高中数学讲义微专题27 三角函数的值域

微专题27

三角函数的值域与最值

一、基础知识

1、形如()sin y A x ωϕ=+解析式的求解：详见“函数()sin y A x ωϕ=+解析式的求解”一节，本节只列出所需用到的三角公式 （1）降幂公式：2

21cos21cos2cos

,sin 22

αα

αα+-=

=

（2）2sin cos sin2ααα=

（3）两角和差的正余弦公式

()sin sin cos sin cos αβαββα+=+ ()sin sin cos sin cos αβαββα-=- ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=- ()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+

（4）合角公式：()22sin cos a b a b αααϕ+=++，其中tan b a

ϕ=

2、常见三角函数的值域类型：

（1）形如()sin y A x ωϕ=+的值域：使用换元法，设t x ωϕ=+，根据x 的范围确定t 的范围，然后再利用三角函数图像或单位圆求出x ωϕ+的三角函数值，进而得到值域 例：求()2sin 2,,444f x x x πππ⎛⎫

⎡⎤=-

∈- ⎪⎢⎥⎝

⎭⎣⎦

的值域 解：设24

t x π

=-

当,44x ππ⎡⎤

∈-

⎢⎥⎣⎦

时，32,444t x πππ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦

22sin 22t ⎡∴∈-⎢⎣⎦

()2,2f x ⎡⎤∴∈-⎣⎦

（2）形如()sin y f x =的形式，即()y f t =与sin t x =的复合函数：通常先将解析式化简为同角同三角函数名的形式，然后将此三角函数视为一个整体，通过换元解析式转变为熟悉的

函数，再求出值域即可

例：求()2

2sin cos 2,,63f x x x x ππ⎡⎤

=-+∈-

⎢⎥⎣⎦

的值域 解：()()

2

2

sin 1sin 2sin sin 1f x x x x x =--+=++

设sin t x =

2,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ 1,12t ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦

2

213

124

y t t t ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭

3,34y ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦

，即()f x 的值域为3,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦

（3）含三角函数的分式，要根据分子分母的特点选择不同的方法，通常采用换元法或数形结

合法进行处理（详见例5，例6） 二、典型例题

例1：已知向量()()

()cos ,sin 3cos ,cos 3sin ,sin ,a x x x b x x x f x a b =+=--=⋅ （1）求函数()f x 的单调递增区间 （2）当,64x ππ⎡⎤

∈-

⎢⎥⎣

⎦时，求()f x 的取值范围

解：（1）()()()

()cos cos sin sin f x a b x x x x x x =⋅=++⋅-

2

2

cos sin cos x x x x =--

cos 222cos 23x x x π⎛

⎫

==+

⎪⎝

⎭

()522223

3

6

k x k k x k k Z π

π

π

ππππππ+≤+

≤+⇒

+≤≤

+∈ ∴单调递增区间为：()5,36k k k Z ππππ⎡⎤

++∈⎢⎥⎣⎦

（2）思路：由（1）可得：()2cos 23f x x π⎛

⎫

=+ ⎪⎝

⎭

，从,64x ππ⎡⎤

∈-

⎢⎥⎣⎦

得到角23x π+的范围，

进而求出()f x 的范围

解：由（1）得：()2cos 23f x x π⎛

⎫

=+

⎪⎝

⎭

,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ 52,20,3236x x ππππ⎡⎤

⎡⎤∴∈-⇒+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦

⎣⎦

cos 2,132x π⎡⎤⎛

⎫∴+∈-⎢⎥ ⎪⎝

⎭⎣⎦ ()2cos 223f x x π⎛⎫⎡⎤∴=+∈ ⎪⎣⎦⎝⎭ 小炼有话说：对于形如()()sin f x A x ωϕ=+的形式，通常可先计算出x ωϕ+的范围，再确定其三角函数值的范围

例2：已知函数()cos 22sin sin 344f x x x x πππ⎛

⎫

⎛

⎫⎛⎫=-

+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭⎝

⎭⎝⎭ （1）求函数()f x 的最小正周期和图像的对称轴方程 （2）求函数()f x 在区间,122ππ⎡⎤

-

⎢⎥⎣

⎦的值域 解：（1）()cos 22sin sin 344f x x x x πππ⎛⎫

⎛

⎫⎛⎫=-

+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭⎝

⎭⎝⎭

1cos 2222x x x x x x ⎫=+++⎪⎪⎝⎭⎝⎭

221cos 22sin cos 22

x x x x =

++-

11cos 22cos 22cos 22222x x x x x =

+-=- sin 26x π⎛⎫

=-

⎪⎝

⎭

T π∴= 对称轴方程：()26

2

3

2

k x k x k Z π

π

π

π

π-

=

+⇒=

+

∈ （2）思路：将26

x π-视为一个整体，先根据x 的范围求出26

x π-

的范围，再判断其正弦值

的范围

解：()sin 26f x x π⎛⎫

=-

⎪⎝

⎭

,122x ππ⎡⎤

∈-⎢⎥⎣⎦

52,636x πππ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦

()sin 262f x x π⎡⎤⎛

⎫∴=-∈-⎢⎥ ⎪⎝

⎭⎣⎦