衡水中学状元笔记数学

名师批注诠释方法与思维第一章㊀集合㊁常用逻辑用语㊁推理与证明第一节㊀集合的概念与运算一㊁集合性质及表示１.集合中的元素具有确定性、互异性、无序性等特性.２.集合的表示方法有列举法、描述法、特定记号法.二㊁集合的三种运算１.集合的三种运算:交集ＡɘＢ＝｛ｘ｜ｘ∈Ａ且ｘ∈Ｂ｝ꎬ并集ＡɣＢ＝{ｘ｜ｘ∈Ａ或ｘ∈Ｂ}ꎬ补集∁ＳＡ＝｛ｘ｜ｘ∈Ｓ但ｘ∉Ａ｝.２.集合的运算律:交集运算:①ＡɘＢ⊆Ａꎻ②ＡɘＢ⊆Ｂꎻ③ＡɘＡ＝Ａꎻ④Ａɘ⌀＝⌀ꎻ⑤ＡɘＢ＝ＢɘＡ.并集运算:①ＡɣＢ⊇Ａꎻ②ＡɣＢ⊇Ｂꎻ③ＡɣＡ＝Ａꎻ④Ａɣ⌀＝Ａꎻ⑤ＡɣＢ＝ＢɣＡ.补集运算:①∁Ｕ(∁ＵＡ)＝Ａꎻ②∁ＵＵ＝⌀ꎻ③∁Ｕ⌀＝Ｕꎻ④Ａɘ(∁ＵＡ)＝⌀ꎻ⑤Ａɣ(∁ＵＡ)＝Ｕ.３.子集的性质:Ａ⊆Ｂ⇔Ａ∩Ｂ＝Ａ⇔ＡɣＢ＝ＢꎻＡ⊆Ｂ⊆Ｃ(如图)⇔∁ＣＡ⊇∁ＣＢ⇔∁ＢＡ⊆∁ＣＡ.ʌ题释１ɔ(２０１８ 衡水中学学案)若集合Ａ＝{ｘ｜(ｋ＋２)ｘ２＋２ｋｘ＋１＝０}有且仅有两个子集ꎬ则实数ｋ的值为 .【答案】－２，－１，２【解析】依题意知，集合Ａ恰有２个子集，则集合Ａ恰含１个元素，则方程(ｋ＋２)ｘ２＋２ｋｘ＋１＝０有唯一解，则该方程是一次方程或是有两个相等根的二次方程，则分两类为：ｋ＋２＝０或ｋ＋２≠０.Δ＝(２ｋ)２－４(ｋ＋２)＝０.{解得ｋ＝－２ꎬ－１ꎬ２.所以，实数ｋ的值为－２ꎬ－１ꎬ２.㊀㊀ʌ题释２ɔ(２０１８ 衡水中学限时)已知集合Ａ＝{ｘ｜ｘ２－３ｘ－１０ɤ０}.(１)若Ｂ＝{ｘ｜ｍ－６ɤｘɤ２ｍ－１}ꎬＡ⊆Ｂꎬ求实数ｍ的取值范围ꎻ(２)若Ｂ＝{ｘ｜ｍ＋１ɤｘɤ２ｍ－１}ꎬＢ⊆Ａꎬ求实数ｍ的取值范围.【答案】由Ａ＝｛ｘ｜ｘ２－３ｘ－１０≤０｝ꎬ得Ａ＝｛ｘ｜－２≤ｘ≤５｝.(１)若Ａ⊆Ｂꎬ则２ｍ－１≥ｍ－６ꎬｍ－６≤－２ꎬ２ｍ－１≥５ꎬ{解得３≤ｍ≤４ꎬ所以ｍ的取值范围为［３ꎬ４］.(２)若Ｂ⊆Ａ，则①当Ｂ＝⌀时，有ｍ＋１>２ｍ－１ꎬ即ｍ<２ꎬ此时满足Ｂ⊆Ａꎻ②当Ｂ≠⌀时ꎬ有ｍ＋１≤２ｍ－１ꎬｍ＋１≥－２ꎬ２ｍ－１≤５ꎬ{解得２≤ｍ≤３.由①②得，ｍ的取值范围是(－∞，３］.１对于集合中元素的性质，在实际考试中，互异性考查较多也最容易忽略，例如若集合Ａ＝{ｘ∈Ｒ｜ａｘ２－３ｘ＋２＝０}中只有一个元素，求实数ａ的值.集合的表示方法中列举法、描述法用得最多，要分清描述法的代表元素是数还是点，例如｛ｙｙ＝ｘ２＋１｝与｛(ｘꎬｙ)ｙ＝ｘ２＋１｝的区别.空集是任何集合的子集，空集只有自身１个子集，一般地ꎬ含有ｎ个元集的集合恰有２ｎ个子集(ｎ∈Ｎ).(ｋ＋２)＝０时为一次方程ꎬ这里我犯错误了.假如只将“两个子集”替换成“３个真子集”，ｋ＋２就不能等于０了，此时有两个元素，需满足Δ>０.