常用离散型和连续型随机变量

常用离散型随机变量的分布函数
(1) 离散型随机变量
[1] 概念：设X 是一个随机变量，如果X 的取值是有限个或者无
穷可列个，则称X 为离散型随机变量。

其相应的概率
()i i P X x p ==(12)i =、……称为X 的概率分布
[2] 性质： ❶
0i p ≥ ❷11n i i p
==∑
❸分布函数()i i x x F x p ==
∑ ❹1{}()()i i i P X
x F x F x -==-
(2) 连续型随机变量 [1] 概念：如果对于随机变量的分布函数()F x ，存在非
负的函数 ()f x ，使得对于任意实数x ，均有：
()()x
F x f x dx -∞=
⎰
则称X 为连续型随机变量，()f x 称为概率密度函
数或者密度函数。

[2] 连续型随机变量的密度函数的性质
❶()0f x ≥
❷
()1f x dx +∞
-∞=⎰
❸{}()()()P a X b F b F a f x dx +∞
-∞<≤=-=
⎰
❹若()f x 在x 点连续，则()()F x f x '=
(3) 连续型随机变量和离散型随机变量的区别：
[1] 由连续型随机变量的定义，连续型随机变量的定义域是
(),-∞+∞，对于任何x ，000
{}()()0P X x F x F x ==--=；而对于离散型随机变量的分布函数有有限个或可列个间
断点，其图形呈阶梯形。

[2] 概率密度()f x 一定非负，但是可以大于1，而离散型随
机变量的概率分布i p 不仅非负，而且一定不大于1.
[3]
连续型随机变量的分布函数是连续函数，因此X 取任何给定值的概率都为0. [4] 对任意两个实数a b <，连续型随机变量X 在a 与b 之间
取值的概率与区间端点无关，即：
{}{}
{}{}
()()
()b a P a X b P a X b P a X b P a X b F b F a f x dx
<<=≤≤=<≤=≤<=-=⎰
即：{}{}()P X b P X b F x <=≤=
(4) 常用的离散型随机变量的分布函数：
[1] 0-1分布：
如果离散型随机变量X
1{}k k P X k p q -== （ K=0、1） ()01p ≤≤ 称X 服从参数为p 的0-1分布。

[2] 二项分布：
如果离散型随机变量X 的概率分布为：
{}k k n k n P X k C p q -==
()01k n =、
…… ()01p ≤≤ ()1q p =-
称X 服从参数为n 、p 的二项分布，简记为~(,)X B n p
{注：进行一次实验，若实验的成功率为p ，则在一次实验中成功的次数X 服从参数为p 的0-1分布}
{二项分布描述n 重伯努利实验，若每次试验的成功率为p ，则进行n 次独立重复试验，则成功的总次数X 服从参数为n 、p 的二项分布}
{如果X 服从二项分布~(,)X B n p ，则Y=n-X 服从二项分布~(,1)X B n p -}
[3] 超几何分布：
如果离散型随机变量X 的概率分布为： 1
212{}m n m N N n N N C C P X m C -+==
()01m n =、
…… 称X 服从参数为n, 1N 、2N 的超几何分布，其中n, 1N 、2N 都为正整数，且n ≤1N +2N
{当2n N >时，去正概率的X 值不是从0开始，而是从2n N -开始；当1n N >时，去正概率的X 值最大不是n,而是1N }
[4] 泊松分布（Poisson ）
如果随机变量X 的概率分布为： {}!k
P X k e k λλ-==
()01k n =、
…… 则称随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，简记为~()X P λ.
[5] 总结：在离散型的几个常用分布中，二项分布与其他几个分布关
系最为密切：
1) 参数为p 的0-1分布，就是参数为n 、p 的二项分布
(,)B n p 当n=1时的特例；
(5) 常用连续型随机变量的分布函数
[1] 均匀分布：
若连续型随机变量X 的概率密度为：
1()0
a x
b f x b a ≤≤=-其他 则称X 服从区间[,]a b 上的均匀分布，其分布函数为：
0()1
x a x a F x a x b b a x b <-=≤≤-> 在[,]a b 上服从均匀分布的随机变量X 在[,]a b 内任一子区间上取值的概率只依赖于该子区间的长度，而与其在[,]a b 内的位置无关。

