中小柔度杆临界应力计算欧拉公式
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材料力学简明教程(景荣春)课后答案第九章
解 设各杆与铅垂线夹角为 θ ，则由平衡的各杆的受力
130
3FN cosθ = F ， FN =
设钢管材料为 Q235，则
F F 2 .5 5 F = ⋅ = = 0.417 F 3 cos θ 3 2 12
= 269 > λp D2 + d 2 30 2 + 22 2 × 10 −3 π 2 EI π 3 E (D 4 − d 4 ) π 3 × 210 × 10 9 × (30 2 − 22 2 )× 10 −12 Fcr = = = = 9.37 kN 2 64 × 2.5 2 (μl )2 64(μl ) Fcr F 1 1 9.37 × 10 3 [F ] = = × = × = 7.49 kN 0.417 0.417 [n]st 0.417 3 i = =
9-4 三根圆截面压杆，直径均为 d = 160 mm ，两端均为球铰铰支，长度分别为 l1 , l2 和
l3 ， 且 l1 = 2l 2 = 4l3 = 5 m 。 材 料 为 Q235 钢 ， E = 206 GPa ， σ s = 235 MPa ，
129
σ p = 200 MP a 。求各杆的临界压力 Fcr 。
第 9 章 压杆稳定
思考题
9-1 压杆失稳是指压杆处于什么状态？ 答 压杆失稳是指压杆直线形态的平衡开始丧失的状态。 9-2 压杆临界力的物理意义是什么？影响临界力 Fcr 大小的因素有哪些？ 答 压杆临界力的物理意义是压杆保持微小弯曲的最小压力。 9-3 为什么说欧拉公式有一定的适用范围？超出这一范围时，应如何求压杆的临界 力？ 答 欧拉公式只适用于压杆横截面上应力小于比例极限的条件， 即压杆的 λ ≥
答 长度因数范围： 0.7 < μ < 2 。
经验公式和临界应力总图
欧拉公式的适用范围经验公式一、临界应力A l EI A F σ22cr cr )(πμ==I i A=令 ， i ：惯性半径 令 ，λ：压杆的柔度（长细比）。
i lμλ=()(/)22222ππE E i l l i μμ=⋅=22πE λ=二、 欧拉公式的适用范围或 =≤2cr p 2πE σσλ=1pπE σλ≥2p πE σλ令 λ ≥ λ1的杆称为大柔度压杆或细长压杆。
当 λ＜λ1 但大于某一数值 λ2的压杆不能应用欧拉公式，此时需用经验公式。
Q235钢，取 E =206GPa ，σp =200MPa ，得916p 20610ππ10020010E σλ⨯==≈⨯三. 常用的经验公式式中：a 和b 是与材料有关的常数，可查表。
直线公式 s cr σλ≤-=b a σ 的杆为中柔度杆，其临界应力用经验公式计算。
12λλλ<≤或 ba s σλ-≥ba s σλ-=2令1λλ≥12λλλ<≤四、压杆的分类及临界应力总图1.压杆的分类2cr 2πE σλ=λb a σ-=cr scr σσ=（1）大柔度杆 （2）中柔度杆 （3）小柔度杆 2λλ≤2.临界应力总图 s cr σσ=λb a σ-=cr 22cr πλE σ=crσλλ1 λ2 p σsσ例题压杆截面如图所示。
两端为柱形铰链约束，若绕y 轴失稳可视为两端固定，若绕z轴失稳可视为两端铰支。
杆长l=1m，材料的弹性模量E=200GPa，p=200MPa。
求压杆的临界应力。
30mm yz解： ==1p π99E σλ31(0.030.02)120.0058m 0.030.02y y I i A=⨯==⨯30mm y z m 0087.0==AI i z z15.0==z y μμ11586====z z z y y y i l i lμλμλλz > λy ，所以压杆绕 z 轴先失稳， 且 λz =115 > λ1，用欧拉公式计算临界力。
小柔度杆9-4欧拉公式的应用范围经验公式
16
§9-4 欧拉公式的应用范围经验公式
四、压杆的分类及临界应力总图
1.压杆的分类 （1）大柔度杆
1
π 2 EI Fcr ( l )2
（2）中柔度杆
2 1
σcr a b σcr σs
17
（3）小柔度杆
2
§9-4 欧拉公式的应用范围经验公式
x x
y
y z
880 1000
880
z
8
§9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
x x F
880 1000
880
l
y
y z
z
F
分析思路： （1）杆件在两个方向的约束情况不同；
（2）计算出两个临界压力. 最后取小的一个作为压杆
的临界压力.
9
§9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
x
π 2 EI 3.142 2.1 1011 6.5 10 8 Fcr 2 ( l ) (1 1)2 134.6kN
15
§9-4 欧拉公式的应用范围经验公式
三. 常用的经验公式
直线公式 或 令
σcr a b s
a s b a s 2 b
式中：a 和 b是与材料有关的常数，可查表得出.
2 是对应 直线公式的最低线.
2 1的杆为中柔度杆，其临界应力用经验公式.
第九章 压 杆 稳 定
1
§9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
2
§9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
1.细长压杆的形式
两 端 铰 支 一端 自由 一端 固定
两 端 固 定
一端 固定 一端 铰支
§9-4 欧拉公式的应用范围经验公式
四、压杆的分类及临界应力总图
1.压杆的分类 （1）大柔度杆
1
π 2 EI Fcr ( l )2
（2）中柔度杆
2 1
σcr a b σcr σs
17
（3）小柔度杆
2
§9-4 欧拉公式的应用范围经验公式
x x
y
y z
880 1000
880
z
8
§9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
x x F
880 1000
880
l
y
y z
z
F
分析思路： （1）杆件在两个方向的约束情况不同；
（2）计算出两个临界压力. 最后取小的一个作为压杆
的临界压力.