“当Ｂ⊆Ａ时，Ｂ可能为空集”被我忽视，这是“陷阱”，考点也在这里.将Ｂ分为Ｂ＝⌀与Ｂ≠⌀两类，然后取并集是解决本题的关键.㊀㊀ʌ题释３ɔ设全集为Ｒꎬ集合Ｍ＝ｙｙ＝２ｘ＋１ꎬ－１２ɤｘɤ１２{}ꎬＮ＝{ｘ｜ｙ＝１ｇ(ｘ２＋３ｘ)}ꎬ则Ｖｅｎｎ图中阴影部分表示的集合在数轴上表示为(㊀㊀)【答案】Ｃ【解析】因为－１２≤ｘ≤１２ꎬｙ＝２ｘ＋１ꎬ所以０≤ｙ≤２ꎬ所以Ｍ＝{ｙ｜０≤ｙ≤２}.因为ｘ２＋３ｘ>０ꎬ所以ｘ>０或ｘ<－３，所以Ｎ＝{ｘ｜ｘ>０或ｘ<－３}ꎬＶｅｎｎ图中的阴影表示的集合为(∁ＲＭ)∩Ｎꎬ又∁ＲＭ＝｛ｘ｜ｘ<０或ｘ>２｝ꎬ所以(∁ＲＭ)∩Ｎ＝{ｘ｜ｘ<－３或ｘ>２}.故选Ｃ.ʌ题释４ɔ已知集合Ａ＝{ｍ＋２ꎬ２ｍ２＋ｍꎬ－３}ꎬ且３ɪＡꎬ求ｍ的值.【解】因为３∈Ａꎬ所以ｍ＋２＝３或２ｍ２＋ｍ＝３ꎬ解得ｍ＝１或ｍ＝－３２.当ｍ＝１时，ｍ＋２＝２ｍ２＋ｍ＝３ꎬ不满足集合中元素的互异性，当ｍ＝－３２时，Ａ＝－３，１２，３{}，满足题意.故ｍ＝－３２.ʌ题释５ɔ已知ＡꎬＢ都是数集Ｍ的非空子集ꎬ若对于任意ｘɪＡꎬｙɪＢꎬ都有ｘ<ｙꎬ则称(ＡꎬＢ)是Ｍ的一个 子集对 .若取Ｍ＝{１ꎬ２ꎬ３ꎬ４}ꎬ则Ｍ共有 个子集对.【答案】１７【解析】当Ａ＝｛１｝时，Ｂ＝｛２｝、｛３｝、｛４｝、｛２，３｝、｛３，４｝、｛２，４｝、｛２，３，４｝，则此时子集对(ＡꎬＢ)可以搭配成１×７＝７(个)；当Ａ＝｛２｝、｛１，２｝时，Ｂ＝｛３｝、｛４｝、｛３，４｝，则此时子集对(ＡꎬＢ)可以搭配成２×３＝６(个)；当Ａ＝｛３｝、｛１，３｝、｛２，３｝、｛１，２，３｝时，Ｂ＝｛４｝，则此时子集对(ＡꎬＢ)可以搭配成４×１＝４(个).综上，符合题意的子集对共有１７个.ʌ例题１ɔ设函数ｆ(ｘ)＝｜２ｘ－ａ｜＋２ａꎬ其中ａɪＲ.(１)若不等式ｆ(ｘ)ɤ６的解集是{ｘ｜－６ɤｘɤ４}ꎬ求ａ的值ꎻ(２)在(１)的条件下ꎬ若不等式ｆ(ｘ)ɤ(ｋ２－１)ｘ－５的解集非空ꎬ求实数ｋ的取值范围.【答案】(１)不等式ｆ(ｘ)≤６等价于｜２ｘ－ａ｜≤６－２ａꎬ则－６＋２ａ≤２ｘ－ａ≤６－２ａ，即－６＋３ａ≤２ｘ≤６－ａ.依题意，上述不等式等价于－１２≤２ｘ≤８ꎬ则比较得－６＋３ａ＝－１２且６－ａ＝８ꎬ解得ａ＝－２.(２)已求ａ＝－２ꎬ则ｆ(ｘ)＝｜２ｘ＋２｜－４ꎬ则绝对值函数ｆ(ｘ)的图象的最低点是Ｖ(－１，－４).令ｇ(ｘ)＝(ｋ２－１)ｘ－５ꎬ则含有参数ｋ的一次函数ｇ(ｘ)的图象经过定点Ｄ(０，５).依题意，绝对值函数ｆ(ｘ)的图象至少有一点在一次函数ｇ(ｘ)的图象的下方或图象上.如图，运用数形结合的思想得ｋ２－１≤ｋＤＶ＝－１或ｋ２－１>２ꎬ解得ｋ＝０或｜ｋ｜>３.所以，实数ｋ的取值范围是(－∞，－３)∪{０}∪(３ꎬ＋∞).