第九讲++一次分式函数
一次分式型函数(1课时)
一次分式型函数一、 初中相关知识整理1、 函数的概念：在某个变化的过程中，有两个变量y x ,，如果对于x 的每一个确定的值y 都有唯一确定的值，那么就说x y 是的函数，x 叫做自变量。
（)(x f y x y =的函数可以记作是）；2、 函数表示方法：解析法、列表法、图像法；3、 函数)0(≠+=k b kx y 叫作一次函数，图像是一条直线；当0=b 时，函数)0(≠=k kx y 叫作正比例函数，图像是过原点的直线；4、 函数()0≠=k xk y 叫作反比例函数，图像是由两支曲线组成，当0>k 时，图像分布在一、三象限；当0<k 时，图像分布在二、四象限。
二、 目标要求在高中阶段，我们将会进一步讨论反比例函数的性质，将会遇到“一次分式型函数”，我们通过回顾反比例函数，补充“一次分式”函数，利用平移的思想解决一次分式型函数的图像、性质等。
用例题和练习提高解决反比例函数问题的能力。
通过对问题的探究与解决，提高思维能力，培养勇于探索的科学精神。
三、必要补充 反比例函数()0≠=k xk y 的图像是双曲线，以坐标原点为中心（对称中心），坐标轴为渐近线（无限接近，但永不相交）我们可以称函数)0(≠++=a bax d cx y 为一次分式型函数 ()ab x a bc ad a c b ax a bc d b ax a c b ax d cx y +-+=+-++=++=2（分离常数法） ∴函数b ax d cx y ++=，一般可化为()0≠-=-k mx k n y 的形式，其中k n m ,,是常数，令n y y m x x -=-='',，则''xk y =，这是一个反比例函数。
因此，一次分式型函数)0(≠++=a b ax d cx y ，本质上是一个反比例函数，两者的图像，一般只相差一个平移。
四、例题讲解1基本函数作图例1、画出下列函数的图像：（1）xy 3=；（2）x y 4-=（图略） 2、图像平移例2、指出下列函数的平移变换：（1） 由()2122+-==x y x y 到 （2） 由211-==x y x y 到 （3） 由2121--=-=x y x y 到 解：⑴ 向右平移1个单位，向上平移2个单位;⑵ 向右平移2个单位；⑶ 向右平移2个单位，向上平移2个单位例3、请你说明函数232++=x x y 的图象与xy 1=的图象的关系。
一次分式函数
一次分式函数
一次分式函数是一类非常重要的函数，在数学中扮演着非常重要的角色。
它是一个由有理分式组成的连续函数，可以表示为P(x)/Q(x)，其中P、Q是两个多项式。
一次分式函数拥有非常强大的表示能力，它既可以表示连续函数，也
可以表示离散函数。
它是一种图形化函数，因此可以很容易地通过绘
图来理解函数的性质。
它也可以用来分析函数的局部特点，比如极值、拐点和波动性等，从而了解函数的变化趋势。
一次分式函数也可以用来保存数据，它可以把数据表示为函数，从而
可以更精确地描述和分析数据的性质。
因此，一次分式函数也常常被
用来作为数据分析的工具。
一次分式函数也可以用来定义不同的运算操作，比如取余运算、乘方
运算、对数运算和乘法等。
它们对于实现复杂算法有着重要的意义。
总之，一次分式函数在数学中应用广泛，它可以把复杂的数据和运算
表示为一个简单的函数，从而使得精确分析更加容易。
因此，一次分
式函数在数学中扮演着非常重要的角色，不仅在数学学科中，而且在
各种科学和工程领域都有广泛的应用，对人类的发展和进步起着重要
的作用。
一次分式函数
归纳： 图象向右平移1个单位； 图象向下平移2个单位，等等．
联系和反比例函数的关系
提出问题2：作函数 的图象，并归纳一次型分式函数 图象与函数函数 的图象的关系是什么？
一次分式型函数 （ ），本质上是一个反比例函数．两者的图象，一般只相差一个平移．作函数 的图象可用“二线一点”法． 和 是双曲线的两条渐近线，点 是图象的中心对称点．
学生：反函数法、单调性法、分离系数法等求解，
一题多解
例4已知函数 ，其中 。
(1)当函数 的图象关于点P(－1，3)成中心对称时，求a的值及不等式 的解集；
(2)若函数 在(－1,+ )上单调递减，求a的取值范围.
