【精品完整版】解析函数展开成幂级数的方法分析
第四章 解析函数的幂级数表示方法
第四章 解析函数的幂级数表示方法第一节 级数和序列的基本性质 1、复数项级数和复数序列： 复数序列就是：111222,,...,,...n n n z a ib z a ib z a ib =+=+=+在这里，n z 是复数，,Im ,Re n n n n b z a z ==一般简单记为}{n z 。
按照|}{|n z 是有界或无界序列，我们也称}{n z 为有界或无界序列。
设0z 是一个复常数。
如果任给0ε>，可以找到一个正数N ，使得当n>N 时ε<-||0z z n ,那么我们说{}n z 收敛或有极限0z ，或者说{}n z 是收敛序列，并且收敛于0z ，记作0lim z z n n =+∞→。
如果序列{}n z 不收敛，则称{}n z 发散，或者说它是发散序列。
令0z a ib =+，其中a 和b 是实数。
由不等式0||||||||||n n n n n a a b b z z a a b b --≤-≤-+-及容易看出，0lim z z n n =+∞→等价于下列两极限式：,lim ,lim b b a a n n n n ==+∞→+∞→因此，有下面的注解：注1、序列{}n z 收敛（于0z ）的必要与充分条件是：序列{}n a 收敛（于a ）以及序列{}n b 收敛（于b ）。
注2、复数序列也可以解释为复平面上的点列，于是点列{}n z 收敛于0z ，或者说有极限点0z 的定义用几何语言可以叙述为：任给0z 的一个邻域，相应地可以找到一个正整数N ，使得当n N >时，n z在这个邻域内。
注3、利用两个实数序列的相应的结果，我们可以证明，两个收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛，并且其极限是相应极限的和、差积、商。
定义4.1复数项级数就是12......n z z z ++++或记为1n n z +∞=∑，或n z ∑，其中n z 是复数。
定义其部分和序列为：12...n n z z z σ=+++如果序列{}n σ收敛，那么我们说级数n z ∑收敛；如果{}n σ的极限是σ，那么说n z ∑的和是σ，或者说n z ∑收敛于σ，记作1nn zσ+∞==∑，如果序列{}n σ发散，那么我们说级数n z ∑发散。
11-5函数展开成幂级数
an
f ( n) (0) n!
n 2k 0, ( k 0,1, 2, ) k ( 1) , n 2k 1 ( 2k 1)!
k 2k 1
x , 2 sin x ~ ( 1) ( 2k 1)! k 0
收敛半径 R .
3° x ( , ), 余项满足
?
答：不一定.
反例：
1 x2 , f ( x ) e 0,
x0 x0
且 f ( n ) (0) 0 ( n 0,1,2,) 在 x = 0点任意可导,
f ( x )的麦克劳林级数为 0 x
n 0 n
该级数在( ,)内收敛，且其和函数S ( x ) 0.
三、函数展开成幂级数的方法
展开方法
直接展开法 — 用泰勒公式
间接展开法 — 用已有展开式
1. 直接展开法
f ( x ) 展开成x的幂级数的步骤：
1º求 f (n)(x) , f (n)(0) , n = 0, 1, 2, · · ·; 2º 写出幂级数
n
f ( n ) ( 0) n x , 并求收敛半径 R ; n! n 0
例3 将
展开成 x 的幂级数
(m: 任意常数) .
解 1 f (0) 1, f (0) m ,
f (0) m( m 1) ,
f ( n ) (0) m( m 1)( m 2) ( m n 1) ,
2° 麦克劳林级数
m( m 1)( m n 1) n m( m 1) 2 F ( x ) 1 mx x x n! 2! x (1,1) an n1 R lim lim 1 n a n 1 n m n
函数的幂级数展开
内
，由幂级数在收敛区间内可以逐项求导，得
一、泰勒级数的概念
在以上各式中，令x=x0，得
一、泰勒级数的概念
于是
上式说明，若函数f(x)能展成x－x0的幂级数，则这个幂级 数就是f(x)的泰勒级数，它的展开式是唯一的.特别地，若x0=0， 则这个幂级数就是f(x)的麦克劳林级数.
下面讨论第三个问题，函数f(x)的展开式在什么区间内收 敛于f(x)？即如何在一定的区间内将函数f(x)展成x的幂级数.
