第1讲 空间几何体中的计算与位置关系
高中数学必修2《空间几何体》知识点总结
第1讲空间几何体一、空间几何体1、空间几何体在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分。
如果我们只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体。
2、多面体和旋转体多面体：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。
围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。
旋转体：由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体，叫做旋转几何体。
这条定直线叫做旋转体的轴。
多面体旋转体圆台圆柱-圆锥圆柱+圆锥圆台+大圆锥-小圆锥二、柱、锥、台、球的结构特征1.棱柱定义图形表示分类性质有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
两个互相平行的平面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面。
用平行的两底面多边形的字母表示棱柱,如：棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1。
棱柱的分类一(底面）：棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形、……我们把这样的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱、……棱柱的分类二(根据侧棱与底面的关系）：斜棱柱: 侧棱不垂直于底面的棱柱.直棱柱: 侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱正棱柱: 底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱(1)上下底面平行,且是全等的多边形。
(2)侧棱相等且相互平行。
(3) 侧面是平行四边形。
三棱柱四棱柱五棱柱斜棱柱直棱柱正棱柱2.棱锥定义图形表示性质分类有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
用顶点及底面各顶点字母表示棱锥,如：棱锥Ｓ－ＡＢＣ侧面是三角形，底面是多边形。
按底面多边形的边数分类可分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等等，其中三棱锥又叫四面体。
特殊的棱锥－正棱锥定义：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心三棱锥四棱锥五棱锥直棱锥用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台。
空间立体几何知识点归纳
第一章 空间几何体知识点归纳1、空间几何体的结构：空间几何体分为多面体和旋转体和简单组合体⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。
简单组合体的构成形式：⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。
⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。
1、空间几何体的三视图和直观图投影：中心投影 平行投影（1）定义：几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。
（2）三视图中反应的长、宽、高的特点：“长对正”，“高平齐”，“宽相等”2、空间几何体的直观图（表示空间图形的平面图）. 观察者站在某一点观察几何体，画出的图形.3、斜二测画法的基本步骤：①建立适当直角坐标系xOy （尽可能使更多的点在坐标轴上）②建立斜坐标系'''x O y ∠，使'''x O y ∠=450（或1350），注意它们确定的平面表示水平平面；③画对应图形，在已知图形平行于X 轴的线段，在直观图中画成平行于X ‘轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y 轴的线段，在直观图中画成平行于Y ‘轴，且长度变为原来的一半；4、空间几何体的表面积与体积⑴圆柱侧面积；l r S ⋅⋅=π2侧面⑵圆锥侧面积：l r S ⋅⋅=π侧面 ⑶圆台侧面积：()S r R l π=+侧面⑷体积公式：h S V ⋅=柱体；h S V ⋅=31锥体； ()13V h S S =+下台体上⑸球的表面积和体积：32344R V R S ππ==球球，.一般地，面积比等于相似比的平方，体积比等于相似比的立方。
第二章 点、直线、平面之间的位置关系及其论证1,,A l B ll A B ααα∈∈⎧⇒⊂⎨∈∈⎩ 公理1的作用：判断直线是否在平面内2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
空间几何与向量运算点线面的位置关系与运算
空间几何与向量运算点线面的位置关系与运算空间几何与向量运算是数学中的重要分支，研究点、线、面在空间中的位置关系以及进行相应的运算操作。
在实际应用中，空间几何与向量运算广泛应用于物理学、工程学等领域。
本文将详细讨论点、线、面在空间中的位置关系和对应的运算方式。
一、点在空间中的位置关系在空间几何中，点是空间的最基本元素，它没有长度、宽度和高度。
点与点之间的位置关系可以通过坐标系来描述。
常用的坐标系有直角坐标系、柱坐标系和球坐标系。
1. 直角坐标系直角坐标系是最常用的坐标系，用三个坐标轴x、y、z相互垂直组成，固定在空间中的三个直线上。
点在直角坐标系中的位置可以用三个坐标(x, y, z)来表示，其中x表示点在x轴上的投影位置，y表示点在y轴上的投影位置，z表示点在z轴上的投影位置。
2. 柱坐标系和球坐标系柱坐标系和球坐标系是常用的极坐标系。
在柱坐标系中，点的位置由径向距离、极角和高度来确定，记作(r, θ, z)，其中r表示点到极坐标原点的距离，θ表示点到正极轴的角度，z表示点在z轴上的投影位置。
在球坐标系中，点的位置由球半径、极角和方位角来确定，记作(r, θ, φ)，其中r表示点到球心的距离，θ表示点到正半轴的角度，φ表示点到正极面的角度。
二、线在空间中的位置关系与运算线是由无数个点连接而成的集合，线在空间中的位置关系有直线、平行线、相交线等。
对于线的运算操作，主要包括长度、夹角、平移、旋转等。
1. 长度线的长度是线段两个端点之间的距离，可以通过计算两个点的坐标来求得。
对于直线则无法直接求得长度。
2. 夹角两条线之间的夹角是指这两条线在空间中交汇处的夹角。
可以通过计算两条线的方向向量来求得夹角。
3. 平移平移是指将一条线段按照指定的平移向量进行移动，其位置和形状保持不变。
平移操作可以通过向直线的每个点添加平移向量得到。
4. 旋转旋转是指将一条线段按照指定的旋转角度和旋转轴进行旋转，其位置和形状保持不变。
高中数学立体几何知识点归纳总结
高中数学立体几何知识点归纳总结一、立体几何知识点归纳 第一章 空间几何体（一）空间几何体的结构特征（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做顶点。
旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。
其中，这条定直线称为旋转体的轴。
（2）柱，锥，台，球的结构特征 1.棱柱1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
1.2相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系：①⎧⎪⎧−−−−−→⎨⎪−−−−−→⎨⎪⎪⎩底面是正多形棱垂直于底面斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱 底面为矩形侧棱与底面边长相等1.3①侧棱都相等，侧面是平行四边形；②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。
1.4长方体的性质：①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和；【如图】222211AC AB AD AA =++②（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的三条棱所成的角分别是αβγ，，，那么222cos cos cos 1αβγ++=，222sin sin sin 2αβγ++=；③（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的相邻三个面所成的角分别是αβγ，，，则222cos cos cos 2αβγ++=，222sin sin sin 1αβγ++=.1.5侧面展开图：正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形.1.6面积、体积公式：2S c hS c h S S h=⋅=⋅+=⋅直棱柱侧直棱柱全底棱柱底，V （其中c 为底面周长，h为棱柱的高） 2.圆柱2.1圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. 2.2圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等圆；过轴的截面（轴截面）是全等的矩形. 2.3侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形. 2.4面积、体积公式：S 圆柱侧=2rh π；S 圆柱全=222rh r ππ+，V 圆柱=S 底h=2r h π（其中r 为底面半径，h 为圆柱高） 3.棱锥3.1棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
高二第1讲 空间点线面位置关系(学生)
空间点线面位置关系一． 学习目标 1.理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解有关的可以作为推理依据的公理和定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题．二．重点难点教学重点：三个公理的教学是重点。
平面的基本性质是立体几何的基础。
教学难点：公理的理解与运用是难点，而两条异面直线所成的角和距离是高考热点，在新课标高考卷中频频出现．三．知识梳理 1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．2．直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类 ⎩⎨⎧ 共面直线⎩⎪⎨⎪⎧ 平行相交异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a ，b 所成的角(或夹角)．②范围：⎝⎛⎦⎤0，π2. 3．直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况．4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．5．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．四．思考辨析判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a ，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a .( )(2)两个平面α，β有一个公共点A ，就说α，β相交于过A 点的任意一条直线．( )(3)两个平面α，β有一个公共点A ，就说α，β相交于A 点，并记作α∩β＝A .( )(4)两个平面ABC 与DBC 相交于线段BC .( )(5)经过两条相交直线，有且只有一个平面．( )五．典例剖析题型一 平面的基本性质例1（1）(2013·安徽理)在下列命题中，不是公理的是( )A ．平行于同一个平面的两个平面相互平行B ．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C ．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D ．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（2）下列命题正确的个数为( )①梯形可以确定一个平面；②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行； ③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．A ．0B ．1C ．2D ．3（3）下列如图所示是正方体和正四面体，P 、Q 、R 、S 分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是________．课堂练习1:已知空间四边形ABCD 中，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，则下列判断：①MN ≥12(AC ＋BD )；②MN >12(AC ＋BD )；③MN ＝12(AC ＋BD )；④MN <12(AC ＋BD )． 其中正确的是________．题型二 平面基本性质应用例2 已知在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为D 1C 1，C 1B 1的中点，AC ∩BD ＝P ，A 1C 1∩EF ＝Q .求证：(1)D ，B ，F ，E 四点共面；(2)若A 1C 交平面DBFE 于R 点，则P ，Q ，R 三点共线；(3)DE ，BF ，CC 1三线交于一点．课堂小结： (1)点共线问题的证明方法：证明空间点共线，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再依据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上．(2)线共点问题的证明方法：证明空间三线共点，先证两条直线交于一点，再证第三条直线经过这点，将问题转化为证明点在直线上。
高考数学.空间几何体,点线面位置关系
一、空间几何体 1．棱柱：⑴概念：由一个平面多边形沿某一确定方向平移形成的空间几何体．⑵性质：两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形，侧棱平行且相等． ⑶正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱． 2．棱锥：⑴概念：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形．⑵正棱锥：底面是正多边形，且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫正棱锥． 3．棱台：⑴概念：棱锥被平行于底面的一个平面所截后，截面和底面之间的部分叫做棱台． ⑵性质：棱台的各侧棱延长后交于一点，即棱台的上下底面平行且对应边成比例； ⑶正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台． 4．圆柱、圆锥和圆台：⑴概念：将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥和圆台．⑵性质：①平行于底面的截面都是圆；②轴截面分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形． 5．球与球面：⑴半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周而形成的几何体叫做球（或球体），半圆旋转而成的曲面知识梳理知识结构图空间几何体、点线面位置关系叫做球面．⑵球面被经过球心的平面截得的圆叫球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫球的小圆；在球面上，两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的劣弧的长度，这个弧长叫做两点间的球面距离．6．三视图：俯视图、主视图、左视图．三视图的位置关系为：俯视图在主视图下方，左视图在主视图右方． 投影规律为：主俯一样长（长对正），主左一样高（高平齐），俯左一样宽（宽相等）． 7二、直线与平面的位置关系 1．平面的基本性质及推论：公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内； 公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面；公理3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条经过这个点的公共直线． 推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 2．平行公理与等角定理公理4（空间平行线的传递性）：平行于同一条直线的两条直线互相平行；等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等． 3．空间两条直线的位置关系有：相交、平行、异面；空间直线l 与平面α的位置关系有：l α⊂、l A α=、l α∥； 空间平面α与平面β的位置关系有：αβ∥、l αβ=．