第九章 固体材料的电子结构与物理性能
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a.波函数不具有晶体周期性，而（k为实数时） 电子分布几率具有晶格的周期性
ik r
( x) e u ( x) 2 2 2 | ( x) | | ( x a) | | u( x) |
ika
b.当k为虚数，描写电子的表面态，k＝is(s>0)
( x) e u( x) S小于0时无意义.
x
a
m
m ( i ) f ( x ma)
求波矢k。
( x a) sin(
方法b.
( x a)) sin a a x ika ika e ( x) e sin a ika k (2 1) 第一布区：k e 1 a a x ika ika ( x) e e sin a ik ( x a ) ika u ( x a) e sin ( x a) e u ( x) a
ika
Bloch定理 ： 在周期性势场中运动的电子的 波函数具有如下形式
( x) e u ( x)
ika
u ( x) 满足晶格的周期性 其中：
推广 ：
ik r (r ) e u (r )
三维情况
e 描写电子的共有化状态 u (r ) 描写电子在原胞中的运动
2）Bloch波的性质
ˆf ( x) f ( x a) T ˆ (T ˆf ( x)) T ˆf ( x a) f ( x 2a) T
定义平移算符：
ˆ与T ˆ 对易否？ 设 为H的本征函数 问题： H ˆ (H ˆ ( x)) H ( x a) ( x a) H ( x)T ( x) ( x) T
n n ika ˆ T ( x) ( x) 取 e k 为变量
ika ˆ ( x a) T ( x) e ( x)
ika 则： ( x) e u ( x)
u ( x) 具有晶格周期性 其中：
证明：
( x) e u ( x) ik ( x a ) ikx ika u ( x a) e ( x) e e ( x)
n
( x) e k K n ( x) e k K n ika
具有共同本征值.
k
与 k K
n
描写同一状态.
因此可以把波矢限制在第一布区内 波矢数：
2 2 / N a Na
a
k
a
考虑自旋：电子数为2N
例：电子波函数为： 解：（1）方法a
(1). ( x) sin (2). ( x)
u (r )
其中u具有晶格的周期性，即
u(r ) u(r n1a1 n2 a2 n3 a3 )
证明：问题：求H的本征函数，直接求困难.
由量子力学知道，如果两算符对易，则它们具有共同的本征函数.
方法：
ˆ ˆ与 H 引进T 平移算符， T ˆ 对易， ˆ 的本征函数 ˆ的本征函数也就求出了 H 求出了T
周期场近似： 原子实和电子所形成的势场是周期性的。
多粒子系统
多电子系统
原子核静止
单电子系统
即：每个电子在由正离子产生的和其他电子的平均 电荷分布的势场中运动.
hatree Fock自洽场
2.周期性势场 ：单电子近似的结果：周期性势场（周
期为一个晶格常数）
v( x a) v( x) v ( Rn r ) v ( r )
k ( x) k K n ( x a)
ika ˆ 证明： T k ( x) k ( x a) e k ( x) ˆ T ( x) ( x a)
k Kn k Kn
e e
i (k Kn )a i 2n ika
k K ( x)
Schrodinger eq. 3. Bloch波
1－D
3－D
r为电子位置矢量
R n 为离子的位矢
2 2 ( v(r )) (r ) E (k ) (r ) 2m
1）Bloch定理：在周期性势场中运动的电子，气波函 数由如下形式
(r ) e
ik r
ie
ikx
ikx
kxe kxe
ikx
ikx
ie
ˆ, x ˆ 不对易.可以证明 Py , x 是对易的 P ˆ 的本征值. ( x) 又是 T
ˆ 的本征函数. ( x) 又是 T
ˆ ( x) ( x) T 为本征值 2 ˆ ˆ T (T ( x)) T ( x) ( x)
ˆH ˆ H ˆT ) 0 (T
ˆ 与T ˆ 对易 H
任意两个算符对易吗？
ˆ 设பைடு நூலகம்P x
ˆ x
( x) e
ikx
ˆ ,x ˆx ˆ ) ( x) ˆ ˆ ˆ [P ] ( P x P x x x
ikx ikx i ( xe ) ix e x x
sx
c) 周期边界条件： ( x Na) ( x)
ikNa ˆ ( x Na) T ( x) e ( x) 2 2 2 ikNa k n e 1 x k Na Na L
d) 波矢相差倒格矢整数倍的Bloch波等效.因此把波矢限 制在第一布区内.且第一布区内的分立波矢数为晶体原胞 数N可容纳的电子数为2N.
2.电子发射
3.电子气的顺磁与逆磁效应 困难： 1. 磁阻 2. 霍耳效应 3.电导、热导
二、3个重要近似和周期性势场
由于原子核质量比电子的质量大得多，电子的运 绝热近似： 动速度远大于原子核的运动速度，即原子核的运 动跟不上电子的运动。所以在考虑电子的运动时， 认为原子实不动。
单电子近似： 一个电子在离子实和其它电子所形成的势场中 运动。又称hartree-Fock自洽场近似。
第九章 固体材料的电子结构与 物理性能
第一节 固体的能带理论 第二节 半导体 第三节 材料的磁性 第四节 材料的光学性能 第五节 材料的热学性能 第六节 功能材料举例
第一节
固体能带理论
一、自由电子模型（前面几节使用的）
在这个模型中，电子与电子，晶格与电子之间的相互 作用被忽略 .也可以这样说晶格对电子的影响视为平均 势场. 索米菲理论：自由电子模型＋费米狄拉克分布 解释： 1.电子气热容量
ik r
( x) e u ( x) 2 2 2 | ( x) | | ( x a) | | u( x) |
ika
b.当k为虚数，描写电子的表面态，k＝is(s>0)
( x) e u( x) S小于0时无意义.
x
a
m
m ( i ) f ( x ma)
求波矢k。
( x a) sin(
方法b.
