高中数学命题逻辑教案

（1）两组对边平行的四边形是平行四边形； （2）正整数1既不
是质数也不是合数。
分析：表述时,语言准确精练。解题时要规定格式.语句前后的逻辑
性.
解：（1）命题的否定：两组对边平行的四边形不是平行四边形。
否命题：两组对边不全平行的四边形不是平行四边
形。
（2）命题的否定：正整数1是质数或是合数。
否命题：不是1的正整数是质数或是合数。
则“∈A∪B”是“∈C”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．
充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．下列命题中为真命题的是( )
A．命题“若，则”的逆命题
B．命题“，则”的
否命题
C．命题“若，则”的否命题 D．命题“若，则”的逆否
命题
8．命题“若则”的否命题是________命题．(填“真”或“假”)
（4）p：方程的解是， q：方程的解是
解：“”方程的解是或方程的解是 “”方程的解是且方程的解是 “非p” 方程的解不是， 因为p假，q假，所以“”为假，“”为假，“非p”为真。
例3、写出下列命题的否定并判断真假
分析：含有一个量词的否定：
的否定为
的否定为“
例4、写出下列命题的否定及否命题，并判断有何区别？
复合命题：由简单命题再加上一些逻辑联结词构成的命题叫
复合命题
2．逻辑符号：
“或”的符号是“∨”，例如“P或q”可以记作“P ∨q”；
“且”的符号是“∧”，例如，“P且q”可以记作“P∧q”；
“非”的符号是“”，例如，“非P”可以记作“P”．
二、复合命题的构成形式的表示：
如果用 p, q, r, s……表示命题，则复合命题的形式接触过
解析：对于①，若＝，则，所以函数在其定义域内是增函数，
故①不正确；对于②，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法
正确；对于③，原命题的逆命题是“若是偶数，则都是偶数”，是
假命题，如1＋3＝4是偶数，但3和1均为奇数，故③不正确；对于
④，不难看出，命题“若，则”与命题“若，则”是互为逆否命
题，因此二者等价，所以④正确．综上可知正确的说法有②④.
①“”是“”的充分条件；
②“”是“”的必
要条件；
③“”是“”的充要条件．
二、充分条件与必要条件的两个特征
(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，
即“p⇒q”⇔“q⇐p”；
(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)
条件，则p是r的充分(必要)条件．
注意区分“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必
真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 假 真 假 假 假 假
例1、写出由下列各组命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形 式的新命题并判断真假.
（1）p：2是4的约数，q：2是6的约数； 解：p或q：2是4的约数或2是6的约数，真命题； p且q：2是4的约数且2也是6的约数，真命题； 非p：2不是4的约数，假命题。
例2 (1)(2012·福州)“”是“”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解答](1)取，则，故由不能推出；由得，故
由可以推出.所以“”是“”的必要而不充分条件．
例3．下列各题中，p是q的什么条件？
(1)在△ABC中，p：A＝B，q：sin
课 题 命题和逻辑关联词 教学内容
1. 教学四种命题的概念： 原命题 逆命题
否命题
若，则
若，则
若，则
逆否命题 若，则
2.四种命题间的相互关系：
例1.下列四个命题中，请讨论他们的关系及真假。
（1）若f (x) 是正弦函数，则f (x) 是周期函数； （2）若
f (x) 是周期函数，则f (x) 是正弦函数；
D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”
3．(2013)设，则“”是“”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．
充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知p“”，q：“直线与圆相切”，则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充
要条件
D．既不充分也不必要条件
6.设集合A＝{R|＞0}，B＝{∈R|＜0}，C＝{R|＞0}，
归纳：(1)命题的否定与命题的否命题是不同的.
(2)要正确的理解命题的含义.正确使用否定词.
(3)常用否定词的否定.
正面词 等于 大于 小于 是 都是 至少一个 至多一个.