4．线面平行的概念：如果直线与平面没有公共点，那么我们称这条直线与这个平面平行． 线面平行判定定理：m α⊄，m l ∥，l α⊂m α⇒∥， 线面平行性质定理：l α∥，l β⊂，m αβ=l m ⇒∥；5．面面平行的概念：如果两个平面没有公共点，我们称这两个平面平行．面面平行判定定理：a α⊂，b α⊂，a b A =，a β∥，b β∥αβ⇒∥， 面面平行性质定理：αβ∥，m αγ=，n βγ=m n ⇒∥．6．线线垂直的概念：如果两条直线相交或平移后相交于一点，且交角为直角，称两直线互相垂直． 线面垂直的概念：如果一条直线和平面内任意直线都垂直，则称这条直线与这个平面垂直． 线面垂直判定定理：a b ⊥，a c ⊥，b α⊂，c α⊂，b c A =a α⇒⊥， 线面垂直性质定理：m α⊥，n α⊥m n ⇒∥．7．面面垂直的概念：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．面面垂直判定定理：l α⊂，l β⊥αβ⇒⊥．面面垂直性质定理：αβ⊥，m αβ=，n α⊂，n m ⊥n β⇒⊥．（2012北京理7）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ）4234正（主）视图侧（左）视图俯视图A ．2865+B ．3065+C ．56125+D ．60125+【解析】 B ；（2010北京理8）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，动点E ，F 在棱11A B 上，动点P ，Q 分别在棱AD ，CD 上，若1EF =，1A E x =，DQ y =，DP z =（x y z ,,大于零），则四面体PEFQ 的体积（ ） A ．与x y z ,,都有关 B ．与x 有关，与y z ,无关C ．与y 有关，与x z ,无关D ．与z 有关，与x y ,无关【解析】 D1、一个棱柱是正四棱柱的条件是（ ） A ．底面是正方形，有两个侧面是矩形 B ．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面 C ．每个侧面都是全等矩形的四棱柱D ．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直【解析】 D ；2、 半径为R 的球内接一个正方体，则该正方体的体积是（ ）A ． 322RB ．343R C ．383R D ．33R小题热身真题再现QP FEB 1C 11A 1D B【解析】 C ；3、 已知球的表面积为20π，球面上有A 、B 、C 三点．如果2AB AC ==，23BC =，则球心到平面ABC 的距离为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．2【解析】 A ；4、 如图，正三棱柱111ABC A B C -中，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是（ ）A ．1CC 与1B E 是异面直线 B ．AC ⊥平面11ABB AC ．AE ，11B C 为异面直线，且11AE B C ⊥D ．11AC ∥平面1ABE 【解析】 C ．5、 一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积是（ ）A ．3B ．52C ．2D ．32【解析】 D6、 若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为60︒的菱形，则该棱柱的体积等于（ ）A ．2B ．22C ．32D ．42【解析】 B7、 正四面体ABCD 的棱长为1，E 是ABC △内一点，点E 到边AB BC CA ，，的距离之和为x ，点E 到平面DAB ，DBC ，DCA 的距离之和为y ，则22x y +=（ ）EDCBAA ．1B 6C ．53D ．1712 【解析】 D ；A 1B 1C 1ABEC俯视图侧视图正视图1338、（2007湖南文6）如图，在正四棱柱 1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是1AB 、1BC 的中点，则以下结论中不成立的是（ ）A ．EF 与1BB 垂直 B ．EF 与BD 垂直C ．EF 与CD 异面 D ．EF 与11A C 异面AB CDE F A 1B 1C 1D 1【解析】 D9、 （2008辽宁卷11）在正方体1111ABCD A B C D -中，E F ，分别为棱1AA ，1CC 的中点，则在空间中与三条直线11A D ，EF ，CD 都相交的直线（ ）A ．不存在B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有无数条【解析】 D ； 10、（2005湖北，理10）如图，在三棱柱ABC A B C '''-中，点E 、F 、H 、K 分别为AC '、CB '、A B '、B C ''的中点，G 为ABC ∆的重心．从K 、H 、G 、B '中取一点作为P ，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF 平行，则P 为（ ） A ．K B ．H C ．G D ．B 'GK EB'A'H F ABC【解析】 C ；<教师备案>复习空间几何体的性质时应注意，有些几何体名称不同但对象相同（例如三棱锥和四面体），有些几何体看上去相同实质不同（例如四面体和空间四边形及其对角线），有些几何体名称相近关系密切却有细微的差异（例如四棱柱家族），务必将名称与几何体严格对应并熟悉相应性质．下图为四棱柱家族的详细关系图：复习空间位置关系的判定应注意解题思路的梳理和过程书写的规范，每个步骤都应有明确的定义或定理作为基础，切忌“想当然”．考点1：空间几何体的性质【例1】 ⑴四棱锥成为正棱锥的一个充分但不必要条件是（ ）A ．各侧面是正三角形B ．底面是正方形C ．各侧面三角形的顶角为45度D ．顶点在底面的射影是底面对角线的交点 ⑵下面关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； ③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱． 其中，真命题的序号是______．⑶在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点， 这些几何形体可以是_________（写出所有正确结论的编号）． ①不是正方形的矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；经典精讲7.1空间几何体平行六面体 四棱柱 底面是平行四边形侧棱与 底面垂直 正四棱柱 底面是平行四边形直平行六面体底面为 正方形 直四棱柱 侧棱与 底面垂直 底面为 长方形 长方体 底面是正方形 侧面也为正方形 正方体棱长都相等的长方体④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．【解析】 ⑴A ；⑵ ②④； ⑶①③④⑤；考点2：三视图计算 【例2】 ⑴（2010北京东城一模）下图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为_________．俯视图侧（左）视图正（主）视图222211⑵（2011北京二中高三月考5）下图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的表面积为（ ）（不考虑接触点） A ．63π++ B ．1834π++ C ．1823π++ D ．32π+ ⑶（2009辽宁15）设某几何体的三视图如图（长度单位m ），则该几何体的体积为_____3m ． ⑷（2012海淀二模理7）某几何体的主视图与俯视图如图所示，左视图与主视图相同，且图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（ ）A ．203B ．43C ．6D ．43322221133222左视俯视图主视图第⑵题 第⑶题 第⑷题【解析】 ⑴43； ⑵C ； ⑶ 4； ⑷A ；<教师备案>根据三视图进行体积计算时，首先确定几何体的形状（棱柱或棱锥等），然后获得所需的数据，最后根据公式计算即可．由于计算底面积所需数据和几何体的高均可从三视图中直接获得，因此以三视图为基础的几何体体积计算是比较容易的．<教师备案>相对于体积计算，根据三视图进行表面积计算是比较困难的，因为相关数据很难从三视图中直接获得，需要先将三视图还原为直观图，再将直观图分解为展开图，依次计算各个表面的面积，最后求和．这个过程中，三视图还原直观图是最关键的，各个表面分别计算面积是最麻烦的．【拓1】 如果一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积是（ ）A ．()280162cm + B ．296cmC ．()296162cm +D ．2112cm【解析】 A 考点3：几何体计算【例3】 ⑴（2009陕西10）若正方体的棱长为2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为（ ）A ．26B ．23C ．33D ．23⑵在一个锥体中，作平行于底面的截面，若这个截面面积与底面面积之比为1:3，则锥体被截面所分成的两部分的体积之比为（ ）A ．1:3B ．1:9C ．1:33D ．()1:331- ⑶如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，D 为棱1AA 的中点．若截面1BC D △是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为_______．【解析】 ⑴ B ；⑵ D ；⑶83俯正视图侧视图4442俯视图44C 1B 1A 1DCBA考点4：球体计算【例4】 ⑴长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球面的表面积为（ ）A ．7π2 B ．56π C ．14π D ．64π⑵（2012西城二模13）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，该几何体的体积是_____； 若该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的表面积是_____．⑶（2010课标全国10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．2πaB ．27π3aC ．211π3a D ．25πa【解析】 ⑴C ；⑵13π3，； ⑶ B考点5：平行垂直关系【例5】 ⑴ 已知m 、n 、l 为直线，α、β、γ为平面，有下列四个命题：①若m α∥，m β∥，则αβ∥；②l n ⊥，l m ⊥，n α⊂，m α⊂，则l α⊥； ③αβ⊥，αγ∥，则βγ⊥；④m α⊂，n β⊂，αβ⊥，则m n ⊥．其中正确命题的个数是（ ） A ．0 B ． 1 C ．2 D ．3 ⑵设l 、m 、n 表示三条直线，α、β、γ表示三个平面，给出下列四个命题：①若l α⊥，m α⊥，则l m ∥；②若m β⊂，n 是l 在β内的射影，m l ⊥，则m n ⊥；③若m α⊂，m n ∥，则n α∥；④若αγ⊥，βγ⊥，则αβ∥． 其中真命题为（ ）A ．①②B ．①②③C ．①②③④D ．③④【解析】 ⑴ B ；⑵ A ；7.2点、线、面的位置关系俯视图侧视图正视图考点6：几何体中的平行与垂直【例6】 ⑴下列四个正方体图形中，A B ，为正方体的两个顶点，M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形有__________．ABPNMAB PNMA BPNMBAMNP① ② ③ ④ ⑵ 过平行六面体1111ABCD A B C D -任意两条棱的中点作直线，其中与平面11DBB D 平行的直线共有（ ）A ．4条B ．6条C ．8条D ．12条 ⑶在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是1AA 的中点，N 是线段AB上一点，若1MN MC ⊥，则（ ）A ．12AN AB = B ．14AN AB = C ．13AN AB = D ．34AN AB =⑷如图，PA ⊥平面ABC ，90ABC ∠=︒，则图中互相垂直的平面有（ ）CBAPA ．2对B ．3对C ．4对D ．5对【解析】 ⑴①④；⑵ D ⑶B ； ⑷B ；NMA B CDA 1B 1C 1D 1考点7：几何体中的空间位置关系证明【例7】 （2010丰台二模文16）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是菱形，SA ABCD ⊥底面，M 为SA 的中点，N 为CD 的中点． ⑴ 证明：平面SBD ⊥平面SAC ； ⑵ 证明：直线MN SBC 平面‖．NMSDCBA【解析】 ⑴ ∵ABCD 是菱形，∴BD AC ⊥，∵SA ⊥底面ABCD ，∴BD SA ⊥，∵SA 与AC 交于A ，∴BD ⊥平面SAC ，∵BD ⊂平面SBD ，∴平面SBD ⊥平面SAC ． ⑵ 取SB 中点E ，连接ME ，CE ， ∵M 为SA 中点，∴ME AB ∥且12ME AB =， 又∵ABCD 是菱形，N 为CD 的中点，∴CN AB ∥且1122CN CD AB ==，∴CN EM ∥，且CN EM =， ∴四边形CNME 是平行四边形， ∴MN CE ∥，又MN ⊄平面SBC ，CE ⊂平面SBC ， ∴直线MN ∥平面SBC ．（也可以取AB 中点F ，通过面MNF ∥面SBC 来证MN ∥面SBC ）【例8】 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，1BC BC ⊥，1AB BC =，E F G ，，分别为线段1111AC AC BB ，，的中点， 求证：⑴平面ABC ⊥平面1ABC ；⑵EF ∥平面11BCC B ；⑶GF ⊥平面11AB C ．【解析】 ⑴ ∵BC AB ⊥，1BC BC ⊥，1AB BC B =，∴BC ⊥平面1ABC ，又BC ⊂平面ABC ， ∴平面ABC ⊥平面1ABC ； ⑵∵111AE EC A F FC ==，，∴1EF AA ∥． ∵11BB AA ∥，∴1EF BB ∥．∵EF ⊄平面11BCC B ，∴EF ∥平面11BCC B ； ⑶ 连接EB （图略），则四边形EFGB 为平行四边形， ∴GF BE ∥．∵1AB BC =，1AE EC =，∴1BE AC ⊥，∴1GF AC ⊥． 又∵BC ⊥平面1ABC ，11BC B C ∥，∴11B C ⊥平面1ABC ． ∵BE ⊂平面1ABC ，∴11B C BE ⊥．∴11GF B C ⊥．C 1B 1A 1GFE CB AEAB CD S MN∵1111B C AC C =，∴GF ⊥平面11AB C ．<教师备案>空间距离的计算分为“直接法”、“间接法”和“向量法”：直接法需要找到垂线段的位置，对添加辅助线的技巧要求比较高，找到垂线段后利用解三角形、三角函数和勾股定理计算；间接法需要找到适当的三棱锥，通常不需要添加辅助线，但面积和体积的计算比较麻烦；向量法需要计算法向量，相应课程中会有详细的复习和练习．⑵中由于垂线段的位置比较容易确定，使用的是直接法；若求1A 到11EB D 的距离，则使用间接法比较合适．空间几何体体积的计算分为“直接法”和“间接法”：直接法使用几何体对应的公式直接计算；间接法适合规范几何体中分割出的“四面悬空”的几何体，通过整体减去不需要的部分的方法求解．⑶可以将两种方法均练习一下，用间接法需要连结DE EF ，．a b ，为两异面直线，下列结论正确的是 （ ） A ．过不在a b ，上的任何一点，可作一个平面与a b ，都平行 B ．过不在a b ，上的任一点，可作一直线与a b ，都相交 C ．过不在a b ，上任一点，可作一直线与a b ，都平行 D ．过a 可以并且只可以作一个平面与b 平行【解析】 D ；一、选择题1、 （2008山东文理6）右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）2322俯视图侧(左)视图正(主)视图A ．9πB ．10πC ．11πD ．12π【解析】 D ； 课后习题2、（2006江西）如图，在四面体ABCD 中，截面AEF 经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O ，且与BC ，DC 分别截于E 、F ，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A BEFD -与三棱锥A EFC -的表面积分别是1S ，2S ，则必有（ ）A ．12S S <B ．12S S >C ．12S S =D ．12S S ，的大小关系不能确定【解析】 C ．3、 如图，在等腰梯形ABCD 中，2260AB DC DAB ==∠=︒，，E 为AB 的中点，将ADE △ 与BEC △分别沿,ED EC 向上折起，使,A B 重合于点P ，则三棱锥P DCE -的外接球的体积为（ ）DECBAA B CD【解析】 C ．4、 （2001年全国高考）一间民房的屋顶有如下图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜．记三种盖法屋顶面积分别为1P 、2P 、3P ．若屋顶斜面与水平面所成的角都是a ，则（ ）A ．321P P P =>B ．321P P P >=C ．321P P P >>D ．