9
§9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
x
π 2 EI 3.142 2.1 1011 6.5 10 8 Fcr 2 ( l ) (1 1)2 134.6kN
15
§9-4 欧拉公式的应用范围经验公式
三. 常用的经验公式
直线公式 或 令
σcr a b s
a s b a s 2 b
式中：a 和 b是与材料有关的常数，可查表得出.
2 是对应 直线公式的最低线.
2 1的杆为中柔度杆，其临界应力用经验公式.
第九章 压 杆 稳 定
1
§9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
2
§9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
1.细长压杆的形式
两 端 铰 支 一端 自由 一端 固定
两 端 固 定
一端 固定 一端 铰支
临界力及临界应力的计算.
由结点B的平衡条件确定支架的承载力Pmax： 4 Y 0, N BA sin Pmax 0; Pmax N BA sin 59.6 47.7kN ;
5
实际工程中应再考虑安全系数，取[P]=Pmax/nst。
返回 下一张 上一张 小结
平衡时的最小压力值。
3)临界压力与压杆失稳：
在较小轴向压力F 作用下, 试件可保持稳定平衡；
但 F 增大到某一值 Fcr 时,
试件开始出现不稳定平衡, 我们将此 Fcr称为临界压力。 试 件
压杆由于处于不稳定衡 状态而造成的失效时， 我们称之为“压杆失 稳” 。
三、工程中的压杆稳定性问题
压杆失稳导致钢梁倒塌
2 EI z 3.142 10103 28.8 106 P 178KN lj 2 2 l 0.5 8000
比较计算结果可知：第一种情况临界压 力小，所以木柱将在最大刚度平面内失稳 （即绕y轴，在xoz平面内失稳）。 此例说明，当最小刚度平面和最大刚度平面 内支承情况不同时，压杆不一定在最小刚度 平面内失稳，必须经过计算才能最后确定。
2000年10月25日上午10时许南京电视台演播厅工 程封顶，由于脚手架失稳，模板倒塌，造成6人死亡， 35人受伤，其中一名死者是南京电视台的摄象记者。
第九章 压杆稳定
实际的受压杆件由于： 1. 其轴线并非理想的直线而存在初弯曲， 2. 作用于杆上的轴向压力有“偶然”偏心， 3. 材料性质并非绝对均匀， 因此在轴向压力作用下会发生弯曲变形，且由此引起的侧 向位移随轴向压力的增大而更快地增大。
两端铰支细长压杆： μ＝1；
Plj
2 EI
(ul)
2
2 200106 158108
工程力学28-压杆的临界应力
件；临界应力图的绘制及运用临界应力图判断 杆件属于哪类杆件 • 掌握：不同约束条件下杆件柔度和临界应力的 计算
——重点
（1） P cr S时： cr 临界a应力总b图
cr
a b
s
a s b
s
s p称为中柔度杆，用经验公式求其临界应力。
（2） S 时： cr S
S 称为小柔度杆，其临界应力为屈服极限。
目录
4
总结：
•压杆柔度
l μ的四种取值情况
i
i
I A
•临界柔度
P
2E P
9-
与长度、截面性质、约束条件有关
目录
4
2
2.欧拉公式的适用范围 着眼点——临界应力在线弹性内（小于比例极限）
cr
2E 2
P
2E P
P
P 时称为大柔度杆（或长细杆），用欧拉公式求临界力；
P 时称为中、小柔度杆,不能用欧拉公式求临界力。
3 目录
3.经验公式、临界应力总图
直线型经验公式
32. 压杆的临界应力
1.临界应力和柔度
（1）临界应力：压杆处于临界状态时横截面上的平均应力
Fcr cr A （2）细长压杆的临界应力：
cr
Fcr A
2EI (E 2
即： cr
（3）柔度：
l i
2E 2
i I — 惯性半径
A
— —杆的柔度（或长细比）
P 比例极限
•临界应力
s
a s b
s 屈服极限
P
(大柔度杆) cr
2E 2
欧拉公式
S P (中柔度杆)cr a b直线公式
s (小柔度杆) cr s 强度问题
——重点
（1） P cr S时： cr 临界a应力总b图
cr
a b
s
a s b
s
s p称为中柔度杆，用经验公式求其临界应力。
（2） S 时： cr S
S 称为小柔度杆，其临界应力为屈服极限。
目录
4
总结：
•压杆柔度
l μ的四种取值情况
i
i
I A
•临界柔度
P
2E P
9-
与长度、截面性质、约束条件有关
目录
4
2
2.欧拉公式的适用范围 着眼点——临界应力在线弹性内（小于比例极限）
cr
2E 2
P
2E P
P
P 时称为大柔度杆（或长细杆），用欧拉公式求临界力；
P 时称为中、小柔度杆,不能用欧拉公式求临界力。
3 目录
3.经验公式、临界应力总图
直线型经验公式
32. 压杆的临界应力
1.临界应力和柔度
（1）临界应力：压杆处于临界状态时横截面上的平均应力
Fcr cr A （2）细长压杆的临界应力：
cr
Fcr A
2EI (E 2
即： cr
（3）柔度：
l i
2E 2
i I — 惯性半径
A
— —杆的柔度（或长细比）
P 比例极限
•临界应力
s
a s b
s 屈服极限
P
(大柔度杆) cr
2E 2
欧拉公式
S P (中柔度杆)cr a b直线公式
s (小柔度杆) cr s 强度问题