通过例题体会综合考查一次分式函数图象和性质的应用
7、教学评价设计：一次分式函数问题在高考试题中频繁出现，尤其是在近几年，各地实行自主命题后，高考试题更是百花齐放，一次分式函数试题的出现频率就更高。但不管怎样，只要我们抓住了其性质，一次分式函数问题就可迎刃而解。这样的补充课是及时有用的。
激发学习兴趣，形成积极主动的学习方式;突出数学的人文价值，提高数学文化品味;注重构建学生共同的知识基础；让学生成为课堂学习的主体，教师成为课堂上的主持人，把思考，讨论，研究的时间还给学生，让教师成为独具慧眼的发现者，善于发现学生的长处，成为学生的热情观众，精彩时报以掌声，给予充分的肯定，失误时，评论切磋，提出中肯的意见。
对于一次型分式函数 图像作法有几步？
（1）先确定x与y的取值范围： ， ，即找到双曲线的渐近线 ， ；
（2）再取与一个坐标轴的交点确定图象在“一、三象限”还是在“二、四象限”；
（3）根据双曲线的大致形状画出函数的图象
归纳总结
例3.（考查一次分函数的定义域和值域）求函数y= 的值域.
5一次函数与一次分式型函数
5、一次函数与一次分式型函数一、知识巩固1、一次函数：y=kx+b 为一次函数，其图象是一条直线2、反比例函数xk y =（0≠k ）的图象是双曲线，以坐标原点为中心（对称中心），以坐标轴为渐近线（无限接近，但永不相交）． 我们可以称函数bax d cx y ++=（0≠a ）为一次分式型函数． ∵b ax d cx y ++=b ax a bc d b ax a c +-++=)(ab x a bc ad a c +-+=2， ∴函数b ax d cx y ++=，一般可以化为mx k n y -=-（0≠k ）的形式，其中k n m ,,是常数．令m x x -='，n y y -='，则''x k y =，这是一个反比例函数． 因此，一次分式型函数b ax d cx y ++=（0≠a ），本质上是一个反比例函数．两者的图象，一般只相差一个平移．二、典例分析例1、画出下列函数的图象：（1）12+-=x y ；（2）xy 3=． 例2、函数y=123++x x 的图象可由函数y=x 1的图象通过怎样的变换得到？例3、画出函数212--=x x y 的图象，并说明其定义域、值域单调性与零点。
例4、函数y=1---a x x a 的图象关于点（4，-1）成中心对称，求实数a 的值．三、高考赏析（2012年高考（天津文））已知函数211x y x -=-的图像与函数y kx =的图像恰有两个交点,则实数k 的取值范围是________四、练习提高1、若函数xk y =的图象经过点)5,2(-A ，则函数的图象分布在（ ） （A ）一、四象限 （B ）二、三象限 （C ）一、三象限 （D ）二、四象限 2、若函数22-=x y （A x ∈）的值域为}2|{-<y y ，则A 表示的区间是（ ） （A ）)2,1( （B ）)3,2( （C ）)2,(--∞ （D ）)1,(-∞3、函数y=11+x 图象的对称中心是（ ） （A ）（1，0） （B ）（1，0） （A ）（0，1） （A ）（0，1）4、函数y=1222++x x 中，函数值y 的取值范围是（ ） （A ）1＜y ≤2（B ）y ≤2 （C ）y ≤1 （D ）0＜y ≤2 5、函数212--=x x y 的图象的对称中心是 ． 6．若函数21++=x ax y 在),2(∞+-上是增函数，则实数a 的取值范围是 ． 7．函数y=33-x x 中，函数值y 的取值范围是 。
一次分式型函数
一次分式型函数
一、课前准备：
1．一次分函数的定义
我们把形如 的函数称为一次分函数。
2．一次分函数的图象是双曲线
3.一次分函数 的性质
①．定义域： ；②．值域： ；
③．对称中心： ；④．渐近线方程： 和 ；
⑤．对称轴方程： 和
⑥单调性：当ad>bc时，函数在区间 和 分别单调递减；
当ad<bc时，函数在区间 和 分别单调递增；
7.函数 （ ），则 的值域是________．
8．函数y= 的值域．
9．函数y= （ ）的值域．
10．函数y= 的对称中心是．
11．函数y= 的单调增区间是．
12．若函数 在区间 上的值域为 ，则 __________．
13.若函数 的图象关于直线y＝x对称，则实数a＝.