321P P P ==【解析】 D二、填空题5、 （2008全国II 理16）平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件①； 充要条件② ．（写出你认为正确的两个充要条件）【解析】 两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形．6、 （2010湖北13）圆柱形容器内部盛有高度为8cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是______cm ．【解析】 47、 （2008福建15） 3是 ．ABCD【解析】 9π；8、 设α、β、γ是三个不重合的平面，l 是直线，给出下列四个命题：①若αβ⊥，l β⊥，则l α∥；②若l α⊥，l β∥，则αβ⊥；③若l 上有三点到α的距离相等，且l α⊄，则l α∥；④若αβ⊥，αγ∥，则γβ⊥． 其中正确命题的序号是______________．【解析】 ②③④；三、解答题9、 如图，正方形O A B C ''''的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图．请画出原来的平面几何图形的形状，并求原图形的周长与面积．x 'y 'A 'B 'C 'O '【解析】 周长为8，面积为2210、 把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离． 【解析】 第四个球的最高点与桌面的距离为2．11、 如图，在底面是平行四边形的四棱锥P ABCD -中，点E 在PD 上，且:2:1PE ED =，F 为棱PC 的中点．求证：BF ∥平面AECE PDABCF【解析】 （法一）取PE 的中点M ，连结FM ，则FM ∥CE ①由12EM PE ED ==，知E 是MD 的中点．连结,BM BD ，设BD AC O =，则O 为BD 的中点． ∴BM ∥OE ②由①，②知，平面BFM ∥平面AEC∵BF ⊂平面BFM ，∴BF ∥平面AEC ．（法二）∵11()22BF BC CP AD CD DP =+=++1322AD CD DE =++13()()22AD AD AC AE AD =+-+-31.22AE AC =- ∴BF 、AE 、AC 共面．又BF ⊄平面AEC ，从而BF ∥平面AEC12、 如图，在五面体ABCDEF 中，点O 是矩形ABCD 的对角线的交点，平面CDE 是等边三角形，棱12EF BC ∥．⑴ 证明：FO ∥平面CDE ； ⑵设BC =，证明：EO ⊥平面CDF ．【解析】 ⑴ 取CD 的中点M ．连结OM ．在矩形ABCD 中，12OM BC ∥，又12EF BC ∥，则EF OM ∥．连结EM ，于是四边形EFOM 为平行四边形， ∴FO EM ∥．又∵FO ⊄平面CDE ，且EM ⊂平面CDE ，ＭOABCDＥＦＦＥDCBAOOFM CBADPE∴FO∥平面CDE．⑵连结FM，CF，在等边CDE△中，CM DM=，∴EM CD⊥且12EM BC EF===．因此平行四边形EFOM为菱形，从而EO FM⊥．∵CD OM⊥，CD EM⊥，∴CD⊥平面EOM，又∵EO⊂平面EOM，∴CD EO⊥．而FM CD M=，所以EO⊥平面CDF．13、已知三棱锥P ABC-中，PC⊥底面ABC，AB BC=，D F，分别为AC PC，的中点，DE AP⊥于E．⑴求证：AP⊥平面BDE；⑵求证：平面BDE⊥平面BDF；⑶若:1:2AE EP=，求截面BEF分三棱锥P ABC-所成两部分的体积比．FEB DCAP【解析】⑴∵AB BC=，D为AC中点，∴BD AC⊥又PC⊥底面ABC，∴PC BD⊥∵PC AC C=，∴BD⊥平面PAC，∴BD AP⊥．又DE AP⊥，∴AP⊥平面BDE．⑵∵D F，为AC PC，的中点，∴DF AP∥．结合⑴可知DF⊥平面BDE．又DF⊂面BDF，∴平面BDE⊥平面BDF．⑶1:2．。
空间几何体的位置关系
空间几何体的位置关系在三维空间中，几何体的位置关系是几何学研究的重要内容之一。
了解和掌握几何体的位置关系，对于解决实际问题以及进行几何证明都有着重要的意义。
本文将介绍几种常见的空间几何体的位置关系。
一、点和直线的位置关系1. 点在线上：当一个点与一条直线重合时，我们称该点在线上。
2. 点在线上方或线下方：当一条直线将空间分成上下两部分时，点在直线上方或线下方。
3. 点在线上的延长线上：当一条直线延长后，点位于该直线的延长线上。
二、点和平面的位置关系1. 点在平面上：当一个点与一个平面重合时，我们称该点在平面上。
2. 点在平面之上或之下：当一个平面将空间分成上下两部分时，点在平面之上或之下。
3. 点在平面上的延长线上：当一个点的延长线与平面相交时，我们称该点在平面上的延长线上。
三、直线和直线的位置关系1. 平行线：若两条直线在同一平面上且不相交，则这两条直线称为平行线。
2. 相交线：若两条直线在同一平面上相交，则这两条直线称为相交线。
3. 垂直线：若两条直线在同一平面上相交，且交角为直角，则这两条直线称为垂直线。
四、直线和平面的位置关系1. 平行关系：若一条直线与一个平面平行，则它位于该平面之上、之下或在该平面的内部。
2. 相交关系：若一条直线与一个平面相交，则它有且只有一个交点。
3. 垂直关系：若一条直线与一个平面相交，且交角为直角，则它垂直于该平面。
五、平面和平面的位置关系1. 平行关系：若两个平面无公共交线，并且相互平行，则这两个平面平行。
2. 相交关系：若两个平面有且只有一条公共交线，则这两个平面相交。
3. 垂直关系：若两个平面相交，并且交线与其中一个平面的法线垂直，则这两个平面垂直。
综上所述，空间几何体的位置关系包括点和直线的位置关系、点和平面的位置关系、直线和直线的位置关系、直线和平面的位置关系以及平面和平面的位置关系。
了解和掌握这些位置关系对于学习和应用空间几何学具有重要的意义。
在实际应用中，我们可以根据这些位置关系来解决不同的几何问题，并进行相关的几何证明。
专题4 第1讲 空间几何体(教师版)
第1讲 空间几何体【要点提炼】考点一 表面积与体积1．旋转体的侧面积和表面积(1)S 圆柱侧＝2πrl ，S 圆柱表＝2πr(r ＋l)(r 为底面半径，l 为母线长)．(2)S 圆锥侧＝πrl ，S 圆锥表＝πr(r ＋l)(r 为底面半径，l 为母线长)．(3)S 球表＝4πR 2(R 为球的半径)．2．空间几何体的体积公式V 柱＝Sh(S 为底面面积，h 为高)；V 锥＝13Sh(S 为底面面积，h 为高)； V 球＝43πR 3(R 为球的半径)． 【热点突破】【典例】1 (1)已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°.若△SAB 的面积为515，则该圆锥的侧面积为________．【答案】 402π【解析】 因为母线SA 与圆锥底面所成的角为45°，所以圆锥的轴截面为等腰直角三角形．设底面圆的半径为r ，则母线长l ＝2r.在△SAB 中，cos ∠ASB ＝78，所以sin ∠ASB ＝158. 因为△SAB 的面积为515，即12SA ·SBsin ∠ASB＝12×2r ×2r ×158＝515， 所以r 2＝40，故圆锥的侧面积为πrl ＝2πr 2＝402π.(2)如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长均为2，点D 在棱AA 1上，则三棱锥D －BB 1C 1的体积为________．【答案】 233 【解析】 如图，取BC 的中点O ，连接AO.∵正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长均为2，∴AC ＝2，OC ＝1，则AO ＝ 3.∵AA 1∥平面BCC 1B 1，∴点D 到平面BCC 1B 1的距离为 3.又11BB C S ＝12×2×2＝2， ∴11D BB C V ＝13×2×3＝233. 易错提醒 (1)计算表面积时，有些面的面积没有计算到(或重复计算)．(2)一些不规则几何体的体积不会采用分割法或补形思想转化求解．(3)求几何体体积的最值时，不注意使用基本不等式或求导等确定最值．【拓展训练】1 (1)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )A ．122πB ．12πC ．82πD ．10π【答案】 B【解析】 设圆柱的底面半径为r ，高为h ，由题意可知2r ＝h ＝22，∴圆柱的表面积S ＝2πr 2＋2πr ·h ＝4π＋8π＝12π.故选B.(2)如图，在Rt △ABC 中，AB ＝BC ＝1，D 和E 分别是边BC 和AC 上异于端点的点，DE ⊥BC ，将△CDE 沿DE 折起，使点C 到点P 的位置，得到四棱锥P －ABDE ，则四棱锥P －ABDE 的体积的最大值为________．【答案】 327 【解析】 设CD ＝DE ＝x(0<x<1)，则四边形ABDE 的面积S ＝12(1＋x)(1－x)＝12(1－x 2)，当平面PDE ⊥平面ABDE 时，四棱锥P －ABDE 的体积最大，此时PD ⊥平面ABDE ，且PD ＝CD ＝x ，故四棱锥P －ABDE 的体积V ＝13S ·PD ＝16(x －x 3)，则V ′＝16(1－3x 2)．当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，33时，V ′>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1时，V ′<0. ∴当x ＝33时，V max ＝327. 【要点提炼】考点二 多面体与球解决多面体与球问题的两种思路(1)利用构造长方体、正四面体等确定直径．(2)利用球心O 与截面圆的圆心O 1的连线垂直于截面圆的性质确定球心．【典例】2 (1)已知三棱锥P －ABC 满足平面PAB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AB ＝4，∠APB ＝30°，则该三棱锥的外接球的表面积为__________．【答案】 64π【解析】 因为AC ⊥BC ，所以△ABC 的外心为斜边AB 的中点，因为平面PAB ⊥平面ABC ，所以三棱锥P －ABC 的外接球球心在平面PAB 上，即球心就是△PAB 的外心，根据正弦定理AB sin ∠APB＝2R ，解得R ＝4， 所以外接球的表面积为4πR 2＝64π.(2)(2020·全国Ⅲ)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．【答案】 23π 【解析】 圆锥内半径最大的球即为圆锥的内切球，设其半径为r.作出圆锥的轴截面PAB ，如图所示，则△PAB 的内切圆为圆锥的内切球的大圆．在△PAB 中，PA ＝PB ＝3，D 为AB 的中点，AB ＝2，E 为切点，则PD ＝22，△PEO ∽△PDB ，故PO PB ＝OE DB ，即22－r 3＝r 1，解得r ＝22， 故内切球的体积为43π⎝ ⎛⎭⎪⎫223＝23π. 规律方法 (1)长方体的外接球直径等于长方体的体对角线长．(2)三棱锥S －ABC 的外接球球心O 的确定方法：先找到△ABC 的外心O 1，然后找到过O 1的平面ABC 的垂线l ，在l 上找点O ，使OS ＝OA ，点O 即为三棱锥S －ABC 的外接球的球心．(3)多面体的内切球可利用等积法求半径．【拓展训练】2 (1)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O －ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π【答案】 C【解析】 如图所示，设球O 的半径为R ，因为∠AOB ＝90°，所以S △AOB ＝12R 2，因为V O －ABC ＝V C －AOB ，而△AOB 的面积为定值，当点C 位于垂直于平面AOB 的直径端点时，三棱锥O －ABC 的体积最大，此时V O －ABC ＝V C －AOB ＝13×12R 2×R ＝16R 3＝36， 故R ＝6，则球O 的表面积为S ＝4πR 2＝144π.(2)中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA ⊥平面ABCE ，四边形ABCD 为正方形，AD ＝5，ED ＝3，若鳖臑P －ADE 的外接球的体积为92π，则阳马P －ABCD 的外接球的表面积为________．【答案】 20π【解析】 ∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ⊥CD ，即AD ⊥CE ，且AD ＝5，ED ＝3，∴△ADE 的外接圆半径为r 1＝AE 2＝AD 2＋ED 22＝2， 设鳖臑P －ADE 的外接球的半径为R 1，则43πR 31＝92π，解得R 1＝322. ∵PA ⊥平面ADE ，∴R 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫PA 22＋r 21， 可得PA 2＝R 21－r 21＝102，∴PA ＝10. 正方形ABCD 的外接圆直径为2r 2＝AC ＝2AD ＝10，∴r 2＝102，∵PA ⊥平面ABCD ，∴阳马P －ABCD 的外接球半径R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫PA 22＋r 22＝5， ∴阳马P －ABCD 的外接球的表面积为4πR 22＝20π.专题训练一、单项选择题1.水平放置的△ABC 的直观图如图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A ′O ′＝32，那么原△ABC 是一个( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．三边中只有两边相等的等腰三角形D ．三边互不相等的三角形【答案】 A【解析】 AO ＝2A ′O ′＝2×32＝3，BC ＝B ′O ′＋C ′O ′＝1＋1＝2.在Rt △AOB 中，AB ＝12＋32＝2，同理AC ＝2，所以原△ABC 是等边三角形．2．(2020·全国Ⅰ)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )A.5－14 B.5－12 C.5＋14 D.5＋12 【答案】 C【解析】 设正四棱锥的底面正方形的边长为a ，高为h ，侧面三角形底边上的高(斜高)为h ′，则由已知得h 2＝12ah ′. 如图，设O 为正四棱锥S －ABCD 底面的中心，E 为BC 的中点，则在Rt △SOE 中，h ′2＝h 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22， ∴h ′2＝12ah ′＋14a 2， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫h ′a 2－12·h ′a －14＝0， 解得h ′a ＝5＋14(负值舍去)． 3．已知一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，记该圆锥的内切球的表面积为S 1，外接球的表面积为S 2，则S 1S 2等于( ) A.12 B.13 C.14 D.18【答案】 C【解析】 如图，由已知圆锥侧面积是底面积的2倍，不妨设底面圆半径为r ，l 为底面圆周长，R 为母线长， 则12lR ＝2πr 2， 即12·2π·r ·R ＝2πr 2， 解得R ＝2r ，故∠ADC ＝30°，则△DEF 为等边三角形，设B 为△DEF 的重心，过B 作BC ⊥DF ，则DB 为圆锥的外接球半径，BC 为圆锥的内切球半径，则BC BD ＝12，∴r 内r 外＝12，故S 1S 2＝14. 4．(2020·大连模拟)一件刚出土的珍贵文物要在博物馆大厅中央展出，如图，需要设计各面是玻璃平面的无底正四棱柱将其罩住，罩内充满保护文物的无色气体．已知文物近似于塔形，高1.8米，体积0.5立方米，其底部是直径为0.9米的圆形，要求文物底部与玻璃罩底边至少间隔0.3米，文物顶部与玻璃罩上底面至少间隔0.2米，气体每立方米1 000元，则气体的费用最少为( )A ．4 500元B ．4 000元C ．2 880元D ．2 380元【答案】 B【解析】 因为文物底部是直径为0.9米的圆形，文物底部与玻璃罩底边至少间隔0.3米，所以由正方形与圆的位置关系可知，底面正方形的边长为0.9＋2×0.3＝1.5米，又文物高1.8米，文物顶部与玻璃罩上底面至少间隔0.2(米)，所以正四棱柱的高为1.8＋0.2＝2(米)，则正四棱柱的体积V ＝1.52×2＝4.5(立方米)．因为文物的体积为0.5立方米，所以罩内空气的体积为4.5－0.5＝4(立方米)，因为气体每立方米1 000元，所以气体的费用最少为4×1 000＝4 000(元)，故选B.5.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，动点E 在BB 1上，动点F 在A 1C 1上，O 为底面ABCD 的中心，若BE ＝x ，A 1F ＝y ，则三棱锥O －AEF 的体积( )A ．与x ，y 都有关B ．与x ，y 都无关C ．与x 有关，与y 无关D ．与y 有关，与x 无关【答案】 B【解析】 由已知得V 三棱锥O －AEF ＝V 三棱锥E －OAF ＝13S △AOF ·h(h 为点E 到平面AOF 的距离)．连接OC ，因为BB 1∥平面ACC 1A 1，所以点E 到平面AOF 的距离为定值．又AO ∥A 1C 1，OA 为定值，点F 到直线AO 的距离也为定值，所以△AOF 的面积是定值，所以三棱锥O －AEF 的体积与x ，y 都无关．6．在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.2π3 B.4π3 C.5π3 D ．