等额年金终值
工程经济学第二章
• 5. 计息周期小于资金收付周期的等值计算 • 【例】：每半年存款1000元，年利率8%，每季计息一次， 复利计息。问五年末存款金额为多少？ • 解法 ：按收付周期实际利率计算半年期实际利率i＝(1＋ 解法1： 8%／4)2－1＝4.04% • F＝1000(F/A，4.04%，2×5)＝1000×12.029＝12029元 • 解法 ：按计息周期利率，且把每一次收付看作一次支付 解法2： 来计算 • F＝1000(1＋8%／4)18＋1000(1＋8%／4)16＋…＋1000 ＝12028.4元 • 解法 ：按计息周期利率，且把每一次收付变为等值的计 解法3： 息周期末的等额年金来计算 • A＝1000（A／F，2％，2）＝495元 • F＝495（F／A，2％，20）＝12028.5元
[例]某项投资，为了在第四年末得到1262.5元的收益，按年利率6 ％计算，现在应投资多少？ 解：P=F(P/F,I,n)=1262.5(P/F,6%,4)=1000元
等额分付类型
• （1）等额分付终值公式（等额年金终值公式 )
(1 + i ) n − 1 F = A⋅ = A( F / A, i, n) i
r m 1 i连 = lim (1 + ) − 1 = lim 1 + m m →∞ m m →∞ r
m ×r r
−1 = er −1
等值计算公式的应用
• 1. 预付年金的等值计算 • 【例1】：某人每年年初存入银行5000元，年利 率为10％，8年后的本利和是多少 • 解： • F=5000(F/A,10%,8)*(1+10%)=62897.45
• •
• 3. 现金流量图——表示现金流量的工具之一 • （1）含义：表示某一特定经济系统现金流入、流出与其 发生时点对应关系的数轴图形，称为现金流量图。
等额年金
1、 期末付年金（Annuity-immediate）
期末付年金的含义：在 n 个时期中，每个时期末付款1。
年金
1 0 1
1 2
1 3
1 n-1
1 n
时间
5
期末付年金的现值因子
（annuity-immediate present value factor）
an ：a-angle-n
n期期末付年金的现值因子 a ，a表示annuity，i表示每
an 1 v
v
n 1
1 vn 1 vn 1 v d
ห้องสมุดไป่ตู้
sn|i
——期初付年金的积累值因子
sn (1 i )
(1 i ) n (1 i)[1
(1 i ) n 1 d
(1 i)n1 ]
(1 i)n 1 (1 i) (1 i ) 1
本金和利息在第10年末一次还清；
每年产生利息在当年末支付，而本金在第10年末归还。
在10年期内，每年末偿还相同的金额。 问题：请先推测大小。这些利息总额在价值上是否相等？
13
解：
（1）贷款在10年末的累积值为 1000 1.0910 2367.36
利息总额为 2367.361000＝1367.36
n i
期的实际利率（可省略）。
an v v
2
v
n
v(1 v n ) 1 v
1 vn i
6
1 vn an i
期末付定期年金的现值
7
期末付年金的累积值（终值）因子 annuity-immediate accumulated value factor
资金的时间价值建设工程经济
解：Leabharlann 资金恢复因子（系数）（二）等额支付系列复利公式
5、已知n，i ，P ，求 A
某项目投资3000万元，拟5年回收，若折现率为10%，问应每年回收多少？
=3000*10 %( 1+10%) 5/ (1+10%) 5-1=791.4万元
小结
1. 一次支付类型（1）复利终值公式（一次支付终值公式、整付本利和公式） （2）复利现值公式（一次支付现值公式）
2. 等额分付类型（1）等额分付终值公式（等额年金终值公式 ）（2）等额分付偿债基金公式（等额存储偿债基金公式）（3）等额分付现值公式（4）等额分付资本回收公式
支付类型
计算简图
（2）现金流量图概念（Cash Flow Diagram)现金流量图是描述工程项目整个计算期内现金流入和现金流出与其发生时点对应关系的数轴图形
