化工问题的建模与数学分析方法 第3章 习题及答案

第三章习题1.（√） 设函数()11,,g x y u k =，()22,,g x y u k =是一阶拟线性偏微分方程（1.1）的解，12,k k 是任意常数，求证：12,g g 的任意函数()12,0F g g =也是方程（1.1）的解。

证明：由1122(,,)(1)(,,)g x y u k g x y u k =⎧⎨=⎩分别对x ，y 求导，得11111111222222220(4)(2)00(3)(5)x x u u y y uuxx u u y y u uug u g g x g x g u u g g y g y u g u g g x g x ug u g g y yg ∂⎧⎧∂⎧⎧=-⎪+=⎪⎪∂⎪⎪∂⎪⎪⎪⎨⎨⎪∂∂⎪⎪⎪=-+=⎪⎪⎪∂∂⎪⎩⎩⎪⎪⇒⎨⎨∂∂⎧⎧⎪⎪=-+=⎪⎪⎪⎪∂∂⎪⎪⎨⎪⎪⎨∂∂⎪⎪⎪+=⎪=-∂⎪⎪⎪⎩⎪⎩∂⎩⎩由于g 1，g 2满足偏微分方程（1.1），因此有11111212122222()()()()()(6)()()y xu u x x y y u u y x u u g g P Q R g g P g g Q g g R g g g g P Q R g g ⎧-+-=⎪⎪⇒+++=+⎨⎪-+-=⎪⎩将方程12(,)0F g g =分别对x ，y 求导1212121212121212()()()0()()()()0()x x x x u u u u y y y y u u u u g g uu g g g g xg g x u g g u g g g g y yg g +∂⎧∂⎧=-+++=⎪⎪∂+∂⎪⎪⇒⎨⎨∂+∂⎪⎪+++==-∂⎪⎪∂+⎩⎩ （7）将（7）代入偏微分方程（1.1）左端，再利用关系式（6），得12121212121[()()]1[()]x x y y u uu u u uu u PQ P g g Q g g x x g g g g R g g R∂∂+=-+++∂∂+=--++= （8）说明偏微分方程（1.1）也得到满足，因此12(,)0F g g =也是方程的解。

2.求下列方程的通解 （1）u yu x u 2=∂∂+∂∂ 解：u dudy dx 211== 11k x y dx dy+=⇒= 222k e u u dxdux ⋅=⇒= 由于1k 与2k 存在函数关系，我们得到方程的通解为)(2x y f e u x-⋅=，f 为任意函数（2）0=∂∂-∂∂yu y x u u解：10k u s u=⇒=∂∂ 1/2k x e k y uydx dy -=⇒-=方程通解表示为隐函数ux e u f y /)(-⋅=，f 为任意函数（3）22)()(y x yuyu x x u xu y +=∂∂++∂∂- 解： )3()2()1(22--------+=---------+=----------=y x dsduyu x ds dyxu y ds dx由（2）得： )(1x dsdyy u -=代入（1）得：)(x dsdyy x y ds dx --= 整理得： dsdu ds dy x ds dx y y x ds dy x ds dx y=+⇒+=+22 两边同乘以ds 得：xdy ydx du +=即：x yu=∂∂x k y xy x y y x y y u x u 1=⇒=∂∂⇒=∂∂⋅∂∂=∂∂ 22121k x k u +=⇒ 由于1k 与2k 存在函数关系，我们得到方程的通解为)(21xyf xy u +=，f 为任意函数3． （√）求下列问题的解()22011,uu x x y x u y ∂∂⎧-=⎪∂∂⎨⎪==⎩解：该问题的特征线方程为1,2,0dx dy dux ds dsds==-= （1）初始曲线表示为20:1,,s x y u ξξ==== （2）由（1）、（2）联立解出2211(2)1x s s x y s s y x u ξξξ⎧=+=-⎧⎪=-++⇒⎨⎨=+-⎩⎪=⎩（3） 消去s , ，得22(,)[1]u x y y x =+- （4）()21,3uu x y u x y y u x ∂∂⎧-=⎪∂∂⎨⎪==⎩解：特征线方程为,,dx dy du x y u ds ds ds==-= （1） 0:,1,3s x y u ξξ==== （2）由方程（1）解出123,,s s sx C e y C e u C e -=== （3）由初值（2）得123,1,3C C C ξξ===代回方程（3），消去s ,，得(,)3u x y x=4．（√）在固定化酶反应器中，生物活性细胞被制备成颗粒状填充于固定床中，反应动力学由Michaelis-Menten 方程给出，A M kcr K c=-+设流动为平推流，初、边值由()()()(),0,0,c x f x c t g t ==给出，求浓度分布(),c c x t =。

