材料力学第11章-压杆的稳定性PPT课件
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中、小柔度杆的临界力
1.临界应力和柔度
临界应力可用临界力Pcr 除 以横截面面积A 来求得。
cr
cr
2EI
l2
令
ry
Ιy, Α
rz
Hale Waihona Puke Baidu
Ιz Α
式中，ry和rz 分别称为截面图形对y轴和z轴的惯性半
径。
-
13
11.4 欧拉公式的适用范围
中、小柔度杆的临界力
令 l r
式中:--称为压杆的柔度或长细比
压杆临界应力的计算公式：
cr
cr
2EI
l2
-
cr
2Ε 2
14
11.4 欧拉公式的适用范围
2.欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界力
cr
2 2
p
比例极限的柔度值：
cr
压杆的临界应力图
Ε
s
p σp
p
当 p时，欧拉
公式才适用。这 类压杆称为大柔 度杆或细长杆。
crs
crab
cr
2 2
压力 Pcr 称为压杆的临界力或称为临界载荷。
压杆的失稳现象是在纵向力的作用下， 使杆发生突然弯曲，所以称为纵弯曲。 这种丧失稳定的现象 也称为屈曲。
-
8
11.2 细长杆的临界力 欧拉公式
1.两端铰支压杆的临界力
M ( x ) Py
d 2y EI dx 2 Py
令
k2 P
EI
则
d 2y dx 2
第11章
压杆的稳定性
-
1
本章主要内容
11.1 压杆稳定的概念 11.2 细长压杆的临界力 欧拉公式 11.3 其它约束条件下细长压杆的临界力 11.4 欧拉公式适用范围
中、小柔度杆的临界力 11.5 压杆的稳定性计算 11.6 提高压杆稳定性的措施
-
2
11.1 压杆稳定的概念
细长杆在轴向压力作 用下，如果横向受到 干扰力，由于轴线不 能维持原有直线形状 的平衡状态, 突然产 生显著的弯曲,致使 杆件失去工作能力的 现象称为失稳。
心圆杆，一对压力P=50kN,材料的弹性模量E=200GPa,柔度 1 100。
欧拉双曲线
s p
-
15
11.4 欧拉公式的适用范围
3. 中、小柔度杆的临界应力
经验公式： crab
s
a
s
b
经验公式的 适用范围：
cr
crs s p
s p
中、小柔度杆的临界力
压杆的临界应力图
crab
cr
2 2
小柔度杆
S
实际是强度问题 crs
欧拉双曲线
s p
-
16
11.4 欧拉公式的适用范围
如图（b）,截面的惯性矩为
相应的惯性半径为
Iz
20123 288cm 04 12
rz
Iz A
28803.46cm 1220
两端固定时长度系数 0.5
柔度为 rzl0.5 3 .47600 101 p110
应用经验公式计算其临界应力,查表得
a = 29.3MPa,b = 0.194MPa,则
c ra b 2.3 9 0 .1 9 14 0 9 .7 M 1 Pa
[nc]–––规定的稳定安全系数。
-
20
11.5 压杆稳定性计算
例11-2
（1）计算柔度
d4
r
I A
64
d2
d 4 1cm 44
4
l 237.575
r1
查得45钢的s=60，p=100，s<-<p，属于中柔度杆。 21
11.5 压杆稳定性计算
（2）计算临界力，校核稳定
查表得a=589MPa,b=3.82MPa,得丝 杠临界力为
这种保持原有直线形状的平衡是稳定的平衡。
当压力P 增大到某一数值
Pcr 时，稍受横向力的干
扰，杆即变弯，不再恢复
原有的直线形状，而处于
弯曲平衡状态；如P值再
稍有增加，杆的弯曲变形
显著增大，甚至最后造成
破坏，这种不能保持原有
直线形状的平衡是不稳定
的平衡。如图d 。
-
7
11.2 细长杆的临界力 欧拉公式
k 2y
0
方程的通解
y C 1 sk i n C x 2 ck ox s ( 1 - )
9
11.2 细长杆的临界力 欧拉公式
y C 1 sk i n C x 2 ck ox s ( 1 )
x 0 边界条件为 x l
y 0 y 0
c1
c2 sin
0 kx
0
k ln , n0,1,2,
k P n
中、小柔度杆的临界力 一些常用材料的a、b值：
-
17
11.4 欧拉公式的适用范围
例11-1 截面为1220cm2,l = 7m,E = 10GPa,试求木柱的临
界力和临界应力。 （1）计算最大刚度平面的临界力和临界应力
如图（a）,截面的惯性矩应为
Iy
12203 800c0m4 12