300
400
n
200
200
200
1 2 3 4
现金流入
回收系数
整存已知零取多少
小结：基本复利系数之间的关系
与 互为倒数 与 互为倒数 与 互为倒数
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
200
1200
800
1000
400
500
400
某建设项目投资总额为1000万元，建设期三年，各年投资比例分别为：20%、50%、30%，项目从第四年开始产生效益，每年的净现金流量为300万元，项目计算期十年，在最后一年可收回固定资产余值及流动资金100万元。则该项目的现金流量图为（ ）
例8: 下列等式成立的有（ ）A（F/A，i，n）=（P/F，i，n）×（A/p，i，n）B（P/F，i，n）=（A/F，i，n）×（P/A，i，n）C（P/F，i，n）=（P/F，i，n1）×（A/F，i，n2），n1+n2=nD（A/P，i，n）=（F/P，i，n）×（A/F，i，n）E（A/F，i，n）=（P/F，i，n）×（A/P，i，n）答案：B、D、E
年金终值和现值计算
3 延期年金
[例题]：某企业向银行借入一笔款项，银行的 贷款利率是8%，银行规定前10年不用还本付 息，但是从第11年到第20年每年年末偿还本息 1000元，问这笔款项的现值应为多少？
P=1000﹡(P/A, 8%, 10) ﹡(P/F, 8%, 10) =1000﹡6.710﹡0.463=3107元
1.1 普通年金终值
■ 定义：普通年金终值是一定时期内每期 期末等额收付款项的复利终值之和。
■ 令：A——年金数额 i ——利息率 n ——计息期数 F——年金终值
1.1 普通年金终值
■ 计算公式：
F=A﹡ [(1+i)n −1]/i 其中[(1+i)n −1]/i被称作年金终值系数，
记作(F/A, i, n) 普通年金终值，通常借助于“年金终值系 数表”计算。 F=A ﹡(F/A, i, n)
1.3普通年金现值
[例题]：某人出国3年，请人代付房租， 每年年末缴纳10万元，存款利率i=10%, 请问他现在应该存入多少钱。
P=A﹡(P/A, 10%, 3)=10﹡2.487=24.87万元
1.3普通年金现值
[例题]：某公司租入一台生产设备，每年末 须付租金5000元，预计需要租赁3年。若 i=8%，则此公司现在应存入多少元。
4.永续年金
■ [例题]：拟建立一项永久性奖学金，每年计划 颁发1万元奖金，若利率为10%，现在应存入 多少钱？ P=1/10%=10万元
■ [例题]：如果有一股优先股，每季分得股息3 元，而利率是年利6%，对于一个准备购买这 种股票的人来说，他愿意出多少前来购买此优 先股？ i=6%/4=1.5% P=3/1.5%=200元
■ 公式： A= F/ (F/A, i, n)= F﹡i/[(1+i)n −1]
年金终值和年金现值的计算
六、年金终值和年金现值的计算（一）年金的含义年金是指一定时期内每次等额收付的系列款项。
通常记作A 。
具有两个特点：一是金额相等；二是时间间隔相等。
也可以理解为年金是指等额、定期的系列收支。
在现实工作中年金应用很广泛。
例如，分期付款赊购、分期偿还贷款、发放养老金、分期支付工程款、每年相同的销售收入等，都属于年金收付形式。
老师手写板：①②年、月、半年、2年1年 2年 3年1年 1年 1年（二）年金的种类年金按其每次收付款项发生的时点不同，可以分为四种：普通年金（后付年金）：从第一期开始每期期末收款、付款的年金。
预付年金（先付年金、即付年金）：从第一期开始每期期初收款、付款的年金。
与普通年金的区别仅在于付款时间的不同。
递延年金：从第二期或第二期以后开始每期期末收付的年金。
永续年金：无限期的普通年金。
注意：各种类型年金之间的关系（1）普通年金和即付年金区别：普通年金的款项收付发生在每期期末，即付年金的款项收付发生在每期期初。
联系：第一期均出现款项收付。
【例题1·单选题】2007年1月1日，甲公司租用一层写字楼作为办公场所，租赁期限3年，每年12月31日支付租金10万元，共支付3年。