2π 【答案】 C【解析】 如图，过点C 作CE 垂直AD 所在直线于点E ，梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB 的长为底面圆半径，线段BC 为母线的圆柱挖去以线段CE 的长为底面圆半径，ED 为高的圆锥，该几何体的体积为V ＝V 圆柱－V 圆锥＝π·AB 2·BC －13·π·CE 2·DE ＝π×12×2－13π×12×1＝5π3. 7．(2020·全国Ⅰ)已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个点，⊙O 1为△ABC 的外接圆．若⊙O 1的面积为4π，AB ＝BC ＝AC ＝OO 1，则球O 的表面积为( )A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π【答案】 A【解析】 如图，设圆O 1的半径为r ，球的半径为R ，正三角形ABC 的边长为a.由πr 2＝4π，得r ＝2， 则33a ＝2，a ＝23， OO 1＝a ＝2 3.在Rt △OO 1A 中，由勾股定理得R 2＝r 2＋OO 21＝22＋(23)2＝16，所以S 球＝4πR 2＝4π×16＝64π.8．(2020·武汉调研)已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的表面上，若AB ＝AC ＝1，AA 1＝23，∠BAC ＝2π3，则球O 的体积为( ) A.32π3 B ．3π C.4π3 D ．8π【答案】 A【解析】 设△ABC 外接圆圆心为O 1，半径为r ，连接O 1O ，如图，易得O 1O ⊥平面ABC ，∵AB ＝AC ＝1，AA 1＝23，∠BAC ＝2π3， ∴2r ＝AB sin ∠ACB ＝112＝2， 即O 1A ＝1，O 1O ＝12AA 1＝3， ∴OA ＝O 1O 2＋O 1A 2＝3＋1＝2，∴球O 的体积V ＝43π·OA 3＝32π3.故选A. 9.如图所示，某几何体由底面半径和高均为5的圆柱与半径为5的半球对接而成，在该封闭的几何体内部放入一个小圆柱体，且小圆柱体的上、下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为( )A.2 000π9B.4 000π27 C ．81πD ．128π【答案】 B 【解析】 小圆柱的高分为上、下两部分，上部分的高同大圆柱的高相等，为5，下部分深入底部半球内．设小圆柱下部分的高为h(0<h<5)，底面半径为r(0<r<5)．由于r ，h 和球的半径构成直角三角形，即r 2＋h 2＝52，所以小圆柱的体积V ＝πr 2(h ＋5)＝π(25－h 2)(h ＋5)(0<h<5)，把V 看成是关于h 的函数，求导得V ′＝－π(3h －5)(h ＋5)．当0<h<53时，V ′>0，V 单调递增；当53<h<5时，V ′<0，V 单调递减．所以当h ＝53时，小圆柱的体积取得最大值．即V max ＝π⎝⎛⎭⎪⎫25－259×⎝ ⎛⎭⎪⎫53＋5＝4 000π27，故选B. 10．已知在三棱锥P －ABC 中，PA ，PB ，PC 两两垂直，且长度相等．若点P ，A ，B ，C 都在半径为1的球面上，则球心到平面ABC 的距离为( )A.36B.12C.13D.32【答案】 C【解析】 ∵在三棱锥P －ABC 中，PA ，PB ，PC 两两垂直，且长度相等，∴此三棱锥的外接球即以PA ，PB ，PC 为三边的正方体的外接球O ，∵球O 的半径为1， ∴正方体的边长为233，即PA ＝PB ＝PC ＝233， 球心到截面ABC 的距离即正方体中心到截面ABC 的距离，设P 到截面ABC 的距离为h ，则正三棱锥P －ABC 的体积V ＝13S △ABC ×h ＝13 S △PAB ×PC ＝13× 12×⎝ ⎛⎭⎪⎫2333， ∵△ABC 为边长为263的正三角形， S △ABC ＝233，∴h ＝23， ∴球心(即正方体中心)O 到截面ABC 的距离为13. 二、多项选择题11．(2020·枣庄模拟)如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD －A 1B 1C 1D 1内灌进一些水，固定容器一边AB 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面几个结论，其中正确的是( )A ．没有水的部分始终呈棱柱形B ．水面EFGH 所在四边形的面积为定值C ．随着容器倾斜度的不同，A 1C 1始终与水面所在平面平行D ．当容器倾斜如图③所示时，AE ·AH 为定值【答案】 AD【解析】 由于AB 固定，所以在倾斜的过程中，始终有CD ∥HG ∥EF ∥AB ，且平面AEHD ∥平面BFGC ，故水的部分始终呈棱柱形(三棱柱或四棱柱)，且AB 为棱柱的一条侧棱，没有水的部分也始终呈棱柱形，故A 正确；因为水面EFGH 所在四边形，从图②，图③可以看出，EF ，GH 长度不变，而EH ，FG 的长度随倾斜度变化而变化，所以水面EFGH 所在四边形的面积是变化的，故B 错；假设A 1C 1与水面所在的平面始终平行，又A 1B 1与水面所在的平面始终平行，则长方体上底面A 1B 1C 1D 1与水面所在的平面始终平行，这就与倾斜时两个平面不平行矛盾，故C 错；水量不变时，棱柱AEH －BFG 的体积是定值，又该棱柱的高AB 不变，且V AEH －BFG ＝12·AE ·AH ·AB ，所以AE ·AH ＝2V AEH －BFG AB ，即AE ·AH 是定值，故D 正确． 12. (2020·青岛检测)已知四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1的上、下底面均为正方形，其中AB ＝22，A 1B 1＝2，AA 1＝BB 1＝CC 1＝DD 1＝2，则下列叙述正确的是( )A ．该四棱台的高为 3B ．AA 1⊥CC 1C ．该四棱台的表面积为26D ．该四棱台外接球的表面积为16π【答案】 AD【解析】 将四棱台补为如图所示的四棱锥P －ABCD ，并取E ，E 1分别为BC ，B 1C 1的中点，记四棱台上、下底面中心分别为O 1，O ，连接AC ，BD ，A 1C 1，B 1D 1，A 1O ，OE ，OP ，PE.由条件知A 1，B 1，C 1，D 1分别为四棱锥的侧棱PA ，PB ，PC ，PD 的中点，则PA ＝2AA 1＝4，OA ＝2，所以OO 1＝12PO ＝12PA 2－OA 2＝3，故该四棱台的高为3，故A 正确；由PA ＝PC ＝4，AC ＝4，得△PAC 为正三角形，则AA 1与CC 1所成角为60°，故B 不正确；四棱台的斜高h ′＝12PE ＝12PO 2＋OE 2＝12×232＋22＝142，所以该四棱台的表面积为(22)2＋(2)2＋4×2＋222×142＝10＋67，故C 不正确；易知OA 1＝OB 1＝OC 1＝OD 1＝O 1A 21＋O 1O 2＝2＝OA ＝OB ＝OC ＝OD ，所以O 为四棱台外接球的球心，所以外接球的半径为2，外接球表面积为4π×22＝16π，故D 正确．三、填空题13．(2020·浙江)已知圆锥的侧面积(单位：cm 2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是________．【答案】 1【解析】 如图，设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，则圆锥的侧面积S 侧＝πrl ＝2π，即r ·l ＝2.由于侧面展开图为半圆，可知12πl 2＝2π， 可得l ＝2，因此r ＝1.14.在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱的底面直径为40 cm ，母线长最短50 cm ，最长80 cm ，则斜截圆柱的侧面面积S ＝________cm 2.【答案】 2 600π【解析】 将题图所示的相同的两个几何体对接为圆柱，则圆柱的侧面展开图为矩形．由题意得所求侧面展开图的面积S ＝12×(π×40)×(50＋80)＝2 600π(cm 2)． 15．已知球O 与棱长为4的正四面体的各棱相切，则球O 的体积为________．【答案】 823π 【解析】 将正四面体补成正方体，则正四面体的棱为正方体面上的对角线，因为正四面体的棱长为4，所以正方体的棱长为2 2.因为球O 与正四面体的各棱都相切，所以球O 为正方体的内切球，即球O 的直径2R ＝22，则球O 的体积V ＝43πR 3＝823π. 16．(2020·新高考全国Ⅰ)已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD ＝60°.以D 1为球心，5为半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为________．【答案】2π2【解析】 如图，设B 1C 1的中点为E ，球面与棱BB 1，CC 1的交点分别为P ，Q ，连接DB ，D 1B 1，D 1P ，D 1E ，EP ，EQ ，由∠BAD ＝60°，AB ＝AD ，知△ABD 为等边三角形， ∴D 1B 1＝DB ＝2，∴△D 1B 1C 1为等边三角形，则D 1E ＝3且D 1E ⊥平面BCC 1B 1，∴E 为球面截侧面BCC 1B 1所得截面圆的圆心， 设截面圆的半径为r ，则r ＝R 2球－D 1E 2＝5－3＝ 2.又由题意可得EP ＝EQ ＝2，∴球面与侧面BCC 1B 1的交线为以E 为圆心的圆弧PQ. 又D 1P ＝5，∴B 1P ＝D 1P 2－D 1B 21＝1，同理C 1Q ＝1，∴P ，Q 分别为BB 1，CC 1的中点，∴∠PEQ ＝π2， 知PQ 的长为π2×2＝2π2，即交线长为2π2.。
18版：第1讲 空间几何体的结构特征、三视图和直观图（创新设计）
都是圆锥；
③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.
其中正确命题的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
基础诊断
考点突破
课堂总结
(2)以下命题：
①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体
是圆台；
②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；
③一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台.
其中正确命题的个数为( )
在 Rt△ABE 中，AB＝1，∠ABE＝45°，∴BE＝ 22. 又四边形 AECD 为矩形，AD＝EC＝1. ∴BC＝BE＋EC＝ 22＋1.
基础诊断
考点突破
课堂总结
由此还原为原图形如图 2 所示，是直角梯形 A′B′C′D′.
在梯形 A′B′C′D′中，A′D′＝1，B′C′＝ 22＋1，A′B′＝2.
A.0
B.1
C.2
D.3
基础诊断
考点突破
课堂总结
解析 (1)①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是 母线；②不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两 边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它 是由两个同底圆锥组成的几何体；③错误，棱台的上、下 底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一 点，但是侧棱长不一定相等.
基础诊断
考点突破
课堂总结
4.直观图 空间几何体的直观图常用_斜__二__测_画法来画，其规则是：(1)原 图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹 角为_4_5_°__(_或__1_3_5_°__)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面_垂__直__. (2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别_平__行__于__ 坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度_不__变__， 平行于y轴的线段长度在直观图中变为_原__来__的__一__半__.
空间平面的位置关系与角度计算
空间平面的位置关系与角度计算一、空间平面的位置关系在空间几何中，平面是一个重要的概念，而平面的位置关系以及角度计算是该领域中的基础知识。
本文将介绍空间平面的位置关系以及如何计算平面之间的角度。
1. 平行平面：当两个平面上的每一对相交直线的夹角都为垂直时，这两个平面称为平行平面。
可以用符号“∥”表示平行关系。
当两个平面平行时，它们的法线向量是相互平行的。
2. 相交平面：当两个平面上存在公共直线时，这两个平面称为相交平面。
相交平面的交线是两个平面的公共部分，可以用直线上两点的坐标表示。
3. 垂直平面：当两个平面的法线向量互相垂直时，这两个平面称为垂直平面。
可以用符号“⊥”表示垂直关系。
4. 平面与直线的关系: 平面与直线之间有三种可能的位置关系，即平面与直线相交、平面包含直线和平面平行于直线。
当平面与直线相交时，它们的交点可以通过求解平面和直线的方程得到。
二、角度计算在空间几何中，我们常常需要计算平面之间的角度。
下面介绍两种常用的计算方法：1. 垂直平面的夹角计算：当两个平面互相垂直时，它们的夹角可以通过它们的法线向量之间的夹角来计算。
假设两个平面的法线向量分别为n1和n2，它们的夹角可以通过计算n1和n2的点乘结果的余弦值得到。
公式如下所示：cos n = n1•n2 / (|n1|•|n2|)其中，n1•n2表示n1和n2的点乘结果，|n1|和|n2|表示n1和n2的模长。
2. 平面之间的夹角计算：当两个平面不垂直时，它们的夹角可以通过它们的法线向量所成的夹角来计算。
首先，我们需要计算两个平面的法线向量的点乘结果的余弦值，然后使用反余弦函数得到夹角的值。
公式如下所示：cos n = n1•n2 / (|n1|•|n2|)其中，n1•n2表示n1和n2的点乘结果，|n1|和|n2|表示n1和n2的模长。
综上所述，空间平面的位置关系与角度计算是空间几何的重要内容。
通过了解平行平面、相交平面、垂直平面以及平面与直线的关系，我们可以更好地理解空间中的几何形状。
高中数学中的空间解析几何位置关系
高中数学中的空间解析几何位置关系在高中数学中，空间解析几何是一个重要的内容。
通过解析几何，我们可以研究点、直线、平面以及它们之间的位置关系。
本文将介绍空间解析几何中的位置关系，并探讨一些常见的几何问题。
1. 点与直线的位置关系在三维空间中，一个点可以在直线上、在直线上的延长线上、不在直线上，这取决于点与直线之间的位置关系。
根据点在直线上的投影，可以将点与直线的位置关系分为三种情况：点在直线上、点在直线的某个延长线上、点在直线的某个截线上。
具体来说，如果一个点的坐标满足直线上的方程，那么这个点就在直线上。
如果一个点的坐标满足直线的方程但不满足直线上的方程，那么这个点就在直线的某个延长线上。
如果一个点的坐标不满足直线的方程，那么这个点就不在直线上。
2. 点与平面的位置关系与点与直线的位置关系类似，点与平面之间的位置关系也可以分为三种情况：点在平面上、点在平面的上方或下方、点不在平面上。
通过将点的坐标代入平面的方程，我们可以判断点与平面的位置关系。
如果点的坐标满足平面的方程，那么这个点在平面上。
如果点的坐标不满足平面的方程，那么这个点不在平面上。
如果点的坐标满足平面的方程但不满足平面上的方程，那么这个点在平面的上方或下方。
3. 直线与直线的位置关系在三维空间中，两条直线可以相交、平行或重合。
通过求解两条直线的交点，我们可以判断它们之间的位置关系。
如果两条直线有且仅有一个交点，那么它们相交。
如果两条直线没有交点且它们的方向向量平行，那么它们平行。
如果两条直线完全重合，那么它们重合。
4. 直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系可以分为四种情况：直线在平面上、直线平行于平面、直线与平面相交但不在平面上、直线与平面没有交点。
通过直线的方程和平面的方程，我们可以判断直线与平面之间的位置关系。
具体而言，如果直线的方程同时满足平面的方程，那么这条直线在平面上。
如果直线的方程与平面的法向量平行，那么这条直线与平面平行。
空间点线面之间位置关系知识点总结
高中空间点线面之间位置关系知识点总结第一章空间几何体（一）空间几何体的结构特征（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。
其中，这条定直线称为旋转体的轴。
（2）柱，锥，台，球的结构特征1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
1.2圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.2.1棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
2.2圆锥——以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。
3.1棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台.3.2圆台——用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.4.1球——以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.（二）空间几何体的三视图与直观图1.投影：区分中心投影与平行投影。
