i x ∆的乘积()(1,2,......,),i i f x i n ξ∆=,并作出和 1().ni i i S f x ξ==∆∑(3) 记12max{,,......,},n x x x λ=∆∆∆如果不论对[,]a b 怎样划分，也不论在小区间1[,]i i x x -上点i ξ怎样选取，只要当0λ→时，和S 总趋于确定的极限I ，那么这个极限称为函数的()f x 在区间],[b a 上的定积分，记为⎰ba dx x f )(即记为1()()nbi i ai f x dx I f x ξ===∆∑⎰其中()f x 叫做被积函数，()f x dx 叫做被积表达式，x 叫做积分变量，a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，],[b a 叫做积分区间. 2. 几何意义几何上,⎰<ba b a dx x f )()(表示曲线()y f x x =与轴，,x a x b ==所围曲边梯形面积的代数和.（二） 对称性在定积分中的性质性质 1 若()x f [,]a b k 在上可积，为常数，则()x kf 在],[b a 上也可积，则⎰b adx x kf )(⎰=badx x f k )(性质 2 ()()上也可积，且在则上可积都在若],[)()(,],[,b a x g x f b a x g x f ±.)()()]()([dx x g dx x f dx x g x f bab aba⎰⎰⎰±=±性质 3 ()()()()上也可积在上可积，则在都在若],[],[,b a x g x f b a x g x f ⋅ 性质 4 ()()上与在任给上可积的充要条件是：在],[],[),,(],[b c c a x f b a c b a x f ∈.都可积.)()()(⎰⎰⎰+=bcc ab adx x f dx x f dx x f 此时又有等式规定 1 0)(⎰==badx x f b a 时，令当.规定 2 .)()(⎰⎰-=>abb adx x f dx x f b a 时，令当 .性质 5 ()⎰≥∈≥badx x f b a x x f b a x f .0)(],,[,0)(.],[则若上的可积函数为设推论（积分不等式性）()()],,[),()(],[b a x x g x f b a x g x f ∈≤上的两个可积函数，且为与若性质 6()().)()(],[],[dx x f dx x f b a x f b a x f baba⎰⎰≤上也可积，且在上可积，则在若（三） 对称性在定积分中的定理定理1 若)(x f 在a][-a,(a>0)上连续且为偶函数,则⎰⎰=-aaadx x f dx x f 0)(2)(.证明 因为 ⎰⎰⎰+=--aaaadx x f dx x f dx x f 0)()()(对积分作代换-t x =,则得⎰⎰⎰⎰-=-=--=-aaaa dx x f dt t f dt t f dx x f 0)()()()(所以 ⎰⎰⎰⎰-+=+=--aa aaadx x f x f dx x f dx x f dx x f 00)]()([)()()((1) 若)(x f 为偶函数，则)(2)()(),()(x f x f x f x f x f =+-=-即 所以⎰⎰=-aaadx x f dx x f 0)(2)((2) 若)(x f 为奇函数，则0)()(),()(=+--=-x f x f x f x f 即 所以0)(=⎰-aa dx x f .注 定理1可简化计算偶函数，奇函数在对称于原点的区间上的定积分为0.（四） 对称性在定积分中的应用举例 例 1 dx x x 23111)1(-+⎰-解 =⎰⎰---+-112311211dxx x dx x因为积分区间关于原点对称，而2-1x 是偶函数，231x x -是奇函数，故,011123=-⎰-dx x x设 x =y sin 2cos 1222112πππ⎰⎰--==-dy y dx x原式=2π 例 2 计算()2x 2ln 1e x dx -+⎰因为积分区间关于原点对称，但()x e 1ln +既不是奇函数也不是偶函数，我们可()().b ba af x dxg x dx ≤⎰⎰则有利用()()()()()22x f x f x f x f x f --+-+=.其中()()2x f x f -+为偶函数，()()2x f x f --为奇函数，把它分解为一个偶函数和一个奇函数之和.解 令()()x x f e 1ln +=，则()()()x x x f x f -++=-+e e 2ln 212，()()x x f x f 212=--，()()2222x x -x 222220118ln 1+e ln 2e e d 223x dx x x dx x x x dx ---⎡⎤=+++===⎣⎦⎰⎰⎰⎰所以有例3 计算 ⎰-+22223sin )cos (ππxdx x x分析 由于x x 23sin 是一个奇函数, x x 22sin cos 是一个偶函数,并且积分区域]2,2[ππ-关于原点对称,因此可用定理1来计算. 解 由定理1得 原式⎰⎰--+=22222223sin cos sin ππππxdx x xdx x⎰-+=2222sin cos 0ππxdx x=)sin sin (2204202⎰⎰-ππxdx xdx 其中220sin xdx π⎰=22222220sin cos (sin cos cos )sin xd x x xx dx dx x dx πππππ-=--=-⎰⎰⎰⎰2220sin xdx π⎰=2π ，220sin xdx π⎰=221π⋅ 同理得：22143)sin 204ππ⋅⋅=⎰xdx原式 )22143221(2ππ⋅⋅-⋅=8π=.利用函数关于直线对称以及区间关于直线对称,应用定理得出积分为0，使上述复杂积分简单化,易得出结论.三、对称性在二重积分中的应用（一）二重积分的概念 1 概念设(,)f x y 是有界闭区域D 上的有界函数，(1) 将闭区域D 任意分成n 个小闭域12,,......,,n σσσ∆∆∆其中i σ∆表示第i 个小闭区域，也表示它的面积.(2) 在每个i σ∆上任取一点(,),i i εη 作乘积(,)i i i f εησ∆ (1,2,......,),i n =并作和1(,),niiii f εησ=∆∑(3) 如果当个小闭区域的直S 径的最大值0λ→时，这和的极限总存在，则称此极限为函数(,)f x y 在闭区域D 上的二重积分,记作 01(,)lim (,)ni i i i Df x y d f λσεησ→==∆∑⎰⎰其中(,)f x y 叫做被积函数，(,)f x y d σ叫做被积表达式，d σ叫做面积元素，x y 与叫做积分变量，D 叫做积分区域，1(,)ni i i i f εησ=∆∑叫做积分和.2 几何意义当(,)f x y 为闭区域D 上的连续函数，且(,)0,f x y ≥则二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰表示以曲面(,)z f x y =为顶，侧面以D 的边界曲面为准线，母线平行于z 轴的曲顶柱体的体积.一般地，(,)Df x y d σ⎰⎰表示曲顶柱体体积的代数和.（三） 二重积分的性质性质 7 上也可积，且在为常数，则上可积，在区域若D y x kf k y x f ),(D ),(⎰⎰⎰⎰=DDd y x f k d y x kf .),(),(σσ性质 8 上也可积，且在上都可积，则在若D y)g(x,y)f(x,D ),(),,(±y x g y x f⎰⎰⎰⎰⎰⎰±=±DDDd y x g d y x f d y x g y x f .),(),(]),(),([σσσ性质 9 若 ),(y x f 在1D 和2D 上都可积，且1D 与2D 无公共内点，则),(y x f 在1D ⋃2D 上可积，且.),(),(),(2121σσσd y x f d y x f d y x f D D D D ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=⋃性质 10 则上可积，且在与若,),(),,(),(),(),(D y x y x g y x f D y x g y x f ∈≤⎰⎰⎰⎰≤DDd y x g d y x f .),(),(σσ性质 11 ⎰⎰Dd y x f D y x f D y x f σ),(),(),(上也可积，且在上可积，则在若σd y x f D⎰⎰≤),(性质 12 σd y x f mS D y x M y x f m D y x f DD ),(,),(,),(),(⎰⎰≤∈≤≤则上可积，在若.,的面积是积分区域这里D S MS D D ≤（三） 对称性在二重积分中的定理定理2 设有界闭区域12D D D = ,1D 与2D 关于y 或x 轴对称.设函数),(y x f 在有界闭区域D 上连续，那么（ⅰ）若),(y x f 是关于y （或x ）的奇函数，则⎰⎰Dd y x f σ),(0=（ⅱ）若),(y x f 是关于y （或x ）的偶函数，则Df(x,y)d σ⎰⎰=2(,)iD f x y d σ⎰⎰(1,2)i =注 设函数),(y x f 在有界闭区域D 上连续(i)若D 关于x 轴对称，则⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=DD y y x f d y x f y y x f d y x f 2),(),(2),(,0),(为偶函数关于，如果为奇函数关于如果σσ其中2D 是D 的上半部分 2D =}0|),{(≥∈y D y xy)(x y ϕ=1Da 0b x2D)(-x y ϕ= 图1 证明12(,)(,)(,)DD D f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy =+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (1)若区域D 对称于x 轴(图1)，对任意(,)P x y ∈1D ，其对称点(,)P x y '-∈2D1D ={}0(),y x a x b ϕ≤≤≤≤，2D ={}()0,x y a x b ϕ-≤≤≤≤，令x xy t=⎧⎨=-⎩， 则2D 变换为xot 坐标面上的{}10()D t x a x b ϕ=≤≤≤≤，，且雅可比行列式(,)(,)x y x t ∂∂10101==--． 