该级数在(－∞,+∞)内的和函数s(x)≡0,可见除x=0外,f(x)的麦克劳林级
数处处不收敛于f(x).
那么f(x)的泰勒级数收敛于f(x)的条件是什么呢？下面的定理给 出了第一个问题的答案.
一、泰勒级数的概念
定理
若函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0)内具有各阶导数，则 f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是f(x)的泰勒 公式中的余项Rn(x)当n→∞时的极限为零，即
函数的幂级 数展开
第五节 函数的幂级数展开
前面讨论了幂级数的收敛域，幂级数在收敛域内 和、差、积、商的运算，以及幂级数的和函数的连续 性、可积性、可导性，从这些内容中可看出，幂级数 具有形式简单，运算和分析性质良好的特点.因此，能 否将一个函数表示成幂级数在理论上和实际上都具有 重要的意义.
第五节 函数的幂级数展开
成立，其中 此时，f(x)可表示为
（11-7） 介于x与x0之间).
（11-8）
一、泰勒级数的概念
其中
是n次多项式.
如果函数f(x)在x0的某邻域U(x0)内有任意阶的导数，可以 设想多项式sn+1(x)的项数趋近于无穷，得
（11-9）
11函数展开成幂级数解读
0
x
x s ( x ) dx dx , 0 1 x s( x )
得 ln s( x ) ln s(0) ln(1 x ),
即
ln s( x ) ln(1 x ) ,
s( x ) (1 x ) , x ( 1,1)
(1 x ) ( 1) 2 ( 1)( n 1) n 1 x x x 2! n! 牛顿二项式展开式 注意: 在x 1处收敛性与的取值有关. 1 收敛区间为 (1,1); 1 1 收敛区间为 (1,1]; 1 收敛区间为 [1,1].
xs( x ) x ( 1) x
2
( 1)( n 1)
( n 1)!
xn
利用
( m 1)( m n 1) ( m 1)( m n) m ( m 1)( m n 1) ( n 1)! n! n!
x x0 lim 0, 故 lim Rn ( x ) 0, n ( n 1)! n x ( x 0 R, x 0 R )
可展成点x0的泰勒级数.
二、函数展开成幂级数
1.直接法(泰勒级数法)
步骤: (1) 求a n
f
(n)
( x0 ) ; n!
( 2) 讨论 lim Rn 0 或 f ( n ) ( x ) M ,
1 1 1 3 2 1 3 5 3 n ( 2n 1)!! n 1 x x x ( 1) x 1 x 2 2 4 2 4 6 ( 2n)!! [1,1]
双阶乘
2.间接法 根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分,复合 等方法,求展开式. 例如 cos x (sin x )
第三章 幂级数展开精品文档
a0 a1(z z0 ) a2 (z z0 )2
称为双边级数。
正幂部分的收敛范围：
在 z z0
R1 圆域内收敛，收敛半径为 R1
lim k
ak ak 1
。
负幂部分的收敛范围：在 R2 Fra bibliotekz z0
圆外域内收敛，R2
lim
k
a(k 1) ak
(z 1)( z 2) z 1 z 2
1 1 z 1 1 (z 1)
当 0 z 1 1时，
f (z)
1
z 1k z 1k
z 1 k0
k 1
1
例 3. 在 z0 0 的邻域上把函数 e z 展开为级数。
1
2 i
CR1
w( ) z
d
ak
k 0
1
2 i
( z0 )k d CR1 z
ak (z z0 )k w(z) k 0
w(z) 为解析函数。
例 1. 求幂级数
1 z k 的收敛半径。
k0 k!
R lim
1 k!
lim (k 1)! lim (k 1)
2
……
f (n) (z) sin(z n )
2
f (n) (0) sin n
2
0 (1)k
n 2k n 2k 1
f (z) sin z
(1)k z 2k1 z 1 z 3 1 z 5 1 z 7
k0 (2k 1)!