材料力学压杆稳定第3节 欧拉公式及经验公式
S
P
2、抛物线型经验公式
在工程实际中，对于中、小柔度压杆的临界应力计 算，也有建议采用抛物线型经验公式的，此公式为
cr a1 b12
式中 a1 、b1 与是与材料
有关的常数，其单位是
MPa。与前式中的 a 、
b 值是不同。
根据欧拉公式与抛物线 经验公式，得低合金结
构钢等压杆的 cr总图。
定计算中的一个重要综合参数。
• 如果压杆在不同的纵向平面内具有不同的柔度值， 由于压杆失稳首先发生在柔度最大的纵向平面内。 因此，压杆的临界应力应按柔度的最大值计算。
二、欧拉公式的适用范围
欧拉公式是在材料符合胡克定律条件下，即在线弹
性范围内，推导出来的。因此只有当cr p 时欧拉
公式才适用，即
临界应力形式 的欧拉公式
临界应力形式 的欧拉公式
cr
2E 2
式中柔度 是一个无量纲的量，它综合反映了压杆
的长度 l 、杆端的约束以及截面尺寸对临界应力 cr
的影响。对于一定材料的压杆，其临界应力仅与柔
度 有关， 值越大，则压杆越细长，临界应力 cr 值也越小，压杆越容易失稳。所以柔度 是压杆稳
cr
2E 2
p
或
P
E
P
大柔度杆或细长杆：对于结构钢的 p 2108 Pa、 E 21011Pa，则由上式可算得欧拉公式的适用
范围为 100；同理对于铸铁，欧拉公式的适用 范围为 80 。这类杆称为大柔度杆或细长杆。
三、经验公式
若压杆的柔度 P，则这种压杆的临界力不能再
cr a1 b12
cr
2E 2
9-1压杆稳定
对于A3钢、A5钢和16锰钢，有∶
2E 0.43 c 0.57 s
为强度公式。
②、S< 时：
cr s
31
压杆稳定
③ 、 临 界 应 力 总 图
S
S
cr
cr
2 s 1 c
2E cr 2
Pcr
两端铰支
Pcr
一端铰支 一端固定
Pcr
两端固定
Pcr
一端固定，一 端可移动，但 不能转动
Pcr
L
0.7L
L
0.5L
L
L
L C
2 EI
L2
C
Pcr
公式 长度 系数
2 EI
2 L
2
2
EI
2
L
2
0.7 L
2 EI
2
0.5 L2
0.5
2 EI
1
0.7
1
16
压杆稳定
例9-2-1 试导出下图两端固定的细长压杆临界力公式。 P P 解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为：
n k L P EI
sin(kL) 0
(n 1,2,3....)
13
压杆稳定
n k L
P EI
(n 1,2,3....)
临界力 P c r 是微弯下最小的压力，当 n=1 ,有:
Pcr
2 EI
L2
上式为两端铰支压杆临界力的欧拉公式。
14
压杆稳定
P Pcr
Pcr 118 4 6 T T T0 10 81 . 7 EA 12.5 210 (402 302 )
欧拉临界应力 屈曲计算
Bd
Pcr
L A Pcr
B
L A
例123 试导出两端固定压杆 的欧拉公式。
Pcr
L
边界条件： M A Pcr d 2 x 0 ： y 0 ， y ' 0 ， y " k d EI EI x L：y d，y" M ( L ) 0 失 EI 稳 将边界条件代入统一微 分方程的通解得： L 模 0 1 0 1 0 C L 式 1 k 0 1 0 0 如 A C 2 图 0 k 2 0 0 k 2 C 3 0 C sin kL cos kL L 1 1 y A 4 2 2 d k sinkL k coskL 0 0 0 L MA=Pcrd P 有非零解的充要条件为 ：系数行列式值为零； cr 解得压杆失稳特征方程 为：coskL 0 C P kL cr L n ( n 0， 1， 2) EI 2 2 取n 1，得一端固定一端自由 压杆临界力的欧拉公式 为：Pcr EI ( 2L) 2
2)p≥≥0—中粗杆(中柔度杆)； a s s 304 240 3)对于A3钢： 0 60 b 1.12 2 s a b ②抛物线公式： cr 1 1
a 1和b 1是与材料有关的常数。
2.scr=sS时: 强度破坏，采用强度公式。
三、临界应力总图
scr scr=ss scr=ab B C
x Pcr P cr B B d 相当于2L长两端铰支压杆的临界力
x QB Pcr B 失 稳 模 式 如 图 A端QA、MA及B端QB不为零。 边界条件： x 0：y 0，y ' 0 M(L) x L ： y 0 ， y " 0 EI 将边界条件代入统一微 分方程的通解得： 0 1 0 1 C1 k 0 1 0 C 2 0 coskL L 1 C 3 sinkL 2 2 k sinkL k coskL 0 0 C 4
压杆稳定
例11-3 校核木柱稳定性。已知l＝6m,圆截面d＝20cm,两端
铰接，轴向压力P＝50kN，木材许用应力[σ]=10MPa。
解：
i I d 20 l 1 600 5cm; 1; 120; A 4 4 i 5
20 d 20 l 1l 600 1 600 5cm ;5cm ; 1 ; 1; 120 ; 120; 4 4 i i 5 5
y
120
z
200
z 200
y
120
（图a）
（图b）
解：（1）计算最大刚度平面内的临界压力
120 200 80106 m m4 中性轴为y轴：I y 12
3
y
120
z 200
木柱两端铰支，，则得：
Plj
2 EI y
