167;2变换群、置换群与循环群

• 作业: P293 12.(2) (3), 13
的运算
• [An;•]是代数系统。
• 1.封闭性
• 2.结合律当然成立
• 3.恒等置换eAn • 4.对于An,
在Sn中有逆元-1, -1也是偶置换
• 推论14.5：对称群Sn中所有偶置换组成的 集合, 记为An,关于置换的乘法构成群。
• 定义14.9：称上述[An;•]为n次交待群。
• 由于An中每个元素都是置换,因此根据置 换群的定义可知[An;•] 也是置换群.
证明: (0)•是上的运算
(1)•是满足结合律的.
(2)存在单位元
(3)对任意g ,存在逆元 (4)g是G上的置换
三、循环群
• 1.元素的阶 • 定义14.10:设G为群, e是G的单位元，对
于aG, 如果存在最小正整数r，使得ar=e，
则称r为元素a的阶; 也可称a是r阶元。若 不存在这样的r，则称a为无限阶元或说a 的阶无限。
一般地 对,于σ σ1(1σ2) (2 )σn(n,) ττ1(1τ2) (2 )τn(n,有 )
σ•τ σ1(1)σ2(2) σ(nn)•τ1(1)τ2(2) τ(nn) στ(τ(1(1)))στ(τ(2(2) )) σ(ττ((nn)))•τ1(1)τ2(2) τ(nn) σ(τ(11))σ(τ2(2) )σ(τ(nn))
• 对一个置换，它可能有不同的对换乘积， 但它们的对换个数的奇偶性则是一致的。
• 定义14.8：一个置换的对换分解式中,
对换因子的个数是偶数时称该置换为偶 置换,否则, 称它为奇置换。
• 长度为k的循环置换
• (i1 i2 …ik)=(i1 i2)(i2 i3)…(ik-2 ik-1)(ik-1 ik)
• 定义14.5:设GT(S),当[G;•]为群时,就称
该群为变换群,其中•为一一变换的合成
(复合)运算,并称为变换的乘法。
• 定理14.9:[T(S);•]是一个变换群。
• 变换群不一定是交换群
二、置换群
• 定义14.6:设S,|S|<+,S上的一个一一
变换称为置换。S上的某些置换关于乘法 运算构成群时, 就称为置换群。
§2 变换群、置换群与循环群
• 例14.8:证明不等边长方形所有对称的集 合, 关于其合成•构成群。
• B4={e,,,},[B4;•]是4元素群,称为Klein 四元群。
一、变换群
• 变换:非空集合S到S的一个映射, • 当映射是一一对应时, 称为一一变换。
• SS表示S到S的所有映射全体组成的集合, • SS={f|f:SS}， • [SS;•]是半群。是拟群。不是群 • T(S)表示S上所有一一变换组成的集合。 • T(S)={f|fSS,且f为一一对应} • [T(S);•]是群
• |An|=?
• 若n=1，Sn只有一个置换——恒等置换， 它也是An的元素，|An|=1。
• 若n>1,
•
1
|An|=|On|= 2
n!
• 例：G={g1, g2, gn},[G;]是群,对任意 gG,定义映射g:GG,使得对任意 xG,有g(x) =gx。设={g|gG},则 [;•]是置换群。这里•是关于映射的复 合运算.
• 若|S|=n,设S={1,2,,n},其置换全体组成 的集合表示为Sn;
• [Sn;•]是一个置换群, n次对称群。
• S上的置换Sn,习惯上写成
1(1)2(2) (nn)
这里(i)即为i在函数下的象，这里1,2, ,n次序无关，即
1 ( 1 )2 (2 ) ( n n ) i( 1 i1 )i2 (i2 ) ( ii n n )
5 8
6 2
7 5
78
(1 3)(34)(26)(58)(87)
(1 4)(31)(26)(57)(85)
(1,4)(1(,22,)3)(2(,66,)1)(5(,88,)7)
• 说明分解不唯一
• 定理14.11：任意一个置换可分解成对换 的乘积, 这种分解是不唯一的, 但是这些 对换的个数是奇数个还是偶数个却完全 由置换本身确定。
恒等置换e 11
2 2
n n
σ的逆置换σ1
σ
(1) 1
σ(2) 2
σ(n n
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)
但习惯上重新整理按1— n重排，即
σ1
1 σ1(1)
2 σ1(2)
n σ1(n)
• n次对称群Sn是有限群,问|Sn|=? • S上的一一变换个数有多少?
• S上的一一变换个数是n!,即|Sn|=n!。 • 下面以三次对称群S3为例， • 考察群运算。
• 证明:对任两个对换:
• (a,b)(c,d)
• (a,b)(b,c)
推论14.4：Sn中的奇、偶置换在置换的乘法运算 下,其奇偶性由下表给出:
• 偶置换 偶置换 偶置换
奇置换 奇置换
奇置换 奇置换 偶置换
• 恒等置换看作为偶置换 • Sn= On∪An • On∩An= • 偶置换与偶置换的乘积仍是偶置换，•是An上
• 定义14.7:设|S|=n, Sn, 形如:
ii1 2
i2 i3
id 1 id
id i1
iid d 1 1 iin n
其中2≤d≤n。这种形式的置换叫做循环置换 , 称其循环长度为d。上述可写为=(i1,…, id)，其中在变换下的象是自身的元素就不 再写出。 • 特别, 当 d=2时称为对换。
• 定理14.10:Sn中的任一个置换均可分解为 不含公共元的若干个循环置换的乘积。
• 证明:对n作归纳 n=1,成立 假设对n>1，|S|n-1,结论成立 当|S|=n,任取Sn中的置换 由元素1出发取上的循环置换
• 推论14.1:任意一个置换可以分解为若干 个对换的乘积。
σ13
2 6
3 4
4 1
•
共k-1个对换
• 所以当k是奇数时，该循环为偶置换
• 当k是偶数时，该循环为奇置换
• 推论14.2：一个长度为 k的循环置换, 当k为奇数时, 它是一个偶置换; 当k为 偶数时, 它是一个奇置换。
• 推论14.3：每个偶置换均可分解为若干个 长度为 3 的循环置换的乘积, 循环置换中 可以含有公共元。