石墨烯理论(下)
石墨烯材料的力学性能研究
石墨烯材料的力学性能研究石墨烯，一种由普通石墨通过化学剥离等方法得到的单层碳原子构成的二维材料，近年来备受科学家们的关注。
石墨烯具有惊人的力学性能，如高弹性、超高的拉伸强度和弹性模量等特点，使得它成为材料科学领域中的研究热点。
石墨烯的高弹性使其具备良好的抗拉性能。
根据研究，石墨烯的力学性能可达到理论极限。
其单层结构使得石墨烯具有很高的拉伸强度，据测算，其拉伸强度可达130 GPa，相当于其自重的200倍。
这种惊人的抗拉性能使得石墨烯可以应用于高强度材料的制备，如航空工程中的轻量化结构材料。
除了抗拉性能，石墨烯还具备超高的弹性模量。
弹性模量是材料在受力下形变的能力，能够衡量材料的刚性。
石墨烯的弹性模量可达1 TPa，相当于钢铁的2倍，且具有良好的保持性能。
这一特点使得石墨烯在纳米电子学领域的应用十分重要，如光学器件、传感器和纳米压力开关等。
石墨烯的高弹性还使其可以作为柔性触控屏幕、柔性电子和可穿戴设备等领域的理想材料。
此外，石墨烯还具有优异的化学稳定性和生物相容性，使其具有广泛的应用前景。
石墨烯可以在室温下承受高达8 MPa的氧化性酸和10 MPa的碱性条件，而不发生化学反应。
这种化学稳定性使得石墨烯可以被应用于酸碱电池、电解水等领域。
此外，石墨烯还具有良好的生物相容性，可以用于生物医学领域的药物递送和组织工程等。
尽管石墨烯在力学性能方面表现出色，但其实际应用还面临一些挑战。
首先，由于石墨烯具有单层结构，因此其在抗剪切应力下的性能相对较弱。
此外，石墨烯的制备和操纵困难，限制了其大规模应用。
石墨烯的制备方法需要高温高压或者复杂的化学处理，制备工艺成本高，限制了其在实际工程中的应用。
为了应对这些挑战，科学家们正在开展大量的研究工作。
有研究发现，在与其它材料复合制备的复合石墨烯中，可以提高石墨烯的剪切性能。
此外，研究人员还通过在石墨烯表面引入缺陷，使其形成可控的疲劳屈服和断裂机制，从而改善了其力学性能。
石墨烯简单介绍ppt课件
填充在信号中，它们被要求使用越来越高的频率，然而手机的工作频
率越高，热量也越高，于是，高频的提升便受到很大的限制。由于石 墨烯的出现，高频提升的发展前景似乎变得无限广阔了。 这使它在
微电子领域也具有巨大的应用潜力。
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石墨烯应用
透明电极
石墨烯
和
，使它在透明电
导电极方面有非常好的应用前景。触摸屏、液晶显示、有机光伏电池、
有机发光二极管等等，都需要良好的透明电导电极材料。特别是，
。由于氧化铟锡脆度较高，比较容易损毁。在溶液
内的石墨烯薄膜可以沉积于大面积区域 。
通过化学气相沉积法，可以制成大面积、连续的、透明、高电导 率的少层石墨烯薄膜，主要用于光伏器件的阳极，并得到高达1.71% 能量转换效率；与用氧化铟锡材料制成的元件相比，大约为其能量转 换效率的55.2%。
石墨烯
1
什 么 是 石 墨 烯？
石墨烯（英文名Graphene）是一种由C原子 形成的蜂窝状的准二维结构，是C的另外一种 同素异形体。
。例如，在计算石墨和碳纳米 管特性时，通常都是从石墨烯这个基本结构单 元出发的。
石墨烯：基本结构单元
2
石墨烯的来源？
实际上石墨烯本来就存在于自然界，只是难以剥离出 单层结构。石墨烯一层层叠起来就是石墨。1mm厚的石墨 大约包含300万层石墨烯。
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结构与性能
力学性能
石墨烯是已知材料中强度和硬度最高的晶体结构。其
和
分别为125GPa和1.1TPa。石墨烯的
（抗拉强度）为42N/M2。
普通钢的强度极限大多分布在250~1200MPa范围内，即 0.25ӽ109~1.2ӽ109N/m2。如果钢具有同石墨烯一样的厚度（约 0.335nm），则可推算出其二维强度极限0.084~0.40N/m。由 此可知，
权健自然医学藏象石墨烯原理解析
权健自然医学藏象石墨烯原理解析历史来源：2004年，英国曼彻斯特大学的两位科学家Andre Geim（安德烈·盖姆）和Konstantin Novoselov（克斯特亚·诺沃消洛夫）发现他们能用一种非常简单的方法得到越来越薄的石墨薄片。
他们从高定向热解石墨中剥离出石墨片，然后将薄片的两面粘在一种特殊的胶带上，撕开胶带，就能把石墨片一分为二。
不断地这样操作，于是薄片越来越薄，最后，他们使用普通胶带获得了只有一个原子厚度的一小片碳，这就是石墨烯。
只有一个原子厚度，看似普通的一层薄薄的碳，缔造了2010年度的诺贝尔物理学奖。
安德烈·盖姆和康斯坦丁·诺沃肖罗夫向世人展现了形状如此平整的碳元素在量子物理学的神奇世界中所具有的杰出性能。
力学特性：石墨烯是目前已知强度最高的材料之一，同时还具有很好的韧性，石墨烯的理论杨氏模量达1.0TPa，固有的拉伸强度为130GPa。
而利用氢等离子改性的还原石墨烯也具有非常好的强度，平均模量可大0.25TPa。
因此将石墨烯按比例置入纤维中，可以赋予纺织产品很好的弹性且不易变形。
导热特性：石墨烯具有非常好的热传导性能。
纯的无缺陷的单层石墨烯的导热系数高达5300W/mK，是目前为止导热系数最高的碳材料，因此藏象石墨烯纤维织物与人体体温结合能自动导热，从而促进人体毛细血管血液循环，能活化细胞组织、加快新陈代谢、活血通络、快速祛湿除菌、保持身体持久干爽。
电子特性：石墨烯在室温下的载流子迁移率约为15000cm2/（V-s），这一数值超过了硅材料的10倍，是目前已知载流子迁移率最高的物质锑化铟（InSb）的两倍以上，且电子迁移率受温度变化的影响较小。
而石墨烯中的载流子遵循一种特殊的量子隧道效应，在碰到杂质时不会产生背散射，这是石墨烯局域超强导电性以及很高的载流子迁移率的原因。
因此藏象石墨烯纤维织物的导电特性可以避免织物静电的产生，如果将藏象石墨烯纤维织物生产成服装用作加油站、加气站、危化品仓库等场所作业人员的工作服装，可以有效防止静电带来的危险发生。
石墨烯电阻率和热导率