平行投影分为正投影和斜投影。
2.三视图——正视图；侧视图；俯视图；是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等3.直观图：直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。
4.斜二测法：在坐标系'''x o y中画直观图时，已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性不变，平行于x轴（或在x轴上）的线段保持长度不变，平行于y轴（或在y轴上）的线段长度减半。
重点记忆：直观图面积=原图形面积(三)空间几何体的表面积与体积1、空间几何体的表面积①棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和②圆柱的表面积③圆锥的表面积2S rl rππ=+④圆台的表面积22S rl r Rl Rππππ=+++⑤球的表面积24S Rπ=⑥扇形的面积公式213602n RS lrπ==扇形（其中l表示弧长，r表示半径）2、空间几何体的体积①柱体的体积V S h=⨯底②锥体的体积13V S h=⨯底③台体的体积1)3V S S h=+⨯下上（④球体的体积343V Rπ=第二章直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.11 平面含义：平面是无限延展的2 平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。
第1部分 板块2 核心考点突破拿高分 专题3 第1讲 空间几何体、空间中的位置关系(小题)
第1讲空间几何体、空间中的位置关系(小题)热点一三视图与直观图1.一个物体的三视图的排列规则俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图的长度一样，侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度与正(主)视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样.即“长对正、高平齐、宽相等”.2.由三视图还原几何体的步骤一般先依据俯视图确定底面，再利用正(主)视图与侧(左)视图确定几何体.例1(1)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱CD，CC1，A1B1的中点，用过点E，F，G的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧(左)视图为()(2)有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为________.跟踪演练1(1)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△P AC在该正方体各个面上的射影可能是()A.①④B.②③C.②④D.①②(2)(2019·江西省重点中学盟校联考)如图所示是一个几何体的三视图及有关数据，则该几何体的棱的长度中，最长的是()热点二表面积与体积空间几何体的表面积和体积计算是高考中常见的一个考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割成几个规则几何体的技巧，把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧.例2(1)(2019·菏泽模拟)如图，为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是()A.(12＋43)πB.(6＋23)πC.(9＋23)πD.(15＋43)π(2)(2019·厦门模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为()A.2π3B.4π3C.14π3D.16π9跟踪演练2 (1)(2019·江南十校质检)如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线(实线、虚线)画出的是某几何体的三视图，其中的曲线都是半径为1的圆周的四分之一，则该几何体的表面积为( )A.20B.20＋π4C.20＋3π4D.20＋5π4(2)(2019·沈阳市东北育才学校模拟)如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为( )A.2B.83 C.6 D.8热点三 多面体与球与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图.如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径.球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心(或“切点”“接点”)作出截面图.例3 (1)在三棱锥P －ABC 中，△ABC 和△PBC 均为边长为3的等边三角形，且P A ＝362，则三棱锥P －ABC 外接球的体积为( )A.13136πB.10103πC.5152πD.556π(2)如图是某三棱锥的三视图，则此三棱锥内切球的体积为( )A.25π4B.25π16C.1 125π4D.1 125π16跟踪演练3 (1)(2019·榆林模拟)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知底面ABC 为正三角形，AA 1⊥平面ABC ，AB ＝63，AA 1＝16，则该三棱柱外接球的表面积为( ) A.400π B.300π C.200π D.100π(2)已知一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，记该圆锥的内切球的表面积为S 1，外接球的表面积为S 2，则S 1S 2等于( )A.12B.13C.14D.18热点四 空间线面位置关系的判断 高考中判断空间线面位置关系的注意点：(1)对于空间线面位置关系的判断，常用的方法有：①根据定理逐项判断，可以举反例，也可以证明，要结合题目灵活选择；②必要时可以借助空间几何体模型，如借助长方体、正四面体中的线面位置关系来判断.(2)求角时，一般先利用平行关系找到这个角，然后把这个角放到三角形中去求解. 例4 (1)已知直线a ，b ，平面α，β，γ，下列命题正确的是( ) A.若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝a ，则a ⊥γB.若α∩β＝a ，α∩γ＝b ，β∩γ＝c ，则a ∥b ∥cC.若α∩β＝a ，b ∥a ，则b ∥αD.若α⊥β，α∩β＝a ，b ∥α，则b ∥a(2)(2019·淄博模拟)如图所示，平面BCC 1B 1⊥平面ABC ，∠ABC ＝120°，四边形BCC 1B 1为正方形，且AB＝BC＝2，则异面直线BC1与AC所成角的余弦值为________.跟踪演练4(1)若m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是()A.若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥nB.若m∥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥nC.若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥nD.若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m∥n(2)(2019·怀化模拟)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成角的大小为()A.30°B.45°C.60°D.90°真题体验1.(2018·全国Ⅰ，理，7)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图.圆柱表面上的点M 在正(主)视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在侧(左)视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为()A.217B.2 5C.3D.22.(2019·全国Ⅰ，理，12)已知三棱锥P－ABC的四个顶点在球O的球面上，P A＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是P A，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为()A.86πB.46πC.26πD.6π3.(2018·全国Ⅱ，理，9)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( ) A.15 B.56 C.55 D.22 押题预测1.已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个定点，∠ABC ＝60°，AC ＝2，P 为球O 的球面上的动点，记三棱锥P －ABC 的体积为V 1，三棱锥O －ABC 的体积为V 2，若V 1V 2的最大值为3，则球O 的表面积为( ) A.16π9 B.64π9 C.3π2D.6π 2.如图，点P 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的面对角线BC 1上运动，则下列四个结论：①三棱锥A －D 1PC 的体积不变； ②A 1P ∥平面ACD 1； ③DP ⊥BC 1；④平面PDB 1⊥平面ACD 1. 其中正确的结论的个数是( )3.已知某实心机械零件的三视图如图所示，若该实心机械零件的表面积为66＋4π，则a ＝________.A 组 专题通关1.已知α，β是两个不同的平面，l 是一条直线，给出下列说法： ①若l ⊥α，α⊥β，则l ∥β；②若l ∥α，α∥β，则l ∥β； ③若l ⊥α，α∥β，则l ⊥β；④若l ∥α，α⊥β，则l ⊥β. 其中说法正确的个数为( ) A.3 B.2 C.1 D.42.如图，平面α⊥平面β，α∩β＝l ，A ，C 是α内不同的两点，B ，D 是β内不同的两点，且A ，B ，C ，D ∉直线l ，M ，N 分别是线段AB ，CD 的中点.下列判断正确的是( )A.当CD ＝2AB 时，M ，N 两点不可能重合B.M ，N 两点可能重合，但此时直线AC 与l 不可能相交C.当AB 与CD 相交，直线AC 平行于l 时，直线BD 可以与l 相交D.当AB ，CD 是异面直线时，直线MN 可能与l 平行3.(2019·龙岩模拟)母线长为5的圆锥的侧面展开图的圆心角等于8π5，则该圆锥的体积为( )A.16πB.8πC.16π3D.8π34.(2019·龙岩模拟)一个几何体的三视图如图所示，其中正(主)视图和侧(左)视图是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的各条棱中最长棱的长度为( )A.2 2B.3C.2 3D.25.(2019·临沂模拟)某几何体的三视图如图所示，其中侧(左)视图为半圆，则该几何体的表面积为( )A.6＋4πB.6＋3πC.9＋4πD.9＋3π6.(2019·长春模拟)一个几何体的三视图如图所示，每个小方格都是长度为1的正方形，则这个几何体的体积为( )A.32B.643C.323D.87.(2019·河南名校联盟联考)榫卯(sǔnm ǎo)是两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式.凸出部分叫榫，凹进去的部分叫卯，榫和卯咬合，起到连接作用.代表建筑有北京的紫禁城、天坛祈年殿，山西悬空寺等，如图是一种榫卯构件中榫的三视图，则该榫的表面积和体积为( )A.8＋16π，2＋8πB.9＋16π，2＋8πC.8＋16π，4＋8πD.9＋16π，4＋8π8.(2019·成都模拟)某多面体的三视图如图所示，每个小方格都是长度为1的正方形，则该几何体的体积与其外接球的体积之比为( )A.618πB.69πC.63πD.13π9.(2019·泸州模拟)已知一个几何体的正(主)视图和侧(左)视图是两个全等的等腰三角形，腰长为3，底边长为2，俯视图是一个半径为1的圆(如图所示)，则这个几何体的内切球的体积为( )A.2π3 B.3π3 C.4π3D.2π 10.(2017·全国Ⅱ)已知直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为( ) A.32 B.155 C.105 D.3311.对于四面体A －BCD ，有以下命题：①若AB ＝AC ＝AD ，则AB ，AC ，AD 与底面所成的角相等；②若AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，则点A 在底面BCD 内的射影是△BCD 的内心； ③四面体A －BCD 的四个面中最多有四个直角三角形；④若四面体A －BCD 的6条棱长都为1，则它的内切球的表面积为π6.其中正确的命题是( )A.①③B.③④C.①②③D.①③④12.(2019·乌鲁木齐模拟)已知三棱锥P －ABC 中，P A ，PB ，PC 两两垂直，且长度相等.若点P ，A ，B ，C 都在半径为1的球面上，则球心到平面ABC 的距离为( ) A.36 B.12 C.13 D.3213.(2019·安徽省六安市第一中学模拟)在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，沿AC 将矩形ABCD 折叠，其正(主)视图和俯视图如图所示，此时连接顶点B ，D 形成三棱锥B －ACD ，则其侧(左)视图的面积为________.14.(2019·全国Ⅲ)学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1挖去四棱锥O －EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，AB ＝BC ＝6 cm ，AA 1＝4 cm,3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.15.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，底面是以∠ABC 为直角的等腰直角三角形，AC ＝2a ，BB 1＝3a ，点D 是A 1C 1的中点，点F 在线段AA 1上，当AF ＝________时，CF ⊥平面B 1DF .16.(2019·济南外国语学校模拟)已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面边长为2，侧棱AA 1＝1，P 为上底面A 1B 1C 1D 1上的动点，给出下列四个结论： ①若PD ＝3，则满足条件的P 点有且只有一个； ②若PD ＝3，则点P 的轨迹是一段圆弧； ③若PD ∥平面ACB 1，则DP 长的最小值为2；④若PD ∥平面ACB 1，且PD ＝3，则平面BDP 截正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的外接球所得平面图形的面积为9π4.其中所有正确结论的序号为________.B组能力提高17.(2019·合肥一中、马鞍山二中等六校联考)如图，在侧棱长为3的正三棱锥A－BCD中，每个侧面都是等腰直角三角形，在该三棱锥的表面上有一个动点P，且点P到点B的距离始终等于23，则动点P在三棱锥表面形成的曲线的长度为________.18.(2019·江南十校模拟)已知点A，B，C在半径为2的球O的球面上，且OA，OB，OC两两所成的角相等，则当三棱锥O－ABC的体积最大时，平面ABC截球O所得的截面圆的面积为________.。
新课程标准高一数学必修二课程第一章空间几何体
当图形中的直线或线段不平行于投影线时，平行投影都具备下述性质： （1）直线或线段的平行投影仍是 ； （2）平行直线的平行投影是 的直线 （3）平行于投影面的线段，他的投影与这条线段 ； （4）与投影面平行的平面图形，它的投影与这个图形 ； （5）在同一条直线或两条平行直线上，两条线段的平行投影的大小比，等于这两条线段 的 的比. 4. 空间几何体三视图： 正视图（光线从几何体的前面向后面正投影） ；侧视图（从左向右） 、俯视图（从上向下）
' ' ' ' '
；平行于底面的截面与底面 。
，
其相似比等于顶点到截面距离与高的比的 （3）棱台： 定义： 用一个平行于棱锥底面的平面去截
， 截面和底面之间的部分；
1
2018 年李文歆收编——新课标高中数学学习课程资料（复习+预习）
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示：用各顶点字母，如：五棱台 P A B C D E 几何特征：①上下底面是 的平行多边形
11．如图为某几何体的三视图，根据三视图可以判断这个几何体为（ A．圆锥 B．三棱锥 C．三棱柱 D．三棱台
）
12.圆柱的正视图和侧视图都是 圆锥的正视图和侧视图都是 圆台的正视图和侧视图都是 球的三视图都是 ．
，俯视图是 ，俯视图是 ，俯视图是
； ； ；
9
2018 年李文歆收编——新课标高中数学学习课程资料（复习+预习）
B、圆台、正方形 D、棱台、圆柱
8、正方体内接于球，它过球心的截面图， 不可能是下图中的 （ ）
9、一个棱柱至少有 顶点最少的一个棱台有
个面，面数最少的一个棱锥有 条侧棱.
个顶点，
立体几何3空间点、直线和平面之间的位置关系.