故2(,)D f x y dxdy ⎰⎰=1(,)1D f x t dxdt -∙-⎰⎰=1(,)D f x y dxdy -⎰⎰=11(,),(,)(,)(,),(,)(,)D D f x y dxdy f x y f x y f x y dxdy f x y f x y ⎧-=⎪⎪⎨--=-⎪⎪⎩⎰⎰⎰⎰，于是，代入（1）式得1(,)(,)(,)2(,)(,)(,)DD f x y f x y f x y dxdy f x y dxdy f x y f x y =--⎧⎪=⎨=-⎪⎩⎰⎰⎰⎰ 0 , ,(ii) 若D 关于y 轴对称，则⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=DD x y x f d y x f x y x f d y x f 1),(),(2),(,0),(为偶函数关于，如果为奇函数关于如果σσ其中1D 是D 的右半部分:1D =}0|),{(≥∈x D y xy)(y x ϕ-= d )(y x ϕ=2D 1D 0 xc图2证明 若区域D 对称于y 轴(图2)，对任意(,)P x y ∈1D ，对称点(,)P x y '-∈2D ，类似 (i) 的证明可得1(,)(,)(,)2(,)(,)(,)DD f x y f x y f x y dxdy f x y dxdy f x y f x y -=-⎧⎪=⎨-=⎪⎩⎰⎰⎰⎰ 0 , ,定理 3 设有界闭区域D 关于x 轴和y 轴均对称，函数),(y x f 在D 上连续 （1）若),(y x f 关x 和y 均为偶函数，则1(,)4(,),DD f x y d f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰其中1D 是D的第一象限的部分1{(,)|0,0}D x y D x y =∈≥≥(,)f x y （2）若关x 和y 均为奇函数，则(,)0Df x y d σ=⎰⎰定理 4 设有界闭区域D 关于原点对称，函数),(y x f 在D 上连续，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=--=DD D y x f y x f d y x f d y x f y x f y x f d y x f 12),(),(,),(2),(2),(),(,0),(如果如果σσσ其中1D =}0|),{(≥∈x D y x ，2D =}0|),{(≥∈y D y xy2D 1D )(x y ϕ= 0 x a b)(x y ψ=图3证明 若区域D 对称于原点(图3)，对任意(,)P x y ∈1D ，对称点P '(,)x y --∈2D ，{}1()()D x y x a x b ψϕ=≤≤≤≤，, {}2()()D x y x b x a ϕψ=--≤≤---≤≤-，,令x uy v =-⎧⎨=-⎩， 则区域2D 变换为uov 坐标平面内区域{}1()()D x y x a x b ψϕ=≤≤≤≤，，雅可比行列式(,)(,)x y u v ∂∂10101-==-，所以2(,)D f x y dxdy ⎰⎰=1(,)D f u v dudv --⎰⎰=1(,)D f x y dxdy --⎰⎰=11(,),(,)(,)(,),(,)(,)D D f x y dxdyf x y f x y f x y dxdy f x y f x y ⎧---=-⎪⎪⎨--=⎪⎪⎩⎰⎰⎰⎰，代入12(,)(,)(,)DD D f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy =+⎰⎰⎰⎰⎰⎰，得1(,)(,)(,)2(,)(,)(,)DD f x y f x y f x y dxdy f x y dxdy f x y f x y --=-⎧⎪=⎨--=⎪⎩⎰⎰⎰⎰ 0 ，若 ，若定理 5 设有界闭区域D 关于x y =对称, 函数),(y x f 在D 上连续，则Df(x,y)d σ⎰⎰=(,)Df y x d σ⎰⎰（四） 对称性在二重积分中的应用举例例 4 计算二重积分25sin Sx ydxdy ⎰⎰，其中S 是由1x y +=，0x =，1x y -=所围成的区域.解 积分区域S 关于x 轴对称（见图），且ydxdy x S52sin ⎰⎰为关于y 的奇函数，故由定理225sin 0Sx ydxdy =⎰⎰例 5 设 :sin ,,12D y x x y π==±= 围成求 (1)Dxy dxdy-⎰⎰x 2π-= y x 2π=y=1x图5x11-10 图4y解 12DDD D DI xydxdy dxdy xydxdy xydxdy dxdy =-=+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰因为12D D 和关于y 轴对称，所以由定理2知120D D xydxdy xydxdy +=⎰⎰⎰⎰所以 原式 =Ddxdy π=⎰⎰例 6 计算二重积分 222(373),: 1.DI x x y d D x y σ=++++≤⎰⎰其中解 见下图 D 关于x y 轴轴都对称，而37x y 和分别关于变量x 和变量y 为奇数 所以由定理330,Dxd σ=⎰⎰70Dyd σ=⎰⎰设 θσθr d r d d r x ==,c o s ，=⎰⎰σd x D2rdr r d ⎰⎰πθθ2012)cos ( 所以 原式πθθπ3)cos (2012+=⎰⎰rdr r d π411=yDx图6例 7 计算 (),DI x y d x d y =+⎰⎰ 其中: 1.D x y +≤解 D x y 关于轴，轴对称，且被积函数关于x 和y 是偶函数，即有(,)f x y -=(,)(,)f x y f x y -=由定理3，有1()()DD I x y dxdy x y dxdy =+=+⎰⎰⎰⎰，其中1D D 是的第一象限部分，由对称性知11D D x dxdy y dxdy =⎰⎰⎰⎰22(3)3DDDI x d x d d σσσ=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰故 11144()4()8.3D D D I x y d x d y xx d x d y x d x d y =+=+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰例 8 计算2()Dxy x y dxdy +⎰⎰其中D 是由,1,1y x y y ===-0x =以及所围城的闭区域图7解 如图， 12D D D =+，1D 、2D 关于原点对称，但被积函数不满足(,)(.)f x y f x y =--,也不满足(,)(.)f x y f x y =---,故不能直接用定理来计算， 所以令1(,)f x y xy = ， 22(,)f x y x y =对1(,)f x y 和2(,)f x y 分别应用定理4，则11(,)2DD f x y dxdy xydxdy =⎰⎰⎰⎰，2(,)0Df x y dxdy =⎰⎰，故 2()DI xy x y dxdy =+⎰⎰41221001==⎰⎰⎰⎰xD xydydx xydxdy 例 9 设()f x 为恒正的连续函数，计算积分222()()()()x y r af x bf y dxdy f x f y +≤++⎰⎰ 解 由于积分区域222x y r +≤关于y x =对称，所以由定理5 ，可得222()()()()x y r af x bf y dxdy f x f y +≤++⎰⎰=222()()()()x y r af y bf x dxdy f y f x +≤++⎰⎰， 于是222()()2()()x y r af x bf y dxdy f x f y +≤++⎰⎰ 222222()()()()()()()()x y r x y r af x bf y af y bf x dxdy dxdy f x f y f y f x +≤+≤++=+++⎰⎰⎰⎰ 222()x y r a b dxdy +≤=+⎰⎰=2()a b r π+．故222()()()()x y r af x bf y dxdy f x f y +≤++⎰⎰=2()2a b r π+．四、对称性在三重积分中的应用根据被积函数的奇偶性及积分区域的对称性可以简化三重积分的计算,三重积分的计算中也有相应的对称性定理. （一） 对称性在三重积分中的定理定理6 设Ω由0),,(≤z y x ϕ表示,若将x 和y 的位置交换后,0),,(≤z x y ϕ仍然表示Ω,则⎰⎰⎰Ωdv z y x f ),,(=⎰⎰⎰Ωdv z x y f ),,(,这种位置的对称,也称变量可轮换性.定理7 设三维实空间有界闭区域21Ω⋃Ω=Ω,且1Ω与2Ω关于xoy 面对称,函数),,(z y x f 在Ω上可积,则⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ⎪⎩⎪⎨⎧ΩΩ=的奇函数上是关于在当的偶函数上是关于在当z f z f dxdydvz y x f dv z y x f ,0,),,,(2),,,(1定理8 设三维实空间有界闭区域21Ω⋃Ω=Ω,且1Ω与2Ω关于z 轴对称,函数),,(z y x f 在Ω上可积,则:⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ⎪⎩⎪⎨⎧ΩΩ=的奇函数上为关于在当的偶函数上为关于在当y x f y x f dxdydzz y x f dxdydz z y x f ,,0,,),,,(2),,,(1（二） 对称性在三重积分中的应用举例例10 计算⎰⎰⎰++ωdu z y x )(,其中Ω：≤++222z y x R 2,（0,00,≥≥≥z y x ）.解 本题具有变量位置的对称,因此有⎰⎰⎰ωxdu =⎰⎰⎰ωydu =⎰⎰⎰ωzdu 设D z :)0,0(2222≥≥=++y x R z y x ,则原式为 3⎰⎰⎰ωzdu =3⎰⎰⎰RD zdxdy zdz 0=43⎰Rdz z R z 022)-(π=1634R π 可见,类似的题目都只需计算其中任意一元数值,及对应系数,即可求得结果.例11 计算⎰⎰⎰++++++ωdxdydz z y x z y x z 1)1ln(222222,其中ω：≤++222z y x 1. 分析 很显然,ω关于xoy 面对称,可以直接运用定理7.解 因为ω关于xoy 面对称,且被积函数1)1ln(),,(222222++++++=z y x z y x z z y x f 在ω上连续并为关于z 的奇函数,故 ⎰⎰⎰++++++ωdxdydz z y x z y x z 1)1ln(222222 =0. 例12 计算⎰⎰⎰Ω+dV yx xyz 22,其中Ω为xy a 22222)z y (x =++与0=z 两曲面所围区域.解 显然,积分区域Ω关于z 轴对称,且22),,(y x xyzz y x f +=为关于x 、y 的偶函数,又因为≥++2222)(z y x 0,所以xy 同号.因而Ω分布在一、四象限内,从而由定理8得到⎰⎰⎰Ω+dV y x xyz 22=⎰⎰⎰Ω+1222y x xyzdxdydz =⎰⎰⎰θθϕππθθϕϕϕθcos sin sin 03202cos sin cos sin 2a dr r d d= ⎰⎰=202045334144cos sin cos sin 2ππϕϕϕθθθad d a .小结 用对称性定理来简化二重积分和三重积分的计算,有时候可以起到事半功倍的效果.对于一般的对称性定理,若加以适当拓广,还可以用来巧妙地求解一些重积分的计算和证明问题.五、对称性在曲线积分中的应用（一） 对称性在曲线积分中的定理 设函数),(y x f 定义在二维光滑曲线上1.若),(y x f 满足关系式),(y x f -=),(y x f 或),(y x f -=),(y x f ,则称),(y x f 为偶函数.2.若),(y x f 满足关系式),(y x f -=),(y x f -或),(y x f -=),(y x f -,则称),(y x f 为奇函数.