石墨烯电阻率和热导率石墨烯是一种由碳原子形成的单层薄膜，具有非常高的强度、导电性和热导率。
它的独特性质使其成为材料科学领域的热点之一。
在本文中，我们将重点讨论石墨烯的电阻率和热导率的特性。
首先，我们来看一下石墨烯的电阻率。
电阻率是描述材料电阻能力的量，它与材料的电导率成反比。
对于大多数材料来说，电阻率是与温度呈正相关的。
然而，石墨烯是一种特殊的材料，它的电子输运行为与传统材料有很大不同。
石墨烯的电子输运是由其特殊的带电载流子行为驱动的。
石墨烯中的电子具有质量非常小的二维费米子行为，类似于相对论性粒子。
这意味着石墨烯中的电子在低能量下表现出非常高的电导率。
实际上，石墨烯的电导率可以达到3.28×105 S/m，是铜的200倍。
这种高导电性是由于石墨烯中的电子在平面中的传输速度非常快，而且几乎没有散射。
石墨烯的高电导率使其在电子器件中具有巨大的潜力。
石墨烯的高电导率意味着它可以传输更多的电荷，并且可以实现更高的工作电流密度。
这使石墨烯成为高频率电子器件和高速电子通信中的理想材料。
此外，石墨烯的电导率还使其在电磁屏蔽、导电涂层和传感器等领域有广泛的应用。
接下来，我们来讨论石墨烯的热导率。
石墨烯的热导率非常高，理论上可以达到5300 W/m·K。
这种高热导率是由于石墨烯中的碳原子只在二维平面上排列，形成了高度有序的晶格结构。
这种结构使石墨烯中的声子（热传导的主要载体）具有非常长的自由路径，并且几乎没有散射。
石墨烯的高热导率使其成为高效的热管理材料。
它可以在非常短的时间内将热量从一个区域传导到另一个区域，使设备保持较低的温度。
这种特性使石墨烯在电子器件的散热和热管理中有广泛的应用。
此外，石墨烯的高热导率还有助于制备高性能的热界面材料和热传导纳米材料。
石墨烯的电阻率和热导率在很大程度上受其纯度和晶格结构的影响。
较高纯度的石墨烯具有更好的电导性和热导性能。
目前，石墨烯的制备技术正在不断改进，石墨烯的纯度和晶格结构也在逐渐提高。
石墨烯材料简介
石墨烯材料简介在构成纳米材料的众多元素中，碳元素值得我们格外重视。
作为自然界中性质最为奇特的元素，碳（C）在原子周期表中的序号为六，属于第Ⅳ族。
碳原子一般是四价的，最外层有4个电子，可与四个原子成键。
但是其基态只有两个单电子，所以成键时总是要进行杂化。
由于较低的原子序数，碳原子对外层电子的结合力强，表现出较高的键能，容易形成共价键，故自然界中碳元素形成的化合物形式丰富多彩。
关于碳与碳原子之间或碳与其它原子间以共价键相结合，有杂化轨道和分子轨道的理论。
在形成共价键过程中，由于原子间的相互影响，同一个原子中参与成键的几个能量相近的原子轨道可以重新组合，重新分配能量和空间方向，组成数目相等的，成键能力更强的新的原子轨道，称为杂化轨道。
在有机化合物中，碳原子的杂化形式有三种：sp3、sp2和sp杂化轨道。
以甲烷分子（CH4）为例，碳原子在基态时的电子构型为1S22S22Px12Py12Pz0按理只有2px和2py可以形成共价键，键角为90°。
但实际在甲烷分子中，是四个完全等同的键，键角均为109°28′。
这是因为在成键过程中，碳的2s轨道有一个电子激发到2Pz轨道，3个p轨道与一个s轨道重新组合杂化，形成4个完全相同的sp3杂化轨道。
每个轨道是由s/4与3P/4轨道杂化组成。
这四个sp3轨道的方向都指向正四面体的四个顶点，轨道间的夹角是109°28´。
得益于碳原子丰富多样的键合方式和强大的键合能力，氧、氢、氮等各种元素被有机的组合在一起，形成碳的化合物，最终构成了令人惊叹的生命体。
碳元素广泛存在于自然界，其独特的物性和多样的形态随着人类文明的进步而逐渐被发现。
由于碳原子之间不同的杂化方式，能形成结构和性质迥异的多种同素异型体，其中最为人知的存在形式是金刚石和石墨。
当每个碳原子与四个近邻碳原子以共价键结合（sp3杂化）时，形成各向同性的金刚石。
此时，四个价电子平均分布在四个轨道中，形成稳定的σ键，而且没有孤电子对的排斥，非常稳定。
石墨烯霍尔效应原理
石墨烯霍尔效应原理
石墨烯是一种由碳原子构成的单层二维晶体，具有优异的电学、热学和力学性质。
其中，石墨烯的霍尔效应是其电学性质中的一个重要方面。
霍尔效应是指在磁场作用下，电流通过导体时，垂直于电流方向和磁场方向的电场产生的现象。
而石墨烯的霍尔效应则是指在磁场作用下，石墨烯中的电子在晶格中运动时，产生的电场效应。
石墨烯的霍尔效应是由于其电子的能带结构和晶格结构的特殊性质所导致的。
在石墨烯中，电子的能带结构呈现出线性色散关系，即能量与动量成正比。
这种特殊的能带结构使得石墨烯中的电子具有非常高的迁移率和导电性能。
同时，石墨烯的晶格结构也具有特殊的对称性，使得其在磁场作用下，电子的运动方向受到限制，只能沿着磁场方向或者垂直于磁场方向运动。
在石墨烯中，当外加磁场作用下，电子的运动方向受到限制，只能沿着磁场方向或者垂直于磁场方向运动。
这种限制使得石墨烯中的电子在垂直于磁场方向的方向上产生霍尔电场，从而产生霍尔电压。
同时，由于石墨烯中的电子具有非常高的迁移率和导电性能，使得霍尔电压非常大，可以被非常容易地检测到。
石墨烯的霍尔效应不仅具有理论上的重要性，而且在实际应用中也具有广泛的应用前景。
例如，石墨烯的霍尔效应可以用于制备高灵敏度的磁场传感器、高速电子器件和量子计算器等。
此外，石墨烯
的霍尔效应还可以用于研究石墨烯中的电子输运性质和量子霍尔效应等。
石墨烯的霍尔效应是其电学性质中的一个重要方面，具有非常重要的理论和应用价值。
随着石墨烯技术的不断发展和完善，相信石墨烯的霍尔效应将会在更多的领域中得到广泛的应用。
石墨烯-PPT
双层石墨烯可降低元器件电噪声
美国IBM公司T·J·沃森研究中心 的科学家，最近攻克了在利用石墨 构建纳米电路方面最令人困扰的难 题，即通过将两层石墨烯片叠加， 可以将元器件的电噪声降低10倍， 由此可以大幅改善晶体管的性能， 这将有助于制造出比硅晶体管速度 快、体积小、能耗低的石墨烯晶体 管。ຫໍສະໝຸດ 石墨烯可作为宇宙学研究的平台
四、石墨烯的应用
氧化石墨烯
