黑龙江省齐齐哈尔市实验中学2020-2021学年高三上学期期末数学(理科)试题
齐齐哈尔市实验中学高三数学最后一卷
齐齐哈尔市实验中学高考模拟训练最后一卷命题人：滕传民 审题人：数学组一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．每小题的选项中只有一项是正确的． 1. 已知{}211,log 0A xB x x x ⎧⎫=≤=<⎨⎬⎩⎭，则()R A B = （ ） A ．(]0,1 B ．(0,1) C ．[)0,1 D ．[]0,1 2. 函数sin(2)y x θ=+是偶函数的充要条件是 ( ) A.22ππθ+=k ()k Z ∈ B.2ππθ+=k ()k Z ∈C.ππθ+=k 2()k Z ∈D.ππθ+=k ()k Z ∈3．设8280128(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-++-，则7a =( )A.16B.16-C.112D.112- 4．运行右边程序的结果为 （ ）A.8B.7C.6D.55．三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面,ABC SA 和等边ABC ∆边长均等于a ，则该三棱锥的外接球表面积等于 （ ）A.1272a πB.372a π C.24a π D.212a π6. 已知3sin ,sin 20,tan 52θθθ=<且则的值是 （ ） A.31 B.21- C.313或 D.37．若,,22ππαβ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时sin sin 0ααββ->，则下列不等式必定成立的是 （ ） A. αβ> B. αβ< C. 22αβ< D. 22αβ> 8. 将三颗骰子各掷一次，记事件=A “三个点数都不同”，=B “至少出现一个6点”，则条件概率()P A B ，()P B A 分别是 ( ) A ．12，6091 B ．6091，12 C ．518，6091 D ．91216，12i=1 S=0 WHILE S<20S=S+i i=i+1 WENDPRINT i END9. 已知点)1,2(A 、(1,1)B ，直线01=+-by ax 与线段AB 相交，则22a b + 的最小值为（ ) A ．55．15C ．1D ．0 10．已知圆22:(4)(3)25x y Γ-+-=，过圆Γ内定点(2,1)P 作两条互相垂直的弦AC 和BD ，那么四边形ABCD 面积的最大值为 （ ） A.21B. 42C.212D. 21311．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，过双曲线右焦点F 作一条渐近线的垂线与两条渐近线交于A B ，两点，设A 为垂足且2BF AF =，则双曲线的离心率等于 （ ）A ．22B 23C ．2或233 D 3或3312． 已知函数2()2f x x x =+，若(())3f f a =，则方程20x ae x -=的根的个数是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡上相应的位置． 13. 设i 是虚数单位，则2320151i ii i +++++=14. 若函数)3(log 221+-=ax x y 在(),1-∞上是增函数，则实数a 的取值范围是15. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点O 的对称点为,B F 为此椭圆的右焦点．若AF BF ⊥，设ABF α∠=且,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则椭圆离心率的取值范围是 16. 设O 是ABC ∆的外接圆圆心，若3,2,60AB AC BAC ==∠=，则cos ,AO BC <>= 三、解答题：共6个小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S . 已知11a =，12n n a S +=+，n *∈N ．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n a 的前2015项的和2015S 并求出它的个位数字．18．（本小题满分12分）某单位实行休年假制度三年以来，50名职工休年假的次数进行的调查统计结果如下表所示：休假次数 0 1 2 3 人数510 2015根据上表信息解答以下问题：（Ⅰ）从该单位任选两名职工，用表示这两人休年假次数之和，记“函数2()1f x x x 在区间(4，6)上有且只有一个零点”为事件A ，求事件A 发生的概率P ；（Ⅱ）从该单位任选两名职工，用表示这两人休年假次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望E ．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为平行四边形，1AB =，2BC =， 45ABC ∠=，点E 在PC 上，AE PC ⊥．（Ⅰ）证明：平面AEB ⊥平面PCD ；（Ⅱ）若二面角B AE D --的大小为150，求PDC ∠的大小．20．（本小题满分12分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，直线343y x =+与以原点为圆心，短半轴长为半径的圆相切. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过左焦点1F 作不与x 轴垂直的直线l ，与椭圆交于,A B 两点，点(,0)M m 满足：()()0=+⋅-MB MA MB MA .（1）求1MA MB MF -的值； （2）当1143MF AF =时，求直线l 的方程．（第19题图）21.（本小题满分12分）已知函数bx ax e x f x-+=2)(的图像在点))1(,1(f 处的切线方程为02)1(=--+y x e . （I ）试问函数)(x f 在]1,0[上是否有极值点？若有，有几个，若无，说明理由； （II ）当21≥x 时，若关于x 的不等式1)3(25)(2+-+≥x p x x f 恒成立，求实数p 的取值范围.考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图AB 为⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于E ，AD 垂直CD 于D ，BC 垂直CD 于C ，EF 垂直AB 于F ，联结AE ，BE ．证明：(1)∠FEB ＝∠CEB ； (2)EF 2＝AD·BC ．23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C 在平面直角坐标系XOY 下的参数方程是2cos ()3x y θθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数． （I ）求曲线C 在平面直角坐标系XOY 下的普通方程和曲线C 在以原点O 为极点，以X 轴的非负半轴为极轴的极坐标系下的极坐标方程；（II ）已知点A ，B 是曲线C 上的两个动点，当OB OA ⊥时，求AB 的最小值．24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设,,a b c 均为正数,且1a b c++=,证明:(Ⅰ)13ab bc ca ++≤； (Ⅱ)2221a b c b c a++≥.齐齐哈尔市实验中学高考模拟测试参考答案1—12．CBBBBD DBBBCC13. 0； 14. []2,4； 15. 2623⎣⎦； 16. 5314-.17．（Ⅰ）21(1)32(2)n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩；（Ⅱ）201420125032015322122212162S =⋅-=⋅-=⋅-⇒ 它的个位数字为0(也可利用二项式定理研究它除以10的余数)．18．解:（Ⅰ） 函数()21f x x x η=--过(0,1)-点，在区间(4,6)上有且只有一个零点，则必有(4)0(6)0f f <⎧⎨>⎩即：1641036610ηη--<⎧⎨-->⎩，解得：153546η<<，所以，4η=或5η=…3分当4η=时，211201015125068245C C C P C +==，当5η=时，11201522501249C C P C ==………5分 4η=与5η=为互斥事件，由互斥事件有一个发生的概率公式所以12681212824549245P P P =+=+=…………6分（Ⅱ） 从该单位任选两名职工，用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值， 则ξ的可能取值分别是0,1,2,3，…………7分于是()22225102015250207C C C C P C ξ+++===，1111115101020152025022(1)49C C C C C C P C ξ++===，1111520101525010(2)49C C C C P C ξ+===，115152503(3)49C C P C ξ===…………10分从而ξ的分布列：ξ 0 1 2 3P27 2249 1049 349ξ的数学期望：0123749494949E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． …………12分19．（Ⅰ）证明：∵1AB =，2BC =，45ABC ∠=，∴AB AC ⊥…………………1分∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA AB ⊥，又∵AC AP A = ∴AB ⊥平面PAC ，又∵AB ∥CD∴CD ⊥平面PAC ，∴CD AE ⊥ ……………3分 又∵AE PC ⊥，又∵PC CD C =∴AE ⊥平面PCD ……………………5分 又∵AE ⊂平面AEB∴平面AEB ⊥平面PCD ……………………6分 （Ⅱ）方法一：∵AB ⊥平面PAC ，AB ⊂平面AEB ，∴平面AEB ⊥平面PAC ，又∵二面角B AE D --的大小为150. ∴二面角C AE D --的大小等于1509060-=. ………………8分 又∵AE ⊥平面PCD ， ∴CE AE ⊥，DE AE ⊥，∴CED ∠为二面角C AE D --的平面角，即60CED ∠=. …………10分∵1CD =，90ECD ∠=， ∴33CE =. ∵AEC ∽PAC ， ∴CE ACAC CP=，即23AC CP CE ==， ∴tan 3PCPDC CD∠==，∴60PDC ∠=．…12分方法二：如图，以A 为原点，AB ，AC ，AP 所在射线为 x ，y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系A －xyz ，设AP t =，(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(0,1,0)C ， (1,1,0)D -，(0,0,)P t .∵AB PC ⊥，AE PC ⊥，∴PC ⊥平面ABE ，∴平面ABE 的一个法向量为(0,1,)n PC t ==-. …7分∵AE PC ⊥，∴21tAE t=+.设EAC APC θ∠=∠=，∴2sin 1t t θ=+，21cos 1tθ=+∴222(0,,)11t tE t t ++……8分 设平面AED 的一个法向量为(,,)m x y z =，∵222(0,,)11t tAE t t =++，(1,1,0)AD =-， ∴2220110t ty z t t x y ⎧⋅+⋅=⎪++⎨⎪-+=⎩，得(1,1,)m t =-……10分 ∵二面角B AE D --的大小为150， ∴222|||1|3|cos ,||cos150|2||||12n m t n m n m t t ⋅+====++，解得2t =……11分 ∴3PC =，1CD =，∴60PDC ∠=. ………12分20．（Ⅰ）2211612x y +=； （Ⅱ）（1）4（设直线l 的反斜截式方程）； （2）252x y =-． 提示：由（1）可知112F A F B =，仍用直线l 的反斜截式方程． 21．解析（Ⅰ）b ax e x f x-+='2)(⎩⎨⎧-=+='1)1(1)1(e f e f ∴⎩⎨⎧-=-=-112b a b a 即⎩⎨⎧==32b a ∴x x ex f x32)(2-+= 34)(-+='x e x f x 2 分令34)(-+=x e x g x则04)(>+='xe x g ．∴)(x g 在]1,0[上递增 即⎩⎨⎧>+=='<-=='01)1()1(02)0()0(e g f g f 4 分∴0)(='x f 在)1,0(上有唯一的零点0x．当00x x <<时，0)(<'x f ；0x x >时，0)(>'x f 故)(x f 在0x x =处取得唯一极值5分（II ）当21≥x 时，关于x 的不等式1)3(25)(2+-+≥x p x x f 恒成立， ∴1212--≤x e xp x 即：x x e p x 1212--≤ ∴min 2)121(x x e p x --≤6 分令=)(x h 21112()2x e x x x --≥ ，则=')(x h 221(1)112()2x e x x x x --+≥令121)1()(2+--=x e x x xϕ1()2x ≥ 则)1()(-='x e x x ϕ当21≥x 时，0)(>'x ϕ∴)(x ϕ在),21[∞+上是增函数，e x 2187)21()]([min -==ϕϕ8分0)]([min >x ϕ∴21≥x 时，0)(>'x h ， )(x h 在),21[∞+上是增函数，10 分492)21()]([min -==e h x h ∴492-≤e p 即]492,(--∞∈e p 12 分22．证明：证明：(1)由直线CD 与⊙O 相切，得∠CEB ＝∠EAB. 由AB 为⊙O 的直径，得 AE ⊥EB ，从而∠EAB ＋∠EBF ＝2π. 又EF ⊥AB ，得∠FEB ＋∠EBF ＝2π， 从而∠FEB ＝∠EAB. 故∠FEB ＝∠CEB. 5分(2)由BC ⊥CE ，EF ⊥AB ，∠FEB ＝∠CEB ，BE 是公共边， 得Rt △BCE ≌Rt △BFE ，所以BC ＝BF. 类似可证，Rt △ADE ≌Rt △AFE ，得AD ＝AF. 又在Rt △AEB 中，EF ⊥AB ，故EF 2＝AF·BF ，所以EF 2＝AD·BC.10分23．解：（Ⅰ）22:143x y C +=；2212:3sin C ρθ=+ 4分 （Ⅱ）4217（利用直线OA ，OB 的标准式参数方程或点A ，B 的极坐标）10分24．解：（Ⅰ）由2222222,2,2a b ab b c bc a c ac +≥+≥+≥ 得222a b c ab bc ac ++≥++ 由题设得()21a b c ++=即2222221a b c ab bc ac +++++= 所以()31ab bc ac ++≤ 即13ab bc ac ++≤5分（Ⅱ）因为2222,2,2a b c b a c b a c b c a +≥+≥+≥ 故()()2222a b c a b c a b c b c a +++++≥++ 即222a b c a b c b c a++≥++ 所以2221a b c b c a++≥ 10分。
黑龙江省齐齐哈尔市实验中学2023届高三三模数学试题
一、单选题二、多选题1. 已知是两个不重合的平面，直线，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2.若，则（ ）A ．0B ．1C ．4D ．53. 已知抛物线上有两点、，焦点为F ，则是“直线经过焦点F ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件4. 已知，为实数，则“，”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件5. 如图，是正方体的棱上的一点（不与端点重合），平面，则（）A．B．C．D．6. 已知集合，集合，则（ ）A．B．C．D．7. 设，是双曲线的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若，则的离心率为（ ）A．B ．2C．D．8. 已知复数满足，则A ．1B ．0C．D ．29. 下列说法正确的是（ ）A ．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m 被抽到的概率是0.1B ．已知一组数据1，2，3，3，4，5的众数等于中位数C ．数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是21D ．若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2.现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数不变，方差为变小10.设向量，的夹角为，且，，，则（ ）A．B．C．D．11. 如图所示，正方体的棱长为2，点E ，F 分别为和的中点，则（ ）黑龙江省齐齐哈尔市实验中学2023届高三三模数学试题三、填空题四、填空题五、填空题六、解答题A ．平面B ．平面C．平面截正方体的截面面积为3D ．点D 到平面的距离为12. 已知平面向量与的夹角为，且，则____.13.若幂函数的图像不经过原点，则的值为____________.14. 若关于的方程在区间上有解，则实数的取值范围是_______.15. 在二项式的展开式中，常数项是______，系数为有理数的项的个数是______16. 阅读下面题目及其解答过程．．）求证：函数是偶函数；）求函数的定义域是，都有又因为是偶函数．时，，在区间上单调递减．时， 时，④，在区间⑤ 上单调递增．的单调递增区间是．以上题目的解答过程中，设置了①～⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出正确的选项，并填写在相应的横线上（只需填写“A”或“B”）．空格序号选项①（A ）（B ）②（A ）（B ）③（A ）2（B ）④（A ）（B ）⑤（A ）（B ）17. 直线与轴交于点，交圆于，两点，过点作圆的切线，轴上方的切点为，则__________；的面积为__________．七、解答题八、解答题九、解答题十、解答题18. 已知向量，（，），令（）.（1）化简，并求当时方程的解集；（2）已知集合，是函数与定义域的交集且不是空集，判断元素与集合的关系，说明理由.19. 据统计，仅在北京地区每天就有500万单快递等待派送，近5万多名快递员奔跑在一线，快递网点人员流动性也较强，各快递公司需要经常招聘快递员，保证业务的正常开展.下面是50天内甲、乙两家快递公司的快递员的每天送货单数统计表：送货单数30405060天数甲10102010乙515255已知这两家快递公司的快递员的日工资方案分别为：甲公司规定底薪元，每单抽成元；乙公司规定底薪元，每日前单无抽成，超过单的部分每单抽成元．（1）分别求甲、乙快递公司的快递员的日工资（单位：元）与送货单数的函数关系式；（2）若将频率视为概率，回答下列问题：①记甲快递公司的快递员的日工资为（单位：元），求的分布列和数学期望；②小赵拟到甲、乙两家快递公司中的一家应聘快递员的工作，如果仅从日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．20. 已知函数，是实数.（1）当时，求证：在定义域内是增函数；（2）讨论函数的零点个数.21. 党的二十大胜利召开后，某校为调查性别因素对党史知识的了解情况是否有影响，随机抽查了男女教职工各100名，得到如下数据：不了解了解女职工3070男职工2080(1)根据小概率值的独立性检验，能否认为对党史知识的了解情况与性别有关？(2)为了增进全体教职工对党史知识的了解，该校组织开展党史知识竞赛活动并以支部为单位参加比赛现有两组党史题目放在甲､乙两个纸箱中，甲箱有5个选择题和3个填空题，乙箱中有4个选择题和3个填空题，比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答.每个支部先抽取一题作答，答完后题目不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个题目放回原纸箱中，若第一支部从甲箱中抽取了2个题目，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着第二支部答题，第二支部抽取第一题时，从乙箱中抽取了题目.已知第二支部从乙箱中取出的这个题目是选择题，求第一支部从甲箱中取出的是2个选择题的概率.附：0.0100.0050.0016.6357.87910.82822. 已知椭圆：的左、右焦点分别为、，上顶点为M ，过点M 且斜率为的直线与椭圆交于另一点N ，过原点的直线与椭圆交于P 、Q 两点.(1)求周长；(2)是否存在这样的直线，使椭圆中与直线平行的弦的中点都在上?若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由；(3)若直线与线段相交，且四边形的面积，求直线的斜率的取值范围.。
辽宁省五大名校(辽宁实验中学等)2020-2021学年度上学期期末考试高三年级数学科试卷
2020—2021学年度上学期期末考试高三年级数学科试卷命题学校：辽宁省实验中学命题人：高三数学组 校对人：高三数学组一、选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合AA ={xx |xx 2≤4}，BB ={xx ||xx |>1}，则AA ∩BB =( )AA . {xx |1<xx ≤2} BB . {xx |−2<xx <−1或1<xx <2} CC . {xx |−2≤xx <−1} DD . {xx |−2≤xx <−1或1<xx ≤2} 2.复数zz 满足：zz (1+ii )=1−ii ，则zz 的虚部等于（ ） AA . −ii BB . −1 CC .0 DD . 13. 某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲、乙两地区分别随机调查了100个用户，根据用户对产品的满意度评分，分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图．若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为1m ，2m ；标准差分别为1s ，2s ，则下面正确的是( )AA . 12m m >，12s s > BB . 12m m >，12s s < CC . 12m m <，12s s <DD . 12m m <，12s s >4.设0.45a =，0.4log 0.5b =，5log 0.4c =，则,,a b c 的大小关系是（ ） AA . a b c << BB . c a b <<CC .c b a << DD . b c a <<5. 已知α是第二象限角，54sin =α，则=α2sin （ ） AA . 2524− BB . 2524 CC .2512− DD . 25126. 四个人排一个五天的值班表，每天一人值班，并且每个人至少值班一次，则有（ ）种不同的排班方式.AA . 240 BB . 480 CC .420 DD . 360 7.已知抛物线CC ：yy 2=2ppxx (pp >0)，过焦点FF 的直线ll 交抛物线CC 于PP 、QQ 两点，交yy 轴于点AA ，若点PP 为线段FFAA 的中点，且|FFQQ |=2，则pp 的值为( )AA .32 BB . 34CC . 2 DD . 3 8.在底面边长为1的正四棱柱1111ABCD A B C D −中，侧棱长等于2，则（ ）AA . 在正四棱柱的棱上到异面直线AA 1BB 和CC 1CC 距离相等的点有且只有一个BB . 在正四棱柱的棱上到异面直线AA 1BB 和CC 1CC 距离相等的点有且只有两个CC . 在正四棱柱的棱上到异面直线AA 1BB 和CC 1CC 距离相等的点有且只有三个DD . 在正四棱柱的棱上到异面直线AA 1BB 和CC 1CC 距离相等的点有且只有四个二、选择题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得3分. 9.已知等比数列{aa nn }的前nn 项和为SS nn ，公比qq >1，nn ∈NN +，则（ ）AA . {aa nn }一定是递增数列 BB . {aa nn }可能是递增数列也可能是递减数列CC . aa 3、aa 7、aa 11仍成等比 DD . ∀nn ∈NN +,SS nn ≠010.定义在实数集RR 上的函数ff (xx )满足ff (1+xx )=−ff (1−xx )，且xx ≥1 时函数ff (xx )单调递增则（ ）AA . ff (1)=0 BB .ff (xx )是周期函数CC .方程ff (xx )=0有唯一实数解 DD .函数ff (xx )在(−∞,0)内单调递减11.为了得到)32sin(2π−=x y 的图像只需把函数)62cos(2π+=x y 的图像（ ） AA .向右平移2πBB .向左平移2πCC .关于直线xx =4π轴对称 DD .关于直线xx =6π轴对称12.方程ee xx +xx −2=0的根为xx 1，ln xx +xx −2=0的根为xx 2，则（ ） AA . xx 1xx 2>12BB .xx 1ln xx 2+xx 2ln xx 1<0CC .ee xx 1+ee xx 2<2ee DD . xx 1xx 2<√ee 2三、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知21,F F 为双曲线191622=−y x 的左、右焦点，则||21F F =14.已知正实数aa 、bb 满足aa +2bb =1，则2aa +1bb的最小值为15.某校为了丰富学生的课余生活，组建了足球、篮球、排球、羽毛球四个兴趣小组，要求每一名学生选择其中的两个小组参加.现有D C B A ,,,四位同学，已知AA 与BB 没有选择相同的兴趣小组，CC 与DD 没有选择相同的兴趣小组，BB 与CC 选择的兴趣小组恰有一个相同，且BB 选择了足球兴趣小组.给出如下四个判断：①CC 可能没有选择足球兴趣小组；②AA 、DD 选择的两个兴趣小组可能都相同； ③DD 可能没有选择篮球兴趣小组；④这四人中恰有两人选择足球兴趣小组； 其中正确判断是16.已知c b a ,,是平面向量，c a ,是单位向量，且3,π>=<c a ，若02092=+⋅−c b b ，则最大值是四、解答题：本题共6道小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分10分)在①74=ac ②sin BB =2sin AA ③csin AA =√3这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的三角形存在，求c 值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在∆AABBCC ，它的内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且bb cos AA +aa cos BB +2cc cos CC =0，∆AABBCC 的面积是32， ？18.(本小题满分12分)某公司在联欢活动中设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有3个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同．游戏参与者可以选择有放回或者不放回的方式从中依次随机摸出3个球，规定至少摸到两个红球为中奖．现有一位员工参加此摸奖游戏．（1）如果该员工选择有放回的方式（即每摸出一球记录后将球放回袋中再摸下一个）摸球，求他能中奖的概率；（2）如果该员工选择不放回的方式摸球，设在他摸出的3个球中红球的个数为XX ，求XX 的分布列和数学期望；（3）该员工选择哪种方式摸球中奖的可能性更大？请说明理由．19. (本小题满分12分)在四棱锥PP −AABBCCDD 中，PPDD ⊥底面AABBCCDD ，底面AABBCCDD 是菱形，PPDD =AADD =4， 60=∠BAD ，点FF 在棱PPDD 上. （1）若PD PF 21=，在棱BBCC 上是否存在一点EE ，使得CCFF //平面PPAAEE ，并说明理由； （2）若直线AAFF 与平面BBCCFF 所成的角的正弦值是1015，求二面角AA −FFBB −CC 的余弦值.20. (本小题满分12分)已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且，31=a11−=+n n a S ，数列{}n b 为等差数列，42b a =，且752b b b =+，（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）若()12++=n nn nb n b ac ，求{}n c 的前n 项和n T .21. (本小题满分12分)已知椭圆Γ中心在坐标原点，焦点FF 1、FF 2在x 轴上，离心率21=e ，经过点)3,(−c M (cc 为椭圆的半焦距).(1)求椭圆Γ的标准方程；(2)21MF F ∠的平分线l 与椭圆的另一个交点为N ，O 为坐标原点，求直线OOOO 与直线OONN 斜率的比值.22. (本小题满分12分)设函数x e ax x f 2)1()(−+=，曲线)(x f y =在))0(,0(f 处的切线方程为1+−=x y . （1）求实数a 的值.（2）求证：当[]1,0∈x 时，)6cos 4(2)(22−+≥−x x x x f .。
2020-2021学年河南省南阳市高三(上)期末数学试卷(理科)
2020-2021学年河南省南阳市高三（上）期末数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设全集U=R，集合A={x|x<2}，B={x|x<1}，则集合(∁U A)∪B=()A. (−∞,2)B. [2,+∞)C. (1,2)D. (−∞,1)∪[2，+∞)2.已知复数z满足z(1+2i)=|4−3i|(其中i为虚数单位)，则复数z的虚部为()A. −2B. −2iC. 1D. i3.化简式子cos15°cos45°+sin15°sin45°的值是()A. 12B. √32C. −12D. −√324.已知a=20.5，b=logπ3，c=log213则()A. b>a>cB. b>c>aC. c>a>bD. a>b>c5.函数f(x)=(x2+1)sin2x，(−π≤x≤π)的图象可能是()A. B.C. D.6.已知抛物线的焦点在y轴上，顶点在坐标原点O，且经过点P(x0,2)，若点P到该抛物线焦点的距离为4，则|OP|等于()A. 2√2B. 2√3C. 4D. 2√57.已知球面上A，B，C三点，O是球心.如果AB=BC=AC=√3，且球的体积为20√53π，则三棱锥O−ABC 的体积为()A. 1B. √3C. √32D. 28.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinB+2sinAcosC=0，则cos B的最小值为()A. √2B. √3C. √32D. √339.记函数g(x)=e x−e−x+sinx，若不等式g(2x+a)+g(x2−1)>0，对∀x∈[−1,1]恒成立，则a的取值范围为()A. [2,+∞)B. (2,+∞)C. (−2,+∞)D. [−2,+∞)10. 先将函数f(x)=sinωx(ω>0)的图象向左平移π2个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到函数g(x)的图象，若方程f(x)=g(x)有实根，则ω的值可以为( )A. 12B. 1C. 2D. 411. 众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”.整个图形是一个圆形x 2+y 2=4.其中黑色阴影区域在y 轴右侧部分的边界为一个半圆，给出以下命题：①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是12； ②当a =−32时，直线y =ax +2a 与白色部分有公共点；③黑色阴影部分(包括黑白交界处)中一点(x,y)，则x +y 的最大值为√2+1；④若点P(0,1)，MN 为圆x 2+y 2=4过点P 的直径，线段AB 是圆x 2+y 2=4所有过点P 的弦中最短的弦，则(AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为12．其中所有正确结论的序号是( )A. ①③B. ③④C. ①③④D. ①②④12. 已知A ，B ，C 是双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)上的三个点，直线AB 经过原点O ，AC 经过右焦点F ，若BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，且AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则该双曲线的离心率为( ) A. 52B. 23C. √103 D. √102二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知实数x ，y 满足约束条件{x +y −2≥0x −y +2≥0x ≤1，则z =3x +2y 的最小值为______．14. 随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2)，已知P(ξ<0)=0.3，则P(ξ<2)=______．15. 已知(3x 2+ax 3)5的展开式中所有项的系数之和为32，则展开式中的常数项为______ ．16. 已知矩形ABCD 中，AB =3，BC =4，沿对角线AC 将三角形ABC 折起，使得点B 在平面ACD 上的射影在线段AD 上，此时cos∠BAD 的值是______ ． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知数列{a n }是一个等差数列，且a 3=3，a 2+a 5=7，数列{b n }是各项均为正数的等比数列，且满足：b 1=12,b 3b 5=1256．(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)设数{c n }列满足c n =a n b n ，其前n 项和为T n .求证：T n <2．18. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，四边形ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，AB//CD ，PC ⊥底面ABCD ，AB =2AD =2CD =4，PC =2a ，E 是PB 的中点． (Ⅰ)求证：平面EAC ⊥平面PBC ；(Ⅱ)若二面角P −AC −E 的余弦值为√63，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值．19. 在平面直角坐标系中，已知F 1(−1,0)，直线l ：x =−4，点P 为平面内的动点，过点P 做直线l 的垂线，垂足为点M ，且(2PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(2PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，点P 的轨迹为曲线C ． (1)求曲线C 的方程；(2)设F 2(1,0)，过F 2且与x 轴不重合的直线n 与曲线C 相交于不同的两点A ，B.则△F 1AB 的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时直线n 的方程；若不存在，请说明理由．20. 