167;2变换群、置换群与循环群
《循环群与置换群》课件
在实际应用中，同态和同构的概念可 以用于比较不同置换群之间的相似性 和差异性，以及进行置换群的分类和 结构分析。此外，同态和同构也是研 究其他代数结构的重要工具和方法。
06
应用实例
在密码学中的应用
加密算法
置换群和循环群在加密算法中有着广泛的应用，如凯撒密码、栅栏密码等。这些 算法利用置换群中的置换操作对明文进行加密，保护信息的安全。
编码理论
置换群在编码理论中也有着广泛的应用，如线性码和循环码等。这些编码利用置换群的性质，能够设 计出高效可靠的编码方案。
在几何学中的应用
几何变换
置换群在几何变换中有着重要的应用 ，如矩阵表示和仿射变换等。通过利 用置换群的性质，可以研究几何图形 在不同变换下的性质和关系。
分形几何
循环群在分形几何中也有着一定的应 用，如Mandelbrot集和Julia集等。 这些分形结构通过循环群的迭代和递 归生成，展现出复杂而美丽的几何图 案。
《循环群与置换群》PPT课件
目录
• 群的基本概念 • 置换群 • 循环群与置换群的关系 • 循环群的性质 • 置换群的性质 • 应用实例
01
群的基本概念
群的定义
1
群是由一个集合以及定义在这个集合上的二元运 算所组成的一个代数结构。
2
群中的元素称为群元，通常用小写字母表示，如 $a, b, c, ldots$。
子群的构造
通过选择置换群中的若干个置换作为子群的元素，可以构造出置换群的子群。子群可以由单位元和若干个非单位元的 置换构成，其中非单位元的置换可以两两复合得到。
子群在置换群中的作用
子群在置换群的结构和性质研究中具有重要的作用。通过研究子群的性质和分类，可以进一步了解整个 置换群的性质和结构。
《变换和置换群》课件
晶体学
化学分子
置换群可用于描述晶体中的对称 性，进而推测晶体的结构和性质。
变换和置换群可用于描述和分析 分子中的对称性和反应过程。
实例分析：八皇后问题
1
问题描述
在8×8的国际象棋棋盘上，摆放8个皇后，使得每个皇后都不会互相攻击。
2
解决方法
利用回溯算法，通过枚举置换的组合方式，找到符合要求的八皇后放置方法。
变换群的性质和定义
群元素
• 变换 • 恒等变换
性质
• 封闭性 • 结合律 • 单位元 • 逆元
置换群的性质和定义
对称性
置换群是对称性的代数描述。
置换的类型
置换可以分为置换对和置换 环。
性质：
满足群的四个基本要素：群
音乐理论
变换群与音乐理论有密不可分的 关系，可描述音乐创作和演奏过 程。
《变换和置换群》PPT课 件
本课件将介绍变换群和置换群的定义、性质和应用。通过实例讲解八皇后问 题，帮助大家理解群论的基本概念。
变换群和置换群是什么？
1 变换群
是一组变换的集合，满足 封闭性、结合律、单位元 和逆元。
2 置换群
是一组置换的集合，满足 封闭性、结合律、单位元 和逆元。
3 联系
置换群是变换群的一种特 殊情况。
3
应用
解决类似的组合问题，例如数独、图像识别等。
总结
群论基础
变换群和置换群是群论中最基础的概念，可应用于 各领域。
更广泛的应用
广泛应用于数学、物理、化学、计算机等领域，展 现了其重要性和实用价值。
交换群与循环群的关系
交换群与循环群的关系在数学领域中，交换群和循环群是两个重要的概念。
它们之间存在一定的联系和区别，本文将从不同的角度对这两个概念进行探讨。
一、交换群的定义和特点交换群，也称为阿贝尔群，是一个满足交换律的群。
群是一种代数结构，它由一组元素和一种二元运算组成。
对于任意的元素a和b，交换群中的运算符满足交换律，即a*b=b*a。
这意味着交换群中的元素可以以任意顺序进行运算，结果都是相同的。
交换群具有以下特点：1. 封闭性：交换群中的元素进行运算后的结果仍然属于该群。
2. 结合律：交换群中的运算符满足结合律，即(a*b)*c=a*(b*c)。
3. 存在单位元：交换群中存在一个特殊元素，称为单位元，它与该群中的任意元素进行运算得到的结果都是该元素本身。
4. 存在逆元：交换群中的每个元素都存在一个逆元，它与该元素进行运算得到的结果是单位元。
二、循环群的定义和特点循环群是一种特殊的群，它由一个元素生成。
这个元素称为生成元，它可以通过自身的运算和运算的次数来生成群中的所有元素。
循环群可以用一个生成元和运算符的指数形式来表示。
循环群具有以下特点：1. 封闭性：循环群中的元素进行运算后的结果仍然属于该群。
2. 存在单位元：循环群中存在一个特殊元素，称为单位元，它与该群中的任意元素进行运算得到的结果都是该元素本身。
3. 存在逆元：循环群中的每个元素都存在一个逆元，它与该元素进行运算得到的结果是单位元。
4. 生成性：循环群中的一个元素可以通过运算的次数和生成元来生成群中的所有元素。
5. 无穷性：循环群中的元素可以进行无限次运算，得到无穷多个元素。
三、交换群与循环群的关系交换群和循环群之间存在一定的联系和区别。
循环群是交换群的一种特殊情况，即循环群是满足交换律的群。
因此，循环群也具有交换群的特点，包括封闭性、结合律、存在单位元和逆元等。
然而，交换群并不一定是循环群。
交换群中的元素可以以任意顺序进行运算，而循环群中的元素则是由一个生成元按照一定的规律生成的。
循环群和置换群-置换群
1
