四川省眉山中学2016-2017学年高二(下)3月月考数学试卷(理科)

2016-2017学年四川省眉山中学高二（下）3月月考数学试卷（理科）一、选择题（共60分）
1．若函数y=f（x）在x=x0处的导数为﹣2，则=（）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
2．一个总体分为A，B，C三层，用分层抽样方法从总体中抽取容量为50的样本，已知B层中每个个体被抽到的概率都为，则总体容量为（）
A．150 B．200 C．500 D．600
3．对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是（）
A．46，45，56 B．46，45，53 C．47，45，56 D．45，47，53
4．设函数y=f（x）在定义域内的导函数为y=f′（x），y=f（x）的图象如图1所示，则y=f′（x）的图象可能为（）
A．B．C．D．
5．登山族为了了解某山高y（km）与气温x（°C）之间的关系，随机统计了4次山高与相应的气温，并制作了对照表：
气温x（°C）181310﹣1
山高y（km）24343864
由表中数据，得到线性回归方程，由此请估计出山高为72（km）处气温的度数为（）
A．﹣10 B．﹣8 C．﹣4 D．﹣6
6．采用系系统抽样方法从480人中抽取16人做问卷调查，为此将他们随机编号为1、2、…、480，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8抽到的16人中，编号落人区间的人做问卷A，编号落入区间的人做问卷B，其余的人做问卷C，则被抽到的人中，做问卷B的人数为（）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．下列运算正确的个数为（）
①（x2cosx）'=﹣2xsinx
②（3x）'=3x log3e
③
④．
A．0 B．1 C．2 D．3
8．已知总体中各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，15，18，20（a，b ∈N*），且总体的中位数为10，若要使该总体的方差最小，则a，b的取值分别是（）A．9，11 B．10，10 C．8，10 D．10，11
9．用茎叶图记录甲、乙两人在5次体能综合测评中的成绩（成绩为两位整数），现乙还有一次不小于90分的成绩未记录．则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（）
A．B．C．D．
10．已知点P在函数图象上，则函数f（x）在点P处切线倾斜角α的取值范围（）
A． B．C．D．
11．已知函数对区间（1，2）上任意x1，x2（x1≠x2），都有
，则a的取值范围为（）
A．B．C．D．（﹣∞，1）∪（0，+∞）
12．定义在R上的函数f（x）满足f′（x）＞1﹣f（x），其中f′（x）是f（x）的导函数，e为自然对数的底数，则下列正确的是（）
A．ef（1）﹣e＞e2f（2）﹣e2
B．e2015f﹣e2016
C．e2f（2）+e2＞ef（1）+e
D．e2016f+e2015
二、填空题（共20分）.
13．已知函数y=f（x）及其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则曲线y=f（x）在点P （2，0）处的切线方程是．
14．已知函数f（x）满足满足f（x）=f′（1）e x﹣1﹣f（0）x+x2；则f（x）的解析式为．15．已知圆C：x2+y2=18，直线l：4x+3y=25，则圆C上任一点到直线l的距离小于2的概率为．
16．已知f（x）为定义在（0，+∞）上的可导函数，且f（x）＞xf′（x），则不等式的解集为．
三、解答题（共70分）.
17．利用导数的定义，求f（x）=在x=1处的导数．
18．为了培养学生的安全意识，某中学举行了一次安全自救的知识竞赛活动，共有800
名学生参加了这次竞赛，为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，得到如下的频率分布表：
序号（i）
分组
（分数）
组中值
（Gi）
频数
（人数）
频率
（Fi）
1hslx3y3h60，70）65①0.10
2hslx3y3h70，80）7520②
3hslx3y3h80，90）85③0.20
4hslx3y3h90，100）95④⑤
合计501
请你根据频率分布表解答下列问题：
（1）求出频率分布表中①、②、③、④、⑤处的值；
（2）在上述统计数据的分析中，有一项指标计算的程序框图如图所示，则该程序功能是什么？求输出S的值．
19．学校从参加高一年级期中考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为150分），数学成绩分组及各组频数如下：75，90），3；105，120），15；135，150135，15060，75）中的任意一位同学，已知甲同学的成绩为62分，乙同学的成绩为140分，求甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率．
20．已知关于x的一元二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．
（1）设集合P={1，2，3}和Q={﹣1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间1，160161，320f（x）+f′（x）﹣1hslx3y3h；
∵f′（x）＞1﹣f（x）；
∴f（x）+f′（x）﹣1＞0；
∴g′（x）＞0；
∴g（x）在R上是增函数；
∴g（1）＜g（2），即ef（1）﹣e＜e2f（2）﹣e2，∴A错误；
g，∴B错误；
同理，设h（x）=e x f（x）+e x，由g′（x）＞0得，h′（x）=e x f（x）+e x f′（x）+e x＞0；∴h（x）在R上单调递增；
∴h（2）＞h（1），h，∴C正确．
故选：C．
二、填空题（共20分）.