定理9 设分段光滑的平面曲线L 关于x 轴对称,记L 在上半平面的部分为1L ,下半平面部分为2L ,则⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰1),(,),(2),(,0),(L Ly y x f ds y x f y y x f ds y x f 的偶函数为关于的奇函数为关于 定理10 设分段光滑的平面曲线L 关于y 轴对称,记L 在右半平面的部分为1L ,左半平面部分为2L ,则⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰1),(,),(2),(,0),(L L x y x f ds y x f x y x f ds y x f 的偶函数为关于的奇函数为关于 推论1 设分段光滑的平面曲线L 关于原点对称,则⎪⎩⎪⎨⎧I =⎰⎰11),(,),(4),(, 0),(L L L L x y y x f ds y x f x y y x f ds y x f 象限中的部分）位于第是的偶函数（其中或为关于的奇函数或为关于定理11 设分段光滑的平面曲线L 关于x 轴对称,则(1)⎰L dx y x P ),(=⎰--L dx y x P ),(=21⎰--Ldx y x P y x P )],(),([(2)⎰L dx y x P ),(=⎰-L dy y x P ),(=21⎰-+L dy y x P y x P )],(),([定理12 设分段光滑的平面曲线L 关于y 轴对称,则 (1)⎰Ldx y x P ),(=⎰-Ldx y x P ),(=21⎰-+Ldx y x P y x P )],(),([(2)⎰L dx y x P ),(=⎰--L dy y x P ),(=21⎰--L dy y x P y x P )],(),([ 推论2 设分段光滑的有向平面曲线L 关于x 轴对称,（L 在上半平面部分记为1L ,在下半平面部分记为2L ）,1L 与2L 方向相反,则(1) ⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=L L 1),(,),(2),(,0),(的奇函数为关于的偶函数为关于y y x P dy y x P y y x P dy y x P(2) ⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=L L 1),(,),(2),(,0),(的偶函数为关于的奇函数为关于y y x Q dy y x Q y y x Q dy y x Q推论3 设分段光滑的有向平面曲线L 关于y 轴对称,（L 在右半平面部分记为1L ,在左半平面部分记为2L ）,1L 与2L 方向相反,则（1）⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=L L 1),(,),(2),(,0),(的偶函数为关于的奇函数为关于x y x P dy y x P x y x P dy y x P（2）⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=L L 1),(,),(2),(,0),(的奇函数为关于的偶函数为关于x y x Q dy y x Q x y x Q dy y x Q（二） 对称性在曲线积分中的应用举例 例13 计算⎰=++1||||||||y x ds y x x解 因为积分曲线关于原点对称,被积函数||||),(y x xy x f +=为关于x 的奇函数,由推论1,得⎰=++1||||||||y x ds y x x=0 例14 计算⎰+Lxydy e x1,其中L 关于x 轴对称,取逆时针方向, L 所围成的闭区域D 的面积为σ.分析 显然,题目已知L 关于x 轴对称,又是分段曲线积分,可直接运用定理求得结果解 由定理11,有⎰+Lxydy e x 1=21dy e xe x Lxy xy ⎰-+++)11(=21⎰++Lxy xy dy e xe x 1=21⎰Lxdy =21⎰⎰Dd σ=21σ. 例15 计算⎰++L xy dydx 1||,其中1:=+y x L ,取逆时针方向.解 因为⎰++L xy dy dx 1||=⎰+L xy dx 1||+⎰+L xy dy 1||而L 关于x 轴、y 轴对称且对称两部分方向相反,函数),(y x f =1||1+xy 既为关于x 的偶函数,又为关于y 的偶函数,由推论2、推论3,原式=0.六、对称性在曲面积分的对称性（一） 对称性在曲面积分中的定理 设函数),,(z y x f 定义在三维光滑曲面上1.若),,(z y x f 满足关系式=-),,(z y x f ),,(z y x f )或=-),,(z y x f ),,(z y x f ,则称),,(z y x f 为偶函数.2.若),,(z y x f 满足关系式=-),,(z y x f ),,(z y x f -或=-),,(z y x f ),,(z y x f -,则称),,(z y x f 为奇函数.定理13 设分段光滑的空间曲线Γ关于xoy (或yoz 或zox )坐标面对称,记1Γ为位于对称坐标面一侧的部分, 则⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰1)(y)f(x,,),,(2)(),(,0),,(τ的偶函数或或为关于的奇函数或或为关于y x z ds z y x f y x z y x f ds z y x f z定理14 设曲面S 是由关于P （或平面α）对称的1S 和2S 组成,设1M ∈1S 的对称点为22S M ∈,则:⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧-===S12S 12)(M )(M ,0)(M )(M ,(M)2(M)1f f f f ds f ds f 若若 证明 以曲面S 关于平面α对称为例,不妨设曲面S 是关于xoy 对称的曲面1S 和2S 组成,设1M ∈1S 的坐标为),,(z y x ,则其对称点22S M ∈的坐标为),,(z y x -,设1S 、2S 在xoy 平面上的射影区域为xy σ,则⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=21),,(),,(),,(S S Sds z y x f ds z y x f ds z y x f =⎰⎰++-+dxdy z zy x z y x f y x z y x f y x 221)]},(,,[)],(,,[{(1)当=-),(z y x f ),,(z y x f 时,⎰⎰Sds z y x f ),,(=⎰⎰1),,(2S ds z y x f(2)当=-),(z y x f -),,(z y x f 时,⎰⎰Sds z y x f ),,(=0.（二） 对称性在曲面积分中的应用举例例16 计算⎰⎰++εds zx yz xy )(,其中∑为锥面z =22y x +被曲面ax y x 222=+所截下的部分.分析 由于曲面∑关于zox 面对称,而被积函数中xy 与yz 都是y 的奇函数 解 根据定理,知⎰⎰++εds zx yz xy )(=⎰⎰εzxds =⎰⎰+++xyD y x dxdy z z y x x22221=⎰⎰+xyD dxdy y x x 222=2⎰⎰-22cos 203cos ππθθθa dr r d =42⎰-225cos ππθθd =156424a .例17 计算曲面积分⎰⎰=Sds xyz I ||,其中S 为曲面22y x z +=介于平面0=z 和1=z 之间的部分.解 因曲面S 关于平面xoz 和yoz 对称,而||),,(xyz z y x f =,由定理知⎰⎰=14S xyzds I ,其中1S 是S 在第一象限的部分22y x z +=,'x z x 2=,y z y 2'=,dxdy y x ds 22441++=.故I=dxdy y x y x xy xyD 2222441)(4+++⎰⎰=⎰⎰122cos sin 4θθθπr d ·2r ·241r +·rdr=4201-5125.由此可见，上述关于积分（定积分，重积分，线面积分）对称性的定理性质对于在特殊情况下简化积分的计算是非常有效的，它可以避免很多干扰，所以在解题中注意积分区间是否具有某种对称性是简化题目的关键，若对称性不明显则可以通过一定的方法，根据题目的特点构造对称性，可以减少一些繁琐的计算，提高解题效率.参考文献1 华东师范大学数学系， 数学分析（上册，下册），高等教育出版社2 同济大学，高等数学（上册，下册），高等教育出版社3 王莉，海天2013年考研数学基础班高数辅导讲义4 薛春荣,王芳，对称性在定积分及二重积分计算中的应用[J]，科学技术与工程，2010，(1)5 赵达夫.高等数学的辅导讲义[M].新华出版社.6 孙钦福.二重积分的对称性定理及其应用.曲阜师范大学学报,2008.7 张仁华.二重积分计算中的若干技巧.湖南冶金职业技术学院学报,2008.8 温田丁.考研数学中二重积分的计算技巧.高等数学研究, 2008.后记本论文在选题及研究过程中得到指导老师的悉心指导。
抛物线轴对称性的探究与应用
《专题:抛物线轴对称性的探究与应用》教学目标：1.让学生了解并掌握二次函数的图象是轴对称图形。
2.让学生了解并掌握抛物线上纵坐标相等的两个点是一组对称点，它们到对称轴的距离相等，让学生进一步明确在两个对称点的横坐标和对称轴中，已知其中的两个量，都可以求出第三个量。
3.让学生体会数形结合的思想，进一步提高学生分析问题、解决问题的能力。
教学重、难点寻找抛物线上的对称点并利用抛物线上的对称点到对称轴的距离相等解题教学过程： 一、知识回顾：1、 在前面我们学习过二次函数的图象及其性质，我们知道二次函数的图象是一条抛物线，它是轴对称图形。
2、抛物线上每一组对称点的纵坐标都相等；任意两个纵坐标相等的点是一组 对称点， 它们到对称轴的距离相等 即：3、若已知抛物线与x 轴相交的其中一个交点是A （1x ，0），且其对称轴是x m =，则另一个交点B 的坐标可以用（12m x -，0）表示出来（注：应由A 、B 两点处在对称轴的左右情况而定，在应用时要把图画出）。
二、基本题型：（1）、求点的坐标1、如图，点A ，B 的坐标分别为（1, 4）和（4, 4）,抛物线n m x a y +-=2)( 的顶点在线段AB 上运动，与x 轴交于C 、D 两点（C 在D 的左侧），点C 的横坐标最小值为3-，则点D 的横坐标最大值为( )A ．－3B ．1C ．5D ．82、1x ，2x ，且12x +，点A （3，-8）在抛物线2ax bx c=++关于抛物线的对称轴的对称点的坐标为练习与x 轴交于A 、B 两点，B 的坐标为 0）， 则点练习1x ,0），（2x , 0） 则当12x x x =+时，y 值为____若A(x 1，y 1），B (x 2，y 2）是抛物线上的两点，若y 1=y 2，则A 、B两点是抛物线上一组关于对称轴对称的点，抛物线的对称轴为直线122x x x +=x练习3、抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)的对称轴为直线x=2，且经过点P （3，0），则a+b+c 的值为（ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．2练习4、 已知二次函数2y ax bx c =++ (a ≠0)的顶点坐标为（-1，-3）及部分图象如图，由图象可知关于x的一元二次方程20ax bx c ++=的两根分别为121.5,x x ==_____（2）、比较函数值的大小1、在二次函数2245y x x =++的图象上，依横坐标找到三点(－2，1y )，(0.5，2y )，(-3.5，3y )则你认为123,,y y y 的大小关系应为（ ）A 、1y >2y >3yB 、2y >3y >1yC 、3y >1y >2yD 、3y >2y >1y变式1：如果把上面的二次函数改为：232y x x =--+,其他条件不变，123,,y y y 的大小关系又是怎样的？变式2：上题中如果把二次函数2245y x x =++的图象向上或向下平移得224y x x m =++结果又如何？变式3：上题中如果把二次函数2245y x x =++改为2245y ax ax =++（a ≠0），其它条件不变，123,,y y y 的大小关系又如何？练习1、已知二次函数y =2x 2+8x +7的图象上有有点A 1(2)y -，，B 21(5)3y -，C 31(1)5y -，则 y 1、y 2、y 3的大小关系为( )A ． y 1 > y 2> y 3B ． y 2> y 1> y 3C ． y 2> y 3> y 1D ． y 3> y 2> y 1 练习2、已知二次函数223y ax x=-+（a 为常数）图像上的三点：A()1,1y x ，B ()2,2y x ，C ()3,3y x ，其中，1x =3a -，231,2a a xx =+=+，则1,2,3,y y y 的大小关系是（3）、求二次函数的解析式（1） 求抛物线的函数解析式（2） 如果抛物线上有一个点的坐标为（m,n ）则其图象上对称点的坐标为练习1、根据下表中的二次函数2y ax bx c =++ 的自变量x 与函数y 的对应值，可判断二次函数的图象与x 轴（ ）A ．只有一个交点B ．有两个交点，且它们分别在y 轴两侧C ．有两个交点，且它们均在y 轴同侧D ．无交点（4）、求距离和或差的最值1、如图,抛物线213222y x x =-- 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，顶点为D,且A(－1，0). （1）在抛物线的对称轴上是否存在点N ， 使得△ACN 若存在求出N 点坐标，若不存在，请说明理由。