置换群的元素都是一一对应的，即每个元素都有 一个唯一的逆元素。
2
置换群中的元素可以相乘，满足结合律和单位元 存在性。
3
置换群中的元素可以相逆，满足逆元存在性。
置换群的例子
01
02
03
置换群的一个简单例子 是$S_n$，即所有$n$个 元素的排列组成的群。
置换群也可以是有限集 合上的自同构群，例如 有限环上的模运算构成
定义
通过同态映射将置换群映射到另一个群或半 群上，从而将问题转化为更易于处理的形式 。
优点
能够将复杂问题简化，便于理解和分析。
缺点
同态映射的选择需要具备一定的理论基础和 实践经验，且可能引入额外的复杂性。
05
CATALOGUE
置换群的应用
在对称性物理中的应用
量子力学
置换群在量子力学中用于描述粒子的 对称性，例如在描述原子或分子的电 子排布时，置换群可以用来描述电子 的对称性。
在密码学中的应用
密码算法
置换群在密码学中被广泛应用于各种密码算法，例如AES、DES等对称加密算 法中都涉及到置换群的概念。
密钥管理
置换群可以用于密钥管理，例如通过对称加密算法中的置换操作来生成密钥， 保证通信的安全性。
THANKS
感谢观看
晶Hale Waihona Puke 结构在晶体物理学中，置换群被用来描述 晶体的对称性，例如空间群可以描述 晶体在三维空间中的对称性。
在组合数学中的应用
组合问题
置换群在组合数学中用于解决各种组合问题，例如排列、组合、划分等问题。
组合恒等式
置换群可以用来证明和推导组合恒等式，例如在证明帕斯卡恒等式时，置换群被用来证明组合数的对称性。
循环群·变换群和置换群
（V ）循环群·变换群和置换群一、定义及例子1、定义：设G 是群，若存在a ∈G 使得G 中任意元素均为a 的幂，即G=（a ）【=（a -1）】2、例子：（1）Z =（1）（2）(Z 12，+)=（[1]）=([11])注：（[5]）=Z 12,([7]),([11])【小于12的素数都能生成Z 12】（3）n 次单位根群Un 【Unit 】)(),(},1|{0ω=⨯⊆∈==∈≠*C C x x x U Nn n nn n i ππω22sin cos +=二、生成元，循环群1、循环群的元素⎩⎨⎧∞=∈>===-)(},|{0)(},,...,,{)(1a o Z i a m a o a a e a G i m 2、生成元（1）1,)(±=⇔∞=r a a o r是生成元（2）1),(,)(=⇔=n r a n a o r 是生成元 {}xi x e n r n r r n n ix sin cos Enler 1,1),(|)(n n )(#+=≤≤==）：欧拉公式（互素的。
的数中与：小于欧拉数ϕϕ如（Z 12，+）=（[1]）=（[5]）=([7])=([11])三、循环群的子群1、循环群的子群是循环群2、循环群子群的分类 }|1|){(G ),(,0)()2(}0|){(G ),(,)()1(n r n r a a G n a o r a a G a o r r 且的所有子群为则设的所有子群为则设≤≤=>=≥=∞=变换群和置换群·任意一个置换可以写成若干个对换的乘积。
·(ij)=(1i)(1j)(1i)·任意一个置换可以写成若干个形如（1i ）的乘积（2≤i ≤n ） 置换的性质)()...()()...(6],...,,[)()(5/*/*)...)(...()...)( (4)...()...(3))...((2)...()...()...(12112121212121212111121211113221r r t i i t r r r r r r r r r r r r i i i i i i rr r r o r o i i i j j j j j j i i i i i i i i i ri i i o i i i i i i i i i i σσσσσσσσσσσ====⋅⋅⋅======----、附加：则不相连）且是循环置换的表示（互、前提：无交、、、、。
置换群的表示方法及循环
• 6.1 置换群 • 6.2 置换的表示方法:2-行法 • 6.3 循环 • 6.4 补充结论
变换群的一种特例,叫做置换群,在代数 里占一个很重要的地位.比方说,在解决方程 能不能用根号解这个问题时就要用到这种 群．这种群还有一个特点，就是它们的元 可以用一种很具体的符号来表示，使得这 种群里的计算比较简单．现在我们把这种 群讨论一下．
表示置换的第一个方法就是把以上这个置换写成
1
k1
2 k2
L L
n
kn
形式不唯一.在这种表示方法里，第一行的 n
个数字的次序显然没有什么关系，比方说以上的
我们也可用
213L n
k2
k1
L
kn
例１ n 3．假如
: a1 a2 , a2 a3, a3 a1
那么
123
231
132
1
我们再用归纳法．
I.当 不使任何元变动的时候，就是当 是
恒等置换的时候，定理是对的．
II. 假定对于最多变动 r 1(r n) 个元的 定理是对的．现
在我们看一个变动 r 个元的 ．我们任意取一个被 变动
的元 ai1 ，从 ai1 出发我们找 ai1 的象 ai2，ai2 的象 ai3 ，这样找
们用符号
(i1i2 L ik ) ，(i2i3 L iki1) ，…或 (iki1 L ik1) 来表示．2-循环称为对换.
