专题复习-“隐形圆”问题

- < a < 0 ≤ a ≤ 2 + ． 略解：取 AB 的中点 M ，则 C 1M = ，所以 M 在以 C 1 圆心，半径为 （4）若对任意α∈R ，直线 l ：xcos α＋ysin α＝2sin(α＋ )＋4 与圆 C ：(x －m )2＋(y － 3 m )2
3 2 ． (-
“隐形圆”问题
江苏省通州高级中学
一、问题概述
江苏省高考考试说明中圆的方程是 C 级知识点，每年都考，但有些时候，在条件中没
有直接给出圆方面的信息，而是隐藏在题目中的，要通过分析和转化，发现圆（或圆的方程），
从而最终可以利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐形圆”问题．
二、求解策略
如何发现隐形圆（或圆的方程）是关键，常见的有以下策略．
策略一 利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆
例 1（1）如果圆(x －2a)2＋(y －a －3)2＝4 上总存在两个点到原点的距离为 1，则实数 a 的取
值范围是
．
6
5
略解：到原点的距离为 1 的点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，转化到此单位圆与已知
圆相交求解．
（2）（2016 年南京二模）已知圆 O ：x 2＋y 2＝1，圆 M ：(x －a)2＋(y －a ＋4)2＝1．若圆 M 上
存在点 P ，过点 P 作圆 O 的两条切线，切点为 A ，B ，使得∠APB ＝60°，则 a 的取值范
围为 ．
解： 由题意得 OP = 2 ，所以 P 在以 O 为圆心 2 为半径的圆上，即此圆与圆 M 有公共
点，因此有 2 - 1 < OM < 2 + 1 ⇒ 1 ≤ a 2
+ (a - 4)2
≤ 9 ⇒ 2 -
2 2
2 2
（3）（2017 年苏北四市一模）已知 A 、B 是圆 C : x 2 + y 2 = 1 上的动点， AB = 3 ， P 是圆
1
C : (x - ）
+ ( y - 4)2 = 1 上的动点，则 P A + PB 的取值范围是 ． [7,13]
2
1 1 的圆上，且
2 2
P A + PB = 2PM ，转化为两圆上动点的距离的最值．
π
6
＝1 均无公共点，则实数 m 的取值范围是
1 , 5
)
2 2
略解：直线 l 的方程为：(x -1)cos α＋(y - 3 )sin α＝4，M (1, 3 )到 l 距离为 4，所以 l 是
以 M 为圆心半径为 4 的定圆的切线系，转化为圆 M 与圆 C 内含．
化简得 x - ⎪ + y - ⎪ = 2 ，
所以点 M 的轨迹是以 ， ⎪ 为圆心，
圆，所以 AM 的取值范围是 ⎢ ， ⎡ 6 - 2 6 + 2 ⎤
以 BC 的取值范围是 ⎡ 6 - 2 ， 6 + 2 ⎤ ．
⎦ ⎦
注：直线 l ：(x -x 0)cos α＋(y - y 0)sin α＝R 为圆 M ： (x - x )2 + (x - y )2 = R 2 的切线系．
例 2（2017 年南通市一模）在平面直角坐标系 xOy 中，已知 B ，C 为圆 x 2 + y 2 = 4 上两点，
点 A(1，1) ，且 AB ⊥AC ，则线段 BC 的长的取值范围为 ．
解：法一（标解）：设 BC 的中点为 M (x, y )，
因为 OB 2 = OM 2 + BM 2 = OM 2 + AM 2 ，
y
所以 4 = x 2 + y 2 + (x - 1)2 + ( y - 1)2 ，
B
M
C
⎛ 1 ⎫2 ⎛ 1 ⎫2 ⎝ 2 ⎭ ⎝
2 ⎭
3 A
⎛ 1 1 ⎫ 3 2 ⎝2 2 ⎭
2
为半径的
O
x
，所 ⎣ 2 2 ⎥
例 2
⎣ ⎦
法二：以 AB 、AC 为邻边作矩形 BACN ，则 BC ＝AN ， 由矩形的几何性质（矩形所在
平面上的任意一点到其对角线上的两个顶点的距离的平方 和相等），有 O B 2 + OC 2 = OA 2 + ON 2 ，所以 ON ＝ 6 ，
故 N 在以 O 为圆心，半径为 6 的圆上，所以 BC 的取值范围是 ⎡⎣ 6 -
2 ， 6 + 2 ⎤ ．
变式 1 （2014 年常州高三期末卷）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O : x 2 + y 2 = 16 ，点
P (1, 2) ，M 、N 为圆 O 上两个不同的点，且PM ⋅ PN = 0 ，若 P Q = PM + PN ，则 PQ 的
最小值为
． 3 3 - 5
y
变式 2