空间点、直线、平面之间的位置关系考纲要求1理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内.公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.公理3；如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.知巩梳理"T"平面的基本性质名称内容图形衣示谄R表不作用公理1如果一条自线上的两点Ae/.be住一个/ILAG G,平而内•册么/〉《?■—/ B e U =>这条n纟戈在lUa此¥面内①判定直线住rifti A ；②判足点在平血内过不在—勒工线I-的三点・右-R只有一个平曲•B•C若A、”、「-：点不同住一条立线L.则A、”、「三点的定一个 fifiJa① a >iz平而；②ill：明点、线共而如果则个不重合的平向冇一个公典点•那么它们冇M貝仃一条过该点的公共宜线P W a • li "j =>a 「14 Z. H.He/①判定两亍半向是杏相交；©ill-明点在（!£线I .；③UF明三点、兵线* ①旺明三线共点S⑤iBlj两个相交平而的交线(3) 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平 行，则这两个角相等或者互补.(4) 两异面直线所成的角：两条异面直线a, b,经过空 间任一点0作直线a' 〃d,方'lib 、把o' , H 所成的锐角 (或直角)叫异面直线a, 〃所成的角(或夹角).心，Z 所成 的角的大小与点O 的选择无关，为了简便，点O 通常取在异 两直裁的一条上；异,如果两条异面直线所成异面直线垂直，记作心 • 2 •空间直线(1)空间两直线的位置关系；相交直线：有且只有一个公共点; 平行直线：没有公共点：. .. (2)公理4： 空间中的直线4, b, C,如果4〃力，b//c.则0〃0问誠思考►问题1平面的基本性质（1）若点A在直线/上，直线/在平面G内，则点A在平面伉内；（）（2）—条直线与一个点确定一个平面；（）（3）三点确定一个平面；（）（4）两个相交平面只有有限个公共点.（）［答案］⑴对（2）错⑶错（4）错►问题2设平面仅与4UG直线比卩,则点M—定不在直线/上.（）［答案］错［解析1因为《rU=M, uUa, bup,所以』1/在《内，M在〃内.又因为平面a与平面/栩交于人所以M在/上.►问题4 若O4〃0iAi，0B〃0右且Z4O〃=60。
空间几何中的位置关系与距离计算
空间几何中的位置关系与距离计算在空间几何中，位置关系与距离计算是两个核心概念。
准确理解和应用这些概念对于解决几何问题至关重要。
本文将介绍空间几何的位置关系概念，并详细阐述距离计算方法。
一、位置关系概念在空间几何中，我们常常需要确定点或者物体之间的位置关系。
以下是一些常见的位置关系概念：1. 同一平面：当两个点或者物体处于同一平面内时，它们被称为共面。
共面的点可以在同一个平面上画出，物体可以放置在同一平面上。
2. 平行关系：两个直线或者平面在空间中不相交，且始终保持相同的距离，这时它们被称为平行的。
3. 垂直关系：两个直线、平面或者线线、线面相交的两条线段夹角为90度时，它们被称为垂直的。
垂直关系是一种特殊的相交关系。
4. 垂直平分面：垂直平分面指将一条线段垂直平分的平面。
垂直平分面使得线段上的两个点到平面的距离相等。
5. 垂直平分线：垂直平分线指将一条线段垂直平分的直线。
垂直平分线使得线段上的两个点到直线的距离相等。
以上是一些重要的位置关系概念，合理应用可以帮助我们更好地理解和分析空间几何中的问题。
二、距离计算方法在空间几何中，计算点或者物体之间的距离是解决问题的关键一步。
以下是几种常见的距离计算方法：1. 两点之间的距离：如果我们知道空间中两点的坐标，可以使用勾股定理计算它们之间的距离。
设两点的坐标分别为(x1, y1, z1)和(x2, y2, z2)，则两点间的距离d计算公式为：d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²)2. 点到直线的距离：点到直线的距离是指一个点到直线上一点的最短距离。
设直线的方程为Ax + By + Cz + D = 0，点的坐标为(x0, y0, z0)，则点到直线的距离d计算公式为：d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / √(A² + B² + C²)3. 点到平面的距离：点到平面的距离是指一个点到平面上一点的最短距离。
空间几何的知识点总结
空间几何的知识点总结空间几何是数学的一个分支，研究物体在三维空间中的几何形状、位置关系以及运动变化。
在我们日常生活和工作中，空间几何的知识有着广泛的应用，例如建筑设计、工程施工、地图制作、航天航空、计算机图形学等领域。
本文将对空间几何的基本概念、常见定理、计算方法等知识点进行总结。
一、基本概念1. 点、直线、平面空间几何的基本元素是点、直线、平面。
点是空间中没有大小的几何图形，直线是由无数个点组成的无限延伸的几何图形，平面是由无数条直线组成的没有厚度的几何图形。
2. 线段、射线、向量线段是由两个端点确定的有限长的直线，射线是由一个端点和一个方向确定的无限长的直线，向量是具有大小和方向的几何量。
3. 角、面角是由两条射线共同端点组成的几何图形，面是由平面内的点组成的几何图形。
4. 几何图形的投影在三维空间中，几何图形的投影包括平行投影和透视投影。
平行投影是指图形在方向平行的投影面上的投影，透视投影是指图形在非平行的投影面上的投影。
二、常见定理1. 空间角的性质空间中的角可以分为对顶角、内错角、同位角等。
对顶角相等、内错角互补、同位角相等等性质在空间几何中也成立。
2. 空间中的直线和平面的关系空间中的直线可以与平面相交、平行或者重合。
直线和平面相交时，可以形成锐角、直角或者钝角，其关系遵循垂直平分定理、垂足定理等几何定理。
3. 空间中的圆柱、圆锥圆柱是一个固定的圆绕着其直径的直线滚动而成的曲面，圆锥是一个固定的圆绕着其直径的直线滚动而成的曲面。
这两种几何图形在空间几何中也具有一系列性质和定理。
4. 空间中的多面体多面体是由多个多边形围成的几何体，如正方体、正四面体、正六面体等。
在空间几何中，多面体有着丰富的性质和定理，如欧拉公式、多面体的分类等。
5. 空间中的投影定理投影定理是空间几何中的重要定理，它是描述两个几何体之间的投影关系。
在空间几何中，可以利用投影定理求解各种几何问题，如计算两个几何体的表面积、体积等。
高中数学必修2--第一章《空间几何体》知识点总结与练习
高中数学必修2__第一章《空间几何体》知识点总结与练习第一节空间几何体的结构特征及三视图和直观图[知识能否忆起]一、多面体的结构特征多面体棱柱棱锥棱台结构特征有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个面的交线都平行且相等有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分二、旋转体的形成几何体圆柱圆锥圆台球旋转图形矩形直角三角形直角梯形半圆旋转轴任一边所在的直线一条直角边所在的直线垂直于底边的腰所在的直线直径所在的直线三、简单组合体简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，有多面体与多面体、多面体与旋转体、旋转体与旋转体的组合体．四、平行投影与直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．五、三视图几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．1.正棱柱与正棱锥(1)底面是正多边形的直棱柱，叫正棱柱，注意正棱柱中 “正”字包含两层含义：①侧棱垂直于底面；②底面是正多边形．(2)底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫正棱锥，注意正棱锥中“正”字包含两层含义：①顶点在底面上的射影必需是底面正多边形的中心，②底面是正多边形，特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．2．对三视图的认识及三视图画法(1)空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形．(2)在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线．(3)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体用平行投影画出的轮廓线．3．对斜二测画法的认识及直观图的画法(1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段，“平行于 x 轴的线段平行性不变，长度不变；平行于 y 轴的线段平行性不变，长度减半．”(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系：S 直观图＝ 2 4S 原图形，S 原图形＝2 2S 直观图．空间几何体的结构特征典题导入[例 1] (2012· 哈师大附中月考)下列结论正确的是()A ．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B ．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边绕旋转轴旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C ．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等，则该棱锥可能是六棱锥D ．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线[自主解答] A 错误，如图 1 是由两个相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，它的各个面都是三角形，但它不是三棱锥；B错误，如图△2，若ABC不是直角三角形，或△ABC是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥；图1图2C错误，若该棱锥是六棱锥，由题设知，它是正六棱锥．易证正六棱锥的侧棱长必大于底面边长，这与题设矛盾．[答案]D由题悟法解决此类题目要准确理解几何体的定义，把握几何体的结构特征，并会通过反例对概念进行辨析．举反例时可利用最熟悉的空间几何体如三棱柱、四棱柱、正方体、三棱锥、三棱台等，也可利用它们的组合体去判断．以题试法1．(2012·天津质检)如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是()A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等B．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆D．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上解析：选B如图，等腰四棱锥的侧棱均相等，其侧棱在底面的射影也相等，则其腰与底面所成角相等，即A正确；底面四边形必有一个外接圆，即C正确；在高线上可以找到一个点O，使得该点到四棱锥各个顶点的距离相等，这个点即为外接球的球心，即D正确；但四棱锥的侧面与底面所成角不一定相等或互补(若为正四棱锥则成立)．故仅命题B为假命题．几何体的三视图典题导入[例2](2012·湖南高考)某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是()[自主解答]根据几何体的三视图知识求解．由于该几何体的正视图和侧视图相同，且上部分是一个矩形，矩形中间无实线和虚线，因此俯视图不可能是C.[答案]C由题悟法三视图的长度特征三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽，即“长对正，宽相等，高平齐”．[注意]画三视图时，要注意虚、实线的区别．以题试法2．(1)(2012·莆田模拟)如图是底面为正方形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥的三视图，那么该四棱锥的直观图是下列各图中的()解析：选D由俯视图排除B、C；由正视图、侧视图可排除A.＝ ，所以 OC ′＝sin 120° a ＝ 6a ，(2)(2012· 济南模拟)如图，正三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 的各棱长均为 2，其正视图如图所示，则此三棱柱侧视图的面积为()A ．2 2C. 3B ．4D ．2 3解析：选 D 依题意，得此三棱柱的左视图是边长分别为 2， 3的矩形，故其面积是2 3.几何体的直观图典题导入[例 3] 已知△ABC 的直观图 A ′B ′C ′是边长为 a 的正三角形，求原△ABC 的面积．[自主解答]建立如图所示的坐标系 xOy ′， △A ′B ′C ′的顶点 C ′在 y ′轴上，A ′B ′边在 x 轴上，OC 为△ABC 的高．把 y ′轴绕原点逆时针旋转 45°得 y 轴，则点 C ′变为点 C ，且 OC ＝2OC ′，A ，B 点即为 A ′，B ′点，长度不变．已知 A ′B ′＝A ′C ′＝△a ，在 OA ′C ′中，由正弦定理得OC ′ A ′C ′sin ∠OA ′C ′ sin 45°sin 45° 2所以原三角形 ABC 的高 OC ＝ 6a.2 2 2S ＝ (1＋ 2＋1)×2＝2＋ 2.V ＝ Sh ＝ πr 2h ＝ πr 2 l 2－r 2所以 △S ABC ＝1×a ×6a ＝ 26a 2.由题悟法用斜二测画法画几何体的直观图时，要注意原图形与直观图中的“三变、三不变”．⎧⎪坐标轴的夹角改变，“三变”⎨与y 轴平行线段的长度改变，⎪⎩图形改变；⎧⎪平行性不变，“三不变”⎨与x 轴平行的线段长度不变，⎪⎩相对位置不变.以题试法3．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为 45°，腰和上底均为 1 的等腰梯形，那么原平面图形的面积是()A ．2＋ 22＋ 2 C. 1＋ 2 B.D ．1＋ 2解析：选 A 恢复后的原图形为一直角梯形1 2第二节空间几何体的表面积和体积[知识能否忆起]柱、锥、台和球的侧面积和体积面积体积圆柱圆锥S 侧＝2πrlS 侧＝πrlV ＝Sh ＝πr 2h1 1 13 3 31 V ＝ ShV ＝ πR 3圆台S 侧＝π(r 1＋r 2)l1V ＝3(S 上＋S 下＋ S 上· S 下)h1＝3π(r 2＋r 2＋r 1r 2)h直棱柱正棱锥 正棱台球S 侧＝Ch1S 侧＝2Ch ′1S 侧＝2(C ＋C ′)h ′S 球面＝4πR 2V ＝Sh1 31V ＝3(S 上＋S 下＋ S 上· S 下)h431.几何体的侧面积和全面积：几何体侧面积是指(各个)侧面面积之和，而全面积是侧面积与所有底面积之和．对侧面积公式的记忆，最好结合几何体的侧面展开图来进行．2．求体积时应注意的几点：(1)求一些不规则几何体的体积常用割补的方法转化成已知体积公式的几何体进行解决．(2)与三视图有关的体积问题注意几何体还原的准确性及数据的准确性．3．求组合体的表面积时注意几何体的衔接部分的处理．几何体的表面积典题导入[例 1] (2012· 安徽高考)某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是________．[自主解答] 由几何体的三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱 (如图所示)．所以其表面积为2×1×(2＋5)×4＋2×4＋4×5＋4×5＋4×4＝92. 视图、侧视图都是面积为 3，且一个内角为 60°的菱形，俯视图为正方面边长和侧面上的高均等于菱形的边长，因此该饰物的表面积为 8×⎝2×1×1⎭＝4.在四边形 ABCD 中，作 DE ⊥AB ，垂足为 E ，则 DE ＝4，AE ＝3，则 AD ＝5.2[答案] 92由题悟法1．以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．2．多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．3．旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．以题试法1．(2012· 河南模拟)如图是某宝石饰物的三视图，已知该饰物的正2形，那么该饰物的表面积为()A. 3B ．2 3C ．4 3D ．4解析：选 D 依题意得，该饰物是由两个完全相同的正四棱锥对接而成，正四棱锥的底⎛1 ⎫几何体的体积典题导入[例 2](1)(2012·广东高考)某几何体的三视图如图所示，它的体积为()V ＝V 半球＋V 圆锥＝ · π·33＋ ·π·32·4＝30π. [答案](1)C (2)＝π×32×4－1π×32×4＝24π.3A ．72πB ．48πC ．30πD ．24π(2)(2012· 山东高考)如图，正方体 ABCD －A 1B 1C 1D 1 的棱长为 1，E为线段 B 1C 上的一点，则三棱锥 A －DED 1 的体积为________．[自主解答] (1)由三视图知，该几何体是由圆锥和半球组合而成的，直观图如图所示，圆锥的底面半径为 3，高为 4，半球的半径为 3.14 1 23 31 1 1 1(2)V A －DED 1＝VE －ADD 1＝3×△S ADD 1×CD ＝3×2×1＝6.16本例(1)中几何体的三视图若变为：其体积为________．解析：由三视图还原几何体知，该几何体为圆柱与圆锥的组合体，其体积V ＝V 圆柱－V圆锥答案：24π由题悟法1．