例３ 我们看 S5 ，这里
12345
23145
123
231
312
12345
23451
12345
23451
L
51234
12345 12345
1
(精选)近世代数练习题题库
§ 1 第一章 基础知识1 判断题：1.1 设A 与B 都是非空集合，那么 A 同 B = {x x = A 且x = B}。
( )1.2 A ×B = B ×A ( )1.3 只要f 是 A 到 A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射 f - 1 。
( )1.4 如果Q 是 A 到 A 的一一映射,则Q [Q (a)]=a 。
( )1.5 集合 A 到 B 的可逆映射一定是 A 到 B 的双射。
( )1.6 设A 、 B 、 D 都是非空集合，则 A 根 B 到D 的每个映射都叫作二元运算。
( )1.7 在整数集 Z 上， 定义“o ”：a o b=ab(a,b∈Z)，则“ o ”是 Z 的一个二元运算。
( )1.8 整数的整除关系是 Z 的一个等价关系。
( )2 填空题：2.1 若 A={0,1} , 则 A A= __________________________________ 。
2.2 设 A = {1， 2}， B = {a ， b}， 则 A×B =_________________ 。
2.3 设={1,2,3} B={a,b}, 则 A 根 B=_______。
2.4 设 A={1,2}, 则 A A=_____________________ 。
2.5 设集合 A = {- 1,0,1}； B = {1,2} ，则有 B 根 A = 。
2.6 如果 f 是A 与 A 间的一一映射， a 是 A 的一个元，则 f - 1 [f(a)] = 。
2.7 设 A = { a 1, a 2 ,…a 8 }， 则 A 上不同的二元运算共有 个。
2.8 设 A 、B 是集合， | A | ＝ | B |＝3， 则共可定义 个从 A 到 B 的映射， 其中 有 个单射，有 个满射，有 个双射。
2.9 设 A 是 n 元集， B 是 m 元集，那么 A 到 B 的映射共有____________个.2.10 设 A={a,b,c}，则 A 到 A 的一一映射共有__________个.2.11 设 A={a,b,c,d,e}，则 A 的一一变换共有______个.2.12 集 合 A 的 元 间 的 关 系~ 叫 做 等 价 关 系， 如 果 ~ 适 合 下 列 三 个 条 件： _____________________________________________ 。
第五章 4阿贝尔群 循环群 置换群
5-5 阿贝尔群、循环群和置换群
例6 (1)令A={2i|i∈Z}，那么〈A,·〉(·为普通的数 乘)是循环群，2是生成元(2-1也是生成元)。 (2)〈Z8,+8〉为循环群，1,7是生成元。 (3) Klein四元群不是循环群。
eabc eeabc aaecb bbcea ccbae
练习：设
表示在平面
上几何图形绕形心顺时针旋转角度的六种可能，设
☆是R上的二元运算，a☆b表示平面图连续旋转a和 b得到的总旋转角度，并规定旋转360表示回到原来 状态。列出R上☆的运算表，并证明<R,☆>是循环 群。
5-5 阿贝尔群 循环群 置换群
幺元是0,60和300 是其生成元
5-5 阿贝尔群 循环群 置换群
ab = a-1b-1= (ba)-1 = ba， 所以〈G , 〉是一个阿贝尔群。
5-5 阿贝尔群 循环群 置换群
二、循环群(Cyclic Groups)
定义5-5.2 设 G, 是群，若G中存在元素a，使得 G中每个元素都由a的幂组成，则称 G, 为循环 群(Cyclic Groups) ，元素a称为该循环群的生成元 。
2 2
3 3
2
=
1 2
2 1
3 3
4
=
1 3
2 2
3 1
5
=
1 2
2 3
3 1
3
=
1 1
2 3
3 2
6
=
1 3
2 1
3
2
任意两个置换的运算 ，即两个可逆变换的 复合，从右往左计算，如：
S3
5-5 阿贝尔群、循环群和置换群
交换群与循环群的关系
交换群与循环群的关系交换群和循环群是抽象代数学中的两个重要概念，它们之间存在着密切的联系和相互关系。