否定 不等于 不大于 不小于 不是 不都是 一个也没有 至少
两个
小于等于 大于等于
例5、（04年福建）命题p：若的充分不必要条件；命题q：函数的
的有以下三种：
：
：Hale Waihona Puke Baidu
即：p或q 记作 pq
p且q 记作 pq
非p(命题的
否定)记作 p
其实，有些概念前面已遇到过
如：或：不等式 的解集 { }
且：不等式 的解集 {} 即 { }
释义：“或”是指中的任何一个或两者.例如，“或”，是指可
能属于A但不属于B，也可能不属于A但属于B，还可能既属于A又属
于B（即AB）；又如在“或真”中，可能只有真，也可能只有真，
9．若“”是“”的必要不充分条件，则的最大值为________．
10.已知集合，B＝{|log4(＋)<1}，若∈A是∈B的必要不充分条 件，则实数的取值范围是________． 知识点： 一、逻辑联结词：
1、定义：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词
简单命题：不含有逻辑联结词的命题叫做简单命题
A＝sin
B；
(2)p：||＝，q：.
解：(1)若A＝B，则sin A＝sin B，即p⇒q.
又若sin A＝sin B，则，即 故A＝B，即q⇒p.所以p是q的充
要条件．
(2)p：{}＝{}＝A，
q：{}＝{，或}＝B ∵AB，∴p是q的充分不必要条件．
例4.已知p：，q：，且q是p的充分而不必要条件，则的取值范围
为________．
解答 设q，p表示的范围为集合A，B， 则A＝(2,3)，B＝()．
由于q是p的充分而不必要条件，则有AB， 即或解得－
1≤≤6.
例5。“”是不等式成立的一个充分不必要条件，则实数的取值
范围是( )
A．(3，＋∞) B. C
D.
解析：选D 由得或.
∵是不等式成立的一个充分不必要条件，又根据集合元素的互
解得：①
② ③ 综上：C0（取并集）
2014重庆：已知命题，的充分不必要条件
则下列命题为真命题的是：
2014湖南：已知命题在命题
；；； ④（中：真命题是：
A: B:④
C:,
D:④
2014广东：下列命题中，是假命题的是：（ ） B:的充分不必要条件 为假命题，则均为假命题。
一。知识点 1.短语“”“ ”在逻辑中通常叫做全程量词，并用符号“”表示, 含有的命题,叫做全称命题,其基本形式为,读作.
则α＝
3．(2012·浙江）设集合A，B，则A⊆B是A∩B＝A成立的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要
条件
D．既不充分也不必要条件
4．“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A、∠B都是锐角”的否命题
为：____________________.
5．下列命题中所有真命题的序号是________．
2．如果p ⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．
练习1.
1．下列命题是真命题的为( )
A．若，则 B．若，则 C．若，则
D．若，则
2．(2012·湖南高考)命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是
( )
A．若α≠，则tan α≠1
B．若α＝，则
tan α≠1
C．若tan α≠1，则α≠
D．若tan α≠1，
(1) 真命题; (2) 假命题; (3) 假命题
2.判断下列特称命题的真假:
(1) R,
(2) 至少有一个整数,它既不是合数,也不是素数;
(3)
(1) 真命题 (2) 真命题
(3) 真命题
【典型例题】 例1 判断真假: (1) Q, Q; (2) R, ; (3) Z,使； (4）Q， (5）R, (6）Z,使.
定义域是，则
（D）
A．“p或q”为假
B．“p且q”为真 C．p真q假
D．p 假q真
分析：
例6 （1） 证明：若“a2+2ab+b2+a+b－2≠0则a+b≠1”为真命题.