已知函数f(x)=3x 2+(6−a)x −alnx(a ∈R)．(1)求函数y =f(x)的单调区间；(2)当a =1时，证明：对任意的x >0，f(x)+e x >3x 2+5x +2．21. 某单位为患病员工集体筛查新型流感病毒，需要去某医院检验血液是否为阳性，现有k(k ∈N ∗,k ≥2)份血液样本，假设在接受检验的血液样本中，每份样本是否为阳性是相互独立的，且据统计每份血液样本是阳性的概率为p(0<p <1).下面有以下两种检验方案，方案一：逐份检验，则需要检验k 次；方案二：混合检验，将k 份血液样本分别取样混合在一起检验一次，若检验结果为阴性，则k 份血液样本均为阴性，若检验结果为阳性，为了确定k 份血液中的阳性血液样本，则对k 份血液样本再逐一检验.逐份检验和混合检验中的每一次检验费用都是a(a >0)元，若k 份血液样本采用混合检验方案，则需要额外收取54a 元的材料费和服务费．(1)若k(k ∈N ∗,k ≥2)份血液样本采用混合检验方案，需要检验的总次数为X ，求X 的分布列及数学期望；(2)①若k =5,0<p <1−√0.455，以检验总费用的数学期望为决策依据，试说明该单位选择方案二的合理性；②若p =1√e 7，采用方案二总费用的数学期望低于方案一的，求k 的最大值． (参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1，1，ln7≈1.9，ln10≈2.3，ln11≈2.4)22. 若以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，Ox 为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程是ρ=6cosθsin 2θ．(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若直线l 的参数方程为{x =32x +t2y =√32t(t 为参数)，P(32,0)，当直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|AB|2|PA|⋅|PB|．23. 已知函数f(x)=|2x −3|+|2x +1|．(1)解不等式：f(x)≥6；(2)设x ∈R 时，f(x)的最小值为M.若正实数a ，b ，c 满足a +b +c =M ，求ab +bc +ca 的最大值．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查了补集和并集的运算，考查了计算能力，属于基础题．进行补集和并集的运算即可．【解答】解：U=R，A={x|x<2}，B={x|x<1}，∴∁U A={x|x≥2}，(∁U A)∪B=(−∞,1)∪[2，+∞)．故选：D．2.【答案】A【解析】解：由z(1+2i)=|4−3i|=√42+(−3)2=5，得z=51+2i =5(1−2i)(1+2i)(1−2i)=1−2i，∴复数z的虚部为−2．故选：A．先求|4−3i|，再把等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查两角差的余弦公式，属基础题．由两角差的余弦公式可得原式=cos(45°−15°)，计算可得．【解答】解：由两角差的余弦公式可得cos15°cos45°+sin15°sin45°=cos(45°−15°)=cos30°=√32．故选：B．4.【答案】D【解析】【分析】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=20.5>1，b=logπ3∈(0,1)，c=log213<0．∴a>b>c．故选：D．5.【答案】D【解析】解：f(−x)=(x2+1)sin(−2x)=−(x2+1)sin2x=−f(x)，则函数f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除A，B，当x=π2时，f(π2)=[(π2)2+1]sin(2×π2)=0.排除C，故选：D．先判断函数的奇偶性，然后利用当x=π2时的函数值为0进行排除即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数的奇偶性和函数值的对应性，利用排除法是解决本题的关键，是基础题．6.【答案】D【解析】解：由题意设抛物线的方程为x2=2py(p>0)，抛物线的准线方程为y=−p2，由抛物线的性质可得2+p2=4，解得p=4，所以抛物线的方程为x2=8y，将P点的坐标代入可得x02=8×2=16，所以|OP|=√x2+22=√16+4=2√5，故选：D．由题意设抛物线的方程，求出焦点F的坐标及准线方程，由抛物线的性质可得p的值，然后求出横坐标，再求出|OP|的值，本题考查抛物线的性质，及两点间的距离公式，属于基础题．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查球的体积与多面体体积的求法，考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题．求出三角形ABC的外接圆的半径，再由球的体积求得球的半径，由勾股定理求球心到平面ABC的距离，则三棱锥O−ABC的体积可求．【解答】解：由AB=BC=AC=√3，可得△ABC为正三角形，设其中心为G，可得其外接圆的半径r=√32sin60°=1，再设球的球心为O，半径为R，连接OG，由球的体积为20√53π，得43πR3=20√53π，得R=√5，∴球心到平面ABC的距离为OG=√R2−r2=√5−1=2，又S△ABC=12×√3×√3×√32=3√34，故选：C．8.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了正弦定理、余弦定理、基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．由已知及正弦定理，余弦定理可得a2+2b2−c2=0，利用余弦定理，基本不等式即可计算得解．【解答】解：∵sinB+2sinAcosC=0，∴由正弦定理及余弦定理得：b+2a⋅ a2+b2−c22ab=0，可得：a2+2b2−c2=0，又cosB=a2+c2−b22ac =3a2+c24ac=3a4c+c4a≥√32，当且仅当3a4c =c4a，即c a=√3时取等号，即cos B的最小值为√32．故选：C．9.【答案】B【解析】解：函数g(x)=e x−e−x+sinx，由g(−x)=e−x−e x+sin(−x)=−(e x−e−x+sinx)=−g(x)，可得g(x)为奇函数，又g′(x)=e x+e−x+cosx，由e x+e−x≥2√e x⋅e−x=2，−1≤cosx≤1，可得g′(x)>0，g(x)在R上递增，由g(2x+a)+g(x2−1)>0，即g(2x+a)>−g(x2−1)，可得g(2x+a)>−g(x2−1)=g(1−x2)，即为2x+a>1−x2在x∈[−1,1]恒成立，也即−a<x2+2x−1在x∈[−1,1]恒成立，由y=x2+2x−1在x∈[−1,1]递增，可得y=x2+2x−1的值域为[−2,2]，则−a<−2，即a>2，故选：B．判断g(x)−1=e x−e−x+sinx的奇偶性和单调性，原不等式化为2x+a>1−x2在x∈[−1,1]恒成立，运用参数分离和二次函数的值域，可得所求范围．本题考查函数的性质和运用，不等式恒成立问题解法，考查转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．10.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于基础题．由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，求得g(x)的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．解：先将函数f(x)=sinωx(ω>0)的图象向左平移π2个单位长度，可得y=sin(ωx+ωπ2)的图象；再向上平移2个单位长度后得到函数g(x)=sin(ωx+ωπ2)+2的图象，若方程f(x)=g(x)有实根，即sinωx=sin(ωx+ωπ2)+2能成立．当ω=12时，方程即sin x2=sin(x2+π4)+2，即，即，因为，故方程无解，A错误；当ω=1时，方程即sinx=sin(x+π2)+2=cosx+2，即，该方程无解，B错误；当ω=2时，方程即sin2x=sin(2x+π)+2=−sin2x+2，即sin2x=1，当时，满足sin2x=1，C正确；当ω=4时，方程即sin4x=sin(4x+2π)+2=sin4x+2，方程无解；故选：C．11.【答案】C【解析】【分析】本题考查与面积有关的几何概型问题，直线与圆的位置关系，与圆有关的最值问题，属于中档题．利用对称性，求得相应的概率，可判定①；利用点到直线的距离公式求得直线y=ax+2a与下方的白色小圆圆心的距离，即可判定②；设x+y=k，求得直线与圆x2+(y−1)2=1(x≥0)相切时k的值即可判定③；求得点M，N，A，B的坐标，根据向量的坐标运算求解即可判断④．【解答】解：对于①，设黑色阴影部分的面积为S b，整圆所面积为S，由对称性知，S b═12S.所以随机点取自黑色阴影部分的概率为：p=S bS =12SS=12，所以①对；对于②，直线方程为y=−32x−32×2，即3x+2y+6=0，则下方的白色小圆x2+(y+1)2=1的圆心(0,−1)到此直线距离：d=√32+22=√13>1，直线与白色小圆相离，y=ax+2a与白色部分没有公共点，所以②错；对于③，设x+y=k，黑色阴影部分的边界在第一象限的方程为：x2+(y−1)2=1(x≥0)，圆心(0,1)，当直线与x2+(y−1)2=1(x≥0)相切时d′=√12+12=√2=1，可得k=1+√2或k=1−√2(舍)，对于④，由于MN 为圆x 2+y 2=4过点P 的直径，M 、N 为与y 轴交点，M(0,2)，N(0,−2)， 线段AB 是圆x 2+y 2=4所有过点P 的弦中最短的弦， 则AB 是平行于x 轴的弦，|AP|2=|OA|2−|OP|2，|AP|=√22−12=√3，A(−√3,1)，B(√3,1)，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,0)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1)，BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,−3)， (AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,4)⋅(2√3,0)=12，所以④对； 故选：C ． 12.【答案】D【解析】 【分析】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和勾股定理，考查数形结合思想和运算能力，属于中档题．取双曲线的左焦点F′，设AF =t ，CF =3t ，由双曲线的定义可得CF′=2a +3t ，AF′=2a +t ，可得四边形AFBF′为矩形，运用勾股定理求得a =t ，以及a ，c 的关系式，由离心率公式可得所求值． 【解答】解：取双曲线的左焦点F′，可设AF =t ，CF =3t ，由双曲线的定义可得CF′=2a +3t ，AF′=2a +t ，因为BF⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则BF ⊥AC ，可得四边形AFBF′为矩形， 可得△AF′C 为直角三角形， 即有AF′2+AC 2=CF′2，即(2a +t)2+16t 2=(2a +3t)2， 解得a =t ，即有AF =a ，AF′=3a ，FF′=2c ， 可得AF 2+AF′2=FF′2， 可得a 2+9a 2=4c 2， 即10a 2=4c 2， 即e =ca=√102． 故选：D ． 13.【答案】4【解析】 【分析】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目【解答】解：由约束条件{x +y −2≥0x −y +2≥0x ≤1作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线3x +2y =0并平移，由图知当直线3x +2y −z =0经过点A(0,2)时， z =3x +2y 取得最小值，即z min =3×0+2×2=4． 故答案为：4． 14.【答案】0.7【解析】 【分析】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题，随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2)，得到曲线关于x =1对称，根据曲线的对称性得到小于0的和大于2的概率是相等的，从而做出大于2的数据的概率，根据概率的性质得到结果． 【解答】解：随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2)， ∴曲线关于x =1对称，∴P(ξ<0)=P(ξ>2)=0.3， ∴P(ξ<2)=1−0.3=0.7， 故答案为0.7． 15.【答案】270【解析】 【分析】本题主要考查二项式定理，考查二项展开式系数的性质，特定项的求法，属于基础题．令x =1，可得(3+a)5=32，从而可求得a 值，再求出展开式的通项，令x 的指数为0，求出r 值，即可求得展开式中的常数项． 【解答】解：根据题意，令x =1，可得(3+a)5=32，解得a =−1， 所以(3x 2+ax 3)5即(3x 2−1x 3)5的展开式的通项公式为T r+1=C 5r (3x 2)5−r (−1x 3)r =(−1)r 35−r C 5r x 10−5r，令10−5r =0，解得r =2，所以展开式中的常数项为(−1)2·33·C 52=270． 故答案为：270．16.【答案】34【解析】 【分析】本题主要考查了线面垂直的判定和性质，考查数形结合思想和空间想象能力，属于中档题．设点B 在平面ACD 上的射影在线段AD 上为H ，可证明DC ⊥平面ABD ，可得CD ⊥BD ，然后求解三角形可得BD ，设DH =x ，则AH =4−x ，由于BD 2−DH 2=AB 2−AH 2，解得x 的值，可得AH 的值，即可求解cos∠BAD 的值． 【解答】解：设点B 在平面ACD 上的射影在线段AD 上为H ，则BH ⊥平面ADC ， 又∵CD ⊂平面ADC ， ∴BH ⊥DC ，又DC ⊥AD ，且AD ∩BH =H ，AD ⊂平面ABD ，BH ⊂平面ABD ， ∴DC ⊥平面ABD ，又BD ⊂平面ABD ，可得CD ⊥BD ，在Rt △BDC 中，由BC =4，CD =3，可得BD =√BC 2−CD 2=√42−32=√7； 设DH =x ，则AH =4−x ， ∴BD 2−DH 2=AB 2−AH 2， 即7−x 2=9−(4−x)2，解得x =74， 可得cos∠BAD =AHAB =34． 故答案为：34．17.【答案】(1)解：∵{a n }为等差数列，设公差为d ，∴{a 1+2d =3a 1+d +a 1+4d =7，∴{a 1=1d =1， ∴a n =a 1+(n −1)d =n ，∵{b n }为等比数列，b n >0，设公比为q ，则q >0，∴b 3⋅b 5=b 42=1256，∴b 4=116=b 1q 3，∴q =12,b n =12⋅(12)n−1=(12)n ， 即a n =n ，b n =(12)n ；(2)证明：由(1)得c n =a n b n =n ×(12)n ，∴T n =1×12+2×(12)2+3×(12)3+⋯+(n −1)×(12)n−1+n ×(12)n ①， ∴12T n =1×(12)2+2×(12)3+3×(12)4+⋯+(n −1)×(12)n +n ×(12)n+1②，∴由①−②得：12T n=12+(12)2+(12)3+⋯+(12)n−n ⋅(12)n+1=12[1−(12)n ]1−12−n ⋅(12)n+1=1−(n +2)⋅(12)n+1，∴T n =2−(n +2)⋅(12)n ，∴T n <2．【解析】本题主要考查等差、等比数列的通项公式、性质及错位相减法求和在数列求和中的应用，属于基础题．(1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，由题设条件分别列出d 、q 的方程，解出d ，q ，进而求得通项公式；(2)由(1)求得c n ，利用错位相减法求得前n 项和T n ，证明结论．18.【答案】解：(Ⅰ)∵PC ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴AC ⊥PC ， ∵AB =4，AD =CD =2，∴AC =BC =2√2， ∴AC 2+BC 2=AB 2，∴AC ⊥BC ，又BC ∩PC =C ，BC ⊂平面PBC ，PC ⊂平面PBC ， ∴AC ⊥平面PBC ， ∵AC ⊂平面EAC ， ∴平面EAC ⊥平面PBC.(Ⅱ)如图，以点C 为原点，DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CP⃗⃗⃗⃗⃗ 方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，则C(0,0，0)，A(2,2，0)，B(2,−2,0)，设P(0,0，2a)(a >0)，则E(1,−1,a)， CA⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2，0)，CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0，2a)，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,a)， 取m ⃗⃗⃗ =(1,−1,0)，则m ⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ⃗⃗⃗ ⋅CP⃗⃗⃗⃗⃗ =0，m ⃗⃗⃗ 为面PAC 的法向量， 设n ⃗ =(x,y ，z)为面EAC 的法向量，则n ⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 即{x +y =0x −y +az =0，取x =a ，y =−a ，z =−2，则n⃗ =(a,−a,−2)， 依题意，|cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >|=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√a 2+2=√63，则a =2.于是n⃗ =(2,−2,−2)，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2，−4)， 设直线PA 与平面EAC 所成角为θ，则sinθ=|cos <PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >|=|PA ⃗⃗⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗ ||PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√23，即直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为√23.【解析】本题考查平面与平面垂直的判定定理以及二面角得到平面角，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力． (Ⅰ)证明AC ⊥PC ，AC ⊥BC ，通过线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理证明平面EAC ⊥平面PBC ．(Ⅱ)以点C 为原点，DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CP ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标以及面PAC 的法向量，面EAC 的法向量，通过二面角P −AC −E 的余弦值为√63，求出直线PA 的向量，利用向量的数量积求解直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值即可．19.【答案】解：(1)设动点P(x,y)，则M(−4,y)，由F 1(−1,0)，则PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1−x,−y)，PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4−x,0)，2PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−x,−2y)， 2PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−6−3x,−2y)， ∵(2PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(2PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=0， ∴4(x +1)2+4y 2=(x +4)2， 化简得：x 24+y 23=1．∴所求曲线C 的方程为x 24+y 23=1．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，不妨令y 1>0，y 2<0，设△F 1AB 的内切圆半径为R ，则△F 1AB 的周长为4a =8， S △F 1AB =12(|AB|+|F 1B|+|F 2B|)R =4R ，由此可知，当△F 1AB 的面积最大时，△F 1AB 的内切圆面积最大， 可设直线n 的方程为x =my +1，联立{x =my +1x 24+y 23=1得：(3m 2+4)y 2+6my −9=0，∴y 1+y 2=−6m3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4， 则S △F 1AB =12|F 1F 2||y 1−y 2| =√(6m 3m +4)2+4×93m +4=12√m 2+13m +4，令√m 2+1=t ，则m 2=t 2−1(t ≥1)， ∴S △F 1AB =12t 3t 2+1=123t+1t，令f(t)=3t +1t (t ≥1)，则f′(t)=3−1t 2，当t ≥1时，f′(t)>0恒成立，则f(t)=3t +1t 在[1,+∞)上单调递增， ∴f(t)≥f(1)=4，即f(t)的最小值为4．∴S △F 1AB ≤3，即当t =1时，S △F 1AB 的面积最大为3， 此时，△F 1AB 的内切圆的最大半径为R =34，所以，△F1AB的内切圆的面积取得最大值为S=πR2=9π16故直线n的方程为x=1，△F1AB的内切圆的面积最大值为9π16．【解析】本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是较难题．(1)设动点P(x,y)，则M(−4,y)，求出向量的数量积的向量，化简求解即可得到轨迹方程．(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，不妨令y1>0，y2<0，推出当△F1AB的面积最大时，△F1AB的内切圆面积最大，设直线n的方程为x=my+1，联立{x=my+1x24+y23=1得：(3m2+4)y2+6my−9=0，利用韦达定理，转化求解三角形的面积的表达式，令√m2+1=t，结合基本不等式，转化求解，推出直线n的方程为x=1，△F1AB的内切圆的面积最大值．20.【答案】解：(1)由题意知，函数f(x)的定义域为(0,+∞)，由已知得f′(x)=6x+(6−a)−ax =6x2+(6−a)x−ax=(6x−a)(x+1)x，当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，所以函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞)，当a>0时，由f′(x)>0，得x>a6，由f′(x)<0，得0<x<a6，所以函数f(x)的单调递增区间为(a6,+∞)，单调递减区间为(0,a6)，综上，当a≤0时，函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞)，a>0时，函数f(x)的单调递增区间为(a6,+∞)，单调递减区间为(0,a6)；(2)当a=1时，不等式f(x)+e x>3x2+5x+2可变为e x−lnx−2>0，令ℎ(x)=e x−lnx−2，则ℎ′(x)=e x−1x，可知函数ℎ′(x)在(0,+∞)单调递增，而ℎ′(13)=e13−3<0，ℎ′(1)=e−1>0，所以方程ℎ′(x)=0在(0,+∞)上存在唯一实根x0，即e x0=1x，当x∈(0,x0)时，ℎ′(x)<0，函数ℎ(x)单调递减，当x∈(x0,+∞)时，ℎ′(x)>0，函数ℎ(x)单调递增；所以ℎ(x)min=ℎ(x0)=e x0−lnx0−2=1x0−ln1e x0−2=1x0+x0−2>0，即e x−lnx−2>0在(0,+∞)上恒成立，所以对任意x>0，f(x)+e x>3x2+5x+2成立．【解析】(1)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；(2)问题转化为证明e x−lnx−2>0，(x>0)，令ℎ(x)=e x−lnx−2，(x>0)，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，分类讨论思想，是一道综合题．21.【答案】解：(1)X 所以对任意1和k +1P(X =1)=(1−p)k ，P(X =k +1)=1−(1−p)k ， X所以E(X)=1×(1−p)−p)k ． (2)①设方案一总费用为Z ，方案二总费用为Y ，则Y =aX +54a ，所以方案二总费用的数学期望为：E(Y)=aE(X)+54a =a[k +1−k(1−p)k ]+54a ， 又k =5，所以E(Y)=a[6−5(1−p)5]+54a =−5a(1−p)5+294a ，又方案一的总费用为Z =5a ， 所以Z −E(Y)=a ⋅[5(1−p)5−94]，当0<p <1−√0.455时，920<(1−p)5<1,0<5(1−p)5−94<114，又a >0，所以a ⋅[5(1−p)5−94]>0， 所以Z >E(Y)，所以该单位选择方案二合理．②由①知方案二总费用的数学期望E(Y)=aE(X)+54a =a[k +1−k(1−p)k ]+54a ， 当p =1√e 7时，E(Y)=a[k +1−k(√e7)k ]k +54a =a(k +94−ke −k7)，又方案一的总费用为Z =ak ，令E(Y)<Z 得，a(k +94−ke −k7)<ak ，所以a(k +94−ke −k 7)<ak ， 即ke −k7>94，即ln(ke −k 7)>ln 94，所以lnk −k 7−ln 94>0，设f(x)=lnx −x7−ln 94,x ∈[2,+∞), 所以f′(x)=1x −17=7−x 7x,x ∈[2,+∞),令f′(x)>0，得2≤x <7，f′(x)<0得x >7，所以f(x)在区间[2,7)上单调递增，在区间(7,+∞)上单调递减， f(x)max =f(7)=ln7−1−2(ln3−ln2)=0.1>0，f(8)=3ln2−87−2(ln3−ln2)=5ln2−2ln3−87=1.3−87>0，f(9)=2ln3−97−2(ln3−ln2)=2ln2−2ln2−97=1.4−97>0， f(10)=ln10−107−2(ln3−ln2)=1.5−107>0， f(11)=ln11−117−2(ln3−ln2)=1.6−117>0，f(12)=ln12−127−2(ln3−ln2)=4ln2−ln3−127=1.7−127<0，所以k 的最大值为11．【解析】(1)X 所以对任意1和k +1，求出概率，得到分布列，然后求解期望．(2)①设方案一总费用为Z ，方案二总费用为Y ，则Y =aX +54a ，求出方案二总费用的数学期望；又方案一的总费用为Z =5a ，求出结果，比较大小，即可判断该单位选择合理方案．②由①知方案二总费用的数学期望E(Y)=a(k +94−ke −k 7)，又方案一的总费用为Z =ak ，令E(Y)<Z ，推出lnk −k7−ln 94>0，构造函数f(x)=lnx −x7−ln 94,x ∈[2,+∞)，利用函数的导数判断函数的单调性求解函数的最值，逐步推出结果即可．本题考查离散型随机变量分布列以及期望的求法，函数的导数的应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．22.【答案】解：(1)∵ρ=6cosθsin 2θ，∴ρ2sin 2θ=6ρcosθ，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2,∴曲线C 的直角坐标系方程为y 2=6x ． (2)直线l 的参数方程为{x =32x +12ty =√32t, 代入y 2=6x 得t 2−4t −12=0． 设A ，B 对应的参数为t 1,t 2， 则t 1+t 2=4,t 1t 2=−12，|AB|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=8， 因为P(32,0)在直线l 上， 所以|PA|⋅|PB|=|t 1t 2|=12， ∴|AB|2|PA|⋅|PB|=6412=163．【解析】本题考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题． (1)直接利用转换关系，把极坐标方程转换为直角坐标方程；(2)将直线参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，根据参数的几何意义利用一元二次方程根和系数的关系求出结果．23.【答案】解：(1)当x≤−12时，不等式等价为−2x+3−2x−1≥6，解得x≤−1；当−12<x<32时，不等式等价为−2x+3+2x+1≥6，无解；当x≥32时，不等式等价为2x−3+2x+1≥6，解得x≥2；综上，不等式的解集为(−∞,−1]∪[2,+∞)；(2)由|2x−3|+|2x+1|≥|2x−3−2x−1|=4，可得f(x)的最小值为M=4，即a+b+c=4，由a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，可得a2+b2+c2≥ab+bc+ca，当且仅当“a=b=c”时取等号，所以3(ab+bc+ca)≤(a+b+c)2=16，故ab+bc+ca≤163，当且仅当“a=b=c”时取等号，故ab+bc+ca的最大值为163．【解析】本题主要考查了含绝对值不等式的求解，以及绝对值不等式的应用，考查了基本不等式的应用，考查了推理与运算能力，属于中档题．(1)分类讨论，即可求得不等式的解集，得到答案；(2)由绝对值的三角不等式，求得f(x)的最小值M=4，再结合基本不等式，即可求解．。
黑龙江省齐齐哈尔市2022-2023学年高三上学期期末考试数学答案