首先，我们来介绍一下交换群和循环群的概念。
交换群，也叫做阿贝尔群，是由一组元素以及一个二元运算组成的代数结构。
这个二元运算通常表示为“+”，并且满足以下性质：1. 封闭性：对于任意的元素a、b∈G，有a+b∈G。
2. 结合律：对于任意的元素a、b、c∈G，有(a+b)+c=a+(b+c)。
3. 存在单位元素：存在一个元素0∈G，使得对于任意的元素a ∈G，有a+0=a。
4. 存在逆元素：对于任意的元素a∈G，存在一个元素-b∈G，使得a+b=0。
5. 交换律：对于任意的元素a、b∈G，有a+b=b+a。
而循环群则是由一个生成元a和一个二元运算组成的群，这个二元运算通常表示为“×”，并且满足以下性质：1. 封闭性：对于任意的元素ai、aj∈G，有ai×aj=ak∈G。
2. 结合律：对于任意的元素ai、aj、ak∈G，有(ai×aj)×ak=ai ×(aj×ak)。
3. 存在单位元素：存在一个元素e∈G，使得对于任意的元素ai ∈G，有ai×e=ai。
4. 存在逆元素：对于任意的元素ai∈G，存在一个元素aj∈G，使得ai×aj=e。
5. 生成性：对于任意的元素ai∈G，都可以表示成a的幂次方的形式，即ai=a^k，其中k为整数。
从定义可以看出，循环群是一种特殊的群，它的元素都可以表示成生成元的幂次方。
而交换群则是一种满足交换律的群，它的元素之间的运算顺序不影响最终结果。
接着，我们来探讨一下交换群和循环群的关系。
首先，循环群是一种群，因此它也是一种交换群。
因为循环群中的运算满足交换律，即ai×aj=aj×ai，所以循环群也是一个交换群。
另外，交换群和循环群之间还存在着更为深刻的联系，即任意一个有限交换群都可以表示成循环群的直积的形式。
离散数学第6讲置换群和循环群
i个
例如k=4时, 这个群如右表 所示, 其中[0]是么元, [1]或 [3]是生成元。
二、循环群
定理11：设<G,*>是由g∈G为生成元的循环群。 (a)若G是无限集，则<G,*>与<I,+>同构。 (b)若G是有限集且|G|=k,则<G,*>与<Nk, +k>同构。
定理9：任何一个循环群必定是阿贝尔群(可交换群)。 证明： 设<G,*>是一个循环群，它的生成元为g,那么对于任意的a, b∈G, 必有i, j∈I,使得
gi=a, gj=b 那么a*b=gi*gj=gi+j=gj+i=gj*gi=b*a，因此，<G,*>是一个阿贝尔群。
二、循环群
定理10：设<G, *>是由g∈G生成的有限循环群, 如果|G|=n,则gn=e, G ={g, g2, g3, …, gn=e}且n是使 gn=e的最小正整数。 证明： (1)先证gm=e而m＜n是不可能的。
所以<Sn, ◇>是一个群。
一、置换群
给定n个元素组成的集合A: A上的若干置换所构成的群称为n次置换群； A上所有置换构成的群称为n次对称群, <Sn,◇>。 n次对称群<Sn,◇>的子群即为n次置换群。
例1 令A＝{1,2,3}，A上置换的全体S3={pi i = 1,2,3,4,5,6}。
(pa◇pb)(x) = (x * a) * b =x * (a * b) =pa*b(x)∈P
(1)
(b) 存在幺元 设e是<G , *>的么元, a∈G是任一元素,则有
循环群和置换群
定义11.16 对任意集合A定义
集合S S = {f fAA∧f
为双射} 那么群<S，○>及其子
群称为变换群.其中
○ 为函数的合成运 算．
定理11.29
每个群均同构
于一个变换群， 特别地,每一个 有限群均同构于 一个置换群.
离散1.1 循环群
定理 11.27 循环群的子群都是循环群．
定理11.28 设<G，>为g生成的循环群．
（1）若G为无限群，则G有无限多个子群， 它们分别由g0,g1,g2, g3,…生成．
（2）若G为有限群， G ＝ n，且n有因子 k1,k2,k3,…,kr，那么G有r个循环子群，它们分别由 gk1,gk2,gk3,…生成.（注意这r个子群中可能有相同者．）
.
循环群和置换群
1.2 置换群
定义11.14
称有限集上的双射函数为置换． 称任意集合上的双射函数为变换．
定义11.15 将n个元素的集合A上的置换全体记为S，那么称
群<S, ○>为n次对称群（symmetric group），它的 子群又称为n次置换群（permutation group）．
.