２识别Ｖｅｎｎ图中表示的范围为在集合Ｎ中且没在集合Ｍ中及数轴上边界的有无.ｍ＋２ꎬ２ｍ２＋ｍꎬ－３是不相同的，与元素互异性一致.按集合Ａ与集合Ｂ中元素ｘｍａｘ<ｙｍｉｎ分类；猜想：对于含有ｎ个实数元素的集合Ｍ，若整个实数元素的集合Ｍꎬ若整数ｎ≥２ꎬ则本题所定义的Ｍ的“子集对”共有１＋(ｎ－２)２ｎ－１个.列举和分类要按一定次序，避免遗漏和重复，按集合Ｂ中最小元素分类也能解决该题.不等式ｆ(ｘ)≤６的边界值等于所对应的等式ｆ(ｘ)＝６的根.①无需讨论ｃ的正负，｜ｐ(ｘ)｜≤ｃ⇔－ｃ≤ｐ(ｘ)≤ｃꎬ｜ｐ(ｘ)｜≥ｃ⇔ｐ(ｘ)≤－ｃ或ｐ(ｘ)≥ｃ；②对于第(２)小题，假如只将“解集非空”替换成“解集为Ｒ”就转换成恒成立问题.名师批注诠释方法与思维㊀㊀ʌ例题２ɔ设整数ｎȡ４ꎬ集合Ｘ＝{１ꎬ２ꎬ３ꎬ ꎬｎ}.令集合Ｓ＝{(ｘꎬｙꎬｚ)｜ｘꎬｙꎬｚɪＸꎬ且三条件ｘ<ｙ<ｚꎬｙ<ｚ<ｘꎬｚ<ｘ<ｙ恰有一个成立}.若(ｘꎬｙꎬｚ)和(ｚꎬｗꎬｘ)都在Ｓ中ꎬ则下列选项正确的是(㊀㊀)㊀㊀Ａ.(ｙꎬｚꎬｗ)ɪＳꎬ(ｘꎬｙꎬｗ)∉Ｓ㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀Ｂ.(ｙꎬｚꎬｗ)ɪＳꎬ(ｘꎬｙꎬｗ)ɪＳＣ.(ｙꎬｚꎬｗ)∉Ｓꎬ(ｘꎬｙꎬｗ)ɪＳＤ.(ｙꎬｚꎬｗ)∉Ｓꎬ(ｘꎬｙꎬｗ)∉Ｓ【答案】Ｂ【解析】题目中ｘ<ｙ<ｚ，ｙ<ｚ<ｘꎬｚ<ｘ<ｙ恰有一个成立说明ｘꎬｙꎬｚ是互不相等的三个正整数，可用特殊值法求解，不妨取ｘ＝１ꎬｙ＝２ꎬｚ＝３ꎬｗ＝４满足题意，且(２，３，４)∈Ｓꎬ(１ꎬ２ꎬ４)∈Ｓꎬ从而(ｙꎬｚꎬｗ)∈Ｓ，(ｘꎬｙꎬｗ)∈Ｓ成立.故选Ｂ.１.已知Ａ＝{ｘ｜－２ɤｘɤ５}ꎬＢ＝{ｘ｜ｍ＋１ɤｘɤ２ｍ－１}ꎬ若ＡɣＢ＝Ａꎬ则实数ｍ的取值范围是(㊀㊀)Ａ.(－ɕꎬ３]㊀㊀㊀㊀Ｂ.[－３ꎬ２]㊀㊀㊀㊀㊀Ｃ.[２ꎬ３]㊀㊀㊀㊀Ｄ.[－３ꎬ２]【错解】由于Ａ∪Ｂ＝Ａ，则Ｂ⊆Ａꎬ则如图所示，得到方程组－２≤ｍ＋１ꎬｍ＋１≤２ｍ－１ꎬ２ｍ－１≤５ꎬ{解得２≤ｍ≤３.故选Ｃ.【错因】分类不全，有遗漏情形.【正解】错解只考虑集合Ｂ非空的情形，另外还要考虑Ｂ＝⌀的情形，而Ｂ＝⌀等价于ｍ＋１>２ｍ－１，解得ｍ<２.总之，实数ｍ的取值范围是［２ꎬ３］∪(－∞ꎬ２］＝(－∞ꎬ３］ꎬ所以应选Ａ.２.已知集合Ａ＝ｘａｘ－１ｘ－ａ<０{}ꎬ若２ɪＡꎬ且３∉Ａꎬ则实数ａ的取值范围是 .【错解】依题意ꎬ得ａ·２－１２－ａ<０ꎬａ·３－１３－ａ≥０ꎬ⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪即ａ<１２或ａ>２ꎬ１３≤ａ<３ꎬ⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪解得１３≤ａ<１２或２<ａ<３.