计算柱、锥、台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解．2．注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法，应熟练掌握．3．等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面．①求体积时，可选择容易计算的方式来计算；②利用“等积法”可求“点到面的距离”．3 32 2 32 1 ＝ .33和 2 个直角边分别为 3,1 的直角三角形，其底面积 S ＝9＋2× ×3×1＝12，以题试法2．(1)(2012·长春调研)四棱锥 P －ABCD 的底面 ABCD 为正方形，且 PD 垂直于底面ABCD ，N 为 PB 中点，则三棱锥 P －ANC 与四棱锥 P －ABCD 的体积比为()A ．1∶2C ．1∶4B ．1∶3D ．1∶8解析：选 C 设正方形 ABCD 面积为 S ，PD ＝h ，则体积比为1 11 1 11Sh － · S · h － · Sh1 4Sh(2012· 浙江模拟)如图，是某几何体的三视图，则这个几何体的体积是()A ．32C ．8B ．2432 D.解析：选 B 此几何体是高为 2 的棱柱，底面四边形可切割成为一个边长为 3 的正方形12所以几何体体积 V ＝12×2＝24.与球有关的几何体的表面积与体积问题典题导入[例 3] (2012·新课标全国卷)已知三棱锥 S －ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，△ABC是边长为 1 的正三角形，SC 为球 O 的直径，且 SC ＝2，则此棱锥的体积为()A.C. 2 62 3B.D. 3 62 2×AB 2＝4 41 3 6＝2 ＝2V O －ABC ＝2× ×34 3 6 × . b c A ．2 3π8πB.[自主解答 ] 由于三棱锥 S －ABC 与三棱锥 O －ABC 底面都是△ABC ，O 是 SC 的中点，因此三棱锥 S －ABC 的高是三棱锥 O －ABC 高的 2 倍，所以三棱锥 S －ABC 的体积也是三棱锥 O －ABC 体积的 2 倍．在三棱锥 O －ABC 中，其棱长都是 1，如图所示，△S ABC ＝ 3 3，高 OD ＝12－⎛ 3⎫2＝ 6，⎝ 3 ⎭ 3∴V S －ABC[答案] A由题悟法1．解决与球有关的“切”、“接”问题，一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面，把空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系．2．记住几个常用的结论：(1)正方体的棱长为 a ，球的半径为 R ，①正方体的外接球，则 2R ＝ 3a ；②正方体的内切球，则 2R ＝a ；③球与正方体的各棱相切，则 2R ＝ 2a.(2)长方体的同一顶点的三条棱长分别为 a ，，，外接球的半径为 R ，则 2R ＝ a 2＋b 2＋c 2. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为 1∶3.以题试法3．(1)(2012·琼州模拟)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为()3C ．4 316πD. B 2＝16π.2 故球 O 的体积 V ＝ ＝ 6π.3(2)(2012· 潍坊模拟)如图所示，已知球 O 的面上有四点 A 、 、C 、D ，DA ⊥平面 ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝ 2，则球 O 的体积等于________．解析：(1)由三视图可知几何体的直观图如图所示．其中侧面 DBC ⊥底面 ABC ，取 BC 的中点 O 1，连接 AO 1，DO 1 知 DO 1⊥底面 ABC 且 DO 1＝ 3，AO 1＝1，BO 1＝O 1C ＝1.在 △Rt ABO 1 和 Rt △ACO 1 中，AB ＝AC ＝ 2，又∵BC ＝2，∴∠BAC ＝90°.∴BC 为底面 ABC 外接圆的直径，O 1 为圆心， 又∵DO 1⊥底面 ABC ，∴球心在 DO 1 上，即△BCD 的外接圆为球大圆，设球半径为 R ，则( 3－R)2＋12＝R 2，∴R ＝ 2 3.⎛ 2 ⎫∴S 球＝4πR 2＝4π×⎝ 3⎭3(2)如图，以 DA ，AB ，BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球 球 O 的半径为 R ，则正方体的体对角线长即为球 O 的直径，所以|CD|＝ ( 2)2＋( 2)2＋( 2)2＝2R ，所以 R ＝6 .4πR 33答案：(1)D (2) 6π某些空间几何体是某一个几何体的一部分，在解题时，把这个几何体通过“补形”补成完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积问题，这是一种重要的解题策略——补形法.常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形.对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”问题.33＝3×π×12×4＝3π.1．对称补形[典例 1] (2012· 湖北高考)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )8π A.10π C.B ．3πD ．6π[解析]由三视图可知，此几何体是底面半径为 1，高为 4 的圆柱被从母线的中点处截去了圆柱的1，根据对称性，可补全此圆柱如图，故体积 V44[答案] B[题后悟道] “对称”是数学中的一种重要关系，在解决空间几何体中的问题时善于发现对称关系对空间想象能力的提高很有帮助．2．联系补形(2012· 辽宁高考)已知点 P ，A ，B ，C ，D 是球 O 表面上的点，PA ⊥平面 ABCD ，四边形ABCD 是边长为 2 3的正方形．若 P A ＝2 △6，则 OAB 的面积为________．[解析] 由 P A ⊥底面 ABCD ，且 ABCD 为正方形，故可补形为长方体如图，知球心 O 为 PC 的中点，又 PA ＝2 6，AB ＝BC ＝2 3，∴AC ＝2 6，∴PC ＝4 3，∴OA ＝OB ＝2 △3，即 AOB 为正三角形，∴S ＝3 3.[答案] 3 3[题后悟道] 三条侧棱两两互相垂直，或一侧棱垂直于底面，底面为正方形或长方形，则此几何体可补形为正方体或长方体，使所解决的问题更直观易求．练习题1．(教材习题改编)以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是()A．球的三视图总是三个全等的圆B．正方体的三视图总是三个全等的正方形C．水平放置的正四面体的三视图都是正三角形D．水平放置的圆台的俯视图是一个圆解析：选A B中正方体的放置方向不明，不正确．C中三视图不全是正三角形．D中俯视图是两个同心圆．2．(2012·杭州模拟)用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是()A．圆柱C．球体B．圆锥D．圆柱、圆锥、球体的组合体解析：选C当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面．3．下列三种叙述，其中正确的有()①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．A．0个C．2个B．1个D．3个解析：选A①中的平面不一定平行于底面，故①错．②③可用下图反例检验，故②③不正确．4．(教材习题改编)利用斜二测画法得到的：①正方形的直观图一定是菱形；②菱形的直观图一定是菱形；③三角形的直观图一定是三角形．以上结论正确的是________．解析：①中其直观图是一般的平行四边形，②菱形的直观图不一定是菱形，③正确．答案：③5．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为________．解析：由三视图中的正、侧视图得到几何体的直观图如图所示，所以该几何体的俯视图为③.答案：③1．(2012·青岛摸底)如图，在下列四个几何体中，其三视图(正视图、侧视图、俯视图)中有且仅有两个相同的是()A．②③④C．①③④B．①②③D．①②④解析：选A①的三个视图都是边长为1的正方形；②的俯视图是圆，正视图、侧视图都是边长为1的正方形；③的俯视图是一个圆及其圆心，正视图、侧视图是相同的等腰三角形；④的俯视图是边长为1的正方形，正视图、侧视图是相同的矩形．2．有下列四个命题：①底面是矩形的平行六面体是长方体；②棱长相等的直四棱柱是正方体；③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．(其中真命题的个数是() A ．1C ．3B ．2D ．4解析：选 A 命题①不是真命题，因为底面是矩形，但侧棱不垂直于底面的平行六面体不是长方体；命题②不是真命题，因为底面是菱形 非正方形)，底面边长与侧棱长相等的直 四棱柱不是正方体；命题③也不是真命题，因为有两条侧棱都垂直于底面一边不能推出侧棱与底面垂直；命题④是真命题，由对角线相等，可知平行六面体的对角面是矩形，从而推得侧棱与底面垂直，故平行六面体是直平行六面体．3．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是()解析：选 C C 选项不符合三视图中“宽相等”的要求，故选 C.4．如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图．在正视图右侧，按照画三视图的要求画出的该几何体的侧视图是()解析：选 B 由直观图和正视图、俯视图可知，该几何体的侧视图应为面 P AD ，且 EC投影在面 P AD 上，故 B 正确．△5.如图 A ′B ′C ′是△ABC 的直观图，那么△ABC 是()A ．等腰三角形B ．直角三角形解析：选 D 依题意得，该几何体的侧视图的面积等于 22＋ ×2× 3＝4＋ 3.为 ，则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的________．(填入所有可能的图形前的编号)角形；如图 2 所示，直三棱柱ABC －AB C 符合题设要求，此时俯视图△ABC 是直角三角形；－A B C D 符合题设要求，此时俯视图(四边形 ABCD)是正方形；若俯视图是扇形或圆，体C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形解析：选 B 由斜二测画法知 B 正确．6．(2012· 东北三校一模)一个几何体的三视图如图所示，则侧视图的面积为( )A ．2＋ 3C ．2＋2 3B ．1＋ 3D ．4＋ 3127．(2012· 昆明一中二模)一个几何体的正视图和侧视图都是边长为 1 的正方形，且体积12①锐角三角形；②直角三角形；③四边形；④扇形；⑤圆．解析：如图 1 所示，直三棱柱 ABE －A 1B 1E 1 符合题设要求，此时俯视图△ABE 是锐角三1 1 1如图 3 所示，当直四棱柱的八个顶点分别是正方体上、下各边的中点时，所得直四棱柱 ABCD1 1 1 1积中会含有 π，故排除④⑤.答案：①②③8．(2013· 安徽名校模拟)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．何体的体积为1×2×2sin 60°×2－1×1×2×2sin 60°×1＝5 3.3解析：结合三视图可知，该几何体为底面边长为 2、高为 2 的正三棱柱除去上面的一个高为 1 的三棱锥后剩下的部分，其直观图如图所示，故该几2 3 2 35 3答案：9．正四棱锥的底面边长为 2，侧棱长均为 3，其正视图(主视图)和侧视图(左视图)是全 等的等腰三角形，则正视图的周长为________．解析：由题意知，正视图就是如图所示的截面PEF ，其中 E 、F分别是 AD 、BC 的中点，连接 AO ，易得 AO ＝ 2，而 P A ＝ 3，于是解得 PO ＝1，所以 PE ＝ 2，故其正视图的周长为 2＋2 2.答案：2＋2 210．已知：图 1 是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图2 是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成．解：图 1 几何体的三视图为：图 2 所示的几何体是上面为正六棱柱，下面为倒立的正六棱锥的组合体．11．(2012· 银川调研)正四棱锥的高为 3，侧棱长为 7，求棱锥的斜高(棱锥侧面三角形在△Rt SOE 中，∵OE ＝1BC ＝ 2，SO ＝ 3，42－⎝ × ×2 3⎭2 2的高)．解：如图所示，正四棱锥 S －ABCD 中，高 OS ＝ 3，侧棱 SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝ 7，在 △Rt SOA 中，OA ＝ SA 2－OS 2＝2，∴AC ＝4.∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝2 2.作 OE ⊥AB 于 E ，则 E 为 AB 中点．连接 SE ，则 SE 即为斜高，2∴SE ＝ 5，即棱锥的斜高为 5.12．(2012· 四平模拟)已知正三棱锥 V －ABC 的正视图、侧视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图； (2)求出侧视图的面积．解：(1)三棱锥的直观图如图所示．(2)根据三视图间的关系可得 BC ＝2 3， ∴侧视图中V A ＝⎛2 3 3 2⎫＝ 12＝2 3，∴△S VBC ＝1×2 3×2 3＝6. 1．(教材习题改编)侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为 a 时，该三棱锥的全 面积是()A. a 242 4 a 2＋3× ×⎝ 2 a ⎭2＝ a 2.(3 2)2－⎝2×6⎭2＝3，因此底面中心到各顶点的距离均等于 3，所以该四棱锥的外接球的棱锥的高是 5，可由锥体的体积公式得 V ＝ ×8×6×5＝80.3＋ 3 3 B. a 2 43＋ 36＋ 3 C.a 2D.a 2解析：选 A ∵侧面都是直角三角形，故侧棱长等于31 ⎛2 ⎫ 3＋ 3∴S 全＝42422a ，2．已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为 3 2，则这个四棱锥的外接球的表面积为()A ．12πC ．72π B ．36πD ．108π解析： 选 B 依题意得，该正四棱锥的底面对角线长为 3 2 × 2 ＝ 6 ，高为⎛1⎫球心为底面正方形的中心，其外接球的半径为 3，所以其外接球的表面积等于 4π×32＝36π.3.某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8，高为 5 的等腰三角形，侧视图是一个底边长为 6，高为 5 的等腰三角形，则该几何体的体积为()A ．24C ．64 B ．80D ．240解析：选 B 结合题意知该几何体是四棱锥，棱锥底面是长和宽分别为 8 和 6 的矩形，1 34．(教材习题改编)表面积为 3π 的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________．解析：设圆锥的母线为 l ，圆锥底面半径为 r ，则 πrl ＋πr 2＝3π，πl ＝2πr.解得 r ＝1，即直径为 2.答案：25.某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为 2 的等20/2733××2×2×2＝.形42－⎝232＋22⎭2＝，所以棱锥O－A BCD的体积等于×(3×2)×51＝51.________．解析：由三视图可知此几何体的表面积分为两部分：底面积即俯视图的面积，为23；侧面积为一个完整的圆锥的侧面积，且圆锥的母线长为2，底面半径为1，所以侧面积为2π.两部分加起来即为几何体的表面积，为2(π＋3)．答案：2(π＋3)1．(2012·北京西城模拟)某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是()A．8 C．48 B.4 D.解析：选D将三视图还原，直观图如图所示，可以看出，这是一个底11面为正方形(对角线长为2)，高为2的四棱锥，其体积V＝3S正方ABCD×P A＝314232．(2012·山西模拟)已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB＝3，BC＝2，则棱锥O－ABCD的体积为()A.51 C．251B．351 D．651解析：选A依题意得，球心O在底面ABCD上的射影是矩形ABCD的中心，因此棱锥O－A BCD的高等于⎛1⎫5112323．(2012·马鞍山二模)如图是一个几何体的三视图，则它的表面积为()4 4 解析：选 D 由三视图可知该几何体是半径为 1 的球被挖出了 部分得到的几何体，故·4π·12＋3· ·π·12＝ π.22只需求出底面积即可．由俯视图和主视图可知，底面面积为1×2＋2× ×2×1＝4，所以该A ．4πC ．5π15 B. π17 D. π18表面积为7 1 178 44 4．(2012· 济南模拟)用若干个大小相同，棱长为 1 的正方体摆成一个立体模型，其三视图如图所示，则此立体模型的表面积为()A ．24C ．22B ．23D ．21解析：选 C 这个空间几何体是由两部分组成的，下半部分为四个小正方体，上半部分为一个小正方体，结合直观图可知，该立体模型的表面积为 22.5． (2012· 江西高考)若一个几何体的三视图如下图所示，则此几何体的体积为()11 A.9 C.B ．5D ．4解析：选 D 由三视图可知，所求几何体是一个底面为六边形，高为1 的直棱柱，因此12几何体的体积为 4×1＝4.6.如图，正方体 ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为 4，动点 E ，F 在棱 AB 上，且 EF ＝2，动点 Q 在棱 D ′C ′上，则三棱锥 A ′－EFQ 的体积()解析：选 D 因为 V A ′－EFQ ＝V Q －A ′EF ＝ ×⎝2×2×4⎭×4＝ ，故三棱锥 A ′－EFQ 的高为 3，连接顶点和底面中心即为高，可求得高为 2，所以体积 V ＝1×1×1× 2＝ 2.3答案： 3π⎧⎪a ＋b ＝6 ，A ．与点 E ，F 位置有关B ．与点 Q 位置有关C ．与点 E ，F ，Q 位置都有关D ．与点E ，F ，Q 位置均无关，是定值1 ⎛1 ⎫ 163 3体积与点 E ，F ，Q 的位置均无关，是定值．7．(2012· 湖州模拟)如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为 1 的正方形和 4 个边长为 1 的正三角形组成，则该多面体的体积是________．解析：由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为 1，侧棱长为 1，斜2 23 2 6答案：2 68．(2012· 上海高考)若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2π 的半圆面，则该圆锥的体积为________．解析：因为半圆的面积为 2π，所以半圆的半径为 2，圆锥的母线长为 2.底面圆的周长为2π，所以底面圆的半径为 1，所以圆锥的高为 3，体积为 3π.39．(2013· 郑州模拟)在三棱锥 A －BCD 中，AB ＝CD ＝6，AC ＝BD ＝AD ＝BC ＝5，则该三棱锥的外接球的表面积为________．解析：依题意得，该三棱锥的三组对棱分别相等，因此可将该三棱锥补形成一个长方体，2 2 2 设该长方体的长、宽、高分别为 a 、b 、c ，且其外接球的半径为 R ，则⎨b 2＋c 2＝52，⎪⎩c 2＋a 2＝52，得 a 2＋b 2＋c 2＝43，即(2R)2＝a 2＋b 2＋c 2＝43，易知 R 即为该三棱锥的外接球的半径，所以该三棱锥的外接球的表面积为 4πR 2＝43π.答案：43π10．(2012· 江西八校模拟)如图，把边长为 2 的正六边形 ABCDEF 沿对角线 BE 折起，使 AC ＝ 6.。