2．．熟练掌握分离常数法，并会用图象的平移作一次分式型函数的图象
步骤：先用分离常数法将函数解析式化为 ，再由 图象平移得到．
例．作函数 的图象，
练习：作函数的图象： ． ．
1．函数 的图象是．
．函数 的单调增区间是．
5．函数 的对称中心是．
6.函数 （ ），则 的值域是________．
二、教学目标
1．会用“二线一点”法作一次分式型函数的图象
步骤：（1）先确定x与y的取值范围： ， ，即找到双曲线的渐近线 ， ；（2）再取与一个坐标轴的交点确定图象在“一、三象限”还是在“二、四象限”；
或当ad>bc时，在“一、三象限”；当ad<bc时，在“二、四象限”。
（3）根据双曲线的大致形状画出函数的图象．
一次分式函数
是
．
6．设曲线 y x 1 在点（3，2）处的切线与直线 ax y 1 0 垂直，则 a=
．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x 1
7．若函数 y x b 在区间 a,b 4 b 2 上的值域为 2,，则 ab _____________．
x2
8．若函数 f (x) x 1 ，则函数 gx f 4x x 的零点是______________．
x3
（ 3） 已 知 函 数 f x 2x 1 ， 若 x N ， f x f 5恒 成 立 ， 则 a 的 取 值 范 围
xa
是
．
（4）若函数
f
(x)
2x
1
的图象关于直线
y＝x
对称，则实数
a＝
.
x a
【例
2】设 函 数
f
(x)
x 1 x
(x R)
，区 间
M=[a，b](a<b)，集 合
N={
y
y
f (x), x M
}，
则使 M=N 成立的实数对(a，b)有几个？
【例 3】已知函数 f (x) ax 2 a ，其中 a R 。 x 1
(1)当函数 f (x) 的图象关于点 P(－1，3)成中心对称时，求 a 的值及不等式 f (x) x 1
的解集；
(2)若函数 f (x) 在(－1,+ )上单调递减，求 a 的取值范围.
a
( b , c ) aa
xb a
o y cx a
ad bc
2.2
定义域：
x
x
b a
；
2.3 值域： y
y
c ；
a
一次分式函数洋葱数学
一次分式函数洋葱数学
【实用版】
目录
1.分式函数的定义与特点
2.洋葱数学的概念与应用
3.分式函数与洋葱数学的关联
4.结论
正文
1.分式函数的定义与特点
分式函数是指函数的形式为分子分母都是代数式的函数，它是一种特殊的函数形式。
分式函数的特点是，当分母为零时，函数值不存在。
分式函数在数学中有着广泛的应用，尤其在微积分、概率论、物理等领域有着重要的作用。
2.洋葱数学的概念与应用
洋葱数学是一种以图形化方式展示数学概念的方法，因其图形酷似洋葱而得名。
它通过将复杂的数学概念分解成简单的图形，使得数学的学习变得更加直观和有趣。
洋葱数学的应用范围广泛，从小学到大学，甚至在科研领域都有着广泛的应用。
3.分式函数与洋葱数学的关联
分式函数与洋葱数学有着密切的关联。
分式函数的图形通常使用洋葱数学来表示，这样可以直观地展示分式函数的性质和特点。
例如，分式函数的零点、极值、单调性等特点，都可以通过洋葱数学的图形进行直观的展示。
4.结论
分式函数和洋葱数学都是数学中重要的概念和工具，它们在数学的学习和研究中都有着重要的作用。
分式函数的图像与性质
ax + b 【反思】 y = ax + b(a ,b ,c ,d R )的图像绘制需要考虑哪些要素？该函数的单调性由哪些 cx + d条件决定？ax + b 小结】 y = ax + b(a ,b ,c ,d R )的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到， cx +d分式函数的图像与性质学习过程 1、分式函数的概念 ax 2+bx +c 形如y =ax +bx +c (a ,b ,c ,d ,e , f R )的函数称为分式函数。
如y = 2x +1，y = x 2 +1 dx 2 +ex +f x 2 + x x -24x +1 y = 等。
x +3 2、分式复合函数形如y =a [f (x )] +bf (x )+c (a ,b ,c ,d ,e , f R )的函数称为分式复合函数。
如y = 2+1 d [f (x )]2 +ef (x )+f sin x + 2 x -1+2y = ， y = 等。
3sin x -3 x +3 1-2x ※ 学习探究 探究任务一：函数 y = ax + b (ab 0) 的图像与性质 xax + b 问题1： y = ax + b(a ,b ,c , d R )的图像是怎样的？ cx + d 2x -1例1、画出函数y = 2x -1的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。
