级数敛散性判断习题

3. 任意项级数审敛法 概念: 概念 为收敛级数 若 若 Leibniz审敛法: 若 审敛法 审敛 则交错级数 收敛 , 且余项 收敛 , 称 发散 , 称 且 绝对收敛 条件收敛
例1. 若级数 证明级数
∞
均收敛 , 且 收敛 .
∞
) 证: Q0 ≤ cn − an ≤ bn − an (n =1, 2 , L , 则由题设
= ∑( ln( k +1) −ln k )
k= 1
n
= ln( n +1) 所以原级数仅条件收敛 .
(4)
) n (n +1 ! (−1 ) nn+1 n= 1
∑
∞
因
un+1 = un
n+2 1 n+1 n →∞ = (1− ) n +1 n +1
所以原级数绝对收敛 .
二、求幂级数收敛域的方法
n+1 2
| un +1 ( x ) | | ( n + 1)2 x 3 n+ 2 | 3 解 lim = lim = 2|x| n n → +∞ | u ( x ) | n → +∞ n | n 2 2 x 3 n −1 | 1 1 收敛域为 − 6 < x < 6 , 2 2
xS ( x ) = ∑ n2 x 3 n = ∑ n( 2 x 3 ) n
例3. 设正项级数 也收敛 . 法1 由题设
和
都收敛, 证明级数
n→ ∞
n→ ∞
limun = limvn = 0 ,
n→ ∞
= lim(un +vn)
根据比较审敛法的极限形式知结论正确. 法2 因 limun = limvn = 0 , ∴lim(un +vn) = 0 ,
n→ ∞ n→ ∞ n→ ∞
n =1 n =1 ∞ n 2 ∞
S( x) =
2x2 (1 − 2 x ) 2
3
x ∈ (− 6
1 2
,6
1 2
)
例３ 求 数∑(n+1)( x −1)n 收 域 和 数 级 敛 及 函 . 解
∞
Q
( n + 1)( x − 1)n 的收敛半径为 R = 1, ∑
n= 0
∞
n=0
收敛域为 − 1 < x − 1 < 1,
习题课
一、数项级数的审敛法 二、求幂级数收敛域的方法 三、幂级数和函数的求法 四、函数的幂级数和傅式级数 展开法
求和 展开
(在收敛域内进行) 时为数项级数; 时为幂级数;
(an,bn 为傅氏系数) 时, 为傅里叶级数.
基本问题：判别敛散； 求收敛域； 基本问题 求和函数； 级数展开.
一、数项级数的审敛法
当x = ± 2时 一般项 un = n 不趋于0, 级数发散; ,
故收敛域为 (− 2 , 2) .
例. 解: 分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数
注意: 此题
∵ 原级数 = ∴ 其收敛半径 R = m R1, R2} = 1 in{ 4
极限不存在
三、幂级数和函数的求法
• 求部分和式极限 • 初等变换法: 分解、套用公式 （在收敛区间内） •逐项求导或求积分
n= 0 n= 0
∞
x −1 x −1 = , = 1 − ( x − 1) 2 − x 求导， 两边再对 x 求导，得
x −1 1 s( x ) = ( )′ = . 2 2− x (2 − x )
例4 解
n2 求 数∑ n 收 域 级 敛 . n=0 x
∞ 1 2 n 设y = , 原级数化为 ∑ n y x n =1
sin nπ1 1 n+1 + (−1 ) ≤ n+1 , n+ 1 π π
∞
lim n n→ ∞
1 1 n+1 = <1, π π
1 ∴∑ n+1 收 , 故原级数绝对收敛. 敛 n= π 1
n +1 (3) ∑(−1 ln ) n n= 1
n
∞
因
单调递减, 且
由Leibniz审敛法知级数收敛 ; ∞ n +1 但对 ∑ln n n= 1
1 当 x = ± 时, e
1 (1+ )n n n un =

e

1 → ≠ 0 (n →∞) e
1 1 因此级数在端点发散 , 故收敛域为(− , ) . e e
un+1(x) 解: 因 lim = lim n→ un (x) ∞ n→ ∞
x2 = 2
x2 当 <1, 即− 2 < x < 2时 级数收敛; ， 2
练习: 练习 求级数
∞ n
的和 .