一元二次函数 对称轴-定义说明解析
一元二次函数对称轴-概述说明以及解释1.引言1.1 概述：一元二次函数是高中数学中的重要概念之一，也是函数的一种常见形式。
它的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为实数且a不等于0。
一元二次函数以抛物线的形式展示出来，可以描述很多自然界和社会现象，例如自由落体运动、汽车行驶的距离与时间的关系等。
在研究一元二次函数时，对称轴是一个重要的概念。
所谓对称轴，指的是一元二次函数的图像上存在一个与y轴平行的直线，使得抛物线关于该直线对称。
对称轴的特点是，若有一点P(x,y)在抛物线上，则此点关于对称轴上的点P'(x',y')也在抛物线上，并且点P和点P'关于对称轴对称。
对称轴的确定是研究一元二次函数性质的重要基础。
在解决与一元二次函数相关的问题时，对称轴的位置和性质提供了重要的线索。
了解对称轴的概念及其特点，有助于我们更深入地理解一元二次函数的形态、求解过程和图像特征。
本文将从一元二次函数的定义入手，详细介绍对称轴的概念、性质以及其在一元二次函数中的应用。
通过对这一重要概念的深入剖析，旨在帮助读者更好地理解并应用一元二次函数中的对称轴概念，提升数学解题和分析问题的能力。
在接下来的章节中，我们将首先介绍一元二次函数的定义，然后深入探讨对称轴的概念和性质。
最后，我们将探讨对称轴在一元二次函数中的应用，并强调对称轴在研究一元二次函数时的重要性。
通过本文的学习，读者将对一元二次函数的对称轴有更全面的了解，并能够更灵活地运用这一概念解决数学问题。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以包括以下内容：文章结构是指文章的整体框架和布局。
在本文中，我们将采用以下结构来组织论述。
首先，我们将在引言部分给出本文的概述，在1.1节中对一元二次函数和对称轴进行简要介绍，为读者提供一个整体的了解。
接下来，在1.2节中，我们将详细描述文章的结构和组织方式。
我们将介绍每个章节的主题和目标，以及它们在整个文章中的作用和重要性。
函数对称性、周期性的应用(含解析)
函数对称性、周期性的应用高考对函数性质的考查往往是综合性的，如将奇偶性、周期性、单调性及函数的零点综合考查，因此，复习过程中应注意在掌握常见函数图象和性质的基础上，注重函数性质的综合应用的演练.（一）函数的对称性1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称2、轴对称的等价描述：（1）关于轴对称（当时，恰好就是偶函数）（2）关于轴对称 在已知对称轴的情况下，构造形如的等式只需注意两点，一是等式两侧前面的符号相同，且括号内前面的符号相反；二是的取值保证为所给对称轴即可.例如：关于轴对称，或得到均可，只是在求函数值方面，一侧是更为方便（3）是偶函数，则，进而可得到：关于轴对称.① 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在中，仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的取相反数时，函数值相等，即，要与以下的命题区分： 若是偶函数，则：是偶函数中的占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有② 本结论也可通过图像变换来理解，是偶函数，则关于轴对称，而可视为平移了个单位（方向由的符号决定），所以关于对称.2、中心对称的等价描述：（1）关于中心对称（当时，恰好就是奇函数）（2）关于中心对称 在已知对称中心的情况下，构造形如的等式同样需注意两点，一是等式两侧和()()f a x f a x -=+⇔()f x x a =0a =()()()f a x f b x f x -=+⇔2a b x +=()()f a x f b x -=+f x ,a b 2a b x +=()f x 1x =()()2f x f x ⇒=-()()31f x f x -=-+()f x ()f x a +()()f x a f x a +=-+()f x x a =()f x a +x x ()()f x a f x a +=-+()f x ()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦()f x x ()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦()f x a +()f x a +0x =()f x ()f x a +a a ()f x x a =()()f a x f a x -=-+⇔()f x (),0a 0a =()()()f a x f b x f x -=-+⇔,02a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭()()f a x f b x -=-+f前面的符号均相反；二是的取值保证为所给对称中心即可.例如：关于中心对称，或得到均可，同样在求函数值方面，一侧是更为方便（3）是奇函数，则，进而可得到：关于中心对称.① 要注意奇函数是指自变量取相反数，函数值相反，所以在中，仅是括号中的一部分，奇函数只是指其中的取相反数时，函数值相反，即，要与以下的命题区分： 若是奇函数，则：是奇函数中的占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相反，所以有② 本结论也可通过图像变换来理解，是奇函数，则关于中心对称，而可视为平移了个单位（方向由的符号决定），所以关于对称.4、对称性的作用：最突出的作用为“知一半而得全部”，即一旦函数具备对称性，则只需要分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质，主要体现在以下几点：（1）可利用对称性求得某些点的函数值（2）在作图时可作出一侧图像，再利用对称性得到另一半图像（3）极值点关于对称轴（对称中心）对称（4）在轴对称函数中，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；在中心对称函数中，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同（二）函数的周期性1、定义：设的定义域为，若对，存在一个非零常数，有，则称函数是一个周期函数，称为的一个周期2、周期性的理解：可理解为间隔为的自变量函数值相等3、若是一个周期函数，则，那么，即也是的一个周期，进而可得：也是的一个周期4、最小正周期：正由第3条所说，也是的一个周期，所以在某些周期函数中，往往寻找x ,a b 2a b x +=()f x ()1,0-()()2f x f x ⇒=---()()35f x f x -=--+()f x ()f x a +()()f x a f x a +=--+()f x (),0a ()f x a +x x ()()f x a f x a +=-+()f x ()()f x a f x a +=--+⎡⎤⎣⎦()f x x ()()f x a f x a +=--+⎡⎤⎣⎦()f x a +()f x a +()0,0()f x ()f x a +a a ()f x (),0a ()f x D x D ∀∈T ()()f x T f x +=()f x T ()f x T ()f x ()()f x T f x +=()()()2f x T f x T f x +=+=2T ()f x ()kT k Z ∈()f x ()kT k Z ∈()f x周期中最小的正数，即称为最小正周期.然而并非所有的周期函数都有最小正周期，比如常值函数5、函数周期性的判定：（1）：可得为周期函数，其周期（2）的周期分析：直接从等式入手无法得周期性，考虑等间距再构造一个等式：所以有：，即周期注：遇到此类问题，如果一个等式难以推断周期，那么可考虑等间距再列一个等式，进而通过两个等式看能否得出周期（3）的周期 分析： （4）（为常数）的周期分析：，两式相减可得：（5）（为常数）的周期（6）双对称出周期：若一个函数存在两个对称关系，则是一个周期函数，具体情况如下：（假设）① 若的图像关于轴对称，则是周期函数，周期分析：关于轴对称关于轴对称的周期为② 若的图像关于中心对称，则是周期函数，周期③ 若的图像关于轴对称，且关于中心对称，则是周期函数，周期()f x C =()()f x a f x b +=+()f x T b a =-()()()f x a f x f x +=-⇒2T a =()()2f x a f x a +=-+()()()()()2f x a f x a f x f x +=-+=--=2T a =()()()1f x a f x f x +=⇒2T a =()()()()1121f x a f x f x a f x +===+()()f x f x a k ++=k ()f x ⇒2T a =()()()(),2f x f x a k f x a f x a k ++=+++=()()2f x a f x +=()()f x f x a k ⋅+=k ()f x ⇒2T a =()f x ()f x b a >()f x ,x a x b ==()f x ()2T b a =-()f x x a =()()2f x f a x ⇒-=+()f x x b =()()2f x f b x ⇒-=+()()22f a x f b x ∴+=+()f x ∴()222T b a b a =-=-()f x ()(),0,,0a b ()f x ()2T b a =-()f x x a =(),0b ()f x ()4T b a =-7、函数周期性的作用：简而言之“窥一斑而知全豹”，只要了解一个周期的性质，则得到整个函数的性质.（1）函数值：可利用周期性将自变量大小进行调整，进而利用已知条件求值（2）图像：只要做出一个周期的函数图象，其余部分的图像可利用周期性进行“复制+粘贴”（3）单调区间：由于间隔的函数图象相同，所以若在上单调增（减），则在上单调增（减）（4）对称性：如果一个周期为的函数存在一条对称轴 （或对称中心），则 存在无数条对称轴，其通式为 证明：关于轴对称函数的周期为关于轴对称 注：其中（3）（4）在三角函数中应用广泛，可作为检验答案的方法.【经典例题】例1.【2020年高考全国Ⅲ卷文数12】已知函数()1sin sin f x x x =+，则 （ ）A ．()f x 的最小值为2B ．()f x 的图像关于y 轴对称C ．()f x 的图像关于直线x =π对称D ．()f x 的图像关于直线2x π=对称例2．（2020·全国高三三模）已知定义域为R 的函数()f x 的图像关于原点对称，且()()30f x f x -+-=，若曲线()y f x =在()()6,6f 处切线的斜率为4，则曲线()y f x =在()()2022,2022f --处的切线方程为（ ）A ．48088y x =--B ．48088y x =+C ．1101142y x =--D ．1101142y x =+ 例3．（2020·南岗·黑龙江实验中学高三三模）若()f x 为偶函数，对任意x ∈R ，()()11f x f x -=+恒成立，且当10x -≤≤时，()()()211f x x x =-+.则方程()29log f x x =根的个数为（ ） ()kT k Z ∈()f x ()(),a b b a T -≤()f x ()(),a kT b kT k Z ++∈T ()f x x a =()f x ()2kT x a k Z =+∈()f x x a =()()2f x f a x ∴=-()f x T ()()f x kT f x ∴+=()()2f x kT f a x ∴+=-()f x ∴2kT x a =+A ．6B ．8C ．12D ．16例4．