该租金有年金的特点，属于（ ）。
(2010年考试真题)A ．普通年金B ．即付年金C ．递延年金D ．永续年金【答案】A【解析】每年年末发生等额年金的是普通年金。
（2）递延年金和永续年金二者都是在普通年金的基础上发展演变起来的，它们都是普通年金的特殊形式。
它们与普通年金的共同点有：它们都是每期期末发生的。
区别在于递延年金前面有一个递延期，也就是前面几期没有现金流，永续年金没有终点。
在年金的四种类型中，最基本的是普通年金，其他类型的年金都可以看成是普通年金的转化形式。
【提示】1.这里的年金收付间隔的时间不一定是1年，可以是半年、一个季度或者一个月等。
A A A A A A A A A A 300万 200万 100万2.这里年金收付的起止时间可以是从任何时点开始，如一年的间隔期，不一定是从1月1日至12月31日，可以是从当年7月1日至次年6月30日。
水利工程造价考试教程-2资金的时间价值
• （二）资金时间价值的表现形式 • 资金的利息和资金的利润是具体体现 资金时间价值的两个方面。是衡量资金时 间价值的绝对尺度。 利率和利润率都表示原投资所能增值 的百分数，因此这两个量作为衡量资金时 间价值的相对尺度。
•
• （三）利息与利率 • 利息是衡量资金时间价值的绝对尺度，利率
是在一个计息期内所得利息额与本金的比值。 • 1、单利法 • 只对本金计算利息，对每期的利息不再计利 息，每期的利息是固定不变的。
• [例] 某企业拟向银行借款100万元（第一年初）， 计划3年后一次还清，甲银行年利率18%，按年计 息；乙银行年利率16%，按周计息（一年52周）， 问向那家银行借款较为经济？
• 解：求实际利率，实际利率小的为经济方案。
• 甲： ί=18%
• 乙： ί=（1+r/m）m－1
•
=（1+0.16/52）52－1=17.32%
• •
•
=50000（1+8%×3） =62000（元）
到期应归还本利和为62000元。
•
单利法虽然考虑了资金的时间价值， 但仅是对本金而言，没有考虑每期所得 利息再进入社会再生产过程从而增值的 可能性，这不符和资金运动的实际情况。 因此单利法未能完全反映资金的时间价 值，在应用上有局限性，通常仅适用于 短期投资及期限不超过一年的借款项目。
[例] 某企业向银行借款，有两种计息方式： A：年利率8%，按月计息； B：年利率9%，按半年计息。 问企业应该选择哪一种计息方式？ [解] 企业应该选择实际年利率较低的计息方式。 两种计息方式的实际年利率： A：ί=（1+8%／12）12－1=8.3% B： ί=（1+9%／2）2 －1=9.2% 应选A计息方式。
《金融数学》(2-2)等额年金
应用上述现值公式的注意事项：
a(m) 1 vn
n
i(m)
要求每次的付款额为1/m ，每年的付款总额为1元。 是以每年的付款为单位1计算的。 需要已知年实际利率和名义利率。
例：10年内每月末支付400的现值？ 12400a(12) 10
例：5年内每4个月末支付200的现值？ 3200a(3) 5
.
.
27
连续支付的年金 （continuously payable annuity）
含义：
假设连续不断地进行付款（ m），但每年的付款总量
仍然为1元。 记号：
a n | 表示连续支付年金的现值
s 表示连续支付年金的累积值 n|
.
28
连续支付年金是年支付次数m趋于无穷大时的年金，故
或
a lim a(m )lim 1vn1vn
|
|
（两个年金相差1/m个时期）
.
26
例：投资者现在投资20000元，希望在今后的每月末领 取100元，并无限期地领下去，年实际利率应该为多少？ 解：m = 12，每年领取的金额为1200元。假设年实际利 率为i，则：
1 2 0 0 i( 1 m )＝ 2 0 0 0 0 1 2 [ ( 1 1 2 i0 ) 1 0 1 2 1 ]= 2 0 0 0 0 i 6 .1 6 7 8 %
等额年金（II）：
每年支付 m 次的年金和连续支付的年金
孟生旺 中国人民大学统计学院
1
.