所以，实数ａ的取值范围是１３ꎬ１２[)∪(２ꎬ３).【错因】遗忘对分母为零的情形进行单独检验.【正解】经检验，当ａ＝３时，３∉Ａ＝ｘ３ｘ－１ｘ－３<０{}.综上，实数ａ的取值范围是１３ꎬ１２[)∪(２，３］.１.(２０１７ 全国卷Ⅰ)已知集合Ａ＝{ｘ｜ｘ<１}ꎬＢ＝{ｘ｜３ｘ<１}ꎬ则(㊀㊀)Ａ.ＡɘＢ＝{ｘ｜ｘ<０}㊀㊀㊀Ｂ.ＡɣＢ＝Ｒ㊀㊀㊀Ｃ.ＡɣＢ＝{ｘ｜ｘ>１}㊀㊀㊀Ｄ.ＡɘＢ＝⌀【答案】Ａ【解析】由３ｘ<１⇔ｘ<０ꎬ则Ｂ＝｛ｘ｜ｘ<０｝，故而Ａ∩Ｂ＝Ｂ＝｛ｘ｜ｘ<０｝ꎬ而Ａ∪Ｂ＝Ａ＝{ｘ｜ｘ<１}.故选Ａ.２.(２０１７ 全国卷Ⅱ)设集合Ａ＝{１ꎬ２ꎬ４}ꎬＢ＝{ｘ｜ｘ２－４ｘ＋ｍ＝０}.若ＡɘＢ＝{１}ꎬ则Ｂ＝(㊀㊀)Ａ.{１ꎬ－３}Ｂ.{１ꎬ０}Ｃ.{１ꎬ３}Ｄ.{１ꎬ５}【答案】Ｃ【解析】由Ａ∩Ｂ＝{１}得１∈Ｂꎬ所以ｍ＝３ꎬＢ＝{１ꎬ３}.故选Ｃ.３.(２０１７ 全国卷Ⅲ)已知集合Ａ＝{(ｘꎬｙ)｜ｘ２＋ｙ２１}ꎬＢ＝{(ｘꎬｙ)｜ｙ＝ｘ}ꎬ则ＡɘＢ中元素的个数为 .【答案】２【解析】Ａ表示圆ｘ２＋ｙ２＝１上所有点的集合，Ｂ表示直线ｙ＝ｘ上所有点的集合，故Ａ∩Ｂ表示直线与圆的交点，由图可知交点的个数为２，即Ａ∩Ｂ中元素的个数为２.故填２.４.(２０１６ 天津)已知集合Ａ＝{１ꎬ２ꎬ３ꎬ４}ꎬＢ＝{ｙ｜ｙ＝３ｘ－２ꎬｘɪＡ}ꎬ则ＡɘＢ＝ .㊀㊀【答案】{１ꎬ４}【解析】因为Ａ＝｛１，２，３，４｝，所以Ｂ＝｛１，４，７，１０｝，则Ａ∩Ｂ＝{１ꎬ４}.故填｛１，４｝.３特殊值解决选择题会有意想不到的效果.空集是任何集合的子集，Ｂ可能为空集，是正确解决问题的关键.集合Ａ＝ｘａｘ－１ｘ－ａ<０{}的补集∁ＲＡ≠ｘａｘ－１ｘ－ａ≥０{}ꎬ而是∁ＲＡ＝｛ｘ｜(ａｘ－１)(ｘ－ａ)≥０｝ꎬ集合Ａ中ｘ－ａ不等于０，补集中ｘ－ａ＝０成立.题１、２巧妙地把对不等式、方程的考查融入题中，从表面上看本题考查集合的运算，但就这集合运算对于大多数学生是没有难度的，但考查知识点不仅在此，其难点在于对不等式、方程的准确解决，只有准确解决不等式与方程才能正确解答此题.题３、４巧妙地把直线与圆、函数的定义域、值域结合起来，相比较而言难度更大一点.高考试题的特点在于把几个知识点有机结合起来，因此在学习过程中必须深入理解集合的内涵和外延知识点.第二节㊀命题及其关系、充分条件与必要条件一㊁命题概念在数学中ꎬ可以判断真假的用文字或符号表达的陈述语句叫做命题ꎬ判断为真(假)的命题叫真(假)命题.二㊁四种命题及其关系１.原命题(若ｐ，则ｑ)㊁逆命题(若ｑ，则ｐ)㊁否命题(若¬ｐ，则¬ｑ)㊁逆否命题(若¬ｑ，则¬ｐ).