【精选习题】第二章一阶微分方程的初等解法

第二章 一阶微分方程的初等解法2-1 已知⎰≠=xx dt t f x f 0 ,0 ,1)()(试求函数)(x f 的一般表达式。

解 对方程⎰=xdt t f x f 01)()(，两边关于x 求导得⎰=+'xx f dt t f x f 020)()()(，即0)()(1)(2=+'x f x f x f ， 分离变量，可求得)(21)(C x x f +±=，代入原方程可得0=C ，从而)(x f 的一般表达式为xx f 21)(=。

评注：本题中常数的确定不能直接通过所给积分方程得到，而是需将通解代回原方程来确定。

2-2 求具有性质)()(1)()()(s x t x s x t x s t x -+=+的函数)(t x ，已知)0(x '存在。

解 由导数的定义可得s s x t x s x t x s x st x s t x t x s s )]()(1[)()()(lim)()(lim)(200-+=-+='→→ss x s x t x t x s )()()(1)(1lim 20⋅-+=→， 显然可得0)0(=x ，故)](1[)0()0()(lim)](1[)(202t x x sx s x t x t x s +⋅'=-⋅+='→分离变量，再积分可得])0(tan[)(C t x t x +'=，再由0)0(=x ，知0=C ，从而 ])0(tan[)(t x t x '=。

评注：本题是函数方程的求解问题，利用导数定义建立微分关系，转化为求解常微分方程的初值问题。

2-3 若0),(),(≠+y y x N x y x M ，证明齐次方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 有积分因子),(),(1y x yN y x xM +。

证 方法1 用凑微分法求积分因子。

我们有恒等式dy y x N dx y x M ),(),(+)})(),(),(())(),(),({(21ydy x dx y y x N x y x M y dy x dx y y x N x y x M --+++= 而)ln(xy d y dyx dx =+， yx d y dy x dx ln =-， 所以原方程变为0}ln )),(),(()ln()),(),({(21=-++yxd y y x N x y x M xy d y y x N x y x M 。

用yy x N x y x M y x ),(),(1),(+=μ乘上式两边，得0ln ),(),(),(),(21)ln(21=+-+yx d y y x N x y x M y y x N x y x M xy d ， 由于y y x N x y x M y y x N x y x M ),(),(),(),(+-为零次齐次函数，故它可表成yx的某一函数，记为)(y x f ，)(ln )()(),(),(),(),(ln yxF e f y x f y y x N x y x M y y x N x y x M y x===+-，原方程进一步可改写成0ln )(ln 21ln 21=+yxd y x F xy d ， 它为一个恰当方程，表明yy x N x y x M y x ),(),(1),(+=μ为齐次方程的积分因子。

方法2 化为分离变量方程求积分因子。

设),(),,(y x N y x M 是m 次齐次函数，则令ux y =， udx xdu dy +=，有),,1(),(),(u M x xu x M y x M m ==),,1(),(),(u N x xu x N y x N m ==将其代入原方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 中，得0}),1(]),1(),1({[=++du u xN dx u u N u M x m ，可以看出上方程为可分离变量的方程，只要给上式乘以积分因子),(),(1)],1(),1([1),(1y x yN y x xM u uN u M x y x m +=+=+μ， 方程就可变量分离，即化为恰当方程，因此，齐次方程的积分因子是),(),(1),(y x yN y x xM y x +=μ。

方法3 用定义求积分因子。

由积分因子的定义，只需证明二元函数 ),(),(1),(y x yN y x xM y x +=μ满足xN y M ∂∂=∂∂)()(μμ即可。

为此，我们计算 yyN xM My M ∂+∂=∂∂)()(μ])()([)(1 2M y yN xM yN xM yM yN xM ∂+∂-+∂∂+=][)(1 2NM y NyM y M yN yN xM -∂∂-∂∂+=，xyN xM Nx N ∂+∂=∂∂)()(μ])()([)(1 2N x yN xM yN xM xN yN xM ∂+∂-+∂∂+=][)(1 2NM x MxN x N xM yN xM -∂∂-∂∂+=， xN y M ∂∂-∂∂)()(μμ 2)()()( yN xM MN NM y MN NM x y y x x +-+-=，由于),(),(y x N y x M dx dy -=为齐次方程，令)(xyg N M = 显然)(1)(22M N N M N g x y x y g x x x -='-=，)(11)(2y y y MN N M Ng x x y g -='=，故0)()()()()(222222=+'-=+'+'-=∂∂-∂∂gN xM g x y x y N gN xM g x y N g x xy N xN y M μμ， 因而μ是齐次方程的积分因子。