l 2
3.142 10103 80106 123kN 2 1 8000
压杆稳定
压杆稳定的概念
压杆的稳定计算
细长压杆的临界力
小结
压杆的临界应力
第一节
压杆稳定的概念
压杆稳定—压杆保持其原有直线平衡状态的能力，称其 稳定性。（指受压杆件其平衡状态的稳定性） 细长压杆在压力逐渐增大至某一数值时，突然变弯直至 弯断的现象称为丧失稳定或失稳。
临界力—压杆在临界平衡状态时所受的轴向压力。
4 d C
64
;
a
B
l
i
11000 142 .9 p 123; 大柔度杆； 7
A
2 E 2 200000 lj 2 96.7 MPa 2 142.9
N CB a
P B
材料力学 压杆稳定概念 欧拉公式计算临界力
注意：压杆总是绕惯性矩较小的轴先失稳。对于矩形 截面来说，绕垂直于短边的轴先失稳。
Mechanic of Materials
§9.2 两端铰支细长压杆的临界力 三、思考：
人怎么失稳？ 前后弯！
z
§9.3 其他支座条件下细长压杆的临界力
一、其它杆端约束的欧拉公式
Mechanic of Materials
压杆稳定性利用工程实例
—
Mechanic of Materials
基 失稳实例
本
压 杆
概 念
压杆稳定的奠基人 三种平衡：稳定、不稳定、临界
稳
临界力、临界应力
定
两端铰支：F
cr
2 EI l2
I min( I y , I z )
临 界
欧 其它约束 :
F
cr =
π 2EI
( l)2
（长度系数：1、0.5、0.7、2）
解：若按强度计算
Fmax A[ ] 0.0202 107 3141N
4 压杆的稳定性试验 （实测Pmax= 160N，与计算值相差近20倍）
造成计算结果与实测值不符的原因是较长的压杆存在稳定问 题，因而强度计算方法对这类杆件的设计不适用。
目录
压杆稳定引言 三、工程实例
Mechanic of Materials
2 206109 100 200 106
与材料有关、判断压杆的种类指标λP、 λS 。
2、压杆分类：
s
304 235 1.12
61.6
细长压杆（大柔度杆）：
中长杆（中柔度杆）： P
粗短杆（小柔度杆）：
P ,其中: P
电工与工程力学应用项目九 压杆稳定性计算
132 .5 30
4.4
[n]st
故连杆的稳定性足够。
提高压杆稳定性的措施
提高压杆的稳定性，就是要提高压杆的临界应力或临界力。 1．材料方面
对于细长杆，临界应力为。压杆材料的E愈大，其临界应力
愈大。故选用弹性模量较大的材料，可以提高压杆的稳定性。 2．柔度方面
当材料选定时，压杆的临界应力随柔度的减小而增大。故在 可能的条件下，可采用下列措施来减小压杆的柔度。
② 挠曲线近似微分方程：
P P
xM
y
y M P y EI EI
y P yyk 2 y0 EI
其中:k 2 P EI
③ 微分方程的解： ④ 确定积分常数：
yAsinxBcosx y(0)y(L)0
即:
A0B0 As ink LBc osk
L0
0
1
0
sinkL coskL
sinkL0
kn P
稳 定 平 衡
不 稳 定 平 衡
• 3.压杆失稳：
• 4.压杆的临界压力
• 临界状
稳
对态应的
不
定 平过
稳 渡定
衡
压力
平 衡
• 临界压力:
Pcr
细长压杆的临界力
一、两端铰支细长压杆临界力
•
假定压力已达到临界值，杆已经处于微弯状态，如图，
• 从挠曲线入手，求临界力。
P xL
① 弯矩： M (x,y)Py
案例导入
案例任务描述 简易吊车摇臂如图所示，两端铰接的 AB杆由钢管制成，材料为Q235钢，其 强度许用应力，试校核AB杆的稳定性 。
解决任务思路：解决该起重吊车拉杆 的的稳定性校核问题，要用到以前的 静力学中受力分析和列平衡方程式求 出未知力，再用到本项目所学的知识 对压杆进行稳定性分析。
压杆的临界应力
§10-3 压杆的临界应力及临界应力总图
一、欧拉临界应力公式及使用范围
1.临界应力：临界压力除以压杆横截面面积得到的压应力， 称为临界应力，用slj (scr)表示；
s = —— slj=
—P—lj
=
p2EI
———
A (l)2 A
p2E slj= ———
(l/i)2
lj
p2E
l2
式中， ① i I —横截面对微弯中性轴的惯性半径； A
例4：图示结构，CF为铸铁圆杆，直径
d1=10cm，[s]=120MPa , E=120GPa。 BE为A3钢圆杆, 直径d2=5cm，
[s]=160MPa, E=200GPa, 如横梁视为刚
性，a＝2m，求许可荷载F。
A
解：1、结构为一次超静定求杆内力
MA 0:
2FNB4FNC6F0
E F
D BC
lp
p2200109
200106
100
用柔度表示的临界压力：
p 2E Fcr l2 • A
l≥lp——细长杆(大柔度杆)，
当压杆的长细比λ＜λp时，欧拉公式已不适用。在工程 上，一般采用经验公式。在我国的设计手册和规范中给
出的是直线公式和抛物线公式。
二、中柔度杆临界应力的经验公式
1.ss>scr>sp时采用经验公式：
①直线公式：
scrabl
1)∵scr<ss，∴
ss abl
，得到：l0
a
ss
b
2) lp≥l≥l0—中粗杆(中柔度杆)；
3)对于A3钢： l0a bss 31 0. 12 4240 60
4）对于式中的系数a,b，下表给出了一些常用材料的数值。
一、欧拉临界应力公式及使用范围