x - 1【分析】y = 2x -1= 2(x -1)+1= 1 + 2，即函数y = 2x -1的图像可以经由函数y = 1 x -1 x -1 x -1 x - 1 x的图像向右平移 1 个单位，再向上平移 2个单位得到。
如下表所示： 1y = x x -1 x -1 值域：(-,2)U (2,+)； 对称中心：(1,2)。
需要借助“分离常数”的处理方法。
ax + b 分式函数y = ax + b（a,b,c, d R）的图像与性质cx + d（1）定义域：｛x| x- ｝；c（2）值域：｛y| y a｝；c（3）单调性：单调区间为（-,-d）,（-d,+）；ccda da（4）渐近线及对称中心：渐近线为直线x= - , y= ，对称中心为点（- , ）；cc cc（5）奇偶性：当a = d = 0时为奇函数；（6）图象：如图所示问题 2：y = ax + b（ab0）的图像是怎样的？x例 2、根据y= x与y = 1的函数图像，绘制函数y=x+1的图像，并结合函数图像指出函xx数具有的性质。
一次函数的图象课件ppt
一次函数与其他数学知识的结合应用
一次函数与二次函数的结合
在解决某些数学问题时，可能需要将一次函数和二次函数结合起来，例如求函数 的极值点。
一次函数与微积分的结合
在解决某些物理问题时，可能需要将一次函数和微积分结合起来，例如求物体的 运动轨迹。
04
CATALOGUE
一次函数的变体
一次函数的平移
01
关于y轴对称
一次函数y=kx+b关于y轴对称的函数 为y=kx+b。
05
CATALOGUE
习题与解答
习题
题目1
已知一次函数 y = kx + b (k ≠ 0)，若 k > 0，b > 0，则该函数的图象经过哪些象限？
题目2
已知一次函数 y = kx + b (k ≠ 0)，若 k < 0，b > 0，则该函数的图象经过哪些象限？
02
CATALOGUE
一次函数的图象
一次函数图象的形状
一次函数图象是一条直线
一次函数的一般形式为y=kx+b，其中k和b为常数，当k≠0时，函数的图象是 一条直线。
斜率与函数图象的关系
斜率k决定了直线图象的倾斜程度，当k>0时，图象从左下到右上倾斜；当k<0 时，图象从左上到右下倾斜。
一次函数图象的特点
确定函数的参数
根据已知条件，求出一次函数表达式中的参数k和 b。
检验作图结果
通过代入特殊值的方法检验作图结果的正确性。
03
CATALOGUE
一次函数的应用
一次函数在实际生活中的应用
速度与时间的关系
一次函数可以表示速度与时间的 关系，例如汽车的速度随时间的
一次函数解析式、图像性质
个性化教学辅导教案⑤判断两个变量是否有函数关系,不仅要有关系式，还要满足上述确定的对应关系．x 取不同的值，y 的取值可以相同．例如:函数2(3)y x =-中，2x =时，1y =；4x =时，1y =2.一次函数：形如y=kx+b (k ≠0, k, b 为常数)的函数。
注意：（1）k ≠0,否则自变量x 的最高次项的系数不为1； （2）当b=0时，y=kx ，y 叫x 的正比例函数。
3.正比例正比例函数的定义：一般地，形如y=kx(k 是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数. 注意：①注意k 是常数，k≠0的条件，当k=0时，无论x 为何值，y 的值都为0，所以它不是正比例函数。
②自变量x 的指数只能为1 新知识概要函数图象的概念：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应诃子分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。
注意：函数解析式与函数图象的关系（1）满足函数解析式的有序实数对为坐标的点一定在函数图象上； （2）函数图象上点的坐标满足函数解析式． 图象：一次函数的图象是一条直线，（1）两个常有的特殊点：与y 轴交于（0，b ）；与x 轴交于（-，0）（2）由图象可以知道，直线y=kx+b与直线y=kx平行，例如直线：y=2x+3与直线y=2x-5都与直线y=2x平行。
3、性质：(1)图象的位置:(2)增减性：对于一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0），当k﹥0时，y随x的增大而增大；当k﹤0时，y随x的增大而减小。