评注：注意求积分因子方法的正确运用，对于齐次方程0),(),(=+dy y x N dx y x M ，除了可以化为变量可分离方程以外，我们还可以采用本例中所得到的结果，很快寻找出一个积分因子 ),(),(1),(y x yN y x xM y x +=μ，将其转化为恰当方程来求解。

2-4 解方程331y x xy dx dy +=。

解 由题得33y x xy dydx+=， 这是以x 为未知函数和以y 为自变量的迫努利方程，则有323y y x dydxx +=--， 令2-=x z ，322y yz dydz--= ， 而yz dydz2-=的解为2~y e C z -=。

采用常数变易法，令2)(~y e y C z -=代入322y zy dydz--=中得 C e e y y C y y ++-=222)(~，故212y Ce y z -++-=， 从而原方程的解为1)1(222=++--y Ce y x 。

评注：在微分方程中，变量x 与y 具有同等的地位，对同一个方程，既可以就y 求解，也可以就x 进行求解，如果方程),(y x f dxdy=就y 求解比较困难，可以尝试将原方程变化为),(1y x f dy dx =，然后就x 进行求解，有时会取得意想不到的效果，参见典型习题2-15，4），和2-16，4）。

2-5 试导出方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 分别具有形为)(y x +μ和)(xy μ的积分因子的充要条件。

解 根据判别准则（定理），)(y x +μ是方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 的积分因子的充要条件是xy x N y x μy y x M y x μ∂+∂=∂+∂)],()([)],()([ 。

则有yy x μM x y x μN x N y M y x μ∂+∂-∂+∂=∂∂-∂∂+)()())((， 即)()()()())((y x d y x μd M y x d y x μd N x N y M y x μ++-++=∂∂-∂∂+， )()(1)()(y x f y x y x d y x d M N x N y M +=+⋅++=-∂∂-∂∂μμ，因此方程具有形如)(y x +μ的积分因子的充要条件是)(y x f MN xN y M +=-∂∂-∂∂。

)(xy μ是方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 的积分因子的充要条件是xN xy μy M xy μ∂∂=∂∂)()()()(即 yxy μM x xy μN x N y M xy μ∂∂-∂∂=∂∂-∂∂)()())(( )()()())((xy d xy d xM yN x N y M xy μμ-=∂∂-∂∂， )()(1)()(xy g xy xy d xy d xM yN x N y M =⋅=-∂∂-∂∂μμ，因此方程具有形如)(xy μ的积分因子的充要条件是)(xy g xMyN xNy M =-∂∂-∂∂。

评注：利用对称形式的微分方程的系数容易判断方程是否具有特殊形式的积分因子，从而给出求积分因子的思路。

2-6 设),(y x f 及yf∂∂连续，试证方程0),(=-dx y x f dy 为线性方程的充要条件是它有仅依赖于x 的积分因子。

证 必要性。

若方程0),(=-dx y x f dy 为线性方程，则方程可写为0))()((=+-dx x Q y x P dy ，令 1, ))()((=+-=N x Q y x P M ，由题有yM∂∂连续，)(x P N x Ny M -=∂∂-∂∂， 由定理2-2的结论1方程有积分因子⎰-dxx P e )(，仅依赖于x 。

充分性。

设方程0),(=-dx y x f dy 有仅依赖于x 的积分因子)(x μ，即0),()()(=-dx y x f x dy x μμ为恰当方程，有dx x d y y x f x )()),()((μμ=∂-∂，dxx d y y x f x )()),()(μμ=∂∂-， dxx d x y y x f )()(1),(μμ-=∂∂， 上式右端仅为x 的函数，令其为)(x P ，积分上式，得 )()(),(x Q y x P y x f +=， 故该方程为线性方程。

评注：一阶线性方程一般用常数变易法求解，此例给出了线性方程的又一种求解方法，即积分因子法。

2-7 设函数)(),(u g u f 连续、可微且)()(u g u f ≠，试证方程0)()(=+dy xy xg dx xy yf 有积分因子1)])()([(--=xy g xy f xy μ。

证 方法1 用积分因子定义证明。

令, )(xy yf M =)(xy xg N =xμN y μM ∂⋅∂-∂⋅∂)()( 0)()()()()()(22=-'-'--'--'-'--'=g f gg f g f g g f f g f g f f ， 故该方程有积分因子1)])()([(--=xy g xy f xy μ。