Dikin等制成了无支撑氧化石墨烯纸状 材料。氧化石墨烯片是以一种接近平行 的方式相互连接或瓦片式连接在一起形 成的，拉伸试验表明氧化石墨烯纸具有 较高的拉伸模量和断裂强度，其平均模 量为32 GPa，性能与用类似方法制备的 碳纳米管布基纸相当。
微电子领域
微电子领域也具有巨大的应用潜力。研究人 员甚至将石墨烯看作是硅的替代品，能用来生 产未来的超级计算机。 曼彻斯特的小组采用标准半导体制造技术制 作出晶体管。从一小片石墨烯片层开始，采用 电子束曝光在材料上刻出沟道。在被称为中央 岛的中部位置保持一个带有微小圆笼的量子点。 电压可以改变这些量子点的电导率，这样就可 以像标准场效应晶体管那样储存逻辑态。可在 26GHz频率下运作可望使该种材料超越硅的极限， 达到100GHz以上的速度跨入兆赫(terahertz)领 域。
4，电子的相互作用
石墨烯中电子间以及电子与蜂窝状栅格 间均存在着强烈的相互作用。 石墨烯中的电子不仅与蜂巢晶格之间相 互作用强烈，而且电子和电子之间也有很 强的相互作用。
5、其它特殊性质 ① 石墨烯具有明显的二维电子特性。 ② 在石墨烯中不具有量子干涉磁阻 ③ 石墨烯电子性质用量子力学的迪拉克方程来描 述比薛定谔方程更 ④ 好可控渗透性 ⑤ 离子导电体各向异性 ⑥ 超电容性 „„„„„„
石墨烯
石墨烯石墨烯声明：百科词条人人可编辑，词条创建和修改均免费，绝不存在官方及代理商付费代编，请勿上当受骗。
详情>> 石墨烯（二维碳材料）编辑本词条由“科普中国”百科科学词条编写与应用工作项目审核。
石墨烯（Graphene）是一种由碳原子以sp2杂化方式形成的蜂窝状平面薄膜，是一种只有一个原子层厚度的准二维材料，所以又叫做单原子层石墨。
英国曼彻斯特大学物理学家安德烈·盖姆和康斯坦丁·诺沃肖洛夫，用微机械剥离法成功从石墨中分离出石墨烯，因此共同获得2010年诺贝尔物理学奖。
石墨烯常见的粉体生产的方法为机械剥离法、氧化还原法、SiC外延生长法，薄膜生产方法为化学气相沉积法（CVD）。
[1] 由于其十分良好的强度、柔韧、导电、导热、光学特性，在物理学、材料学、电子信息、计算机、航空航天等领域都得到了长足的发展。
作为目前发现的最薄、强度最大、导电导热性能最强的一种新型纳米材料，石墨烯被称为“黑金”，是“新材料之王”，科学家甚至预言石墨烯将“彻底改变21世纪”。
极有可能掀起一场席卷全球的颠覆性新技术新产业革命。
中文名石墨烯外文名Graphene 发现时间2004年主要制备方法机械剥离法、气相沉积法、氧化还原法、SiC外延法主要分类单层、双层、少层、多层（厚层）基本特性强度柔韧性、导热导电、光学性质应用领域物理、材料、电子信息、计算机等目录1 研究历史2 理化性质? 物理性质? 化学性质3 制备方法? 粉体生产方法? 薄膜生产方法4 主要分类? 单层石墨烯? 双层石墨烯? 少层石墨烯? 多层石墨烯5 主要应用? 基础研究? 晶体管? 柔性显示屏? 新能源电池? 航空航天? 感光元件? 复合材料6 发展前景? 中国? 美国? 欧洲? 韩国? 西班牙? 日本研究历史编辑实际上石墨烯本来就存在于自然界，只是难以剥离出单层结构。
石墨烯一层层叠起来就是石墨，厚1毫米的石墨大约包含300万层石墨烯。
石墨烯
Байду номын сангаас
其中
H0 单层石墨烯的有效哈密顿量，V 狄拉克锥的带速度
U 双层石墨烯转移位移δ的层间交错 ，V 晶格扭曲矩阵
结论
• 电子的跃迁概率是与电子能量和入射角有关的 • 电子的输运对晶体边界的方向和里面的原子组态有很 强的依赖 • 在低能部分,扶手椅AA和锯齿SP边界几乎是绝缘的， 而在扶手椅SP和锯齿AA边界输运能力很强 • 在绝缘情况下, 当费米能增加到一定值时，它的输运 急速增加 • 这表明在电流通过边界的时候可以通过场效应来控制 • 锯齿形边缘一般在两个谷之间有不同的传输特性,这 使一个谷在某个特定的情况下能生成极化电流
原 子 结 构
扶手椅边界这两个坐标系的关系是 (x,y) = (x`,y`) 定义石墨烯的晶格向量 晶格常数a 定义 0.246nm 作为B原子到最近邻的A原子的向量 =0.142nm为石墨烯中最近的碳原子之间的距离 和
有效连续模型
• 哈密顿量
• 有效近似
• 当W远远大于晶格常数时, 两个狄拉克点附近的态 不杂化,然后我们可以分别构造两个狄拉克点的哈 密顿量
石墨烯中电子在AB-BA边界的输运
理论物理 李丛丛 2013-12-19
• 电子的输运对晶体边界的方向和里面的原子组态 有很强的依赖 • 多层石墨烯中层间相互作用比较弱，它会出现各 种不同的叠加方式 • 二维晶体中，几何边界会大大的影响电子传输
• 这篇文章通过研究没有层间电压并且不对称的特 殊的原子排布结构，计算双层石墨烯AB-BA域边界 的电子传输性质。
石墨烯
2.双层石墨烯与石墨烷
• 小结 优点：文章利用第一性原理计算，首先利用已有 的实验数据判断利用哪种计算方法。 不足：仅对双层石墨烯吸附氢方面进行讨论，作为 良好的褚氢材料还要能快速的释放氢。 ps:石墨烯变成石墨烷的过程是可逆的，将石墨烷在 450℃加热12个小时，石墨烷就转化成了石墨烯。 参考：Ryu S.Han M Y,Maultzs ch J, et al.Reversible Basal Plane Hydrogenation of Graphene[J].NanoLett,2008,8(12);4597
石墨烯掺杂
Suzuki T,Hasegawa T, Mukai S,et al.A theoretical study on storage states of Li ions in carbon anodes of Li ion batteries using molecular orbital calculations[J].Carbon,2003,41(10):1933 用B3LYP/6-13G(d)//HF/6-31G*标准和PM3理论研 究了Li＋与多环烃分子的相互作用，其结构为18个氢 原子在C架的四周，Li＋分散于C和H原子上，距石墨 烯表面h=1.812Å处
2.双层石墨烯与石墨烷
在早期的理论和实 验工作中，发现了 两种二聚物氢化后 的石墨烯表面。这 两种二聚物的效果 也可以等效为一种 三聚物。