同步练习1.下列函数中，y随x的增大而增大的是（ C ）A. y=–3xB. y= –0.5x+1C. y= x– 4D. y= –2x-72. 一次函数y=(a+1)x+5中，y的值随x的值增大而减小，则a满足________ .（a< –1）3. 对于函数y=5x+6,y的值随x的值减小而______（减小）4. 已知A(-1, y1), B(3, y2), C(-5, y3)是一次函数 y=-2x+b图象上的三点，用“<”连接y1, y2, y3为_________ .求一次函数解析式的方法求函数解析式的方法主要有三种(1)由已知函数推导或推证(2)由实际问题列出二元方程，再转化为函数解析式，此类题一般在没有写出函数解析式前无法（或不易）判断两个变量之间具有什么样的函数关系。
一次函数解析式及其图像ppt课件
4根据一次函数的图象，说出解析式y=kx+b中
o
k与b的取值范围．K 0, b 0,
k<0 b>0
17
;
逆向思维 小试牛刀 已知函数 y = kx的图象在二、四象限，那么函数y = kx-k的图象可能是（ ）
B
y
y
y
0
x 0
x
0x
(A )
(B)
（C)
y
0x (D)
18
;
摩拳擦掌
大显身手
已知一次函数 y=(1-2m)x+m-1 , 求满足下列条件的m的值：
课堂检测：
（4）对于函数y=减5x少+6,y的值随x的值减小而______.
（5）函数y=2x - 4与y轴的交点为 （ 0，-4
），与x轴交于（ ） 2， 0
（6）已知一次函数y=(1－2k)x+k的函数值y随x的增大而增大，且图象经过一、二、 三象限，则k的取值范围是__________.
0﹤k﹤1/2
上
2
（0，-2） 下
2
9
y
y=x+2
.
.
..
.... .
.
.0 .
. 2
.
y=x y=x-2
x
.
;
再创佳绩
.探究 比较它们的函 数解析式与图 象，你能解释 这是为什么吗？
一次函数y=kx+b的图象是经过(0，b)点且平行于 直线y=kx的一条直线，
(０,b)
y
y=x+2
3 02
y=x-2 x
我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个
第1节 一次型分式函数的图象性质-解析版
第一章 函数与导数第1节 一次型分式函数的图象性质知识与方法我们把函数()ax bf x cx d +=+()0,c ad bc ≠≠称为一次型分式函数，这类函数的图象一定是双曲线，且有垂直渐近线d x c =-，水平渐近线a y c =，对称中心,d a c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭.在理解并熟悉了这些性质的基础上，可以快速地作出函数()y f x =的图象，解决一些常见的问题.典型例题【例1】函数()211x f x x -=-在[]2,3上的值域为________. 【解析】()f x 图象的两条渐近线分别为1x =和2y =，且()01f =，据此可作出()f x 的大致图象如图，由图可知()f x 在[]2,3上，所以()()max 23f x f ==，()()min 532f x f ==，故()f x 在[]2,3上的值域为5,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【答案】5,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦变式 函数()43sin 2sin xf x x+=-的值域为_________.【解析】设sin t x =，则11t -≤≤，且()432tf x t+=-，函数432ty t +=-图象的两条渐近线分别为2t =和3y =-，且过点()0,2，所以其大致图象如图所示，由图可知432t y t +=-在[]1,1-上，故max 7y =，min 13y =，从而函数()f x 的值域为1,73⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【答案】1,73⎡⎤⎢⎥⎣⎦【例2】（2021·新课标Ⅰ卷）设函数()11xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是（ ）（A ）()11f x -- （B ）()11f x -+ （C ）()11f x +- （D ）()11f x ++【解析】解法1：A 项，()()()()11221111111x xf x f x x x-----=-=⇒--+-不是奇函数，故A 项错误； B 项，()()()()1121111111x f x f x x x---+=+=⇒-++-是奇函数，故B 项正确；至此本题已可选出答案， C 项，()()()()112211111112x x f x f x x x -+++-=-=⇒+-+++不是奇函数，故C 项错误； D 项，()()()()11211111112x f x f x x x -+++=+=⇒+++++，不是奇函数，故D 项错误. 