数学试题答案1.C当n=0,1,2,3,4时,x=3n+2分别为2,5,8,11,14,所以A∩B={5,8,11},故选C.2.A由11+i=a+b i(a,b∈R),得12−12i=a+b i,则a=12,b=-12,所以a+b=0.故选A.3.C由题意可得该屠夫每天屠的肉成等比数列,记首项为a1,公比为q,前n项和为S n,所以a1=5,q=2,因此前5天所屠肉的总两数为1(1-5)1-=5×(1-25)1-2=155.故选C.4.B,)(aba⊥-,222=⋅⇒=⋅-=⋅-∴bababaacos||a ba ba b⋅〈⋅〉===⋅∴，所以a与b的夹角是π4.故选B.5.D采用捆绑法和插空法.从4名男生中选择3名,进而将3个相邻的男生捆在一起,看成1个男生,方法数是A43种,这样与第4个男生看成是2个男生;然后6个女生任意排的方法数是A66种;最后在6个女生形成的7个空隙中,插入2个男生,方法数是A72种.综上所述,不同的排法共有A43A66A72种.故选D.6.B因为函数()()2sin0,02f x xπωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的图象的相邻两个零点的距离为2π，所以22Tππ=⨯=，所以222Tππωπ===，所以()()2sin2x xfϕ=+，又因为()0f，所以()02sinfϕ=sinϕ=因为02πϕ<<，所以4πϕ=，所以()2sin24f x xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭.故选B.7.B由MN=3,NP=4,MP=5,可知∠PNM=90°,则球心O在过PM中点O'与面MNP垂直的直线上,因为MNP面积为定值,所以高最大时体积最大,根据球的几何性质可得,当O'Q过球心时体积最大,因为四面体Q-MNP的最大体积为10,所以13×S△MNP×O'Q=13×12×3×4×O'Q=10,可得O'Q=5,在△OO'P中,OP2=OO'2+O'P2,则R2=(5-R)2+254,得R=258,故球的表面积为4π×=625π16,故选B.8.C()0f x >等价于22ln e 2ln e 2ln ax x ax x x x +>+=+．令函数()e x g x x =+，则()e 10x g x '=+>，故()g x 是增函数．2ln e e 2ln ax x ax x +>+等价于2ln (0)ax x x >>，即2ln xa x>．令函数2ln ()x h x x=，则222ln ()xh x x -'=．当(0,e)x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增；当(e,)x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减．max 2()(e)eh x h ==.故实数a 的取值范围为2,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．故选C.9.BCD将函数()sin f x x =的图象向左平移π3个单位长度，可得πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），可得π()sin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A 选项，令()ππππsin 2sin 23333h x g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，则π06h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π2πsin 063h ⎛⎫⎛⎫-=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数π3g x ⎛⎫- ⎪⎝⎭不是偶函数，A 不正确；对于B 选项，因为πsin 006g ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，故π6x =-是函数()g x 的一个零点，B 正确；对于C 选项，当5,1212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2,322x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，所以函数()g x 在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎣⎦上单调递增，C 正确；对于D 选项，因为对称轴满足2π,Z 32x k k ππ+=+∈，解得ππ,Z 122k x k =+∈，则0k =时，π12x =，所以函数()g x 的图象关于直线π12x =对称，D 正确．故选BCD ．10.ABD由题意可知：324a ⨯+=，故2a =-，故A 正确；乙组样本数据方差为9436⨯=，故B 正确；设甲组样本数据的中位数为i x ，则乙组样本数据的中位数为32i x -，所以两组样本数据的样本中位数不一定相同，故C 错误；甲组数据的极差为max min x x -，则乙组数据的极差为()()()max min max min 32323x x x x ---=-，所以两组样本数据的样本极差不同，故D 正确；故选ABD.11.ACD对于A ：因为1111B D A C ⊥，111B D A A ⊥，1111A C A A A ⋂=，所以11B D ⊥面11A C CA ，因为1AC ⊂面11A C CA ，所以111B D AC ⊥，同理可证11AD AC ⊥，因为1111AD B D D ⋂=，所以1A C ⊥平面11AB D ，因为AE ⊂平面11AB D ，所以1AC AE ⊥总成立，故选项A 正确；对于B ：平面EFB 即平面11BDD B ，而平面EFA 即平面11AB D ，所以当E 向1D 运动时，二面角A EF B --大小不变，选项B 不正确；对于C：建立如图所示的空间几何体，则()()()1,1,0,0,1,0,0,0,0A B C ，()()11,0,0,1,0,1D D ，因为,E F 在11B D上，且2EF =，故可设()13,1,1,,,122E t tF t t ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，112t ≤≤()1,,1AE t t =--，设平面ABE 的法向量为(),,m x y z =，又()1,0,0AB =- ，所以()()010x t x t y z -=⎧⎨-+-+=⎩，取1y =，则()0,1,m t = ，平面ABC 的法向量为()0,0,1n =，所以cos ,m n = ，设二面角E AB C --的平面角为θ，则θ为锐角，故cos θ==当112t ≤≤≤≤cos 2θ≤，当且仅当1t =时cos θ取最大值2即θ取最小值45︒，故C 正确；对于D ：因为111122BEF S EF BB =⨯⨯==点A 到平面11BDD B ，所以体积为1134212⨯=，即体积为定值，故选项D 正确．故选ACD.12.ABD 对于A ，因为12x <，所以210x -<，所以120x ->，所以()1122112121x x x x +=-++=---()112121112x x ⎡⎤-++-⋅=-⎢⎥-⎣⎦≤，当且仅当11212x x -=-，即0x =时等号成立，所1221x x +-的最大值为1-，故A 正确；对于B ，因为x ，y ，z 都是正数，且2x y z ++=，所以13x y z +++=，10x +>，0y z +>，所以()411411131x y z x y z x y z ⎛⎫+=++++ ⎪++++⎝⎭，所以()4411115531313y z x x y z x y z ⎡+⎡⎤++=++≥+=⎢⎢⎥++++⎢⎣⎦⎣，，当且仅当()411y z x x y z ++=++，即()12x y z +=+，即11x y z =⎧⎨+=⎩时等号成立，所以411x y z +++的最小值为3，故B 正确；对于C ，因为0x >，0y >，所2222x y x y +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭，即()2224x y xy +≤（当且仅当2x y =时等号成立），因为228x y xy ++=，所以()282xy x y =-+，所以()()22824x y x y +-+≤，所以()()2242320x y x y +++-≥，解得28x y +≤-（舍去）或24x y +≥，当且仅当22x y ==时等号成立，所以2x y +的最小值为4，故C 错误；对于D ，令x y t +=，2x y s +=，则2x t s =-，y s t =-，因为0xy >，所以x ，y 同号，则s ，t 同号，所以224442x y s t x y x y t s +=--≤-=-++，当且仅当2s t t s =，即s 时取等号，所以22x yx y x y+++的最大值是4-当且仅当x =时，等号成立，故D 正确．故选ABD.13.0.4因为ξ符合正态分布N (1,σ2),所以曲线的对称轴是x=1,因为ξ在(0,2)内取值的概率为0.8,所以ξ在(1,2)内取值的概率为0.4.14.e 2由题意,得f'(x)=a xe x-ae x lnx (e x )2=ax -alnx e x.又切线斜率k=12.∴f'(1)=ae =12,∴a=e2.15.12依据题意作出图象,如图:因为直线P A 过点P 且与圆x 2+y 2=1相切于点A ,所以PA ⊥OA ,所以|PA|=B 2-B 2=B 2-1,要使得PA 最小,则OP 要最小,由题可得OP 的最小值就是点O 到直线l :y=x-2的距离=2.此时,|PA|min =B min 2-1=(2)2-1=1,所以∠OPA=π4,由切线的对称性可得∠BPA=π2,|PB|=1,所以△P AB 的面积为S △P AB =12×1×1=12.16．[3因为点)A m 在抛物线上，所以3322pm m p =⇒=，点A 到准线的距离为313224p p +=，解得12p =或6p =．当6p =时，114m =<，故6p =舍去，所以抛物线方程为2x y =，∴3)(3)A B ，，所以OAB 是正三角形，边长为其内切圆方程为22(2)1x y +-=，如图所示，∴32E ⎫⎪⎪⎝⎭，．设点(cos 2sin )F ，θθ+（θ为参数），则3π·cos 3sin 3226OE OF θθθ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭，∴·[33OE OF ∈- ．17.解(1)设等差数列}{n a 的公差为d.则a 1+4d =21,5a 1+5×42d =2(a 1+5d)+3,...................................（2分）解得a 1=1,d =5,...................................（3分）所以n a =5n-4....................................（4分）(2)由(1)可得Sn=(5n-3)n2,...................................（5分）所以n b =nS n=25n−3,1+n b =n+1Sn+1=25n+2,...................................（6分）则1+⋅n n b b =4(5n-3)(5n+2)=4515n−3−15n+2,...................................（8分）所以Tn=4512−17+17−112+…+15n−3−15n+2=4512−15n+2=2n5n+2....................................（10分）18.解(1)因为3b sin A=a (2+cos B ),由正弦定理得3sin B sin A=sin A (2+cos B )...........................（2分）因为A ∈(0,π),所以sin A>0,所以3sin B-cos B=2,...........................（3分）所以2sin (B-π6)=2.............................（4分）因为B ∈(0,π),所以B-π6=π2,即B=2π3.........................（5分）(2)=3,即ac=4............................（6分）所以a+c ≥2a =4,当且仅当a=c=2时取等号............................（7分）又由余弦定理得b 2=a 2+c 2-2ac cos B=a 2+c 2+ac ≥3ac=12,所以b ≥23,......（9分）当且仅当a=c=2时取等号...........................（10分）所以△ABC 的周长的最小值为4+2 3...........................（12分）19.解(1)由散点图判断，y ＝c ＋dx更适合作为该图书每册的成本费y(单位：元)与印刷数量x(单位：千册)的经验回归方程．...................（2分）(2)由ii x u 1=，先建立y 关于u 的经验回归方程，由于＝7.0490.787≈8.96，...........（4分）所以c ^＝y －d ^·u ＝3.63－8.96×0.269≈1.22，...........（6分）所以y 关于u 的经验回归方程为y ^＝1.22＋8.96u ，..........（7分）所以y 关于x 的经验回归方程为y ^＝1.22＋8.96x ...........（8分）(3)假设印刷x 千册，依题意得10x －(1.22＋8.96x )x ≥78.840，..........（10分）所以x ≥10，..........（11分）所以至少印刷10000册才能使销售利润不低于78840元．..........（12分）20.解(1)连接AC 交BD 于N ，连接.MN 在正方形ABCD 中，AC BD N ⋂=，∴N 是AC 的中点.又M 是AP 的中点，∴MN 是APC △的中位线，MN PC ∥，.........................（2分）∵MN ⊂面BMD ，PC ⊄面BMD ，∴PC ∥平面BMD..........................（4分）（2）取AD 的中点O ，连接OP ，.ON 在PAD 中，PA PD =，O 是AD 的中点，∴OP AD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，OP ⊂平面PAD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，∴OP ⊥平面.ABCD .........................（6分）在正方形ABCD 中，O ，N 分别是AD 、BD 的中点，∴ON AD ⊥，∴OP ，OD ，ON 两两相互垂直，分别以OD ，ON ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.O xyz -6)P ，(2,0,0)D ，(2,4,0)B -，26,0,1(-M ∴6()2DM =- ，(6)DP =- ，(4,4,0).DB =-设平面MBD 的一个法向量1(,,)n x y z =，则11,,n DM n DB ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，即30,2440,x z x y ⎧-+=⎪⎨⎪-+=⎩取1x =，得1n =，∴1n = 是平面MBD 的一个法向量;.........................（8分）同理，2n =是平面PBD 的一个法向量，.........................（10分）∴121212cos ,n n n n n n ⋅=⋅==（11分）设二面角M BD P --的大小为θ，由图可知，1cos cos n θ=<，22n >= ，且θ为锐角，∴30θ=︒，故二面角M BD P --的大小是30.︒.........................（12分）21.解(1)∵抛物线C 上的点到准线的最小距离为1,∴2=1,解得p=2,..........（2分）∴抛物线C 的方程为y 2=4x.......（3分）(2)由(1)可知焦点为F (1,0).由已知可得AB ⊥CD ,∴两直线AB ,CD 的斜率都存在且均不为0.设直线AB 的斜率为k ,则直线CD 的斜率为k1-,∴直线AB 的方程为y=k (x-1).联立2=4,=(-1),消去x 得ky 2-4y-4k=0.......（5分）设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1+y 2=4.设M (x M ,y M ),由y M =k (x M -1),得x M =+1=22+1,∴+1......（7分）同理可得N (2k 2+1,-2k )......（8分）∴|NF|=(22+1-1)2+(-2)2=22(2+1),.....（9分）∴22(1+2)=4×1+2||≥8,.....（11分）当且仅当|k|=1||,即k=±1时,等号成立.∴|MF|·|NF|的最小值为8......（12分）22.解(1)由题意可得()f x 的定义域为(0)+∞,，()()23212xae x f x x x x -'=--()()32x x ae x x--=，...............................................（1分）当0a ≤时，易知0x x ae ->，所以，由()0f x '<得02x <<，由()0f x '>得2x >，......................（3分）所以()f x 在(0)2,上单调递减，在()2+∞,上单调递增........................（4分）(2)由(1)可得()()()32xx ae x f x x --'=，当02x <<时320x x-<，记()x g x x ae =-，则()1x g x ae '=-，因为()f x 在区间(0)2,内有两个极值点，所以()g x 在区间(0)2,内有两个零点，所以0a >...............................（6分）令()0g x '=，则ln x a =-，①当ln 0a -≤，即1a ≥时，在(0)2,上，0()g x '<，所以在(0)2,上，()g x 单调递减，()g x 的图象至多与x 轴有一个交点，不满足题意...................（7分）②当ln 2a -≥，即210a e<≤时，在(0)2,上，()0g x '>，所以在(0)2,上，()g x 单调递增，()g x 的图象至多与x 轴有一个交点，不满足题意....................（8分）③当0ln 2a <-<，即211a e <<时，()g x 在(0)ln a -,上单调递增，在(ln 2)a -,上单调递减，由()00g a =-<知，要使()g x 在区间(0)2,内有两个零点，必须满足()()2ln ln 10220g a a g ae -=-->⎧⎪⎨=-<⎪⎩，解得221a e e <<，...........................................（11分）综上所述，实数a 的取值范围是221,e e ⎛⎫⎪⎝⎭..............................................................（12分）。
2022-2023学年黑龙江省齐齐哈尔市实验中学数学高一上期末含解析
【点睛】本题主要考查向量的数量积运算，考查向量夹角的计算和函数最值的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.
18、（1） ， ；（2） ；（3）
【解析】（1）利用平均数公式代入求解；（2）由题意得甲班和乙班各有“过度熬夜”的人数为 ，计算得基本事件总数和 个数据来自同一个班级的基本事件的个数，然后利用古典概型的公式代入计算取 个数据来自同一个班级的概率；（3）甲班共有 个数据，其中“过度熬夜”的数据有 个，计算得基本事件总数和恰有 个数据为“过度熬夜”的基本事件的个数，利用古典概型的公式代入计算恰有 个数据为“过度熬夜”的概率.
【详解】（1）甲的平均值： ；乙的平均值： ；
（2）由题意，甲班和乙班各有“过度熬夜”的人数为 ，抽取 个数据，基本事件的总数为 个，抽到来自同一个班级的基本事件的个数为 ，则抽取 个数据来自同一个班级的概率为 ；
（3）甲班共有 个数据，其中“过度熬夜”的数据有 个，从甲班的样本数据中有放回地抽取 个数据，基本事件的总数为 个，恰有 个数据为“过度熬夜”包含的基本事件的个数为 个，则恰有 个数据为“过度熬夜”的概率为 .
19、（1）
（2）答案见解析
【解析】（1）讨论 和 时实数 的取值范围，再结合 的范围与函数的对称轴讨论使得 在 上是减函数的范围即可；
（2）假设存在整数 ，使得 的解集恰好是 ．则 ，由 ，解出整数 ，再代入不等式检验即可
小问1详解】
解：令 ，则 .
当 ，即 时， 恒成立，
所以 .
因为 在 上是减函数，
5、D
【解析】根据函数的新定义求解即可.
【详解】由题意可知 4－(－4)＝8.
故选：D.
6、A
【解析】直接利用诱导公式计算得到答案.
2020-2021学年上海市金山区高三(上)期末数学试卷(一模)
2020-2021学年上海市金山区高三（上）期末数学试卷（一模）试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）若函数y=sin （2x+ π4 ），则它的最小正周期T=___ ． 2.（填空题，4分）若复数z= 2+i1−2i （i 为虚数单位），则z 的模|z|=___ ． 3.（填空题，4分）若矩阵A= (sinθm n cosθ) ，B= (msinθcosθn) ，且A=B ，则m 2+n 2=___ ． 4.（填空题，4分）若函数y=log 2（x-m ）+1的反函数的图象经过点（1，3），则实数m=___ ．5.（填空题，4分）已知集合M={y|y=3sinx ，x∈R}，N={x||x|＜a}，若M⊆N ，则实数a 的取值范围是___ ．6.（填空题，4分）已知F 1、F 2是椭圆 x 225 + y 216 =1的两个焦点，AB 是过点F 1的弦，则△ABF 2的周长是 ___ ．7.（填空题，5分）在五个数字1，2，3，4，5中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是___ （结果用数值表示）．8.（填空题，5分）在直角三角形ABC 中，AB=5，AC=12，BC=13，点M 是△ABC 外接圆上的任意一点，则 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ • AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值是___ ． 9.（填空题，5分）已知实数a 、b 、c 成等差数列，则点P （-1，0）到直线ax+by+c=0的最大距离是___ ．10.（填空题，5分）球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的 16 ，以这3个点为顶点构成的三角形的周长为18，则此球的半径为___ ．11.（填空题，5分）关于x 的方程x 2+ax+b-3=0（a ，b∈R ）在[1，2]上有实根，则a 2+（b-4）2的最小值为___ ．12.（填空题，5分）若f （x ）=|x+1|+|x+2|+…+|x+2020|+|x -1|+|x-2|+…+|x -2020|，x∈R ，且f （a 2-3a+2）=f （a-1），则满足条件的所有整数a 的和是___ ．13.（单选题，5分）在（1+2x ）4的二项展开式中，二项式系数的和为（ ） A.8 B.16 C.27 D.8114.（单选题，5分）“|x -1|＜2成立”是“x （x-3）＜0成立”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件15.（单选题，5分）已知定义在R 上的函数f （x ）是奇函数，且满足f （x+3）=f （x ），f （1）=-3，数列{a n }满足S n =2a n +n （其中S n 为{a n }的前n 项和），则f （a 5）+f （a 6）=（ ） A.-3 B.-2 C.3 D.216.（单选题，5分）已知△ABC 的外接圆圆心为O ，∠A=120°，若 AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ （x ，y∈R ），则x+y 的最小值为（ ） A. 12 B. 23 C. 32 D.217.（问答题，14分）已知a 、b 、c 是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边，a=4 √3 ，b=6，cosA=- 13 ． （1）求c ；（2）求cos2B 的值．18.（问答题，14分）如图，在三棱锥P-ABC 中，PA⊥底面ABC ，△ABC 是边长为2的正三角形，侧棱PB 与底面所成的角为 π4． （1）求三棱锥P-ABC 的体积V ；（2）若D 为PB 的中点，求异面直线PA 与CD 所成角的大小．19.（问答题，14分）已知定义域为R 的函数f （x ）= 1−2x1+2x ．（1）试判断函数f （x ）= 1−2x1+2x 在R 上的单调性，并用函数单调性的定义证明；（2）若对于任意t∈R ，不等式f （t 2-2t ）+f （t 2-k ）＜0恒成立，求实数k 的取值范围．20.（问答题，16分）已知点P 在抛物线C ：y 2=4x 上，过点P 作圆M ：（x-3）2+y 2=r 2（0＜r≤ √2 ）的两条切线，与抛物线C 分别交于A 、B 两点，切线PA 、PB 与圆M 分别相切于点E 、F ．（1）若点P 到圆心M 的距离与它到抛物线C 的准线的距离相等，求点P 的坐标； （2）若点P 的坐标为（1，2），且r= √2 时，求 PE⃗⃗⃗⃗⃗ • PF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值； （3）若点P 的坐标为（1，2），设线段AB 中点的纵坐标为t ，求t 的取值范围．21.（问答题，18分）若数列{a n }满足 1λ ≤ a n+1a n≤λ（λ＞1，且λ为实常数），n∈N*，则称数列{a n }为B （λ）数列．（1）若数列{a n }的前三项依次为a 1=2，a 2=x ，a 3=9，且{a n }为B （3）数列，求实数x 的取值范围；（2）已知{a n }是公比为q （q≠1）的等比数列，且a 1＞0，记T n =|a 2-a 1|+|a 3-a 2|+…+|a n+1-a n |．若存在数列{a n }为B （4）数列，使得 lim n→∞T n+1−tT nT n ≤0成立，求实数t 的取值范围；≤λ-1”是“{a n}为B （λ）数列”（3）记无穷等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，证明：“0≤ da1的充要条件．2020-2021学年上海市金山区高三（上）期末数学试卷（一模）参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）若函数y=sin （2x+ π4 ），则它的最小正周期T=___ ． 【正确答案】：[1]π【解析】：根据正弦函数的性质周期公式即可求解．【解答】：解：函数 y =sin (2x +π4) 的最小正周期为 T =2π2=π ．故答案为：π．【点评】：本题主要考查正弦函数的性质．周期的求法． 2.（填空题，4分）若复数z= 2+i1−2i（i 为虚数单位），则z 的模|z|=___ ．【正确答案】：[1]1【解析】：由复数的除法运算化简z ，由复数的模的计算公式即可求解．【解答】：解：复数z= 2+i1−2i = (2+i )(1+2i )(1−2i )(1+2i ) = 5i5 =i ， 所以|z|=1． 故答案为：1．【点评】：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，属于基础题． 3.（填空题，4分）若矩阵A= (sinθm n cosθ) ，B= (m sinθcosθn) ，且A=B ，则m 2+n 2=___ ． 【正确答案】：[1]1【解析】：利用矩阵相等的性质进行求解，可得m=sinθ，n=cosθ，即可得到答案．【解答】：矩阵A= (sinθm ncosθ) ，B= (m sinθcosθn) ，且A=B ， 可得A 、B 矩阵对应位置上的元素相等， 故m=sinθ，n=cosθ， m 2+n 2=sin 2θ+cos 2θ=1；故答案为：1．【点评】：本题主要考查了矩阵相等的性质，以及同角三角函数的关系，是基础题．4.（填空题，4分）若函数y=log2（x-m）+1的反函数的图象经过点（1，3），则实数m=___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：由题意可得函数y=log2（x-m）+1过（3，1），从而可求得m．【解答】：解：∵函数y=log2（x-m）+1的反函数的图象经过点（1，3），∴函数y=log2（x-m）+1的图象过点（3，1），∴1=log2（3-m）+1∴log2（3-m）=0，∴3-m=1，∴m=2．故答案为：2．【点评】：本题考查反函数，掌握互为反函数的两个函数之间的关系是解决问题的关键，属于基础题．5.（填空题，4分）已知集合M={y|y=3sinx，x∈R}，N={x||x|＜a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（3，+∞）【解析】：分别求出集合M，N，再由M⊆N，可得关于a的不等式，解之即可得结论．【解答】：解：集合M={y|y=3sinx，x∈R}=[-3，3]，N={x||x|＜a}=（-a，a），因为M⊆N，所以a＞3，即实数a的取值范围是（3，+∞）．故答案为：（3，+∞）．【点评】：本题主要考查集合的包含关系即应用，考查三角函数的值域及绝对值不等式的解法，属于基础题．6.（填空题，4分）已知F 1、F 2是椭圆 x 225 + y 216 =1的两个焦点，AB 是过点F 1的弦，则△ABF 2的周长是 ___ ． 【正确答案】：[1]20【解析】：根据椭圆的方程算出a=5，由椭圆的定义得到|AF 1|+|AF 2|=|BF 1|+|BF 2|=2a=10，由此将△ABF 1的周长分成|AF 1|+|AF 2|、|BF 1|+|BF 2|两部分，即可得到所求△ABF 2的周长．【解答】：解：∵椭圆的方程为 x 225 + y 216=1，∴a=5，根据椭圆的定义，得|AF 1|+|AF 2|=|BF 1|+|BF 2|=2a=10，∴△ABF 2的周长|AF 2|+|BF 2|+|AB|=（|AF 1|+|AF 2|）+（|BF 1|+|BF 2|）=20， 故答案为：20．【点评】：本题给出椭圆经过右焦点的弦AB 与左焦点F 1构成的三角形，求△ABF 1的周长．着重考查了椭圆的定义与标准方程的知识，属于基础题．7.（填空题，5分）在五个数字1，2，3，4，5中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是___ （结果用数值表示）． 【正确答案】：[1]0.3【解析】：由题意知本题是一个古典概型，试验发生的所有事件是从5个数字中选3个，共有C 53种结果满足条件的是剩下两个数字都是奇数，即取出的三个数为两偶一奇有C 22C 31种结果，根据古典概型公式得到结果．【解答】：解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生的所有事件是从5个数字中选3个，共有C 53种结果 满足条件的是剩下两个数字都是奇数， 即取出的三个数为两偶一奇有C 22C 31种结果， ∴剩下两个数字都是奇数的概率是 P =C 22C 31C 53=310=0.3 ．故答案为：0.3【点评】：本题主要考查古典概型，理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，观察类比各个试验，归纳总结出古典概型的概率计算公式，体现了化归的重要思想，掌握列举法，学会运用数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题8.（填空题，5分）在直角三角形ABC 中，AB=5，AC=12，BC=13，点M 是△ABC 外接圆上的任意一点，则 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ • AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值是___ ． 【正确答案】：[1]45【解析】：解法一、由平面向量的线性运算法则，计算 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ • AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值即可； 解法二、建立平面直角坐标系，用圆的方程设点M 的坐标，计算 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ • AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值．【解答】：解：解法一、Rt△ABC 的外心即斜边BC 中点O ， 由平面向量的线性运算知， AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = AO ⃗⃗⃗⃗⃗ + OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ • AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = AB ⃗⃗⃗⃗⃗ •（ AO ⃗⃗⃗⃗⃗ + OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）= AB ⃗⃗⃗⃗⃗ • AO ⃗⃗⃗⃗⃗ + AB ⃗⃗⃗⃗⃗ • OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 由图可知： AB⃗⃗⃗⃗⃗ • AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =| AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |×| AO ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠BAO=| AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |×| AO ⃗⃗⃗⃗⃗ |sin∠C=5× 132× 513= 252， 当 OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ || AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 时， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ • OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为5× 132 = 652 ， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ • AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 252 + 652=45． 解法二、建立平面直角坐标系，如图所示：A （0，0），B （5，0），C （0，12）， △ABC 外接圆（x- 52 ）2+（y-6）2=1694， 设M （ 52 + 132 cosθ，6+ 132 sinθ）， 则 AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ 52+ 132cosθ，6+ 132sinθ）， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（5，0）， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ • AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 252 + 652 cosθ≤45，当且仅当cosθ=1时取等号． 所以 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ • AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值是45． 故答案为：45．【点评】：本题考查了平面向量的数量积运算问题，也考查了三角形外接圆应用问题，是中档题．9.（填空题，5分）已知实数a、b、c成等差数列，则点P（-1，0）到直线ax+by+c=0的最大距离是___ ．【正确答案】：[1]2 √2【解析】：根据题意，过点P作直线ax+by+c=0的垂线，Q为垂足，分析可得直线ax+by+c=0恒过定点M（1，-2），又由恒过定点M（1，-2），分析可得△PQM为直角三角形，即可得Q的轨迹，结合点与圆的位置关系可得答案．【解答】：解：根据题意，过点P作直线ax+by+c=0的垂线，Q为垂足，若a，b，c成等差数列，即2b=a+c，则直线ax+by+c=0为2ax+（a+c）y+2c=0，即a（2x+y）+c（y+2）=0，恒过定点M（1，-2）又由PQ垂直于直线ax+by+c=0，故△PQM为直角三角形，则Q的轨迹是以PM为直径的圆，即x2+（y+1）2=2，则点P（-1，0）到直线ax+by+c=0的距离即|PQ|的长，其最大值为|PM|=2 √2，故答案为：2 √2．【点评】：本题考查圆的方程的应用，涉及与圆的轨迹问题，属于综合题．，以这3 10.（填空题，5分）球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的16个点为顶点构成的三角形的周长为18，则此球的半径为___ ．【正确答案】：[1]6【解析】：因为正三角形ABC的外径r=2 √3，故可以得到高，D是BC的中点．在△OBC中，又可以得到角以及边与R的关系，即可解出R．，△ABC 【解答】：解：因为球面上有三个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的16是正三角形，三角形的周长为18，可得边长为6，故正三角形ABC 的外径2r= 6sin60° =4 √3 ⇒r=2 √3 ，故高AD= 32 r=3 √3 ，D 是BC 的中点． 在△OBC 中，BO=CO=R ，∠BOC= π3，所以BC=BO=R ，BD= 12BC= 12R ． 在Rt△ABD 中，AB=BC=R ，所以由AB 2=BD 2+AD 2，得R 2= 14R 2+27， 所以R=6． 故答案为：6．【点评】：本题考查学生的空间想象能力，以及对球的性质认识及利用，是基础题．11.（填空题，5分）关于x 的方程x 2+ax+b-3=0（a ，b∈R ）在[1，2]上有实根，则a 2+（b-4）2的最小值为___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：根据题意可得b=-x 2-ax+3，推出a 2+（b-4）2=（x 2+1）（x+a ）2+x 2+1≥x 2+1≥2，x∈[1，2]，即可得出答案．【解答】：解：由x 2+ax+b-3=0，知b=-x 2-ax+3，所以a 2+（b-4）2=a 2+（-x 2-ax-1）2=a 2+（x 2+1）2+2ax （x 2+1）+a 2x 2 =（x 2+1）（x 2+1+2ax+a 2）=（x 2+1）（x+a ）2+x 2+1， 因为x∈[1，2]，所以a 2+（b-4）2≥x 2+1≥2， 当x=1，a=-1，b=3时，等号成立， 所以a 2+（b-4）2的最小值为2． 故答案为：2．【点评】：本题考查函数的最值及其几何意义，考查转化思想，解题中需要一定的运算能力，属于中档题．12.（填空题，5分）若f （x ）=|x+1|+|x+2|+…+|x+2020|+|x -1|+|x-2|+…+|x -2020|，x∈R ，且f （a 2-3a+2）=f （a-1），则满足条件的所有整数a 的和是___ ． 【正确答案】：[1]6【解析】：通过函数的奇偶性，即可得到关系式，然后求出a的值．