) ) 1 (−1 [ (2n +1 +1] 解: 原式= ∑ ( 2n +1)! 2 n=0
1 ∞ (−1 n ∞ (−1 n ) ) = ∑ +∑ 2 n=0( 2n)! n=0( 2n +1)!
1 = [cos 1 +sin1] 2
四、函数的幂级数和傅式级数展开法
1. 函数的幂级数展开法 • 直接展开法 — 利用泰勒公式 • 间接展开法 — 利用已知展式的函数及幂级数性质 练习: 练习 1) 将函数 展开成 x 的幂级数. .
1 1 ′ 1 1 ′ 1 ∞ xn ′ ) = ( ⋅ x ) = ⋅ ∑ n =( 解: 2 2 1− 2 2− x (2− x) 2 n=0 2
x 2 n+ 2 1 ∞ x 2n = ∑ ( −1)n − ∑ ( −1)n−1 2n + 1 2 n=1 n n= 0
故存在 N > 0,当n >N 时
从而 再利用比较法可得结论
例4. 设级数
收敛 , 且
问级数
是否也收敛？说明理由. 提示: 提示 对正项级数,由比较判别法可知 但对任意项级数却不一定收敛 . 例如, 取 收敛,
(− ) (−1 n 1 vn = + n n vn (−1 n ) lim =1+ lim =1 n→ un ∞ n→ ∞ n
于是
(−1 n 2n ∞ (−1 n 2n+2 ) ) x +∑ x f (x) =1+ ∑ n= 2n +1 1 n=0 2n +1
∞
(−1 2n ∞ (−1 n 2n+2 ) f (x) =1+ ∑ x +∑ ) x n=12n +1 n=02n +1
n
∞
(−1 n−1 2n ) (−1 2n ) x x +∑ =1+ ∑ n=1 2n −1 n=12n +1
• 标准形式幂级数: 先求收敛半径 R : an 1 R = lim , 或 = lim n an n→ an+1 ∞ R n→∞ 再讨论 x = ±R 处的敛散性 . • 非标准形式幂级数
(自证)
通过换元转化为标准形式 直接用比值法或根值法
练习: 练习
求下列级数的敛散域:
1n an = lim(1+ ) = e 解: n→ ∞ n 1 1 1 ∴R = , 故− < x < 时原级数收敛 . e e e Q lim n n→ ∞
∞
(1)
对于级数（1） 对于级数（1）
2 | a n+1 | ( n + 1) lim = lim = 1, 2 n → +∞ | a | n→ +∞ n n
级数（ 级数（1）的收敛域为 − 1 < y < 1, 原级数的收敛域为 , x > 1, 或 x < −1.
例5 解
x2n 求 数∑ 级 收 域 和 数 敛 及 函 . n n=0 (2 )!
2 n+ 2 | un+1 ( x ) | ( 2n)! x lim = lim ⋅ 2n = 0 n → +∞ | u ( x ) | n → +∞ ( 2 n + 2)! x n
∞
级数的收敛域为 − ∞ < x < +∞ ,
ex = ∑
n= 0 ∞
xn n!
e−x
( −1) n x n =∑ n! n= 0
据比较审敛法的极限形式, 原级数发散 .
, 原级数发散
(3) ∑
n= 1 ∞ 2 nπ n cos 3 : n
2
0≤
n cos2 nπ 3 2n
n ≤ n, 2
n 1 lim n n = n→ ∞ 2 2
收敛, 故原级数收敛
1 n x lim 10 1 = lim 10 = lim 10 n→ ln n ∞ n→ ln n x→+∞ln x ∞ n x x = lim =L= lim =∞ 9 x→+∞10ln x x→+∞10⋅ 9⋅8⋅L 2 ⋅
1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 正项级数审敛法 必要条件 limun = 0
n→ ∞
不满足
发 散
满足
un+1 比值审敛法 lim un = ρ ρ =1 n→ ∞
根值审敛法 lim n un = ρ
n→ ∞
部分和极限 不定 比较审敛法 积分审敛法
用它法判别
ρ <1
收 敛
ρ >1
发 散
∞ n
∞
1 1 2n =1+ ∑(−1 − ) x 2n +1 2n −1 n= 1
∞
n
(−1 ) 2n =1+ 2∑ x , 2 n=11− 4n
n
∞
补充
例1 求级数 解
∑(3n−1)x
n=1
∞
2n−1
敛域及和函数 . 收
2n+1 | un + 1 ( x ) | | ( 3n + 2) x | lim = lim = x2 n → +∞ | u ( x ) | n→ +∞ | ( 3n − 1) x 2 n −1 | n
又 arctan x = ∫
x 2 0
x
0
1 dx 2 1+ x
4 6 n
( −1 ≤ x ≤ 1)
= ∫ [1 − x + x − x + L + ( −1) x + L]dx
2n
x3 x5 x7 x 2 n+1 = x − + − + L + ( −1)n +L 3 5 7 2n + 1 ( −1 ≤ x ≤ 1) 故 x arctan x − ln 1 + x 2
级数 收敛 , 级数 发散 .
