苏教版八年级下学期反比例函数知识要点及典型例题专项训练

第9章 反比例函数

【知识要点】

1.反比例函数：一般地，形如：x

k

y =（k 为常数，k ≠0）的函数称为反比例函数，其中x 是自变量，y 是x 的函数，k 是比例系数．

反比例函数有三种表示形式： 、 、 选 2.反比例函数图象及画法：一般地，反比例函数x

k

y =

（k 为常数，k ≠0）的图象是由两个分支组成的，是双曲线．这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限．

双曲线两个分支关于原点对称，由于反比例函数中，自变量x ≠0，函数值y ≠0，所以它的图象与 x 轴和y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限地接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交．

反比例函数图象既是以直线 和直线为对称轴的轴对称图形；又是是以 为对称中心的中心对称图形。过原点任意画一条直线，与两个分支交于两点，则这两个交点是关于 对称的，即若一个交点是)(b a P ，，则另一个交点是 ．

画反比例函数的图象的基本步骤为： ① 列表；描点；③ 连线．

选3.反比例函数性质：

（1）反比例函数图象的位置和函数值的增减性都是由比例系数k 来确定的：

① 当 k ＞0时， x ，y 同号，图象在第一、三象限，在每一个象限内，由左至右呈下降趋势，y 随x 的增大而减小；

② 当 k ＜0时， x ，y 异号，图象在第二、四象限，在每一个象限内，由左向右呈上升趋势，y 随x 的增大而增大．

（2）描述函数值的增减情况时，必须指出“在同一象限内”，否则，若笼统地说：“当k ＞0时，y 随x 的增大而减小”，就会出现与事实不符的错误，如函数x

y 6

=，当x 2-=时，y 3-=；当 x=2 时，y=3 ．显然不是y 随x 的增大而减小．

·

()b a P ,

()b a P --',·

选 4.求反比例函数关系式的基本方法．

（1）待定系数法是最基本的方法；

（2）若已知两个函数的交点，可把交点坐标直接代入关系式；

（3）若有两个函数时，先分别设出解析式（用 k 1， k 2分别表示比例系数），将两个解析式联立建立方程组，利用方程组的相关知识求解；

（4）过反比例函数图象上的任意一点作 x 轴的垂线，那么这点与垂足、坐标系原点构成的三角形的面积是

一个定值，即2

2k xy S ==。

3.反比例函数在生产、生活中的应用

用反比例函数及其相关性质解决实际问题的基本思路是：找到实际问题中变量之间的关系→建立反比例

函数模型→解决实际问题．

在列实际问题的相关函数关系式时，一定要在关系式后面注明自变量的取值范围．用函数的观点来解决一些几何问题，可加深对数形结合思想的认识。

【典型例题】

【例1】当m 取什么值时，函数2

3)2(m x

m y --=是反比例函数？

【例2】已知函数y ＝y 1＋y 2，y 1与x 成正比例，y 2与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝4；当x ＝2时，y ＝5．

（1）求y 与x 的函数关系式； （2）当x ＝－2时，求函数y 的值．

【例3】下列函数中，是反比例函数的是 （ ）

A ．(1)1y x +-

B ．11y x =

- C ．21y x = D ．23y x

=

【例4】若y 与－2x 成反比例函数关系，x 与

3

z

成正比例，则y 与z 的关系 （ ） A ．成正比例函数 B ．成反比例函数 C ．成一次函数 D ．不能确定 【例5】（2009年新疆）若梯形的下底长为x ，上底长为下底长的1

3

，高为y ，面积为60，则y 与x 的函数关系是____________．（不考虑x 的取值范围）

【例6】面积为8的△ABC ，一边长x ，这边上的高为y ，则y 与x 的变化规律用图象表示大致

是 （ ）

【例7】已知点（2，5）在反比例函数y=

x

k

的图象上，则下列各点在该函数图象上的是（ ） A ．（2，—5） B ．（—5，—2） C ．（—3，4） D ．（4，—3）

【例8】在同一直角坐标平面内，如果直线x k y 1=与反比例函数的图象x

k y 2

=没有交点，那么1k 和2k 的关系一定是（ ）

A 1k <0，2k >0

B 1k >0，2k <0

C 1k 、2k 同号

D 1k 、2k 异号

【例9】函数a ax y -=与x

a

y =

（a ≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）．

【例10】（2009 年兰州市）如图，在直角坐标系中，点 A 是 x 轴正半轴上的一个定点，点 B 是双曲线

x

y 3

=

(x ＞0)上的一个动点，当点 B 的横坐标逐渐增大时，△OAB 的面积将会（ ）。

A ．逐渐增大

B ．不变

C ．逐渐减小

D ． 先增大后减小

A ．

B ．

C ．

D ．

【例11】如图，已知函数)0( x x

a

y =的图象与直线b kx y +=相交于点A （1，3）

、B （m ，1）两点， （1）求a 、k 、m 的值； （2）求方程04<-

+x

a

kx 的解（请直接写出答案）

； （3）求△AOB 的面积。

【例12】如图，将一块直角三角形纸板的直角顶点放在)2

1

,1(C 处，两直角边分别与y x ,轴平行，纸板的另 两个顶点B A ,恰好是直线29

+=kx y 与双曲线)0(>=m x

m y 的交点． 求m 和k 的值；

y

x

O

N

M C A

B

P