（2020·山西大学附中三模）已知函数()()cos 1,0,2log ,0,a x x f x x x π⎧⎛⎫-≥⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪--<⎩（0a >且1a ≠），若函数图象上关于原点对称的点至少有3对，则实数a 的取值范围是（ ）.A．⎛ ⎝⎭B．⎫⎪⎪⎝⎭C．⎛ ⎝⎭ D．⎫⎪⎪⎝⎭例5．（2020·启航中学三模）已知函数()f x 在定义域上的值不全为零，若函数()1f x +的图象关于()1,0对称，函数()3f x +的图象关于直线1x =对称，则下列式子中错误的是（ ）A ．()()f x f x -=B ．(2)(6)f x f x -=+C ．(2)(2)0f x f x -++--=D ．(3)(3)0f x f x ++-= 例6．（2020·山东高密·高三三模）已知函数(1)2y f x =+-是奇函数，21()1x g x x -=-，且()f x 与()g x 的图像的交点为11(,)x y ，22(,)x y ，，66(,)x y ，则126126x x x y y y +++++++=( ) A ．0 B ．6 C ．12 D ．18例7．（2020·四川泸州·高三三模）定义在实数集R 上的函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，且当1≥x 时，()f x 是增函数，则()3log 2a f =，⎛=- ⎝b f ，(3)c f =的大小关系正确的是（ ）. A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c a b >>D ．b a c >> 例8．（2020·北大附中高三三模）若定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x +=，且在区间[]1,2上是减函数，()11f =，()01f =-现有下列结论，其中正确的是：（ ）①()f x 的图象关于直线1x =对称；②()f x 的图象关于点3,02⎛⎫⎪⎝⎭对称；③()f x 在区间[]3,4上是减函数；④()f x 在区间()4,4-内有8个零点.A ．①③B ．②④C ．①③④D ．②③④ 例9．（2020·咸阳市教育教学研究室高三三模）设()f x 为R 上的奇函数，满足(2)(2)f x f x -=+，且当02x ≤≤时，()x f x xe =，则(1)(2)(3)(100)f f f f ++++=( ) A ．222e e +B ．25050e e +C ．2100100e e +D ．222e e --例10．（2020·山东省实验高三三模）已知定义域为R 的奇函数()f x 满足()()210f x f x -++=，且当()0,3x ∈时，()()12f f ==-则()()()()0122020f f f f +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．0BC ．D ．【精选精练】1．（2020·黑龙江·大庆四中三模）已知定义域为R 的奇函数()f x 满足(3)()0f x f x -+=，且当3,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，2()log (27)f x x =+，则(2020)f =（）A ．2-B ．2log 3C ．3D ．2log 5- 2．（2020·济南一中2020届高三三模）若定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，()()4f x f x +=，且当()0,2x ∈时，()2x f x =，则()2log 2019f =（ ）A ．20482019-B ．40962019-C ．40962019D ．201940963．（2020·西安市鄠邑区第一中学三模）已知函数()f x 满足()()f x f x =-和()()+2f x f x =，且在[]0,1x ∈时，()1f x x =-，则关于x 的方程13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在[]0,4上解的个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．54．（2020·哈尔滨市第一中学校三模）已知定义在R 上的函数满足()()2,(0,2]f x f x x +=-∈时，()sin f x x x π=-，则20201()i f i ==∑（ ）A ．6B ．4C ．2D ．05．（2020·湖南开福·周南中学三模）已知偶函数()f x 满足(3)(3)f x f x +=-，且当[0,3]x ∈时，2()xf x xe -=，若关于x 的不等式2()()0f x tf x ->在[150,150]-上有且只有150个整数解，则实数t 的取值范围是（ ）A ．120,e -⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1322,3e e --⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3123,2e e --⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．112,2e e --⎡⎫⎪⎢⎣⎭6．（2020·浙江西湖·学军中学高三三模）定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2cos x f x x =-，则下列结论正确的是（ ） A ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7．（2020·陕西省商丹高新学校三模）若定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=且[]1,1x ∈-时，()f x x =，则方程()3log f x x =的根的个数是A ．4B ．5C ．6D ．78．（2020·全国高三三模）已知函数()f x 的图象关于直线1x =对称，当211x x >>时，2121[()()]()0f x f x x x --<恒成立，设1()2a f =-，(2)b f =，()c f e =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．c a b >> B ．c b a >> C ．b a c >> D ．a c b >>9．（2020·贵州黔东南·高三三模）已知函数()f x 的图象关于点()1,0对称，当1x >时，2()5f x x mx =-+，且()f x 在(,0)-∞上单调递增，则m 的取值范围为（ ）A ．[4,)+∞B ．[2,)+∞C ．(,4]-∞D ．(,2]-∞10．（2020·湖北黄州·黄冈中学三模）方程()222(1)(3)x x x x y e e ----=+的曲线有下列说法： ①该曲线关于2x =对称；②该曲线关于点(2,1)-对称；③该曲线不经过第三象限；④该曲线上有无数个点的横､纵坐标都是整数.其中正确的是（ ）A ．②③B ．①④C ．②④D ．①③11．（2020·湖南长沙一中三模）设函数()f x 的定义域为R ，()()f x f x -=，()()2f x f x =-，当[]01x ∈，时，()3f x x ＝，则函数()()g x cos x f x π-＝在区间13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上零点的个数为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．612．（2020·云南省下关第一中学三模）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()1f 3x f x +=-，且()3y f x =+为偶函数，若()f x 在()0,3内单调递减，则下面结论正确的是（ ）A ．()()()4.5 3.512.5f f f -＜＜B ．()()()3.5 4.512.5f f f -＜＜C ．()()()12.5 3.5 4.5f f f -＜＜D ．()()()3.512.5 4.5f f f -＜＜13．（2020·福建高三三模）已知定义在R 上的函数()f x 的对称中心为()2,0，且当[2,)x ∈+∞时，2()2f x x x =-+，则不等式()f x x >的解集为（ ）A．⎛ ⎝-⎭∞ B．⎫⎪⎝+⎭∞⎪ C．⎫⎪⎝+⎭∞⎪ D．⎛ ⎝-⎭∞ 14．（2020·广东濠江·金山中学高三三模）已知函数()f x （x ∈R ）满足()()4f x f x -=-，若函数21x y x +=与()y f x =图像的交点为()11,x y ，()22,x y ，…，(),m m x y ，则()1m i i i x y =+=∑（ ） A ．0 B ．m C ．2m D ．4m【经典例题】例1.【2020年高考全国Ⅲ卷文数12】已知函数()1sin sin f x x x =+，则 （ ）A ．()f x 的最小值为2B ．()f x 的图像关于y 轴对称C ．()f x 的图像关于直线x =π对称D ．()f x 的图像关于直线2x π=对称 【答案】D【思路导引】根据基本不等式使用条件可判断A;根据奇偶性可判断B;根据对称性判断C ，D ．【解析】sin x 可以为负，所以A 错；1sin 0()()sin ()sin x x k k Z f x x f x xπ≠∴≠∈-=--=-∴()f x 关于原点对称； 11(2)sin (),()sin (),sin sin f x x f x f x x f x x xππ-=--≠-=+=故B 错；()f x ∴关于直线2x π=对称，故C 错，D 对，故选：D ．【专家解读】本题考查了三角函数图象及其性质，考查三角函数周期公式，考查数形结合思想，考查数学运算、直观想象等学科素养．解题关键是熟记三角函数的性质．例2．（2020·全国高三三模）已知定义域为R 的函数()f x 的图像关于原点对称，且()()30f x f x -+-=，若曲线()y f x =在()()6,6f 处切线的斜率为4，则曲线()y f x =在()()2022,2022f --处的切线方程为（ ）A ．48088y x =--B ．48088y x =+C ．1101142y x =--D ．1101142y x =+ 【答案】B【解析】因为定义域为R 的函数()f x 的图像关于原点对称，所以()00f =，因为()()30f x f x -+-=，()()630f x f x -+-=，两式相减可得，()()6f x f x -=-，故6T =，故()()202200f f -==；因为()()()2022064f f f '''-===，故所求切线方程为48088y x =+，故选：B ．例3．（2020·南岗·黑龙江实验中学高三三模）若()f x 为偶函数，对任意x ∈R ，()()11f x f x -=+恒成立，且当10x -≤≤时，()()()211f x x x =-+.则方程()29log f x x =根的个数为（ ）A ．6B ．8C ．12D ．16【答案】D【解析】对任意x ∈R ，()()11f x f x -=+恒成立,故()()2f x f x -=+，又()f x 为偶函数，所以()()2f x f x =+，2T =，且当10x -≤≤时，()()()221122f x x x x =-+=-，设()293log log h x x x ==，则()h x 为偶函数，求方程()29log f x x =根的个数转化为求()f x 与()g x 的交点个数，画出当0x >时()y f x =与()y g x =的图像，如图：可知两图像有8个交点，又()f x 与()g x 都为偶函数，所以()f x 与()g x 有16个交点，即方程()29log f x x =根的个数为16.