关于三等分任意角的方法探究

三等分任意角的方法探究
西工大附中
孙开锋
三等分任意角的方法探究
摘要：三等分角是古希腊几何三大作图问题之一，本文
关键词：
只准用直角和圆规，你能将一个任意的角进行两等分吗？这可太简单了，几千前的数学家们就会做。

纸上任意画一个角，以其顶点O为圆心，任意选一个长度为半径画弧，找出弧与角的两边的交点，分别命名为A和B。

然后分别以A点和B点为圆心，以同一个半径画弧，这个半径要大于A、B之间距离的一半。

找出两段弧的相交点C，用直尺把O和C连接起来，那么直线OC就将角AOB 平分成了两部分。

用同样的方法，我们可以把一个角任意分成4等分、8等分、16等分……，也就是说，只要你有耐心，可以把任意一个角等分为2的任意次方。

但是，如果只用直尺和圆规，并且，这直尺还不能有刻度，你能将任意一个角三等分吗？
早在公元前5世纪，古希腊的巧辩学派就提出了在只用直尺画直线、圆规画弧的限定下，将任意给定的角三等分的命题。

很多伟大的数学家如阿基米德、笛卡儿、牛顿等都试图拿起直尺和圆规挑战自己的智力，但终于都以失败告终。

直至公元1837年，法国数学家闻脱兹尔宣布：“只准使用直尺与圆规，想三等分一个任意角是不可能的！”, 才暂时了结了这宗长达几千年的数学悬案。

但是，如果没有几何作图法的限制，任意角三等分问题当然可以解决，不妨举几个例子以共享。

一、利用工具三等分任意角
如图1所示，叫做“三等分仪”
吧 ，
CE=EG=DG,ME ⊥CD,弧ED 是以G 为圆心的半圆，故ME 与半圆G 相切于点E.
具体操作：将该仪器置于 ∠AOB 的内部，使得点C 落在OA 上，ME 经过点O,半圆G 与OB 相切于点F,则OE,OG 为∠AOB 的三等分线。

数理证明：分别连接OG,GF,故GF ⊥OB,而EG ⊥OE,所以易证：△GOE ≌△GOF;同理可证△GOE ≌△COE;故可得到：∠COE=∠GOE=∠FOG.所以，OE 、OG 为∠AOB 的三等分线。

二、中考中的三等分角
题目：（广东佛山市）三等分一任意角是数学史上一个著名的问题，用尺规不可能“三等分一任意角”。

下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法：将给定的锐角∠AOB 置于直角坐标系中，边OB 在x 轴上，边OA 与函数y x
=1的图象交于点P ，以P 为圆心，以2OP 为半径作弧交函数y x
=1的图象于点R ，分别过点P 和R 作x 轴和y 轴的平行线，两直线交于点M ，连结OM 得到∠MOB ，则∠=∠MOB AOB 13。

要明白帕普斯的方法，请研究以下问题。

（1）设P （a a
,1），R （b b
,1）求直线OM 对应的函数表达式（用含a b 、的代表式表示）；
（2）分别过点P 和R 作y 轴与x 轴的平行线，两直线相交于点Q ，请证明点Q 在直线OM 上，并据此证明∠=∠MOB AOB 1
3
；
（3）应用上述方法得到的结论，你如何三等分一个钝角（用文字简要说明）。

分析：三等分角问题是二千四百年前古希腊人提出的几何三大作图不能问题之一。

本题以数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法为线索，提出了相关的问题，要求学生研究解决，颇有新意。

同时，引导同学们了解数学史、了解数学家的探索过程，可以帮助同学们认识自我，建立学好数学的信心。

为了减轻同学们证明中的困难，命题者设计了两道简单的小题，用以过渡。

对前两道小题，首先用待定系数法易求得直线OM 的解析式为
y ab x =
1。

接着由于点Q 的坐标（a b ,1）满足y ab
x =1
，因此可得点Q 在直线
OM 上。

有了上面的基础，再证明∠=∠MOB AOB 13
，就不太困难。

简证如下：
四边形PQRM 是矩形，MQ 与PR 交于点S 。

∴====
∴∠=∠=∴==∴∠=∠∠=∠+∠=∠SP SQ SR SM PR PR OP PS OP PR 1
2
1221
23441221,,,, ，又即
∠=∠∴∠=∠3211， QR OB MOB //,。

则∠=∠32MOB ，即∠=∠MOB AOB 1
3。

最后将（3）解答如下：
方法（1）因为钝角的一半是锐角，所以先把钝角平分为两锐角，再利用题给方法把相等的两锐角都三等分即可。

方法（2）可把钝角分为一个直角和一个锐角，然后利用题给方法把锐角三等分后，再将直角利用作等边三角形（或其它方法）三等分即可。

方法（3）若设已知钝角为α。

6018033
︒-
︒-=∴αα
,可先将α的补角三等分得：角603
︒-α
，然后从大小为60︒的角中通过作图去掉角603
︒-α
即可。

这道压轴题的第（3）小题具有一定的开放性和个性化设计，它可以根据自己的理解程度，提出一个解决的方法，并且为了减缓难度，设计了3小题，让同学们拾级而上，入口较宽。

这一系列的、有层次的命题设计，体现了新课程标准倡导的“承认差异，尊重个性，给每一位学生以充分发展的空间”的理念。

数学思想方法在解决数学问题中具有理念性的地位，这道压轴题是一道典型的数形结合题。

近年来，不少试题，都重视考查同学们对数学思想方法的理解与应用，有效抑制了题海战术，促进了学生学习方式的变革。

三、尺规作图的方法探究
三等分任意角作图(如图3) 1.1 用无刻度尺
的直尺作任意角
AOB ∠；
1.2 用圆规作
AOB ∠的平分线
1OO ;
1.3 取任意长半径d ，作AOB ∠的内
切圆；
1.4 由d 圆周上作b ‖1OO ;作c ‖OB 相交于点K;
1.5 过点K 作等圆⊙1O ；
1.6 过O 点再作⊙1O 的切线OP ，则OP 就是任意角AOB ∠的三等分线。

下面做简单的数理证明： （如图4）
2.1 以O 为圆心，以1OO 为半径作弧⊙O ;
2.2作距离切线OP 为d 的平行线p ′与⊙O 相交于2O ; 2.3由作图知1KO =d ，K 到OB 的距离为2d;
过K 点作⊙'
2O 与OB 和c 相切且与⊙1O 相交于K,圆心'
2O 在⊙O 的轨迹线上；
过M 点作⊙2O 与OB 和c 相切且与⊙1O 相切于M;圆心2O 在⊙O 的轨迹线上；
2.4所以1O M =2O M =2O D ;故△1OO M ≌△2OO M ≌△2OO D ;
2.5同理作左边⊙3O ，则12O O 、13O O （及35O O 、24O O ）是⊙O 内接正多边形的边；故OP 切线是任意角AOB ∠的三等分线。

A
O
B
O1
b
c
D
图2
P
p ˊ
O2
d
M
K
O3
R
O 2ˊ
O5
O4
K ˊ。