回顾
年金
现值
基本年金 累积值
期末付
a 1 vn
n
i
s (1 i)n 1
n
i
期初付
a 1 vn
n
年金现值公式系数表
年金现值公式系数表
年金公式分为年金现值公式和年金终值公式。
年金现值计算公式为：P=A×（P/A，i，n）。
其中，（P/A，i，n）称作“年金现值系数”，可查普通年金现值系数表。
年金终值计算公式为：F=A×（F/A，i，n）。
其中，（F/A，i，n）称作“年金终值系数”，可查普通年金终值系数表。
年金分为普通年金、即付年金、递延年金和永续年金。
普通年金指每期末收付等额款项的年金，也称后付年金。
即付年金指每期期初获得收入的年金，也称先付年金。
递延年金指第一次收付款项发生时间不在第一期末，而是隔若干期后才开始发生的系列等额收付款项，它是普通年金的特殊形式。
永续年金指无限期等额收付的年金，可视为普通年金的特殊形式。
年金终值和现值得计算
4.永续年金
[例题]：拟建立一项永久性奖学金，每年计划 颁发1万元奖金，若利率为10%，现在应存入 多少钱？ P=1/10%=10万元 [例题]：如果有一股优先股，每季分得股息3 元，而利率是年利6%，对于一个准备购买这 种股票的人来说，他愿意出多少前来购买此优 先股？ i=6%/4=1.5% P=3/1.5%=200元
3 延期年金 [例题]：某企业向银行借入一笔款项，银行的 贷款利率是8%，银行规定前10年不用还本付 息，但是从第11年到第20年每年年末偿还本息 1000元，问这笔款项的现值应为多少？
P=1000﹡(P/A, 8%, 10) ﹡(P/F, 8%, 10) =100A﹡﹡(P/A, 8%, 20)-A ﹡ (P/A, 8%, 10) =1000﹡（9.818−6.710）=3107 元
PVA=A﹡ (P/A, 8%, 3) =5000﹡2.577=12885元
1.3普通年金现值 [例题]：某企业打算购置一台柴油机更新目前 使用的汽油机，每月可节省燃料费用60元，但 柴油机比汽油机高1500元。请问柴油机是用多 少年才合算？(假设年利率为12%，每月复利 一次)
1500≤60﹡ (P/A, 1%, n) 25≤ (P/A, 1%, n) 查表得：n=30月
A= P/ (P/A, 12%, 8)=2000/4.968=402.6万元
2.1先付年金终值
[例题]：某人每年年初存入1000元，存 款利率i=8%，问第10年末的本利和应是 多少？
F=1000﹡(F/A,8%,10) ﹡(1+8%) =1000﹡14.408﹡1.08=15645元 F=1000﹡ (F/A,8%,11) −1000 =1000﹡(16.645−1)=15645元
中级经济师-建筑与房地产-基础练习题-第二章投资项目经济分析与评价方法-第一节资金时间价值及等值计算
中级经济师-建筑与房地产-基础练习题-第二章投资项目经济分析与评价方法-第一节资金时间价值及等值计算[单选题]1.某项目投资100万元，分5年等额回收，若资本利率为10％，每年可回收()万元（江南博哥）。
已知：(A／P，10％，5)=0．2638，(A／F，10％，5)=0．1638。
A.16.38B.26．38C.62．09D.75．82正确答案：B参考解析：此题考查等额年金与现值的等值计算。
设i为利率(折现率)，n为计息期数，P为现值，A为等额年金(或称年值)，当投资现值P已知时，则资金回收计算(已知P，求A)公式为：A=P(A／P，i，n)。
本题中，投资现值P=100万元，利率i=10％，计息期数n=5，所以每年回收额A=100×0．2638=26．38(万元)。
[单选题]2.以下属于资金时间价值绝对数表现形式的是()。
A.平均资金利润率B.利息C.利率D.资金报酬率正确答案：B参考解析：此题考查资金时间价值的表现形式。
资金时间价值有绝对数和相对数两种表现形式。