故选：D.例4．（2020·山西大学附中三模）已知函数()()cos 1,0,2log ,0,a x x f x x x π⎧⎛⎫-≥⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪--<⎩（0a >且1a ≠），若函数图象上关于原点对称的点至少有3对，则实数a 的取值范围是（ ）.A．0,6⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B．6⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C．0,5⎛ ⎝⎭D．5⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】由题可知：cos 12y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭与log a y x =的图像 在0x >的交点至少有3对，可知()0,1a ∈， 如图所示，当6x =时，log 62a >-，则0a <<故实数a的取值范围为0,6⎛ ⎝⎭故选：A例5．（2020·启航中学三模）已知函数()f x 在定义域上的值不全为零，若函数()1f x +的图象关于()1,0对称，函数()3f x +的图象关于直线1x =对称，则下列式子中错误的是（ ） A ．()()f x f x -=B ．(2)(6)f x f x -=+C ．(2)(2)0f x f x -++--=D ．(3)(3)0f x f x ++-=【答案】D【解析】∵函数(1)f x +的图象关于()1,0对称， ∴函数()f x 的图象关于(2,0)对称，令()(1)F x f x =+，∴()()2F x F x =--，即()(3)1f x f x -=-+，∴()()4f x f x -=- …⑴ 令()(3)G x f x =+，∵其图象关于直线对称，∴()()2G x G x +=-，即()()53f x f x +=-，∴()()44f x f x +=- …⑵ 由⑴⑵得，()()4f x f x +=-，∴()()8f x f x += …⑶ ∴()()()844f x f x f x -=-=+-，由⑵得()()()()()4444f x f x f x +-=--=,∴()()f x f x -=；∴A 对； 由⑶，得()()282f x f x -+=-，即()()26f x f x -=+，∴B 对； 由⑴得，()()220f x f x -++=，又()()f x f x -=， ∴()()(2)(2)220f x f x f x f x -++--=-++=，∴C 对；若()()330f x f x ++-=，则()()6f x f x +=-，∴()()12f x f x +=，由⑶得()()124f x f x +=+，又()()4f x f x +=-，∴()()f x f x =-，即()0f x =，与题意矛盾，∴D 错.故选：D.例6．（2020·山东高密·高三三模）已知函数(1)2y f x =+-是奇函数，21()1x g x x -=-，且()f x 与()g x 的图像的交点为11(,)x y ，22(,)x y ，，66(,)x y ，则126126x x x y y y +++++++=( )A ．0B ．6C ．12D ．18【答案】D 【解析】()211211x g x x x -==+--，由此()g x 的图像关于点()1,2中心对称，()12y f x =+-是奇函数()()1212f x f x -+-=-++，由此()()114f x f x -+++=，所以()f x 关于点()1,2中心对称，1266x x x +++=，12612y y y +++=，所以12612618x x x y y y +++++++=，故选D例7．（2020·四川泸州·高三三模）定义在实数集R 上的函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，且当1≥x 时，()f x 是增函数，则()3log 2a f =，⎛=- ⎝b f ，(3)c f =的大小关系正确的是（ ）. A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c a b >>D ．b a c >>【答案】C 【解析】(1)(1)f x f x +=-，∴()f x 关于1x =对称，又1≥x 时，()f x 是增函数，()()3339log 22log 2log 2f f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，33392log 4,log 4log 321-==<<<， ∴b a c <<.故选：C.例8．（2020·北大附中高三三模）若定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x +=，且在区间[]1,2上是减函数，()11f =，()01f =-现有下列结论，其中正确的是：（ ） ①()f x 的图象关于直线1x =对称；②()f x 的图象关于点3,02⎛⎫⎪⎝⎭对称；③()f x 在区间[]3,4上是减函数；④()f x 在区间()4,4-内有8个零点. A ．①③ B ．②④ C ．①③④ D ．②③④【答案】C【解析】由()()2f x f x +=，得()()2f x f x -=-， 结合()f x 为偶函数，得()()2f x f x -=， 则曲线()y f x =关于直线1x =对称，则①正确； 无法推出()()3f x f x -=-，则②不一定正确；由曲线()()12y f x x =≤≤可得曲线()()01y f x x =≤≤， 即得曲线()()02y f x x =≤≤，恰好是在一个周期内的图象； 再根据()f x 是以2为周期的函数，得到曲线()()24y f x x =≤≤，因为在()y f x =在[]1,2上是减函数，()y f x =在[]3,4上是减函数，则③正确； 因为()y f x =在[]1,2上是减函数，()110f =>，()210f =-<，所以()y f x =在[]1,2上有唯一的一个零点，根据对称性，()f x 在区间()4,4-内有8个零点.故选：C.例9．（2020·咸阳市教育教学研究室高三三模）设()f x 为R 上的奇函数，满足(2)(2)f x f x -=+，且当02x ≤≤时，()x f x xe =，则(1)(2)(3)(100)f f f f ++++=( )A ．222e e +B ．25050e e +C ．2100100e e +D ．222e e --【答案】A【解析】由()()22f x f x -=+得：()f x 关于2x =对称 又()f x 为R 上的奇函数 ()f x ∴是以8为周期的周期函数()()()()()()()()()1281241240f f f f f f f f f ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++-+-+⋅⋅⋅+-=且()()()()2123422f f f f e e +++=+()()()()()()()()()()12100121281234f f f f f f f f f f ∴++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦222e e =+，故选：A例10．（2020·山东省实验高三三模）已知定义域为R 的奇函数()f x 满足()()210f x f x -++=，且当()0,3x ∈时，()()12f f ==-则()()()()0122020f f f f +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．0BC ．D ．【答案】B 【解析】()f x 是奇函数且满足()()210f x f x -++=，(1)(2)(2)f x f x f x ，(3)()f x f x ∴+=，()f x ∴是以3为周期的函数，且(0)0f =，()()()()()()()0122020674067416732f f f f f f f ∴+++⋅⋅⋅+=++=故选：B.【精选精练】1．（2020·黑龙江·大庆四中三模）已知定义域为R 的奇函数()f x 满足(3)()0f x f x -+=，且当3,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，2()log (27)f x x =+，则(2020)f =（） A ．2- B ．2log 3C ．3D ．2log 5-【答案】D 【解析】已知定义域为R 的奇函数()f x 满足(3)()0f x f x -+=，()()(3)f x f x f x ∴-=-=-，∴()f x 的周期为3.3,02x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭时，2()log (27)f x x =+，22(2020)(36731)(1)(1log (27)lo )5g f f f f =⨯+==-=--+-=-,故选D ．2．（2020·济南一中2020届高三三模）若定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，()()4f x f x +=，且当()0,2x ∈时，()2x f x =，则()2log 2019f =（ ）A ．20482019-B ．40962019-C ．40962019D ．20194096【答案】B【解析】由()()4f x f x +=，得函数()f x 的周期是4. 由()()0f x f x -+=，则()f x 在R 上是奇函数， 且当()0,2x ∈时，()2xf x =，210log 201911<<，所以()()()222log 2019log 20191212log 2019f f f =-=--212log 2019409622019-=-=-.故选：B 3．（2020·西安市鄠邑区第一中学三模）已知函数()f x 满足()()f x f x =-和()()+2f x f x =，且在[]0,1x ∈时，()1f x x =-，则关于x 的方程13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在[]0,4上解的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】由题意可得，函数()f x 为偶函数，且是周期为2的周期函数． 方程1()()3xf x =在[0x ∈，4]上解的个数，即函数()y f x =的图象与函数1()3xy =的图象在[0，4]上的交点个数，再根据当[0x ∈，1]时，()1f x x =-， 设1,(0)11()()()()330x xx g x g f x =--∴-==.因为1211113()1()0223236g -=--=-=<，数形结合可得，函数()y f x =的图象与函数1()3xy =的图象在[0，1)内存在两个交点，画出函数()f x 在[0，4]上的图象，如图，故函数()y f x =的图象与函数1()3xy =的图象在[0，4]上的交点个数为5.（在[0,1]内有2个，在[1,2]有1个，在(2,4]有2个），故选：D ．4．（2020·哈尔滨市第一中学校三模）已知定义在R 上的函数满足()()2,(0,2]f x f x x +=-∈时，()sin f x x x π=-，则20201()i f i ==∑（ ）A ．6B ．4C ．2D ．