13．已知函数y=f（x）及其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则曲线y=f（x）在点P （2，0）处的切线方程是x﹣y﹣2=0．
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】利用导函数图象，可得切线的斜率，从而可得切线的方程．
【解答】解：由题意，f′（2）=1，
∴曲线y=f（x）在点P（2，0）处的切线方程是y﹣0=x﹣2，即x﹣y﹣2=0
故答案为：x﹣y﹣2=0．
14．已知函数f（x）满足满足f（x）=f′（1）e x﹣1﹣f（0）x+x2；则f（x）的解析式为f（x）=．
【考点】63：导数的运算；36：函数解析式的求解及常用方法．
【分析】把给出的函数求导，在导函数中取x=1可求出f（0）=1，在给出的等式中，取
x=0，利用f（0）=1可求f′（1），则函数解析式可求．
【解答】解：由f（x）=f′（1）e x﹣1﹣f（0）x+x2，得：f′（x）=f′（1）e x﹣1﹣f（0）+x，令x=1得：f（0）=1；
在f（x）=f′（1）e x﹣1﹣f（0）x+x2中，取x=0，得f（0）=f′（1）e﹣1=1，∴f′（1）=e 所以f（x）的解析式为．
故答案为．
15．已知圆C：x2+y2=18，直线l：4x+3y=25，则圆C上任一点到直线l的距离小于2的概率为．
【考点】CF：几何概型．
【分析】试验发生包含的事件是从这个圆上随机的取一个点，对应的圆上整个圆周的弧长，根据题意做出符合条件的弧长对应的圆心角是60°，根据几何概型概率公式得到结果．
【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的事件是从这个圆上随机的取一个点，对应的圆上整个圆周的弧长，满足条件的事件是到直线l的距离小于2，过圆心做一条直线交直线l与一点，
∵圆心到直线的距离是=5，
∴在这条垂直于直线l的半径上找到圆心的距离为3的点做半径的垂线，
根据弦心距，半径，弦长之间组成的直角三角形得到符合条件的弧长对应的圆心角是90°根据几何概型的概率公式得到P==．
故答案为：．
16．已知f（x）为定义在（0，+∞）上的可导函数，且f（x）＞xf′（x），则不等式的解集为{x|0＜x＜1} ．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．
【分析】由已知当x＞0时，总有f（x）＞xf′（x）成立，可判断函数g（x）=为减
函数，而不等式，由此得到不等式继而求出答案．
【解答】解：设g（x）=，则g′（x）=，
∵f（x）＞xf′（x），
∴xf′（x）﹣f（x）＜0，
∴g′（x）＜0，
∴g（x）在（0，+∞）为减函数，
∵，x＞0，
∴，
∴，
∴，
∴0＜x＜1．
故答案为：{x|0＜x＜1}．
三、解答题（共70分）.
17．利用导数的定义，求f（x）=在x=1处的导数．
【考点】64：导数的加法与减法法则．
【分析】直接利用导数的定义求函数f（x）=在x=1处的导数值．
【解答】解：△y=f（1+△x）﹣f（1）=﹣=﹣，
∴=，
∴f′（1）==
==．
18．为了培养学生的安全意识，某中学举行了一次安全自救的知识竞赛活动，共有800名学生参加了这次竞赛，为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，得到如下的频率分布表：
序号（i）
分组
（分数）
组中值
（Gi）
频数
（人数）
频率
（Fi）
1hslx3y3h60，70）65①0.10
2hslx3y3h70，80）7520②
3hslx3y3h80，90）85③0.20
4hslx3y3h90，100）95④⑤
合计501
请你根据频率分布表解答下列问题：
（1）求出频率分布表中①、②、③、④、⑤处的值；
（2）在上述统计数据的分析中，有一项指标计算的程序框图如图所示，则该程序功能是什么？求输出S的值．
【考点】EF：程序框图．
【分析】（1）由分布表的频数和频率的关系逐步求解可得；
（2）可得程序的功能是求平均数，由表中数据计算可得．
【解答】解：（1）由分布表可得频数为50，故①的数值为50×0.1=5，
②中的值为=0.40，③中的值为50×0.2=10，
④中的值为50﹣（5+20+10）=15，⑤中的值为=0.30；
（2）该程序的功能是求平均数，
S=65×0.10+75×0.40+85×0.20+95×0.30=82，
∴800名学生的平均分为82分．
19．学校从参加高一年级期中考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为150分），数学成绩分组及各组频数如下：75，90），3；105，120），15；135，150135，15060，75）中的任意一位同学，已知甲同学的成绩为62分，乙同学的成绩为140分，求甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率．
【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．
【分析】（1）利用频数统计结果能估计成绩的众数和中位数．
（2）成绩在的四名学生编号为A1，A2，A3，乙，成绩在60，75），2；90，105），14；120，135），12；，4．
∴估计成绩的众数为：=112.5，
设中位数为x，则0.04+0.06+0.28+（x﹣105）×=0.5，
解得x=111．
（2）成绩在的四名学生编号为A1，A2，A3，乙，成绩在1，+∞）上是增函数的概率；（2）设点（a，b）是区域内的随机点，记A={y=f（x）有两个零点，其中一
个大于1，另一个小于1}，求事件A发生的概率．
【考点】CF：几何概型；CB：古典概型及其概率计算公式．
【分析】（1）确定基本事件总数，求出函数y=f（x）在区间1，+∞）上为增函数，当
且仅当a＞0且…
若a=1则b=﹣1，若a=2则b=﹣1，1若a=3则b=﹣1，1…
记B={函数y=f（x）在区间g（x）﹣x•f（x）g（x）﹣x•f（x）﹣，0﹣，0；（3）当时，方程g（x）=x•f（x）的解的个数等价于方程g（x）
﹣xf（x）=0的解得个数等价于m（x）=g（x）﹣xf（x）与x轴交点的个数，
令m（x）=g（x）﹣xf（x），
∴m′（x）=e x cosx﹣e x sinx﹣sinx﹣xcosx=e x（cosx+sinx）﹣sinx﹣xcosx，
∵x∈hslx3y3h，，，，hslx3y3h上有且仅有一个解
2017年5月26日。