解：依题意，该固定床反应器的数学模型为()(,0)(),0(0,),0M c c kc v t x K c c x f x t c t g t x ∂∂⎧+=-⎪∂∂+⎪⎪=≥⎨⎪=≥⎪⎪⎩（1）上述问题的特征线方程为,M dx dc kc v dt dt K c==-+ （2）初始曲线I0:,()0:,()t x c f x t c g ξξηη======由方程（1）解出ln M x vt Ac K c kt B=++=-+初值影响区的解ln ()()M x vt c c K kt f f ξξξ=+⎧⎪⎨+=-+⎪⎩消去，得()ln()()M cc f x vt K ktx vt f x vt --+=-≥-边值影响区的解()ln ()M x vt v c c g K kt k g ηηηη=-⎧⎪⎨-+=-+⎪⎩消去，得()ln ()(/)M x c kx c g t K x vt v g t x v v--+=-≤-5. 变截面色谱柱中的线性吸附曲线由以下方程表述()()10c c n QA z z tt εε∂∂∂⎡⎤++-=⎢⎥∂∂∂⎣⎦ 式中，流量()()Q z A z ευ=为常数，n Kc =，()A z 为截面积，若定义以下无量纲变量()()000zz z A z dz x A z dz=⎰⎰, ()0z QtA z dzτε=⎰则可将方程化为以下形式10c c nx ετετ∂∂-∂++=∂∂∂ 现考虑环形平面区域0r r ≤≤∞的色谱过程，0r 为溶质注入端的环形边界半径，设问题为圆对称，初始浓度为0，注入的溶质浓度为常数0c ，请在r-t 平面上绘出边值影响区的特征线，并讨论截面积()A r 的变化对波在r 方向传播的影响。

解：其特征线方程为:11;1;0dx d dc K ds ds dsτεε-==+= 0:,0,0s x c ξτ==== 00:0,,s x c c τξ====在边值影响区，特征线为1(1)K x ετξε--+=用r 、t 表示后为22022001(1)r r Qt K r l r εξεπε---+=边值影响区的特征线即如上图所示。

由上图可看出，随r 增大，A(r)增大，dt dr 增大，dr dt减小，在r 方向上的波速减小。

此外，A(r)还跟该环形区域的厚度有关，即式中的l 值，当l 增大时，A(r)增大，特征曲线的曲率增大，dt dr 增大，dr dt减小，在r 方向上的波速减小。

所以，总的来说，随A(r)增大，特征曲线的曲率增大，dt dr 增大，drdt减小，在r 方向上的波速减小。

6． （√）河口附近涨潮后形成水位h 的梯级分布()()()0000,0h h z h z L h L L αα⎧⎪=+-⎨⎪+-⎩ 000z L L z L L z ≤≤≤≤<落潮时的水位遵循以下方程230h hh t zβ∂∂+=∂∂ 请描述水位h 在落潮时的衰减过程。

解：该问题的特征线方程为 2/3,0dz dh h dt dtβ== （1） 初始曲线0000000:,()()()h L t z h h L L L h L L L ξξξαξξαξ≤≤⎧⎪===+-<≤⎨⎪+-<⎩ （2） 由（1）解得2/3z h tξβ=- （3）代入（2）中消去初始变量，就得到用隐函数分段表示的解h (z ,t )。

7. 移动床平衡色谱模型在Langmuir 吸附情况下由以下方程给出110i i i r i c n c n tx εευεε∂-∂-⎡⎤⎡⎤++-=⎢⎥⎢⎥∂∂⎣⎦⎣⎦ii Ni i i i c K c K N n ∑+=∞1求：1）对于单组分色谱问题，根据波的追赶现象讨论移动床中激波生成的条件，并给出激波间断关系。

2）对于双组分吸附分离问题，给出稳态条件下的解答。

设进料流股中含有A 、B 两种组分，试确定合适的操作速度r 以便将A 、B 分离。

解：1）对于单组分色谱问题，模型简化为11[][]0r c n c n t x εευεε∂-∂-++-=∂∂ 其中1N Kc n Kc ∞=+，令1εγε-= 得模型的特征曲线方程为221(1)1(1)0r N K dxds Kc N K dtdsKc dc dsγυγ∞∞⎧=-⎪+⎪⎪=+⎨+⎪⎪=⎪⎩ 由前两式可得波速dxdt的方程21(1)r N K N K dxdt Kc N K γγυγ∞∞∞+=-++ 当 2(1)r Kc N K υγ∞+≥时，0dx dt ≥，波速为正方向，此时通量－浓度关系为下凸型，随着浓度c 的增加，波速单调递增。

当 2(1)r Kc N K υγ∞+<时，0dx dt <，波速为反方向，此时通量－浓度关系为上凸型，随着浓度c 的增加波速单调递减。

因此，激波生成条件可见下表：下凸型（2(1)r Kc N K υγ∞+≥）上凸型（2(1)r Kc N K υγ∞+<）前低后高型（0cx ∂<∂） 激波 稀疏波 前高后低型（0cx∂>∂）稀疏波激波根据激波间断条件，取c n ργ=+，r q c n γυ=- 则有()()()()s l r l rl r l rdx q q c rn c rn dt c n c n γυγυρργγ----==-+-+ 由于饱和问题不产生激波，因此只考虑洗脱问题： 设 1(0,)c t c =，2(,0)c x c =，12c c ≤。

图1给出了浓度分布图像及相应的特征线，由于0dcds=，每条特征线的浓度保持常数。

曲线S 右侧的特征线来自初值影响区，该区域2r c c ≡，因此221r N Kc n Kc ∞≡+，浓度波的速度可由波速方程21(1)r N K N K dxdt Kc N K γγυγ∞∞∞+=-++中令2c c =得到，为一组平行的直线；S 左侧的特征线来自边值影响区，从t 轴出发，该区域1l c c ≡，因此111l N Kc n Kc ∞≡+，浓度波的速度可由波速方程21(1)r N K N K dxdt Kc N K γγυγ∞∞∞+=-++中令1c c =得到，为一组平行的直线。