２.四种命题关系(如图所示)ꎬ其中两组互为逆否的两个命题具有相同的真假性.３.对于命题 ｐ⇒ｑ ꎬ称ｐ是ｑ的充分条件ꎬ且称ｑ是ｐ的必要条件ꎻ对于命题 ｐ⇔ｑ ꎬ称ｐ与ｑ互为充要条件.三㊁集合与充要条件设集合Ａ＝{ｘ｜ｘ满足条件ｐ}ꎬＢ＝{ｘ｜ｘ满足条件ｑ}ꎬ则有(１)若Ａ⊆Ｂꎬ则ｐ是ｑ的充分条件ꎬ若Ｂ⊄Ａꎬ则ｐ是ｑ的充分不必要条件ꎻ(２)若Ｂ⊆Ａꎬ则ｐ是ｑ的必要条件ꎬ若Ａ⊄Ｂꎬ则ｐ是ｑ的必要不充分条件ꎻ(３)若Ａ＝Ｂꎬ则ｐ是ｑ的充要条件ꎻ(４)若Ａ⊄Ｂꎬ且Ｂ⊄Ａꎬ则ｐ是ｑ的既不充分也不必要条件.ʌ题释１ɔ(２０１８ 衡中周练)(１)下列命题是真命题的是(㊀㊀)Ａ.若１ｘ＝１ｙꎬ则ｘ＝ｙ㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀Ｂ.若ｘ２＝１ꎬ则ｘ＝１Ｃ.若ｘ＝ｙꎬ则ｘ＝ｙＤ.若ｘ<ｙꎬ则ｘ２<ｙ２【答案】Ａ【解析】在Ａ中，若１ｘ＝１ｙ，则ｙ－ｘｘｙ＝０，∴ｙ－ｘ＝０，ｙ＝ｘ，为真命题；在Ｂ中，ｘ２＝１，则有ｘ＝±１，为假命题；在Ｃ中，当ｘ＝ｙ<０时，ｘ与ｙ不成立，为假命题；在Ｄ中，若ｘ<ｙ<０，则有ｘ２>ｙ２，为假命题．故选Ａ.(２)(２０１８ 衡中月考)在空间中ꎬ给出下列四个命题:①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直ꎻ②若平面外两点到平面的距离相等ꎬ则过这两点的直线必平行于该平面ꎻ③两条相交直线在同一平面内的射影必为相交直线ꎻ④两个相互垂直的平面ꎬ一个平面内的任意一条直线必垂直于另一平面内的无数条直线.其中正确的是(㊀㊀)Ａ.①②Ｂ.②③Ｃ.③④Ｄ.①④【答案】Ｄ【解析】①正确；②错误，当所给两点在平面的异侧时，连线与平面相交；③错误，两条相交直线在同一平面内的射影可能为一条直线；④正确．∴选Ｄ.４“ｘ≤－３”不是命题，不可以判断真假.“整数集是有理数集的真子集吗？”也不是命题，因为它不是陈述句.逆命题与否命题互为逆否命题；互为逆否命题的两个命题同真假.当判断原命题的真假比较困难时，可以转化为判断它的逆否命题的真假.从集合的角度理解充要条件，小范围是大范围的充分不必要条件，大范围是小范围的必要不充分条件.比如，“ｘ<－２”是“｜ｘ｜>２”的充分(但)不必要条件，“｜ｘ｜>２”是“ｘ<－２”的必要(但)不充分条件，“Ａ∩Ｂ＝Ａ”与“Ａ∪Ｂ＝Ｂ”互为充要条件.命题的判断和不等式、方程、立体几何结合在一起，也可以与其他知识相结合，其难度不只是命题知识，更多的是考查其他知识的掌握情况.