已知圆 C ： x 2 + y 2 = 9 ，圆 C ： x 2 + y 2 = 4 ，定点
A
1
2
P(1, 0) ，动点 A, B 分别在圆 C 和圆 C 上，满足 ∠APB = 90 ， 1
2
则线段 AB 的取值范围
． [2 3 - 1, 2 3 + 1]
B
O
P
x
变式 3 已知向量 a 、b 、c 满足 a = 3, b = 2, c = 1,(a - c ) ⋅ (b - c ) = 0 ，则 a - b 范围
为
． [2 3 - 1, 2 3 + 1]
l l - 根据 AP ⋅ BP + 2λ = 0 ，有 (x - 4)2 + y 2 = 13 - 2λ λ < ⎪ .由题意
策略二 动点 P 对两定点 A 、B 张角是 900 （ k
P A
⋅ k PB
= -1 ，或 P A ⋅ PB = 0）确定隐形圆
例 3 （1）（2014 年北京卷）已知圆 C ： (x - 3)2 + ( y - 4)2 = 1 和两点 A(-m , 0) ， B(m , 0) ，
若圆上存在点 P ，使得 ∠APB = 90 ，则 m 的取值范围是
． [4,6]
略解：由已知以 AB 为直径的圆与圆 C 有公共点．
（2）（海安 2016 届高三上期末）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P ( 1，0) ，
Q(2 ，1) ，直线 l ：ax + by + c = 0 其中实数 a ，b ，c 成等差数列，若点 P 在直线 l 上
的射影为 H ，则线段 QH 的取值范围是
． [ 2, 3 2]
解：由题意，圆心 C(1，－2)在直线 ax ＋by ＋c ＝0 上，可得 a －2b ＋c ＝0，即 c ＝2b －a ． 直线 l ：(2a －b )x ＋(2b －c)y ＋(2c －a)＝0，即 a(2x ＋y －3)＋b (4－x)＝0，
⎧2x + y - 3 = 0,
由 ⎨ ⎩ 4 - x = 0
，可得 x ＝4，y ＝－5，即直线过定点 M (4，－5)，
由题意，H 在以 PM 为直径的圆上，圆心为 A(5，2)，方程为(x －5)2＋(y －2)2＝50，
∵|CA|＝4 2 ，∴CH 最小为 5 2 －4 2 ＝ 2 ，CH 最大为 4 2 ＋5 2 ＝9 2 ， ∴线段 CH 长度的取值范围是[ 2 ，9 2 ] ．
（3）（通州区 2017 届高三下开学初检测）设m ∈ R ，直线 l ： x + my = 0 与直线
1
l ： mx - y - 2m - 4 = 0 交于点 P(x , y ) ，则 x 2 + y 2 + 2x
的取值范围
2
是
． [12 - 4 10,12 + 4 10 ]
略解：1 过定点 O(0，0)，2 过定点 A(2，-4)， 则 P 在以 OA 为直径的圆上（除去一点）， 变式 （2017 年南京二模）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 1：kx －y ＋2＝0 与
直线 l 2： x ＋ky －2＝0 相交于点 P ，则当实数 k 变化时，点 P 到直线 x －y －4＝0 的距
离的最大值为 ． 3 2
策略三 两定点 A 、B ，动点 P 满足 P A ⋅ PB = λ 确定隐形圆
例 4 （1）（2017 年南通密卷 3）已知点 A(2, 3) ，点 B (6, 3) ，点 P 在直线 3x - 4 y + 3 = 0 上，
若满足等式 AP ⋅ BP + 2λ = 0 的点 P 有两个，则实数 λ 的取值范围是
解：设 P （x ，y ），则 AP = (x - 2, y - 3) ， BP = (x - 6, y + 3) ，
⎛ 13 ⎫
⎝
2 ⎭
．
圆： (x - 4)2 + y 2 = 13 - 2λ λ < ⎪ 圆与直线 3x - 4 y + 3 = 0 相交，
且点 C 总不在以点 B 为圆心， 为半径的圆内，则负数 λ 的最大值是
. - 设 A(- ,0) ， B( , 0) ， C(x, y) ，则由 a 2 + b 2 + 2c 2 = 8 ， 得 (x - )2 + y 2 + (x + ) + y 2 + 2c 2 = 8，即 x 2 + y 2 = 4 - c 2 ，
所以点 C 在此圆上，S ≤ r = 4 - c 2 = (4 - c 2 ) c 2 ≤
策略五 两定点 A 、B ，动点 P 满足
= λ(λ > 0, λ ≠ 1) 确定隐形圆（阿波罗尼斯圆）
⎛ ⎝
13 ⎫ 2 ⎭
圆心到直线的距离 d = 3 ⋅ 4 - 4 ⋅ 0 + 3
32 + 42
= 3 < 13 - 2λ ，所以 λ < 2 .