绝对数表现形式有利息、股利、利润和投资收益等，相对数表现形式有利率、平均资金利润率和资金报酬率等。
[单选题]5.某人以10％单利借出15000元，借款期为5年；此后以7％的复利将上述借出资金的本利和再借出，借款期为10年。
该人在第15年年末可以获得的复本利和是()元。
已知：(F／P，7％，10)=1．967。
A.22500B.44257C.29505D.66757正确答案：B参考解析：此题考查利息的计算方法。
利息计算有单利和复利之分。
单利是指在计算每个周期利息时，仅考虑最初本金的利息，而本金所产生的利息不再计算利息，本利和计算公式为：F=P(1+i·n)。
复利是指将其上期利息结转为本金一并计算本期利息，即通常所说的“利生利”“利滚利”的计息方法，本利和计算公式为：F=P(1+i)n=P(F／P，i，n)。
本题中，单利计息5年后得到的本利和F=15000×(1+10％×5)=22500(元)，复利计息10年后得到的本利和F=22500×(F／P，7％，10)=22500×1．967=44257(元)，故该人在第15年年末可以获得的复本利和为44257元。
第二章 等额年金 (上)
其中：
s sn
t 0,1,2
2( s n) i0 s(n 1)
例、某人存入银行8，000元，然后每年末从银行支取 1，000元，共取10年，求：i
同理：
例：某投资项目，前3年每年初投资5万元，后3年每 年末投资3万元，i=6%，试计算该项投资在10年末的 终值
解：前3年投资在10年末的终值为：
3 7 5 3 (1 i ) 7 25.37万元 5 s s
后3年投资在第10年末的终值为：
3s3 4 3s3 (1 i ) 12.06万元
三、年金的现值与终值
1、n年定期年金 1）期末付年金 ①现值
0 1 1 2 1 3 1 n 1
v
v2
vn
an v v v
2
n
。
v (1 v ) 1 v
n
1 v i
n
年初存入 an ，则每年末可得到 1元的 年金。
上式可写成：
1 ian v
例：设某期初付年金共支付20年，其中：前6年的年金额为5元， 中间9年的年金额为7元，后5年的年金额为10元，请写出年金 现值和终值的表达式。 解：现值
6 7 6 a 9 1015 a 5 5a
终值
5 7 9 (1 i ) 5 6 (1 i ) 10 s s s
。
n (1 i ) (1 i ) 2 (1 i ) n s (1 i ) n 1 d
③ a n 与 n 的关系 s
等额系列终值公式
等额系列终值公式等额系列终值公式，这可是个在财务和经济领域中相当重要的概念呢！咱先来说说啥是等额系列终值。
比如说，你每个月都往银行存固定的一笔钱，存了好多年，到最后你想知道这一笔笔固定的钱加起来，到最后到底值多少钱，这时候就得用到等额系列终值公式啦。
等额系列终值公式就像是一个魔法公式，能帮咱们算出这些固定金额累积到未来某个时间点的总值。
它的公式是：F = A×((1 + i)^n - 1) / i 。
这里面的 F 呢，就是终值，也就是咱们最后想知道的那个总数；A 表示的是等额的年金，也就是每次固定存的那笔钱；i 是利率；n 则是期数。
我给您举个例子哈。
就说小李吧，他决定每个月拿出 500 块钱做个定期储蓄，年利率是 3%。
他坚持了 5 年，也就是 60 个月。
那咱们来算算这 5 年后他能拿到多少钱。
首先，利率 3%要换算成月利率，就是 3%÷12 = 0.25%。
然后期数 n 就是 60 啦。
把这些数字代入公式里，F = 500×((1 + 0.25%)^60 - 1)÷0.25% 。
经过一番计算，就能得出小李 5 年后能拿到的钱数。
等额系列终值公式在咱们生活里用处可大了。
比如说你计划着未来几年要攒够一笔钱买房子，或者是为孩子准备教育基金，都能用上它。
