衡水中学状元笔记数学

名师批注诠释方法与思维

第一章㊀集合㊁常用逻辑用语㊁推理与证明

第一节㊀

集合的概念与运算

一㊁集合性质及表示

１.集合中的元素具有确定性、互异性、无序性等特性.２.集合的表示方法有列举法、描述法、特定记号法.二㊁集合的三种运算

１.集合的三种运算:交集ＡɘＢ＝｛ｘ｜ｘ∈Ａ且ｘ∈Ｂ｝ꎬ并集ＡɣＢ＝{ｘ｜ｘ∈Ａ或ｘ∈Ｂ}ꎬ补集∁ＳＡ＝｛ｘ｜ｘ∈Ｓ但ｘ∉Ａ｝.

２.集合的运算律:

交集运算:①ＡɘＢ⊆Ａꎻ②ＡɘＢ⊆Ｂꎻ③ＡɘＡ＝Ａꎻ④Ａɘ⌀＝⌀ꎻ⑤ＡɘＢ＝ＢɘＡ.并集运算:①ＡɣＢ⊇Ａꎻ②ＡɣＢ⊇Ｂꎻ③ＡɣＡ＝Ａꎻ④Ａɣ⌀＝Ａꎻ⑤ＡɣＢ＝ＢɣＡ.补集运算:①∁Ｕ(∁ＵＡ)＝Ａꎻ②∁ＵＵ＝⌀ꎻ③∁Ｕ⌀＝Ｕꎻ④Ａɘ(∁ＵＡ)＝⌀ꎻ⑤Ａɣ(∁ＵＡ)＝Ｕ.

３.子集的性质:Ａ⊆Ｂ⇔Ａ∩Ｂ＝Ａ⇔ＡɣＢ＝ＢꎻＡ⊆Ｂ⊆Ｃ(如图)⇔∁ＣＡ⊇∁ＣＢ⇔∁ＢＡ⊆∁ＣＡ.ʌ题释１ɔ(２０１８ 衡水中学学案)若集合Ａ＝{ｘ｜(ｋ＋２)ｘ２＋２ｋｘ＋１＝０}有且仅有两个子集ꎬ则实数

ｋ的值为 .

【答案】－２，－１，２

【解析】依题意知，集合Ａ恰有２个子集，则集合Ａ恰含１个元素，则方程(ｋ＋２)ｘ２＋

２ｋｘ＋１＝０有唯一解，则该方程是一次方程或是有两个相等根的二次方程，则分两类为：

ｋ＋２＝０或

ｋ＋２≠０.

Δ＝(２ｋ)２－４(ｋ＋２)＝０.

{

解得ｋ＝－２ꎬ－１ꎬ２.

所以，实数ｋ的值为－２ꎬ－１ꎬ２.

㊀㊀ʌ题释２ɔ(２０１８ 衡水中学限时)已知集合Ａ＝{ｘ｜ｘ２

－３ｘ－１０ɤ０}.

(１)若Ｂ＝{ｘ｜ｍ－６ɤｘɤ２ｍ－１}ꎬＡ⊆Ｂꎬ求实数ｍ的取值范围ꎻ

(２)若Ｂ＝{ｘ｜ｍ＋１ɤｘɤ２ｍ－１}ꎬＢ⊆Ａꎬ求实数ｍ的取值范围.

【答案】由Ａ＝｛ｘ｜ｘ２－３ｘ－１０≤０｝ꎬ得Ａ＝｛ｘ｜－２≤ｘ≤５｝.(１)若Ａ⊆Ｂꎬ则２ｍ－１≥ｍ－６ꎬ

ｍ－６≤－２ꎬ

２ｍ－１≥５ꎬ

{

解得３≤ｍ≤４ꎬ所以ｍ的取值范围为［３ꎬ４］.(２)若Ｂ⊆Ａ，则

①当Ｂ＝⌀时，有ｍ＋１>２ｍ－１ꎬ即ｍ<２ꎬ此时满足Ｂ⊆Ａꎻ②当Ｂ≠⌀时ꎬ有ｍ＋１≤２ｍ－１ꎬ

ｍ＋１≥－２ꎬ

２ｍ－１≤５ꎬ

{

解得２≤ｍ≤３.

由①②得，ｍ的取值范围是(－∞，３］.

１

对于集合中元素的性质，在实际考试中，互异性考查较多也最容易忽略，例如若集合Ａ＝{ｘ∈Ｒ｜ａｘ２－３ｘ＋２＝０}中只有一个元素，求实数ａ的值.

集合的表示方法中列举法、描述法用得最多，要分清描述法的代表元素是数还是点，例如｛ｙｙ＝ｘ２＋１｝与｛(ｘꎬｙ)ｙ＝ｘ２＋１｝的区别.

空集是任何集合的子集，空集只有自身１个子集，一般地ꎬ含有ｎ个元集的集

合恰有２ｎ个子集(ｎ∈Ｎ).

(ｋ＋２)＝０时为一次方程ꎬ这里我犯错误了.

假如只将“两个子集”替换成“３个真子集”，ｋ＋２就不能等于０了，此时有两个元素，需满足Δ>０.

“当Ｂ⊆Ａ时，Ｂ可能为空集”被我忽视，这是“陷阱”，考点也在这里.

将Ｂ分为Ｂ＝⌀与Ｂ≠⌀两类，然后取并集是解决本题的关键.