2.双层石墨烯与石墨烷
双层石墨烯全部氢 化以后能量相比石 墨烯和氢原子为负， 因此这是一种非常 稳定的结构。 所以，氢原子的覆 盖率可达50％
2.双层石墨烯与石墨烷
• 参考文献： • D.W.Boukhvalov and M.I.Katsnelson.Phys.Rev.B 78.085413(2008). • Z.Lou,T.Yu,K.j.Kim,Z.Ni,Y.You,S.Lim,Z.Shen,S.W ang.and J.Lin,ACS N ano 3,1781(2009). • J.O.Sofo,A.S.Chaudhari,and G.D.Barber.Phys.Rev.B 75,153401(2007) • J.Kanasaki,E.Inami,K.Tanimura,H.Ohnishi,and K.Nasu,Phys.Rev.Lett.102,087402(2009)
cvd_铜箔_连续生长石墨烯_理论说明
cvd 铜箔连续生长石墨烯理论说明1. 引言1.1 概述在过去几十年中，石墨烯作为一种具有出色的物理和化学特性的二维材料，在科学界引起了巨大的关注。
它具有高导电性、高透明性、稳定性等优点，可以应用于电子器件、能源储存、催化和生物医学等领域。
尽管石墨烯的制备方法有很多种，但化学气相沉积（CVD）是一种最常用且有效的方法之一。
本文将重点介绍CVD铜箔连续生长石墨烯的理论说明。
首先，我们将介绍CVD 方法及其在石墨烯生长中的应用。
然后，我们将探讨铜箔作为衬底材料的优势以及该材料对石墨烯生长的影响。
最后，我们将详细解析石墨烯生长的机制，并分析其中涉及的关键因素。
1.2 文章结构本文共分为五个主要部分。
本引言部分是第一部分，主要对全文进行概述和总体框架的介绍。
接下来第二部分将详细讲解CVD铜箔连续生长石墨烯的理论说明。
第三部分将介绍我们的实验设计以及对实验结果的详细分析和讨论。
第四部分将解释和讨论实验结果，同时探讨CVD铜箔连续生长石墨烯所具有的优势和挑战。
最后，第五部分是结论部分，总结全文内容，并对未来研究方向进行展望。
1.3 目的本文的主要目的是通过理论说明和实验结果分析，深入了解CVD铜箔连续生长石墨烯的过程以及其中涉及的关键因素。
通过对铜箔作为衬底材料的优势进行探讨，希望能够进一步推动石墨烯在各领域中的应用。
此外，本文还旨在总结目前CVD方法制备石墨烯所面临的挑战，并提出未来研究方向，为相关领域的学者提供参考和启示。
以上就是“1. 引言”部分内容的详细描述，请按需使用。
2. CVD铜箔连续生长石墨烯理论说明:2.1 CVD方法介绍:CVD（化学气相沉积）是一种常用的合成石墨烯的方法之一。
该方法基于在高温下通过加热并使其分解的碳源与金属衬底反应，从而在表面上连续生长单层或多层石墨烯薄膜。
CVD方法具有可扩展性、过程参数可调控以及高质量等优点，因此被广泛应用于石墨烯的制备。
2.2 铜箔作为衬底材料的优势:在CVD法中，铜箔是最常用的衬底材料之一。
石墨烯以及导热性质的有关介绍
石墨烯以及导热性质的有关介绍石墨烯( Graphene)又叫单层石墨，是构造其他石墨材料的最基本的材料单元。
石墨稀是由sp2碳原子以蜂窝状晶格构成的二维单原子层结构。
每个碳原子周围有３个碳原子成键，键角120°；每个碳原子均为sp2杂化，并贡献剩余一个p轨道上的电子形成大π键。
在石墨烯中，碳原子在不停的振动，振动的幅度有可能超过其厚度。
其中最重要的石墨烯的晶格振动，不仅仅影响石墨烯的形貌特征，还影响的石墨烯的力学性质、输运特性、热学性质和光电性质。
对石墨烯的热学性质的影响主要是由于石墨烯晶格振动。
根据有关资料的显示，对石墨烯晶格振动的研究可利用价力场方法。
在价力场方法中，石墨烯内所有原子间的相互作用力可以分为键的伸缩力和键的弯曲力。
从经典的热学理论出发，对石墨烯的导热系数进行研究。
一、以下是石墨烯薄片的热通量有关的表达式:上面理论计算的导热系数主要由石墨烯的声子频率、声子的支数和声子的作用过程等决定。
从得出的结果出可以得出以下的图表：不同宽度的石墨烯薄片的导热系数与温度的关系从图中看出来石墨烯的导热系数随温度的增加而减小。
在同一温度下，导热系数随石墨烯的宽度的增加而增加。
由经典的热传导理论可知，随着温度的升高，晶格振动加强，声子运动剧烈，热流中的声子数目也增加。
声子间的相互作用或碰撞更加频繁，原子偏离对平衡位置的振幅增大，引起的声子散射加剧，使导热载体(声子)的平均自由程减小。
这是石墨烯的导热系数随温度升高而降低的主要原因。
对于石墨烯，电子的运动对导热也有一定的贡献，但在高温情况下，晶格振动对石墨烯的导热贡献是主要的，起主导作用。
二、石墨烯的导热系数经验公式式中Xg是温度系数，L是单层石墨烯的中间部分与散热片之间的距离，h是单层石墨烯厚度，d 为单层石墨烯的宽度，δf是G峰位移，δP是样品的热功率的变化。
从经验公式可以看出，石墨烯的导热系数主要受3个因数的影响: 单层石墨烯的尺寸效应，温度，石墨烯生长的基底材料。
石墨烯
石墨烯xxx长沙理工大学物理与电子科学学院摘要：分析了石墨烯的结构，介绍石墨烯的电子能带结构和量子力学对它的理论描述，并阐述了石墨烯的一些特性。
另外也讲述制备石墨烯的几种方法和特性表征。
最后是对石墨烯近几年的发展了解并展望未来。
引言：自从2004年石墨烯被发现以来，获得了科学界广泛关注。
石墨烯作为一种新型炭质材料，由单层碳原子紧密堆积成二维晶格结构。
它的理论比表面积达2600 m2／g，热导率为3 kw／m·K，室温下平面上的电子迁移率为1．5×10 cm2／V·s，拉伸模量和本征强度分别为1000 GPa和130 GPa。
石墨烯是零带隙半导体，其载流子迁移率比硅高100倍，在室温下具有微米级自由程和大的相干长度，是纳米电路的理想材料。
此外，石墨烯还具有完美的量子隧道效应及半整数的量子霍尔效应等一系列性质[1-2]。
这些优异的性能使得石墨烯在纳米电子器件、气体传感器、电池，超级电容器和储氢方面及纳米复合材料等领域有光明的应用前景。
一、石墨烯的结构石墨烯为复式六角晶格（图1），每个六边形结构中有两个碳原子，每个原子与最近邻的三个原子间形成三个盯键。
