石墨烯理论(下)

石墨烯理论（下）

刻画拓扑序的拓扑不变量有多种等价表达方式，相对于用哈密顿量计算Berry相位，G. Volovik 提出用Green函数更方便分类拓扑物态（类比于SDW/CDW序的刻画就使用零频Green函数，因为其实际上就等于序参量）。实际上我们目前讨论的简单拓扑绝缘体以及石墨烯等系统的都是还不具有相互作用的自由费米子系统，而包含相互作用后的费米子系统的拓扑不变量再去用简单的Berry联络的陈数就不那么有效地刻画出拓扑序了，这时候用Green函数方法构造拓扑不变量却能很好地推广到相互作用系统中（乃至强关联系统）。对于三维拓扑绝缘体的Dirac哈密顿量

Matsubara Green函数为：

，（为费米

子Matsubara频率）

拓扑荷定义为一个对全动量空间（或Brillouin区）的积分：

对称性算符为，经过冗长的代数运算，最后将积分解析延拓到复平面上

并利用留数定理可推导得到，当

，这就刻画了拓扑相。设定磁场为正值，存在参数控制的从拓

扑平庸相到非平庸相之间的量子相变，这与指标相同。除这两个取

值外还有临界拓扑相。对于时的自由Dirac费米子，拓扑不变量为

，取+1时候为正质量，-1 则为负质

量，差值为；其物理上源于带有这两种正负质量的两个系统交界而形成束缚态。在拓扑非平庸相（）与拓扑平庸相（）中间存在的无能隙相态。

在拓扑量子相变临界点，所有这些中间态都是无能隙的，其拓扑不变量如同自由Dirac费米子一样值为+1或者-1。

除了拓扑绝缘体外，反铁磁体系统也存在拓扑非平庸相（如同KT相变），这时产生的不是拓扑边缘态，而是拓扑涡旋激发态——Skyrmions（斯格明子）：

此图为动量空间中斯格明子的位形分布。人们利用上面进一步从推迟Green函数出发推导定义的拓扑荷（又称为skyrmion缠绕数）来表征其拓扑性：

可证明其变分为零，因此是受拓扑保护的：

积分在三维动量空间，单粒子Green函数

，对于斯格明子场位形分布可得。

可证明对于低能带系统，与Berry规范场表达的第一陈数一致：

对于石墨烯的Bloch矢哈密顿量

此即为二能级系统第一陈数。

石墨烯中的分数量子Hall效应及演生规范场

石墨烯系统除了能产生整数量子Hall效应外，还可以在一定条件下产生分数量子Hall效应，与二维电子系统不同的是，这里石墨烯的谷自由度的赝自旋起着相当于电子自旋的重要的作用。FQH系统是典型的加强磁场的强关联电子系统，明显破坏时间反演对称。张

首晟等人的工作指出FQH液体中会产生分数化电荷准粒子激发，并演生出一种

Chern-Simons规范场。在石墨烯系统中人们通过参数调制做到不破坏时间反演对称也可以使得分数化成为可能，从而形成复合费米子并同样地演生出规范场。

Hou, Chamon和Mudry受到3+1维Dirac方程可产生宇一维线状的宙弦拓扑缺陷的启发，在讨论2+1维的石墨烯时提出了2+1维Dirac方程能产生拓扑激发的模型(HCM模型)。他

们的模型中可以产生一种分数化任意子（后面知道是一种零能态涡旋的拓扑缺陷或激发）从而能使得具有对称性的二维平面系统实现FQH。

首先将石墨烯分解成两个三角形子晶格A,B

一如开始对单层石墨烯的操作，在紧束缚近似下的哈密顿量为

晶格无扭曲形变时，格点表象下的哈密顿量在动量表象中可对角化

，，单粒子能谱为

在Dirac点附近有，，能谱为。

他们进一步在石墨烯系统中引入某种类似p波超导的配对机制使得不同Dirac点的跃迁振幅混合（在石墨烯里面的物理图像就是不同简并谷的赝自旋间的配对），这时有

。这里面代表着复序参量的涨落场，关联长度远大于晶格常数

从而体系打开能隙，；如同超导的平均场理论，这里序参量也可通过Wick定理用配对关联函数表

达:

众多格点的跃迁振幅两两配对混合形成一种位形空间图案，用向量场刻画则其中方向由相位

因子决定，格点间不同的配对模式会产生不同的方向图案。——通过相位因子来刻画。这种二维系统的拓扑缺陷的激发意味着会发生拓扑相变（类似于二维XY模型发生KT相变）。

HCM模型中的产生的Nielsen-Olesen–Landau-Ginsburg-Abrikosov (NO-LGA)涡旋是通过复标量场来描述。而实际上规范场也可以产生有限能量的NO-LGA涡旋（涡

旋），这就为实现FQH提供了更现实的方案（加磁场）。R.Jackiw和S.Y.Pi进一步引入了一个相关作用到Dirac费米子上的内禀手征规范势，这里将对A,B子晶格Brillouin区的四个简并自由度合起来用四分量旋量表象。引入Weyl表象下4 × 4 Dirac矩阵

（），是四分量Driac 旋量，且在引入了来构造内禀手征规范场。

并定义

，故有

扩充了系统的对称性而使得系统在局域规范变换下不变：

尽管在一般的2+1维的石墨烯系统中，只需要2×2的Pauli矩阵便可完备描述，在四分量旋量表象下最多只需要。而我们会意识到其实在这种拓扑非平庸的系统中是由手征规范场来演生出来的。

接下来更简练地写出石墨烯正六边形晶格中费米子的低能Dirac拉格朗日量

质量项来自于手征规范场打开能隙产生。

Hou等人发现石墨烯晶格中可以产生拓扑缺陷：一个绑着分数电荷的涡旋。这种分数荷的产生是源于系统Dirac方程的非配对零模解。我们这里利用―同位旋‖的位形空间图像可以不去讨论零能解：Dirac费米子在非平庸背景下的长程表现可以构造出这样的涡旋结构。并且可以通过计算Berry相位证明这种晶格上带有规范磁通或统计相位的任意子是遵

守时间反映对称性的。操作办法是我们绝热地引入涡旋结构，即从开始逐渐调节序参量。在拉格朗日量中加入-质量项扩充质量的参数空间，组成六角形晶格的两套相互交错的子晶格上费米子的本点能符号相反。这意味着序参量的对称性

从扩张到，序参量空间中的矢量为，模为；绝热地产生涡旋的过程是将序参量从初始均匀的―向上‖或―向下‖状态变到方向且在远离涡旋中心的地方变平为均

匀平面。图所示为2+1维时空的处穿过涡旋核芯的截面，箭头即为方向。