通过这个公式，你可以提前规划好每个月要存多少钱，存多久，才能达到自己的目标。
再比如，有些企业在做长期投资决策的时候，也会用到这个公式。
他们要算算如果每年投入固定的资金，若干年后能有多少回报，来判断这个投资是不是划算。
其实啊，等额系列终值公式就像是一个财务小助手，能帮咱们把未来的钱算得明明白白的。
只要咱们合理运用，就能让自己的财务规划更加清晰，更有方向。
总之，掌握了等额系列终值公式，就像是在财务的世界里多了一把神奇的钥匙，能帮咱们打开通向未来财富的大门。
不管是个人的小日子，还是企业的大买卖，都能因为它变得更加井井有条，更加有盼头！希望大家都能好好利用这个公式，让自己的财务生活更加美好！。
等额支付系列的终值、现值、资金回收和偿债基金计算
等额支付系列的终值、现值、资金回收和偿债基金计算二、等额支付系列的终值、现值、资金回收和偿债基金计算A 年金,发生在 ( 或折算为 ) 某一特定时间序列各计息期末(不包括零期) 的等额资金序列的价值。
1. 终值计算 ( 已知 A, 求 F)等额支付系列现金流量的终值为 :[（1＋i）n－1]/i年称为等额支付系列终值系数或年金终值系数 , 用符号(F/A，i，n)表示。
公式又可写成：F=A(F/A，i，n)。
例：若 10 年内，每年末存 1000 元，年利率 8%, 问 10 年末本利和为多少 ?解 : 由公式得：＝1000×[（1＋8%）10－1]/8%＝144872. 偿债基金计算 ( 已知 F, 求 A)偿债基金计算式为：i/ [（1＋i）n－1]称为等额支付系列偿债基金系数，用符号(A /F，i，n)表示。
则公式又可写成：A=F(A /F，i，n)例：欲在 5 年终了时获得 10000 元，若每年存款金额相等，年利率为10%, 则每年末需存款多少 ?解 : 由公式 (1Z101013-16) 得：＝10000×10%/ [（1＋10%）5－1]＝1638 元3. 现值计算 ( 已知 A, 求 P)[（1＋i）n－1]/i（1＋i）n称为等额支付系列现值系数或年金现值系数 , 用符号(P/A，i，n)表示。
公式又可写成： P＝A(P/A，i，n)例：如期望 5 年内每年未收回 1000 元，问在利率为 10% 时，开始需一次投资多少 ?解 : 由公式得 :＝1000×[（1＋10%）5－1]/10%（1＋10%）5＝3790. 8 元4. 资金回收计算 ( 已知P, 求A)资金回收计算式为 :i（1＋i）n/ [（1＋i）n－1]称为等额支付系列资金回收系数，用符号(A/P，i，n)表示。
则公式又可写成：A=P(A/P，i，n)例：若投资10000元，每年收回率为 8%, 在10年内收回全部本利，则每年应收回多少 ?解 : 由公式得 :＝10000×8%×（1＋8%）10/ [（1＋8%）10－1]＝1490. 3 元例．（2005真题）某施工企业现在对外投资200万元，5年后一次性收回本金和利息，若年基准收益率为8%，则总计可以收回资金（ D ）万元。
第二章 等额年金(上)知识讲解
注：更一般的，若每年末支付的金额为A元，则现值为 A
Aa i
例：某人在今后的30年内，年初向一基金存入10000元。从第30年 开始，每年末可以领取一笔退休金。该基金的收益率为6％. （1）如果限期领取20年，每次可以领取多少？ （2）如果无限期领下去（当他死亡后，由继承人领取），每次可 以领取多少元？
解： a71-iv7,a11 1-iv11 ,a18 1-iv18
1-v7-v11v18
a7.a11
i2
11-v7 1v11 1v18
( )
3i i
i
i
1
3i
(a7
a11a1
8)
i8.278% 47
2、期初付定期年金的现值
假 设 年 金 支 n个付 时期 期限 ，为 在 支 每 1付 元 个， 时其 期
解：假设每年的退休金为A 25年后资金的总额：100(100.08)25
..
