【精选习题】第二章一阶微分方程的初等解法
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第二章 一阶微分方程的初等解法
2-1 已知⎰
≠=x
x dt t f x f 0 ,0 ,1)()(试求函数)(x f 的一般表达式。
解 对方程⎰
=x
dt t f x f 0
1)()(，两边关于x 求导得
⎰=+'x
x f dt t f x f 0
20)()()(，
即
0)()
(1
)
(2=+'x f x f x f ， 分离变量，可求得
)
(21)(C x x f +±
=，
代入原方程可得0=C ，从而)(x f 的一般表达式为x
x f 21)(=
。
评注：本题中常数的确定不能直接通过所给积分方程得到，而是需将通解代回原方程来确定。
2-2 求具有性质)
()(1)
()()(s x t x s x t x s t x -+=+的函数)(t x ，已知)0(x '存在。
解 由导数的定义可得
s s x t x s x t x s x s
t x s t x t x s s )]()(1[)
()()(lim
)()(lim
)(200-+=-+='→→
s
s x s x t x t x s )()()(1)(1lim 20⋅-+=→， 显然可得0)0(=x ，故
)](1[)0()
0()(lim
)](1[)(20
2t x x s
x s x t x t x s +⋅'=-⋅+='→
分离变量，再积分可得
])0(tan[)(C t x t x +'=，
再由0)0(=x ，知0=C ，从而 ])0(tan[)(t x t x '=。
评注：本题是函数方程的求解问题，利用导数定义建立微分关系，转化为求解常微分方程的初值问题。
2-3 若0),(),(≠+y y x N x y x M ，证明齐次方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 有积分因
子
)
,(),(1
y x yN y x xM +。
证 方法1 用凑微分法求积分因子。 我们有恒等式
dy y x N dx y x M ),(),(+
)})(),(),(())(),(),({(21y
dy x dx y y x N x y x M y dy x dx y y x N x y x M --+++= 而
)ln(xy d y dy
x dx =+， y
x d y dy x dx ln =-， 所以原方程变为
0}ln )),(),(()ln()),(),({(21=-++y
x
d y y x N x y x M xy d y y x N x y x M 。 用y
y x N x y x M y x ),(),(1
),(+=
μ乘上式两边，得
0ln ),(),(),(),(21)ln(21=+-+y
x d y y x N x y x M y y x N x y x M xy d ， 由于
y y x N x y x M y y x N x y x M ),(),(),(),(+-为零次齐次函数，故它可表成y
x
的某一函数，记为)(y x f ，
)(ln )()(),(),(),(),(ln y
x
F e f y x f y y x N x y x M y y x N x y x M y x
===+-，
原方程进一步可改写成
0ln )(ln 21ln 21=+y
x
d y x F xy d ， 它为一个恰当方程，表明y
y x N x y x M y x ),(),(1
),(+=
μ为齐次方程的积分因子。
方法2 化为分离变量方程求积分因子。
设),(),,(y x N y x M 是m 次齐次函数，则令ux y =， udx xdu dy +=，有
),,1(),(),(u M x xu x M y x M m ==),,1(),(),(u N x xu x N y x N m ==
将其代入原方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 中，得
0}),1(]),1(),1({[=++du u xN dx u u N u M x m ，
可以看出上方程为可分离变量的方程，只要给上式乘以积分因子
)
,(),(1
)],1(),1([1),(1
y x yN y x xM u uN u M x y x m +=+=
+μ， 方程就可变量分离，即化为恰当方程，因此，齐次方程的积分因子是
)
,(),(1
),(y x yN y x xM y x +=
μ。
方法3 用定义求积分因子。
由积分因子的定义，只需证明二元函数 )
,(),(1
),(y x yN y x xM y x +=
μ满足
x
N y M ∂∂=∂∂)
()(μμ即可。为此，我们计算 y
yN xM M
y M ∂+∂=∂∂)
(
)
(μ
])
()([)(1 2
M y yN xM yN xM y
M yN xM ∂+∂-+∂∂+=
][)(1 2
NM y N
yM y M yN yN xM -∂∂-∂∂+=
，