由于每个碳原子有四个价电子，所以每个碳原子又会贡献出一个剩余的P电子，它垂直于石墨烯平面，与周围原子形成未成键的电子。
这些1r电子在晶体中自由移动，赋予了石墨烯良好的导电性。
二、石墨烯的特点——电子能带结构石墨烯是二维碳原子蜂巢晶格，是由两个A型或B型的三角布拉维晶格(三角子晶格)组成．其载流子(电子和空穴)波函数具有双旋量，也就是说载流子除了通常的1／2自旋外，还有与它的子格自由度相联系的1／2赝自旋．石墨烯的电子能带结构可由最近邻紧束缚模型得到[3]．导带电子(π电子)能从一个碳原子的2p 轨道跃迁到与它最近邻的3个碳原子之一，跃迁振幅(共振积分)为γ≡t ≈3eV．色散关系(能量和动量的关系)为：E=±γ√‾(1+4cos(k₂•а)+4cos(k₂•а)cos(k₁•√‾₃•а ))， (1)其中，晶格常数а=0．246nm，碳原子的间距为а∕√‾₃=0．143nm．导带(CB，а= +1)和价带(VB，а=一1)分别对应上述色散关系中的不同正负号．导带和价带接触处为不等价的Dirac 点(分别对应能谷K和K´)，如图2所示[3]．能量E作为二维布洛赫波矢(也是动量)(k₁，k₂)的函数．六边形布里渊区上K或点K´(Dirac点)附近，色散关系是线性的，从局部来看相当于圆锥(见图2放大区)．费米能级位于Dirac点处，费米面也由Dirae点构成．价带(VB)填满电子，导带(CB)是空的．由此可见，未参杂石墨烯是无带隙的．在Dirae点附近，电子的能量只依赖动量且成线性关系，类似于无质量的相对论粒子．因此，在低能且靠近K和K´点时，电子由二维无质量Dirac本征方程描述：−ίhυσ•▽φ(r)∕2π=Εφ(r)， (2)这里，V =√‾₃•aπ／h≈1000000m／s是石墨烯电子的传输速度，相当于有效光速；φ(r)是电子波函数，E是能量，p→ίh∕2π▽是坐标表象下的动量算符．图2 紧束缚模型计算的石墨烯能带结构三、石墨烯的特性石墨烯最大的特性是室温下传递电子的速度比已知导体都快，运动速度为光速的1／300，远远超过了电子在一般导体中的运动速度，具有优良的导电性。
石墨烯基础知识简介
1.石墨烯（Graphene）的结构石墨烯是一种由碳原子以sp²杂化轨道组成六角型呈蜂巢状晶格的平面薄膜，是一种只有一个原子层厚度的二维材料。
如图1.1所示，石墨烯的原胞由晶格矢量a1和a2定义每个原胞内有两个原子，分别位于A和B的晶格上。
C原子外层3个电子通过sp²杂化形成强σ键（蓝），相邻两个键之间的夹角120°，第4个电子为公共，形成弱π键（紫）。
石墨烯的碳-碳键长约为0.142nm，每个晶格内有三个σ键，所有碳原子的p轨道均与sp²杂化平面垂直，且以肩并肩的方式形成一个离域π键，其贯穿整个石墨烯。
如图1.2所示，石墨烯是富勒烯（0维）、碳纳米管（1维）、石墨（3维）的基本组成单元，可以被视为无限大的芳香族分子。
形象来说，石墨烯是由单层碳原子紧密堆积成的二维蜂巢状的晶格结构，看上去就像由六边形网格构成的平面。
每个碳原子通过sp²杂化与周围碳原子构成正六边形，每一个六边形单元实际上类似一个苯环，每一个碳原子都贡献一个未成键的电子，单层石墨烯的厚度仅为0.335nm，约为头发丝直径的二十万分之一。
图 1.1（a）石墨烯中碳原子的成键形式（b）石墨烯的晶体结构。
图1.2石墨烯原子结构图及它形成富勒烯、碳纳米管和石墨示意图石墨烯按照层数划分，大致可分为单层、双层和少数层石墨烯。
前两类具有相似的电子谱，均为零带隙结构半导体（价带和导带相较于一点的半金属），具有空穴和电子两种形式的载流子。
双层石墨烯又可分为对称双层和不对称双层石墨烯，前者的价带和导带微接触，并没有改变其零带隙结构；而对于后者，其两片石墨烯之间会产生明显的带隙，但是通过设计双栅结构，能使其晶体管呈示出明显的关态。
单层石墨烯（Graphene）：指由一层以苯环结构（即六角形蜂巢结构）周期性紧密堆积的碳原子构成的一种二维碳材料。
双层石墨烯（Bilayer or double-layer graphene）：指由两层以苯环结构（即六角形蜂巢结构）周期性紧密堆积的碳原子以不同堆垛方式（包括AB堆垛，AA堆垛，AA‘堆垛等）堆垛构成的一种二维碳材料。
石墨烯霍尔效应原理
石墨烯霍尔效应原理石墨烯是一种由碳原子构成的二维材料，具有特殊的电子结构和优异的电子传输性能。
霍尔效应是指当电流流经导体时，垂直于电流方向的磁场存在时，会在导体两侧产生一种电势差的现象。
在石墨烯中，由于其特殊的结构和能带特性，产生了一种称为石墨烯霍尔效应的现象。
石墨烯霍尔效应是指当石墨烯片上存在磁场时，石墨烯两侧会产生不同的电势差，从而形成一个电场梯度，导致电子在垂直于磁场方向上发生偏转，最终沿着横向方向聚集。
这种效应可以被用来测量石墨烯片上的电子运动和输运特性。
在石墨烯中，由于碳原子排列的特殊性，其能带结构呈现出线性色散特性，即能量和动量呈线性关系。
这导致石墨烯中的电子具有非常高的移动性和载流子浓度，同时也使得电子的传输方向对外加磁场非常敏感。
当石墨烯片处于外加磁场中时，沿着垂直于磁场方向的运动可以看作是电子在横向方向上退化为一维线性能带的运动。
根据经典霍尔效应的理论，可以得到在石墨烯中产生的电势差与电子密度、磁场和电流之间的关系。
具体来说，石墨烯霍尔效应的原理可以通过以下步骤来解释：1.外加磁场导致电子在横向方向上发生偏转。
在石墨烯中，由于线性色散关系的特性，电子的运动方向非常容易受到磁场的影响，而在垂直于磁场方向上的运动速度相对稳定。
因此，外加磁场会使得电子在横向方向上发生偏转。
2.电势差产生。
由于电子的偏转，石墨烯片的两侧会形成不同的电子密度，即正/负载流子密度不均衡，从而产生一个电势差。
3.电子受到洛伦兹力的作用。
洛伦兹力是指电荷在磁场中受到的力，它与电子速度和磁场的乘积成正比。
由于电子在横向方向上的偏转，电子将受到垂直于磁场和电流方向的洛伦兹力作用。
洛伦兹力会使得电子在横向方向上发生弯曲轨道，进一步增强了电子的集中效应。
4.电压差测量。
通过测量石墨烯片上的电压差，可以得到石墨烯霍尔效应的具体数值。