名师批注诠释方法与思维ʌ题释２ɔ(２０１８ 衡中学案)写出下列命题的逆命题㊁否命题及逆否命题ꎬ并分别判断四种命题的真假:(１)末位数字是０的多位数一定是５的倍数ꎻ(２)在әＡＢＣ中ꎬ若ＡＢ>ＡＣꎬ则øＣ>øＢꎻ(３)若ｘ２－２ｘ－３>０ꎬ则ｘ<－１或ｘ>３.【答案】(１)原命题：若一个多位数的末位数字是０，则它一定是５的倍数．逆命题：若一个多位数是５的倍数，则它的末位数字是０.否命题：若一个多位数的末位数字不是０，则它不是５的倍数．逆否命题：若一个多位数不是５的倍数，则它的末位数字不是０.这里，原命题与逆否命题为真命题，逆命题与否命题是假命题．(２)逆命题：在△ＡＢＣ中，若∠Ｃ>∠Ｂ，则ＡＢ>ＡＣ.否命题：在△ＡＢＣ中，若ＡＢ≤ＡＣ，则∠Ｃ≤∠Ｂ.逆否命题：在△ＡＢＣ中，若∠Ｃ≤∠Ｂ，则ＡＢ≤ＡＣ.这里，四种命题都是真命题．(３)逆命题：若ｘ<－１或ｘ>３，则ｘ２－２ｘ－３>０.否命题：若ｘ２－２ｘ－３≤０，则－１≤ｘ≤３.逆否命题：若－１≤ｘ≤３，则ｘ２－２ｘ－３≤０.这里，四种命题都是真命题．ʌ题释３ɔ指出下列各组中ꎬｐ是ｑ的什么条件(在 充分不必要条件 必要不充分条件充要条件 既不充分也不必要条件 中选出一种作答).(１)在әＡＢＣ中ꎬｐ:Ａ＝Ｂꎬｑ:ｓｉｎＡ＝ｓｉｎＢꎻ(２)已知ｘꎬｙɪＲꎬｐ:(ｘ－１)２＋(ｙ－２)２＝０ꎬｑ:(ｘ－１)(ｙ－２)＝０ꎻ(３)非空集合ＡꎬＢ中ꎬｐ:ｘɪ(ＡɣＢ)ꎬｑ:ｘɪＢꎻ(４)对于实数ｘꎬｙꎬｐ:ｘ＋ｙʂ８ꎬｑ:ｘʂ２或ｙʂ６.【答案】(１)在△ＡＢＣ中，Ａ＝Ｂ⇒ｓｉｎＡ＝ｓｉｎＢ；反之，若ｓｉｎＡ＝ｓｉｎＢ，因为Ａ与Ｂ不可能互补(三角形三个内角之和为１８０°)，所以只有Ａ＝Ｂ，故ｐ是ｑ的充要条件．(２)条件ｐ：ｘ＝１且ｙ＝２，条件ｑ：ｘ＝１或ｙ＝２，所以ｐ⇒ｑ但ｑｐ，故ｐ是ｑ的充分不必要条件．(３)显然ｘ∈(Ａ∪Ｂ)不一定有ｘ∈Ｂ，但ｘ∈Ｂ一定有ｘ∈(Ａ∪Ｂ)，所以ｐ是ｑ的必要不充分条件．(４)易知¬ｐ：ｘ＋ｙ＝８，¬ｑ：ｘ＝２且ｙ＝６，显然¬ｑ⇒¬ｐ，但¬ｐ¬ｑ，即¬ｑ是¬ｐ的充分不必要条件，根据原命题和逆否命题的等价性知，ｐ是ｑ的充分不必要条件．ʌ题释４ɔ(１)(２０１６ 绍兴一中期中)已知 ｐ:(ｘ－ｍ)２>３(ｘ－ｍ) 是 ｑ:ｘ２＋３ｘ－４<０ 成立的必要不充分条件ꎬ则实数ｍ的取值范围为(㊀㊀)Ａ.(－ɕꎬ－７)ɣ(１ꎬ＋ɕ)㊀Ｂ.(－ɕꎬ－７]ɣ[１ꎬ＋ɕ)Ｃ.(－７ꎬ１)㊀㊀㊀㊀Ｄ.[－７ꎬ１](２)已知ｆ(ｘ)是Ｒ上的增函数ꎬ且ｆ(－１)＝－４ꎬｆ(２)＝２ꎬ设Ｐ＝{ｘ｜ｆ(ｘ＋ｔ)＋１<３}ꎬＱ＝{ｘ｜ｆ(ｘ)<－４}ꎬ若 ｘɪＰ 是 ｘɪＱ 的充分不必要条件ꎬ则实数ｔ的取值范围是(㊀㊀)Ａ.(－ɕꎬ－１]㊀㊀㊀㊀㊀Ｂ.(－１ꎬ＋ɕ)Ｃ.[３ꎬ＋ɕ)㊀㊀㊀㊀㊀㊀Ｄ.