第一讲 立体几何中的位置关系
第一讲立体几何中的位置关系【知识梳理】一、平行关系判定定理：◆平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
◆一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
性质定理：◆一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行。
◆两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行。
直线与平面的判定及其性质：线面平行的判定定理中，包含要素：两线一面. 两线一面的关系是：一线在面外一线在面内. 结论是：线面平行.线面平行的性质定理中，包含要素：两线两面.两线两面的关系是：一线在一面内平行于另一面，一线是两面的交线. 结论是：两线平行.二、垂直关系判定定理：◆一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。
◆一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直。
性质定理：◆垂直于同一个平面的两条直线平行。
◆两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
空间中的平行关系和垂直关系在一定条件下互相转化，如垂直于同一个平面的两条直线平行等等。
【热身训练】1.面命题中正确的是()．①若一个平面内有两条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；②若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行；④若一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行，则这两个平面平行．A．①③ B．②④ C．②③④ D．③④2.在空间中，下列命题正确的是()．A．若a∥α，b∥a，则b∥αB．若a∥α，b∥α，a⊂β，b⊂β，则β∥αC．若α∥β，b∥α，则b∥βD．若α∥β，a⊂α，则a∥β3.用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.其中真命题的序号是()．A．①② B．②③ C．①④ D．③④4.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为________．5.如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为______【例题讲解】例1：如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为平行四边形，O为AC的中点，M为PD 的中点．求证：PB∥平面ACM.练习：如图，若P A⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点，求证：AF∥平面PCE.例2：设三棱锥P ABC -的顶点P 在平面ABC 上的射影是H ，给出以下说法：①若PA BC ⊥，PB AC ⊥，则H 是ABC ∆垂心； ②若,,PA PB PC 两两互相垂直，则H 是ABC ∆垂心；③若90ABC ∠= ，H 是AC 的中点，则PA PB PC ==； ④若PA PB PC ==，则H 是ABC ∆的外心. 其中正确说法的序号依次是 .例3：如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，P A ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．求证：(1)CD ⊥AE ；(2)PD ⊥平面ABE .练习：如图所示，在斜边为AB 的Rt △ABC 中，过A 作PA ⊥平面ABC ，AM ⊥PB 于M ， AN ⊥PC 于N . （1）求证：BC ⊥面PAC ； （2）求证：PB ⊥面AMN .例4：如图所示，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面ABC ，若D 是棱CC 1的中点，问在棱AB 上是否存在一点E ，使DE ∥平面AB 1C 1？若存在，请确定点E 的位置；若不存在，请说明理由．PABCNMMDCBPAO例5：如图，在四棱台ABCDA 1B 1C 1D 1中，D 1D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，AB ＝2AD ，AD ＝A 1B 1，∠BAD ＝60°. (1)证明：AA 1⊥BD ； (2)证明：CC 1∥平面A 1BD .练习：1.（2012年江苏省）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B AC =，D E ，分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F ⊥，为11B C 的中点．求证：（1）平面ADE ⊥平面11BCC B ； （2）直线1//A F 平面ADE ．2．如图，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，MA ∥PB ，PB ＝AB ＝2MA ＝2. （1）求证： DM ∥面PBC ；（2）求证：面PBD ⊥面PAC ；【家庭作业】1. 平面α∥平面β，a ⊂α，b ⊂β，则直线a ，b 的位置关系是( )．A ．平行B ．相交C ．异面D ．平行或异面2. 已知m 、n 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )．A ．m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥αB ．α∥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m ∥nC ．m ⊥α，m ⊥n ⇒n ∥αD ．m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β⇒α∥β3. 在空间中，下列命题正确的是( )．A ．平行直线的平行投影重合B ．平行于同一直线的两个平面平行C ．垂直于同一平面的两个平面平行D ．垂直于同一平面的两条直线平行4. 四个正方体图形中，A B 、为正方体的两个顶点，M N P 、、分别为其所在棱的中点，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是（ ）A. ①、③B. ①、④C. ②、③D. ②、④5. 如图ABC ∆中，090ACB ∠=，直线l 过点A 且垂直于平面ABC ，动点P l ∈，当点P 逐渐远离点A 时，PCB ∠的大小（ ）A ．变大B ．变小C ．不变D ．有时变大有时变小 6. 如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，O 是底面ABCD 的中心，E 为1CC 的中点，那么异面直线OE 与1AD 所成角的余弦值等于 ( ）AB C D . 27（※※※）. 如图，已知六棱锥P －ABCDEF 的底面是正六边形，P A⊥平面ABC ，P A ＝2AB ，则下列结论正确的是（ ） A ．PB ⊥ADB ．平面P AB ⊥平面PBCC ．直线BC ∥平面PAED ．直线PD 与平面ABC 所成的角为45°1A 18.如图所示为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD＝AD＝2EC＝2.(1)求四棱锥B－CEPD的体积；(2)求证：BE∥平面PDA.9.如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD＝DE＝2AB，且F是CD的中点．(1)求证：AF∥平面BCE；(2)求证：平面BCE⊥平面CDE.10.如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E、F分别是AB、BD的中点．求证：(1)直线EF∥平面ACD；(2)平面EFC⊥平面BCD.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
真题感悟·考点整合
热点聚焦·题型突破
归纳总结·思维升华
热点一 空间几何体的表面积与体积的求解 [命题角度1] 以三视图为载体求几何体的面积与体积 【例1－1】 (1)(2017·金华模拟)某几何体的三视图如图所示，则
该几何体的体积为________，表面积为______F∥AB，AB＝2EF＝8，BC＝4，正四棱锥 F－GBCH 的高为 3，
则该几何体的体积为 V＝12×42×3＋13×42×3＝40，表面积为 S＝ 2×4＋2 8× 13＋2×12×4× 13＋4×8＝32＋16 13.
热点聚焦·题型突破
归纳总结·思维升华
(2)柱体、锥体和球的体积公式： ①V 柱体＝Sh(S 为底面面积，h 为高)； ②V 锥体＝13Sh(S 为底面面积，h 为高)； ③V 球＝43π R3.
真题感悟·考点整合
热点聚焦·题型突破
归纳总结·思维升华
4.直线、平面平行的判定及其性质 (1)线面平行的判定定理：a⊄α ，b⊂α ，a∥b⇒a∥α . (2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β ，α ∩β ＝b⇒a∥b. (3)面面平行的判定定理：a⊂β ，b⊂β ，a∩b＝P，a∥α ，b∥α ⇒α ∥β . (4)面面平行的性质定理：α∥β，α ∩γ ＝a，β ∩γ ＝b⇒a∥b.
解析 设 PD＝DA＝x， 在△ABC 中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°， ∴AC＝ AB2＋BC2－2·AB·BC·cos∠ABC ＝ 4＋4－2×2×2×cos 120°＝2 3，
真题感悟·考点整合
热点聚焦·题型突破
归纳总结·思维升华
∴CD＝2 3－x，且∠ACB＝12(180°－120°)＝30°，
∴S△BCD＝12BC·DC×sin∠ACB＝12×2×(2 3－x)×12＝12(2 3－x).
要使四面体体积最大，当且仅当点 P 到平面 BCD 的距离最大，而
P 到平面 BCD 的最大距离为 x，
则 V 四面体 PBCD＝13×12(2 3－x)x＝16[－(x－ 3)2＋3]，由于 0＜x＜
归纳总结·思维升华
(2)(2017·绍兴质量调测)已知某几何体的三视图如图所示，则该 几何体的表面积为________，体积为________.
真题感悟·考点整合
热点聚焦·题型突破
归纳总结·思维升华
解析 (1)该几何体可看作是由一个斜三棱柱 ADE－GHF 和一个 正四棱锥 F－GBCH 拼接而成的组合体，其中 ABCD 为矩形，
3.空间几何体的两组常用公式 (1)柱体、锥体、台体的侧面积公式： ①S 柱侧＝ch(c 为底面周长，h 为高)； ②S 锥侧＝12ch′(c 为底面周长，h′为斜高)； ③S 台侧＝12(c＋c′)h′(c′，c 分别为上、下底面的周长，h′为斜高)； ④S 球表＝4π R2(R 为球的半径).
真题感悟·考点整合
真题感悟·考点整合
热点聚焦·题型突破
归纳总结·思维升华
2.(2016·浙江卷)已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n 满足m∥α，n⊥β，则( )
A.m∥l C.n⊥l
B.m∥n D.m⊥n
解析 由已知，α∩β＝l，∴l⊂β，又∵n⊥β，∴n⊥l，C正确. 故选C. 答案 C
真题感悟·考点整合
真题感悟·考点整合
热点聚焦·题型突破
归纳总结·思维升华
真题感悟 1.(2017·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则
该几何体的体积(单位：cm3)是( )
π A. 2
＋1
3π C. 2
＋1
π B. 2
＋3
3π D. 2
＋3
真题感悟·考点整合
热点聚焦·题型突破
归纳总结·思维升华
解析 由三视图可知原几何体为半个圆锥和一个三棱锥的组合 体，半圆锥的底面半径为 1，高为 3，三棱锥的底面积为12×2×1 ＝1，高为 3.故原几何体体积为：V＝12×π×12×3×13＋1×3×13＝ π 2 ＋1. 答案 A
热点聚焦·题型突破
归纳总结·思维升华
3.(2016·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几 何体的表面积是________cm2，体积是________cm3.
解析 由三视图可知，该几何体为两个相同长方体组合，长 方体的长、宽、高分别为4 cm、2 cm、2 cm，其直观图如下：
真题感悟·考点整合
2 3，故当 x＝ 3时，V 四面体 PBCD 的最大值为16×3＝12.
答案
1 2
真题感悟·考点整合
热点聚焦·题型突破
归纳总结·思维升华
考点整合
1.四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行 六面体、长方体之间的关系.
真题感悟·考点整合
热点聚焦·题型突破
归纳总结·思维升华
2.几何体的摆放位置不同，其三视图也不同，需要注意长对正， 高平齐，宽相等.
真题感悟·考点整合
热点聚焦·题型突破
归纳总结·思维升华
第1讲 空间几何体中的计算与位置关系
高考定位 1.以三视图和空间几何体为载体考查面积与体积， 难度中档偏下；2.以选择题、填空题的形式考查线线、线面、 面面位置关系的判定与性质定理，对命题的真假进行判断， 属基础题；空间中的平行、垂直关系的证明也是高考必考内 容，多出现在立体几何解答题中的第(1)问.
热点聚焦·题型突破
归纳总结·思维升华
其体积V＝2×2×2×4＝32(cm3)，由于两个长方体重叠部分 为一个边长为2的正方形，所以表面积为S＝2(2×2×2＋ 2×4×4)－2×2×2＝2×(8＋32)－8＝72(cm2). 答案 72 32
真题感悟·考点整合
热点聚焦·题型突破
归纳总结·思维升华
4.(2016·浙江卷)如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°. 若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD＝DA，PB＝ BA，则四面体PBCD的体积的最大值是________.
真题感悟·考点整合
热点聚焦·题型突破
归纳总结·思维升华
5.直线、平面垂直的判定及其性质
(1)线面垂直的判定定理：m⊂α ，n⊂α ，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l ⊥α . (2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b. (3)面面垂直的判定定理：a⊂β ，a⊥α⇒α⊥β . (4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β ＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β .