高中数学完整讲义——数列3.等比数列3-等比数列的通项公式与求和

【例1】 在等比数列{}n a 中，22a =，5128a =，则它的公比q =_______，前n 项和n S =_______．【例2】 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且53655-=S S ，则4=a ．【例3】 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若633S S =，则96=SS （ ）A ．2B ．73C ．83D ．3【例4】 设{}n a 是公比为q 的等比数列，1>q ，令1(12)=+=n n b a n ，，，若数列{}n b 有连续四项在集合{}5323193782--，，，，中，则6=q ．【例5】 等比数列{}n a 的首项11a =-，前n 项和为n S ，公比1q ≠，若105S S ＝3132，则105a a 等于 ．【例6】 等比数列{}n a 中，1512a =，公比12q =-，用n ∏表示它前n 项的积：12...n n a a a ∏=，则1∏，2∏，…，n ∏中最大的是_______．【例7】 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1(1)()3N n n S a n *=-∈．⑴求1a ，2a ，3a 的值；⑵求n a 的通项公式及10S ．典例分析等比数列的通项公式与求和高中数学讲义 2思维的发掘 能力的飞跃【例8】 在等比数列{}n a 中，12327a a a ⋅⋅=，2430a a +=试求：⑴1a 和公比q ；⑵前6项的和6S .【例9】 在等比数列{}n a 中，已知对任意正整数n ，有21n n S =-，则22212n a a a +++=________．【例10】 求和：2(1)(2)(),(0)n a a a n a -+-++-≠．【例11】 在等比数列{}n a 中，423a =，35209a a +=．若数列{}n a 的公比大于1，且3log 2n n ab =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【例12】 在各项均为正数的等比数列{}n b 中，若783b b ⋅=，则3132log log b b ++……314log b +等于（）A ．5B ．6C ．7D ．8【例13】 等比数列}{n a 中，已知对任意自然数n ，=+⋯+++n a a a a 32121n -，则22212n a a a ++⋅⋅⋅+=( )高中数学讲义3思维的发掘 能力的飞跃A ．()221n - B ．()1213n - C ．41n - D ．()1413n -【例14】 若210lg lg lg 110x x x ++⋯+=，求210lg lg lg x x x ++⋯+的值.【例15】 在等比数列{}n a 中，423a =，35209a a +=．若数列{}n a 的公比大于1，且3log 2n n ab =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【例16】 在等比数列{}n a 的前n 项中，1a 最小，且12166,128n n a a a a -+==，前n 项和126n S =，求n和公比q ．【例17】 设等比数列{}n a 前n 项和为n S ，若3692S S S +=，求数列的公比q ．【例18】{}n a 的相邻两项1n n a a +，是方程21()03n n x c x -+=的两根，且12a =，求数列{}n c 的前n 项和n S .高中数学讲义 4思维的发掘 能力的飞跃【例19】 已知数列{}n a ：1，12()2-，213()2-，…，11()2n n --，求它的前n 项和．【例20】 已知：数列{}n a 满足21123333,3n n na a a a a -+++++=∈N .⑴求数列{}n a 的通项；⑵设,n nnb a =求数列{}n b 的前n 项和n S【例21】 已知数列{}n a 的通项公式为5n n a n =⋅，求其前n 项和公式．【例22】 求数列a ，22a ，33a ，…，n na ，…，（a 为常数）的前n 项的和．【例23】 已知等差数列{}n a ，公差为d ，求3521123n n n S a x a x a x a x -=+++(10)x x ≠≠且【例24】 设{}n a 为等比数列，121(1)2n n n T na n a a a -=+-+⋅⋅⋅+，已知11T =，24T =．⑴求数列{}n a 的首项和公比; ⑵求数列{}n T 的通项公式．高中数学讲义5思维的发掘 能力的飞跃【例25】 已知1a ≠，数列{}n a 是首项为a ，公比为a 的等比数列，令lg (0,)n n n b a a a n *=>∈N ，⑴当2a =时，求数列{}n b 的前n 项和n S ；⑵若数列{}n b 中的每一项总小于它后面的项时，求a 的取值范围．【例26】 已知函数()f x 是一次函数，且()815f =，()2f ，()5f ，()14f 成等比数列，设()n a f n =，()*n ∈N ．⑴ 求n T ；⑵ 设2n n b =，求数列{}n n a b 的前n 项和n S ．【例27】 设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和()0n S n +>∈N ．⑴求q 的取值范围；⑵设2132n n n b a a ++=-，记{}n b 的前n 项和为n T ，试比较n S 与n T 的大小．【例28】 设{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 是前n 项和，证明0.50.520.51log log log 2n n n S S S +++>高中数学讲义 6思维的发掘 能力的飞跃【例29】 设{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 是前n 项和．⑴证明：21lg lg lg 2n n n S S S +++<；⑵是否存在常数0C >使得()()()21lg lg lg 2n n n S C S C S C ++-+-=-成立？并证明你的结论．【例30】 用分期付款方式购买家用电器一件，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款的利息，月利率为1％，若交付150元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第十个月该交付多少钱？全部货款付清后，买这件家电实际花了多少钱？【例31】 从盛满a 升(1)a >纯酒精的溶液里倒出1升，然后填满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满．如此继续下去，那么第n 次操作后溶液的浓度是多少?【例32】 某企业年初有资金1000万元，如果该企业经过生产经营能使每年资金平均增长率为50%，但每年年底都要扣除消费基金x 万元，余下基金投入再生产，为实现经过5年资金达到2000万元（扣除消费基金后），那么每年应扣除消费基金多少万元（精确到万元）？高中数学讲义7思维的发掘 能力的飞跃【例33】 小芳同学若将每月省下的零花钱5元在月末存入银行，月利按复利计算，月利率为0.2%，每够一年就将一年的本利和改存，年利按复利计算，年利率为6%，问三年后取出本利共多少元(保留到个位)？【例34】 用n 个不同的实数12,,,n a a a 可得到!n 个不同的排列，每个排列为一行写成一个!n 行的数阵。