【解答】：解：f（x）=|x+1|+|x+2|+…+|x+2020|+|x-1|+|x-2|+…+|x-2020|，则f（-x）=|x-1|+|x-2|+…+|x-2020|+|x+1|+|x+2|+…+|x+2020|，可得f（-x）=f（x），∴函数是偶函数，若f（a2-3a+2）=f（a-1）则a2-3a+2=a-1 ① 或a2-3a+2=-（a-1）②由① ，得a2-3a+2=（a-1）（a-2）=a-1，即（a-1）（a-3）=0，解得a=1或a=3；由② ，得a2-3a+2=（a-1）（a-2）=-（a-1），即（a-1）（a-1）=0，解得a=1；∴a=1或a=3，又f（0）=f（1）=f（-1），∴当a=2时，也满足要求，∴a的值有3个，可得1+2+3=6．故答案为：6．【点评】：本题考查带绝对值的函数；函数的值．函数的奇偶性的应用，考查计算能力．属于基础题．13.（单选题，5分）在（1+2x）4的二项展开式中，二项式系数的和为（）A.8B.16C.27D.81【正确答案】：B【解析】：由题意利用二项式系数的性质，求得二项式系数的和．【解答】：解：在（1+2x）4的二项展开式中，二项式系数的和为2n=24=16，故选：B．【点评】：本题主要考查二项式系数的性质，属于基础题．14.（单选题，5分）“|x-1|＜2成立”是“x（x-3）＜0成立”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：B【解析】：利用绝对值不等式的解法、一元二次不等式的解法分别解出，即可判断出关系．【解答】：解：由|x-1|＜2解得：-2+1＜x＜2+1，即-1＜x＜3．由x（x-3）＜0，解得0＜x＜3．“|x-1|＜2成立”是“x（x-3）＜0成立”必要不充分条件．故选：B．【点评】：本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.（单选题，5分）已知定义在R上的函数f（x）是奇函数，且满足f（x+3）=f（x），f （1）=-3，数列{a n}满足S n=2a n+n（其中S n为{a n}的前n项和），则f（a5）+f（a6）=（）A.-3B.-2C.3D.2【正确答案】：C【解析】：由S n=2a n+n，可得出a n=2a n-1-1，从而求出a5=-31，a6=-63，而由f（x+3）=f （x）可知f（x）的周期为3，从而可以得出f（a5）+f（a6）=f（-1）+f（0），而f（x）为R上的奇函数可得f（-1）=3，f（0）=0，从而可得出f（a5）+f（a6）的值．【解答】：解：数列{a n}满足S n=2a n+n，当n=1时，a1=S1=2a1+1，解得a1=-1，∴当n≥2时，S n-1=2a n-1+n-1，则a n=2a n-2a n-1+1，即a n=2a n-1-1，∴a n-1=2（a n-1-1）（n≥2），又∵a1-1=-2，∴数列{a n-1}是首项为-2，公比为2的等比数列，∴a n-1=-2×2n-1=-2n，∴a n=1-2n，此式对n=1也成立，∴数列{a n}的通项公式为a n=1-2n，∴a5=-31，a6=-63，由定义在R上的函数f（x）是奇函数，且满足f（x+3）=f（x），f（1）=-3，可知，f （x ）的周期为3，且f （-1）=-f （1）=3，f （0）=0， ∴f （a 5）+f （a 6）=f （-31）+f （-63）=f （-1）+f （0）=3． 故选：C ．【点评】：本题主要考查数列与函数的综合，考查由数列的递推公式求数列的通项公式，考查函数的周期性与奇偶性，属于中档题．16.（单选题，5分）已知△ABC 的外接圆圆心为O ，∠A=120°，若 AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ （x ，y∈R ），则x+y 的最小值为（ ） A. 12B. 23C. 32D.2【正确答案】：D【解析】：由已知结合锐角三角定义及平面向量基本定理可得，x= b 3c+23，y= c 3b+23，然后结合基本不等式可求x+y 的最小值．【解答】：解：设| AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=c ， |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ | =b ， 则 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ •AC ⃗⃗⃗⃗⃗ = −12bc ， 分别取AB ，AC 的中点D ，E ，连接OD ，OE ，则OD⊥AB ，OE⊥AC ， ∴ AO ⃗⃗⃗⃗⃗ • AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =| AO ⃗⃗⃗⃗⃗ || AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠BAO= 12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2 = 12c 2 ， 同理 AO ⃗⃗⃗⃗⃗ • AC ⃗⃗⃗⃗⃗ = 12b 2 ， ∵ AO⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴ AO ⃗⃗⃗⃗⃗ • AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2 +y AB ⃗⃗⃗⃗⃗ •AC⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴ 12c 2=xc 2−bcy ，即 12c =cx −12by ① ， 同理， 12b =−12cx +by ② ， ① ② 联立得，x=b3c+23 ，y=c 3b+23，∴ x +y =b3c +c3b +43 ≥2√b3c •c3b +43 =2，当且仅当 b3c =c3b 即b=c 时取等号，此时x+y 取得最小值2， 故选：D ．【点评】：本题主要考查了平面向量基本定理的应用及基本不等式求解最值，属于中档题．17.（问答题，14分）已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，a=4 √3，b=6，cosA=- 13．（1）求c；（2）求cos2B的值．【正确答案】：【解析】：（1）由余弦定理即可求得c的值；（2）先由同角三角函数的平方关系求得sinA的值，再由正弦定理求出sinB的值，最后根据cos2B=1-2sin2B，得解．【解答】：解：（1）由余弦定理知，a2=b2+c2-2bccosA，即48=36+c2-2×6×c×（- 13），整理得，c2+4c-12=0，解得c=2或-6（舍负），故c=2．（2）∵cosA=- 13，且A∈（0，π），∴sinA= √1−cos2A = 2√23，由正弦定理知，asinA = bsinB，即√32√23= 6sinB，∴sinB= √63，∴cos2B=1-2sin2B=- 13．【点评】：本题考查解三角形与三角恒等变换的综合运用，熟练掌握正弦定理、余弦定理和二倍角公式是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．18.（问答题，14分）如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，△ABC是边长为2的正三角形，侧棱PB与底面所成的角为π4．（1）求三棱锥P-ABC的体积V；（2）若D为PB的中点，求异面直线PA与CD所成角的大小．【正确答案】：【解析】：（1）由已知求得PA，再求出底面三角形ABC的面积，再由棱锥体积公式求解；（2）取AB的中点O，连接OD，则OD || PA，得∠CDO为异面直线PA与CD所成角，再由已知求解直角三角形得答案．【解答】：解：（1）∵PA⊥底面ABC，∴∠PBA为侧棱PB与底面所成的角等于π4，则△PAB为等腰直角三角形，且PA=AB，又AB=2，则PA=2，∵△ABC是边长为2的正三角形，∴ S△ABC=12×2×2×√32=√3，∴三棱锥P-ABC的体积V= 13S△ABC×PA=13×√3×2=2√33；（2）取AB的中点O，连接OD，则OD || PA，∴∠CDO为异面直线PA与CD所成角，∵PA⊥底面ABC，PA || OD，∴OD⊥底面ABC，则OD⊥OC，在Rt△COD中，OD= 12PA=1，OC= √22−12=√3，∴tan ∠CDO=OCOD =√3，得∠CDO=π3．即异面直线PA与CD所成角的大小为π3．【点评】：本题考查多面体体积的求法及异面直线所成角的求法，考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题．19.（问答题，14分）已知定义域为R的函数f（x）= 1−2x1+2x．（1）试判断函数f（x）= 1−2x1+2x在R上的单调性，并用函数单调性的定义证明；（2）若对于任意t∈R，不等式f（t2-2t）+f（t2-k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）f（x）在R上递减，运用单调性的定义和指数函数的单调性和值域，可得证明；（2）首先判断f（x）为奇函数，结合单调性，原不等式化为t2-2t＞k-t2，分离参数，由二次函数的最值求法，即可求实数k的取值范围．【解答】：解：（1）函数f（x）= 1−2x1+2x 即f（x）=-1+ 21+2x在R上递减，理由：设x1＜x2，f（x1）-f（x2）= 21+2x1 - 21+2x2= 2(2x2−2x1)(1+2x1)(1+2x2)，由x1＜x2，可得2x1＜2x2，即2x2-2x1＞0，又1+2x1＞0，1+2x2＞0，则2(2x2−2x1)(1+2x1)(1+2x2)＞0，所以f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），故f（x）在R上递减；（2）由f（-x）= 1−2−x1+2−x = 2x−12x+1=-f（x），可得f（x）为奇函数，f（t2-2t）+f（t2-k）＜0即为f（t2-2t）＜-f（t2-k）=f（k-t2），由f（x）在R上递减，可得t2-2t＞k-t2，对于任意t∈R ，不等式f （t 2-2t ）+f （t 2-k ）＜0恒成立， k ＜2t 2-2t 恒成立，2t 2-2t=2（t- 12）2- 12，当t= 12时，2t 2-2t 取得最小值- 12， 则k ＜- 12 ，即k 的取值范围是（-∞，- 12 ）．【点评】：本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，以及不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．20.（问答题，16分）已知点P 在抛物线C ：y 2=4x 上，过点P 作圆M ：（x-3）2+y 2=r 2（0＜r≤ √2 ）的两条切线，与抛物线C 分别交于A 、B 两点，切线PA 、PB 与圆M 分别相切于点E 、F ．（1）若点P 到圆心M 的距离与它到抛物线C 的准线的距离相等，求点P 的坐标； （2）若点P 的坐标为（1，2），且r= √2 时，求 PE⃗⃗⃗⃗⃗ • PF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值； （3）若点P 的坐标为（1，2），设线段AB 中点的纵坐标为t ，求t 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）由已知得圆心M （3，0），抛物线准线方程为x=-1，设P （x 0，y 0），又PM=PC ，推出（x 0-3）2+y 02=（x 0+1）2 ① ，y 02=4x 0 ② ，由 ① ② 推出x 0，y 0，进而可得点P 坐标．（2）设E （x 1，y 1），F （x 2，y 2），写出 PE⃗⃗⃗⃗⃗ ， ME ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 坐标，由 PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ ME ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 推出x 12-4x 1+3+y 12-2y 1=0，由韦达定理可得x 1+x 2，x 1x 2，y 1+y 2，y 1y 2，再计算 PE ⃗⃗⃗⃗⃗ • PF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即可得出答案． （3）设切线PA 的方程为y=k 1（x-1）+2，切线PB 的方程为y=k 2（x-1）+2，计算圆心M 到切线PA 的距离d=r ，得k 1，k 2是方程（r 2-4）k 2-8k+r 2-4=0的两个根，由韦达定理得k 1+k 2，k 1k 2，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），AB 中点为D ，联立直线PA 与抛物线方程，得关于y 的一元二次方程，再结合韦达定理可得y 1，同理可得y 2，再得到点D 的纵坐标为t=2（k 1+k 2）-2，再求范围即可．【解答】：解：（1）由圆的方程知圆心M （3，0）， 由抛物线方程知，准线方程为x=-1， 设P （x 0，y 0），又PM=PC ，所以PM 2=PC 2，即（x 0-3）2+y 02=（x 0+1）2， ① 又点P 在抛物线C 上， 所以y 02=4x 0， ②将 ② 代入 ① ，得（x 0-3）2+4x 0=（x 0+1）2， 解得x 0=2，所以y 0=± √4x 0 =±2 √2 ， 所以点P 坐标为（2，2 √2 ）或（2，-2 √2 ）． （2）设E （x 1，y 1），F （x 2，y 2），则 PE⃗⃗⃗⃗⃗ =（x 1，y 1）-（1，2）=（x 1-1，y 1-2）， ME ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（x 1，y 1）-（3，0）=（x 1-3，y 1），又 PE⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ ME ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以 PE ⃗⃗⃗⃗⃗ • ME ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（x 1-1）（x 1-3）+（y 1-2）y 1=0， 所以x 12-4x 1+3+y 12-2y 1=0，所以x 1+x 2=4，x 1x 2=3，y 1+y 2=2，y 1y 2=0， 所以 PE ⃗⃗⃗⃗⃗ • PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =（x 1-1）（x 2-1）+（y 1-2）（y 2-2） =x 1x 2-（x 1+x 2）+1+y 1y 2-2（y 1+y 2）+4， =3-4+1+0-4+4=0． PE⃗⃗⃗⃗⃗ • PF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为0； （3）由题意知，过点P 引圆（x-3）2+y 2=r 2的切线斜率存在， 设切线PA 的方程为y=k 1（x-1）+2， 则圆心M 到切线PA 的距离d=1√k 1+1=r ，整理得（r 2-4）k 12-8k 1+r 2-4=0， 设切线PB 的方程为y=k 2（x-1）+2， 同理可得（r 2-4）k 22-8k 2+r 2-4=0，所以k 1，k 2是方程（r 2-4）k 2-8k+r 2-4=0的两个根， 所以k 1+k 2= 8r 2−4 ，k 1k 2=1，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），AB 中点为D ， 联立得 {y =k 1(x −1)+2y 2=4x，整理得k 1y 2-4y-4k 1+8=0，所以2•y 1= 8−4k 1k 1，即y 1=4−2k 1k 1 = 4k 1-2=4k 2-2， 同理可得y 2=4k 1-2， 点D 的纵坐标为t=y 1+y 22 = 4k 2−2+4k 1−22=2（k 1+k 2）-2， 又k 1+k 2= 8r 2−4 （0＜r≤ √2 ），所以t=2× 8r 2−4 -2= 16r 2−4 -2，所以0＜r 2≤2，所以-4＜r 2-4≤-2，所以-8≤ 16r 2−4 ＜-4， 所以-10≤16r 2−4-2＜-6，所以t 的取值范围为[-10，-6）．【点评】：本题考查圆与圆锥曲线的综合问题，考查了转化思想，解题中需要一定的运算化简能力，属于中档题．21.（问答题，18分）若数列{a n }满足 1λ ≤ a n+1a n≤λ（λ＞1，且λ为实常数），n∈N*，则称数列{a n }为B （λ）数列．（1）若数列{a n }的前三项依次为a 1=2，a 2=x ，a 3=9，且{a n }为B （3）数列，求实数x 的取值范围；（2）已知{a n }是公比为q （q≠1）的等比数列，且a 1＞0，记T n =|a 2-a 1|+|a 3-a 2|+…+|a n+1-a n |．若存在数列{a n }为B （4）数列，使得 lim n→∞T n+1−tT nT n ≤0成立，求实数t 的取值范围；（3）记无穷等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，证明：“0≤ da 1≤λ-1”是“{a n }为B （λ）数列”的充要条件．【正确答案】：【解析】：（1）由题意可得 13 ≤ a n+1a n≤3，可得x 的不等式组，解得x 的范围；（2）由题意可得 14 ≤a n+1a n=q ＜1或1＜q≤4，分别讨论q 的范围，结合等比数列的通项公式和数列极限的公式，即可得到所求范围；（3）先证充分性，讨论d 是否为0，结合等差数列的通项公式和不等式的性质，以及B （λ）数列的定义，可得证明；再证必要性，同样讨论d 是否为0，结合等差数列的通项公式和首项与公差的符号，即可得证．【解答】：解：（1）因为{a n }为B （3）数列，所以 13 ≤a n+1a n≤3， 则 {13≤x2≤313≤9x≤3，解得3≤x≤6，即x 的取值范围是[3，6]；（2）由数列{a n }为B （4）数列，可得 14 ≤a n+1a n=q ＜1或1＜q≤4，当 14 ≤q ＜1时，由a 1＞0，a n+1-a n =a 1q n-1（q-1）＜0，所以|a n+1-a n |=a n -a n+1． 则T n =a 1-a 2+a 2-a 3+…+a n -a n+1=a 1-a n+1=a 1（1-q n ），所以 lim n→∞ T n+1−tT n T n= lim n→∞ 1−t−(q−t )q n1−q n =1-t≤0，即t≥1；当1＜q≤4时，由a 1＞0，a n+1-a n =a 1q n-1（q-1）＞0，所以|a n+1-a n |=a n+1-a n ． 则T n =a 2-a 1+a 3-a 2+…+a n+1-a n =a n+1-a 1=a 1（q n -1），所以 lim n→∞ T n+1−tT n T n= lim n→∞ (q−t )q n −1+t q n −1 = lim n→∞ q−t−1−tqn 1−1q n =q-t≤0，即t≥q ，所以t ＞1，则t 的取值范围是（1，+∞）；（3）先证充分性．因为0≤ da 1≤λ-1，所以a 1≠0，{a n }为等差数列，所以当d=0时，a n =a 1≠0，此时 a n+1a n=1， 由λ＞1，所以 1λ ≤ a n+1a n=1≤λ成立，所以{a n }为B （λ）数列；当d≠0时，a n+1a n = a 1+nd a 1+(n−1)d = a 1+(n−1)d+d a 1+(n−1)d =1+ d a 1+(n−1)d =1+ 1a 1d+n−1， 因为0≤ da 1≤λ-1，所以 a 1d ≥ 1λ−1 ，所以0≤ 1a 1d+n−1≤ λ−1(n−1)(λ−1)+1 ，即有1≤a n+1a n≤ n (λ−1)+1(n−1)(λ−1)+1 ， 因为λ＞1，所以 n (λ−1)+1(n−1)(λ−1)+1 = (n−1)(λ−1)+(λ−1)+1(n−1)(λ−1)+1=1+ λ−1(n−1)(λ−1)+1 =1+ 1n−1+1λ−1≤1+ 11λ−1=λ，所以 1λ ≤1≤a n+1a n≤λ恒成立，所以{a n }为B （λ）数列，综上可得，{a n }为B （λ）数列；再证必要性．因为{a n }为B （λ）数列，所以 1λ ≤ a n+1a n≤λ恒成立，所以a 1≠0，当d=0时，0≤ d a 1≤λ-1显然成立； 当d≠0时，因为a n+1a n ≥ 1λ ＞0，所以{a n }的每一项同号，所以a 1与d 也同号，所以 da 1≥0，因为 1λ≤ a n+1a n≤λ恒成立，所以n=1时， 1λ≤ a 2a 1≤λ成立，因为{a n }为等差数列，a 2=a 1+d ， a2a 1=a 1+d a 1 =1+ da 1， 所以 1λ ≤1+ da 1≤λ，即为 1λ -≤ da 1≤λ-1，0≤ da 1≤λ-1，综上可得，“0≤ da 1≤λ-1”是“{a n }为B （λ）数列”的充要条件．【点评】：本题考查等差数列和等比数列的通项公式的运用、数列的极限的求法和充要条件的证明，考查分类讨论思想和转化思想、运算求解能力和逻辑推理能力，是一道综合题．。
哈尔滨市第九中学2020-2021学年高二上学期期末考试理科数学试题-含答案
哈尔滨市第九中学2020--2021学年度.上学期期末学业阶段性评价考试高二学年数学学科(理)试卷(考试时间:120分钟满分:150分共2页第I 卷(选择题共60分)一､选择题(本大题共12小题,每小题5分,每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1.过点M(-4,3)和N(-2,1)的直线方程是A.x -y+3=0B.x+y+1=0C.x -y -1=0D.x+y -3=02.双曲线221169y x -=的虚半轴长是 A.3 B.4 C.6 D.83.直线x+y=0被圆22|6240x y x y +-++=截得的弦长等于A.4B.2 .C .D 4.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河."诗中隐含着一个有趣的数学问题--“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在区域为221,x y +≤若将军从点A(4,-3)处出发,河岸线所在直线方程为x+y=4,并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营,则“将军饮马"的最短总路程为A.8B.7C.6D.55.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F,过点F 的直线与抛物线交于A,B 两点,满足|AB|=6,则线段AB 的中点的横坐标为A.2B.4C.5D.66.直线kx -y+2k+1=0与x+2y -4=0的交点在第四象限,则k 的取值范围为A.(-6,-2) 1.(,0)6B - 11.(,)26C -- 11.(,)62D -- 7.设12,F F 分别为双曲线22134x y -=的左,右焦点,点P 为双曲线上的一点.若12120,F PF ︒∠=则点P 到x 轴的距离为.A .B .C .D 8.已知点A(-2,3)在抛物线C 2:2y px =的准线上,过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B,记C 的焦点为F,则直线BF 的斜率为1.2A2.3B3.4C4.3D 9.已知点(x,y)满足:221,,0x y x y +=≥,则x+y 的取值范围是.[A B.[-1,1] .C .D10.设双曲线221916x y -=的右顶点为A,右焦点为F,过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则△AFB 的面积为32.15A 34.15B 17.5C 19.5D 11.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B,F 为其右焦点,若AF ⊥BF,设∠ABF=α,且[,]64ππα∈则该椭圆的离心率e 的取值范围是.A .1]B .C .D12.如图,,AB ､CD 是底面圆O 的两条互相垂直的直径,E 是母线PB 的中点,已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分,则该抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离等于1.2A B.1.C.D 第II 卷(非选择题共90分)二､填空题(本大题共4小题,每小题5分)13.圆222200x y x y ++--=与圆2225x y +=相交所得的公共弦所在直线方程为___.14.若三个点(-2,1),(-2,3),(2,-1)中恰有两个点在双曲线222:1(0)x C y a a-=>上,则双曲线C 的渐近线方程为___. 15.椭圆221123x y +=的焦点分别是12,F F 点P 在椭圆上,如果线段1PF 的中点在y 轴上,那么1||PF 是2||PF 的___倍.16.过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 的直线l 与C 相交于A,B 两点,且A,B 两点在准线上的射影分别为M,N ，,,MFN BFN AFM MFN S S S S λμ∆∆∆==则λμ=___. 三､解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本题满分10分)在①圆经过C(3,4),②圆心在直线x+y -2=0上,③圆截y 轴所得弦长为8且圆心E 的坐标为整数;这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,进行求解.已知圆E 经过点A(-1,2),B(6,3)且___;(1)求圆E 的方程;(2)求以(2,1)为中点的弦所在的直线方程.18.(本题满分12分)已知抛物线C:22(0)y px p =>,焦点为F,准线为1,抛物线C 上一点M 的横坐标为3,且点M 到焦点的距离为4.(1)求抛物线的方程;(2)设过点P(6,0)的直线'l 与抛物线交于A,B 两点,若以AB 为直径的圆过点F,求直线'l 的方程.19.(本题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中,直线l的参数方程为12x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数).以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ=2acosθ(a>0),且曲线C 与直线l 有且仅有一个公共点.(1)求a;(2)设A,B 为曲线C.上的两点,且,3AOB π∠=求|OA|+|OB|的最大值.20.(本题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为1cos ,sin .x t y t αα=+⎧⎨=⎩(t 为参数).以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2:4cos .C ρθ=(1)求曲线2C 的直角坐标方程;(2)若点A(1,0),且1C 和2C 的交点分别为点M,N,求11||||AM AN +的取值范围.21.(本题满分12分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦点为12(F F 且过点1).2 (1)求椭圆C 的方程;(2)设椭圆的上顶点为B,过点(-2,-1)作直线交椭圆于M,N 两点,记直线MB,NB 的斜率分别为,,MB NB k k 试判断MB NB k k +是否为定值?若为定值,求出该定值;若不是定值,说明理由.22.(本题满分12分)已知点F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点,过点F 的直线l 交椭圆于M,N 两点,当直线l 过C 的下顶点时,l当直线l垂直于C的长轴时,△OMN的面积为3 . 2(1)求椭圆C的标准方程;(2)当|MF|=2|FN|时,求直线l的方程;(3)若直线l上存在点P满足|PM|,|PF|,|PN|成等比数列,且点P在椭圆外,证明:点P在定直线上.。
黑龙江省齐齐哈尔市2020_2021学年高二数学下学期期末考试试题理含解析
某某省某某市2020-2021学年高二数学下学期期末考试试题理（含解析）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．设集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2≤x＜6}，则A∩B＝（）A．{x|1＜x＜6}B．{x|3＜x＜6}C．{x|2≤x＜3}D．{x|1＜x≤2}2．已知命题p：∀x∈（0，+∞），sin x＜x，则（）A．￢p：∀x∈（0，+∞），sin x≥xB．￢p：∃x0∈（0，+∞），sin x0≥x0C．￢p：∀x∈（﹣∞，0]，sin x≥xD．￢p：∃x0∈（﹣∞，0]，sin x0≥x03．已知2z+＝6+i（i为虚数单位），则z＝（）A．2+i B．2﹣i C．1+i D．1﹣i4．（x2﹣）5展开式中的常数项为（）A．80B．﹣80C．40D．﹣405．下面用“三段论”形式写出的演绎推理：因为指数函数y＝a x（a＞0且a≠1）在（0，+∞）上是增函数，y＝（）x是指数函数，所以y＝（）x在（0，+∞）上是增函数．该结论显然是错误的，其原因是（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．以上都可能6．设某地胡柚（把胡柚近似看成球体）的直径（单位：mm）服从正态分布N（75，16），则在随机抽取的1000个胡柚中，直径在（79，83]内的个数约为（）附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）≈0.9545．A．134B．136C．817D．8197．若函数y＝2cos x+ax在上单调递增，则实数a的取值X围是（）A．[﹣2，+∞）B．（﹣∞，﹣2]C．[2，+∞）D．[1，+∞）8．设a＝5，b＝（）﹣，c＝log0.7，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b9．由6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有（）A．36种B．48种C．72种D．96种10．若直线l与曲线y＝和圆x2+y2＝都相切，则l的方程为（）A．y＝2x+1B．y＝2x+C．y＝x+1D．y＝x+11．某市政府决定派遣8名干部（5男3女）分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少3人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有（）种A．240B．320C．180D．12012．已知a＞0，b＞0，且e a+lnb＞a+b，则下列结论一定正确的是（）A．a＞b B．a＞lnb C．e a＜b D．a+lnb＞0二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案写在答题卡相应题的横线上．13．已知tanα＝3，则sin2α﹣2sinαcosα＝．14．已知向量，且，则|＝．15．古埃及数学中有一个独特现象：除用一个单独的符号表示以外，其他分数都要写成若干个单位分数和的形式．例如＝+，可以这样来理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，每人不够，每人余，再将这分成5份，每人得，这样每人分得+．形如（n＝5，7，9，11，…）的分数的分解：＝+，＝+，＝+，按此规律，＝（n≥3，n∈N*）．16．给出下列命题：①以模型y＝ce kx（e为自然对数的底数）拟合一组数据时，为了求回归方程，设z＝lny，将其变换后得到线性方程zx+5，则c＝e5，k＝0.6；②若某种产品的合格率是，合格品中的一等品率是，则这种产品的一等品率为；③若随机变量X～B（100，p），且E（X）＝20，则D（X）＝16；④根据实验数据，人在接种某种病毒疫苗后，不感染此病毒的概率为．若有4人接种了这种疫苗，则至多有1人被感染的概率为．其中所有正确命题的序号是．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．17．已知{a n}是单调递增的等比数列，其前n项和为S n，a1＝2，且2a2，a4，3a3成等差数列．（1）求a n和S n；（2）设b n＝log2（S n+2），＝，求数列{}的前n项和T n．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，已知∠BCC1＝，BC＝1，AB＝C1C＝2，点E是棱C1C的中点．（1）求证：BC⊥平面ABC1；（2）求直线AC与平面AEB1所成角的正弦值．19．已知函数f（x）＝lnx+﹣2x，（a＞0）．（1）当a＝2时，求f（x）在x＝1处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间．20．2021年是我党建党100周年，为了铭记历史、不忘初心、牢记使命，向党的百年华诞献礼，市总工会组织了一场党史知识竞赛，共有2000位市民报名参加，其中35周岁以上（含35周岁）的市民1200人，现采取分层抽样的方法从参赛的市民中随机抽取100位市民进行调查，结果显示：分数分布在450～950分之间据．此绘制的频率分布直方图如图所示．并规定将分数不低于750分的得分者称为“党史学习之星”．（1）求a的值，并估计所有参赛的市民中有多少人获得了“党史学习之星”的荣誉；（2）现采用分层抽样的方式从分数在[550，650）、[750，850）内的两组市民中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名市民中获得“党史学习之星”的市民人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望；（3）若样本中获得“党史学习之星”的35周岁以下的市民有15人，请完成下列2×2列联表，并判断是否有97.5%的把握认为该市市民获得“党史学习之星”与年龄有关？获得“党史学习之星”未获得“党史学习之合计星”35周岁以上35周岁以下合计（参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d．）P（K2≥k0）k021．已知函数f（x）＝﹣lnx，（a∈Z）．（1）当a＝1时，求f（x）的极值；（2）若不等式f（x）≥（1﹣a）x+1恒成立，求a的最小值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）若P的直角坐标为（2，0），曲线C2与曲线C1交于A、B两点，求的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝m﹣|x﹣3|，不等式f（x）＞2的解集为（2，4）（1）某某数m的值；（2）若关于x的不等式|x﹣a|≥f（x）恒成立，某某数a的取值X围．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．设集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2≤x＜6}，则A∩B＝（）A．{x|1＜x＜6}B．{x|3＜x＜6}C．{x|2≤x＜3}D．{x|1＜x≤2}解：∵集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2≤x＜6}，∴A∩B＝{x|2≤x＜3}．故选：C．2．已知命题p：∀x∈（0，+∞），sin x＜x，则（）A．￢p：∀x∈（0，+∞），sin x≥xB．￢p：∃x0∈（0，+∞），sin x0≥x0C．￢p：∀x∈（﹣∞，0]，sin x≥xD．