根据经典霍尔效应的理论公式，可以得到电压差和电流、磁场和载流子浓度之间的关系。
总之，石墨烯霍尔效应是由于石墨烯的特殊结构和能带特性，当外加磁场存在时，在石墨烯片上产生的一种电势差现象。
石墨烯百科
石墨烯百科石墨烯石墨烯不仅是已知材料中最薄的一种，还非常牢固坚硬；作为单质，它在室温下传递电子的速度比已知导体都快。
简介石墨烯（Graphene）是一种由碳原子构成的单层片状结构的新材料。
是一种由碳原子以sp2杂化轨道组成六角型呈蜂巢晶格的平面薄膜，只有一个碳原子厚度的二维材料[1]。
石墨烯一直被认为是假设性的结构，无法单独稳定存在[1]，直至2004年，英国曼彻斯特大学物理学家安德烈·海姆和康斯坦丁·诺沃肖洛夫，成功地在实验中从石墨中分离出石墨烯，而证实它可以单独存在，两人也因“在二维石墨烯材料的开创性实验”为由，共同获得2010年诺贝尔物理学奖[2]。
石墨烯目前是世上最薄却也是最坚硬的纳米材料[3] ，它几乎是完全透明的，只吸收2.3%的光"[4]；导热系数高达5300 W/m·K，高于碳纳米管和金刚石，常温下其电子迁移率*超过15000 cm²/V·s，又比纳米碳管或硅晶体*高，而电阻率只约10-6 Ω·cm，比铜或银更低，为目前世上电阻率最小的材料[1]。
因为它的电阻率极低，电子迁移的速度极快，因此被期待可用来发展出更薄、导电速度更快的新一代电子元件或晶体管。
由于石墨烯实质上是一种透明、良好的导体，也适合用来制造透明触控屏幕、光板、甚至是太阳能电池。
石墨烯另一个特性，是能够在常温下观察到量子霍尔效应。
石墨烯的碳原子排列与石墨的单原子层雷同，是碳原子以sp2混成轨域呈蜂巢晶格(honeycomb crystal lattice)排列构成的单层二维晶体。
石墨烯可想像为由碳原子和其共价键所形成的原子尺寸网。
石墨烯的命名来自英文的graphite(石墨) + -ene(烯类结尾)。
石墨烯被认为是平面多环芳香烃原子晶体。
石墨烯的结构非常稳定，碳碳键（carbon-carbon bond）仅为1.42Å。
石墨烯-PPT
4，电子的相互作用
石墨烯中电子间以及电子与蜂窝状栅格 间均存在着强烈的相互作用。 石墨烯中的电子不仅与蜂巢晶格之间相 互作用强烈，而且电子和电子之间也有很 强的相互作用。
5、其它特殊性质 ① 石墨烯具有明显的二维电子特性。 ② 在石墨烯中不具有量子干涉磁阻 ③ 石墨烯电子性质用量子力学的迪拉克方程来描 述比薛定谔方程更 ④ 好可控渗透性 ⑤ 离子导电体各向异性 ⑥ 超电容性 ………………
实现人类梦想
Dreams： Dreams：对于强度比世界上最好的钢铁还要高 上百倍的石墨烯，如果能加以利用， 上百倍的石墨烯，如果能加以利用，不仅可以造 出纸片般薄的超轻型飞机材料、超坚韧的防弹衣， 出纸片般薄的超轻型飞机材料、超坚韧的防弹衣， 甚至还可以制作23000英里长伸入太空的电梯， 23000英里长伸入太空的电梯 甚至还可以制作23000英里长伸入太空的电梯， 实现人类坐电梯进入太空的梦想。 实现人类坐电梯进入太空的梦想。 美国国家航空航天局（NASA）悬赏400万美金 美国国家航空航天局（NASA）悬赏400万美金 400 鼓励科学家们进行这种电梯的开发
二、石墨烯材料的制备
1、机械剥离法 通过机械力从新鲜石墨晶体的表面剥离石墨烯片层。 加热SiC SiC法 2、加热SiC法 通过加热单晶SiC脱除Si，在单晶(0001)面上分解出石墨烯片层。Berger 等人已经能可控地制备出单层. 或是多层石墨烯 。据预测这种方法很可能是 未来大量制备石墨烯的主要方法之一。 3、热膨胀法 4、化学法
三、石墨烯材料的性质
1、力学性质——比钻石还要硬 力学性质——比钻石还要硬 ——
数据转换分析：在石墨烯样品微粒开始碎裂前， 数据转换分析：在石墨烯样品微粒开始碎裂前，它们每 100纳米距离上可承受的最大压力居然达到了大约2.9微 纳米距离上可承受的最大压力居然达到了大约2.9 100纳米距离上可承受的最大压力居然达到了大约2.9微 牛。 据科学家们测算，这一结果相当于要施加55牛顿的 据科学家们测算，这一结果相当于要施加55牛顿的 55 压力才能使1米长的石墨烯断裂。 压力才能使1米长的石墨烯断裂。如果物理学家们能制 取出厚度相当于普通食品塑料包装袋的（厚度约100 100纳 取出厚度相当于普通食品塑料包装袋的（厚度约100纳 石墨烯， 米）石墨烯，那么需要施加差不多两万牛的压力才能将 其扯断。换句话说，如果用石墨烯制成包装袋， 其扯断。换句话说，如果用石墨烯制成包装袋，那么它 将能承受大约两吨重的物品。 将能承受大约两吨重的物品。 打个比方说单层石墨烯的强度， 打个比方说单层石墨烯的强度，就像把大象的重量 加到一支铅笔上， 加到一支铅笔上，才能够用这支铅笔刺穿仅像保鲜膜一 样厚度的单层石墨烯。 样厚度的单层石墨烯。
石墨烯性能简介
第一章石墨烯性能及相关概念1 石墨烯概念石墨烯（Graphene）是从石墨材料中剥离出来、由碳原子组成的只有一层原子厚度的二维晶体。
石墨烯狭义上指单层石墨，厚度为0.335nm，仅有一层碳原子。
但实际上，10层以内的石墨结构也可称作石墨烯，而10层以上的则被称为石墨薄膜。
单层石墨烯是指只有一个碳原子层厚度的石墨，碳原子-碳原子之间依靠共价键相连接而形成蜂窝状结构。
完美的石墨烯具有理想的二维晶体结构，由六边形晶格组成，理论比表面积高达2.6×102m2 /g。
石墨烯具有优异的导热性能(3×103W/(m•K))和力学性能(1.06×103 GPa)。
此外，石墨烯稳定的正六边形晶格结构使其具有优良的导电性，室温下的电子迁移率高达1.5×104 cm2 / (V·s)。
石墨烯特殊的结构、突出的导热导电性能和力学性能，引起科学界巨大兴趣，成为材料科学研究热点。
石墨烯结构图2 石墨烯结构石墨烯指仅有一个原子尺度厚单层石墨层片，由 sp2 杂化的碳原子紧密排列而成的蜂窝状晶体结构。
石墨烯中碳 -碳键长约为 0.142nm。
每个晶格内有三个σ键，连接十分牢固形成了稳定的六边状。
垂直于晶面方向上的π键在石墨烯导电的过程中起到了很大的作用。