【说明】
由幂级数可得一个正项级数，
数学物理方法课件解析函数的幂级数展开
幂级数展开求解积分方程
幂级数展开求解积分方程 的步骤
首先将积分方程中的未知函数进行幂级数展 开，然后代入积分方程中求解系数，最后得 到积分方程的解。
举例
求解∫(上限1下限0) (x^2+y^2)^(-3/2) * y dx = 1。将y(x)进行幂级数展开，得到
y(x)=∑(n=0,∞) a_n * x^(n+1)，然后代入 积分方程中求解系数a_n，得到解。
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幂级数展开的收敛半径
幂级数展开的收敛半径是指函数在一定区间内可以展开成幂 级数的范围。
收敛半径的大小取决于各项系数的变化规律，可以通过比较 相邻项系数的方法来确定收敛半径。
幂级数展开的收敛区间
幂级数展开的收敛区间是指函数可以精确展开成幂级数的区间，通常是一个闭区 间或者半开半闭区间。
在收敛区间内，幂级数展开可以无限逼近原函数，但在收敛区间的外延，误差会 逐渐增大。
数学物理方法课件解析函 数的幂级数展开
• 幂级数展开的概述 • 幂级数展开的原理 • 幂级数展开的应用 • 幂级数展开的实例解析
01
幂级数展开的概述
幂级数展开的定义
幂级数展开是指将一个函数表示为无 穷级数的方式，其中每一项都是该函 数的幂次与系数的乘积。
幂级数展开的一般形式为：$f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + cdots + a_nx^n + cdots$，其中 $a_0, a_1, ldots, a_n$ 是常数，$x$ 是自变量。
幂级数展开求解微分方程
幂级数展开求解微分方程的步骤
首先将微分方程中的未知函数进行幂级数展开，然后代入微分方程中求解系数，最后得 到微分方程的解。
-函数展开成幂级数
1 2 1 ln( 2 1) .
2 n1 2n 1
2
在收敛区间内对幂级数逐项求导、逐项 积分后, 得到一个新的幂级数, 且它与原幂级 数具有相同的收敛半径 . 如有必要,可对它连 续进行逐项求导和逐项积分.
就是说, 在收敛区间内幂级数的和函数具 有任意阶的导数及任意次的可积性.
,
(| x|1).
例2
求
2n 1 n1 2n
之值.
n1
2n 1 2n
n1
2n 1 2n
xn
x1
符 合 积
分
n1
2n 1 2n
n1
2n 1 2n
x2n
x1
要 求 了
n1
2n 1 2n
x2 2n
n1
1
n 1
x 2n2
1
x2
x4
1 1 x2
,
故
x2n1 n1 2n 1
x1 01 x2
d
x
1 2
x 0
x
1 1
x
1 1
d
x
1 ln1 x , ( | x | 1) . 2 1 x
例3
f (n1) ( ) xn1 | e | x |
(n 1) !
| x |n1 (n 1) !
因为
lim an 0 n n !
( 在 0 与x 之间)
2 x2 (2 x2 )2
3.
x1
函数如何展开成幂级数
函数如何展开成幂级数在数学中，幂级数是一种函数展开的形式，其中函数可以表示为幂次项的无限和。
它在数学和物理领域具有广泛的应用，尤其是在微积分和解析几何中。
一个函数可以展开成幂级数，可以使我们更好地理解函数的性质和行为，同时也可以方便计算。
如果一个函数可以展开成幂级数，那么这个函数必须满足一些条件，比如在展开点附近必须有定义，并且在这个点附近是光滑的。
展开成幂级数的函数可以是多项式函数或者是一些特殊函数，比如正弦函数、余弦函数和指数函数等。
让我们以一个简单的例子来说明如何将一个函数展开成幂级数。
考虑函数 f(x) = sin(x)，我们希望将其展开为一个幂级数。
我们知道，sin(x) 在原点附近是光滑的，并且其所有导数在原点都有定义。
因此，我们可以使用泰勒级数来展开 sin(x)。
泰勒级数是一种将一个函数展开成幂级数的方法，使用函数在展开点处的各阶导数来确定幂次项的系数。
对于函数 f(x) = sin(x)，它的泰勒级数展开可以表示为：sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...在这个展开式中，每一项的系数都是通过函数在展开点处的导数来计算的。
具体来说，幂级数的第n项系数是：a_n=f^(n)(a)/n!其中f^(n)(a)表示函数f(x)在展开点a处的n阶导数。
对于我们的例子 sin(x)，它的展开点是原点 a = 0。
因此，我们需要计算函数在原点的导数。
对于 sin(x) 而言，它的所有导数都是周期性的，且根据周期性，我们可以推导出所有的导数在原点的值。
sin(x) 的导数序列是 1，cos(x)，-sin(x)，-cos(x)，sin(x) ...可以看到，当 n 是 4 的倍数时，导数在原点的值为 0；当 n 是奇数时，导数在原点的值为 -1n/(n-1)！因此，我们可以得到 sin(x) 在原点展开的幂级数表示为：sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...这是 sin(x) 的泰勒级数展开。
课件：函数展开成幂级数
n1
n n1 n
(1)n1 3n xn( 1 x 1 )
n1
n
3
3
22
思考：
如何将下列函数 展开成 x 的幂级数.
