常用离散型和连续型随机变量

常用离散型随机变量的分布函数

(1) 离散型随机变量

[1] 概念：设X 是一个随机变量，如果X 的取值是有限个或者无

穷可列个，则称X 为离散型随机变量。其相应的概率

()i i P X x p ==(12)i =、……称为X 的概率分布

[2] 性质： ❶

0i p ≥ ❷11n i i p

==∑

❸分布函数()i i x x F x p ==

∑ ❹1{}()()i i i P X

x F x F x -==-

(2) 连续型随机变量 [1] 概念：如果对于随机变量的分布函数()F x ，存在非

负的函数 ()f x ，使得对于任意实数x ，均有：

()()x

F x f x dx -∞=

⎰

则称X 为连续型随机变量，()f x 称为概率密度函

数或者密度函数。 [2] 连续型随机变量的密度函数的性质

❶()0f x ≥

❷

()1f x dx +∞

-∞=⎰

❸{}()()()P a X b F b F a f x dx +∞

-∞<≤=-=

⎰

❹若()f x 在x 点连续，则()()F x f x '=

(3) 连续型随机变量和离散型随机变量的区别：

[1] 由连续型随机变量的定义，连续型随机变量的定义域是

(),-∞+∞，对于任何x ，000

{}()()0P X x F x F x ==--=；而对于离散型随机变量的分布函数有有限个或可列个间

断点，其图形呈阶梯形。

[2] 概率密度()f x 一定非负，但是可以大于1，而离散型随

机变量的概率分布i p 不仅非负，而且一定不大于1.

[3]

连续型随机变量的分布函数是连续函数，因此X 取任何给定值的概率都为0. [4] 对任意两个实数a b <，连续型随机变量X 在a 与b 之间

取值的概率与区间端点无关，即：

{}{}

{}{}

()()

()b a P a X b P a X b P a X b P a X b F b F a f x dx

<<=≤≤=<≤=≤<=-=⎰

即：{}{}()P X b P X b F x <=≤=

(4) 常用的离散型随机变量的分布函数：

[1] 0-1分布：

如果离散型随机变量X

1{}k k P X k p q -== （ K=0、1） ()01p ≤≤ 称X 服从参数为p 的0-1分布。

[2] 二项分布：

如果离散型随机变量X 的概率分布为：

{}k k n k n P X k C p q -==

()01k n =、

…… ()01p ≤≤ ()1q p =-

称X 服从参数为n 、p 的二项分布，简记为~(,)X B n p

{注：进行一次实验，若实验的成功率为p ，则在一次实验中成功的次数X 服从参数为p 的0-1分布}

{二项分布描述n 重伯努利实验，若每次试验的成功率为p ，则进行n 次独立重复试验，则成功的总次数X 服从参数为n 、p 的二项分布}

{如果X 服从二项分布~(,)X B n p ，则Y=n-X 服从二项分布~(,1)X B n p -}

[3] 超几何分布：

如果离散型随机变量X 的概率分布为： 1

212{}m n m N N n N N C C P X m C -+==

()01m n =、

…… 称X 服从参数为n, 1N 、2N 的超几何分布，其中n, 1N 、2N 都为正整数，且n ≤1N +2N

{当2n N >时，去正概率的X 值不是从0开始，而是从2n N -开始；当1n N >时，去正概率的X 值最大不是n,而是1N }

[4] 泊松分布（Poisson ）

如果随机变量X 的概率分布为： {}!k

P X k e k λλ-==

()01k n =、

…… 则称随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，简记为~()X P λ.

[5] 总结：在离散型的几个常用分布中，二项分布与其他几个分布关

系最为密切：

1) 参数为p 的0-1分布，就是参数为n 、p 的二项分布

(,)B n p 当n=1时的特例；

(5) 常用连续型随机变量的分布函数

[1] 均匀分布：

若连续型随机变量X 的概率密度为：

1()0

a x

b f x b a ≤≤=-其他 则称X 服从区间[,]a b 上的均匀分布，其分布函数为：

0()1

x a x a F x a x b b a x b <-=≤≤-> 在[,]a b 上服从均匀分布的随机变量X 在[,]a b 内任一子区间上取值的概率只依赖于该子区间的长度，而与其在[,]a b 内的位置无关。即：若[,][,]c d a b ∈，则：

{}d c P c X d b a

-≤≤=- [2] 指数分布：

如果连续型随机变量的概率密度为： 0

()00x x e f x x λλ->=≤则称X 服从参数为λ的指数分布，其

中0λ>，相应的分布函数为：

01()00

x x e F x x λ-≥-=< ① 指数分布常用作一些电子元器件的使用寿命。 ② 指数分布具有无记忆性。

[3] 正态分布：

A. 正态分布的概率密度为：

22

()2()x f x e μσ--=

(.)x ∈-∞+∞

其中μ和σ均为常数，且0σ>，简记为：2~(,)X N μσ

B. 特别地，当0μ=、1σ=时，称X 服从标准正态分布，记作