石墨烯是石墨、碳纳米管、富勒烯的基本组成单元，可以将它看做一个无限大的芳香族分子，平面多环烃的极限情况就是石墨烯。
形象来说，石墨烯是由单层碳原子紧密堆积成二维蜂窝状晶格结构，看上去就像一张六边形网格构成的平面。
在单层石墨烯中，每个碳原子通过 sp2 杂化与周围碳原子成键给构整流变形，每一个六边单元实际上类似苯环，碳原子都贡献出个一个未成键电子。
单层石墨烯厚度仅0.35nm ，约为头发丝直径的二十万分之一。
石墨烯的结构非常稳定，碳原子之间连接及其柔韧。
受到外力时，碳原子面会发生弯曲变形，使碳原子不必重新排列来适应外力，从而保证了自身的结构稳定性。
石墨烯性能简介
第一章石墨烯性能及相关概念1石墨烯概念石墨烯（Graphene）是从石墨材料中剥离出来、由碳原子组成的只有一层原子厚度的二维晶体。
石墨烯狭义上指单层石墨，厚度为0.335nm，仅有排列而成的蜂窝状晶体结构。
石墨烯中碳-碳键长约为0.142nm。
每个晶格内有三个σ键，连接十分牢固形成了稳定的六边状。
垂直于晶面方向上的π键在石墨烯导电的过程中起到了很大的作用。
石墨烯是石墨、碳纳米管、富勒烯的基本组成单元，可以将它看做一个无限大的芳香族分子，平面多环烃的极限情况就是石墨烯。
形象来说，石墨烯是由单层碳原子紧密堆积成二维蜂窝状晶格结构，看上去就像一张六边形网格构成的平面。
在单层石墨烯中，每个碳原子通过sp2杂化与周围碳原子成键给构整流变形，每一个六边单元实际上类似苯环，碳原子都贡献出个一个未成键电子。
单层石墨烯厚度仅0.35nm，约为头发丝直径的二十万分之一。
100倍，在室温下可以达到15000cm2/(V·s)。
电阻率比铝、铜和银低很多，只有10～6Ω·cm左右。
二是具有超强的导热性。
石墨烯的导热性能优于碳纳米管，是铜、铝等金属的数10倍，导热系数高达5300W/m?K。
三是具有超强的力学性，石墨烯的硬度超过金刚石，断裂强度达到钢铁的100倍。
四是具有超强的透光性。
石墨烯的吸光率非常小，透光率高达97.7%。
五是具有超强的比表面积。
石墨烯的比表面积每克比普通活性炭高出1130m2，达到2630m2/g。
3.1石墨烯的光学性能石墨烯是已知的世上最薄、最坚硬的纳米材料，它几乎是完全透明的，只吸收2.3%的光，具有优异的光学性能。
理论和实验结果表明，单层石墨石饱和。
这一非线性光学行为成为饱和吸收。
在近红外光谱区，在强光辐照下，由于其宽波段吸收和零带隙的特点，石墨烯会慢慢接近饱和吸收。
利用这一性质，石墨烯可用于超快速光子学，如光纤激光器等。
3.2石墨烯的电学性能石墨烯的每个碳原子均为sp2杂化，并贡献剩余一个p轨道电子形成π键，π电子可以自由移动，赋予石墨烯优异的导电性。
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石墨烯理论（下）刻画拓扑序的拓扑不变量有多种等价表达方式，相对于用哈密顿量计算Berry相位，G. Volovik 提出用Green函数更方便分类拓扑物态（类比于SDW/CDW序的刻画就使用零频Green函数，因为其实际上就等于序参量）。
实际上我们目前讨论的简单拓扑绝缘体以及石墨烯等系统的都是还不具有相互作用的自由费米子系统，而包含相互作用后的费米子系统的拓扑不变量再去用简单的Berry联络的陈数就不那么有效地刻画出拓扑序了，这时候用Green函数方法构造拓扑不变量却能很好地推广到相互作用系统中（乃至强关联系统）。
对于三维拓扑绝缘体的Dirac哈密顿量Matsubara Green函数为：，（为费米子Matsubara频率）拓扑荷定义为一个对全动量空间（或Brillouin区）的积分：对称性算符为，经过冗长的代数运算，最后将积分解析延拓到复平面上并利用留数定理可推导得到，当，这就刻画了拓扑相。
设定磁场为正值，存在参数控制的从拓扑平庸相到非平庸相之间的量子相变，这与指标相同。
除这两个取值外还有临界拓扑相。
对于时的自由Dirac费米子，拓扑不变量为，取+1时候为正质量，-1 则为负质量，差值为；其物理上源于带有这两种正负质量的两个系统交界而形成束缚态。
在拓扑非平庸相（）与拓扑平庸相（）中间存在的无能隙相态。
在拓扑量子相变临界点，所有这些中间态都是无能隙的，其拓扑不变量如同自由Dirac费米子一样值为+1或者-1。
除了拓扑绝缘体外，反铁磁体系统也存在拓扑非平庸相（如同KT相变），这时产生的不是拓扑边缘态，而是拓扑涡旋激发态——Skyrmions（斯格明子）：此图为动量空间中斯格明子的位形分布。
人们利用上面进一步从推迟Green函数出发推导定义的拓扑荷（又称为skyrmion缠绕数）来表征其拓扑性：可证明其变分为零，因此是受拓扑保护的：积分在三维动量空间，单粒子Green函数，对于斯格明子场位形分布可得。
可证明对于低能带系统，与Berry规范场表达的第一陈数一致：对于石墨烯的Bloch矢哈密顿量此即为二能级系统第一陈数。
石墨烯中的分数量子Hall效应及演生规范场石墨烯系统除了能产生整数量子Hall效应外，还可以在一定条件下产生分数量子Hall效应，与二维电子系统不同的是，这里石墨烯的谷自由度的赝自旋起着相当于电子自旋的重要的作用。
FQH系统是典型的加强磁场的强关联电子系统，明显破坏时间反演对称。
张首晟等人的工作指出FQH液体中会产生分数化电荷准粒子激发，并演生出一种Chern-Simons规范场。
在石墨烯系统中人们通过参数调制做到不破坏时间反演对称也可以使得分数化成为可能，从而形成复合费米子并同样地演生出规范场。
Hou, Chamon和Mudry受到3+1维Dirac方程可产生宇一维线状的宙弦拓扑缺陷的启发，在讨论2+1维的石墨烯时提出了2+1维Dirac方程能产生拓扑激发的模型(HCM模型)。
他们的模型中可以产生一种分数化任意子（后面知道是一种零能态涡旋的拓扑缺陷或激发）从而能使得具有对称性的二维平面系统实现FQH。
首先将石墨烯分解成两个三角形子晶格A,B一如开始对单层石墨烯的操作，在紧束缚近似下的哈密顿量为晶格无扭曲形变时，格点表象下的哈密顿量在动量表象中可对角化，，单粒子能谱为在Dirac点附近有，，能谱为。