（1）f
(
x)
ln
1 1
x x
（2）f (x) ln(1 x x2 )
23
例10. 将f (x) arcsinx 展开x的幂级数。
解: 因为 f ( x) (arcsin x) 1
12
对应
m
1 2
,
1 2
,1
的二项展开式分别为
1 x 1 1 x 1 x2 13 x3 135 x4 2 24 246 2468
( 1 x 1)
1 1
x
1
1 2
x
13 24
x2
135 246
x3
1 3 5 7 2468
x4
( 1 x 1)
1 1 x x2 x3 (1)n xn
1
x
1 x2 2!
1 x3 3!
1 xn n!
其收敛半径为
R lim
n
1 n!
1 (n 1)!
对任何有限数 x , 其余项满足
e xn1 e x (n 1)!
n
( 在0与x 之间)
故 ex 1 x 1 x2 1 x3 1 xn ,
2! 3!
n!
7
例2. 将
展开成 x 的幂级数.
解: f (n) (x)
•
ln(1
x)
xln221xn211n13[x13(14 x234)n] xn
(1)n (n321
xxn132)
x (1, 1]
函数展开成幂级数
1. 直接展开法
把函数 f (x) 展开成 x 的幂级数的步骤:
第一步 求出 f (x) , f (x) , , f (n) (x) , ,
第二步 求出 f (0) , f (0) , f (0) , , f (n) (0) , ,
第三步 写出幂级数
f (n) (0) xn ,并求出收敛半径 R .
n2 n 1
x (1)n1(2n 1) xn (1 x 1) .
n2 n(n 1)
例
将函数
sin
x
展开成
x
π 4
的幂级数.
解
sin x
sin
π 4
x
π 4
sin
π 4
cos
x
π 4
1 2(1
x)
1 2(3
x)
1
1
,
4 1
x 1 2
8 1
x
1 4
将 1 (1)n xn 中的 x分别换成 x 1 和 x 1 ,
1 x n0
24
可得
1
4
1
x
1 2
1 4
n0
(1)n 2n
n1 n
例 把函数 f (x) (1 x) ln(1 x) 展开成 x 的幂级数.
解
f (x) (1 x)
(1)n1 xn
n1 n
(1)n1 xn
函数如何展开成幂级数
函数如何展开成幂级数
幂次数展开是数学中一种将复杂表达式简化为幂次数级数的方法。
在数学中，当表达式较复杂时，该表达式可以通过展开为幂级数的形式进行简化，使其变得更容易理解。
首先，在将复杂的函数展开成幂级数时，我们需要定义计算变量，即幂级数的变量。
换句话说，我们必须先定义变量x，并确定它的取值范围。
接下来，需要确定待求函数的定义域，此外还需要证明该函数有可展开的级数形式。
展开成一维幂级数，我们需要求取函数上每个x值对应的比值函数，并对函数求不断导数，才能求到函数的幂级数展开式。
计算公式最重要的部分是求导数时要确定c，d，m，n的
具体值。
其实，这需要我们首先暂停函数在x=0时的导数值。
当把这些值都准备好后，就可以用欧拉循环去逐个迭代地计算展开为级数的幂指数p，当p满足递归关系式时停止迭代。
最后，将计算出的幂次数形式和原函数图像进行比较，对比整个函数展开的精度，这就是
将函数展开成幂级数的全过程。
总的来说，将复杂的函数展开到幂级数的步骤其实并不复杂，但是这里涉及到比较复杂的数学计算步骤，正确理解这些计算步骤就可以解决很多数学问题。
尽管使用幂次数可以简
化问题，但是这种方法也有一定的局限性，能够被展开到幂次数的函数必须有好的性质，
克服它的局限性也是一个重要的问题。
函数展成幂级数的公式
函数展成幂级数的公式
摘要：
一、引言
二、函数展成幂级数的定义
三、幂级数展开的公式
四、幂级数收敛性的判断
五、幂级数在数学中的应用
六、总结
正文：
一、引言
在数学中，函数展成幂级数是一种常见的数学方法。
通过这种方法，我们可以将一个复杂的函数表示为一系列简单的幂级数的和，从而更好地理解和研究这个函数。
二、函数展成幂级数的定义
函数展成幂级数，即将一个函数表示为一系列幂级数的和。
幂级数是一个形式为a_nx^n 的级数，其中a_n 是级数的系数，x 是自变量，n 是正整数。
三、幂级数展开的公式
如果一个函数f(x) 在某个区间内可积或者可微，那么它就可以在该区间内展成幂级数。
展成幂级数的公式为：
f(x) = a_0/1! + a_1/2!x^2 + a_2/3!x^3 + ...+ a_n/n!x^n + ...