( x a)) sin a a x ika ika e ( x) e sin a ika k (2 1) 第一布区：k e 1 a a x ika ika ( x) e e sin a ik ( x a ) ika u ( x a) e sin ( x a) e u ( x) a
ika
Bloch定理 ： 在周期性势场中运动的电子的 波函数具有如下形式
( x) e u ( x)
ika
u ( x) 满足晶格的周期性 其中：
推广 ：
ik r (r ) e u (r )
三维情况
e 描写电子的共有化状态 u (r ) 描写电子在原胞中的运动
2）Bloch波的性质
ˆf ( x) f ( x a) T ˆ (T ˆf ( x)) T ˆf ( x a) f ( x 2a) T
定义平移算符：
ˆ与T ˆ 对易否？ 设 为H的本征函数 问题： H ˆ (H ˆ ( x)) H ( x a) ( x a) H ( x)T ( x) ( x) T
n n ika ˆ T ( x) ( x) 取 e k 为变量
ika ˆ ( x a) T ( x) e ( x)
ika 则： ( x) e u ( x)
u ( x) 具有晶格周期性 其中：
证明：
( x) e u ( x) ik ( x a ) ikx ika u ( x a) e ( x) e e ( x)
n
( x) e k K n ( x) e k K n ika
具有共同本征值.
k
与 k K
n
描写同一状态.
因此可以把波矢限制在第一布区内 波矢数：
2 2 / N a Na
a
k
a
考虑自旋：电子数为2N
例：电子波函数为： 解：（1）方法a
(1). ( x) sin (2). ( x)
u (r )
其中u具有晶格的周期性，即
u(r ) u(r n1a1 n2 a2 n3 a3 )
证明：问题：求H的本征函数，直接求困难.
由量子力学知道，如果两算符对易，则它们具有共同的本征函数.
方法：
ˆ ˆ与 H 引进T 平移算符， T ˆ 对易， ˆ 的本征函数 ˆ的本征函数也就求出了 H 求出了T
周期场近似： 原子实和电子所形成的势场是周期性的。
多粒子系统
多电子系统
原子核静止
单电子系统
即：每个电子在由正离子产生的和其他电子的平均 电荷分布的势场中运动.
hatree Fock自洽场
2.周期性势场 ：单电子近似的结果：周期性势场（周
期为一个晶格常数）
v( x a) v( x) v ( Rn r ) v ( r )
k ( x) k K n ( x a)
ika ˆ 证明： T k ( x) k ( x a) e k ( x) ˆ T ( x) ( x a)
k Kn k Kn
e e
i (k Kn )a i 2n ika
k K ( x)
Schrodinger eq. 3. Bloch波
1－D
3－D
r为电子位置矢量
R n 为离子的位矢
2 2 ( v(r )) (r ) E (k ) (r ) 2m
1）Bloch定理：在周期性势场中运动的电子，气波函 数由如下形式
(r ) e
ik r
ie
ikx
ikx
kxe kxe
ikx
ikx
ie
ˆ, x ˆ 不对易.可以证明 Py , x 是对易的 P ˆ 的本征值. ( x) 又是 T
ˆ 的本征函数. ( x) 又是 T
ˆ ( x) ( x) T 为本征值 2 ˆ ˆ T (T ( x)) T ( x) ( x)
ˆH ˆ H ˆT ) 0 (T
ˆ 与T ˆ 对易 H
任意两个算符对易吗？
ˆ 设பைடு நூலகம்P x
ˆ x
( x) e
ikx
ˆ ,x ˆx ˆ ) ( x) ˆ ˆ ˆ [P ] ( P x P x x x
ikx ikx i ( xe ) ix e x x
sx
c) 周期边界条件： ( x Na) ( x)
ikNa ˆ ( x Na) T ( x) e ( x) 2 2 2 ikNa k n e 1 x k Na Na L
d) 波矢相差倒格矢整数倍的Bloch波等效.因此把波矢限 制在第一布区内.且第一布区内的分立波矢数为晶体原胞 数N可容纳的电子数为2N.
2.电子发射
3.电子气的顺磁与逆磁效应 困难： 1. 磁阻 2. 霍耳效应 3.电导、热导
二、3个重要近似和周期性势场
由于原子核质量比电子的质量大得多，电子的运 绝热近似： 动速度远大于原子核的运动速度，即原子核的运 动跟不上电子的运动。所以在考虑电子的运动时， 认为原子实不动。
单电子近似： 一个电子在离子实和其它电子所形成的势场中 运动。又称hartree-Fock自洽场近似。
第九章 固体材料的电子结构与 物理性能
第一节 固体的能带理论 第二节 半导体 第三节 材料的磁性 第四节 材料的光学性能 第五节 材料的热学性能 第六节 功能材料举例
第一节
固体能带理论
一、自由电子模型（前面几节使用的）
在这个模型中，电子与电子，晶格与电子之间的相互 作用被忽略 .也可以这样说晶格对电子的影响视为平均 势场. 索米菲理论：自由电子模型＋费米狄拉克分布 解释： 1.电子气热容量