他们进一步在石墨烯系统中引入某种类似p波超导的配对机制使得不同Dirac点的跃迁振幅混合（在石墨烯里面的物理图像就是不同简并谷的赝自旋间的配对），这时有。
这里面代表着复序参量的涨落场，关联长度远大于晶格常数从而体系打开能隙，；如同超导的平均场理论，这里序参量也可通过Wick定理用配对关联函数表达:众多格点的跃迁振幅两两配对混合形成一种位形空间图案，用向量场刻画则其中方向由相位因子决定，格点间不同的配对模式会产生不同的方向图案。
——通过相位因子来刻画。
这种二维系统的拓扑缺陷的激发意味着会发生拓扑相变（类似于二维XY模型发生KT相变）。
HCM模型中的产生的Nielsen-Olesen–Landau-Ginsburg-Abrikosov (NO-LGA)涡旋是通过复标量场来描述。
而实际上规范场也可以产生有限能量的NO-LGA涡旋（涡旋），这就为实现FQH提供了更现实的方案（加磁场）。
R.Jackiw和S.Y.Pi进一步引入了一个相关作用到Dirac费米子上的内禀手征规范势，这里将对A,B子晶格Brillouin区的四个简并自由度合起来用四分量旋量表象。
引入Weyl表象下4 × 4 Dirac矩阵（），是四分量Driac 旋量，且在引入了来构造内禀手征规范场。
并定义，故有扩充了系统的对称性而使得系统在局域规范变换下不变：尽管在一般的2+1维的石墨烯系统中，只需要2×2的Pauli矩阵便可完备描述，在四分量旋量表象下最多只需要。
而我们会意识到其实在这种拓扑非平庸的系统中是由手征规范场来演生出来的。
接下来更简练地写出石墨烯正六边形晶格中费米子的低能Dirac拉格朗日量质量项来自于手征规范场打开能隙产生。
Hou等人发现石墨烯晶格中可以产生拓扑缺陷：一个绑着分数电荷的涡旋。
这种分数荷的产生是源于系统Dirac方程的非配对零模解。
我们这里利用―同位旋‖的位形空间图像可以不去讨论零能解：Dirac费米子在非平庸背景下的长程表现可以构造出这样的涡旋结构。
并且可以通过计算Berry相位证明这种晶格上带有规范磁通或统计相位的任意子是遵守时间反映对称性的。
操作办法是我们绝热地引入涡旋结构，即从开始逐渐调节序参量。
在拉格朗日量中加入-质量项扩充质量的参数空间，组成六角形晶格的两套相互交错的子晶格上费米子的本点能符号相反。
这意味着序参量的对称性从扩张到，序参量空间中的矢量为，模为；绝热地产生涡旋的过程是将序参量从初始均匀的―向上‖或―向下‖状态变到方向且在远离涡旋中心的地方变平为均匀平面。
图所示为2+1维时空的处穿过涡旋核芯的截面，箭头即为方向。
从图中可以看到产生半子（meron）结构，是半个斯格明子（skrymion），涡旋核心指向（*铁磁体等自旋系统中可产生一种拓扑性元激发——斯格明子（Skyrmion）：斯格明子内部自旋电子指向不同的方向，具有微型磁场，环绕着原子结构）。
当然，在离散格点系统中我们可以取核芯尺度为零的极限，这样就恢复为涡旋结构；而一般在连续介质中则中会存在一单点处，即涡旋的奇点。
通过前面描述那样光滑地引入涡旋，我们可以通过涡旋结构出发，进而通过逐圈微扰展开来计算费米子流算符求出这个绝热过程中规范荷的累积。
计算在手征复标量场的微扰（设图中顶部的背景场为方向）下的费米子流，作单圈近似，其中一个正规自能图如下（圈线为费米子传播子）可得到，加上其他自能图得到可得到总流该流表达式反映了系统的对称性，它就是非线性模型的拓扑守恒流。
为了计算图中半子结构中心的规范荷，将代入上式得到，总荷为半子中心附近区域的位形为，为的涡量，在位形空间中积分可得。
这时荷为意味着着产生的两种涡半旋（注意这种分数化半涡旋零能束缚态并不是拓扑超导中的Majorana束缚态），也即代表着Dirac方程零能态是否占据着电子的态。
在半子涡旋核尺度区域无穷小,的极限下，规范流为，这些结果可推广到多个涡旋的情形。
加入一般规范场后低能效拉格朗日量可以进一步写为协变形式：其中,分别为与荷电费米子流以及轴向费米子流的最小耦合的规范场以及轴矢手征规范场。
由于规范不变，规范场变换后，从Dirac哈密顿量可得到费米子与手征规范场的耦合项，其中是手征费米子分量，规范变化下有。
现在对波函数作一个奇异规范变换：，这里将涡旋相位分解为正负频分量相移后成为新的规范场：拉格朗日量变为：这么一来，原本带有扭曲相位的质量项就退化为单纯数量值，拉格朗日量写成更biao标准的规范场耦合形式，方便用我们的场论知识来解决问题。
规范场、费米子场具有这些对称性：宇称；电荷共轭；时间反演以及一个幺正变换下哈密顿量具有反对称性。
通过以上分析，我们可以确定规范场的低能有效作用量是什么样的拓扑项：单纯的CS项和不具有宇称和时间反演对称性。
于是人们构造了混合CS项满足系统所有对称性，这种CS规范结构为双重规范结构。
则CS作用量应为为，费米子流，为了看到系统有效规范场部分的拉格朗日量，需要积掉Dirac费米子场，这里将规范场都合起来写为。
作Fourier变换到动量表象为，作WKB展开计算有效作用量树图贡献为零计算到单圈阶修正在低能时保持Lorentz对称以及局域不变的要求下对展开Green函数取到线性项代入进行计算，得到有效拉格朗日量为第一项描述的是Dirac介质中介电响应。
若没有轴手征规范场，第二项退化为，它反映了涡旋场涨落导致空间位形变化以及涡旋间的对数长程作用；若轴手征规范场存在，并且由Maxwell方程描述，则涡旋间长程作用受到屏蔽变成指数衰减型，如同II型超导体。
第三项则是演生出现的Chern-Simons规范项。
可以同时是场的质量项，在不同的序参量情况中调节，总可找到一种相态使得这时系统的场保持有质量而场软化，可见电性流与轴矢流反向。
这种相态将是一种超导相。
我们看到在石墨烯中产生了拓扑性激发，它们是任意子，其统计规律也是分数化的。
现在我们撤去所有外场，令，CS拉格朗日量为考察两个分别处于的半涡旋，让第二个绕第一个沿着路径转。
把这两个非局域半涡旋视为一个完整涡旋的正负分解，，；是第k个涡旋的流表达式。
涡旋相互间相互缠绕累计的拓扑相位可通过对CS项积分求得可见这种半涡旋拓扑缺陷就是遵循统计角为的交换统计任意子（半子）。