1.临界应力：临界压力除以压杆横截面面积得到的压应力， 称为临界应力，用slj (scr)表示；
s = —— slj=
—P—lj
=
p2EI
———
A (l)2 A
p2E slj= ———
(l/i)2
lj
p2E
l2
式中， ① i I —横截面对微弯中性轴的惯性半径； A
例4：图示结构，CF为铸铁圆杆，直径
d1=10cm，[s]=120MPa , E=120GPa。 BE为A3钢圆杆, 直径d2=5cm，
[s]=160MPa, E=200GPa, 如横梁视为刚
性，a＝2m，求许可荷载F。
A
解：1、结构为一次超静定求杆内力
MA 0:
2FNB4FNC6F0
E F
D BC
lp
p2200109
200106
100
用柔度表示的临界压力：
p 2E Fcr l2 • A
l≥lp——细长杆(大柔度杆)，
当压杆的长细比λ＜λp时，欧拉公式已不适用。在工程 上，一般采用经验公式。在我国的设计手册和规范中给
出的是直线公式和抛物线公式。
二、中柔度杆临界应力的经验公式
1.ss>scr>sp时采用经验公式：
①直线公式：
scrabl
1)∵scr<ss，∴
ss abl
，得到：l0
a
ss
b
2) lp≥l≥l0—中粗杆(中柔度杆)；
3)对于A3钢： l0a bss 31 0. 12 4240 60
4）对于式中的系数a,b，下表给出了一些常用材料的数值。
工程力学第3节 欧拉公式及经验公式
一、临界应力与压杆柔度 压杆处于临界状态时，将压杆的临界载荷除以横 截面面积 A，得到横截面上的应力，称为压杆的临界 应力，用 cr 表示。由公式知：
Fcr 2 EI cr A ( l ) 2 A
令
i
I A
2 2 2 Ei E cr 2 l 2 ( l ) ( )
cr a1 b12
2 cr 2E
P
例11-5 3 根材料相同的圆形截面压杆，均为一端固 定、一端自由，如图所示，直径均为 d 100mm，皆 P 200 MPa， 由 Q235 钢制成，材料的 E 206 GPa， a 304 MPa， S 235 MPa， b 1.12 MPa。试求各杆 的临界载荷。
cr a b S
a S S b
注意：仅当压杆的柔度 S时，才能用上式求解！ 例：对于 Q235 钢： S 235MPa ，a 304 MPa ，
b 1.12 MPa
a S 304 235 63 S 1.12 b
综述 （1）
对于由合金钢、铝合金、铸铁等制作的 压杆，根据其柔度可将压杆分为三类：
P 的压杆，称为大柔度杆或细长杆
由欧拉公式 计算其临界应力 （2）S
cr 2E p
2
P 的压杆，称为中柔度杆或中长杆
由直线型经验公 式计算临界应力
cr a b
中柔度杆的 在 60 ~ 100 之间。实验指出，这种压 杆的破坏性质接近于大柔度杆，也有较明显的失稳 现象。
三、经验公式 若压杆的柔度 P，则这种压杆的临界力不能再 按欧拉公式计算。对于此类压杆，工程中通常采用 以实验结果为依据的经验公式来计算其临界应力。 1、直线型经验公式
Fcr 2 EI cr A ( l ) 2 A
令
i
I A
2 2 2 Ei E cr 2 l 2 ( l ) ( )
cr a1 b12
2 cr 2E
P
例11-5 3 根材料相同的圆形截面压杆，均为一端固 定、一端自由，如图所示，直径均为 d 100mm，皆 P 200 MPa， 由 Q235 钢制成，材料的 E 206 GPa， a 304 MPa， S 235 MPa， b 1.12 MPa。试求各杆 的临界载荷。
cr a b S
a S S b
注意：仅当压杆的柔度 S时，才能用上式求解！ 例：对于 Q235 钢： S 235MPa ，a 304 MPa ，
b 1.12 MPa
a S 304 235 63 S 1.12 b
综述 （1）
对于由合金钢、铝合金、铸铁等制作的 压杆，根据其柔度可将压杆分为三类：
P 的压杆，称为大柔度杆或细长杆
由欧拉公式 计算其临界应力 （2）S
cr 2E p
2
P 的压杆，称为中柔度杆或中长杆
由直线型经验公 式计算临界应力
cr a b
中柔度杆的 在 60 ~ 100 之间。实验指出，这种压 杆的破坏性质接近于大柔度杆，也有较明显的失稳 现象。
三、经验公式 若压杆的柔度 P，则这种压杆的临界力不能再 按欧拉公式计算。对于此类压杆，工程中通常采用 以实验结果为依据的经验公式来计算其临界应力。 1、直线型经验公式
《材料力学 第2版》_顾晓勤第08章第3节 欧拉公式及经验公式
cr a1 b12
cr
2E 2
P
第 3 节 欧拉公式及经验公式
第八章 压杆稳定
例8-5 3 根材料相同的圆形截面压杆，均为一端固
定、一端自由，如图所示，直径均为 d 100mm，皆 由 Q235 钢制成，材料的 E 206 GPa， b 200 MPa， S 235 MPa，a 304 MPa，b 1.12 MPa。试求各杆
Fcr2 cr2 A 214106 0.00785N 1680 kN
（c）第三根压杆的临界载荷
3
l3
i
2 0.5 0.025
40
P 60
该杆为小柔度压杆，临界应力应选取屈服极限：
cr3 S 235 MPa Fcr3 =cr3 A 235106 0.00785N 1845 kN
的临界载荷。
解：3 根杆相同的参数
P
E
P
100