￢p：∃x0∈（﹣∞，0]，sin x0≥x0解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：∀x∈（0，+∞），sin x＜x，则￢p：∃x0∈（0，+∞），sin x0≥x0．故选：B．3．已知2z+＝6+i（i为虚数单位），则z＝（）A．2+i B．2﹣i C．1+i D．1﹣i解：设z＝a+bi（a，b∈R），则，∵2z+＝6+i，∴2（a+bi）+（a﹣bi）＝3a+bi＝6+i，即，解得，∴z＝2+i．故选：A．4．（x2﹣）5展开式中的常数项为（）A．80B．﹣80C．40D．﹣40解：设（）5展开式中的通项为T r+1，则T r+1＝•x2（5﹣r）•（﹣2）r•x﹣3r＝（﹣2）r••x10﹣5r，令10﹣5r＝0得r＝2，∴（）5展开式中的常数项为（﹣2）2×＝4×10＝40．故选：C．5．下面用“三段论”形式写出的演绎推理：因为指数函数y＝a x（a＞0且a≠1）在（0，+∞）上是增函数，y＝（）x是指数函数，所以y＝（）x在（0，+∞）上是增函数．该结论显然是错误的，其原因是（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．以上都可能解：该演绎推理的大前提是：指数函数y＝a x（a＞0且a≠1）在（0，+∞）上是增函数，小前提是：y＝（）x是指数函数，结论是：y＝（）x在（0，+∞）上是增函数．其中，大前提是错误的，因为0＜a＜1时，函数y＝a x在（0，+∞）上是减函数，致使得出的结论错误．故选：A．6．设某地胡柚（把胡柚近似看成球体）的直径（单位：mm）服从正态分布N（75，16），则在随机抽取的1000个胡柚中，直径在（79，83]内的个数约为（）附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）≈0.9545．A．134B．136C．817D．819解：由题意，μ＝75，σ＝4，则P（79＜X≤83）＝[P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）﹣P（μ+σ＜X≤μ+σ）]＝﹣0.6827）＝0.1359．×≈136．故选：B．7．若函数y＝2cos x+ax在上单调递增，则实数a的取值X围是（）A．[﹣2，+∞）B．（﹣∞，﹣2]C．[2，+∞）D．[1，+∞）解：∵y＝2cos x+ax在上单调递增，∴y′＝﹣2sin x+a≥0，即a≥2sin x在上恒成立，∵g（x）＝2sin x在上单调递增，∴g（x）max＝g（）＝1，∴a≥1，故选：D．8．设a＝5，b＝（）﹣，c＝log0.7，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b解：∵y＝5x在R上递增，∴1＝50＜a＝5＜b＝（）﹣＝5，而c＝log0.7＜1，故c＜a＜b，故选：D．9．由6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有（）A．36种B．48种C．72种D．96种解：三人排成一排，有种排法，三人排好后有四个位置可以插入空座位，∵恰有两个空座位相邻，∴三个空座位在种插入方法，∴恰有两个空座位相邻的不同坐法有＝72种．故选：C．10．若直线l与曲线y＝和圆x2+y2＝都相切，则l的方程为（）A．y＝2x+1B．y＝2x+C．y＝x+1D．y＝x+解：直线l与圆x2+y2＝相切，那么圆心（0，0）到直线的距离等于半径，四个选项中，只有A，D满足题意；对于A选项：y＝2x+1与y＝联立，可得2x﹣+1＝0，此时无解；对于D选项：y＝x+与y＝联立，可得x﹣+＝0，此时解得x＝1；∴直线l与曲线y＝和圆x2+y2＝都相切，方程为y＝x+，故选：D．11．某市政府决定派遣8名干部（5男3女）分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少3人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有（）种A．240B．320C．180D．120解：因为若要求每组至少3人，所以有3，5和4，4两种，若人数为3，5，则有（﹣1）•＝110种；人数为4，4，则有种；共有110+70＝180，故选：C．12．已知a＞0，b＞0，且e a+lnb＞a+b，则下列结论一定正确的是（）A．a＞b B．a＞lnb C．e a＜b D．a+lnb＞0解：令f（x）＝e x﹣x，则当x＞0时，f′（x）＝e x﹣1＞0，∴f（x）＝e x﹣x在（0，+∞）单调递增．又a＞0，b＞0，且e a+lnb＞a+b，即e a﹣a＞e lnb﹣lnb，即f（a）＞f（lnb），若lnb≤0，则a＞0＞lnb；若lnb＞0，则a＞lnb＞0；∴a＞lnb，故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案写在答题卡相应题的横线上．13．已知tanα＝3，则sin2α﹣2sinαcosα＝．解：因为tanα＝3，所以sin2α﹣2sinαcosα＝＝＝＝．故答案为：．14．已知向量，且，则|＝5．解：由∥，得2m＝（﹣1）×4，解得m＝﹣2，所以+2＝（10，﹣5），故|+2|＝＝5．故答案为：5．15．古埃及数学中有一个独特现象：除用一个单独的符号表示以外，其他分数都要写成若干个单位分数和的形式．例如＝+，可以这样来理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，每人不够，每人余，再将这分成5份，每人得，这样每人分得+．形如（n＝5，7，9，11，…）的分数的分解：＝+，＝+，＝+，按此规律，＝（n≥3，n∈N*）．解：由＝+，＝+，＝+，可推理出：＝，故答案为：．16．给出下列命题：①以模型y＝ce kx（e为自然对数的底数）拟合一组数据时，为了求回归方程，设z＝lny，将其变换后得到线性方程zx+5，则c＝e5，k＝0.6；②若某种产品的合格率是，合格品中的一等品率是，则这种产品的一等品率为；③若随机变量X～B（100，p），且E（X）＝20，则D（X）＝16；④根据实验数据，人在接种某种病毒疫苗后，不感染此病毒的概率为．若有4人接种了这种疫苗，则至多有1人被感染的概率为．其中所有正确命题的序号是①②③．解：对于①，以模型y＝ce kx（e为自然对数的底数）拟合一组数据时，为了求回归方程，设z＝lny，两边取对数：lny＝ln（ce kx），＝lnc+kx，令z＝lny，可得：z＝lnc+kx，由于zx+5，所以lnc＝5，k＝0.6，将其变换后得到线性方程zx+5，则c＝e5，k＝0.6；故①正确对于②，若某种产品的合格率是，合格品中的一等品率是，则这种产品的一等品率为＝，故②正确；③若随机变量X～B（100，p），且E（X）＝20，则100p＝20，解得p＝，则D（X）＝np（1﹣p）＝100×＝16，故③正确；④根据实验数据，人在接种某种病毒疫苗后，不感染此病毒的概率为．感染此病毒的概率为，若有4人接种了这种疫苗，则至多有1人被感染的概率为，故④错误．故答案为：①②③．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．17．已知{a n}是单调递增的等比数列，其前n项和为S n，a1＝2，且2a2，a4，3a3成等差数列．（1）求a n和S n；（2）设b n＝log2（S n+2），＝，求数列{}的前n项和T n．解：（1）设等比数列{a n}的公比为q（q＞1），由2a2，a4，3a3成等差数列，得2a4＝2a2+3a3，即2a1q3＝2a1q+3a1q2，又a1＝2，所以2q2﹣3q﹣2＝0，解得q＝2或q＝﹣（舍去），所以a n＝2n；S n＝＝2n+1﹣2．（2）由（1）可知S n＝2n+1﹣2，所以b n＝log2（S n+2）＝log22n+1＝n+1，所以＝＝＝﹣，则T n＝c1+c2+…+＝（﹣）+（﹣）+…+（﹣）＝﹣．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，已知∠BCC1＝，BC＝1，AB＝C1C＝2，点E是棱C1C的中点．（1）求证：BC⊥平面ABC1；（2）求直线AC与平面AEB1所成角的正弦值．【解答】（1）证明：∵∠BCC1＝，BC＝1，C1C＝2，∴由余弦定理知，＝BC2+﹣2BC•CC1cos∠BCC1＝1+4﹣2×1×2×cos＝3，∴BC1＝，∴BC2+＝，即BC⊥BC1，∵AB⊥侧面BB1C1C，且BC⊂面BB1C1C，∴AB⊥BC，又AB∩BC1＝B，AB，BC1⊂平面ABC1，∴BC⊥平面ABC1．（2）解：由（1）知，以B为坐标原点，BC，BC1，BA所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，2），C（1，0，0），E（，，0），B1（﹣1，，0），∴＝（﹣，﹣，2），＝（﹣，，0），＝（1，0，﹣2），设平面AEB1的法向量为＝（x，y，z），则，即，令x＝1，则y＝，z＝1，∴＝（1，，1），设AC与平面AEB1所成角为α，则sinα＝|cos＜，＞|＝||＝||＝，故直线AC与平面AEB1所成角的正弦值为．19．已知函数f（x）＝lnx+﹣2x，（a＞0）．（1）当a＝2时，求f（x）在x＝1处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间．解：（1）当a＝1时，f（x）＝lnx+x2﹣2x，f′（x）＝，f′（1）＝1，又f（1）＝﹣1，∴切点为（1，﹣1），∴f（x）在x＝1处的切线方程为：y﹣（﹣1）＝x﹣1，即y＝x﹣2．（2）由题意：f（x）的定义城为（0，+∞），f′（x）＝+ax﹣2＝（a＞0），①当△＝（﹣2）2﹣4a≤0，即a≥1时，ax2﹣2x+1≥0，即f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，∴f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无递减区间；②当△＝（﹣2）2﹣4a＞0，即0＜a＜1时，令f′（x）＝0，则ax2﹣2x+1＝0，解得：x1＝，x2＝，且0＜x1＜x2，当f′（x）＞0，得0＜x＜或x＞，∴f（x）的递增区间为（0，），（，+∞），当f′（x）＜0，得＜x＜，∴f（x）的减区间为（，），综上所述，当a≥1时，f（x）的增区间为（0，+∞），无递减区间；当0＜a＜1时，f （x）的增区间为（0，），（，+∞），减区间为（，）．20．2021年是我党建党100周年，为了铭记历史、不忘初心、牢记使命，向党的百年华诞献礼，市总工会组织了一场党史知识竞赛，共有2000位市民报名参加，其中35周岁以上（含35周岁）的市民1200人，现采取分层抽样的方法从参赛的市民中随机抽取100位市民进行调查，结果显示：分数分布在450～950分之间据．此绘制的频率分布直方图如图所示．并规定将分数不低于750分的得分者称为“党史学习之星”．（1）求a的值，并估计所有参赛的市民中有多少人获得了“党史学习之星”的荣誉；（2）现采用分层抽样的方式从分数在[550，650）、[750，850）内的两组市民中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名市民中获得“党史学习之星”的市民人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望；（3）若样本中获得“党史学习之星”的35周岁以下的市民有15人，请完成下列2×2列联表，并判断是否有97.5%的把握认为该市市民获得“党史学习之星”与年龄有关？获得“党史学习之星”未获得“党史学习之合计星”35周岁以上35周岁以下合计（参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d．）P（K2≥k0）k0解：（1）由题意知：100×（0.0015+a+0.0025+0.0015+0.001）＝1，解得a＝0.0035，则所有参赛市民中获得“党史学习之星”的有，（0.0015+0.001）×100×2000＝500（人）．（2）由题意可得，从[550，650）中抽取7人，从[750，850）中抽取3人，随机变量X的所有可能取值有0，1，2，3，（k＝0，1，2，3），故随机变量X的分布列为：X0 1 2 3P随机变量X的数学期望．（3）由题可知，样本中35周岁以上60人，35周岁以下40人，获得“党史学习之星”的25人，其中35周岁以下15人，得出以2×2列联表：合计获得“党史学习之星”未获得“党史学习之星”35周岁以上10 50 6035周岁以下15 25 40 合计25 70 100 K2＝＝≈5.556＞5.024，故有97.5%的把握认为该市市民获得“党史学习之星”与年龄有关．21．已知函数f（x）＝﹣lnx，（a∈Z）．（1）当a＝1时，求f（x）的极值；（2）若不等式f（x）≥（1﹣a）x+1恒成立，求a的最小值．解：（1）当a＝1时，f′（x）＝（x＞0），令f′（x）＝0，得x＝1（或x＝﹣1舍去），∵当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）极小值＝f（1）＝，无极大值．（2）f（x）≥（1﹣a）x+1，即ax2﹣lnx≥（1﹣a）x+1，即a（x2+2x）≥2lnx+2x+2，∴x＞0，即x2+2x＞0，∴原问题等价于a≥在（0，+∞）上恒成立，设g（x）＝，x∈（0，+∞），则只需a≥g（x）max，由g′（x）＝﹣，令h（x）＝x+2lnx，∵h′（x）＝1+＞0，∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，∵h（1）＝1＞0，h（）＝+2ln＝﹣2ln2＝ln﹣ln4＜0，∴存在唯一的x0∈（，1），使得h（x0）＝x0+2lnx0＝0，∵当x∈（0，x0）时，h（x）＜0，则g′（x）＞0，g（x）单调递增，当x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，则g′（x）＜0，g（x）单调递减，∴g（x）max＝g（x0）＝＝＝，∴a≥即可，∴x0∈（，1），∴∈（1，2），故整数a的最小值为2．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）若P的直角坐标为（2，0），曲线C2与曲线C1交于A、B两点，求的值．解：（1）将曲线C1的参数方程为（t为参数），整理得：．曲线C2的极坐标方程为，根据，转换为直角坐标方程为x﹣y﹣2＝0．（2）把直线x+y﹣2＝0，转换为参数方程为，代入，得到，故，t1t2＝﹣1，所以＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝m﹣|x﹣3|，不等式f（x）＞2的解集为（2，4）（1）某某数m的值；（2）若关于x的不等式|x﹣a|≥f（x）恒成立，某某数a的取值X围．解：（1）∵f（x）＝m﹣|x﹣3|，∴不等式f（x）＞2，即m﹣|x﹣3|＞2，∴5﹣m＜x＜m+1，而不等式f（x）＞2的解集为（2，4），∴5﹣m＝2且m+1＝4，解得：m＝3；（2）关于x的不等式|x﹣a|≥f（x）恒成立，即关于x的不等式|x﹣a|≥3﹣|x﹣3|恒成立．可得：|x﹣a|+|x﹣3|≥3恒成立即|a﹣3|≥3恒成立，解得：a﹣3≥3或a﹣3≤﹣3，即a≥6或a≤0．故实数a的取值X围是（﹣∞，0]∪[6，+∞）．。
2020-2021学年辽宁省实验中学高三(上)月考数学试卷(10月份)(附答案详解)
2020-2021学年辽宁省实验中学高三（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题（本大题共10小题，共50.0分）1. 集合A ={x|y =√2x −1}，B ={x|x 2−5x −6<0}，则∁R (A ∩B)=( )A. {x|x <2或x >3}B. {x|x ≤2或x ≥3}C. {x|x <12或x ≥6}D. {x|x ≤12或x >6}2. 下列命题正确的是( )A. 若a <b ，则ac 2<bc 2B. 若a >b ，则1a <1b C. 若a >b ，c >d ，则ac >bdD. 若1ab 2<1a 2b ，则a <b3. 已知q ：∀x ∈[−2,3)，x 2<9，则￢q 为( )A. ∃x ∈[−2,3)，x 2<9B. ∃x ∉[−2,3)，x 2<9C. ∃x ∈[−2,3)，x 2≥9D. ∃x ∉[−2,3)，x 2≥94. 已知函数f(x)={(13)x ,x ≥3f(x +1),x <3，则f(2+log 32)的值为( )A. −227B. 154C. 227D. −545. 函数y =f(x +1)为偶函数且满足f(x)+f(−x)=0，x ∈[0,1]时，f(x)=x 3，则f(985)=( )A. 1B. −1C. 9853D. −98536. 甲、乙、丙三位同学被调查是否去过A 、B 、C 三个城市，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为( )A. AB. BC. CD. A 和B7. 已知函数f(x)=ln(e x +1)−12x ，下列选项正确的是( )A. 奇函数，在(−1,1)上有零点B. 奇函数，在(−1,1)上无零点C. 偶函数，在(−1,1)上有零点D. 偶函数，在(−1,1)上无零点8. 如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子，原高一丈(1丈=10尺)，现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为( )尺．A. 5.45B. 4.55C. 4.2D. 5.89.下列命题正确的是()A. x+1x≥2恒成立B. √a2+4+1√a2+4的最小值为2C. m，n都是正数时，(m+1m )(n+1n)最小值为4D. a>0，b>0是b3a +3ab≥2的充要条件10.函数y=lncosx(−π2<x<π2)的图象是()A. B.C. D.二、多选题（本大题共2小题，共10.0分）11.为了了解市民对各种垃圾进行分类的情况，加强垃圾分类宣传的针对性，指导市民尽快掌握垃圾分类的方法，某市垃圾处理厂连续8周对有害垃圾错误分类情况进行了调查.经整理绘制了有害垃圾错误分类重量累积统计图，图中横轴表示时间(单位：周)，纵轴表示有害垃圾错误分类的累积重量(单位：吨).根据图形分析，下列结论正确的是()A. 第1周和第2周有害垃圾错误分类的重量加速增长B. 第3周和第4周有害垃圾错误分类的重量匀速增长C. 第5周和第6周有害垃圾错误分类的重量相对第3周和第4周增长了30%D. 第7周和第8周有害垃圾错误分类的重量相对第1周和第2周减少了1.8吨12.已知当x>0时，f(x)=−2x2+4x，x≤0时，y=f(x+2)，以下结论正确的是()A. f(x)在区间[−6,−4]上是增函数B. f(−2)+f(−2021)=2C. 函数y=f(x)周期函数，且最小正周期为2<k<4−2√2或k=2√2−4D. 若方程f(x)=kx+1恰有3个实根，则12三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.命题“∃x∈R，2x2−3ax+9<0”为假命题，则实数a的取值范围为______．14.函数f(x)=x2sinx−2，则f(2021)+f(−2021)=______ ．15.有一支队伍长L米，以一定的速度匀速前进，排尾的传令兵因传达命令赶赴排头，到达排头后立即返回，且往返速度不变，如果传令兵回到排尾后，整个队伍正好前进了L米，则传令兵所走的路程为______ ．16.若集合A1，A2满足A1∪A2=A，则称(A1,A2)为集合A的一个分拆，并规定：当且仅当A1=A2时，(A1,A2)与(A2,A1)为集合A的同一种分拆，则集合A={−1,0，2}的不同分拆种数是______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）+a,x>−1}．17.已知集合A={x|y=log2(4−2x)+1}，B={y|y=x+1x+1(1)求集合A和集合B；(2)若“x∈∁R B”是“x∈A”的必要不充分条件，求a的取值范围．18.已知函数f(x)=2(m+1)x2+4mx+2m−1．(Ⅰ)若m=0，求f(x)在[−3,0]上的最大值和最小值；(Ⅱ)若关于x的方程f(x)在[0,1]上有一个零点，求实数m的取值范围．19.已知函数f(x)为偶函数，x≥0时，f(x)=x2+4x．(1)求f(x)解析式；(2)若f(2a)<f(1−a)，求a的取值范围．20.新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供x(x∈[0,10])(万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防)(万护服．A公司在收到政府x(万元)补贴后，防护服产量将增加到t=k⋅(6−12x+4件)，其中k为工厂工人的复工率(k∈[0.5,1]).A公司生产t万件防护服还需投入成本(20+9x+50t)(万元)．(1)将A公司生产防护服的利润y(万元)表示为补贴x(万元)的函数(政府补贴x万元计入公司收入)；(2)在复工率为k时，政府补贴多少万元才能使A公司的防护服利润达到最大？(3)对任意的x∈[0,10](万元)，当复工率k达到多少时，A公司才能不产生亏损？(精确到0.01)．21.已知函数f(x)=−x|x−2a|+1(x∈R)．(1)当a=1时，求函数y=f(x)的零点；)，求函数y=f(x)在x∈[1,2]上的最大值．(2)当a∈(0,3222.若存在常数k(k>0)，使得对定义域D内的任意x1，x2(x1≠x2)，都有|f(x1)−f(x2)|≤k|x1−x2|成立，则称函数f(x)在其定义域D上是“k−利普希兹条件函数”﹒(1)举例说明函数f(x)=log2x不是“2−利普希兹条件函数”；(2)若函数f(x)=√x(1≤x≤4)是“k−利普希兹条件函数”，求常数k的最小值；(3)若存在常数k(k>0)，使得对定义域D内的任意x1，x2(x1≠x2)，都有|f(x1)−f(x2)|>k|x1−x2|成立，则称函数f(x)在其定义域D上是“非k−利普希兹条件函数”.若函数f(x)=log2(2x−a)为[1,2]上的“非1−利普希兹条件函数”，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：集合A={x|y=√2x−1}={x|x≥12}，B={x|x2−5x−6<0}={x|−1< x<6}，所以A∩B={x|12≤x<6}，则∁R(A∩B)={x|x<12或x≥6}．故选：C．先求出集合A，B，然后利用集合交集与补集的定义求解即可．本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集与补集定义的运用，涉及了函数定义域的求解以及一元二次不等式的解法，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：对于A，若c=0，则ac2=bc2，故A错误；对于B，若a>0>b，则1a >1b，故B错误；对于C，若a>b，c>d，取a=2，b=1，c=−1，d=−2，此时ac=bd，故C错误；对于D，若1ab2<1a2b，则a2b2>0，所以a2b2⋅1ab2<a2b2⋅1a2b，即a<b，故D正确．故选：D．由不等式的性质逐一判断即可．本题主要考查不等式的基本性质，考查逻辑推理能力，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：命题q：∀x∈[−2,3)，x2<9，则￢q：∃x∈[−2,3)，x2≥9．故选：C．根据全称命题的否定是存在量词命题，写出对应的命题即可．本题考查了全称命题的否定是存在量词命题应用问题，是基础题．4.【答案】B【解析】解：∵2+log 31<2+log 32<2+log 33，即2<2+log 32<3 ∴f(2+log 32)=f(2+log 32+1)=f(3+log 32) 又3<3+log 32<4∴f(3+log 32)=(13)3+log 32=(13)3×(13)log 32=127×(3−1)log 32=127×3−log 32=127×3log 312=127×12=154∴f(2+log 32)=154故选B先确定2+log 32的范围，从而确定f(2+log 32)的值本题考查指数运算和对数运算，要求能熟练应用指数运算法则和对数运算法则．属简单题5.【答案】A【解析】解：根据题意，函数y =f(x +1)为偶函数，则f(x)的图象关于直线x =1对称，则有f(−x)=f(x +2)，又由f(x)满足f(x)+f(−x)=0，即f(−x)=f(x +2)， 则有f(x +2)=−f(x)，综合可得：f(x +4)=−f(x +2)=f(x)，f(x)是周期为4的函数， 则f(985)=f(1+4×246)=f(1)=1， 故选：A ．根据题意，分析可得f(x +4)=f(x)，则f(x)是周期为4的函数，据此可得f(985)=f(1)，结合函数的解析式计算可得答案．本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数的周期性，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：由乙说：我没去过C 城市，则乙可能去过A 城市或B 城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市，则乙只能是去过A ，B 中的任一个， 再由丙说：我们三人去过同一城市， 则由此可判断乙去过的城市为A ． 故选：A ．可先由乙推出，可能去过A 城市或B 城市，再由甲推出只能是A ，B 中的一个，再由丙即可推出结论．本题主要考查简单的合情推理，要抓住关键，逐步推断，是一道基础题．7.【答案】D【解析】解：根据题意，函数f(x)=ln(e x +1)−12x =ln(√e x+1√ex)，其定义域为R ，有f(−x)=ln(√e x+1√ex)=f(x)，即函数f(x)为偶函数，设t =√e x+1√ex ，在区间[0,1)上，t =√e x+1√ex>2且是增函数，而y =lnt ，在(2,+∞)上为增函数，则f(x)在区间[0,1)上为增函数，又由f(0)=ln2>0，则在区间[0,1)上，f(x)≥f(0)>0恒成立，故f(x)在区间[0,1)上没有零点，又由f(x)为偶函数，则f(x)在(−1,1)上无零点； 故选：D ．根据题意，先分析函数的奇偶性，再设t =√e x+1√ex，则y =lnt ，利用复合函数的单调性判断方法可得f(x)在区间[0,1)上为减函数，求出f(1)的值，分析可得区间[0,1)上没有零点，结合函数的奇偶性分析可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数零点的判断，属于基础题、8.【答案】B【解析】解：如图，已知AC +AB =10(尺)，BC =3(尺)，AB 2−AC 2=BC 2=9，所以(AB +AC)(AB −AC)=9，解得AB −AC =0.9， 因此{AB +AC =10AB −AC =0.9，解得{AB =5.45AC =4.55，故折断后的竹干高为4.55尺，故选：B．由题意可得AC+AB=10(尺)，BC=3(尺)，运用勾股定理和解方程可得AB，AC，即可得到所求值．本题考查三角形的勾股定理的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：x+1x≥2恒成立，不成立，因为x可以小于0，所以A不正确；√a2+4√a2+4的最小值大于2，所以B不正确；m，n都是正数时，(m+1m )(n+1n)≥2√m⋅1m⋅2⋅√n⋅1n=4，当且仅当m=n=1，表达式取得最小值为4，所以C正确；a>0，b>0是b3a +3ab≥2的充分不必要条件，所以D不正确；故选：C．利用基本不等式，判断选项的正误即可．本题考查命题的真假的判断与应用，基本不等式的应用，是基础题．10.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查复合函数的图象识别．属于基础题．利用函数y=lncosx(−π2<x<π2)的奇偶性可排除一些选项，利用函数值与0的关系可排除一些选项．从而得以解决．【解答】解：∵cos(−x)=cosx，∴y=lncosx(−π2<x<π2)是偶函数，可排除B、D，由cosx≤1⇒lncosx≤0排除C，故选：A．11.【答案】ABD【解析】对于A ，第1周和第2周有害垃圾错误分类的重量明显增多，是加速增长，故A 正确；对于B ，第3周和第4周有害垃圾错误分类的重量图象是线段，是匀速增长，故B 正确； 对于C ，第5周和第6周有害垃圾错误分类的重量相对第3周和第4周是减少，故C 错误；对于D ，第7周和第8周有害垃圾错误分类的重量增长0.6吨， 第1周和第2周有害垃圾错误分类的重量增长2.4吨，∴第7周和第8周有害垃圾错误分类的重量相对第1周和第2周减少了1.8吨，故D 正确． 故选：ABD ．由分段函数图象，能够读出各段上y 对于x 变化状态，由此能求出结果．本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力、数据分析能力等数学核心素养，是基础题．12.【答案】BD【解析】解：x ≤0时，y =f(x +2)，∴f(x)在x ≤0时的图象以2为周期进行循环，如下图所示，由图象可知，f(x)在区间[−6,−4]上先增后减，所以A 错误； f(−2)+f(−2021)=f(0)+f(1)=0+2=2，所以B 正确；当x >0时，f(x)=−2x 2+4x ，f(3)≠f(1)，所以y =f(x)不是以2为周期的周期函数，所以C 错误；y =kx +1恒过(0,1)，由图象可知，直线与f(x)交点只可能在x ∈(−2,0)或x ∈(0,+∞)处取到，x ∈(−2,0)时，f(x)=−2x 2−4x ，∴{−k =2x +1x +4,−2<x <0−k =2x +1x −4,x >0，即y =−k 和g(x)={2x +1x +4,−2<x <02x +1x−4,x >0交点个数为3，画出g(x)图象，如下图所示，x ∈(−2,0)时，g(x)最大值为4−2√2，g(−2)=−12，x ∈(0,2)时，g(x)最小值为2√2−4， ∴y =−k 和y =g(x)要有3个交点，满足−k =4−2√2或2√2−4<−k <−12， 解得12<k <4−2√2或k =2√2−4，所以D 正确． 故选：BD ．画出图象，即可判断A ；由x >0时，f(x)=−2x 2+4x ，x ≤0时，y =f(x +2)，即可判断BC ；参变分离得{−k =2x +1x +4,−2<x <0−k =2x +1x −4,x >0，即可判断D ． 本题考查了函数的图象与性质，函数零点问题，D 选项较难下手，属于难题．13.【答案】[−2√2,2√2]【解析】解：原命题的否定为“∀x ∈R ，2x 2−3ax +9≥0”，且为真命题， 则开口向上的二次函数值要想大于等于0恒成立， 只需△=9a 2−4×2×9≤0，解得：−2√2≤a ≤2√2． 故答案为：[−2√2,2√2]根据题意，原命题的否定“∀x ∈R ，2x 2−3ax +9≥0”为真命题，也就是常见的“恒成立”问题，只需△≤0．存在性问题在解决问题时一般不好掌握，若考虑不周全、或稍有不慎就会出错．所以，可以采用数学上正难则反的思想，去从它的反面即否命题去判定．注意“恒成立”条件的使用．14.【答案】−4【解析】解：根据题意，函数f(x)=x2sinx−2，则f(−x)=−x2sinx−2，则f(x)+f(−x)=−4，则有f(2021)+f(−2021)=−4，故答案为：−4．根据题意，求出f(−x)的解析式，分析可得f(x)+f(−x)=−4，据此分析可得答案．本题考查函数值的计算，涉及函数奇偶性的性质以及应用，属于基础题．15.【答案】(√2+1)L．【解析】解：设传令兵的速度为V1，队伍的速度为V2，传令兵从队尾到队头的时间为t1，从队头到队尾的时间为t2，队伍前进用时间为t．由传令兵往返总时间与队伍运动时间相等可得如下方程：t=t1+t2，即：LV2=LV1−V2+LV1+V2整理上式得：V12−2V1V2−V22=0解得：V1=(√2+1)V2；将上式等号两边同乘总时间t，即V1t=(√2+1)v2tV1t即为传令兵走过的路程S1，V2t即为队伍前进距离S2，则有S1=(√2+1)S2=(√2+1)L．故答案为：(√2+1)L．以队伍为参照物，可求传令兵从队尾往队头的速度，从队头往队尾的速度，利用速度公式求传令兵从队尾到队头的时间t1，传令兵从队头到队尾的时间为t2，队伍前进100用的时间t，而t=t1+t2，据此列方程求出V1、V2的关系，进而求出在t时间内通讯员行走的路程．本题考查路程的计算，关键是计算向前的距离和向后的距离，难点是知道向前的时候人和队伍前进方向相同，向后的时候人和队伍前进方向相反，解决此类问题常常用到相对运动的知识．16.【答案】27【解析】解：因为集合A中有三个元素，当A1=⌀时，必须A2=A，分拆种数为1；当A1有一个元素时，分拆种数为C31⋅2=6；当A1有2个元素时，分拆种数为C32⋅22=12；当A1=A时，分拆种数为C33⋅23=8．所以总的不同分拆种数为1+6+12+8=27种．故答案为：27．由题意中的定义，分A1=⌀，A1有一个元素，A1有2个元素，A1=A四种情况，分别求出分拆种数，即可得到答案．本题考查了新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可，属于中档题．17.【答案】解：(1)集合A={x|y=log2(4−2x)+1}={x|4−2x>0}={x|x<2}，B={y|y=x+1x+1+a,x>−1}={x|x+1+1x+1+a−1≥2√(x+1)⋅1x+1+a−1=a+1}={x|x≥a+1}．(2)∵集合A={x|x<2}，B={x|x≥a+1}．∴∁U B={x|x<a+1}，∵“x∈∁R B”是“x∈A“的必要不充分条件，∴x<2⇒x<a+1，∴a+1>2，解得a>1．∴a的取值范围是(1,+∞)．【解析】(1)利用对数函数的定义域能求出集合A，利用均值定理能求出集合B．(2)推导出x<2⇒x<a+1，由此能求出a的取值范围．本题考查集合、实数的取值范围的求法，对数函数的定义域、均值定理、必要不充分条件等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.【答案】解：(1)当m =0时，f(x)=2x 2−1，可知函数f(x)图象在[−3,0]上单调递减，∴f(x)min =f(0)=−1，f(x)max =f(−3)=17；(2)由f(0)=0得m =12.由f(1)=0得m =−18≠12，∴m =12或−18成立； 由f(0)f(1)<0得(2m −1)(8m +1)<0，解得：−18<m <12； 综上：满足条件的m 的取值范围是：[−18,12].【解析】(1)结合函数f(x)图象可求f(x)在[−3,0]上的最大值和最小值； (2)根据f(0)f(1)<0，再验证f(0)=0及f(1)=0，可求得m 范围． 本题考查二次函数图象性质，考查数学运算能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)根据题意，设x <0，则−x >0，则有f(−x)=x 2−4x ，又由f(x)为偶函数，则f(x)=f(−x)=x 2−4x ， 则f(x)={x 2+4x,x ≥0x 2−4x,x <0；(2)由函数f(x)为偶函数可知f(2a)<f(1−a)⇔f(|2a|)<f(|1−a|)，由(1)知函数f(x)在[0,+∞)上是增函数，∴|2a|<|1−a|，得(2a)2<(1−a)2，解得：a ∈(−1,13).【解析】(1)令x >0，则−x <0，再根据函数为偶函数可求得解析式；(2)由函数f(x)为偶函数可知f(2a)<f(1−a)⇔f(|2a|)<f(|1−a|)，可求得a 的取值范围．本题考查函数奇偶性的性质以及应用、函数解析式求法、考查数学运算能力及数学抽象能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)y =x +80t −(20+9x +50t)=30t −20−8x =30k ⋅(6−12x+4)−20−8x =180k −360k x+4−8x −20，x ∈[0,10]；(2)y=180k−360kx+4−8x−20=180k+12−8[(x+4)+45kx+4]，因为x∈[0,10]，所以4≤x+4≤14，则(x+4)+45kx+4≥6√5√k，当且仅当x+4=45kx+4，即x=3√5√k−4时取“=”，因为k∈[0.5,1]，则3√102−4≤3√5√k−4≤3√5−4，即有3√5√k−4∈[0,10]，所以y≤180k+12−48√5√k，即当政府补贴为3√5√k−4万元才能使A公司的防护服利润达到最大，最大为180k+ 12−48√5√k；(3)若对任意的x∈[0,10]，公司都不产生亏损，则180k−360kx+4−8x−20≥0在x∈[0,10]恒成立，即180k≥(8x+20)(x+4)x+2，记m=x+2，则m∈[2,12]，此时(8x+20)(x+4)x+2=(8m+4)(m+2)m=8m2+20m+8m=8m+8m+20，由于函数f(m)=8m+8m+20在[2,12]单调递增，所以当m∈[2,12]时，f max(m)=f(12)=11623，∴k≥1162 3180≈0.65即k≥0.65，即当工厂工人的复工率达到0.65时，对任意的x∈[0,10]，公司都不产生亏损．【解析】(1)利用已知条件列出函数的解析式，写出定义域即可．(2)由y的解析式得到y=180k+12−8[(x+4)+45kx+4]，根据x的范围得到(x+4)+45k x+4≥6√5√k，结合k的范围可得3√102−4≤3√5√k−4≤3√5−4，即可求得答案(3)若对任意的x∈[0,10]，公司都不产生亏损，得到180k−360kx+4−8x−20≥0在x∈[0,10]恒成立，利用换元法，结合函数的单调性求解函数的最值即可得到结果．本题考查实际问题的处理方法，函数的单调性以及函数的解析式的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．21.【答案】解：(1)当a=1时，令−x|x−2|+1=0．当x≥2时，−x(x−2)+1=0，解得：x=1+√2；当x<2时，−x(x−2)+1=0，解得：x=1．故函数零点为：1+√2和1；(2)f(x)={−x 2+2ax +1,x ≥2ax 2−2ax +!,x <2a ，其中f(0)=f(2a)=1，于是最大值在f(1)，f(2)，f(2a)中取．得0<2a ≤1，即0<a ≤12时，f(x)在[1,2]上单调递减．∴f(x)max =f(1)=2a ； 当a <1<2a <2，即12<a <1时，f(x)在[1,2a]上单调递增，在[2a,2]上单调递减，故f(x)max =f(2a)=1；当1≤a <2<2a ，即1≤a <2时，f(x)在[1,a]上单调递减，在[a,2]上单调递增，故f(x)max =max{f(1),f(2)}，∵f(1)−f(2)2a −3<0，故f(x)max =f(2)=5−4a ．综上：f(x)max={2a,0<a ≤12,1,12<a <1,5−4a,1≤a <32．．【解析】(1)求函数零点转化为解方程可解决此问题； (2)根据a 讨论函数图象，根据图象特点可求函数最大值． 本题考查函数零点与最值，考查数学运算能力，属于难题．22.【答案】解：(1)f(x)=log 2x 的定义域为(0,+∞)，令x 1=12,x 2=14，则f(12)−f(14)=log 212−log 214=−1−(−2)=1， 而2|x 1−x 2|=12，∴f(x 1)−f(x 2)>2|x 1−x 2|，∴函数f(x)=log 2x 不是“2−利普希兹条件函数”；(2)若函数f(x)=√x(1≤x ≤4)是“k −利普希兹条件函数”，则对于定义域[1,4]上任意两个x 1，x 2(x 1≠x 2)，均有|f(x 1)−f(x 2)|≤k|x 1−x 2|成立，不妨设x 1>x 2，则k ≥√x 1−√x 2x 1−x2=√x +√x 恒成立，∵1≤x 2<x 1≤4， ∴14<√x +√x <12，∴k 的最小值为12；(3)∵|f(x 1)−f(x 2)|>k|x 1−x 2|，f(x)=log 2(2x −a)为[1,2]上的“非1−利普希兹条件函数”，∴设x 1>x 2，则|log 2(2x 1−a)−log 2(2x 2−a)|>|x 1−x 2|，∵2x1−a>0,2x2−a>0，且2x1−a2x2−a>1，∴2x1−a2x2−a >2x1−x2=2x12x2，∴2x1+x2−a⋅2x2>2x1+x2−a⋅2x1，∴a⋅2x1>a⋅2x2，∵x1>x2，∴a>0，∵2x−a>0，∴a<2x，∵x∈[1,2]，∴a<2，综上，实数a的取值范围为(0,2)．【解析】(1)令x1=12,x2=14，即可说明f(x)=log2x不是“2−利普希兹条件函数”；(2)依题意，k≥√x1−√x2x1−x2=√x+√x恒成立，而14<√x+√x<12，由此可得k的最小值；(3)由题意可得，a⋅2x1>a⋅2x2，结合x1>x2，可得a>0，由2x−a>0，x∈[1,2]，可得a<2，综合即得答案．本题以新定义为背景，考查函数性质的运用，考查不等式的恒成立问题，考查分离变量法以及运算求解能力，属于中档题．。