（2） 已知，设P：函数在R上单调递减，Q：不等式的解集为
R。
如果“P或Q”为真，求的取值范围。
解：（1）它的逆否命题为“若a+b=1，则a2+2ab+b2+a+b－2=0
∵ a+b=1
∴
a2+2ab+b2+a+b－2
=(a+b)2+(a+1)－2
=0
∴ 其逆否命题为真命题， ∴ 原命题也为真命题
（2）∵ y=cx在R上单调减 ∴0<c<1 ∴p真0<c<1
令
∴ Q真C> ∵“P”或“Q”为真
所以有三种情况：①“P”真或“Q”假②“P”假或“Q”真
③“P”真或“Q”真
还可能都为真.
“且”是指中的两者.例如，“A且B”，是指属于A，同时
也属于B（即AB）.
“非”是指的否定，即不是. 例如，是“A”，则“非”表示不
是集合A的元素（即）.
三、真值表 ①“非”形式复合命题的真假可以用下表表示：
p 非p 真 假 假 真
②“且”、“”形式复合命题的真假可以用下表表示：
且 或
1判断下列命题是否全称命题，并判断其真假： .对数函数都是单调函数 .对于任意的实数，都有成立。
2.用符号“”表示下列全称命题 对于所有的实数； 对于任意的正数，都有函数是增函数。 对于每一个有理数，都有是有理数。
【基础练习】 1．判断下列全称命题的真假: (1) 每个指数函数都是单调函数; (2) 任何实数都有算术平方根; (3)
要条件是q”两者的不同，
前者是“p⇒q”而后者是“q⇒p”．
例1．以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的
序号)．
①“若，则函数()在其定义域内是减函数”是真命题；
②命题“若，则”的否命题是“若，则”；
③命题“若都是偶数，则也是偶数”的逆命题为真命题；
④命题“若，则”与命题“若，则”等价．
3.由含有变量的语句构成的命题 含有变量的陈述语句用表示,变量的取值范围用表示.这样的语
句不是命题,但却是构成命题的主要材料,例如: 都不是命题,可 是“若,则”就是命题.除了用“若则”联接这些语句构成命题外, 在这些语句的前面加上量词也构成命题: (1)全称命题: 表示.例如R, R, ; (2)特称命题: .表示.
（3）若f (x) 不是正弦函数，则f (x) 不是周期函数； （4）
若f (x) 不是周期函数，则f (x) 不是正弦函数；
结论： ①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有
关系
4、充分条件与必要条件
1．如果p ⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件。
全程命题是陈述某集合所有元素都具有某种性质的命题。 常见的全称量词还有：“一切，某一个，任给”等等。一切全 程命题可包括多个变量，如对 2.短语“”“ ”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示, 含有的命题,叫做特称命题,其基本形式为,读作.
常见的存在量程词还“有些，有一个，对某个”等等。 特称命题是陈述某集合中有（存在）一些元素具有某种性质的 命题。一个特称命题可以包含多个变量，如使 含有存在量词“存在”“有一个”等的命题，或虽没有写出存 在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是特称 命题。
例如R, Z, Z. 4.含有一个量词的命题的否定 （1）全称命题的否定：
一般地对于含有一个量词的全称命题的否定有下面的结 论：
全称命题；它的否定：。全称命题的否定是特称命题。 （2）特称命题的否定 一般地，对于含有一个量词的特称命题的否定，有下面的结 论：
特称命题；它的否定：，特称命题的否定是全称命题。 例题：
（2）p：矩形的对角线相等，q：矩形的对角线互相平分； 解：p或q：矩形的对角线相等或互相平分，真命题； p且q：矩形的对角线相等且互相平分，真命题； 非p：矩形的对角线不相等，假命题。
（3） p：方程的两实根的符号相同， （4） q：方程的两实根的绝对值相等；
解：p或q：方程的两实根符号相同或绝对值相等，假命题。 p且q： 方程的两实根符号相同且绝对值相等，假命题。 非p： 方程的两实根符号不相同，真命题。
异性，
∴或.
练习2
1．(2012·福建高考)已知向量，b＝(2,1)，则a⊥b的充要条件是
( )
A． B． C．
D．
2．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是
( )
A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”
B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”
C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”