《高等数学(一)》复习资料-姜作廉

一、客观部分：（单项选择、多项选择、不定项选择、判断）

（一）、单项选择部分

1．函数x x x f )321

()321

()(-++=为（）。

（A ）奇函数；（B ）周期函数；（C ）幂函数；（D ）偶函数

★考核知识点:函数的性质，参见P4-7

附1.1.1（考核知识点解释及答案）：

函数的基本特性：

有界性：设函数f (x )的定义域为D ，如果有0>M ，使得对D x ∈∀，都有M x f ≤)(，则称f (x )在D 上有界。

如果对D x ∈∀，使得M x f ≤)(，则称f (x )在D 上有上界。

单调性：设函数f (x )的定义域为D ，如果对D x x ∈∀21,，当21x x <时，恒有)()(21x f x f ≤

，就称上在D x f

)(为单调递增函数。同理，

可以定义单调递减函数。我们统称单调递增和单调递减函数为单调函数。

奇偶性：设f (x )的定义域为D ，对

D x ∈∀

，如果

(i))()(x f x f

=-，则称该函数为奇函数；

(ii))

()(x f x f

-=-，则称该函数为偶函数．

周期性：设函数f (x )的定义域为D ，如果存在T ≠0，使得对D x ∈∀，总有

则称f (x )为D 上的周期函数，T 为f (x )的一个周期．通常周期函数有无穷多个周期．习惯上，我们把最小的正周期叫做该函数的周期

计算过程如下：----(-)===f(x)x x x x x x f x =+++

答案：（D ）偶函数。

2．函数()ln(1sin ) (0)f x x x =+→为（）。

（A ）无穷小量；（B ）无穷大量；（C ）零函数；（D ）常数函数

★考核知识点:无穷小与无穷大，参见P25-27

附1.1.2（考核知识点解释及答案）：

当0x x →时，如果函数)(x f 的绝对值大于任意预先给定的正数M ，则我们称函数)(x f 为当0x x →时的无穷大量，记为∞=→)(lim 0

x f x x 。 若0)(lim 0

=→x f x x ，则称函数)(x f 在该极限过程中为无穷小量．简称无穷小。 答案：（A ）无穷小量。

3．函数sin 0x y x x

==在点处（）。 （A ）可导；（B ）间断；（C ）可微；（D ）连续

★考核知识点:连续与可导性，参见P40-46

附1.1.3（考核知识点解释及答案】）：

函数在某点处连续是函数在该点处可导的必要条件，但不是充分条件.若函数在某点处不连续，则它在该点处一定不可导.

答案：（B ）间断。

4．若()ln(2sin ),(0)f x x f '=+=则（）。

（A ）-1；（B ）0；（C ）

12

；（D ）1 ★考核知识点:复合函数微分法，参见P61-63

附1.1.4（考核知识点解释及答案）： 下述“基本的求导公式”是各种导数与微分计算的基础，要求熟练掌握。在这里作为复习我们全部给出，提供多处习题计算时使用，可以反复查找使用。

若函数)(x g u =在点x 处可导,而)(u f y =在点)(x g u =处可导,则复合函数)]([x g f y =在点x 处可导,且其导数为

或dx

du du dy dx dy ⋅= 本题计算用到复合函数的求导法则和导数的四则运算法则。

导数的四则运算法则：

如果函数()u u x =及()v v x =都在点x 具有导数，那么它们的和、差、积、商（除分母为零的点外）都在点x 具有导数，且

（1）[]'''()()()()u x v x u x v x +=+；

（2）[]'

''()()()()()()u x v x u x v x u x v x =+；

（3）'''2()()()()()()()u x u x v x u x v x v x v x ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦(()0)v x ≠ 答案：（C ）12

。 5．若(),(0)x f x xe f ''==则（）。

（A ）-2；（B ）-1；（C ）1；（D ）2

★考核知识点:二阶导数计算，参见P65-68

附1.1.5（考核知识点解释及答案）：

求高阶导数的方法：

求函数的高阶导数时，除直接按定义逐阶求出指定的高阶导数外（直接法），还常常利用已知的高阶导数公式,通过导数的四则运算,变量代换等方法,间接求出指定的高阶导数（间接法）.

复合函数的求导法则

若函数)(x g u =在点x 处可导,而)(u f y =在点)(x g u =处可导,则复合函数)]([x g f y =在点x 处可导,且其导数为 或dx

du du dy dx dy ⋅= 复合函数的求导法则可叙述为：复合函数的导数，等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数.这一法则又称为链式法则.

复合函数求导既是重点又是难点.在求复合函数的导数时,首先要分清函数的复合层次，然后从外向里,逐层推进求导，不要遗漏,也不要重复.在求导的过程中，始终要明确所求的导数是哪个函数对哪个变量(不管是自变量还是中间变量)的导数.在开始时可以先设中间变量,一步一步去做.熟练之后，中间变量可以省略不写，只把中间变量看在眼里，记在心上，直接把表示中间变量的部分写出来，整个过程一气呵成.

答案：（D ）2。

6．函数2

1()lg 1cos x f x x

-=+为（）。 （A ）奇函数；（B ）偶函数；（C ）幂函数；（D ）周期函数

★考核知识点:函数的性质，参见P4-7

附1.1.6（考核知识点解释及答案）：

奇偶性：设f (x )的定义域为D ，对D x ∈∀，如果

(i))()(x f x f =-，则称该函数为奇函数；

(ii))()(x f x f -=-，则称该函数为偶函数．

周期性：设函数f (x )的定义域为D ，如果存在T ≠0，使得对D x ∈∀，总有

则称f (x )为D 上的周期函数，T 为f (x )的一个周期．

通常周期函数有无穷多个周期．习惯上，我们把最小的正周期叫做该函数的周期

答案：（B ）偶函数。

7．函数()2 1 (0)x f x x =-→为（）。

（A ）零函数；（B ）无穷大量；（C ）无穷小量；（D ）常数

★考核知识点:无穷小与无穷大，参见P25-27

附1.1.7（考核知识点解释及答案）：

当0x x →时，如果函数)(x f 的绝对值大于任意预先给定的正数M ，则我们称函数)(x f 为当0x x →时的无穷大量，记为∞=→)(lim 0

x f x x 。 若0)(lim 0

=→x f x x ，则称函数)(x f 在该极限过程中为无穷小量．简称无穷小。 答案：（C ）无穷小量。

8．函数0y x x ==在点处（）。

（A ）间断；（B ）可导；（C ）可微；（D ）连续

★考核知识点:连续与可导性，参见P40-46

附1.1.8（考核知识点解释及答案）：