循环群和置换群
离散数学导论
.
循环群和置换群
1.1 循环群
定义11.13
称<G，>为循环群(cyclic group)，
如果 G为群，且G中存在元素 g ,使 G以{g}为 生成集，即 G的任何元素都可表示为 g 的幂 （约定e = g0），这时g称为循环群G的
生成元（generater）．
.
循环群和置换群
1.1 循环群
定理11.26 设<G，>为循环群，g为生成元，那么
§2变换群、置换群与循环群
• |An|=? • 若n=1，Sn只有一个置换——恒等置换
，它也是An的元素，|An|=1。 • 若n>1, • |An|=|On|=12 n !
2020/10/31
• 例：G={g1, g2, gn},[G;]是群,对任 意gG,定义映射g:GG,使得对任意 xG,有g(x) =gx。设={g|gG},则 [;•]是置换群。这里•是关于映射的复 合运算.Leabharlann ii1 2i2 i3
id1 id
id i1
iid d 1 1 iin n
其中2≤d≤n。这种形式的置换叫做循环置换 , 称其循环长度为d。上述可写为=(i1,…, id)，其中在变换下的象是自身的元素就不 再写出。 • 特别, 当 d=2时称为对换。
2020/10/31
• 定理14.10:Sn中的任一个置换均可分解 为不含公共元的若干个循环置换的乘积 。
(1 4)(31)(26)(57)(85)
(1,4)(1(,22,)3)(2(,66,)1)(5(,88,)7)
• 说明分解不唯一
2020/10/31
• 定理14.11：任意一个置换可分解成对换 的乘积, 这种分解是不唯一的, 但是这些 对换的个数是奇数个还是偶数个却完全 由置换本身确定。
• 对一个置换，它可能有不同的对换乘积 ，但它们的对换个数的奇偶性则是一致 的。
变换称为置换。S上的某些置换关于乘法 运算构成群时, 就称为置换群。
• 若|S|=n,设S={1,2,,n},其置换全体组成 的集合表示为Sn;
• [Sn;•]是一个置换群, n次对称群。
2020/10/31
变换群和置换群
• S3是最小的非交换群
– 注意：质数阶群一定是可交换群。
轮换与对换
• 定义: 设是S={1,2,…,n}上的n元置换，且： (i1)=i2, (i2)=i3, …, (ik-1)=ik, (ik)=i1, 且xS, xij j=1,2,…,k, (x)=x, 则称是S上的一个k阶轮换，当k=2, 也称为对换。 • 记法：(i1 i2 … ik ) • 例子：用轮换形式表示S3的6个元素：
函数ff的轮换形式： 的轮换形式： (12 23 34) 4) 函数 (1
函数ff的对换乘积形式： 的对换乘积形式： 函数 (12) 2)(1 (13) 3)(1 (14) 4) (1
排列中的逆序
• 设i1i2…in是1,2,…,n的一种排列。对任意的ij, ik, 若ij>ik, 且j<k, 则称ijik为一个逆序 • 排列中逆序总个数称为该排列的逆序数。
– e=(1); =(1 2 3); =(1 3 2); =(2 3); =(1 3); =(1 2)
1 2 3 4 5 6 7 8 1 4 3 7 2 5 8 6
不相交的轮换相乘可以交换
• 给定Sn中两个轮换： =(i1 i2 … ik ), =(j1 j2 … js ), 若{i1, i2, …, ik} {j1, j2, …, js}=，则称 与 不相交 • 若 与 不相交，则 =
• 例子：(3 2 1 5 4)中3和2构成一个逆序，这里的逆序数 是4
奇置换和偶置换
• 是 S 上 的 一 个 置 换 ， (j)=aj, (j=1,2,…,n) 。则 的任意对换表示中的对 换个数与排列a1, a2, …, an的逆序数同奇偶 性。 • 证明
密码学数学基础第七讲 群(2)
α β = β α = IS
则称β为 的逆置换 记为α 的逆置换， 则称 为α的逆置换，记为 -1 。
，
1 2 ⋯ n 的 元 其 置 置 σ = 换 逆 为 逆 换 i1 i2 ⋯ in
36 [6]的加法阶为 (6,36) = 6 ， 的加法阶为 36 [8]的加法阶为 (8,36) = 9 的加法阶为
。
练习：求出（ ，＋）的每一个元素的阶与所有生成元 的每一个元素的阶与所有生成元。 练习：求出（Z12，＋）的每一个元素的阶与所有生成元。 解： 元素 0 1 2 阶 1 12 6 3 4 4 5 6 7 8 3 12 2 12 3 9 10 11 4 6 12
1 2 3 σ1 = 1 2 3 1 2 3 σ4 = 1 3 2 1 2 3 σ2 = 2 1 3 1 2 3 σ5 = 2 3 1 1 2 3 σ3 = 3 2 1 1 2 3 σ6 = 3 1 2