例5.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性: ∞ sin nπ1 + (2) ∑(−1 n+1 n+1 ; ) π n= 1
n +1 (3) ∑(−1 ln ) ; n n= 1
n
∞
提示: (1) p >1 时, 绝对收敛 ; 0 < p≤1 时, 条件收敛 ; 提示 p≤0 时, 发散 . (2)
n=0 n=0
∑anx
难
∞
n
逐项求导或求积分
n=0 n=0
∗ an xn ∑
∞
求和 对和函数求积或求导
S(x)
• 数项级数 求和
S*(x)
直接求和: 直接变换, 求部分和等 间接求和: 转化成幂级数求和, 再代值
例3. 求幂级数 易求出级数的收敛域为
x
1 x = sin x+ cos x, 2 2
收敛域为 − 1 < x < 1,
( 3n − 1) x 2 n−1 = ∑ 3nx 2 n−1 − ∑ x 2 n −1 ∑
n =1 n =1 n =1 ∞ ∞ ∞
x3 + 2x = (1 − x 2 ) 2
x ∈ ( − 1,1)
例2
级数∑n2 x 求
n=1
∞
n 2
3n−1
敛 及 数 收 域 和函 .
∞
e x + e−x S( x) = 2
x ∈ ( −∞ , +∞ )
例7
将 f ( x) = xarctan x − ln 1+ x2 展 成 开 麦
劳 级 . 克 林 数
x2 x3 解 Q ln(1 + x ) = x − + − L, 2 3 x4 x6 x 2n ∴ ln(1 + x 2 ) = x 2 − + − L + ( −1)n−1 + L, 2 3 n
用洛必达法则
发散, ∴原级数发散
a (5) ∑ s (a > 0, s > 0): n=1 n
n→ ∞
∞
n
lim
an+1 (n+1)s an ns
n =a = lim a n→ ∞ n +1
sLeabharlann a <1 时收敛 ; a >1 时发散. s >1 时收敛; a =1 时, 为 p 级数 s ≤1 时发散.
n=1
∑(bn −an) 收敛
∞ n=1 ∞
n=1
∑(cn −an) 收敛
∞
= ∑ c n − an ) + an ] [( = ∑(cn − an ) + ∑an 收敛
n=1 n=1
例2. 判别下列级数的敛散性:
提示: 提示 (1)
1 nn n Q lim 1 n→ ∞ n
1 = lim n n→ ∞ n
1 ∞ nxn−1 = ∑ n , 2 n=1 2
2) 设 x 的幂级数 , 并求级数
∞ 1 解: Q = ∑(−1 n x2n, ) 2 1+ x n=0
x
, 将 f (x)展开成
的和. ( 2001考研 )
x∈(−1,1)
∞ 1 (−1 n 2n+1 ) ∴ arctanx= ∫ dx = ∑ x , x∈[−1,1] 2 0 1+ x n=0 2n +1
即 0 < x < 2,
设此级数的和函数为 s( x ), 则有 s( x ) = ∑ ( n + 1)( x − 1)n .
n= 0 ∞
两边逐项积分
∫
x
1
s( x )dx = ∑ ∫ ( n + 1)( x − 1) dx
x n n= 0 ∞ 1
∞
= ∑ ( x − 1)n+1 1x = ∑ ( x − 1)n+1