其中，a_n 是幂级数的系数，由函数f(x) 在x=x_0 处的各阶导数决定。
四、幂级数收敛性的判断
幂级数的收敛性是指，当x 趋近于某个值时，幂级数的前n 项和是否趋近于某个极限。
如果幂级数是收敛的，那么它就可以用来近似表示函数。
五、幂级数在数学中的应用
幂级数在数学中有着广泛的应用，例如在解析函数、微积分、级数收敛性等领域都有着重要的作用。
六、总结
函数展成幂级数是数学中的一种重要方法，它可以帮助我们更好地理解和研究复杂的函数。
函数展开成幂级数讲解
n 0
(1)
x
2n
( 1 x 1 ).
17
例2 将 f ( x ) e 2 x 展开成x的幂级数. 2 3 x x 1 n x 解 e 1 x x , x (, ) 2! 3! n 0 n ! 将-2x代入上式中x的位置，即得
f ( x)
a
n 0
n
x
n
问题: 1.如果能展开, a n 是什么? 2.展开式是否唯一? 3.在什么条件下才能展开成幂级数?
6
函数能展开成幂级数的定义:
给定函数 如果能找到一个幂级数，使得 它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数 则称函数在该区间内能展开成幂级数
f ( x)
例如:
x
a
n
f ( n ) (0) (0) 1 (n 0 ,1,), an n!
x
( n 1)!
0，
e x n 1 e (n 1)!
lim Rn ( x ) 0.
n
x
( 在0与x 之间)
ex
1 n x , x ( , ) n 0 n !
n 0
( an x n ) (an x n )
n 0
x
n 0
x x0
收敛域 x
x ( R , R )
x ( R , R )
2
n 0
0 ( an x )d x (an xn )d x
n
x
n 0
n 0
0
二、幂级数和函数的求法
• 求部分和式的极限 （在收敛区间内） •逐项求导或求积分法
函数展开为幂级数的公式
函数展开为幂级数的公式
函数展开成幂级数公式为：1/(1-x)=∑x^n(-1），幂级数，是数学分析当中重要概念之一，是指在级数的每一项均为与级数项序号n相对应的以常数倍的（x-a）的n次方，n是从0开始计数的整数，a为常数。
幂级数是数学分析中的重要概念，被作为基础内容应用到了实变函数、复变函数等众多领域当中。
常用的全面的幂级数展开公式：f(x)=1/(2+x-x的平方)
每一项均为与级数项序号n相对应的以常数倍的（x-a）的n次方，n 是从0开始计数的整数，a为常数。
幂级数是数学分析中的重要概念，被作为基础内容应用到了实变函数、复变函数等众多领域当中。
扩展资料：
函数展开成幂级数的一般方法是：
1、直接展开
对函数求各阶导数，然后求各阶导数在指定点的值，从而求得幂级数的各个系数。
2、通过变量代换来利用已知的函数展开式
例如sin2x的展开式就可以通过将sinx的展开式里的x全部换成2x 而得到。
3、通过变形来利用已知的函数展开式
例如要将1/(1+x)展开成x−1的幂级数，我们就可以将函数写成x −1 的函数，然后利用1/(1+x)的幂级数展开式。
4、通过逐项求导、逐项积分已知的函数展开式
例如coshx=(sinhx)′，它的幂级数展开式就可以通过将sinhx的展开式逐项求导得到。
需要注意的是，逐项积分法来求幂级数展开式，会有一个常数出现，这个常数是需要我们确定的。
确定的方法就是通过在展开点对函数与展开式取值，令两边相等，就得到了常数的值。
5，利用级数的四则运算
例如sinhx=(e^x−e^{−x})/2，它的幂级数就可以利用e^x和e^{−x} 的幂级数通过四则运算得到。
高中数学(人教版)函数展开成幂级数解析优选教学课件
a2
f (x0 ) 2!
f (n) (x) n!an , x I 令 x x0
an
f (n) (x0 ) n!
a0
f (x0 ), a1
f
(x0 ) 1!