(３ꎬ＋ɕ)【答案】（１）Ｂ　(２)Ｄ【解析】(１)由(ｘ－ｍ)２>３(ｘ－ｍ)得ｘ<ｍ或ｘ>３＋ｍ，所以ｐ：ｘ<ｍ或ｘ>３＋ｍ；解ｘ２＋３ｘ－４<０得－４<ｘ<１，所以ｑ：－４<ｘ<１.因为ｐ是ｑ的必要不充分条件，所以ｍ≥１或ｍ＋３≤－４，得ｍ≥１或ｍ≤－７.故选Ｂ.(２)依题意，Ｐ＝{ｘ｜ｆ(ｘ＋ｔ)＋１<３}＝{ｘ｜ｆ(ｘ＋ｔ)<２}＝{ｘ｜ｆ(ｘ＋ｔ)<ｆ(２)}，Ｑ＝{ｘ｜ｆ(ｘ)<－４}＝{ｘ｜ｆ(ｘ)<ｆ(－１)}．因为函数ｆ(ｘ)是Ｒ上的增函数，所以Ｐ＝{ｘ｜ｘ＋ｔ<２}＝{ｘ｜ｘ<２－ｔ}，Ｑ＝{ｘ｜ｘ<－１}，要使“ｘ∈Ｐ”是“ｘ∈Ｑ”的充分不必要条件，需有２－ｔ<－１，解得ｔ>３.故选Ｄ.５在(１)中写出一个命题的逆命题、否命题和逆否命题，关键是找出原命题的条件ｐ与结论ｑ，将原命题写成“若ｐ，则ｑ”的形式．在(２)中原命题有大前提“在△ＡＢＣ中”，在写出它的逆命题、否命题和逆否命题时，应当保留这个大前提．在(３)中“ｘ<－１或ｘ>３”的否定形式是“ｘ≥－１且ｘ≤３”，即“－１≤ｘ≤３”.充要条件的三种判断方法：(１)定义法：根据ｐ⇒ｑ，ｑ⇒ｐ进行判断，比如(１)(２)这样简单的问题；(２)集合法：根据由ｐ，ｑ成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断，比如(３)这样较复杂的题型；(３)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合像(４)这种以否定形式给出的问题.(１)求解充要条件的应用问题时，要把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．(２)求解参数的取值范围时，一定要注意对区间端点值进行检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现错误．ʌ例题１ɔ设ｐ:实数ｘ满足ｘ２－４ａｘ＋３ａ２<０ꎬ其中ａ<０ꎬｑ:实数ｘ满足ｘ２＋２ｘ－８>０ꎬ且¬ｐ是¬ｑ的必要不充分条件ꎬ求ａ的取值范围.【答案】设Ａ＝{ｘ｜ｘ２－４ａｘ＋３ａ２<０，ａ<０}＝{ｘ｜３ａ<ｘ<ａ}，Ｂ＝{ｘ｜ｘ２＋２ｘ－８>０}＝{ｘ｜ｘ<－４或ｘ>２}．因为¬ｐ是¬ｑ的必要不充分条件，所以ｑ是ｐ的必要不充分条件，所以Ａ⫋Ｂ.所以ａ≤－４或３ａ≥２.又ａ<０，所以ａ的取值范围是(－∞，－４]．ʌ例题２ɔ已知函数ｆ(ｘ)＝Ａｃｏｓ(ωｘ＋φ)(Ａ>０ꎬω>０ꎬφɪＲ)ꎬ求证:ｆ(ｘ)为奇函数的充要条件是φ＝ｋπ＋π２(ｋɪＺ).