惯 性 半 径 ry 为IAy
80005.77cm 1220
两端铰接时，长度系数 1,
其柔度为 ryl15.77070121p110 因 >p故可用欧拉公式计算。
Pcr2E l2Iy
3.142101098105
172
16k1N
cr22E3.142112201109 6.73MPa-
18
11.4 欧拉公式的适用范围
（2）计算最小刚度平面内的临界力及临界应力。
-
3
11.1 压杆稳定的概念
细长杆承受轴向压力的工况是很多见的
-
4
11.1 压杆稳定的概念
-
5
11.1 压杆稳定的概念
因此，需要研究细长压杆的稳定性问题。
-
6
11.1 压杆稳定的概念
稳定平衡与不稳定平衡
考察一根细长压杆，当压力P 不大时，干扰力一旦撤去，
杆经过若干次振动后，仍回复到原来的直线形状，如图c 。
PcrcrAabd 42589 16 03.82 16 075
0.02 4
381N 000
4
此丝杠的工作稳定 安全系数为
ncP P cr3 88 01 0 4 0 0 .70 0 640nc
校核结果可知，此千斤顶- 丝杠是稳定的。
22
11.5 压杆稳定性计算
已知图示四方形框架,如题图七（a）各边长为a=0.5m,横截面面积 A1=295mm2;对角线CD杆横截面面积A2=417mm2。若杆的截面形状为实
临 P c 界 r c A r 9 . 7 1 力 6 0 . 0 1 - 0 . 2 2 为 2 . 8 k 3N 2 19
11.5 压杆稳定性计算
压杆稳定条件为：
p
p cr
nc
或
nc
p cr p
nc
式中：P—压杆的工作压力；
Pcr---压杆的临界力；
nc---压杆的工作稳定安全系数
EI l
n2π 2 EI Ρ l2
取 n =1
Ρcr
π
2 EI l2 -
10
11.3 其它约束条件下细长杆的临界力
-
11
11.3 其它约束条件下细长杆的临界力
将各类压杆的临界力写作一个通式
Ρ cr
2 EI
l 2
式中：--为不同约束条件下压杆的长度系数
l--为相当长度
-
12
11.4 欧拉公式的适用范围
1.临界应力和柔度
临界应力可用临界力Pcr 除 以横截面面积A 来求得。
cr
cr
2EI
l2
令
ry
Ιy, Α
rz
Hale Waihona Puke Baidu
Ιz Α
式中，ry和rz 分别称为截面图形对y轴和z轴的惯性半
径。
-
13
11.4 欧拉公式的适用范围
中、小柔度杆的临界力
令 l r
式中:--称为压杆的柔度或长细比
压杆临界应力的计算公式：
cr
cr
2EI
l2
-
cr
2Ε 2
14
11.4 欧拉公式的适用范围
2.欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界力
cr
2 2
p
比例极限的柔度值：
cr
压杆的临界应力图
Ε
s
p σp
p
当 p时，欧拉
公式才适用。这 类压杆称为大柔 度杆或细长杆。
crs
crab
cr
2 2
压力 Pcr 称为压杆的临界力或称为临界载荷。
压杆的失稳现象是在纵向力的作用下， 使杆发生突然弯曲，所以称为纵弯曲。 这种丧失稳定的现象 也称为屈曲。
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8
11.2 细长杆的临界力 欧拉公式
1.两端铰支压杆的临界力
M ( x ) Py
d 2y EI dx 2 Py
令
k2 P
EI
则
d 2y dx 2
第11章
压杆的稳定性
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1
本章主要内容
11.1 压杆稳定的概念 11.2 细长压杆的临界力 欧拉公式 11.3 其它约束条件下细长压杆的临界力 11.4 欧拉公式适用范围
中、小柔度杆的临界力 11.5 压杆的稳定性计算 11.6 提高压杆稳定性的措施
-
2
11.1 压杆稳定的概念
细长杆在轴向压力作 用下，如果横向受到 干扰力，由于轴线不 能维持原有直线形状 的平衡状态, 突然产 生显著的弯曲,致使 杆件失去工作能力的 现象称为失稳。
心圆杆，一对压力P=50kN,材料的弹性模量E=200GPa,柔度 1 100。
欧拉双曲线
s p
-
15
11.4 欧拉公式的适用范围
3. 中、小柔度杆的临界应力
经验公式： crab
s
a
s
b
经验公式的 适用范围：
cr
crs s p
s p
中、小柔度杆的临界力
