2020年高中数学人教A版选修4-4导学案 《参数方程的概念》(含答案解析)

一曲线的参数方程

1．参数方程的概念

参数方程的概念

在平面直角坐标系中，曲线上任一点的坐标x，y 都是某个变数t(θ，φ，…)的函数：

t

t

①，并且对于每一个t 的允许值，方程组①所确定的点(x，y)都在这条曲线上，

那么方程组①就叫这条曲线的参数方程，t 叫做参数，相对于参数方程而言，直接给出坐标间关系的方程叫普通方程．2．参数的意义

参数是联系变数x，y 的桥梁，可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．

[例1]

已知曲线C (1)判断点M 1(0,1)，M 2(5,4)与曲线C 的位置关系．(2)已知点M 3(6，a)在曲线C 上，求a 的值．

参数方程是曲线方程的另一种表达形式，点与曲线位置关系的判断，与平面直角坐标方程下的判断方法是一致的．

1．已知点M(2，-2)在曲线x＝t＋

1

t

，

y＝－2

(t为参数)上，则其对应的参数t的值为________．

2．已知某条曲线C x＝1＋2t，

y＝at2

(其中t为参数，a∈R)．点M(5,4)在该曲线上，求

常数a.

求曲线的参数方程

[例2]如图，△ABP是等腰直角三角形，∠B是直角，腰长为a，顶点B、A分别在x轴、y轴上滑动，求点P在第一象限的轨迹的参数方程．

求曲线参数方程的主要步骤

第一步，画出轨迹草图，设M(x，y)是轨迹上任意一点的坐标．画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系．

第二步，选择适当的参数．参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标x，y与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是x，y的值可以由参数唯一确定．例如，在研究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋转角为参数．此外，离某一定点的“有向距离”、直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数．

第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略．

3．设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆作匀角速度运动，角速度为π

60

rad/s，试以时间t 为参数，

建立质点运动轨迹的参数方程．

[对应学生用书P16]

一、选择题

1．下列方程可以作为x 轴的参数方程是()

x＝t 2

＋1y＝0x＝0y＝3t＋1x＝1＋sin θy＝0x＝4t＋1y＝0

2．若点x＝t 2，

y＝2t

(t 为参数)上，则a 等于()

A．4B．42C．8

D．1

x＝sin θ，y＝cos 2θ

(θ为参数)所表示的曲线上的一点的坐标为(

)

A．(2，-7)

B．(13，23)C．(12，1

2

)D．(1,0)

4．由方程x 2＋y 2-4tx-2ty＋3t 2

-4=0(t 为参数)所表示的一族圆的圆心的轨迹方程为()

x＝2t y＝t x＝－2t y＝t C.x＝2t y＝－t x＝－2t y＝－t 二、填空题

x＝2sin θ＋1，

y＝sin θ＋3

(θ为参数，0≤θ＜2π)．

下列各点A(1,3)，B(2,2)，C(-3,5)，其中在曲线上的点是________．6．下列各参数方程与方程xy=1表示相同曲线的序号是________．

x＝t 2

y＝－t 2

x＝sin t y＝csc t x＝cos t y＝sec t x＝tan t y＝cot t .

7．动点M 作匀速直线运动，它在x 轴和y 轴方向的分速度分别为9和12，运动开始时，点M 位于A(1,1)，则点M 的参数方程为________________________．

三、解答题

8．已知动圆x 2＋y 2

-2axcos θ-2bysin θ=0(a，b 是正常数，且a≠b，θ为参数)，求圆心的轨迹方程．

9．如图所示，OA 是圆C 的直径，且OA=2a，射线OB 与圆交于Q 点，和经过A 点的切线交于B 点，作PQ⊥OA，PB∥OA，试求点P 的轨迹方程．

10．试确定过M(0,1)作椭圆x 2

＋y 2

4

=1的弦的中点的轨迹方程．

答案解析

[例1]解：

(1)把点M 12＋1.

解得：t=0.∴点M 1在曲线C 上．同理：可知点M 2不在曲线C 上．

(2)∵点M 3(6，a)在曲线C 2

＋1.

解得：t=2，a=9.∴a=9.

1．答案为：1；

解析：由t＋1

t

=2知t=1.

2．解：∵点M(5,4)在曲线C 上，

2

，∴a 的值为1.[例2]解：法一：

设P 点的坐标为(x，y)，过P 点作x 轴的垂线交x 轴于Q.如图所示，

则Rt△OAB≌Rt△QBP.取OB=t，t 为参数(0＜t＜a)．

∵|OA|=a 2－t 2，∴|BQ|=a 2－t 2

.

∴点P 在第一象限的轨迹的参数方程为

x＝t＋a 2－t 2

，

(0＜t＜a)．

法二：

设点P 的坐标为(x，y)，过点P 作x 轴的垂线交x 轴于点Q，如图所示．

，则∠ABO=π

2

-θ.

在Rt△OAB θ.在Rt△QBP 中，|BQ|=acos θ，|PQ|=asin θ.∴点P 在第一象限的轨迹的参数方程为

sin θ＋cos θ，

θ.

3．解：如图，运动开始时质点位于点A 处，此时t=0，设动点M(x，y)对应时刻t，