Aan10(0100.0)825
A 1 0 .0a 8 n 10 1 0 00 .2 0 5 8
1( 1 )15
A 10.08 10.08101 00.0258
0.08
A8102
3、期末付永续年金的现值 注：永续年金是指无限期支付下去的年金。
解：
季实际利率： 6％／4＝1.5%
年金的终值: 10.s050675.159402
现值: 67.1595(4 10 0.021 )559 325.8679998
例：甲持有 A股票100股，乙持有 B股票100股。A股票每年底得 到红利0.40元，共计10年，在第10次分红后，甲以每2元股的价 格将所有的股票出售 而， 且甲以年利6率 ％的收益率将红利收入 和股票出售的收入进 投行 资。B股票在前10年没有红利收入，从 第11年底开始每年得到红 0.8利0元，如果乙也是以年 率6利％进行 投资，并且n在年后出售股票。为了 甲使 乙在乙的股票出售 刻时 的累积值相同，分别 n 对15、50、25三种情况计算乙的股 出票 售 价格。
第二章 等额年金(上)知识讲解
利息：107 .5 9 0 54 06 0 52 0 70 .5 90 0 462
所以应付利息约为五十八万元
方式B：
每年末应付利息：5000.00 80 40000 十年应付利息： 10 40004000000
所以应付利息为四十万元
方式C： 假设每年末偿付金额为R元
4、按照年金在每期的支付时点不同，可划分为期初付年金和期 末付年金。
5、按照年金开始支付的时间不同，可划分为及期年金和延期年 金。
6、按照每次支付的金额是否相等，可划分为等额年金和变额年 金。
注:更一般的,假设年金的支付时期为m个时期，在每个时期末 支付A元,则现值B为：
B＝A.an
例1 现在向银行存入一笔钱,希望在5年中每年末得到4000元,如 果年实际利率为8%,现在应存入多少钱?
解：假设每年的退休金为A 25年后资金的总额：100(100.08)25
..
Aan10(0100.0)825
A 1 0 .0a 8 n 10 1 0 00 .2 0 5 8
1( 1 )15
A 10.08 10.08101 00.0258
0.08
A8102
3、期末付永续年金的现值 注：永续年金是指无限期支付下去的年金。
年金的原始含义—指一年付款一次，每次支付相等金额的一系 列款项。
年金—指以相等的时间间隔进行的一系列的收付款行为，例如： 投保、房贷。
年金的类型：
1、按照年金的支付时间和支付金额是否确定，可划分为确定年 金和风险年金。
注：确定年金就简称为年金。
2、按照年金的支付期限长短，可划分为定期年金和永续年金。 3、按照年金的支付周期不同，可分为每年或每月支付一次的年 金等等，如果是连续支付，则这种年金就称为连续年金。
工程经济学第3章 资金的时间价值
t
t t
资金 原值流通 保Βιβλιοθήκη 箱资金 资金 新值 = 原值
资金 + 时间价值 利息
资金 原值
3.1.2 利息与利率
衡量资金时间价值的尺度 绝对尺度 —— 利息和利润
反映资金的盈利能力
相对尺度 —— 利息率和利润率
反映资金随时变化的增值速度
1。单利与复利
1）单利 —— 只对本金计算利息
In P i n
利息
I F P 1076.89 1000 76.89(元）
2） 名义利率与实际利率
工程经济中，通常是按年记息，但实际生活中有 季、月、周、日记息等多种约定。当记息期数与计 算复利次数不同，就出现名义利率和实际利率。
2。实际利率
一年内按几次记息后的全部利息与本金之比称为实际利率。
i (1 i ) n 内把本利和在每年年末以等额资金 P 取回。 n (1 i ) 1
5。复利系数表的用法 根据已知条件，需要求什么？从表中查出所需的复利系数。 [例4] 某项目资金（万元）流动情况如图所示，求终值、现 值、第四期期末的等额资金（i=10%）。
60 30 0 40 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 年
（4）可理解为：N点处有一笔资金F，折合到0点（已知利率i） 1 的数值大小为 F 。 n (1 i ) P可称为折现值或贴现值，i称为折现率。
3.3.2 等额分付
1.等额分付终值计算（已知A，求F）
F=？ （1）现金流量图
0 1 2 3 。。。 n-1 n
A （2）计算公式
(1 i ) n 1 F A i