2m 1m 0.5m
S
a S
b
61.6
A d 2
4
=0.00785 m2
(a)
(b)
(c)
第 3 节 欧拉公式及经验公式
第八章 压杆稳定
i
I A
d 4
0.025 m
2
（a）第一根压杆的临界载荷
1
l1
i
22 0.025
160
P 100
cr1
第 3 节 欧拉公式及经验公式
第八章杆处于临界状态时，将压杆的临界载荷除以横
截面面积 A，得到横截面上的应力，称为压杆的临界
应力，用 cr 表示。由公式知：
cr
Fcr A
2EI (l)2 A
令 i I A
令 l
中小柔度杆的临界应力·经验公式
1.平衡的稳定性
不稳定平衡
稳定平衡 微小扰动使小球离开原来的平衡位
微小扰动就使小球远离原来
的平衡位置
置，但扰动撤销后小球回复到平衡位置
2.中心受压直杆的稳定性 压杆稳定性：压杆维持其原直线平衡状态的的能力； 压杆失稳：压杆丧失其原直线平衡状态，不能稳定地工作。 压杆失稳原因： ① ② ③ ④ 杆轴线本身不直(初曲率)； 加载偏心； 压杆材质不均匀； 外界干扰力。
o
z
zl
iy
0.5 1000 86.7 5.77
压杆将在xoy平面内失稳，欧拉公式适用。 2 E 2 200 103 cr 2 148 MPa 2 y 115.5 压杆临界力为
6 6 3 P A 148 10 20 60 10 10 178 kN cr cr
【例4】图示圆截面压杆，d=100 mm，E=200 GPa，
P=200 MPa。试求可用欧拉公式计算临界力时杆的长度。
P 【解】
P
l
E
P
200 10 3 99.3 200
A d 2 / 4 4l l l 4 i I d / 64 d
d
l
Fcr
Fcr
EI
2
( 0 .7 l )
2
Fcr
0.7l
Fcr
2、两端固定
拐点
拐点
EI Fcr ( 0 .5 l ) 2
2
Fcr
l 4
l 2
l 4
Fcr
l 2
Fcr
3、一端固定 一端自由
l
F F
F
F
l
l
欧拉临界应力 屈曲计算[业界研究]
![欧拉临界应力 屈曲计算[业界研究]](https://img.taocdn.com/s3/m/c008b54010a6f524cdbf853e.png)
C
s
cr
2E 2
细长杆
D
scr
scr=a1b12 ss
0.57ss
s
cr
2E 2
O
o
p
采用直线经验公式
的临界应力总图
O
c
采用抛物线经验公
式的临界应力总图
2.压杆按柔度分类： p —细长杆(大柔度杆) p 0 —中粗杆(中柔度杆)
专业倾力
0 —粗短杆(小柔度杆)
13
§12-5 压杆的稳定条件 . 提高稳定性的措施
③对于A3钢，E=200GPa，sp=200MPa：
p
2 200109 200106
100
④用柔度表示的临界压力：
Pcr
2E 2
•A
专业倾力
11
二、中柔度杆临界应力的经验公式
1.ss>scr>sp时采用经验公式：
①直线公式：scr ab
1)∵scr<ss，∴ ss a b
，得到：
0
as b
s
kL Pcr L 2 EI
两端固定压杆临界力的欧拉公式为：Pcr
2 EI (0.5L)
2
相当于0.5L长两端铰支压杆的临界力
专业倾力
9
§12-4 欧拉公式的应用范围 . 临界应力总图
一、欧拉临界应力公式及使用范围
1.临界应力：临界力除以压杆横截面面积得到的压应力，
用scr表示；
s cr
Pcr A
M
失 稳 模
边界条件： xx
0：y 0，y'0 L：y 0，y'0
将边界条件代入统一微分方程的通解得：
式
如 图
欧拉公式的适用范围 经验公式
材料力学
目录
材料力学 欧拉公式的适用范围 经验公式
材料力学
•压杆柔度 l μ四种取值情况， i I
i
A
•临界柔度
1
2E P
P — 比例极限
•临界应力 1
2
a
b
s
(大柔度杆)
s — 屈服极限
cr
2E 2
欧拉公式
1 2 (中柔度杆) cr a b 直线公式
2 (小柔度杆) cr s 强度问题
材料力学
材料力学 欧拉公式的适用范围 经验公式 1、临界应力
cr
2E 2
材料力学
目录
材料力学 欧拉公式的适用范围 经验公式
{ l 杆长
约束条件
i 截面形状尺寸
集中反映了杆长、约束条件、截面
形状尺寸对 的影响。
cr
2、欧拉公式适用范围
当
cr
2E 2
p
即 2E p
令 1
2E
1
p 欧拉公式只适用于大柔度压杆
材料力学
目录
材料力学 欧拉公式的适用范围 经验公式
3、中小柔度杆临界应力计算
当 s cr p 即 2 1 (中柔度杆)
经验公式
（直线公式）
a b cr
a、b — 材料常数
cr s
a s
b
令
2
a
b
s
2 (小柔度杆) cr s
目录
材料力学 欧拉公式的适用范围 经验公式
临界应力总图
2
1
材料力学
目录
材料力学 欧拉公式的适用范围 经验公式
l
l i
Fcr cr A
材料
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本章主要内容
§14-1 基本概念 §14-2 细长压杆的临界力 §14-3 压杆的临界应力 §14-4 压杆的稳定计算 §14-5 压杆的稳定较核 §14-6 提高压杆稳定性的措施
材料力学
§14-1 基本概念
不稳定平衡
微小扰动就使小球远 离原来的平衡位置
稳定平衡