黑龙江省齐齐哈尔市实验中学2025届生物高三第一学期期末联考试题含解析
黑龙江省齐齐哈尔市实验中学2025届生物高三第一学期期末联考试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：（共6小题，每小题6分，共36分。
每小题只有一个选项符合题目要求）1．下列有关生物育性的叙述正确的是（）A．两种绿色开花植物杂交所得到的后代植株一定可育B．绿色开花植物的任一细胞离体培养得到的植株一定可育C．同一绿色开花植物的两个细胞进行植物细胞杂交得到的植株一定可育D．某一植物经一定浓度秋水仙素处理后得到染色体加倍的植株一定可育2．图为特异性免疫发生过程的图解，有关叙述正确的是（）A．图中表示了细胞的分裂分化情况，这些细胞的核基因都相同B．①②③过程都经过了细胞间直接接触识别完成信息交流C．细胞一、细胞二、细胞三都有记忆功能，称为记忆细胞D．④过程的完成需经遗传信息的复制、转录和翻译，以及胞吐等过程3．鸟类的性别决定为ZW型。
已知某种鸟类的眼色受两对独立遗传的基因（A、a和B、b）控制。
现有甲、乙两个纯合品种，均为红色眼，根据下列杂交结果，推测杂交1的亲本基因型是（）A．甲为AAZ b W，乙为aaZ B Z B B．甲为aaZ B W，乙为AAZ b Z bC．甲为AAZ B W，乙为aaZ b Z b D．甲为aaZ b W，乙为AAZ B Z B4．绿叶海蜗牛能从它的藻类食物中“偷”来叶绿体，并吸收入自己的细胞内。
首次捕食绿藻后，这种软体动物体内便存在叶绿体并可以进行光合作用。
在光学显微镜下观察绿叶海蜗牛的细胞，可以分辨的结构有（）A．叶绿体和核糖体B．叶绿体和细胞壁C．叶绿体和细胞核D．细胞核和细胞壁5．下列关于细胞呼吸的原理及应用的叙述，错误的是（）A．丙酮酸可在线粒体内氧化分解成二氧化碳和水B．利用乳酸菌发酵制作酸奶时，应先通气后密闭C．粮食入库前晒干可降低细胞中有机物的消耗D．剧烈运动时，人体释放的二氧化碳全部来自线粒体6．下列有关实验试剂或实验方法的叙述，正确的是（）A．可选用蛋白质溶液、蛋白酶、淀粉酶和双缩脲试剂探究酶的专一性B．可选用斐林试剂和蒸馏水在50~65℃水浴条件下进行蛋白质的鉴定C．可用菠菜叶肉细胞观察质壁分离现象D．可用洋葱鳞片叶内表皮细胞作实验材料观察低温诱导植物染色体数目的变化二、综合题：本大题共4小题7．（9分）北方盛产山植，常添加白砂糖和酵母菌进行发酵，酿成甜美的山楂酒。
黑龙江省齐齐哈尔市实验中学2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题(含答案)
齐齐哈尔市实验中学2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 已知非零向量，满足，且，则与夹角为（ ）AB.C.D.3. 我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除，某单位老年、中年、青年员工分别有80人、100人、120人，现采用分层随机抽样的方法，从该单位上述员工中抽取30人调查专项附加扣除的享受情况，则应该从青年员工中抽取的人数为（ ）A. 8人B. 10人C. 12人D. 18人4. 若数据的平均数为，方差为，则的平均数和标准差分别为（ ）A. ，sB. 4-3，sC. 4-3，4sD. 4-3，5. 在△ABC中，已知a 2＋b 2－c 2＝ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，则该三角形的形状是（ ）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 钝角三角形6. 函数是A. 奇函数，且最大值为2 B. 偶函数，且最大值为2C. 奇函数，且最大值为D. 偶函数，且最大值为7. 如图，圆O 所在平面，是圆O 的直径，是圆周上一点其中，则与平面所成角的正弦值为（ ）的.2i13i --a b 2a b = ()a b b -⊥ a bπ6π32π35π612,,n x x x x 2s 1243,43,,43n x x x --- x x x x ()cos cos 2f x x x =-9898PA ⊥AB C 3,4,5AC PA BC ===PB PACA.B.C.D.8. 已知函数．若，，，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的的得0分）9. 甲､乙两个口袋中装有除了编号不同以外其余完全相同的号签.其中，甲袋中有编号为的三个号签；乙袋有编号为的六个号签.现从甲､乙两袋中各抽取1个号签，从甲､乙两袋抽取号签的过程互不影响.记事件A ：从甲袋中抽取号签1；事件B ：从乙袋中抽取号签6；事件C ：抽取的两个号签和为3；事件D ：抽取的两个号签编号不同.则下列选项中，正确的是（ ）A. B. C. 事件与事件C 相互独立D. 事件A 与事件D 相互独立10. 已知函数的图象的一个对称中心为，则下列说法正确的是（ ）A. 直线是函数的图象的一条对称轴B. 函数在上单调递减122()2||5f x x x =-+2(log 5)a f =-0.8(2)b f =5()2c f =a b c<<c b a<<b a c<<b c a<<123､､123456､､､､､()118P AB =()19P C =A ()cos 2cos sin 2sin f x x x ϕϕ=-π02ϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭5π12x =()f x ()f x π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 函数的图象向右平移个单位可得到的图象D. 函数在上最小值为－111. 如图，在正方体中，点在线段上运动，有下列判断，其中正确的是（ ）A. 平面平面B. 平面C. 异面直线与所成角的取值范围是D. 三棱锥的体积不变三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分，把正确答案填在题中横线上）12. 设集合，集合，若，则实数_____.13. 某汽车站每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车，某天袁先生准备在该汽车站乘车前往省城办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序．为了尽可能乘上上等车，他采取如下策略：先放过一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆．则他乘上上等车的概率为________．14. 等腰三角形ABC 的腰，，将它沿高AD 翻折，使二面角成60°，此时四面体ABCD 外接球的体积为______．四、解答题（本题共5个题，共77分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15. 如图是一个正四棱台的石料，上、下底面的边长分别为和，高．的()f x π6cos 2y x =()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦1111ABCD A B C D -P 1BC 1PB D ⊥1ACD 1//A P 1ACD 1A P 1AD π0,3⎛⎤ ⎥⎝⎦1D APC -{}0,1,2,3U ={}2|0A x U x mx =∈+={}1,2U C A =m =5AB AC ==6BC =B AD C --1111ABCD A B C D -20cm 40cm 30cm（1）求四棱台的表面积；（2）若要这块石料最大限度打磨为一个圆台，求圆台的体积．16. 如图，在平面直角坐标系中，，，．（1）求点B ，C 的坐标；（2）判断四边形的形状，并求出其周长．17. 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C.（1）求A ；（2）若BC =3，求周长最大值.18. 首次实施新高考的八省（市）于2021年1月23日统一举行了新高考适应性考试，在联考结束后，根据联考成绩，考生可了解自己的学习情况，作出升学规划，决定是否参加强基计划．在本次适应性考试中，某学校为了解高三学生的联考情况，随机抽取了100名学生的联考数学成绩作为样本，并按照分数段，，，，分组，绘制了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求出图中的值并估计本次考试及格率（“及格率”指得分为90分及以上的学生所占比例）；（Ⅱ）估计该校学生联考数学成绩的第80百分位数；（Ⅲ）估计该校学生联考数学成绩的众数、平均数．19. 如图所示，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，DB ＝BC ，DB ⊥AC ，M 是棱BB 1上一点．的1111ABCD A B C D -1O O -xOy 22OA AB == 2π3OAB ∠=(BC =-OABC ABC V ABC V [)50,70[)70,90[)90,110[)110,130[]130,150a（1）求证：B1D1∥平面A1BD；（2）求证：MD⊥AC；（3）试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D．齐齐哈尔市实验中学2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】A二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的的得0分）【9题答案】【答案】ABD【10题答案】【答案】ABD【11题答案】【答案】ABD三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分，把正确答案填在题中横线上）【12题答案】【答案】-3【13题答案】【答案】【14题答案】四、解答题（本题共5个题，共77分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）【15题答案】【答案】（1） （2）【16题答案】【答案】（1），（2）四边形为等腰梯形，周长为8【17题答案】【答案】（1）；（2）.【18题答案】【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）120；（Ⅲ）众数100，平均为.【19题答案】【答案】（1）证明略 （2）证明略（3）M 为棱BB 1的中点为1222000+37000πcm 52B ⎛ ⎝32C ⎛ ⎝OABC 23π3+0.003a =66%99.6。
2022-2023学年黑龙江省齐齐哈尔市实验中学高一数学第一学期期末监测试题含解析
16．已知函数 的图象过点 ，且满足
（1）求函数 的解析式：
（2）求函数 在 上 最小值；
（3）若 满足 ，则称 为函数 的不动点，函数 有两个不相等且正的不动点，求t的取值范围
17．已知p：A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，q：B＝{x|x2－2mx＋m2－9≤0，x∈R，m∈R}
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
5、A
【解析】由函数 （ ，且 ）在 上的最大值为4，分情况讨论得到 ，从而可得函数 单调递增，而 在 上是减函数，所以可得 ，由此可求得 的取值范围
（1）若A∩B＝{x|1≤x≤3，x∈R}，求实数m 值；
（2）若﹁q是p的必要条件，求实数m的取值范围
18．已知平面直角坐标系内四点 ， ， ， .
（1）判断 的形状；
（2）A，B，C，D四点是否共圆，并说明理由.
19．已知集合 ，
（1）当 时，求 ；
20．如图，在矩形ABCD中，边AB所在的直线方程的斜率为2，点C（2，0）．求直线BC的方程
2、D
【解析】解方程 即得 或 ，再检验即得解.
【详解】解：由题得 或 .
当 时， 上单调递增，符合题意；
当 时， 在 上单调递减，不符合题意.
所以 .
故选：D
3、B
【解析】由题可分析得到 ,由差角公式,将值代入求解即可
【详解】由题,
,
故选：B
【点睛】本题考查正切的差角公式的应用,考查已知三角函数值求三角函数值问题
2020-2021学年黑龙江省齐齐哈尔市建华区九年级(上)期末数学试卷(含解析)
2020-2021学年黑龙江省齐齐哈尔市建华区九年级第一学期期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1．下列球类小图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．羽毛球B．斯诺克C．篮球D．阿美西亚足球2．已知x＝1是一元二次方程x2﹣2mx+1＝0的一个解，则m的值是（）A．1B．0C．0或1D．0或﹣13．如图，⊙O的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，∠BAC＝36°，则劣弧BC的长是（）A．B．C．D．4．下列命题中正确的个数为（）①一个角对应相等的两个等腰三角形相似；②两边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似；③一个锐角对应相等的两个直角三角形相似；④三边对应成比例的两个三角形相似．A．1B．2C．3D．45．在坐标系中，P点的坐标是（cos30°，tan45°），则P点关于x轴对称点Q的坐标为（）A．（，1）B．（﹣1，）C．（，﹣1）D．（，﹣1）6．如图，D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点O，下列条件中不能使△ABE 和△ACD相似的是（）A．∠B＝∠C B．∠ADC＝∠AEBC．BE＝CD，AB＝AC D．AD：AC＝AE：AB7．用一张80cm长，宽为60cm的薄钢片，在4个角上截去4个相同的边长为xcm的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的没有盖的长方体盒子，为求出x，根据题意列方程并整理后得（）A．x2﹣70x+825＝0B．x2+70x﹣825＝0C．x2﹣70x﹣825＝0D．x2+70x+825＝08．一船向东航行，上午8时到达B处，看到有一灯塔在它的南偏东60°，距离为72海里的A处，上午10时到达C处，看到灯塔在它的正南方向，则这艘船航行的速度为（）A．18海里/小时B．海里/小时C．36海里/小时D．海里/小时9．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）2x2+（2m﹣1）x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＞B．m≥C．m＞且m≠1D．m≥且m≠1 10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出下列五个式子：①ac；②a+b+c；③4a﹣2b+c；④2a+b；⑤2a﹣b．其中值大于0的式子有（）个．A．1B．2C．3D．4二、填空题（共7小题）.11．如果x＝2是一元二次方程2x2﹣2x＝a2的一个根，则常数a的值是．12．在一个袋子里装有10个球，6个红球，3个黄球，1个绿球，这些球除颜色外、形状、大小、质地等都完全相同，充分搅匀后，在看不到球的条件下，随机从这个袋子中摸出一球，摸出红球的概率是．13．如图，PA与⊙O相切，切点为A，PO交⊙O于点C，点B是优弧CBA上一点，若∠ABC＝28°，则∠P的度数为．14．若tan（x+10°）＝1，则锐角x的度数为．15．若正比例函数y＝2kx与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于点A（m，1），则k的值是．16．如图，⊙O的半径为2，点A的坐标为（2，2），直线AB为⊙O的切线，B为切点．则B点的坐标为．17．如图，矩形ABCO的对角线AC、OB交于点A1，直线AC的解析式为y＝﹣x+，过点A1作A1O1⊥OC于O1，过点A1作A1B1⊥BC于B1，得到第二个矩形A1B1CO1，A1C、O1B1交于点A2，过点A2作A2O2⊥OC于O2，过点A2作A2B2⊥BC于B2，得到第三个矩形A2B2CO2，…，依此类推，这样作的第n个矩形对角线交点A n的坐标为．三、解答题（满分69分）18．（8分）（1）解方程：x（x﹣2）＝3；（2）计算：﹣14+sin60°﹣（）﹣1+（3﹣π）0．19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝的图象交于A（1，6）、B（a，3）两点．（1）求一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝的解析式；（2）如图，点D在x轴上，四边形OBCD中，BC∥OD，OB与DC不平行，OB＝DC，过点C作CE⊥OD于点E，CE和反比例函数的图象交于点P，当四边形OBCD的面积为18时，BC＝，PE：PC的值为．20．（10分）如图，长方形绿地长32m、宽20m，要在这块绿地上修建宽度相同且与长方形各边垂直的三条道路，使六块绿地面积共570m2，问道路宽应为多少？21．（10分）如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且．（1）求证：∠ACB＝90°；（2）若AC＝3，sin∠CAB＝，求DB的长．22．（8分）在一个不透明的口袋中装有4张相同的纸牌，它们分别标有数字1，2，3，4．随机地摸取出一张纸牌然后放回，再随机摸取出一张纸牌．（1）计算两次摸取纸牌上数字之和为5的概率；（2）甲、乙两个人进行游戏，如果两次摸出纸牌上数字之和为奇数，则甲胜；如果两次摸出纸牌上数字之和为偶数，则乙胜．这是个公平的游戏吗？请说明理由．23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边上的一点，BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点F．（1）求证：BD＝BF；（2）若BC＝6，AD＝4，求BF的长．24．（13分）如图所示，二次函数y＝﹣x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一交点为B，且与y轴交于点C．（1）求m的值；（2）求点B的坐标；（3）该二次函数图象上有一点D（x，y）（其中x＞0，y＞0），使S△ABD＝S△ABC，求点D的坐标；（4）若点P在直线AC上，点Q是平面上一点，是否存在点Q，使以点A、点B、点P、点Q为顶点的四边形为矩形？若存在，请你直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、单项选择题（共10小题）.1．下列球类小图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．羽毛球B．斯诺克C．篮球D．阿美西亚足球解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．故选：D．2．已知x＝1是一元二次方程x2﹣2mx+1＝0的一个解，则m的值是（）A．1B．0C．0或1D．0或﹣1解：把x＝1代入方程x2﹣2mx+1＝0，可得1﹣2m+1＝0，得m＝1，故选：A．3．如图，⊙O的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，∠BAC＝36°，则劣弧BC的长是（）A．B．C．D．解：连接OB，OC．∠BOC＝2∠BAC＝2×36°＝72°，则劣弧BC的长是：＝π．故选：B．4．下列命题中正确的个数为（）①一个角对应相等的两个等腰三角形相似；②两边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似；③一个锐角对应相等的两个直角三角形相似；④三边对应成比例的两个三角形相似．A．1B．2C．3D．4解：①一个角对应相等的两个等腰三角形不一定相似，例如顶角为40°的等腰三角形与底角为40°的等腰三角形不相似，本小题说法是假命题；②∵两边对应成比例且夹角对应相等的两个三角形相似，∴本小题说法是假命题；③一个锐角对应相等的两个直角三角形相似，本小题说法是真命题；④三边对应成比例的两个三角形相似，本小题说法是真命题；故选：B．5．在坐标系中，P点的坐标是（cos30°，tan45°），则P点关于x轴对称点Q的坐标为（）A．（，1）B．（﹣1，）C．（，﹣1）D．（，﹣1）解：∵cos30°＝，tan45°＝1，∴P点的坐标是（，1），∴P点关于x轴对称点Q的坐标为（，﹣1）．故选：C．6．如图，D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点O，下列条件中不能使△ABE 和△ACD相似的是（）A．∠B＝∠C B．∠ADC＝∠AEBC．BE＝CD，AB＝AC D．AD：AC＝AE：AB解：∵∠A＝∠A∴当∠B＝∠C或∠ADC＝∠AEB或AD：AC＝AE：AB时，△ABE和△ACD相似．故选：C．7．用一张80cm长，宽为60cm的薄钢片，在4个角上截去4个相同的边长为xcm的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的没有盖的长方体盒子，为求出x，根据题意列方程并整理后得（）A．x2﹣70x+825＝0B．x2+70x﹣825＝0C．x2﹣70x﹣825＝0D．x2+70x+825＝0解：设在4个角上截去4个相同的边长为xcm的小正方形，则得出长方体的盒子底面的长为：80﹣2x，宽为：60﹣2x，又底面积为1500cm2所以（80﹣2x）（60﹣2x）＝1500，整理得：x2﹣70x+825＝0故选：A．8．一船向东航行，上午8时到达B处，看到有一灯塔在它的南偏东60°，距离为72海里的A处，上午10时到达C处，看到灯塔在它的正南方向，则这艘船航行的速度为（）A．18海里/小时B．海里/小时C．36海里/小时D．海里/小时解：如图在Rt△ABC中，∠ABC＝90°﹣60°＝30°，AB＝72海里，故AC＝36海里，BC＝＝36海里，艘船航行的速度为36÷2＝18海里/时．故选：B．9．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）2x2+（2m﹣1）x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＞B．m≥C．m＞且m≠1D．m≥且m≠1解：根据题意得m﹣1≠0且△＝（2m﹣1）2﹣4（m﹣1）2＞0，解得m＞且m≠1．故选：C．10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出下列五个式子：①ac；②a+b+c；③4a﹣2b+c；④2a+b；⑤2a﹣b．其中值大于0的式子有（）个．A．1B．2C．3D．4解：①根据二次函数的图象知，该函数图象的开口向下，则a＜0，；该函数图象与y轴交与负半轴，则c＜0，所以ac＞0；②根据图象知，当x＝1时，y＞0，即y＝a+b+c＞0，所以，a+b+c＞0；③根据图示知，当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，则4a﹣2b+c＜0；④根据图示知，对称轴为0＜﹣＜1，a＜0，则b＞0，所以2a+b＜0；⑤根据图象知，a＜0，b＞0，则2a﹣b＜0；综上所述，其值大于0的有：①②；故选：B．二、填空题（每小题3分，满分21分）11．如果x＝2是一元二次方程2x2﹣2x＝a2的一个根，则常数a的值是±2．解：把x＝2代入方程2x2﹣2x＝a2可得8﹣4＝a2，解得a＝±2．故答案为：±2．12．在一个袋子里装有10个球，6个红球，3个黄球，1个绿球，这些球除颜色外、形状、大小、质地等都完全相同，充分搅匀后，在看不到球的条件下，随机从这个袋子中摸出一球，摸出红球的概率是．解：∵袋子里装有10个球，6个红球，3个黄球，1个绿球，∴摸出红球的概率：6÷10＝．故答案为：．13．如图，PA与⊙O相切，切点为A，PO交⊙O于点C，点B是优弧CBA上一点，若∠ABC＝28°，则∠P的度数为34°．解：如图，连接OA，∵∠ABC＝28°，∴∠AOC＝2∠ABC＝56°，∵PA与⊙O相切，∴OA⊥AB，∴∠OAB＝90°，∴∠P＝90°﹣∠AOB＝90°﹣56°＝34°．故答案为：34°．14．若tan（x+10°）＝1，则锐角x的度数为20°．解：∵tan（x+10°）＝1，∴tan（x+10°）＝＝，∴x+10°＝30°，∴x＝20°．故答案为：20°．15．若正比例函数y＝2kx与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于点A（m，1），则k的值是±．解：∵点A（m，1）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，∴k＝m×1＝m，∵点A（m，1）在正比例函数y＝2kx的图象上，∴1＝2km，即2m2＝1，解得m＝±，即k＝±．16．如图，⊙O的半径为2，点A的坐标为（2，2），直线AB为⊙O的切线，B为切点．则B点的坐标为（2，0）或（﹣1，）．解：如图1，直线AB为⊙O的切线，∴AB⊥OB，∵圆半径为2，点A的坐标为（2，2），∴B点坐标为（2，0）；如图2，连接OA，OB，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，∵⊙O的半径为2，点A的坐标为（2，2），即OC＝2，∴AC是圆的切线．∵点A的坐标为（2，2），∴OA＝＝4，∵BO＝2，AO＝4，∠ABO＝90°，∴∠AOB＝60°，∵OA＝4，OC＝2，∠ACO＝90°，∴∠OAC＝30°，∴∠AOC＝60°，∠AOB＝∠AOC＝60°，∴∠BOD＝180°﹣∠AOB﹣∠AOC＝60°，∴OD＝1，BD＝，即B点的坐标为（﹣1，）．综合以上可得，点B的坐标为（2，0）或（﹣1，）．故答案为：（2，0）或（﹣1，）．17．如图，矩形ABCO的对角线AC、OB交于点A1，直线AC的解析式为y＝﹣x+，过点A1作A1O1⊥OC于O1，过点A1作A1B1⊥BC于B1，得到第二个矩形A1B1CO1，A1C、O1B1交于点A2，过点A2作A2O2⊥OC于O2，过点A2作A2B2⊥BC于B2，得到第三个矩形A2B2CO2，…，依此类推，这样作的第n个矩形对角线交点A n的坐标为（1﹣，）．解：在y＝﹣x+中，令x＝0解得：y＝；令y＝0，解得：x＝1，则OC＝1，OA＝．∵A1是矩形ABCO的对角线的交点，O1A1∥OA，∴△A1CO1∽△ACO，相似比是；同理，△A2CO2∽△A1CO1，相似比是；则△A2CO2∽△ACO，相似比是＝（）2，同理：△A n CO n∽△ACO，相似比是（）n．∴＝＝（）n，∴A n O n＝，CO n＝（）n，∴OO n＝1﹣，∴点A n的坐标为（1﹣，），故答案为：（1﹣，）．三、解答题（满分69分）18．（8分）（1）解方程：x（x﹣2）＝3；（2）计算：﹣14+sin60°﹣（）﹣1+（3﹣π）0．解：（1）方程整理，得：x2﹣2x﹣3＝0，∴（x﹣3）（x+1）＝0，则x﹣3＝0或x+1＝0，解得x1＝3，x2＝﹣1；（2）原式＝＝﹣1+3﹣2+1＝1．19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝的图象交于A（1，6）、B（a，3）两点．（1）求一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝的解析式；（2）如图，点D在x轴上，四边形OBCD中，BC∥OD，OB与DC不平行，OB＝DC，过点C作CE⊥OD于点E，CE和反比例函数的图象交于点P，当四边形OBCD的面积为18时，BC＝4，PE：PC的值为2：1．解：（1）将点A（1，6）代入，得k2＝6，∴反比例函数的解析式为，把点B（a，3）代入，解得a＝2，∴B（2，3），把A（1，6）、B（2，3）代入y＝k1x+b得，解得，∴一次函数的解析式为y＝﹣3x+9（2）当S梯形OBCD＝18时，PC＝2PE．设点P的坐标为（m，n），∵BC∥OD，CE⊥OD，BO＝CD，B（2，3），∴C（m，3），CE＝3，BC＝m﹣2，OD＝m+2．∴S梯形OBCD＝，即18＝．∴m＝6，∴C（6，3），∴BC＝6﹣2＝4，又∵mn＝6，m＝6，∴n＝1，即PE＝CE．∴PC＝2PE，∴PE：PC＝1：2，故答案为4，1：2．20．（10分）如图，长方形绿地长32m、宽20m，要在这块绿地上修建宽度相同且与长方形各边垂直的三条道路，使六块绿地面积共570m2，问道路宽应为多少？解：设道路宽为xm，则六块绿地可合成长为（32﹣2x）m，宽为（20﹣x）m的长方形，依题意得：（32﹣2x）（20﹣x）＝570，整理得：x2﹣36x+35＝0，解得：x1＝1，x2＝35（不符合题意，舍去）．答：道路宽为1m．21．（10分）如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且．（1）求证：∠ACB＝90°；（2）若AC＝3，sin∠CAB＝，求DB的长．【解答】（1）证明：∵CD是边AB上的高，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，又∵，∴△ADC∽△CDB，∴∠CAD＝∠BCD，∵∠ADC＝90°，∴∠CAD+∠ACD＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，即∠ACB＝90°；（2）解：在Rt△ACD中，∵sin∠CAB ＝＝，∴CD ＝AC ＝，∵AD ＝＝，又∵，∴BD ＝＝＝．22．（8分）在一个不透明的口袋中装有4张相同的纸牌，它们分别标有数字1，2，3，4．随机地摸取出一张纸牌然后放回，再随机摸取出一张纸牌．（1）计算两次摸取纸牌上数字之和为5的概率；（2）甲、乙两个人进行游戏，如果两次摸出纸牌上数字之和为奇数，则甲胜；如果两次摸出纸牌上数字之和为偶数，则乙胜．这是个公平的游戏吗？请说明理由．解：根据题意，列表如下：甲1234乙1234523456.3456745678由上表可以看出，摸取一张纸牌然后放回，再随机摸取出纸牌，可能结果有16种，它们出现的可能性相等．（1）两次摸取纸牌上数字之和为5（记为事件A）有4个，P（A）＝＝；（2）这个游戏公平，理由如下：∵两次摸出纸牌上数字之和为奇数（记为事件B）有8个，P（B）＝＝，两次摸出纸牌上数字之和为偶数（记为事件C）有8个，P（C）＝＝，∴两次摸出纸牌上数字之和为奇数和为偶数的概率相同，所以这个游戏公平．23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边上的一点，BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点F．（1）求证：BD＝BF；（2）若BC＝6，AD＝4，求BF的长．【解答】（1）证明：连结OE，∵AC与⊙O边相切于点E，OE为⊙O的半径，∴OE⊥AC，∴∠AEO＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠AEO＝∠ACB，∴OE∥BF，∴∠OED＝∠F，∵OD＝OE，∴∠OED＝∠ODE，∴∠ODE＝∠F，∴BD＝BF；（2）解：∵Rt△ABC和Rt△AOE中，∠A是公共角，∠AEO＝∠ACB，∴Rt△ABC∽Rt△AOE，∴，设⊙O的半径是r，则有，解得r＝4，∴BF＝BD＝2r＝8．24．（13分）如图所示，二次函数y＝﹣x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一交点为B，且与y轴交于点C．（1）求m的值；（2）求点B的坐标；（3）该二次函数图象上有一点D（x，y）（其中x＞0，y＞0），使S△ABD＝S△ABC，求点D的坐标；（4）若点P在直线AC上，点Q是平面上一点，是否存在点Q，使以点A、点B、点P、点Q为顶点的四边形为矩形？若存在，请你直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）把A（3，0）代入二次函数y＝﹣x2+2x+m得：﹣9+6+m＝0，m＝3；（2）由（1）可知，二次函数的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；当x＝0时，y＝3，∴C（0，3），当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，x2﹣2x﹣3＝0，（x+1）（x﹣3）＝0，∴x＝﹣1或3，∴B（﹣1，0）；（3）∵S△ABD＝S△ABC，当y＝3时，﹣x2+2x+3＝3，﹣x2+2x＝0，x2﹣2x＝0，x（x﹣2）＝0，x＝0或2，∴只有（2，3）符合题意．综上所述，点D的坐标为（2，3）；（4）存在，理由：①当AB是矩形的边时，此时，对应的矩形为ABP′Q′，∵AO＝OC＝3，故∠PAB＝45°，∴矩形ABP′Q′为正方形，故点Q′的坐标为（3，4）；②当AB是矩形的对角线时，此时，对应的矩形为APBQ，同理可得，矩形APBQ为正方形，故点Q的坐标为（1，﹣2），故点Q的坐标为（3，4）或（1，﹣2）．。