,
a2
f (x0 ) , 2!
,
an
f (n) (x0 ) n!
引言
在收敛域内
求和
幂级数 an xn n0
若在包含x0的某区间I内,等式
f (x)
f (x0 )
f (x0)x x0
f
( x0 2!
)
x
x0
2
f
(n) (x0 n!
)
(x
x0
)n
成立,称上式为f (x)的泰勒展开式(x0=0时,称为麦克劳林展开式).
定理
设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域 U(x0) 内具有各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是:
研究问题
近似计算 理论研究
f (x) a0 a1x x0 a2 x x0 2 an (x x0 )n (x I )
f (x)在什么条件下能展开为幂级数; f (x) 的展开式在什么范围内成立; f (x) 的展开式是否唯一; f (x) 的展开式如何确定.
第五讲 函数展开成幂级数
函数展开成幂级数
一、泰勒级数 二、函数展开成幂级数
函数展开成幂级数
一、泰勒级数 二、函数展开成幂级数
引言
在收敛域内
求和
幂级数 an xn n0
04_解析函数的幂级数展开
可交换性： 绝对收敛级数经改变项的位 置后构成的级数仍绝对收敛，而且与原 级数有相同的和. 若复数项级数 p 与 q 都绝对收敛，其 和分别为S 和 ，则它们的Cauchy乘 积 p q (p q p q ) (p q p q p q ) 也是绝对收敛的，且为S 。
孤立奇点的分类
孤立奇点分类：可去奇点、极点和本性 奇点
极点与零点的关系
第六节 解析函数在无穷远点的性态
定义
若 函 数 f ( z ) 在 无 穷 远 点 z 的 某 邻 域 R | z | 内 解 析 则 称 为 f ( z )的 孤 立 奇 点 .
从 函 数 的 极 值 看 ， z 是 f ( z )的 可 去 奇 点 ， 极 点 或 本性奇点的充分必要条件分别是：
2内 收 敛
于 f 2 ( z ). D 1与 D 2 有 一 公 共 区 域 ， 如 图 所 示 阴 影 区 域 ， 且 在 这 个 公 共 区 域 重 两 级 数 相 等 ， 所 以 f 2 ( z ) 为 f 1 ( z )的 解 析 延 拓 函 数 .事 实 上 ， 它 们 不 过 是 同 一 解 析 函 数 域 中 的 T a ylo r 级 数 而 已 . 1 1 z 在不同
第四章 解析函数的幂级数展开
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节
复数项级数与复变项级数 幂级数 解析函数的Taylor级数展开 解析函数的Laurent级数展开 孤立奇点 解析函数在无穷远点的性态 解析延拓
第一节 复数项级数与复变项级数
复数项级数概念
设有复数列 z ( k
k
k
k
k 1
解析函数展成幂级数的方法分析论文
┊┊ ┊┊ ┊┊┊ ┊┊┊┊ ┊ ┊装 ┊ ┊┊ ┊ ┊ 订┊ ┊┊┊ ┊ 线 ┊┊┊ ┊┊┊ ┊┊ ┊ ┊┊ ┊┊ 解析函数展开成幂级数的方法分析 樊庆仓 （伊犁师范学院数学与统计学院 新疆 伊宁 835000） 摘要：将解析函数展开成幂级数的方法不一，且比较复杂。
本文将从直接法和间接法这两大方法对解析函数进行幂级数的展开并加以分析。
关键词：解析函数；幂级数；直接展开；间接展开。
中图分类号： O175.8 一、 一、引言 解析函数的幂级数展开是作为一个强有力的教学工具，在整个分析学中占有举足轻重 的地位。
将一个函数展开为幂级数是级数部分最重要的运算之一。
展开的方法可分为两种， 一是直接展开法，即先求各阶导数，再按泰勒级数或麦克劳林级数写出，最后验证在级数 收敛区间内lim n →∞n R（x ）=0 。
二是间接展开法，即利用某些已知的初等函数的幂级数展 开式和幂级数的代数运算及分析运算的性质，推出相应的展开式。
用直接展开法具有一定的 缺点，即工作量大，()()n f x 的规律难以寻求，还要讨论余项的性质不易使用。