微小扰动使小球离开原 来的平衡位置，但扰动撤销 后小球回复到平衡位置
F A
[ cr
]
即 F [ ]
A
或
F [ ] A
材料力学
稳定性计算主要解决三方面的问题： (1) 稳定性校核； (2) 选择截面； (3) 确定许用荷载。
注意：截面的局部削弱对整个杆件的稳定性影响
不大，因此在稳定计算中横截面面积一般取毛面 积计算。压杆的折减系数（或柔度）受截面形
b
s
(小柔度杆)
cr s
材料力学
•压杆柔度 l
i
μ的四种取值情况
i
I A
•临界柔度 P
2E P
P 比例极限
s
a s
b
s 屈服极限
•临界应力
P
(大柔度杆)
cr
2E 2
欧拉公式
P s (中柔度杆) cr a b 直线公式
Fc r
π 2 EI (μ l)2
π2
206109 0.77108 (2 0.5) 2
15.7103 N
15.7kN源自材料力学其他约束条件下细长压杆的临界力
材料力学
两端铰支 一端固定一端自由
Fcr
2EI
(l ) 2
1
Fcr
2EI
(2l ) 2
2
2EI Fcr (l)2
(2) 计算杆的柔度
L 2300 68.77 i 8.725
(3) 判断杆的类型，计算临界载荷。
s 60 68.77 p 100
故为中柔度杆
σcr=a-bλ=461-2.57×68.77=284.26MPa
Fcr σcr A 284 .26 352 / 4 273 .5 kN
状和尺寸的影响，通常采用试算法求解。
材料力学
§14-5 压杆的稳定校核
解：CD梁 M C 0
F 2000 FN sin 30 1500 得 FN 26.6kN
AB杆 l 1
i l 1.5 1.732m
cos30
材料力学
FN 26.6kN
AB杆 l
x0
l
x
x
x0
y0
材料力学
解：首先计算压杆的柔度。要注意截面的最小惯
性半径为对y0轴的惯性半径 iy0= 0.58cm，由此可计 算出其柔度（长细比）为：
l 2 0.5 172
i 0.58102
可见该压杆属于大柔度杆，可以使用欧拉公式
计算其临界力。仍要注意截面的最小惯性矩为对y0 轴的惯性矩 Iy0= 0.77cm4，由此可计算出该压杆的 临界力为：
1
i
l
1.5 cos30
1.732m
i I D4 d 4 4 A 64 D2 d 2
D2 d 2 16mm 4
得
11.732103 16
108 P
AB为大柔度杆
Fcr n
2EI 118kN
Fcrl
(4) 稳定性校核。
Fcr F
可见，冲头设计是不合理的，应该减小冲头的 长度，以增强其在冲裁钢板时的稳定性。
材料力学
§14-6 提高压杆稳定性的措施
2 EI Fcr (l)2
欧拉公式
Fcr 越大越稳定
•减小压杆长度 l •减小长度系数μ（增强约束） •增大截面惯性矩 I（合理选择截面形状） •增大弹性模量 E（合理选择材料）
y
y
y
y
y
y
y
材料力学
y
y y
y y
材料力学
y
y y
材料力学
y
y
材料力学
y
适用条件： 理想压杆（轴线为直线，压力
与轴线重合，材料均匀） 线弹性，小变形 两端为铰支座
材料力学
例1: 图示压杆用30×30×4等边角钢制成，已知 杆长l=0.5m，材料为Q235钢，试求该压杆的临界 力。
F
y0
材料力学
工程实例
材料力学
工程实例
材料力学
压杆的稳定性试验
材料力学
压杆的平衡
压力小于临界力
材料力学
压力大于临界力
材料力学
压杆丧失直 线状态的平衡， 过渡到曲线状态 的平衡。失稳
屈曲
压力等于临界力
材料力学
材料力学
§14-2 细长压杆的临界力
两端铰支细长压杆的临界力
y
y
y
y
y
y
y
y
材料力学
s (小柔度杆) cr s 强度问题
材料力学
§14-3 压杆的临界应力
临界应力总图
材料力学
Fcr cr A
材料力学
§14−4 压杆的稳定计算
一、压杆的稳定许用应力、折减系数
稳定许用应力：
[
cr
]
cr
ns t
式中nst为稳定安全系数，通常nst随着柔
度的增大而增大。稳定安全系数一般比强
度安全系数要大些。例如对于一般钢构件，
其强度安全系数规定为1.4～1.7，而稳定安 全系数规定为1.5～2.2，甚至更大。
材料力学
折减系数或稳定系数： [ cr ] [ ]
是的函数，即 = () ，其值在0～1之间。
二、压杆的稳定条件
压杆的实际工作应力不能超过稳定许用应力[cr]。
2
118
4.42
FN 26.6
nst
3
AB杆满足稳定性要求
材料力学
例2：冲头简化如图所示。冲头由优质碳钢制成，冲床最大冲裁力为 F=400kN，冲头的直径为冲裁的最小孔内径d=35mm，冲头长度为 L=300mm，试校核其稳定性。
解：(1) 由材料性能确定
p 100, s 60, a 461MPa， b 2.57MPa
材料力学
•减小压杆长度 l
材料力学
•减小长度系数μ（增强约束）
材料力学
•增大截面惯性矩 I（合理选择截面形状）
欧拉公式普遍形式
长度系数（长度因数）
l 相当长度
材料力学
材料力学
(大柔度压杆) 欧拉公式只适用于大柔度压杆
材料力学
中小柔度杆临界应力计算 (大柔度杆) 欧拉公式
S P (中柔度杆)
cr a b s
当 a s 时，经验直线公式
b
s
a
s
§14-1 基本概念 §14-2 细长压杆的临界力 §14-3 压杆的临界应力 §14-4 压杆的稳定计算 §14-5 压杆的稳定较核 §14-6 提高压杆稳定性的措施