2020-2021学年黑龙江省大庆实验中学高一上学期期末考试数学试题(解析版)
2020-2021学年黑龙江省大庆实验中学高一上学期期末考试数学试题一、单选题1．由实数2,,|,x x x -所组成的集合，最多可含有（ ）个元素A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【分析】把2,,|,x x x -分别可化为x ，x -，2x ，x ，2x ，，根据集合中元素的互异性，即可得到答案． 【详解】由题意，当0x ≠时所含元素最多，此时2,,|,x x x -分别可化为x ，x -，2x ，所以由实数2,,|,x x x -所组成的集合，最多可含有3个元素．故选：B2．“||||||x y x y +=+”是“0xy >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．不充分不必要条件【答案】B【分析】根据充分条件，必要条件及绝对值的定义即可求解.【详解】由绝对值的定义知，||||||,x y x y x y +=+⇒同号或至少有一个为0， 所以||||||x y x y +=+成立推不出0xy >，0xy >⇒||||||x y x y +=+，所以“||||||x y x y +=+”是“0xy >”的必要不充分条件， 故选：B3．sin2cos3tan4的值（ ） A ．等于0 B ．大于0 C ．小于0 D ．不存在【答案】C【解析】试题分析：∵1弧度大约等于57度，2弧度等于114度，∴20sin ＞，∵3弧度小于π弧度，在第二象限，∴30cos ＜，∵4弧度小于32π弧度，大于π弧度，在第三象限，∴40tan ＞，∴2340sin cos tan ＜，故选C. 【解析】三角函数值的符号.4．下图是函数()||2y sin x πωϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭的图象，那么（ ）A ．2,6πωϕ==-B ．2,3πωϕ==C ．3=2,πωϕ=-D ．=2,6πωϕ=【答案】B 【分析】根据2362T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭求出T 的值即可求ω，令()226k k Z πϕπ⎛⎫⨯-+=∈ ⎪⎝⎭结合||2ϕπ<即可求ϕ得值，进而可得正确选项.【详解】由图知：2362T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，解得：T π=， 所以222T ππωπ===，()2y sin x ϕ=+ 令()226k k Z πϕπ⎛⎫⨯-+=∈ ⎪⎝⎭， 所以()23k k Z πϕπ=+∈， 因为||2ϕπ<，所以0,3k πϕ==，所以2,3πωϕ==，故选：B5．如图所示，面积为8的平行四边形OABC 的对角线AC ⊥CO ，AC 与BO 交于点E .若指数函数(0x y a a =>且1)a ≠的图象经过点E ，B ，则a 等于（ ）A ．B ．C ．2D ．3【答案】A【分析】由已知可得848(,),(,),(,2)A m E m B m m m m，根据点E ，B 在指数函数的图象上，列出方程组，即可求解.【详解】设点(0,)(0)C m m >，则由已知可得848(,),(,),(,2)A m E m B m m m m， 又因为点E ，B 在指数函数的图象上，所以48(1)2(2)mm m am a ⎧=⎪⎨⎪=⎩， (1)式两边平方得82mm a =，(3)(2)(3)联立，得220m m -=，所以0m =(舍去)或2m =，所以2a =故选：A.【点睛】本题主要考查了指数函数的图象与性质及其应用，其中解答中根据指数函数的解析式列出方程组是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 6．函数()f x 对于任意x ∈R ，恒有()12f x f x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，那么（ ） A ．可能不存在单调区间 B ．()f x 是R 上的增函数 C ．不可能有单调区间 D ．一定有单调区间【答案】A【分析】根据题意，举出两个满足()12f x f x ⎛⎫<+⎪⎝⎭的例子，据此分析选项可得答案.【详解】根据题意，函数()f x 对于任意x ∈R ，恒有()12f x f x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，则()f x 的解析式可以为：()2,1 1.51,0.510,00.5x f x x x ⎧⎪<≤⎪⎪=<≤⎨⎪<≤⎪⎪⎩，满足()12f x f x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，不是增函数，没有单调区间，也可以为()f x x =，满足()12f x f x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭， 是增函数，其递增区间为R ，则()f x 可能存在单调区间，也可能不存在单调区间， 则A 正确；BCD 错误； 故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查函数单调性的定义，构造反例是解决本题的关键. 7．对任意实数x ，不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<恒成立，则a 的取值范围是（ ）． A ．22a -<≤B ．22a -≤≤C ．2a <-或2a ≥D ．2a ≤-或2a ≥【答案】A【分析】20a -≠时，利用二次函数的性质可求解，20a -=时直接验证即得．【详解】由已知得220[2(2)]4(2)(4)0a a a -<⎧⎨∆=---⨯-<⎩，即222a a <⎧⎨-<<⎩，解得22a -<<．又当2a =时，原不等式可化为40-<，显然恒成立． 故a 的取值范围是22a -<． 故选：A ．【点睛】本题考查一元二次不等式恒成立问题，解题时要注意对最高次项系数分类讨论， 8．若定义在R 上的函数()f x 满足：对任意1,x 2x R ∈有1212()()()1f x x f x f x +=++则下列说法一定正确的是A ．()f x 为奇函数B ．()f x 为偶函数C ．()1f x +为奇函数D ．()1f x +为偶函数 【答案】C【详解】x 1=x 2=0，则()()()0001f f f =++，()01f ∴=-， 令x 1=x ，x 2=-x ，则()()()01f f x f x =+-+， 所以()()110f x f x ++-+=，即()()11f x f x ⎡⎤+=--+⎣⎦，()1f x +为奇函数，故选C. 9．函数y =的值域是（ ） A ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．[]0,1C ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[)0,+∞【答案】C 【分析】令t =，转化为21ty t =+，0t ≥，根据均值不等式求解即可. 【详解】令t =,则0t ≥，当0t =时，0y =，当0t ≠时，2110112t y t t t <==≤=++，当且仅当1t =时，即2x =时等号成立， 综上102y ≤≤， 故选：C【点睛】关键点点睛：注意含根号式子中，经常使用换元法，利用换元法可简化运算，本题注意均值不等式的使用，属于中档题.10．若函数()()2log 3a f x x ax =-+在区间,2a ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上是减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．()0,1 B．(C．(D ．()(0,1⋃【答案】C【分析】函数()()2log 3a f x x ax =-+是由log a y t =和23t x ax =-+复合而成，23t x ax =-+在,2a ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦单调递减，所以log a y t =为增函数，可得1a >，且min 02a t t ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，即可求得a 的范围.【详解】函数()()2log 3a f x x ax =-+是由log a y t =和23t x ax =-+复合而成，因为23t x ax =-+为开口向上的抛物线，对称轴为2a x =， 所以23t x ax =-+在,2a ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦单调递减，且2min 30222a a a t t a ⎛⎫⎛⎫==-⨯+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即234a <，解得：a -<<又因为函数()()2log 3a f x x ax =-+在区间,2a ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上是减函数，所以log a y t =为增函数，所以1a >，所以1a << 故选：C【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是根据内层函数23t x ax =-+在,2a ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦单调递减，以及函数()()2log 3a f x x ax =-+在区间,2a ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上是减函数，可得log a y t=为增函数，还必须使23t x ax =-+最小值大于0，两个条件可破解此问题. 11．为使函数()cos 02y x πωω⎛⎫=->⎪⎝⎭在区间[]0,1上至少出现100次最大值，则ω的最小整数值是（ ） A ．616 B ．624C ．627D ．629【答案】B【分析】根据诱导公式化简函数解析式，利用一个周期内只有一个最大值，即可求解. 【详解】由()cos sin 02y x x πωωω⎛⎫=-=>⎪⎝⎭知， 在区间[]0,1上至少出现100次最大值，需要最少有99+4TT 个周期，所以21299+14ππωω⨯⨯≤， 解得623.29ω≥， 故ω的最小整数值是624. 故选：B12．已知函数()(2f x m x =+，()22xg x lnx+=-，[]10,1x ∃∈，对于[]20,4x ∀∈都有()()12g x f x <，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1113,13422ln ln ⎛⎫--⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1113,13422ln ln ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ 【答案】C【分析】由题意可得()()min min g x f x <，判断g （x ）在[0，1]递增，可得其最小值；再讨论m ＝0，m ＜0，m ＞0，结合函数y ＝x 和y =f （x ）的单调性，可得其最小值，解不等式可得m 的取值范围．【详解】由∃x 1∈[0，1]，对于∀x 2∈[0，4]都有g （x 1）＜f （x 2），可得()()min min g x f x <， 由2()ln()2x g x x +=-，得4()ln(1)2g x x =---在[0，1]递增， ∴g （x ）min ＝g （0）＝0，∵()(2f x m x =-+， ∴当m ＝0，f （x ）＝2＞0恒成立；当m ＞0时，f （x ）在[0，4]递增，可得f （x ）min ＝f （0）＝﹣2m +2， 由﹣2m +2>0，解得m <1，即0＜m <1成立；当m ＜0时，f （x ）在[0，4]递减，可得f （x ）min ＝f （4）＝4m +2， 由4m +2>0，解得12m >-，即102m -<<．综上，m 的范围是1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭． 故选：C【点睛】关键点点睛：本题关键点在于对[]10,1x ∃∈，对于[]20,4x ∀∈都有()()12g x f x <的理解，理解为()()min min g x f x <是解题的关键所在，属中档题．二、填空题 13．()tan 225︒-=_____.【答案】1-【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值进行求值. 【详解】由()()tan 225tan 18045tan 451︒-=-︒-︒=-︒=-，故答案为：1-14．已知函数2log my x =，当01x <<时图象在直线y x =上方，则m 的取值范围是____.【答案】(0,2) 【分析】根据函数2log my x=，当01x <<时图象在直线y x =上方，可得2log m x x >，再求出m 的取值范围即可. 【详解】函数2log my x=，当01x <<时图象在直线y x =上方，当01x <<时，2log m x x >，2log 1m ∴<， 02m ∴<<，∴m 的取值范围是(0,2)故答案为：(0,2)15．已知实数x 满足316281536x x x ⨯+⨯=⨯，则x 的值为____. 【答案】0或12【分析】根据指数幂的运算将式子因式分解，再分别解方程即可；【详解】解：因为316281536x x x ⨯+⨯=⨯，所以()2443223523xx x ⨯+⨯=⨯⨯，42243223523x x x x ⨯+⨯=⨯⨯，所以422432235230x x x x ⨯+⨯-⨯⨯=，即()()22223223230xxxx --⨯⨯=，所以2232230x x -⨯⨯=，或22230x x -=解得12x =或0x = 故答案为：0或1216．给出下列4个命题:①若函数()f x 在(2021,2023)上有零点，则一定有()()202120230f f ⋅<; ②函数y =既不是奇函数又不是偶函数；③若函数()f x 满足条件()()14,0f x f x x R x x ⎛⎫-=∈≠⎪⎝⎭，则()||f x 的最小值为415. ④若函数()()254f lg ax x x =++的值域为R .则实数a 的取值范围是250,16⎛⎤⎥⎝⎦. 其中正确命题的序号是____.(写出所有正确命题的序号) 【答案】③【分析】对于①：直接利用函数的零点的概念判断选项；对于②：函数的定义域和函数的奇偶性判断选项；对于③：赋值法求函数的解析式判断选项；对于④：特殊值代入法判断选项即可；【详解】对于①：若函数()f x 在(2021,2023)上有零点， 且函数()f x 在(2021,2023)上严格单调， 则一定有()()202120230f f ⋅<， 当函数()f x 在(2021,2023)上有零点， 但函数()f x 在(2021,2023)上不单调时， 不一定得到()()202120230f f ⋅<；例如：如果函数()f x 在(2021,2022)上单调递减， 在(2022,2023)上单调递增，且()20220f =， 满足函数()f x 在(2021,2023)上有零点， 但是不能得到()()202120230f f ⋅<； 故①错；对于②：由函数y =，得函数的定义域：()-4,4，所以函数y =令()f x则()()-f x f x ，则函数y =为偶函数，故②错误；对于③：函数()f x 满足条件()()14,0f x f x x R x x ⎛⎫-=∈≠ ⎪⎝⎭（1）， 用1x替换x ， 则得()114f f x x x ⎛⎫-=⎪⎝⎭（2）， 由（1）（2）得：()41515xf x x =--， ()4415151515x x f x x x =--=+， 因为415x 与15x同号，所以()4441515151515x x f x x x =+=+≥=， 当且仅当421515x x x =⇒=±时取等号； 故③正确；对于④：若函数()()254f lg ax x x =++的值域为R ，当0a =时，()()54f lg x x =+，值域为R ， 故④不正确； 故答案为：③.【点睛】关键点睛：本题考查了函数的综合问题；熟练的掌握函数的零点概念，函数的定义域以及函数的奇偶性的定义，赋值法求函数的解析式，以及对数的性质是解决本题的关键.三、解答题17．已知关于x 的函数()22sin cos 2y a x x a b =-++的定义域是0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，值域为[]4,1-，求实数a ，b 的值.【答案】52a =-，72b =或52a =，132b =-.【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式化简可得函数解析式为22sin y a x a b =++，结合范围x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，可求2sin [0,1]x ∈，利用正弦函数的性质分类讨论即可求解.【详解】()222sin cos 22sin y a x x a b a x a b =-++=++， ∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴2sin [0,1]x ∈． 当0a >时，有31,4,a b a b +=⎧⎨+=-⎩得52a =，132b =-；当0a <时，有34,1,a b a b +=-⎧⎨+=⎩得52a =-，72b =．18．已知函数()326f x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 在[]0,π上的单调增区间; （2）当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数值的取值范围; （3）若将此图象向右平移()0θθ>个单位后图象关于y 轴对称，求θ的最小值. 【答案】（1）06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和2π,π3；（2）3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（3）3π. 【分析】（1）令()222262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，求得x 的范围再与[]0,π求交集即可； （2）先由,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦求出26x π+的范围，再结合正弦函数的性质求出sin 26x 的范围即可求解；（3）先求出()f x 图象向右平移()0θθ>个单位后的解析式为()3sin 226f x x πθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，再利用其为偶函数即可求解.【详解】（1）令()222262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得：()36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，令0k =可得36x ππ-≤≤，令1k =可得2736x ππ≤≤， 因为[]0,x π∈，所以06x π≤≤或2ππ3x，所以函数()f x 在[]0,π上的单调增区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和2π,π3； （2）因为,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以52666x πππ-≤+≤， 所以1sin 2126x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，33sin 2326x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数值的取值范围为3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； （3）将()326f x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象向右平移()0θθ>个单位后可得()()323sin 2266f x sin x x ππθθ⎡⎤⎛⎫=-+=+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，因为其图象关于y 轴对称， 所以()262k k Z ππθπ-=+∈，解得()62k k Z ππθ=--∈， 所以1k =-时，θ最小为623πππ-+=，【点睛】结论点睛：三角函数的奇偶性 ①对于()y Asin x ωϕ=+，若为奇函数，则()k k Z ϕπ=∈，若为偶函数，则()2k k Z πϕπ=+∈；②对于函数()cos y A x ωϕ=+ 若为奇函数，则()2k k Z πϕπ=+∈，若为偶函数，则()k k Z ϕπ=∈；③对于函数()tan y A x ωϕ=+， 若为奇函数，则()2k k Z πϕ=∈. 19．已知二次函数264y ax x a =+-的图像开口向上，且与x 轴由左到右分别交于A ，B 两点，且||42AB =. （1）求这条抛物线的解析式;（2）设抛物线的顶点为C ，与y 轴的交点为D ，求A ，B ，C ，D 四点围成的四边形的面积.【答案】（1）23662y x x =+-；（2）12182+. 【分析】（1）利用已知条件得到264(4)a a AB a--=求解即可；（2）由题意可求,C D ，然后结合二次函数与x 轴交点与二次方程根的关系可求,A B ，进而可求. 【详解】解：（1）0a >，0∆>，且264(4)42a a AB a--==，易解得294a =， 则32a =， 故23662y x x =+-．（2）点(2,12)C --，点(0,6)D -． 令0y =，解得1222x =--2222x =-+， 故点(22,0)A --，(2B -+．连接OC （O 为坐标原点）， 则AOCOCDBOD ABCD S SSS ∆=++四边形111(21262(26222=+⨯+⨯⨯+-+⨯12=+20．设函数()221xf x a =-+. （1）求证:()f x 为增函数（2）若()f x 为奇函数，求实数a 的值，并求出()f x 的值域. 【答案】（1）证明见解析；（2）1，(1,1)-.【分析】（1）利用定义法证明()f x 为增函数，先假设12x x <，然后计算并化简()()12f x f x -，通过分析()()12f x f x -与0的大小关系，确定出()()12,f x f x 的大小关系，由此证明出单调性；（2）先根据()f x 为奇函数，得到()()f x f x -=-，由此求解出a 的值，然后结合不等式以及指数函数的值域求解出()f x 的值域.【详解】（1）∵()f x 的定义域为R ，∴任取12,x x R ∈且12x x <，则()()()()()121212122222221211212x x x x x x f x f x a a ⋅--=--+=++++， ∵12x x <，∴12220x x -<，()()1212120xx ++>，∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以不论a 为何实数()f x 总为增函数； （2）∵()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=-，即222121x xa a --=-+++， ∴2222222212121x x x x a -⋅+=+==+++，解得：1a =，∴2()121xf x =-+． 由以上知2()121xf x =-+，∵211x +>，∴20221x <<+， ∴22021x -<-<+，∴1()1f x -<<， 所以()f x 的值域为(1,1)-．【点睛】思路点睛：用定义法证明函数单调性的步骤：（1）设：设两个自变量12,x x ，并给定大小关系； （2）作差：计算()()12f x f x -；（3）变形：将()()12f x f x -的结果化简至容易判断出正负；（4）判号：根据()()12f x f x -的化简结果并结合12,x x 的大小，判断出()()12f x f x -的正负；（5）下结论：说明()f x 的单调性. 21．已知函数()2ln2ax f x x +=+，且()f x 不恒为0． （1）若()f x 为奇函数，求实数a 的值； （2）若()()x f g x e=，且函数()g x 在()0,1上单调递减，求实数a 的取值范围．【答案】（1）1-；（2）21a -≤<.【分析】（1）由条件可知()()f x f x -=-，由此列出关于a 的方程，求解出a 的值； （2）先计算出()g x 的解析式，采用分离常数的方法对()g x 进行变形，然后结合单调性和对数的真数大于零列出关于a 的不等式组，求解出a 的取值范围. 【详解】（1）由奇函数的定义可知：()()f x f x -=-，即222lnln ln 222ax ax x x x ax -+++=-=-+++，则：2222ax x x ax -++=-++22244x a x ⇔-=-1a ⇔=±，又当1a =时，()f x 恒为0，矛盾，所以1a =-． （2）()()f xg x e=在()0,1x ∈上单调递减，()202ax g x x +∴=>+在()0,1x ∈上恒成立，且()22222ax ag x a x x +-==+++在()0,1x ∈上单调递减，()()min 2103a g x g +∴==≥且220a ->， 解得：21a -≤<.【点睛】结论点睛：常见函数的单调性分析：（1）一次函数()()0f x kx b k =+≠：当0k >时，在R 上递增，当0k <时，在R 上递减；（2）反比例类型的函数()()0kf x k x a=≠-，当0k >时，在(),a -∞和(),a +∞上递减；当0k <时，在(),a -∞和(),a +∞上递增；（3）二次函数()()20f x ax bx c a =++≠：当0a >时，在,2b a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上递减，在,2b a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上递增；当0a <时，在,2b a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上递增，在,2b a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上递减. 22．已知定义域为R 的函数()f x 和()g x ，其中()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且()()12x f x g x ++=.（1）求函数()f x 和()g x 的解析式； （2）解不等式:()()2f x g x ；（3）已知实数0λ>，且关于x 的方程()()10x f x g λ-+=有实根，求λ的表达式(用x 表示)，并求λ的取值范围.【答案】（1）()22x xf x -=-，()22x xg x -=+；（2）21log 3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）2222121x x xλ+-=+，⎛⎝⎦. 【分析】（1）利用奇偶性，结合()()12x f x g x ++=，得到1()()2x f x g x -+-+=，联立方程解得()f x 和()g x 的解析式即可；（2）代入函数解析式并化简得到223x ≥，再结合指数函数单调性解不等式即可；（3）代入函数解析式并分离参数得到2222121x x xλ+-=+，再进行换元20x t =>，使22212111t t t t t λ+--==+++有正根，设2t m -=，则2m >-，转化成2145m m m λ=+++有2m >-的实根，最后对m 进行讨论，结合对勾函数的单调性研究值域问题即可. 【详解】解：（1）因为()f x 是奇函数，()g x 是偶函数， 所以()()f x f x -=-，()()g x g x -=， 因为1()()2x f x g x ++=，所以1()()2x f x g x -+-+-=，即1()()2x f x g x -+-+=，联立两个方程，可解得1122()222x x x x f x +-+--==-，()22x x g x -=+；（2）2()()f x g x ≥可化为()22222x xxx ---≥+，化简得232x x -≥⨯，即223x ≥，而2log 332=，所以22log 3x ≥，得21log 32x ≥， 所以不等式2()()f x g x ≥的解集为21log 3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）关于x 的方程()()10f x g x λ-+=有实根，即()222210x x x xλ----++=有实根，所以()()22212120x x x λ⎡⎤--++=⎢⎥⎣⎦有实根， 则2222121x x xλ+-=+． 令20x t =>，则()22110t t t λ--++=有正根，所以22212111t t t t t λ+--==+++有正根， 因为222211(22)1(2)4(2)5t t t t t λ--=+=+-++-+-+，设2t m -=，则2m >-，2145mm m λ=+++．当0m =时，1λ=，此时22x t ==，方程有实根1x =；当0m ≠且2m >-时，方程即2145541m m m m mλ++==++-有2m >-的实根，则11λ-的值域，即是54m m++的值域.因为对勾函数5()4m m mϕ=++在(2,0)-上递减，在上递减，在)+∞上递增，故(2,0)m ∈-时，1()(2)2m ϕϕ<-=；(0,)m ∈+∞时()4m ϕϕ≥=+所以1112λ<--或141λ≥+-0λ>，故解得01λ<<或12λ<≤，综上所述：λ取值范围是⎛ ⎝⎦． 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.。
黑龙江省哈尔滨市第三中学校2020-2021学年高三上学期第二次验收考试理科数学试题(wd无答案)
黑龙江省哈尔滨市第三中学校2020-2021学年高三上学期第二次验收考试理科数学试题一、单选题(★) 1. （）A．B．C．D．(★) 2. 已知集合，，则（）A．B．C．D．(★★) 3. 下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（）A．B．C．D．(★★) 4. 已知，，，则的大小关系是（）A．B．C．D．(★★★) 5. 渔民出海打鱼，为了保证运回的鱼的新鲜度（以鱼肉内的主甲胺量的多少来确定鱼的新鲜度．三甲胺是一种挥发性碱性氨，是氨的衍生物，它是由细菌分解产生的三甲胺量积聚就表明鱼的新鲜度下降，鱼体开始变质，进而腐败），鱼被打上船后，要在最短的时间内将其分拣、冷藏．已知某种鱼失去的新鲜度 h与其出海后时间 t（分）满足的函数关系式为若出海后20分钟，这种鱼失去的新鲜度为20%，出海后30分钟，这种鱼失去的新鲜度为40%，那么若不及时处理，打上船的这种鱼大约在多长时间刚好失去50%的新鲜度（）参考数据:A．33分钟B．43分钟C．50分钟D．56分钟(★★) 6. 若，，，，则（）A．B．C．D．(★★) 7. 函数(其中是自然对数的底数)的大致图像为A．B．C．D．(★★) 8. 已知函数为奇函数，且函数与的图象关于直线对称，若，则（）A．3B．2C．-2D．-3(★★★) 9. 已知函数在区间上是减函数，且，若则实数 x的取值范围是（）A．B．C．D．(★★★) 10. 若函数，则函数的零点个数为（）A．3B．4C．5D．6(★★★) 11. 已知函若不等式在上有解，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．(★★★★) 12. 若定义域的函数满足且，若恒成立，则 m的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题(★★) 13. 已知集合，若，则实数的取值范围是________(★★★) 14. 公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为，这一数值也可以表示为.若，则＝____．（用数字作答）(★★★) 15. 若，则______．(★★★) 16. 设，定义（，且为常数），若，，．以下四个命题中为真命题的是__________.① 不存在极值；②若的反函数为，且函数与函数有两个公共点，则；③若在上是减函数，则实数的取值范围是；④若，则在的曲线上存在两点，使得过这两点的切线互相垂直．三、解答题(★★★) 17. 已知（1）化简；（2）若且求的值；（3）求满足的的取值集合.(★★★) 18. 已知为锐角，，且，．（1）求的值；（2）求的值．(★★★) 19. 已知函数，，.（1）判断函数的奇偶性，并证明；（2）解不等式；（3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.(★★★★) 20. 已知，．（1）若的一个零点小于1，另一个零点大于2，求实数 a的取值范围:（2）若对一切，恒成立，求实数 a的取值范围；（3）证明:对一切，都有成立(★★★★) 21. 已知 x为正实数（1）比较与的大小；（2）若恒成立，求实数 a的取值范围；（3）求证: ．(★★★) 22. 在直角坐标系中，倾斜角为的直线的参数方程为（为参数）.在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于，两点，且，求直线的倾斜角.(★★★) 23. 已知函数.（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若函数的最小值为3，且，，证明：.。
