2018年二次函数压轴题题型归纳

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2018 二次函数压轴题题型归纳

一、二次函数常考点汇总

1、两点间的距离公式 ： ABy A

y B

2

x A

2

x B

2、中点坐标 ：线段 AB 的中点 C 的坐标为： x A

x B y A y B

2

，

2

直线 y k 1 x b 1 （ k 1 0 ）与 y k 2 x b 2 （ k 2

0 ）的位置关系：

（ 1）两直线平行 k 1 k 2 且 b 1 b 2 （2）两直线相交k 1 k 2 （ 3）两直线重合

k 1 k 2 且 b 1 b 2

（4）两直线垂直

k 1 k 2

1

3、一元二次方程有整数根问题 ，解题步骤如下：

① 用 和参数的其他要求确定参数的取值范围；

② 解方程，求出方程的根； （两种形式：分式、二次根式）

③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。

例：关于 x 的一元二次方程 x 2－2 m 1 x m 2＝0 有两个整数根， m ＜5 且 m 为整数，求 m 的值。4、二次函数与 x 轴的交点为整数点问题 。（方法同上）

例：若抛物线 y

mx 2 3m 1 x 3 与 x 轴交于两个不同的整数点，且 m 为正整数，试确定此

抛物线的解析式。

5、方程总有固定根问题 ，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下：

已知关于 x 的方程 mx 2

3(m 1)x 2m

3 0 （ m 为实数），求证：无论 m 为何值，方程总有

一个固定的根。

解：当 m 0 时， x 1；

当 m 0 时，

m

3

2

0 ， x

3 m 1

， x 1 2

3

、 x 2 1 ；

2m

m

综上所述：无论 m 为何值，方程总有一个固定的根是 1。

6、函数过固定点问题 ，举例如下：

已知抛物线 y x 2

mx

m 2 （ m 是常数），求证：不论 m 为何值，该抛物线总经过一个固

定的点，并求出固定点的坐标。

解：把原解析式变形为关于 m 的方程 y

x 2

2 m 1 x ；

y

x 2

2 0

y 1

1，－ 1）。

∴

x

，解得：

x

；∴ 抛物线总经过一个固定的点（

1 0

1

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小结：关于 x 的方程 ax b 有无数解

a

．．

b 0

7、路径最值问题 （待定的点所在的直线就是对称轴）

（ 1）如图，直线 l 1 、 l 2 ，点 A 在 l 2 上，分别在 l 1 、 l 2 上确定两点 M 、 N ，使得 AM MN 之和最

小。

（2）如图，直线 l 1 、 l 2 相交，两个固定点 A 、 B ，分别在 l 1 、 l 2 上确定两点 M 、 N ，使得

BM MN AN 之和最小。

8、在平面直角坐标系中求面积的方法： 直接用公式、割补法三角形的面积求解常用方法：如上图， S △ PAB =1/2 · PM ·△

x =1/2 ·AN ·△ y

9、函数的交点问题： 二次函数（ y ＝ ax 2

＋ bx ＋c ）与一次函数（ y ＝ kx ＋ h ）

（1）解方程组

（ 2）解方程组

2

y ＝ ax ＋ bx ＋ c

可求出两个图象交点的坐标。

y ＝ kx ＋ h

＝ 2 ＋

＋

2

y ax bx ，通过 可判断两个图象的交点的个数

c

即 ax ＋ b － k x ＋ c － h ＝0

＝ kx ＋ h

y

有两个交点 ＞ 0 仅有一个交点 0 没有交点 ＜0 10、方程法

（1）设：设主动点的坐标或基本线段的长度

（2）表示：用含同一未知数的式子表示其他相关的数量

（3）列方程或关系式 11、几何分析法

特别是构造“平行四边形” 、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等图形时，利用几何分析法能给解题带来方便。

几何要求 几何分析

跟平行有关 平移 的图形

勾股定理逆定理 跟直角有关 利用相似、全等、 的图形 平行、对顶角、互余、互补等 利用几何中的全 跟线段有关 等、中垂线的性质 的图形 等。

跟角有关的 利用相似、全等、

涉及公式

y 1 y 2

l 1 ∥ l 2k 1＝k 2 、 k x 2 x 1

AB 2 2

y A y B x A x B

AB

2 2

y A y B x A x B

应用图形

平行四边形

矩形

梯形

直角三角形 直角梯形

矩形

等腰三角形

全等

等腰梯形

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余、互补等

【例题精讲】

一基础构图：

y

y= x22x 3 （以下几种分类的函数解析式就是这个）

★和最小，差最大

1 在对称轴上找一点P，使得 PB+PC的和最小，求出 P 点坐标

2 在对称轴上找一点P，使得 PB-PC的差最大，求出 P 点坐标

B O A x

C

D

★讨论直角三角连接 AC,在对称轴上找一点 P，使得ACP为直角三角形，求出

P 坐标或者在抛物线上求点 P，使△ ACP是以 AC为直角边的直角三角形．

y

B O A x

C

D

★讨论等腰三角连接AC,在对称轴上找一点P，使得ACP 为等腰三角形，求出P 坐标

y

★讨论平行四边形 1 、点 E在抛物线的对称轴上，点 F 在抛物线上，

且以 B，A，F，E 四点为顶点的四边形为平行四边形，求点 F 的坐标

B O A x