解法2：由题意，()f x 的图象的对称中心为()1,1--，故将其右移1个单位，上移1个单位，得到的图象关于就原点对称，恰好为奇函数，即()11f x -+为奇函数，故选B. 【答案】B【例3】函数()52x f x x m-=+的图象关于直线y x =对称，则m =_________. 【解析】由题意，函数()52x f x x m -=+的对称中心为点1,22m A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为()f x 的图象关于直线y x =对称，所以点A 在直线y x =上，从而122m=-，故1m =-.【答案】1-.【例4】函数()xf x x a=-在()1,+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是________.【解析】由题意，()f x 的图象的两条渐近线分别为x a =和1y =，如图，要使()f x 在()1,+∞上，首先应有1a ≤，其次，()2212f a=<-，所以0a <，故a 的取值范围是(),0-∞.【答案】(),0-∞强化训练1.（★★）函数()125xf x x -=+在[]2,0-上的最大值为_______. 【解析】()f x 的图象的两条渐近线分别为52x =-和12y =，且()105f =，据此可作出()f x 的大致图象如图，由图可知()f x 在[]2,0-上，所以()()max 23f x f =-=.【答案】32.（★★）函数()2sin 2sin 4xf x x -=+的值域为_________.【解析】设sin t x =，则11t -≤≤，且()224t f x t -=+，函数224t y t -=+的两条渐近线分别为2t =-和12y =-，且过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭，所以其大致图象如图所示，由图可知函数224ty t -=+在[]1,1-上， 从而()()max2132142y --==⨯-+，min 2112146y -==⨯+，故函数()f x 的值域为13,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【答案】13,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦3.（★★★）函数()22x kf x x +=-与()3log 2y x =-在()3,+∞上有相同的单调性，则实数k 的取值范围是________.【解析】显然()3log 2y x =-在()3,+∞上，由题意，()22x kf x x +=-在()3,+∞也， 函数()22x kf x x +=-的两条渐近线为2x =和2y =，其大致图象如图所示，由图可知应有()362f k =+<，从而4k <-. 【答案】(),4-∞-4.（★★★）在数列{}n a 中，1n n ca n +=+()c ∈R ，则对于任意的正整数n ，有（ ）（A ）1n n a a +< （B ）1n n a a +> （C ）n a 与1n a +的大小与c 有关 （D ）n a 与1n a +的大小与n 有关【解析】解析：设()1x cf x x +=+，则函数()y f x =的图象的渐近线为1x =-和1y =，且过点()0,c ，所以()y f x =的大致图象有三种可能，如图，若为图1，则1c <，此时()f x 在()1,-+∞上，因为()n a f n =，所以{}n a 是递增数列，从而1n n a a +<； 若为图2，则1c >，此时()f x 在()1,-+∞上，所以{}n a 是递减数列，从而1n n a a +>；若为图3，则1c =，所以()1f x =()1x ≠-，从而1n a =，故1n n a a +=，综上所述，n a 与1n a +的大小与c 有关，选C.【答案】C5.（★★★）已知定义在R 上的函数()f x 满足()222,012,10x x f x x x ⎧+≤<⎪=⎨--≤<⎪⎩，且()()2f x f x +=，()252x g x x +=+，则方程()()f x g x =在[]7,3-上的实根之和为（ ）（A ）9- （B ）10- （C ）11- （D ）12-【解析】画出函数()y f x =的图象如图所示，函数()y g x =的图象的两条渐近线分别为2x =-和2y =，且过点()1,3D -，其图象如图，由图可知两个函数的图象在[]7,3-上共有5个交点，分别为图中的A 、B 、C 、E 、F ，其中A 和F 、B 和E 、C 和D 两两关于点()2,2-对称，所以这六个点的横坐标之和为4312-⨯=-，但()f x 的图象上不包括点D ，且点D 的横坐标为1-，故两个函数图象交点的横坐标之和为()12111---=-，即方程()()f x g x =在[]7,3-上的实根之和为11-. 【答案】C。