（2）（2016 年盐城三模）已知线段 AB 的长为 2，动点 C 满足 CA ⋅ C B = λ （ λ 为常数），
1
3
2
4
略解：动点 C 满足方程 x 2 + y 2 = λ + 1 .
策略四
两定点 A 、B ，动点 P 满足 P A 2 + PB 2 是定值确定隐形圆
例 5 （1）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C ：(x －a)2＋(y －a ＋2)2＝1，点 A(0，2)，若
圆 C 上存在点 M ，满足 MA 2＋MO 2＝10，则实数 a 的取值范围是 ．[0，3]
略解：M 满足的方程为 x 2 + ( y -1)2 = 4 ，转化为两圆有公共点
（2）（2017 年南京、盐城一模）在 ∆ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为 a, b , c ，若
a 2 +
b 2 + 2
c 2 = 8 ，则 ∆ABC 面积的最大值为
．
2 5 5
解：以 AB 的中点为原点，AB 所在直线为 x 轴，建系.
c c 2 2
c c 5
2 2 4
c c 5 1 5 5 2 5
2 2 4 5 4 4 5
P A PB
例 6（1）
略解：点 P 满足圆的方程为 x 2 + y 2 = 4 ，转化到直线与圆相交.
（2）（2016 届常州一模）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 O ：x 2＋y 2＝1，
O 1：(x －4)2＋y 2＝4，动点 P 在直线 x + 3 y - b = 0 上，过点 P 作圆 O ，O 1 的两条切线，
． － ,4 ⎪
l
(
)
2
) = 9 ，
( )(
整理得， x - 9
+ y - 9 3
所以点 P(x ，y) 的轨迹是以点 (
，
9 3)
为圆心， 3 为半径的圆．
图乙
x
2
(
)
因为圆心 9 ，9 3 到领海边界线 l ： x = 3.8 的距离为 1.55，大于圆半径 3 ，
切点分别为 A ，B ，若满足 PB = 2P A 的点 P 有且仅有两个，则 b 的取值范围
⎛ 20 ⎫ ⎝
3
⎭
例 7（2017 年南通二模）一缉私艇巡航至距领海边界线 （一条南北方向的直线）3.8 海里的
A 处，发现在其北偏东 30°方向相距 4 海里的
B 处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追
击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的 3 倍．假设缉私艇和走私船均按直线方 向以最大航速航行．
（1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截
成功；（参考数据： sin17 °≈
3 ， 33 ≈ 5.7446 ）
6
（2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．
北
l
领海 公海
B
30°
A
解：（1）略
(例 7)
（2）如图乙，以 A 为原点，正北方向所在的直线为 y 轴建立平面直角坐标系 xOy ．
则 B (
2 ，2 3)
，设缉私艇在 P(x ，y) 处（缉私艇恰好截住走私船的位置）与走私
船相遇，则 P A = 3 ，即
PB
x 2 + y 2
( x - 2)2
+ y - 2 3
= 3．
y
l
领海 公海
2
2
4
4
4
4 4
B
60
A
4 4
2
所以缉私艇能在领海内截住走私
船． 策略六 由圆周角的性质确定隐形
圆
例 8 （1）已知 a, b , c 分别为 ∆ABC 的三个内角 A, B, C 的对边， a = 2 ，
(a +b )(sinA -sinB)=(c -b )sinC 则 ∆ABC 面积的最大值为 ． 3