为了避免余项 的讨论经常使用间接展开法。
本文通过举例讲解将函数展开成幂级数的各种方法，比较它们 优缺点，使学生在充分认识函数的幂级数展开的重要性的基础上，掌握如何针对不同的函数 选择最简单快捷的方法来展开幂级数，提高学生的计算和运算能力。
二、预备知识 (一）、幂级数的解析性 定理：幂级数)(0a z C n n -∑∞=n 的和函数，f(z)是收敛圆内的一个解析函数，且其各阶导数为： )1()()(-=∑∞=n n C z f pn n p ……p n a z p n --+-))(1(，其中，p 为自然数，2,1,0(!)()(==p n a f C p P …) （二）、解析函数的泰勒展开 泰勒（Taylor)展开定理：设f(z)在区域D :)(0R z z <-内解析，则在D 内f(z)可展为泰勒级数：nn n z z a z f )()(00-=∑+∞=，)(0R z z <-，其中，2,1,0(!)()()(210)(10==-=⎰+n n z f z d f i a n c n n ξξξπ…）。
幂级数展开精品文档19页
问题：
• 一个幂级数是其收敛圆内的解析函数，反之如何？
泰勒定理：
• 一个在圆|z-b|=R 内解析的函数f(z)可以展开为幂级数 f(z) = ∑k=0 ak(z-b)k
• 该幂级数在圆|z-b|=R内收敛； • 以b为中心的展开式是唯一的； • 系数 ak=f(n)(b)/n! • 应用柯西积分公式，系数也可以表示为
= ∑k=0 z2k/(2k)! • 该幂级数在圆|z|< 内收敛；
幂级数和泰勒展开
例4：
• 题目：
• 在b = 0 的邻域上把 f(z)=ln(1-z) 展开。
• 解答：
• ln(1-z) = -∫(1-z)-1dz • (1-z)-1 = ∑k=0 zk • ln(1-z) = -∫∑k=0 zk dz = - ∑k=0 zk+1/(k+1)
例1：
• 题目：
• 在|z|>0的区域上把f(z)=cosh(z)/z展开。
• 解答：
• cosh(z) = ∑k=0 z2k/(2k)! • cosh(z)/z = ∑k=0 z2k-1/(2k)!
• 定义： >0, sn(z)|<
• 性质：
N( ),, s.t. n>N( )
|s(z)-
• 各项连续 和连续，和的积分=各项积分之和；
• 各项可导 和可导，和的导数=各项导数之和
幂级数和泰勒展开
幂级数
形式：
• s(z) = ∑k=0 ak(z-b)k
收敛域：
• R = limk |ak/ak+1|
例5：
• 题目：
• 在b = 0 的邻域上把 f(z)= (1-z)-2 展开。
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解析函数展开成幂级数的方法分析
姓名：媛媛
学号：************
专业：物理教育
指导教师：莉莉
解析函数展开成幂级数的方法分析
姓名
某某大学物理与电气信息工程学院
摘要：将解析函数展开成幂级数的方法不一，且比较复杂。
本论文着重介绍了将解析函数展开成幂级数的几种方法以及分析。
关键词：解析函数，幂级数，展开，奇点等。
一前言
解析函数的应用及现状：解析函数边值问题和广义解析函数边值问题在奇异积分方程方面有广泛的应用，它们在弹性力学、流体力学方面也有重要的应用。
这些方面的理论及其应用，主要是由苏联学者建立和发展起来的。
自20世纪60年代以来，中国的数学工作者在这些方面也做了不少工作。
关于解析函数的不同定义在20世纪初被证明是等价的。
基于魏尔斯特拉斯的定义，区域上的解析函数可以看作是其内任一小圆邻域上幂级数的解析开拓，关于解析开拓的一般定义是，f（z）与g（z）分别是D与D*上的解析函数，若DÉD*，且在D*上f（z）=g（z）。
则称f（z）是g（z）由D*到D的解析开拓。
解析开拓的概念可以推广到这样的情形：f（z）与g（z)分别是两个圆盘D1与D2上的幂级数，在D1∩D2上f（z)=g（z)则也称f与g互为解析开拓，把可以互为解析开拓的（f（z），Δ）的解析圆盘Δ全连起来，作成一个链。