400
200 1200
0
年金终值系数计算公式
年金终值系数、年金现值系数和复利现值系数公式推导2010-01-16 14:491）年金终值系数普通年金终值指一定时期内，每期期末等额收入或支出的本利和，也就是将每一期的金额，按复利换算到最后一期期末的终值，然后加总，就是该年金终值。
其公式推导如下：设每年的支付金额为A，利率为i，期数为n，则按复利计算的年金终值S为：S = A + A×(1+i) + … + A×(1+i)^(n-1)等式两边同乘以(1+i)：S(1+i) = A(1+i) + A(1+i)^2 + … + A(1+l)^n上式两边相减可得：S(1+i) - S = A(1+l)^n - A,S = A[(1+i)n - 1] / i式中[(1+i)n - 1] / i的为普通年金、利率为i，经过n期的年金终值记作(S/A, i, n)，可查普通年金终值系数表。
2）年金现值系数年金现值通常为每年投资收益的现值总和，它是一定时间内每期期末收付款项的复利现值之和.每年取得收益1元，年利率为10%，为期5年，上例逐年的现值和年金现值，可计算如下：1年1元的现值=1/(1+10%)=0.909(元) 注：现求的复利现值2年1元的现值=1/(1+10%)2=0.826(元)3年1元的现值=0.751(元)4年1元的现值=0.683(元)5年1元的现值=0.621(元)1元年金5年的现值为上述和的汇总3.790(元)普通年金a元、利率为r，经过n期的年金现值计算公式：p=a(1/(1+r)+1/(1+r)^2+...+1/(1+r)^n)根据等比数列求和公式，整理得：p=a(1-(1+r)^(-n))/r3)复利终值系数年金现值通常为每年投资收益的现值总和，它是一定时间内每期期末收付款项的复利现值之和.每年取得收益1元，年利率为10%，为期5年，上例逐年的现值和年金现值，可计算如下：1年1元的现值=1/(1+10%)-1=1.1(元) 注：现求的复利终值2年1元的现值=1/(1+10%)-2=1.21(元)3年1元的现值=1.331(元)4年1元的现值=1.4641(元)5年1元的现值=1.6105(元)如题，复利是(p/s,i,n);(s/p,i,n) 年金是(a/s,i,n);(s/a,i,n)一般要怎么区别两者，他们之间有什么联系？谢谢！小猪跳过橙汁回答:1 人气:6 解决时间:2009-09-08 15:14满意答案好评率：0%所谓复利也称利上加利，是指一笔存款或者投资获得回报之后，再连本带利进行新一轮投资的方法。
年金终值和年金现值
【例题·计算分析题】A矿业公司决定将其一处矿产10年开采权公开拍卖，因此它向世界各国煤炭企业招 标开矿。已知甲公司和乙公司的投标书最具有竞争力，甲公司的投标书显示，如果该公司取得开采权， 从获得开采权的第1年开始，每年年末向A公司交纳10亿美元的开采费，直到10年后开采结束。乙公司的 投标书表示，该公司在取得开采权时，直接付给A公司40亿美元，在第8年末再付给60亿美元。假设A公司 要求的年投资回报率为15%，试比较甲乙两公司所支付的开采费现值，判断A公司应接受哪个公司的投标 ？ 『正确答案』 甲公司支付开采费的现值 P＝10×（P/A，15%，10）＝50.188（亿美元） 乙公司支付开采费的现值 P＝40＋60×（P/F，15%，8）＝59.614（亿美元） 由于乙公司支付的开采费现值高于甲公司，因此A公司应接受乙公司的投标。 2）年资本回收额（年金现值的 逆运算）
【例题·单选题】（2018年）下列各项中，两者之间互为逆运算的是（ ）。 A.复利终值和复利现值 B.普通年金现值和年偿债基金 C.年金终值和年金现值 D.普通年金终值和年资本回收额 『正确答案』A 『答案解析』互为逆运算：复利终值和复利现值；年偿债基金和普通年金终值；年资本回收额与普通年 金现值。
（三）预付年金终值与现值 1.预付年金终值 基本思路：先求普通年金终值，再调整。
F＝A（F/A，i，n）（1＋i）＝A×[（F/A，i，n＋1）－1] 即：预付年金终值系数是在普通年金终值系数基础上， 期数加 1 ，系数减1的结果。 三字口诀：终加减。 2.预付年金现值 基本思路：先求普通年金现值，然后再调整。
3.年金的类型 1）普通Байду номын сангаас金（后付年金） 普通年金：从第一期起，在一定时期内 每期期末等额收付的系列款项。