略解：cos∠A＝，∠A＝60°，设∆ABC的外接圆的圆心为O，外接圆的半径为，则O到BC的距离为3，则边BC上的高h的最大值为+=3，则面积的最大值
（O
为．[-3
123
23
323
333
为3．
（2）2017年常州一模）在△ABC中，∠C＝45o，△是ABC的外心，若OC=mOA+nOB(m，n∈R)，则m＋n的取值范围是．[-2,1)
略解：∠AOB＝2∠C＝90°，点C在以O为圆心，半径OA的圆上（在优弧AB上）．三、同步练习
1．已知直线l:x-2y+m=0上存在点M满足与两点A(-2,0),B(2,0)连线的斜率之积为-1，则实数m的取值范围是．[-25,25]
2．(2016年泰州一模)已知实数a，b，c满足a2+b2=c2，c≠0，则b
a-2c
的取值范围
3
,]
33
3．已知θ,t∈R，则(cosθ-t-2)2+(sinθ-t+2)2的取值范围是．[22-1,22+1] 4．已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0),B(m,0)(m>0)．若圆C上存在点P，使得P A⋅PB=1，则m的取值范围是．[15,35]
7．（2016年无锡一模）已知圆C:(x-2)2+y2=4，线段EF在直线l:y=x+1上运动，点P 为线段EF上任意一点，若圆C上存在两点A、B，使得P A⋅PB≤0，则线段EF长度的最大值是．14
8．如图，已知点A(－1,0)与点B(1,0)，C是圆x2＋y2＝1上的
动点(与点A,B不重合)，连接BC并延长至D，使得|CD|
＝|BC|，则线段 PD 的取值范围
． ( , 2)
5
．1
． [0, ]
) 3
2 3
9．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A( - t ，0)(t > 0) ， B(t ，0) ，点 C 满足 AC ⋅ BC = 8 ，
且点 C 到直线 l ： 3x - 4y + 24 = 0 的最小距离为 9 ，则实数 t 的值是
10．（2013 年江苏卷第 17 题改编）在平面直角坐标系xOy 中，已知点O(0, 0) ， A(0, 3) 如果
圆 C : ( x - a)2 + ( y - 2a + 4)2 = 1 上总存在点 M 使得 MA = 2MO ，则圆心 C 的横坐标 a 的
取值范围是
12
5
11．已知向量 a 、b 、c 满足 a = 2 ， b = a ⋅ b = 3 ，若 (c - 2a )(2 b -3c =0 ，则 b - c 的最大
值是
．1 + 2
12．设点 A, B 是圆 x 2 + y 2 = 4 上的两点，点C(1, 0)，如果∠ACB = 90 ，则线段 AB 长度的取
值范围为
． [ 7 - 1, 7 + 1]
13．在 ∆ABC 中，BC ＝ 2，AC ＝1，以 AB 为边作等腰直角三角形 ABD (B 为直角顶点，C 、
D 两点在直线 AB 的两侧)．当∠C 变化时，线段 CD 长的最大值为
14．
（2016 年南通三模）在平面直角坐标系 x Oy 中，圆 C : (x - 1)2 + y 2 = 2 ， 1
． 3
圆 C : (x - m )2 + (y + m )2 = m 2 ，若圆 C
1
2
上存在点 P 满足：过点 P 向圆 C 作两条切线
1
P A 、PB ，切点为 A 、B ， ∆ABP 的面积为 1，则正数 m 的取值范围是
．
解：设 P(x ，y) ，设 P A ，PB 的夹角为 2θ ．
1 2
P A
△ABP 的面积 S = P A 2 sin 2θ = P A 2 ⋅ ⋅ = 1．
2 PC PC
1
1
由 2P A
= PC 2 = P A 2 + 2 ，解得 P A = 2 ， 1
所以 PC = 2 ，所以点 P 在圆 (x - 1) 2 + y 2 = 4 上．
1
所以 m - 2 ≤ (m -1)2 + (-m )2 ≤ m + 2 ，解得 1≤ m ≤ 3 + 2 3 ．。