0【答案】D【解析】根据题意，函数()f x 满足()()2f x f x +=-，则()4()f x f x +=，即()f x 是周期为4的周期函数，当2(]0,x ∈时，()sin f x x x π=-，则()11sin 1f π=-=，()22sin 22f π=-=， 又由()()2f x f x +=-，则()()()()311,422f f f f =-=-=-=-， 所以(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，所以20201()505((1)(2)(3)(4))0i f i f f f f ==⨯+++=∑．故选：D ．5．（2020·湖南开福·周南中学三模）已知偶函数()f x 满足(3)(3)f x f x +=-，且当[0,3]x ∈时，2()xf x xe-=，若关于x 的不等式2()()0f x tf x ->在[150,150]-上有且只有150个整数解，则实数t 的取值范围是（ ）A ．120,e -⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1322,3e e --⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3123,2e e --⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．112,2e e --⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】当[0,3]x ∈时，2()xf x xe =，22211122()x x xf x ee e x x ---⎛⎫-=- ⎪⎝⎭'=， 当(2,3]x ∈时，()0f x '<，当[0,2)x ∈时，()0f x '>， 所以函数()f x 在(2,3]x ∈单调递减，在2(]0,x ∈单调递增，(0)0f =，32(3)30f e -=>，又(3)(3)f x f x +=-，函数()f x 关于3x =对称，且是偶函数，所以()()f x f x =-，所以(3)(3)(3)f x f x f x +=-=-，所以函数周期6T =，关于x 的不等式2()()0f x tf x ->在[150,150]-上有且只有150个整数解，即()f x t >在[150,150]-上有且只有150个整数解，所以每个周期内恰有三个整数解结合草图可得：1322,3t e e --⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故选：B.6．（2020·浙江西湖·学军中学高三三模）定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2cos xf x x =-，则下列结论正确的是（ ）A ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【解析】∵f （x ）是奇函数；∴f （x+2）=f （-x ）=-f （x ）；∴f （x+4）=-f （x+2）=f （x ）； ∴f （x ）的周期为4；∴f （2018）=f （2+4×504）=f （2）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,20207 312f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∵x ∈[0，1]时，f （x ）=2x -cosx 单调递增；∴f(0)＜12f ⎛⎫⎪⎝⎭ ＜712f ⎛⎫⎪⎝⎭∴()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选C.7．（2020·陕西省商丹高新学校三模）若定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=且[]1,1x ∈-时，()f x x =，则方程()3log f x x =的根的个数是A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A【解析】因为函数()f x 满足()()2f x f x +=，所以函数()f x 是周期为2的周期函数.又[1,1]x ∈-时，()||f x x =，所以函数()f x 的图象如图所示.再作出3log y x =的图象，易得两图象有4个交点，所以方程3()log ||f x x =有4个零点．故应选A ． 8．（2020·全国高三三模）已知函数()f x 的图象关于直线1x =对称，当211x x >>时，2121[()()]()0f x f x x x --<恒成立，设1()2a f =-，(2)b f =，()c f e =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．c a b >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．a c b >>【答案】C【解析】：∵当x 2＞x 1＞1时，[f （x 2）-f （x 1）]（x 2-x 1）＜0恒成立， ∴()()()122121,1,,0x x x x f x f x ∀∈+∞>-<且，有 ， ∴f （x ）在（1，+∞）上单调递减， 又∵函数f （x ）的图象关于直线x =1对称， ∴a=f （12-）=f (52),∵e>52>2>1, ∴f (e)<f (52)<f (2) 即b>a>c,故选：C.9．（2020·贵州黔东南·高三三模）已知函数()f x 的图象关于点()1,0对称，当1x >时，2()5f x x mx =-+，且()f x 在(,0)-∞上单调递增，则m 的取值范围为（ ） A ．[4,)+∞ B ．[2,)+∞C ．(,4]-∞D ．(,2]-∞【答案】C【解析】函数()f x 的图象关于点()1,0对称且在(,0)-∞上单调递增，所以()f x 在(2,)+∞上单调递增，所以对称轴22m≤，即4m ≤.故选：C 10．（2020·湖北黄州·黄冈中学三模）方程()222(1)(3)x xx x y e e ----=+的曲线有下列说法：①该曲线关于2x =对称； ②该曲线关于点(2,1)-对称；③该曲线不经过第三象限；④该曲线上有无数个点的横､纵坐标都是整数. 其中正确的是（ ） A ．②③ B ．①④ C ．②④ D ．①③【答案】D【解析】因为曲线方程为()222(1)(3)x xx x y e e ----=+，而220x x e e --+>恒成立，故等价于()()()22213x xx x y f x ee----==+.①因为()()()()21122xxx x f x f x e e-+-+==-+，故该曲线关于2x =对称；②要该曲线关于()2,1-对称，则需满足()()2212f x f x ++-=-，而由①中所求，显然()()22f x f x ++-不是常数，故该曲线不关于()2,1-对称； ③当0x <时，()()2130x x -->，且220x x e e --+>，则()0f x >恒成立， 故该曲线不经过第三象限；④容易知()()()21,10,30f f f =-==，此外该曲线上没有其它横纵坐标都是整数的点. 事实上，本题可以利用导数和函数对称性可知，函数图像如下所示：，则容易知该曲线的各种性质. 故选：D.11．（2020·湖南长沙一中三模）设函数()f x 的定义域为R ，()()f x f x -=，()()2f x f x =-，当[]01x ∈，时，()3f x x ＝，则函数()()g x cos x f x π-＝在区间13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上零点的个数为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】C【解析】由()()f x f x -=，得()f x 的图象关于y 轴对称. 由()()2f x f x =-，得()f x 的图象关于直线1x =对称.当[]01x ∈，时，()3f x x ＝，所以()f x 在[]1,2-上的图象如图. 令()()0g x cos x f x π-=＝，得()cos x f x π=，两函数()y f x =与y cos x π=的图象在13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的交点有5个.故选：C.12．（2020·云南省下关第一中学三模）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()1f 3x f x +=-，且()3y f x =+为偶函数，若()f x 在()0,3内单调递减，则下面结论正确的是（ ）A ．()()()4.5 3.512.5f f f -＜＜B ．()()()3.5 4.512.5f f f -＜＜C ．()()()12.5 3.5 4.5f f f -＜＜D ．()()()3.512.5 4.5f f f -＜＜【答案】B【解析】∵函数()f x 满足()()13f x f x +=-，∴()()163f x f x +=-+=()1f x 1f x -=-（）， ∴f （x ）在R 上是以6为周期的函数，∴f （12.5）＝f （12+0.5）＝f （0.5），()()()4.5 4.56 1.5f f f -=-+=又()3y f x =+为偶函数，∴f （x ）的对称轴为x ＝3，∴f （3.5）＝f （2.5）， 又∵0＜0.5＜1.5＜2.5＜3，且()f x 在（0，3）内单调递减，∴f （2.5）＜f （1.5）＜f （0.5） 即f （3.5）＜f （-4.5）＜f （12.5），故选B ．13．（2020·福建高三三模）已知定义在R 上的函数()f x 的对称中心为()2,0，且当[2,)x ∈+∞时，2()2f x x x =-+，则不等式()f x x >的解集为（ ）A．⎛ ⎝-⎭∞ B．⎫⎪⎝+⎭∞⎪ C．⎫⎪⎝+⎭∞⎪ D．⎛ ⎝-⎭∞ 【答案】D【解析】依题意知()f x 图象关于点(2,0)对称， 作出()f x 图象如图，可知()f x 在R 上为减函数，由图象可得(,2]x ∈-∞时，()(4)(2)(4)f x f x x x =--=--，由(2)(4)x x x x --=⇒=或x 舍去)， 由图象可知()f x x >的解为⎛ ⎝-⎭∞，故选：D .14．（2020·广东濠江·金山中学高三三模）已知函数()f x （x ∈R ）满足()()4f x f x -=-，若函数21x y x +=与()y f x =图像的交点为()11,x y ，()22,x y ，…，(),m m x y ，则()1mi i i x y =+=∑（ ）A ．0B ．mC ．2mD ．4m【答案】C【解析】因为函数()f x （x ∈R ）满足()()4f x f x -=-，即函数()f x （x ∈R ）满足()()22f x f x -+=，所以()y f x =是关于点(0,2)对称，函数21x y x +=等价于12y x =+， 所以函数21x y x +=也关于点(0,2)对称，所以函数21x y x+=与()y f x =图像的交点为()11,x y ，()22,x y ，…，(),m m x y 也关于点(0,2)对称，故交点()11,x y ，()22,x y ，…，(),m m x y 成对出现，且每一对点都关于(0,2)对称，故()12121()()0422mi i m m i mx y x x x y y y m =+=+++++++=+⨯=∑. 故选：C.。
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函数为
f ( x)
= loga (
c x
+ b) ,所以有 :
定理 9 函数
f ( x)
= loga (
c x
+ b) ( a > 0, a≠1, c
≠0,
b > 0)的图像关于点
(
-
c 2b
,
loga b)成中心对称.