压杆的临界应力图
crab
cr
2 2
小柔度杆
S
实际是强度问题 crs
欧拉双曲线
s p
-
16
11.4 欧拉公式的适用范围
如图（b）,截面的惯性矩为
相应的惯性半径为
Iz
20123 288cm 04 12
rz
Iz A
28803.46cm 1220
两端固定时长度系数 0.5
柔度为 rzl0.5 3 .47600 101 p110
应用经验公式计算其临界应力,查表得
a = 29.3MPa,b = 0.194MPa,则
c ra b 2.3 9 0 .1 9 14 0 9 .7 M 1 Pa
[nc]–––规定的稳定安全系数。
-
20
11.5 压杆稳定性计算
例11-2
（1）计算柔度
d4
r
I A
64
d2
d 4 1cm 44
4
l 237.575
r1
查得45钢的s=60，p=100，s<-<p，属于中柔度杆。 21
11.5 压杆稳定性计算
（2）计算临界力，校核稳定
查表得a=589MPa,b=3.82MPa,得丝 杠临界力为
这种保持原有直线形状的平衡是稳定的平衡。
当压力P 增大到某一数值
Pcr 时，稍受横向力的干
扰，杆即变弯，不再恢复
原有的直线形状，而处于
弯曲平衡状态；如P值再
稍有增加，杆的弯曲变形
显著增大，甚至最后造成
破坏，这种不能保持原有
直线形状的平衡是不稳定
的平衡。如图d 。
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11.2 细长杆的临界力 欧拉公式
k 2y
0
方程的通解
y C 1 sk i n C x 2 ck ox s ( 1 - )
9
11.2 细长杆的临界力 欧拉公式
y C 1 sk i n C x 2 ck ox s ( 1 )
x 0 边界条件为 x l
y 0 y 0
c1
c2 sin
0 kx
0
k ln , n0,1,2,
k P n
中、小柔度杆的临界力 一些常用材料的a、b值：
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17
11.4 欧拉公式的适用范围
例11-1 截面为1220cm2,l = 7m,E = 10GPa,试求木柱的临
界力和临界应力。 （1）计算最大刚度平面的临界力和临界应力
如图（a）,截面的惯性矩应为
Iy
12203 800c0m4 12
惯 性 半 径 ry 为IAy
80005.77cm 1220
两端铰接时，长度系数 1,
其柔度为 ryl15.77070121p110 因 >p故可用欧拉公式计算。
Pcr2E l2Iy
3.142101098105
172
16k1N
cr22E3.142112201109 6.73MPa-
18
11.4 欧拉公式的适用范围
（2）计算最小刚度平面内的临界力及临界应力。
-
3
11.1 压杆稳定的概念
细长杆承受轴向压力的工况是很多见的
-
4
11.1 压杆稳定的概念
-
5
11.1 压杆稳定的概念
因此，需要研究细长压杆的稳定性问题。
-
6
11.1 压杆稳定的概念
稳定平衡与不稳定平衡
考察一根细长压杆，当压力P 不大时，干扰力一旦撤去，
杆经过若干次振动后，仍回复到原来的直线形状，如图c 。
PcrcrAabd 42589 16 03.82 16 075
0.02 4
381N 000
4
此丝杠的工作稳定 安全系数为
ncP P cr3 88 01 0 4 0 0 .70 0 640nc
校核结果可知，此千斤顶- 丝杠是稳定的。
22
11.5 压杆稳定性计算
已知图示四方形框架,如题图七（a）各边长为a=0.5m,横截面面积 A1=295mm2;对角线CD杆横截面面积A2=417mm2。若杆的截面形状为实
临 P c 界 r c A r 9 . 7 1 力 6 0 . 0 1 - 0 . 2 2 为 2 . 8 k 3N 2 19
11.5 压杆稳定性计算
压杆稳定条件为：
p
p cr
nc
或
nc
p cr p
nc
式中：P—压杆的工作压力；
Pcr---压杆的临界力；
nc---压杆的工作稳定安全系数
EI l
n2π 2 EI Ρ l2
取 n =1
Ρcr
π
2 EI l2 -
10
11.3 其它约束条件下细长杆的临界力
-
11
11.3 其它约束条件下细长杆的临界力
将各类压杆的临界力写作一个通式
Ρ cr
2 EI
l 2
式中：--为不同约束条件下压杆的长度系数
l--为相当长度
-
12
11.4 欧拉公式的适用范围