一次分式型函数值域
一次分式型函数值域
分式型函数是指形如$f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$的函数，其中$a,b,c,d$为常数且$c\neq0$。
对于一次分式型函数的值域求解，可以采用以下方法：
- 当定义域为$R$时，可以采用判别式法求值域。
- 当定义域不为$R$时，需要根据函数关系的特征，采用分离常数法将其转化为标准形式，即$f(x)=\frac{ax+b}{x}$。
此外，还可以利用函数图像来求解值域。
一次分式型函数图像可以经过反比例函数图像平移得出，因此可以画出函数图像，求出其值域。
也可以根据函数单调性，做出函数的大致图像，因为这类函数在第一象限的图像象一个“红对勾”，所以我们称这类函数是对勾函数，通过图像求出其值域。
在求解分式型函数的值域时，需要根据具体函数的特征采用相对应的方法，多思考，举一反三，才能有效地解决问题。
一次分数函数及不动点的应用
一次分数函数及不动点的应用一次分数函数是一类重要的二元余弦型函数，它将复平面上的一条直线映射到数轴上的一段区间，其变换结果能很好地反映出原函数的性质，在数学及其他学科领域中有重要的应用，例如在分析复变函数时可以用到一次分数函数，这样就可以很好地描述复变函数的行为、特性及类似物。
一次分数函数的基本表达式为：y = (ax + b)/(cx + d)，其中a、b、c和d是常数。
它的函数图像具有一条开放的抛物线，其上端点位于原点，下端点位于抛物线上的另一点，这说明它是一个开放的函数。
抛物线的导数可以被表达为：dy/dx = (ad - bc)/(cx + d)^2，由此可知，当c＝0时，一次分数函数的导数为常数，此时抛物线变成一条直线，即斜率为常数，在x轴上可以看到不动点。
由此可见，不动点是一次分数函数中最重要的性质。
不动点在各学科领域中有着重要的应用，这主要归功于收敛性质。
它可以用来描述许多实际科学问题，例如函数在收敛条件下的行为，电力调度中的负荷预测，复变函数的稳定性等。
此外，它还可以用于解决统计学中的分组问题，最大似然估计，热力学和熵的计算等等。
一次分数函数在微积分、工程学和几何学等学科中也有重要的应用。
在微积分中，它是用来解决具有特殊几何性质的问题，如定积分、解微分方程等。
在工程学中，它可以用来处理复杂的函数关系，如磁性调节器、滤镜设计等。
在几何学中，它可以用来计算复形的面积、体积和矩形的面积等。
综上所述可以看出，一次分数函数及不动点在数学及其他学科都有重要的应用，它们在解决复杂函数关系时非常有用，为我们提供了非常有效的方法。
特别是不动点，它可以帮助我们分析函数的收敛性，提供了一种重要的工具来分析实际科学问题。
5.一次分式型函数
2013届高一第一学期数学教案5．一次分式型函数【教学目标】1．通过对反比例函数图象的研究，重新认识反比例函数图象．2．会用图象的平移及“二线一点”法作一次分式型函数的图象．【教学重点】用图象的平移及“二线一点”法作一次分式型函数的图象．【教学难点】用图象的平移及“二线一点”法作一次分式型函数的图象．【教学过程】一．复习1．复习已学过的函数的解析式与图象：一次函数（正比例函数）；二次函数；反比例函数．2．学生谈对反比例函数)0(≠=k xk y 的认识． 二．基本函数作图例1．作下列函数图象（1）xy 3=； （2）xy 2-=．归纳1：反比例函数是以坐标轴为渐近线（无限接近）的双曲线，原点是图象的中心对称点；对于（1），点)3,3(是该双曲线的一个顶点．归纳2：一般地，函数)0(≠=k xk y 的图象是双曲线，以坐标轴为渐近线，原点是图象的中心对称点．当0>k 时图象分布在一、三象限，图象与直线x y =的交点是双曲线的顶点；当0<k 时图象分布在二、四象限，图象与直线x y -=的交点是双曲线的顶点．三．利用平移作图例2．类比函数2x y =的图象到函数2)1(2++=x y 的图象的变换，指出xy 1=由的图象到211--=x y 的图象的变换，并作出函数211--=x y 的图象．归纳：1-→x x 图象向右平移1个单位；2)()(-=→=x f y x f y 图象向下平移2个单位，等等． 练习：指出函数321--=x y 的图象由那个函数经过怎样的平移得到，并作出函数321--=x y 的图象． 例3．作函数123--=x x y 的图象，并归纳一次型分式函数)(d b c a d cx b ax y ≠++=图象与函数函数)0(≠=k xk y 的图象的关系． 归纳：一次型分式函数)(db c a d cx b ax y ≠++=本质上是一个反比例函数，两者的图象一般只相差一个平移． 练习：作函数21++=x x y 的图象． 四．“二线一点”法作图探究 例4．