本节内容
一、循环群(生成元) 循环群 二、置换群 (变换群、置换、轮换) 变换群、置换、
一、循环群
定义1 为群， 定义 设<G，*>为群，如果存在一个元素 ∈G， ， 为群 如果存在一个元素a∈ ， 则称G为循环群，记作G=<a>，称a是 使 G = {a k | k ∈ Z }，则称 为循环群，记作 ， 是 G的生成元。 的生成元。 循环群都是交换群。 循环群都是交换群。 例1 (1) <Z，＋ 是一个循环群，1或-1是生成元，1与，＋>是一个循环群 是生成元， 与 ，＋ 是一个循环群， 或 是生成元 1互为逆元。 互为逆元。 互为逆元 (2) <Zn， ⊕ >是循环群，其中Z n = {0,1,… , n − 1} 它的 是循环群， 是循环群 ， 生成元是1。 生成元是 。 (3) < Z 6 , ⊕ >是循环群 其中Z 6 = {0,1, 2,3, 4,5} , ⊕为模 加 是循环群, 为模6加 其生成元为1或 。 法，其生成元为 或5。
循环群与置换群
• 循环群是互换群。 • 若( G,◦)为循环群， g为G旳生成元，则G旳构造
在同构旳意义下完全由 g旳阶所拟定：
（1）若 g旳阶= n，则 ( G,◦) ≅ (Zn, +n)； （2）若 g旳阶=∞，则 ( G,◦) ≅ (Z , + )。
例7.3.7 在 S3中，我们有
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
1 2
2 3
3 1
4 4
55
(123)
(231)
(312)
1 4
2 2
3 5
4 3
15
(1435)
(4351)
(3514)
(5143)
1 2
2 3
3 4
4 5
15
(12345)
(23451)
(34512)
都能够看作n个元素旳循环置换。所以，τ 就分解成若干个
不含公共元素旳循环置换旳乘积。
注意，不含公共元素旳循环置换旳乘法是可互换旳。
例如，
1 3
2 6
3 4
4 1
5 8
6 2
7 5
8 7
(587)(26)(134)
(134)(26)(587)
例 利用循环置换旳措施，我们有 3次对称群 S3旳元素能够表达为: (1), (12), (13), (23), (123), (132)。 4次对称群 S4旳元素能够表达为： (1); (12), (13), (14), (23), (23), (34);
置换群——精选推荐
11.7 循环群与置换群一、循环群1. 循环群的定义定义11.14 设G 是群，若a G ∃∈使得{|}k G a k Z =∈, 则称G 是循环群，记作G a =<>，称a 为G 的生成元。
注意：(1) 对于任何群G ，由G 中元素a 生成的子群是循环群。
(2) 任何素数阶的群都是循环群。
设G 是循环群，若a 是n 阶元，则0121{,,,,}n G a e a a a -== ， 那么|G|=n ，称G 为n 阶循环群。
若a 是无限阶元，则012{,,,}G a e a a ±±== ， 这时称G 为无限阶循环群。
例如 (1)G=<Z,+>是无限阶循环群。
(2)G=<Z 6,⊕>是6阶循环群。
2.循环群的性质定理 11.20 设G a =<>是循环群.(1)若G 是无限循环群，则G 只有两个生成元，即a 和a -1.(2)若G 是n 阶循环群，则G 含有()n ϕ个生成元，对于任何小于等于n 且与n 互质的正整数r ，a r 是G 的生成元。
证 (1)显然1a G -<>⊆，为了证明1G a -⊆<>，只须证明对任何k a G ∈，a k 都可以表达成a -1的幂。
由定理11.1有11()k a a --=，从而得到1G a -=<>，1a -是G 的生成元。
再证明G 中只有a 和a -1这两个生成元，假设b 也是G 的生成元，则G b =<>。
由a G ∈可知存在整数t 使得ta b =，又由b G a ∈=<>可知存在整数m 使得m b a =。
从而得到()t m t mt a b a a === 则由消去律得1mt a e -=。
因为G 是无限群，必有mt-1=0。
从而证明了m=t=1或m=t=-1，即b=a 或b=a -1。
(2) 只须证明：()r Z r n ∀∈≤，a r 是G 的生成元当且仅当n 与r 互质。
置换群
第九讲§置换群(pormutation group)本讲的教学目的和要求:置换群是一种特殊的变换群。
换句话说，置换群就是有限集上的变换群。
由于是定义在有限集上，故每个置换的表现形式，固有特点都是可揣测的。
这一讲主要要求：1º弄清置换与双射的等同关系。