㊀㊀ʌ题释３ɔ设全集为Ｒꎬ集合Ｍ＝ｙｙ＝２ｘ＋１ꎬ－１２ɤｘɤ１２

{}ꎬＮ＝{ｘ｜ｙ＝

１ｇ(ｘ２＋３ｘ)}ꎬ则Ｖｅｎｎ图中阴影部分表示的集合在数轴上表示为(㊀㊀

)

【答案】Ｃ

【解析】因为－１２≤ｘ≤１２ꎬｙ＝２ｘ＋１ꎬ所以０≤ｙ≤２ꎬ所以Ｍ＝{ｙ｜０≤ｙ≤２}.因为ｘ２＋３ｘ>０ꎬ所

以ｘ>０或ｘ<－３，所以Ｎ＝{ｘ｜ｘ>０或ｘ<－３}ꎬＶｅｎｎ图中的阴影表示的集合为(∁ＲＭ)∩Ｎꎬ又∁ＲＭ＝

｛ｘ｜ｘ<０或ｘ>２｝ꎬ所以(∁ＲＭ)∩Ｎ＝{ｘ｜ｘ<－３或ｘ>２}.故选Ｃ.

ʌ题释４ɔ已知集合Ａ＝{ｍ＋２ꎬ２ｍ２＋ｍꎬ－３}ꎬ且３ɪＡꎬ求ｍ的值.

【解】因为３∈Ａꎬ所以ｍ＋２＝３或２ｍ２＋ｍ＝３ꎬ解得ｍ＝１或ｍ＝－３２.

当ｍ＝１时，ｍ＋２＝２ｍ２＋ｍ＝３ꎬ不满足集合中元素的互异性，当ｍ＝－３２时，Ａ＝

－３，１２，３

{}，满足题意.故ｍ＝－３２.

ʌ题释５ɔ已知ＡꎬＢ都是数集Ｍ的非空子集ꎬ若对于任意ｘɪＡꎬｙɪＢꎬ都有ｘ<ｙꎬ则称(Ａꎬ

Ｂ)是Ｍ的一个 子集对 .若取Ｍ＝{１ꎬ２ꎬ３ꎬ４}ꎬ则Ｍ共有 个子集对.

【答案】１７

【解析】当Ａ＝｛１｝时，Ｂ＝｛２｝、｛３｝、｛４｝、｛２，３｝、｛３，４｝、｛２，４｝、

｛２，３，４｝，则此时子集对(ＡꎬＢ)可以搭配成１×７＝７(个)；

当Ａ＝｛２｝、｛１，２｝时，Ｂ＝｛３｝、｛４｝、｛３，４｝，则此时子集对(ＡꎬＢ)可以搭配

成２×３＝６(个)；

当Ａ＝｛３｝、｛１，３｝、｛２，３｝、｛１，２，３｝时，Ｂ＝｛４｝，则此时子集对(ＡꎬＢ)可

以搭配成４×１＝４(个).

综上，符合题意的子集对共有１７个.

ʌ例题１ɔ设函数ｆ(ｘ)＝｜２ｘ－ａ｜＋２ａꎬ其中ａɪＲ.

(１)若不等式ｆ(ｘ)ɤ６的解集是{ｘ｜－６ɤｘɤ４}ꎬ求ａ的值ꎻ

(２)在(１)的条件下ꎬ若不等式ｆ(ｘ)ɤ(ｋ２－１)ｘ－５的解集非空ꎬ求实数ｋ的取值范围.

【答案】(１)不等式ｆ(ｘ)≤６等价于｜２ｘ－ａ｜≤６－２ａꎬ则－６＋２ａ≤２ｘ－ａ≤６－２ａ，即－６＋３ａ≤

２ｘ≤６－ａ.

依题意，上述不等式等价于－１２≤２ｘ≤８ꎬ

则比较得－６＋３ａ＝－１２且６－ａ＝８ꎬ解得ａ＝－２.

(２)已求ａ＝－２ꎬ则ｆ(ｘ)＝｜２ｘ＋２｜－４ꎬ则绝对值函数ｆ(ｘ)的图象的

最低点是Ｖ(－１，－４).

令ｇ(ｘ)＝(ｋ２－１)ｘ－５ꎬ则含有参数ｋ的一次函数ｇ(ｘ)的图象经过

定点Ｄ(０，５).

依题意，绝对值函数ｆ(ｘ)的图象至少有一点在一次函数ｇ(ｘ)的图象的下方或图象上.如

图，运用数形结合的思想得ｋ２－１≤ｋＤＶ＝－１或ｋ２－１>２ꎬ解得ｋ＝０或｜ｋ｜>３.

所以，实数ｋ的取值范围是(－∞，－３)∪{０}∪(３ꎬ＋∞).

２

识别Ｖｅｎｎ图中表示的范围

为在集合Ｎ中且没在集合

Ｍ中及数轴上边界的有无.

ｍ＋２ꎬ２ｍ２＋ｍꎬ－３是不相同

的，与元素互异性一致.

按集合Ａ与集合Ｂ中元素

ｘｍａｘ<ｙｍｉｎ分类；猜想：对于

含有ｎ个实数元素的集合

Ｍ，若整个实数元素的集合

Ｍꎬ若整数ｎ≥２ꎬ则本题所定

义的Ｍ的“子集对”共有

１＋(ｎ－２)２ｎ－１个.

列举和分类要按一定次

序，避免遗漏和重复，按

集合Ｂ中最小元素分类也

能解决该题.

不等式ｆ(ｘ)≤６的边界值

等于所对应的等式ｆ(ｘ)＝

６的根.

①无需讨论ｃ的正负，

｜ｐ(ｘ)｜≤ｃ⇔－ｃ≤ｐ(ｘ)≤

ｃꎬ｜ｐ(ｘ)｜≥ｃ⇔ｐ(ｘ)≤－ｃ

或ｐ(ｘ)≥ｃ；②对于第

(２)小题，假如只将“解

集非空”替换成“解集为

Ｒ”就转换成恒成立问题.