已知函数423-+=x x y ． （1）作函数的图象；（2）并指出函数自变量x（即函数的值域）．（3）x 的取值范围2≠x ，y 的取值范围21≠y 反映在图象上的特点是什么？ （函数图象与直线2=x , 21=y 没有交点，即2=x , 21=y 是对应双曲线的渐近线） （4）找到了双曲线的渐近线，根据双曲线图象的大致形状，只要知道图象在“一、三象限”还是在“二、四象限”就可以画出其大致图象．如何根据函数423-+=x x y 的解析式直接来确定“象限”？（一般找与坐标轴的交点来确定） （5）对于一般的一次型分式函数)(db c a d cx b ax y ≠++=如何来确定渐近线，即确定x 与y 的取值范围？（6）观察例4、例3，发现与系数d c b a ,,,关系．例5．作函数123--=x x y 的图象． 归纳：对于一次型分式函数)(db c a d cx b ax y ≠++=的作法： （1）先确定x 与y 的取值范围：c d x -≠，ca y ≠，即找到双曲线的渐近线c d x -=，ca y =； （2）再取与一个坐标轴的交点确定图象在“一、三象限”还是在“二、四象限”；（3）根据双曲线的大致形状画出函数的图象．练习：用平移法与“二线一点”法分别作函数132+-=x x y 的图象． 五．小结与作业1．一次型分式函数本质上是一个反比例函数，两者的图象一般只相差一个平移．2．作函数)(d b c a d cx b ax y ≠++=的图象可用平移法，也可用“二线一点”法．cd x -=，c a y = 是双曲线的两条渐近线，点),(ca c d -是图象的中心对称点．。
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第九讲 一次分式函数
【要点归纳】 形如)0,(不同时为c a d
cx b ax y ++=
的函数，叫做一次分式函数。
（1）特殊地，)0(≠=k x
k y 叫做反比例函数； （2）一次分式函数)0,(不同时为c a d cx b ax y ++=的图象是双曲线，)0(,≠=-=c c
a y c d x 是两条渐近线，对称中心为（c a c d ,-）（c ≠0）。
【典例分析】
例1 说明函数13+=
x x y 的图象可由函数x y 1=的图象经过怎样的平移变换而得到，并指出它的对称中心。
例2 求函数x x y +-=
11在-3≤x ≤-2上的最大值与最小值。
例3 将函数x
x f 1)(=的图象向右平移1个单位，向上平移3个单位得到函数)(x g 的图象 （1）求)(x g 的表达式；
（2）求满足)(x g ≤2的x 的取值范围。
例4 求函数)0(1
23≥+-=
x x x y 的值域。
例5 函数1
)(-+=x a x x f ，当且仅当-1＜x ＜1时，0)(<x f （1）求常数a 的值；
（2）若方程mx x f =)(有唯一的实数解，求实数m 的值。
例6 已知)0,0(>>=a x x
a y 图象上的点到原点的最短距离为6 （1）求常数a 的值；
（2）设)0,0(>>=
a x x
a y 图象上三点A 、B 、C 的横坐标分别是t ，t+2，t+4，试求出最大的正整数m ， 使得总存在正数t ，满足△ABC 的面积等于t m 。
【反馈练习】
1、若函数y=2/(x-2)的值域为y≤1/3，则其定义域为_____________。
2、函数3
12+--
=x x y 的图象关于点_____________对称。
3、若直线y=kx 与函数5
9++=x x y 的图象相切，求实数k 的值。
4、画出函数1||1--=x x y 的图象。
5、若函数2
1++=
x ax y 在(-2，+∞)是增函数，求实数a 的取值范围。
6、（1）函数1
1-+=x ax y 的定义域、值域相同，试求出实数a 的值； （2）函数1
1-+=x ax y 的图象关于直线y=x 对称，试求出实数a 的值。
第九讲 一次分式函数
【典例分析】
例1 向左平移一个单位，再向上平移三个单位，对称中心为（-1，3） 例2 分离常数得：1
21++-=x y 在-3≤x ≤-2上是减函数， 故 3,2max -=-=y x ；2,3min -=-=y x
例3 （1）123)(-+
=x x g ； （2） 10<≤x 例4 321≤<-y ；提示：逆求法 由)0(123≥+-=x x x y 得 ，0123≥+-=y y x 例5 （1） a=1 (2)223±-=m 或0
例6 （1） a=6 （2） 5 提示：利用根的分布先求出 60<<m
【反馈练习】
1、82≥<x x 或 提示： 法1：解分式不等式； 法2：图象法。
2、对称中心（-3，-2）
3、2511-
-=或k 4、略
5、图象法：2
1>a 6、（1）a=1 (2)a=1。