材料力学
§14-1 基本概念
不稳定平衡
微小扰动就使小球远 离原来的平衡位置
稳定平衡
微小扰动使小球离开原 来的平衡位置，但扰动撤销 后小球回复到平衡位置
F A
[ cr
]
即 F [ ]
A
或
F [ ] A
材料力学
稳定性计算主要解决三方面的问题： (1) 稳定性校核； (2) 选择截面； (3) 确定许用荷载。
注意：截面的局部削弱对整个杆件的稳定性影响
不大，因此在稳定计算中横截面面积一般取毛面 积计算。压杆的折减系数（或柔度）受截面形
b
s
(小柔度杆)
cr s
材料力学
•压杆柔度 l
i
μ的四种取值情况
i
I A
•临界柔度 P
2E P
P 比例极限
s
a s
b
s 屈服极限
•临界应力
P
(大柔度杆)
cr
2E 2
欧拉公式
P s (中柔度杆) cr a b 直线公式
Fc r
π 2 EI (μ l)2
π2
206109 0.77108 (2 0.5) 2
15.7103 N
15.7kN源自材料力学其他约束条件下细长压杆的临界力
材料力学
两端铰支 一端固定一端自由
Fcr
2EI
(l ) 2
1
Fcr
2EI
(2l ) 2
2
2EI Fcr (l)2
(2) 计算杆的柔度
L 2300 68.77 i 8.725
(3) 判断杆的类型，计算临界载荷。
s 60 68.77 p 100
故为中柔度杆
σcr=a-bλ=461-2.57×68.77=284.26MPa
Fcr σcr A 284 .26 352 / 4 273 .5 kN
状和尺寸的影响，通常采用试算法求解。
材料力学
§14-5 压杆的稳定校核
解：CD梁 M C 0
F 2000 FN sin 30 1500 得 FN 26.6kN
AB杆 l 1
i l 1.5 1.732m
cos30
材料力学
FN 26.6kN
AB杆 l
x0
l
x
x
x0
y0
材料力学
解：首先计算压杆的柔度。要注意截面的最小惯
性半径为对y0轴的惯性半径 iy0= 0.58cm，由此可计 算出其柔度（长细比）为：
l 2 0.5 172
i 0.58102
可见该压杆属于大柔度杆，可以使用欧拉公式
计算其临界力。仍要注意截面的最小惯性矩为对y0 轴的惯性矩 Iy0= 0.77cm4，由此可计算出该压杆的 临界力为：
1
i
l
1.5 cos30
1.732m
i I D4 d 4 4 A 64 D2 d 2
D2 d 2 16mm 4
得
11.732103 16
108 P
AB为大柔度杆
Fcr n
2EI 118kN
Fcrl
(4) 稳定性校核。
Fcr F
可见，冲头设计是不合理的，应该减小冲头的 长度，以增强其在冲裁钢板时的稳定性。
材料力学
§14-6 提高压杆稳定性的措施
2 EI Fcr (l)2
欧拉公式
Fcr 越大越稳定
•减小压杆长度 l •减小长度系数μ（增强约束） •增大截面惯性矩 I（合理选择截面形状） •增大弹性模量 E（合理选择材料）
y
y
y
y
y
y
y
材料力学
y
y y
y y
材料力学
y
y y
材料力学
y
y
材料力学
y
适用条件： 理想压杆（轴线为直线，压力
与轴线重合，材料均匀） 线弹性，小变形 两端为铰支座
材料力学
例1: 图示压杆用30×30×4等边角钢制成，已知 杆长l=0.5m，材料为Q235钢，试求该压杆的临界 力。
F
y0
材料力学
工程实例
材料力学
工程实例
材料力学
压杆的稳定性试验
材料力学
压杆的平衡
压力小于临界力
材料力学
压力大于临界力
材料力学
压杆丧失直 线状态的平衡， 过渡到曲线状态 的平衡。失稳
屈曲
压力等于临界力
材料力学
材料力学
§14-2 细长压杆的临界力
两端铰支细长压杆的临界力
y
y
y
y
y
y
y
y
材料力学
s (小柔度杆) cr s 强度问题
材料力学
§14-3 压杆的临界应力
临界应力总图
材料力学
Fcr cr A
材料力学
§14−4 压杆的稳定计算
一、压杆的稳定许用应力、折减系数
稳定许用应力：
[
cr
]
cr
ns t
式中nst为稳定安全系数，通常nst随着柔
度的增大而增大。稳定安全系数一般比强
度安全系数要大些。例如对于一般钢构件，
其强度安全系数规定为1.4～1.7，而稳定安 全系数规定为1.5～2.2，甚至更大。
材料力学
折减系数或稳定系数： [ cr ] [ ]
是的函数，即 = () ，其值在0～1之间。
二、压杆的稳定条件
压杆的实际工作应力不能超过稳定许用应力[cr]。
2
118
4.42
FN 26.6
nst
3
AB杆满足稳定性要求
材料力学
例2：冲头简化如图所示。冲头由优质碳钢制成，冲床最大冲裁力为 F=400kN，冲头的直径为冲裁的最小孔内径d=35mm，冲头长度为 L=300mm，试校核其稳定性。
解：(1) 由材料性能确定
p 100, s 60, a 461MPa， b 2.57MPa
材料力学
•减小压杆长度 l
材料力学
•减小长度系数μ（增强约束）
材料力学
•增大截面惯性矩 I（合理选择截面形状）
欧拉公式普遍形式
长度系数（长度因数）
l 相当长度
材料力学
材料力学
(大柔度压杆) 欧拉公式只适用于大柔度压杆
材料力学
中小柔度杆临界应力计算 (大柔度杆) 欧拉公式
S P (中柔度杆)
cr a b s
当 a s 时，经验直线公式
b
s
a
s