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齐齐哈尔市实验中学2020-2021学年度上学期期末考试高三数学(理科)试题一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.4个选项只有一项符合题目要求. 1. 已知集合{||1|2}A x x =-<，{}2|log 1B x x =>，则A B =（ ） A. ()1,3- B. ()0,3C. ()2,3D. ()1,4-C化简集合,A B ，利用交集的定义求解即可．{}{}|1213A x x x x =-<=-<<，{}{}2|log 1|2B x x x x =>=>，{}|23A B x x ∴⋂=<<.故选：C. 2. 已知复数11iz =+，命题p ：复数z 的虚部为12，命题q ：复数z 的模为1.下列命题为真命题的是（ ） A. p q ∨ B. ()p q ∧⌝ C. p q ∧ D. ()()p q ⌝∧⌝D 化简得到1122zi ，故z 的虚部为12-，模为2，判断得到答案.11111222i z i i -===-+，所以z 的虚部为12-2=， 所以命题p ，q 均为假命题.故选：D .本题考查了复数的化简，命题的真假判断，意在考查学生的综合应用能力. 3. 在ABC 中，若A B >，则下列结论错误的是（ ） A. sin sin A B > B. cos cos A B <C. sin2sin2A B >D. cos2cos2A B <C由正弦定理结合三角形中的大边对大角得sin sin A B >，由余弦函数性质判断B ，然后结合二倍角公式判断CD ．设ABC 三边,,a b c 所对的角分别为,,A B C ，由A B >，则,a b >∴sin sin 0A B >>，A 正确；由余弦函数性质知cos cos A B <，B 正确；sin 22sin cos A A A =，sin 22sin cos B B B =， 当A 为钝角时就有sin 2sin 2A B <，C 错误，；2cos 212sin A A =-，2cos 212sin B B =-，∴cos2cos2A B <，D 正确．故选：C ．本题考查三角形内角和定理，考查正弦定理、余弦函数性质，考查正弦、余弦的二倍角公式，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题．4. 设n s 是公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，且10a >，若59s s =，则当n s 最大时，n =（ ） A. 6 B. 10 C. 7 D. 9C因为公差不为零的等差数列的前n 项和n s 是关于n 的二次函数，59s s =，所以对称轴为7n =，又开口向下，所以当7n =时，n s 有最大值，故选C. 5. 设0a >，0b >，则“1a b +≤”是“114a b+≥”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件A先利用基本不等式证明充分性成立，再举反例说明必要性不成立即可.解：因为0a >，0b >，所以1a b ≤+≤，所以104ab <≤， 所以14ab≥（当且仅当12a b ==时取等号），所以114a b +≥≥=（当且仅当12a b ==时取等号）.所以“1a b +≤”是“114a b+≥”的充分条件. 反之，当13a =，1b =时114a b +≥，但是1a b +>，所以“1a b +≤”是“114a b +≥”的不必要条件.故选：A.本题主要考查基本不等式的应用、充分条件与必要条件，属于中档题.6. 已知圆22:1C x y +=，点P 为直线:40l x y +-=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线,PA PB ，,A B 为切点，则直线AB 经过定点（ ）A. 11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 11,44⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C根据题意，设(4,)P m m -，分析可得AB 是圆C 与以PC 为直径的两圆的公共弦，据此可得以PC 为直径的圆的方程，又由圆C 的方程，分析可得直线AB 的方程，变形可得答案． 解：根据题意，点P 为直线40x y +-=上一动点，则设(4,)P m m -，PA ，PB 是圆C 的切线，CA PA ∴⊥，CB PB ⊥，AB ∴是圆C 与以PC 为直径的两圆的公共弦，可得以PC 为直径的圆的方程为2222[(2)]()(2)()2222m m m m x y --+-=-+，① 又圆C 的方程为：221x y +=，②， ①-②，得(4)10m x my -+-=，即()410m y x x -+-=，则该直线必过点11,44⎛⎫⎪⎝⎭， 故选C ．本题考查了直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，圆的切线性质，以及直线过定点问题，属于中档题．7. 现有3名男医生3名女医生组成两个组，去支援两个山区，每组至少两人，女医生不能全在同一组，则不同的派遣方法有（ ） A. 24 B. 54 C. 36 D. 60C分类根据加法原理进行计算. 设两个山区为A ，B ，①若A 山区派遣2名医生，则共有11339C C =种不同的派遣方法， ②若A 山区派遣3名医生，则共有1221333318C C C C +=种不同的派遣方法，③若A 山区派遣4名医生，等同B 山区派遣2名医生，则共有11339C C =种不同的派遣方法，综合①②③得：则不同的派遣方法有918936++=，故选C ．本题考查排列组合应用题以及分类计数原理，考查基本分析求解能力，属中档题.8. 已知函数21,1()|ln(1),1x x f x x x -≤⎧=⎨-⎩，则方程(())1f f x =的根的个数为（ ）A. 7B. 5C. 3D. 2A令()u f x =，先求出方程()1f u =的三个根11u =，211u e=+，31u e =+，然后分别作出直线1u =，11u e=+，1u e =+与函数()u f x =的图象，得出交点的总数即为所求结果.令()u f x =，先解方程()1f u =.（1）当1u ≤时，则()211f u u =-=，得11u =；（2）当1u >时，则()()ln 11f u u =-=，即()ln 11u -=±，解得211u e=+，31u e =+.如下图所示：直线1u =，11u e=+，1u e =+与函数()u f x =的交点个数为3、2、2，所以，方程()1f f x ⎡⎤=⎣⎦的根的个数为3227++=，故选A.本题考查复合函数的零点个数，这类问题首先将函数分为内层函数与外层函数，求出外层函数的若干个根，再作出这些直线与内层函数图象的交点总数即为方程根的个数，考查数形结合思想，属于难题．9. 设函数()()cos 0f x x ωω=>，已知()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦有且仅有2个极小值点，下述选项错误的是（ ） A. [)6,10ω∈B. ()f x 在,64ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C. ()f x 在0,12π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D. ()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上至多有2个极大值点B【分析】利用已知条件求出ω的范围，判断A ；利用函数的单调性判断B 、C ；函数的极大值判断D.由题，因为()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦有且仅有2个极小值点，所以35222T T π≤<，即53T ππ<≤，因为2Tπω=，所以610ω≤<，故A 正确； 因为53T ππ<≤，所以1026T ππ<≤， 因为()f x 在,2T T ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，只有当26T π=时()f x 在,64ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增才成立，故B 错误； 因为()f x 在0,2T ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，所以()f x 在0,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，故C 正确；因为0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，两端点取不到，且35222T T π≤<，所以()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭至多有2个极大值点，故D 正确.故选：B（1）求三角函数解析式的方法：①求A 通常用最大值或最小值；②求ω通常用周期；③求φ通常利用函数上的点带入即可求解；（2）讨论y =Acos (ωx +φ)+B 的性质通常用换元法，借助于复合函数来完成.10. 四棱锥P ABCD -，AD ⊥面P AB ，BC ⊥面P AB ，底面ABCD 为梯形，4=AD ，8BC =，6AB =，APD BPC ∠=∠，满足上述条件的四棱锥顶点P 的轨迹是（ ）A. 线段B. 圆的一部分C. 椭圆的一部分D. 抛物线的一部分B在平面P AB 内，以AB 所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，写出点A ，B 的坐标，根据条件得出Rt Rt APD CPB ，进而得出4182AP AD BP BC ===，设出点P 的坐标，利用两点间的距离公式，代入上式化简，根据轨迹方程，即可得到结论．在平面P AB 内，以AB 所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系．设点(),P x y ，则由题意可得()30A -,，()3,0B ．∵AD α⊥，BC α⊥，4=AD ，8BC =，6AB =，APD CPB ∠=∠， ∴Rt Rt APD CPB ， ∴4182AP AD BP BC ===． 即224BP AP =，故有()()2222343x y x y ⎡⎤-+=++⎣⎦， 整理得：()22516x y ++=，表示一个圆．由于点P 不能在直线AB 上（否则，不能构成四棱锥）， 故点P 的轨迹是圆的一部分，故选：B ．此题考查立体几何中的轨迹问题，关键在于对所给等量关系进行等价转化，结合平面解析几何知识，利用阿波罗尼斯圆得到结论.11. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，P 为双曲线在第一象限上的点，直线PO ，2PF 分别交双曲线C 的左，右支于另一点M ，N ，若12||3||PF PF =，且260MF N ∠=︒，则双曲线的离心率为（ ）A. 5B. 3C. 2D.7D由双曲线定义可设2||PF a =，1||3PF a =，由平面几何知识可得四边形12PF MF 为平行四边形，三角形12F MF ，用余弦定理，可得a ，c 的方程，再由离心率公式可得所求值．由双曲线的定义可得122PF PF a -=， 由213PF PF =，可得2PF a =，13PF a =， 结合双曲线性质可以得到PO MO =，而12FO F O =， 结合四边形对角线平分，可得四边形12PF MF 为平行四边形， 结合260MF N ∠=︒，故1260F MF ∠=︒，对三角形12F MF ，用余弦定理，得到222121212122cos MF MF F F MF MF F MF +-=∠， 结合213PF PF =，可得1MF a =，23MF a =，122F F c =，代入上式子中， 得到2222943a a c a +-=，即2274a c =， 结合离心率满足c e a =，即可得出72e =， 故选：D ．本题考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.12. 若函数()ln 2xf x x x ae =-在1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,上有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A. 20,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 21,e e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 42,e e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 11,2e e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D由题意可得，()0f x '=在1e e ⎛⎫⎪⎝⎭,上有两个不同的实数根，等价于1ln 2xx a e +=在1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,上有两个不同的实数根，也等价于直线2y a =与1ln xx y e +=的图像在1e e ⎛⎫⎪⎝⎭,内有两个交点，所以只需利用导数研究函数()1ln xx g x e +=在1e e ⎛⎫⎪⎝⎭,上的极值、最值和单调性，再结合函数图像可得结果.解：由题意()1ln 2xf x x ae '=+-，令()0f x '=，可得1ln 2xxa e +=. 函数()f x 在1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,上有两个极值点，则需()0f x '=在1e e ⎛⎫⎪⎝⎭,上有两个不同的实数根，等价于1ln 2xx a e +=在1e e ⎛⎫⎪⎝⎭,上有两个不同的实数根， 也等价于直线2y a =与1ln xx y e +=的图像在1e e ⎛⎫⎪⎝⎭,内有两个交点. 令()1ln xx g x e +=，则()11ln x xx g x e --'=. 令()11ln h x x x =--，可得()h x 在区间1e e ⎛⎫⎪⎝⎭,上为减函数，且()10h =. 所以当11x e <<时，()0h x >，故()0g x '>，()g x 在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，当1x e <<时，()0h x <，故()0g x '<，()g x 在(1,)e 上为减函数，所以()()max 11g x g e ==.又10g e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2()e g e e =，所以212e a e e <<，所以112e a ee <<.故选：D 本题考查利用导数研究函数极值、单调性，利用了数形结合的思想，考查了转化能力和计算能力，属于中档题.二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 设非零向量a ､b 满足()a ab ⊥-，且2b a =，则向量a 与b 的夹角为___________.3π 利用垂直关系可得20a a b -⋅=，再利用数量积公式,结合2b a =可得夹角的余弦值，进而可得答案.非零向量a ，b 满足()a ab ⊥-，且2b a =，所以()0a a b ⋅-=,可得20a a b -⋅=，所以222cos ,2cos ,b a b a a a a b a ⋅=⇒=，因为0a ≠，所以1cos ,2a b =，因为[],0,a b π∈， 所以a 与b 的夹角为：3π. 故答案为：3π 方法点睛：平面向量数量积公式主要应用以下几个方面： (1)求向量的夹角， cos a b a bθ⋅=⋅；（2）求投影，a 在b 上的投影是a b b⋅；（3）,a b 向量垂直则0a b ⋅=； (4) 求向量ma nb + 的模（平方后需求a b ⋅）.14. 设()22132n x dx =-⎰，则(nx +的展开式中含x 2项的系数是____________ 40先利用定积分求得n 的值，在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于2，求出r 的值，即可求得展开式中含x 2项的系数．由于 ()22132n x dx =-=⎰（x 3﹣2x ）21|=4﹣（﹣1）＝5，则(nx展开式的通项公式为T r +15r C =•x 5﹣r •2r •252rr r x C -=⋅•352rx -，令532r-=2，解得 r ＝2，∴展开式中含x 2项的系数是2252C ⋅=40， 故答案为40本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．15. 已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线交抛物线C 于P ，Q 两点，交l 于点A ，若3PF FQ =，则AQQF=________. 2根据抛物线的定义，利用平行线分线段成比例，即可推导出所求结果. 过P ，Q 分别作PM,QN 垂直准线l 于,M N ,如图：3PF FQ =，1||||4QF PQ ∴=, 由抛物线定义知，||||,||||PM PF QF QN ==, ||3||PM QN ∴=, //PM QN ,||||1||||3AQ QN AP PM ∴==, 11||||4||2||22AQ QP QF QF ∴==⨯=,2AQQF ∴=， 故答案为：2本题主要考查了抛物线的定义，抛物线的简单几何性质，属于中档题.16. 如图，在矩形ABCD 中，22BC AB ==，N 为BC 的中点，将ABN 沿AN 翻折成1B AN △（1B ∉平面ABCD ），M 为线段1B D 的中点，则在ABN 翻折过程中给出以下四个结论：①与平面1B AN 垂直的直线必与直线CM 垂直； ②线段CM 5； ③异面直线CM 与1NB 3 ④当三棱锥1D ANB -的体积最大时，三棱锥1D ANB -外接球的表面积是4π. 其中正确结论的序号是_______.（请写出所有正确结论的序号） ①②④①//CM 平面1B AN ，则可判断；②通过线段相等CM NE =，可求出线段NK 的长；②异面直线CM 与1NB 所成角为1ENB ∠，求出其正切值即可；④找出球心，求出半径即可判断其真假.从而得到正确结论的序号.如图，取1AB 的中点为E ，AD 的中点为F ，连接EN ，EM ，FN ，1B F ， 则四边形CNEM 为平行四边形，直线CM ∥平面1AB N ，所以①正确；215122CM NE ⎛⎫==+=⎪⎝⎭，所以②正确； 因为CMEN ，异面直线CM 与1NB 的所成角为1ENB ∠，11tan 2ENB ∠=，所以③错误；当三棱锥1D ANB -的体积最大时，平面1B AN 与底面ABCD 垂直，可计算出13B D ，11AB =，22211AB B D AD +=，所以190AB D ∠=︒，同理90AND ∠=︒，所以三棱锥1D ANB -外接球的球心为F ，半径为1，外接球的表面积是4π，④正确. 故答案：①②④.本题考查翻折过程中点线面的位置关系，注意翻折过程中不变的量，考查了相关角度，长度，体积的计算，考查直观想象，运算能力，属于较难题目．三､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 17. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，274sin cos 222A B C +-=. （1）求角C ； （2）若33ABC S ∆=，7c =a ，b 的值. （1）3C π=；（2）23a b =⎧⎨=⎩或32a b =⎧⎨=⎩（1）使用三角形的内角和公式和二倍角公式化简式子，得出cosC 的方程； （2）根据面积公式和余弦定理构造关于a ,b 的等量关系，即得解.（1）由已知得，()()()2721cos 2cos 12A B C -+--=， 所以()22cos 10C -=，所以1cos 2C =，3C π=. （2）1sin 2ABC S ab C ∆==6ab =.（1） 又由()()2221cos c a b ab C =+-+得，5a b +=.（2）（1）与（2）联立得：23a b =⎧⎨=⎩或32a b =⎧⎨=⎩. 本题考查了解三角形的综合问题，涉及正弦定理、余弦定理、面积公式等知识点，考查了学生的综合分析能力，数学运算能力，属于中档题.18. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，()*121n n S S n N +-=∈.（1）求证：数列{}n a 为等比数列 （2）若数列{}n b 满足：11b =，1112n n n b b a ++=+，求数列{}n b 的通项公式及数列{}n b 的前n 项和n T .（1）证明见解析；（2）112n n b n -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，()14242nn T n ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭.（1）由121n n S S +-=，得()1212n n S S n --=≥，两式相减得12n n a a +=，结合11a =，计算出2a ，确定212a a =，从而证明出等比数列；（2）由（1）求得1n a +，对{}n b 的递推关系式变形得数列{}12n n b -是首项为1，公差为1的等差数列.，从而求得12n n b -，得出n b 后用错位相减法求得和n T ．（1）证明：由11a =，121n n S S +-=，得()1212n n S S n --=≥， 两式相减，得120n n a a +-=，因为11a =，由()12121a a a +-=，得22a =，所以212a a =， 所以12n na a +=对任意*N π∈部成立. 所以数列{}n a 为等比数列，首项为1，公比为2；（2）由（1）知，12n na ，11111222nn n n n b b b a ++⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，即11221n n n n b b -+=+，因为11b =，所以数列{}12n n b -是首项为1，公差为1的等差数列.所以1211n n b n n -=+-=，所以112n n b n -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭.②设数列{}n b 的前n 项和1111123242n n T n -⎛⎫=+⋅+⋅++⋅ ⎪⎝⎭，111112322482nn T n ⎛⎫=+⋅+⋅++⋅ ⎪⎝⎭，相减可得11111111121122422212n nnn n T n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋯+-⋅=-⋅ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-， 化简可得数列{}n b 的前n 项和为()14242nn T n ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭.本题考查求等差、等比数列的通项公式，错位相减法求和．数列求和的常用方法： 设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和； （2）错位相减法：数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法； （3）裂项相消法；数列1{}n n ka a +（k 为常数，0n a ≠）的前n 项和用裂项相消法； （4）分组（并项）求和法：数列{}n n pa qb +用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；（5）倒序相加法：满足m n m a a A -+=（A 为常数）的数列，需用倒序相加法求和．19. 图1是直角梯形ABCD ，//AB DC ，90D ︒∠=，2AB =，3DC =，3AD =，2CE ED =.以BE 为折痕将BCE 折起，使点C 到达1C 的位置，且16AC =，如图2.（1）证明：平面1BC E ⊥平面ABED ； （2）求直线1BC 与平面1AC D 所成角的正弦值. （1）证明见解析；（2）277. （1）做辅助线，先根据线线垂直证明1C F ⊥面ABED ，进而可证平面1BC E ⊥平面ABED ； （2）建立平面直角坐标系，求出平面1AC D 的法向量，利用法向量法可求直线1BC 与平面1AC D 所成角的正弦值.（1）证明：在图1中，连结AE ，由已知得2AE =， ∵//CE BA 且CE BA AE ==，∴四边形ABCE 为菱形， 连结AC 交BE 于点F ，则CF BE ⊥， 又∵在Rt ACD △中，223323AC =+=， ∴3AF CF ==，在图2中，16AC =，∵22211AF C F AC +=，∴1C F AF ⊥，由题意知1,C F BE BEAF F ⊥=，∴1C F ⊥面ABED ，又1C F ⊂平面1BC E ， ∴平面1BC E ⊥平面ABED ； （2）如图，以D为坐标原点，DA，DE分别为,x y轴，1FC方向为z轴正方向建立空间直角坐标系. 由已知得各点坐标为133(0,0,0),(0,1,0),,0,2222D A BEF C⎛⎫⎛⎪⎝⎭⎝，所以112BC⎛=-⎝，(3,0,0)DA=，1332DC⎛=⎝，设平面1AC D的法向量为(,,)n x y z=，则1,DA n DC n⊥⊥，所以1DA nDC n⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即000322y zx y++=++=⎩，令3z=，解得0,2x y==-，所以(0,n=-，所以||7n=，记直线1BC与平面1AC D所成角为θ，则101sin||||2BC nBC nθ⋅++===⨯.本题主要考查平面与平面垂直及线面角的求解，面面垂直一般转化为线面垂直来证明，线面角主要是利用法向量进行求解，侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素养.属于中档题.20. 已知椭圆C中心在坐标原点O，左顶点()2,0A-，离心率12e=，F为右焦点，过焦点F 的直线交椭圆C于P、Q两点（不同于点A）.（1）求椭圆C的方程；（2）当APQ∆的面积S=时，求直线PQ的方程；（3）求OP FP⋅的范围.（1）22143x y+=（2）10x y+-=或10x y--=.（3）()2,6（1）由已知条件推导出2a =，12c e a ==，由此能求出椭圆方程．（2）椭圆右焦点(1,0)F ． 设直线PQ 方程为)1(x my m R =+∈．由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(34)690m y my ++-=，由此利用根的判别式和韦达定理能求出直线PQ 的方程．（3）设P 的坐标0((x ，0)y ，由已知条件推导出22000113(2)244OP FP x x x =-+=-+，由此能求出OP FP 的范围．（1）设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，由已知2a =，12c e a ==，所以1c =，2223b a c =-=，∴椭圆方程为22143x y+=.（2）椭圆右焦点()1,0F ，设直线PQ 方程为()1x my m R =+∈.由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2234690m y my ++-=.① 显然，方程①的0∆>.设()11,P x y ，()22,Q x y ，则有122634m y y m +=-+，122934y y m =-+. 由APQ ∆的面积1212S AF y y ==⋅-=解得：1m =±.所以直线PQ 方程为1x y =±+，即10x y +-=或10x y --=.（3）设P 的坐标()00,x y ，则2200143x y +=，∴2200334y x =-， 故()()220000000,1,x y x y x x y OP FP =⋅-=-⋅+()220001132244x x x =-+=-+， 因为022x -<<，所以OP FP ⋅的范围为()2,6.本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，考查向量的数量积的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．21. 函数()()ln 1f x x ax =+-，()1xg x e =-.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()()f x g x ≥在[)0,x ∈+∞上恒成立，求实数a 的取值范围. （1）答案见解析；（2）(],2-∞.（1）求出函数()y f x =的定义域为()1,-+∞，求得()11ax af x x -+-'=+，分0a =、0a <、0a >三种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数()y f x =的单调递增区间和递减区间； （2）构造函数()()()h x f x g x =-，由题意可知()()0h x h ≥恒成立，对实数a 分2a ≤和2a >两种情况讨论，利用导数分析函数()y h x =在区间[)0,+∞上的单调性，验证()()0h x h ≥是否成立，由此可得出实数a 的取值范围.（1）函数()()ln 1f x x ax =+-的定义域为()1,-+∞，()1111ax af x a x x -+-=-='++. （i ）当0a =时，()101f x x +'=>，函数()y f x =在()1,-+∞上单调递增； （ii ）当0a ≠时，令()0f x '=得111a x a a-==-. 若0a <，则11a a -<-；若0a >，则11aa->-. ①当0a <时，()101f x a x =->+'，函数()y f x =在()1,-+∞上单调递增； ②当0a >时，()11a a x a f x x -⎛⎫-- ⎪⎝⎭'=+， 当11,a x a -⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '>，函数()y f x =单调递增；当1,a x a -⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，函数()y f x =单调递减；综上，可得，当0a ≤时，函数()y f x =在()1,-+∞上单调递增；当0a >时，函数()y f x =在11,a a -⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；（2）设()()()()ln 11xh x f x g x x e ax =-=++--，0x ≥，则()11x h x e a x =+-+'. 当0x ≥时，()()211xh x e x '=-+'单调递增，则()()''''00h x h ≥=.所以，函数()y h x ='在[)0,+∞上单调递增，且()()02h x h a ''≥=-. 当2a ≤时，()101x h x e a x '=+-≥+， 于是，函数()y h x =在[)0,+∞上单调递增，()()00h x h ≥=恒成立，符合题意； 当2a >时，由于0x ≥，()020h a ='-<，()1ln 01ln h a a'=>+，所以，存在00x >，使得()00h x '=.当00x x <<时，()0h x '<，函数()y h x =单调递减；当0x x >时，()0h x '>，函数()y h x =单调递增.故()0(0)0h x h <=，不符合题意， 综上所述，实数a 的取值范围是(],2-∞.本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时也考查了利用导数研究函数不等式恒成立问题，考查分类讨论思想的应用，属于难题.22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2324x ty t =-⎧⎨=-+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos tan ρθθ=. （1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 交于A ，B 两点，点P的极坐标为74π⎛⎫ ⎪⎝⎭，求11||||PA PB +的值. （1）1C 的普通方程为4320x y +-=.2C 的直角坐标方程为2y x .（2）815（1）直接利用参数方程和极坐标方程的公式得到答案.（2）1C 的参数方程转化为标准形式为325425x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+'⎩'⎪代入2yx ，利用韦达定理得到12809t t ''+=，12503t t ''=，计算得到答案.（1）消去参数t 得曲线1C 的普通方程为4320x y +-=.曲线2C 的极坐标方程可化为2cos sin ρθθ=，即22cos sin ρθρθ=， 又cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴曲线2C 的直角坐标方程为2yx .（2）1C 的参数方程转化为标准形式为325425x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+'⎩'⎪（t '为参数），代入2yx 得29801500t t ''-+=，点P 的直角坐标为()2,2-，设'1t ，'2t 分别是,A B 对应的参数，则12809t t ''+=，12503t t ''=. ∴121211||||8||||||||15t t PA PB PA PB PA PB t t ''''+++===⋅. 本题主要考查参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程标准形式的应用，考查的核心素养是数学运算和直观想象. 23. 已知函数()|22||1|f x x x =-++． （1）求不等式()4f x 的解集；（2）若函数()|1|y f x x =++的最小值为k ，求22(0)km m m +>的最小值． （1）51,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）6.（1）对x 进行讨论，化简绝对值，进而可求不等式的解集；（2）由绝对值不等式的性质可求()f x 的最小值，进而可求k ，然后结合基本不等式即可求解． （1）①当1x ≤-时，原不等式可化为22(1)4x x --+≤，得1x ≥-，故有1x =-； ②当11x -<<时，原不等式可化为2214x x -++≤，得1x >-，故有11x -<<； ③当1≥x 时，原不等式可化为2214x x -++≤，解得53x ≤，故有513x ≤≤ 综上，不等式的解集为51,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．（2）因为()121212114y f x x x x x x =++=-++-++=， 所以4k =．21所以2222224226km m m m m m m +=+=++≥=， 当且仅当222m m =，即1m =时“=”成立， 所以22km m +的最小值为6． 本题主要考查了含两个绝对值的不等式，解绝对值三角不等式，基本不等式，属于中档题.。