对第i 行12,,,i i in a a a ，记12323....(1)n i i i i in b a a a na =-+-++-，1,2,3,,!i n =。

例如：用1,2,3、可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，1261221231224b b b +++=-+⨯-⨯=-，那么，在用1,2,3,4,5形成的数阵中，12120b b b +++=________。

123123123123123123高中数学讲义 8思维的发掘 能力的飞跃【例35】 我们在下面的表格内填写数值：先将第1行的所有空格填上1；再把一个首项为1，公比为q 的数列{}n a 依次填入第一列的空格内；然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其他空格．⑴ 设第2行的数依次为12n B B B ，，，，试用n q ，表示12n B B B +++的值；⑵ 设第3行的数依次为123n c c c c ，，，，，求证：对于任意非零实数1322q c c c +>，； ⑶ 请在以下两个问题中选择一个进行研究(只能选择一个问题，如果都选，被认为选择了第一问)．①能否找到q 的值，使得⑵中的数列123n c c c c ，，，，的前m 项()123m c c c m ，，，≥成为等比数列？若能找到，m 值有多少个？若不能找到，说明理由．②能否找到q 的值，使得填表格后，除第1列外，还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列？并说明理由．高中数学讲义9思维的发掘 能力的飞跃【例36】 已知数列012n a a a a ，，，，，满足关系式()()13618n n a a +-+=，且03a =，则01ni ia =∑的值是 .【例37】 在n 行n 列矩阵12321234113*********n n n n n n n n n n ⋅⋅⋅--⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅- ⎪ ⎪⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅---⎝⎭中，记位于第i 行第j 列的数为(,12)ij a i j n =⋅⋅⋅，，，． 当9n =时，11223399a a a a +++⋅⋅⋅+= ．【例38】 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且585n n S n a =--，*n ∈N⑴ 证明：{}1n a -是等比数列；⑵ 求数列{}n S 的通项公式，并求出n 为何值时，n S 取得最小值，并说明理由．【例39】 已知数列{}n a 的首项10a ≠，其前n 项的和为n S ，且112n n S S a +=+，则limnn na S →∞= A ．0 B ．12C ． 1D ．2【例40】 已知{}n a 是首项为1的等比数列，n s 是{}n a 的前n 项和，且369s s =，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前5高中数学讲义 10思维的发掘 能力的飞跃项和为A ．158或5B ．3116或5C ．3116 C ．158【例41】 设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=，则52S S = A ．11B ．5C ．8-D ．11-【例42】 在数列{}n a 中，11a =，()()1*121n n n a ca c n n ++=++∈N ，其中实数0c ≠．⑴求{}n a 的通项公式；⑵若对一切*k ∈N 有21k zk a a ->，求c 的取值范围．【例43】 设{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 为其前n 项和．已知241a a =，37S =，则5S =A ．152B ．314C ．334D ．172【例44】 设等比数列{}n a 的公比为12q =，前n 项和为n S ，则44S a = ．【例45】 设{}n a 是等比数列，若141,8a a ==，则q = ，数列{}n a 的前6项的和6S = ．【例46】 在数列{}n a 中，13a =，122n n a a n -=+- (2n ≥且*)n ∈N ．⑴求2a ，3a 的值；⑵证明：数列{}n a n +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；高中数学讲义11 思维的发掘 能力的飞跃 ⑶求数列{}n a 的前n 项和n S ．【例47】 在数列{}n a 中，13a =，121n n a a n -=--+(2n ≥且*)n ∈N ．⑴求2a ，3a 的值；⑵证明：数列{}n a n +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；⑶求数列{}n a 的前n 项和n S ．【例48】 设数列{}n a 为等比数列，数列{}n b 满足121(1)2n n n b na n a a a -=+-+++，n *∈N ，已知1b m =，232m b =，其中0m ≠． ⑴求数列{}n a 的首项和公比； ⑵当1m =时，求n b ；⑶设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若对于任意的正整数n ，都有[1,3]n S ∈，求实数m 的取值范围．【例49】 若,4,3a a 为等差数列的连续三项，则0129a a a a +++⋅⋅⋅+的值为（ ）A ．1023B ．1025C ．1062D ．2047。