2º掌握置换—轮换—对换之间的联系和置换的奇偶性。
3º置换的分解以及将轮换表成对换之积的基本方法要把握。
4º对称群与交错群的结构以及有限群的cayley定理需要理解。
本讲的重点与难点：对于置换以及置换群需要侧重注意的是：对称群和交错群的结构和置换的分解定理（定理2）。
注意：由有限群的cayley定理可知：如把所有置换群研究清楚了。
就等于把所有有限群都研究清楚了，但经验告诉我们，研究置换群并不比研究抽象群容易。
所以，一般研究抽象群用的还是直接的方法。
并且也不能一下子把所有群都不得找出来。
因为问题太复杂了。
人们的方法是将群分成若干类（即附加一定条件）；譬如有限群；无限群；变换群；非变换群等等。
对每个群类进行研究以设法回答上述三个问题。
可惜，人们能弄清的群当今只有少数几类（后面的循环群就是完全解决了的一类群）大多数还在等待人们去解决。
变换群是一类应用非常广泛的群，它的具有代表性的特征—置换群，是现今所研究的一切抽象群的来源，是抽象代数创始人E.Galais(1811-1832)在证明次数大于四的一元代数方程不可能用根号求解时引进的。
一．置换群的基本概念定义1.任一集合A到自身的映射都叫做A的一个变换，如果A是有限集且变换是一一变换（双射），那么这个变换为A的一个置换。
有限集合A的若干个置换若作成群，就叫做置换群。
含有n个元素的有S.限群A的全体置换作成的群，叫做n次对称群。
通常记为n明示：由定义1知道，置换群就是一种特殊的变换群（即有限集合上的变换群）S也就是有限集合A的完全变换群。
而n次对称群n现以{}321 , , a a a A =为例，设π：A →A 是A 的一一变换。
变换群和置换群
变换群的例子
• G是R上所有如下形式的变换构成的集合 {fa,b | fa,b(x)=ax+b，其中a,b是有理数，a0} 则G是变换群。
– 封闭性: – 结合律： – 单位元： – 逆元素：
置换及其表示
• 定义：有限集合S上的双射 :SS称为S 上的n元置换 • 记法：
1 2 ... n (1) (2) ... (n)
– 经常讨论的是一一变换，即f是双射。 – 变换就是函数，变换的“乘法 ”就是函数复合 运算。
• 集合A上的一一变换关于变换乘法构成的群称为变 换群。
非空集合上所有一一变换构成群
• 设A是任意的非空集合，A上所有的一一 变换一定构成群。
– 封闭性：双射的复合仍是双射。 – 结合律：变换乘法是关系复合运算的特 例。 – 单位元：f:AA, xA, f(x)=x满足对于任 意g:AA, f◦g=g◦f=g (恒等变换) – 逆元素：任意双射g:AA均有反函数g 1:AA, 即其逆元素。
– e=(1); =(1 2 3); =(1 3 2); =(2 3); =(1 3); =(1 2)
1 2 3 4 5 6 7 8 1 4 3 7 2 5 8 6
不相交的轮换相乘可以交换
• 给定Sn中两个轮换： =(i1 i2 … ik ), =(j1 j2 … js ), 若{i1, i2, …, ik} {j1, j2, …, js}=，则称 与 不相交 • 若 与 不相交，则 =
用对换的乘积表示置换
• k(k>1)阶轮换 =(i1 i2 … ik )可以表示为k-1个对换的 乘积：(i1i2)…(i1ik-1) (i1ik)
• 证明：对k归纳。 – k=2时显然成立。 – 考虑 =(i1 i2 … ik ik+1 ), 只需证明 =(i1 i2 … ik)(i1 ik+1 )。 分4种情况证明：xA, (x)=(i1 i2 … ik)(i1 ik+1 )(x) (1) x{ i1, i2, …, ik-1} (2) x=ik (3) x=ik+1 (4) x为A中其它元素
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
• (a,b)(c,d)
• (a,b)(b,c)
推论14.4：Sn中的奇、偶置换在置换的乘法运算 下,其奇偶性由下表给出:
• 偶置换 偶置换 偶置换
奇置换 奇置换
奇置换 奇置换 偶置换
• 恒等置换看作为偶置换 • Sn= On∪An • On∩An= • 偶置换与偶置换的乘积仍是偶置换，•是An上
的运算
• [An;•]是代数系统。
• 1.封闭性
• 2.结合律当然成立
• 3.恒等置换eAn • 4.对于An,
在Sn中有逆元-1, -1也是偶置换
• 推论14.5：对称群Sn中所有偶置换组成的 集合, 记为An,关于置换的乘法构成群。
• 定义14.9：称上述[An;•]为n次交待群。
• 由于An中每个元素都是置换,因此根据置 换群的定义可知[An;•] 也是置换群.