【答案】证法１：(１)证充分性：如果φ＝ｋπ＋π２(ｋ∈Ｚ)，则ｆ(ｘ)＝Ａｃｏｓ(ωｘ＋ｋπ＋π２)＝－Ａｓｉｎ(ωｘ＋ｋπ)，则ｆ(ｘ)＋ｆ(－ｘ)＝－Ａｓｉｎ(－ωｘ＋ｋπ)－Ａｓｉｎ(－ωｘ＋ｋπ)＝－２Ａｓｉｎｋπˑｃｏｓωｘ＝０，则ｆ(－ｘ)＝－ｆ(ｘ)(ｘ∈Ｒ)，则ｆ(ｘ)为奇函数.(２)证必要性：如果ｆ(ｘ)为奇函数，则ｆ(０)＝０，即Ａｃｏｓφ＝０，解得φ＝ｋπ＋π２(ｋ∈Ｚ).综上，ｆ(ｘ)为奇函数的充要条件是φ＝ｋπ＋π２(ｋ∈Ｚ).证法２：ｆ(ｘ)为奇函数⇔ｆ(－ｘ)＝－ｆ(ｘ)(ｘ∈Ｒ)⇔０＝ｆ(ｘ)＋ｆ(－ｘ)＝Ａｃｏｓ(ωｘ＋φ)＋Ａｃｏｓ(－ωｘ＋φ)＝２Ａｃｏｓφｃｏｓωｘ(其中Ａ>０，ｘ∈Ｒ)⇔ｃｏｓφ＝０⇔φ＝ｋπ＋π２(ｋ∈Ｚ)，所以，ｆ(ｘ)为奇函数的充要条件是φ＝ｋπ＋π２(ｋ∈Ｚ).１.已知命题 关于ｘ的方程ａｘ２＋ｘ＋１＝０没有实根 是假命题ꎬ求实数ａ的取值范围.【错解】依题意，关于ｘ的方程ａｘ２＋ｘ＋１＝０有实根，则判别式Δ＝１－４ａ≥０，解得ａ≤１４.所以，实数ａ的取值范围是－∞，１４(].【错因】题设方程还可能是一次方程.【正解】依题意，关于ｘ的方程ａｘ２＋ｘ－１＝０有实根，则分两类讨论得ａ≠０，Δ＝１－４ａ≥０{或ａ＝０，解得ａ≤１４，故实数ａ的取值范围是－∞，１４(].㊀㊀２.设ａｎ＝ｎ２－２λｎ(ｎɪＮ＋)ꎬ则 λɤ１ 是 数列{ａｎ}递增 的(㊀㊀)Ａ.充分不必要条件㊀㊀㊀㊀Ｂ.必要不充分条件Ｃ.充要条件㊀㊀㊀㊀Ｄ.既不充分又不必要条件【错解】由于二次函数ｆ(ｘ)＝ｘ２－２λｘ，即ｆ(ｘ)＝(ｘ－λ)２－λ２在区间［λ，＋∞)上递增，则“数列{ａｎ}递增”的充要条件是该数列通项的所有下标１，２，３，…∈［λ，＋∞)，即λ≤１.所以，数列{ａｎ}递增的充要条件是λ≤１，故选Ｃ.【错因】ａ１的下标１有时还允许１∉［λ，＋∞).【正解】考虑二次函数图象的对称轴，下标１可能小于λ.如图所示，“数列{ａｎ}递增”的充要条件是两个下标１和２的平均值大于λ，即１＋２２>λ，即λ<３２.所以，λ≤１是数列{ａｎ}递增的充分不必要条件，故选Ａ.６¬ｐ是¬ｑ的必要不充分条件的等价命题为ｑ是ｐ的必要不充分条件.一般地，Ａ⊆Ｂ等价于ｘ∈Ａ是ｘ∈Ｂ的充分条件，Ａ⫋Ｂ等价于ｘ∈Ａ是ｘ∈Ｂ的充分不必要条件，Ａ＝Ｂ等价于ｘ∈Ａ与ｘ∈Ｂ互为充要条件.题目中的限制条件Ａ>０、ω>０可以放宽为Ａω≠０，这不影响结论和证明过程，ｆ(ｘ)＝Ａｃｏｓ(ωｘ＋φ)为奇函数的充要条件是φ＝ｋπ＋π２(ｋɪＺ)ꎬ为偶函数的充要条件是φ＝ｋπ(ｋɪＺ)；ｆ(ｘ)＝Ａｓｉｎ(ωｘ＋φ)为偶函数的充要条件是φ＝ｋπ＋π２(ｋɪＺ)ꎬ为奇函数的充要条件是φ＝ｋπ(ｋɪＺ).虽然本题答案没有发生变化，但是解题过程不严密；假如只将题目中的“方程”替换成“二次方程”，ａ＋２就不能等于０了，直接用Δ>０就错了。