定理 10 函数
f ( x)
= loga (
c x
- b) ( a > 0, a≠1,
同理可证 :函数 x - a = f ( y + a)的图像上任一点 关于直线 x - y = a的轴对称点也在函数 y = f ( x)的 图像上. 故定理 5中的 ( 3)成立.
推论 函数 y = f ( x)的图像与 x = f ( y)的图像关 于直线 x = y成轴对称. 3 几个特殊复合函数的对称性
( 2)函数 y = f ( x) 与 a - x = f ( a - y) 的图像关 于直线 x + y = a成轴对称 ;
( 3)函数 y = f ( x)与 x - a = f ( y + a)的图像关于 直线 x - y = a成轴对称.
定理 4与定理 5中的 ( 1 ) ( 2)证明留给读者 , 现 证定理 5中的 ( 3) .
f ( 4) = ( ) .
定理 1 函数 y = f ( x) 的图像关于点 A ( a, b) 对称的充要条件是 f ( x) + f ( 2a - x) = 2b.
证明 (必要性 )设点 P ( x, y) 是 y = f ( x) 的图 像上任一点 , 因点 P ( x, y) 关于点 A ( a, b) 的对称点 Q ( 2a - x, 2b - y) 也在 y = f ( x) 图像上 ,则
10 8
λ 1
+
5 λ
-8
1
10 (
λ 1
-
λ 2
)
8-
λλ 12
≥
2 3
>
5 8
,故
8
-
λ 2
-
5 λ
2
5 λλ .
12
5 λλ
> 0.
12
因此 S (λ1 ) - S (λ2 ) < 0, 所 以 S (λ) 在 区 间
2 3
,
3 4
内单调递增.
从而 ,对于 λ∈
2 3
,
3 4
,则当 λ = 2 时 ,所用 3
证明 点 P ( x0 , y0 ) 是 y = f ( x) 图像上任一点 , 其关于直线 x - y = a 的对称点为 Q ( x1 , y1 ) , 则 y0 = f ( x0 ) , x1 = a + y0 , y1 = x0 - a,
∴x0 = a + y1 , y0 = x1 - a. 代入 y0 = f ( x0 )之中得 x1 - a = f ( a + y1 ) ,知点 Q ( x1 , y1 )在函数 x - a = f ( y + a)的图像上.
(3 )
又函数 y = f ( x)图像关于直线 x = b成轴对称 ,
有 f ( 2b - x) = f ( x) ,代入 ( 3 )得
f ( x) = 2c - f [ 2 ( a - b) + x ].
(3 3 )
用 2 ( a - b) - x代 x得
f [ 2 ( a - b) + x ] = 2c - f [ 4 ( a - b) + x ], 代入 ( 3 3 )得 f ( x) = f [ 4 ( a - b) + x ].
10
8
λ+
5 λ
,
当
8
λ=
5即 λ
λ
=
5 8
5 8
< 1 时 , S 取得最小值 ,此
时 ,画面的高为 x =
4840 λ
= 88cm,宽为 λx =
5 8
·88
= 55cm.
如果 λ∈
23 ,
34
S 的表达式 ,得 :
S (λ1 ) - S (λ2 )
,Hale Waihona Puke 设2 3≤λ1<λ2
≤
3 4
, 则由
= 44 = 44 由于
纸张面积最小.
评注 本题取材于现实生活中的实际问题 , 重
点考查建立函数关系式 、求函数最值的技能技巧和
运用所学数学知识解决实际问题的能力. 建立起函 数关系式以后 ,为求函数的最小值 ,不等式的知识在 这里发挥了工具作用.
综上可知 ,不等式作为中学阶段的重要内容和 求解数学问题的重要工具 , 在高考命题中被淋漓尽 致地体现出来了 , 它所涉及的内容的深度和广度是 其它章节的知识和内容所无法相比的. 因此 ,要想在 高考中获得理想的成绩 , 必须高度重视不等式知识 的复习和研究 , 既要掌握好不等式中的基本题型的 解法 ,更要关注不等式与其它数学知识融合在一起 的综合问题与应用问题的解法 , 强化运用数学思想 方法指导解题的意识 , 提高应用不等式的知识解题 的能力.
函数对称性及其在解题中的应用
郑建雄
(浙江省绍兴县鲁迅中学 312008)
函数是高中数学教学的核心内容 , 对称性是函 数图像的重要性质 , 对称关系不仅广泛存在于数学 问题之中 ,而且利用对称性往往能更简捷地使问题 得到解决. 考查对称性能有效地考查学生的逻辑思 维能力 、空间想象能力 、分析问题和解决问题的能 力 ,因而是高考和竞赛中命题的热点和重点. 本文拟 通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性等 方面来探讨函数对称性及其在解题中的应用. 1 函数自身对称性的探究
c )成中心对称. 2b
定理 8的证明留给读者 ,下面证明定理 7.
证明 函数
f ( x)
=
ax
c -
(a > 0且 b
a ≠1,
c≠0,
b
> 0) ,
∵f ( x)
+ f ( 2 loga b -
x)
=
ax
c -
b
+
c a2 logab -
x
-
b
= ax
c -
b + b2
cax - bax
=
-
c, b
c≠0, b > 0)的图像关于点 ( 2cb, loga b)成中心对称. 定理 11 已知一次函数 f ( x) = kx + b ( x∈R) . ( 1) 若 y = g ( x) 为偶函数 ,则复合函数 F ( x) =
g [ f ( x) ]的图像关于直线 x = - b 中心对称 ; k
( 2)若函数 y = f ( x)图像同时关于直线 x = a和 直线 x = b成轴对称 ( a≠b) ,则 y = f ( x)是周期函数 ,
且 2 | a - b |是其一个周期 ; ( 3)若函数 y = f ( x)图像既关于点 A ( a, c)成中心
对称又关于直线 x = b成轴对称 ( a≠b) ,则 y = f ( x)是 周期函数 ,且 4 | a - b |是其一个周期.
2006年第 6期 数 学 教 学 研 究
31
点 P与点 Q 关于点 A ( a, b)对称 ,充分性得证. 推论 函数 y = f ( x)的图像关于原点 O 对称的
充要条件是 f ( x) + f ( - x) = 0. 定理 2 函数 y = f ( x) 的图像关于直线 x = a对
由定理
1可知函数
f ( x)
=
ax
c -
( a > 0, b
a ≠1,
c
≠0, b > 0)的图像关于点 ( loga b,
-
c )成中心对称 , 2b
因为函数
f ( x)
=
ax
c -
( a > 0, a≠1, c≠0, b > 0)的反 b
32
数 学 教 学 研 究 2006年第 6期
于点 ( - d , a )成中心对称. cc
定理
7 函数
f ( x)
=
ax
c -
( a > 0, a ≠1, c≠0, b b
> 0)的图像关于点 ( loga b,
-
c )成中心对称. 2b
定理
8 函数
f ( x)
=
ax
c +
(a b
>
0,
a ≠1,
c≠0,
b
> 0)的图像关于点
(
loga b,
2b - y = f ( 2a - x) ,即 y + f ( 2a - x) = 2b. 故 f ( x) + f ( 2a - x) = 2b, 必要性得证.
(充分性 )设点 P ( x0 , y0 )是 y = f ( x)图像上任一 点 ,则 y0 = f ( x0 ) .
∵f ( x) + f ( 2a - x) = 2b, ∴f ( x0 ) + f ( 2a - x0 ) = 2b, 即 2b - y0 = f ( 2a - x0 ) . 故点 Q ( 2a - x0 , 2b - y0 )也在 y = f ( x)图像上 ,而
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数 学 教 学 研 究 2006年第 6期
设画面高为 xcm,宽为 λxcm,则 λx2 = 4840,设纸 张面积为 S,则有
S = ( x + 16) (λx + 10) =λx2 + ( 16λ + 10) x + 160.