数学解题错误的分析

高中学生数学解题常见错误的分析

甘肃省景泰京华中学教研室 李怀忠 730400

在平时的数学教学中，经常会看到学生在解题中犯一些“低级错误”，明明

是会做的题目却偏偏做错了，老师要求学生改正，但错误依旧重复昨天的故事，究其错误的原因很多，与学生的认知水平有关，与学生掌握知识的程度有关，与学生心理状态有关。找出学生解题错误的原因，对于提高课堂教学质量与效率具有十分重要的意义。本文就学生在解题中的常见错误作一归纳总结。

一、知识结构不完善

主要表现在以下几个方面： （1）概念，性质含糊不清。

学生在接受新概念的过程中，由于认识的偏差，对新概念的条件和结论不能完整把握或对概念的理解支离破碎，以致在解题过程中对概念和性质含糊不清。

例1：在等比数列{a n }中，已知a n =n 3

1

，求a 2+a 4+…+a 2n +…

错解： 根据题意a 1=31，q=31，则数列a 2，a 4，a 6，，a 2n 是首项为9

1

，公比

为91的等比数列，所以a 2+a 4+…+a 2n +…=])91(1[819

1]

)91(1[91n n -=--

错因 对数列前n 项和的概念与各项和的概念的混淆。

正解 a 2+a 4+…+a 2n +…=81

9

191

=-

（2）忽略公式和重要结论存在的条件

例2 设数列{a n }，前n 项的和Sn=3n +2n +5，求数列的通项 错解 由a n =S n -S n-1=2×3n-1-2n-1即为所求，

错因 上述错误原因在于忽略公式“a n =S n -S n-1”对n ≥2成立。 二、思维逻辑不合理

从本质上说，逻辑也属于知识范畴，但有时导致错误的盲点是在于逻辑，而不在于教学，其有以下几种表现：①潜在假设，所谓潜在假设，就是还没有经过讨论的，就总认为正确的必然的那种想法②“偷梁换柱”③对参数分类不当④非等价变换⑤“循环论证”⑥因果关系不明

例3、设椭圆的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率e=2

3

，已知点P （0，

2

3

）到这个椭圆上的点的最远距离为7，求这个椭圆的方程 错解；如图1，认为点P （0，2

3

）到这个椭圆上的点的最远距离是|PB|，可

设椭圆方程为：12222=+b

y a x （a>b>0），则由e=23=a c ① a 2=b 2+c 2

② b+23=7

③ 解得a=27-3 b=7-

2

3

。 错因 当然也有学生认为点P （0，2

3

）到这个椭圆上的点的最远距离是|PA|

或|PC|。上述解法学生均在不适当的潜在假设基础上，必然导致错误。

正解 设椭圆上点M （x 0，y 0）到点P 的距离最远，则M （x 0，y 0）满足

12

2

220=+b y a x （a>b>0）

，由a=2b ， 则|PM|=202202

0)23(44)23(-+-=-+y y b y x o (-b ≤y 0≤b)

化简后得：

|PM|=34)2

1

(3220+++-b y （-b ≤y 0≤b ），然后讨论对称轴y 0=-21在区间

[-b ，b]内、外两种情况得：当y 0=-2

1

时，|PM|max =7342=+b ，此时b=1，a=2。 例4、已知函数f （x 2

-3）=lg 6

22

-x x ，判断函数f （x ）的奇偶性。

错解 设t=x 2-3，则x 2=t+3，所以f （t ）=lg 33-+t t ，即f （x ）=lg 3

3

-+x x 。又因为f （-x ）=lg

=--+-33x x lg 3

3

+-x x =-f （x ），所以f （x ）是奇函数。 错因 转换不等价，没有考虑求出函数的定义域。

正解 因为6

22

-x x >0 ，所以x 2>6，即t=x 2-3>3。所以f （x ）=lg 33-+x x （x>3）

的定义域不关于原点对称，是非奇非偶的函数。

三、心理性错误

数学习题的解答，除了依靠学生的知识技能之外，还和本身的心理能力和智力分不开，即使知识技能掌握的不错，也可能因为心理障碍而产生错误，甚至一筹莫展，一些同学对立体几何就存在心理障碍。那么，高中阶段的学生心理表现在以下几个方面；

（1）能力的缺失，这里所说的心理能力包括识别能力，记忆能力，信息加工能力，想象能力，由于上述能力的不足，导致学生在解决数学问题时不能准确的确立问题的类型；不能对以前出现过的问题迅速的识别；同时，对于数据较多的习题，表现为顾此失彼。

例5、已知集合A={y|y=1-x 2，x ∈R}，B={y|y=2x 2，x ∈R}，求A ∩B 。

错解 根据题意由 y=1-x 2 ① y=2x 2 ② 解得

x=-

33 x=3

3 y=

32 y=32 所以A ∩B={（- 33，32），（3

3，32）} 错因 学生由于对问题识别能力的缺失，未弄清集合中元素的特征，本题中

两个集合的代表元素是y ，是二次函数的值组成的集合，是求两个函数的值域组成集合的交集。

正解 ={y|y=1-x 2，x x ∈R }={y|y ≤1}，B={y|y=2x 2，x ∈R}={y|y ≥0} 所以A ∩B={y|0≤y ≤1}。 （2）惰性心理造成的错误

数学概念拓展了，但学生的思维产生了惰性，停留在原有的认知。如高中数学将数的概念拓展到复数后，学生的思维还停留在实数，以致于经常有：z 2≥0，|z|2=z 2；z 12+z 22=0⇔z 1=0且z 2=0；|z 1|=|z 2|⇒z 1=±z 2；z 1-z 2>0⇒z 1>z 2；z 13=z 23

⇒z 1=z 2等等

例6、已知|z|-z=1-i ，求z 。

错解 由已知|z|-z=1-i ，得：|z|=z+1-i ，有|z|2=（z+1-i ）2，则z 2=z 2+2

（1-i ）z+（1-i ）2，得z=2

1i

+-

错因 上述解法的错误在于学生的思维还停留在实数，误以为|z|2=z 2，

高中数学这种由惰性心理造成的错误还有：无限运算停留在有限运算，∞

∞

=1，∞-∞=0等等；立体几何思维停留在平面几何思维，如在立体几何中学生依然有a ⊥c 且 b ⊥c ⇒a ∥b 等等；解析几何中极坐标（0，1）理解为直角坐标（0，1）等等。

（3）局部成就心理造成错误

观察、分析能力较差的学生，在数学解题过程中易产生局部满足感，见木不见林，经常表现为忽视隐含条件而导致错误。

例7、在△ABC 中，已知cosA=53，sinB=13

5

，求cosC 的值。

错解 由cosA=53，sinB=135，知sinA=54，cosB=±13

12

，由cosC=-cos （A+B ）代入

得：cosC=-6516或65

56

。 错因 其实上述解法问题在于当cocB=-1312

<-2

2，B ∈（0，л）时，B>43π，

又cosA=53<22

，A ∈（0，л），A>4

π，此时A+B>л，与三角形内角和为л矛盾，

不可能取cosC=

65

56