即：若[,][,]c d a b ∈，则：
{}d c P c X d b a
-≤≤=- [2] 指数分布：
如果连续型随机变量的概率密度为： 0
()00x x e f x x λλ->=≤则称X 服从参数为λ的指数分布，其
中0λ>，相应的分布函数为：
01()00
x x e F x x λ-≥-=< ① 指数分布常用作一些电子元器件的使用寿命。

② 指数分布具有无记忆性。

[3] 正态分布：
A. 正态分布的概率密度为：
22
()2()x f x e μσ--=
(.)x ∈-∞+∞
其中μ和σ均为常数，且0σ>，简记为：2~(,)X N μσ
B. 特别地，当0μ=、1σ=时，称X 服从标准正态分布，记作
~(0,1)
X N，其概率密度为：
2
2
()
x
x e
ϕ-
=其分布函数用()x
Φ表示。

C.标准正态分布~(0,1)
X N的分布函数()x
Φ与概率密度()x
ϕ的性质。

a)()()
x x
ϕϕ
-=即()x
ϕ是一个偶函数。

b)lim()0
x
x
ϕ
→∞
=即x轴是()x
ϕ的水平渐近线。

c)分布函数()()
x
F x
μ
σ
-
=Φ；概率密度
1
()()
x
f x
μ
ϕ
σσ
-
=。

d)若~(0,1)
X N，当C>0时，
{}2()1
P X c c
≤=Φ-
✂若随机变量X服从正态分布2
~(,)
X Nμσ，
则
xμ
σ
-
服从标准正态分布~(0,1)
x
N
μ
σ
-
，且
~(0,1)
x
N
μ
σ
-
✂如果2
~(,)
X Nμσ，当0
a≠时，aX b
+服
从正态分布22
(,)
N a b a
μσ
+。

特别地，如果a=1,则
2
~(,)
X b N b
μσ
++。

✂如果2
111
~(,)
X Nμσ,2
222
~(,)
X Nμσ,
且
1
X、
2
X相互独立，则
2222
112211221122
~(,)
a X a X N a a a a
μμσσ
+++
(6)随机变量的函数分布的求法
设X 是一个随机变量，()y g x =是一个实函数，则()Y g X =也是一个随机变量，所谓求随机变量的函数分布问题，就是已知X 的分布及函数()y g x =，求随机变量()Y g X =的概率分布或者概率密度乃至分布函数。

[1] 离散型随机变量的函数分布的求法 如果随机变量的函数()Y g X =是离散型（无论X 是不是离散型的）的，求Y 的分布只要逐点分析出Y 的全部可能取值及取各可能值的相应概率即可。

[2] 连续型函数的分布的求法 1. 分布函数法： 如果随机变量的函数()Y g X =是连续型的，最基本的方法是分布函数法，即先求出Y 的分布函数()()(())()Y g x y F y P g x y f x dx ≤=≤=⎰，然后通过分布函数求出Y 的概率密度，其中()f x 是随机变量X 的概率密度。

2. 公式法 如果X 是连续型的随机变量，()y g x =是x 的单调可到函数，其导数不为0，则Y 的概率密度()Y f y 可直接由X 的密度()X f y 求出： ()[()]()0X Y h y f h y f y '= ()y Z g ∈其他
其中()x h y =是函数()y g x =的反函数，()Z g 是()y g x =的值域。

3. 方法总结： 确定分布中位置参数的解题方法是建立所 求参数为未知量的方程或者方程组，从中解出所求参数，建立分布中未知参数方程的主要方法有： 1) 分布函数()F x 性质、离散型分布律{}i p 性质、连续型概率密度()f x 性质。

2) ()0F -∞=、()1F +∞=、()()F x F x =+。

3) 在()F x 的连续点，(0)()(0)F x F x F x -==+ 4) 11n i i p ==∑、01i p ≤≤。

5) ()1f x dx +∞-∞=⎰、()0f x ≥。

6) 特殊分布函数。