•
共k-1个对换
• 所以当k是奇数时，该循环为偶置换
• 当k是偶数时，该循环为奇置换
• 推论14.2：一个长度为 k的循环置换, 当k为奇数时, 它是一个偶置换; 当k为 偶数时, 它是一个奇置换。
• 推论14.3：每个偶置换均可分解为若干个 长度为 3 的循环置换的乘积, 循环置换中 可以含有公共元。
• 对一个置换，它可能有不同的对换乘积， 但它们的对换个数的奇偶性则是一致的。
• 定义14.8：一个置换的对换分解式中,
对换因子的个数是偶数时称该置换为偶 置换,否则, 称它为奇置换。
• 长度为k的循环置换
• (i1 i2 …ik)=(i1 i2)(i2 i3)…(ik-2 ik-1)(ik-1 ik)
§2 变换群、置换群与循环群
• 例14.8:证明不等边长方形所有对称的集 合, 关于其合成•构成群。
• B4={e,,,},[B4;•]是4元素群,称为Klein 四元群。
一、变换群
• 变换:非空集合S到S的一个映射, • 当映射是一一对应时, 称为一一变换。
• SS表示S到S的所有映射全体组成的集合, • SS={f|f:SS}， • [SS;•]是半群。是拟群。不是群 • T(S)表示S上所有一一变换组成的集合。 • T(S)={f|fSS,且f为一一对应} • [T(S);•]是群
• 若|S|=n,设S={1,2,,n},其置换全体组成 的集合表示为Sn;
• [Sn;•]是一个置换群, n次对称群。
• S上的置换Sn,习惯上写成
1(1)2(2) (nn)
这里(i)即为i在函数下的象，这里1,2, ,n次序无关，即
1 ( 1 )2 (2 ) ( n n ) i( 1 i1 )i2 (i2 ) ( ii n n )
证明: (0)•是上的运算
(1)•是满足结合律的.
(2)存在单位元
(3)对任意g ,存在逆元 (4)g是G上的置换
三、循环群
• 1.元素的阶 • 定义14.10:设G为群, e是G的单位元，对
于aG, 如果存在最小正整数r，使得ar=e，
则称r为元素a的阶; 也可称a是r阶元。若 不存在这样的r，则称a为无限阶元或说a 的阶无限。
• 定义14.7:设|S|=n, Sn, 形如:
ii1 2
i2 i3
id 1 id
id i1
iid d 1 1 iin n
其中2≤d≤n。这种形式的置换叫做循环置换 , 称其的象是自身的元素就不 再写出。 • 特别, 当 d=2时称为对换。
• 作业: P293 12.(2) (3), 13
• |An|=?
• 若n=1，Sn只有一个置换——恒等置换， 它也是An的元素，|An|=1。
• 若n>1,
•
1
|An|=|On|= 2
n!
• 例：G={g1, g2, gn},[G;]是群,对任意 gG,定义映射g:GG,使得对任意 xG,有g(x) =gx。设={g|gG},则 [;•]是置换群。这里•是关于映射的复 合运算.
恒等置换e 11
2 2
n n
σ的逆置换σ1
σ
(1) 1
σ(2) 2
σ(n n
)
但习惯上重新整理按1— n重排，即
σ1
1 σ1(1)
2 σ1(2)
n σ1(n)
• n次对称群Sn是有限群,问|Sn|=? • S上的一一变换个数有多少?
• S上的一一变换个数是n!,即|Sn|=n!。 • 下面以三次对称群S3为例， • 考察群运算。
5 8
6 2
7 5
78
(1 3)(34)(26)(58)(87)
(1 4)(31)(26)(57)(85)
(1,4)(1(,22,)3)(2(,66,)1)(5(,88,)7)
• 说明分解不唯一
• 定理14.11：任意一个置换可分解成对换 的乘积, 这种分解是不唯一的, 但是这些 对换的个数是奇数个还是偶数个却完全 由置换本身确定。
• 定理14.10:Sn中的任一个置换均可分解为 不含公共元的若干个循环置换的乘积。
• 证明:对n作归纳 n=1,成立 假设对n>1，|S|n-1,结论成立 当|S|=n,任取Sn中的置换 由元素1出发取上的循环置换
• 推论14.1:任意一个置换可以分解为若干 个对换的乘积。
σ13
2 6
3 4
4 1
• 定义14.5:设GT(S),当[G;•]为群时,就称
该群为变换群,其中•为一一变换的合成
(复合)运算,并称为变换的乘法。
• 定理14.9:[T(S);•]是一个变换群。
• 变换群不一定是交换群
二、置换群
• 定义14.6:设S,|S|<+,S上的一个一一
变换称为置换。S上的某些置换关于乘法 运算构成群时, 就称为置换群。
一般地 对,于σ σ1(1σ2) (2 )σn(n,) ττ1(1τ2) (2 )τn(n,有 )
σ•τ σ1(1)σ2(2) σ(nn)•τ1(1)τ2(2) τ(nn) στ(τ(1(1)))στ(τ(2(2) )) σ(ττ((nn)))•τ1(1)τ2(2) τ(nn) σ(τ(11))σ(τ2(2) )σ(τ(nn))