它们的并记作Ω，得到了Ω上的一个解析函数，称它为魏尔斯特拉斯的完全解析函数，这里可能出现这样的情形，在连成一个链的圆盘中，有一些圆盘重叠在一起，但在这些重叠圆盘的每一个上的解析函数都是不一样的，它们的每一个都称为完全解析函数的分支。
这样的完全解析函数实际是一个多值函数。
黎曼提出将多值解析函数中的那些重叠的圆盘看作是不同的“叶”，不使他们在求并的过程中只留下一个代表，于是形成了一种称为黎曼面的几何模型。
将多值函数看作是定义于其黎曼曲面上的解析函数，这样多值解析函数变成了单值解析函数。
解析函数的基本性质：解析函数的导函数仍然是解析函数；单连通域内解析
函数的环路积分为0；复连通域内，解析函数的广义环路积分（即包括内外边界，内边界取顺时针为正）为0。
[1]
由于解析函数概念可推广为广义解析函数（基于把解析函数的实部、虚部所满足的柯西－黎曼方程组推广为较一般的一阶偏微分方程组），因此解析函数边值问题也可推广为广义解析函数边值问题，这是把函数论与偏微分方程结合起来的一个方向。
幂级数是分析学研究的重点之一，然而在组合数学中，幂级数也占有一席之地。
作为母函数，由幂级数概念发展出来的形式幂级数是许多组合恒等式的来源。
在电力工程学中，幂级数则被称为Z-变换。
实数的小数记法也可以被看做幂级数的一种。
解析函数的相关问题与幂级数的相关问题已被研究很久，上述就是研究成果的很小很小的一部分，但在这里我们只讨论解析函数展开成幂级数的方法与分析。
二 幂级数的解析性
定理：幂级数∑∞
=-0)(n n n a z c 的和函数，f （z ）是收敛圆内的一个解析函数，且
其各阶导数为：()()(1)
(1)()p n p n n p f z c n n n p z a ∞-==--+-∑，其中，p 为自然数，
()()(0,1,2,)!
p p f a c p p ==。
三 解析函数的泰勒展开
通过对幂级数的学习，我们已经知道一个幂级数的和函数在它的收敛圆的内部是一个解析函数。
现在我们来研究与此相反的问题，就是：任何一个解析函数是否能用幂级数来表示？这个问题不但有理论意义，而且很有实用价值。
泰勒(Taylor )展开定理：设f （z ）在区域D ：0||z z R -<内解析，则在D 内f （z ）可展为泰勒级数：000()(), (||)n n n f z a z z z z R +∞
==--<∑，其中，
()010()1() (0,1,2,)2i ()!n n n C f z f d a n z n ξξπξ+===-⎰。
且展式是唯一的。
特别地，当
00z =时，级数()0(0)!n n n f z n ∞
=∑称为麦克劳林级数。
泰勒展开定理本身提供了一种展开方法，即求出代入即可，这种方法称为直接展开法。
[2]当f （z ）较复杂时，求()0()n f z 比较麻烦。
根据泰勒展式的唯一性，因此通常用间接展开法，即利用基本展开公式及幂级数的代数运算、代换、逐项求导或逐项积分等将函数展开成幂级数，基本展开公式如下：
20111, !2!!n z n n z e z z z z n n ∞
===+++++<∞∑ 1212240(1)11(1)cos 1, (2)!2!4!(2)!
n n n n
n z z z z z z n n ++∞=--==-++++<∞∑ 2121
350(1)11(1)sin , (21)!3!5!(21)!n n n n n z z z z z z z n n ++∞=--==-++++<∞++∑
2011, 11n n n z z z z z z ∞===+++++<-∑
例：将函数()1
z f z z =
+，在|1|2z -<内展开成幂级数。
解：1()111z f z z z ==-++ 11(1)2
z =--+ 0111111(1)122212
n n n z z ∞=-⎛⎫=-⋅=-- ⎪-⎝⎭
+∑ 10(1)1(1), (12)2n
n
n n z z ∞+=-=---<∑ 还有在直接利用基本展开公式时，还可以利用替换法求得，例如：将函数3
1()z f z z -=，以z =-1为中心展开为幂级数。